PAS MATEMATIKA BLOG

Lanjutan 1 Contoh Soal Kombinasi (Distribusi Binomial)

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Bentuk sederhana dari}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle 5!+6!+7!\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{(n+1)!}{(n-1)!}\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{(n+2)!}{n!}\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{(n-2)!}{(n+1)!}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&5!+6!+7!=5!+6.5!+7.6.5!\\ &\quad\quad\quad\quad \: \: \: \: =(1+6+42).5!\\ &\quad\quad\quad\quad \: \: \: \: =49.5!=49.120=5880\\ \textrm{b}.\quad&\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n-1)!}=\frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}\\ &\quad\quad\quad\: \: \: =(n+1)n=n^{2}+n\\ \textrm{c}.\quad&\displaystyle \frac{(n+2)!}{n!}=\frac{(n+1)(n+1)n!}{n!}\\ &\quad\quad\quad\: \: \: =(n+2)(n+1)\\ &\quad\quad\quad\: \: \: =n^{2}+3n+2\\ \textrm{d}.\quad&\displaystyle \frac{(n-2)!}{(n+1)!}=\frac{(n-2)!}{(n+1)n(n-1)(n-2)!}\\ &\quad\quad\quad\: \: \: =\displaystyle \frac{1}{(n+1)n(n-1)}\\ &\quad\quad\quad\: \: \: =\displaystyle \frac{1}{n^{3}-n} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: n\: \: \textrm{yang memenuhi}\\ &\textrm{persamaan berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{n!3!}{6!(n-3)!}=\frac{33}{4}\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{3}{8!}-\frac{2}{7!}+\frac{1}{6!}=\frac{5n+3}{8!}\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{7!}{5!2!}:\frac{10!}{5!5!}=1:4n\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\displaystyle \frac{n!3!}{6!(n-3)!}=\frac{33}{4}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{n(n-1)(n-2) \not{(n-3)!}.\not{3!}}{6.5.\not{4}.\not{3!}\not{(n-3)}!}=\frac{33}{\not{4}}\\ &\Leftrightarrow n(n-1)(n-2)=33.6.5=11.10.9\\ &\Leftrightarrow n(n-1)(n-2)=11.(11-1).(11-2)\\ &\Leftrightarrow \qquad\qquad\qquad \: n=11\\ \textrm{b}.\quad&\displaystyle \frac{3}{8!}-\frac{2}{7!}+\frac{1}{6!}=\frac{5n+3}{8!}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{3-2.8+56}{8!}=\frac{5n+3}{8!}\\ &\Leftrightarrow \frac{43}{8!}=\frac{5n+3}{8!}\\ &\Leftrightarrow 43=5n+3\Leftrightarrow 5n=40\Leftrightarrow n=8\\ \textrm{c}.\quad &\displaystyle \frac{7!}{5!2!}:\frac{10!}{5!5!}=1:4n\\ &\Leftrightarrow 4n=\displaystyle \frac{5!2!10!}{7!5!5!}\\ &\Leftrightarrow 4n=\displaystyle \frac{\not{5!}2!10.9.8.\not{7!}}{\not{7!}5!\not{5!}}\\&\Leftrightarrow \: \: n=3 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: n\: \: \textrm{yang memenuhi}\\ &\textrm{persamaan berikut}\\ &\textrm{a}.\quad P(n,2)=42\\ &\textrm{b}.\quad 7.P(n,3)=6.P(n+1,3)\\ &\textrm{c}.\quad 3.P(n,4)=P(n-1,5)\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&P(n,2)=42\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{n!}{(n-2)!}=42\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{n!}{(n-2)!}=\displaystyle \frac{n\times (n-1)\times (n-2)!}{(n-2)!}=42\\ &\Leftrightarrow \displaystyle n\times (n-1)=7.6=7.(7-1)\\ &\Leftrightarrow n=7\\ \textrm{b}.\quad&7.P(n,3)=6.P(n+1,3)\\ &\displaystyle \frac{7.n!}{(n-3)!}=\frac{6(n+1)!}{(n+1-3)!}\\ &\displaystyle \frac{7\not{n!}}{(n-3)!}=\frac{6.(n+1).\not{n!}}{(n-2)!}\\ &\Leftrightarrow \frac{7}{\not{(n-3)!}}=\frac{6n+6}{(n-1)\not{(n-3)!}}\\ &\Leftrightarrow 7(n-2)=6n+6\\ &\Leftrightarrow 7n-6n=6+14\Leftrightarrow n=20\\ \textrm{c}.\quad&3.P(n,4)=P(n-1,5)\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{3.n!}{(n-4)!}=\frac{(n-1)!}{(n-1-5)!}\\ &\Leftrightarrow \frac{3.n.\not{(n-1)!}}{(n-4)!}=\frac{\not{(n-1)!}}{(n-6)!}\\ &\Leftrightarrow \frac{3n}{(n-4)(n-5).\not{(n-6)!}}=\frac{1}{\not{(n-6)!}}\\ &\Leftrightarrow 3n=(n-4)(n-5)\\ &\Leftrightarrow 3n=n^{2}-9n+20\\ &\Leftrightarrow n^{2}-12n+20=0\\ &\Leftrightarrow (n-2)(n-10)=0\\ &\Leftrightarrow n=2\: \: \color{red}\textrm{tidak memenuhi}\: \: \color{black}\textrm{atau}\: \: n=10\\ &\textrm{jadi},\: \: n=10 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Jika 10 siswa akan dipilih 4 orang untuk}\\ &\textrm{menjadi ketua kelas, wakil, sekretaris dan}\\ &\textrm{seorang bendahara, maka banyak susunan}\\ &\textrm{terjadi adalah}\: ....\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Penyusunan memerlukan urutan}\\ &\textrm{maka perlu digunakan permutasi, yaitu}:\\ &P(n,r)=\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}\\ &\Leftrightarrow P(10,4)=\displaystyle \frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10!}{6!}\\ &\Leftrightarrow \qquad\qquad =\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times \not{6!}}{\not{6!}}\\ &\Leftrightarrow \qquad\qquad =5040 \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Jika dari kota A ke kota B terdapat 3 jalur.}\\ &\textrm{Dan dari kota B ke kota C terdapat 4 jalur,}\\ &\textrm{serta dari kota C sampai ke kota D ada 5 jalur}\\ &\textrm{Banyak jalan dari kota A ke kota D adalah}\: ....\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Jalur yang ada semuanya berbeda}\\ &\textrm{maka perlu digunakan permutasi, yaitu}:\\ &P(n,r)=\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}\\ &\begin{aligned}\textrm{a}&\textrm{dari A ke B ada 3 jalur cukup pilih satu, maka}\\ &\bullet \quad P(3,1)=\displaystyle \frac{3!}{(3-1)!}=\frac{3!}{2!}=3\\ \textrm{b}&\textrm{dari B ke C ada 4 jalur cukup pilih satu, maka}\\ &\bullet \quad P(4,1)=\displaystyle \frac{4!}{(4-1)!}=\frac{4!}{3!}=4\\ \textrm{c}&\textrm{dari C ke D ada 5 jalur cukup pilih satu, maka}\\ &\bullet \quad P(5,1)=\displaystyle \frac{5!}{(5-1)!}=\frac{5!}{4!}=5 \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi, total jalur yang dapat di lalui dari A sampai D adalah}:\\ &\qquad P(3,1)\times P(4,1)\times P(5,1)=3\times 4\times 5=\color{red}60 \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Jika di suatu kelas terdapat 4 orang akan dipilih 3 orang }\\ &\textrm{untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara}.\\ &\textrm{Tentukanlah banyak cara memilih 3 orang tersebut?}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Karena ada 4 orang, misal A, B, C, dan D yang}\\ &\textrm{akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi} \\ &\textrm{ketua, sekretaris, dan bendahara, maka kita tinggal}\\ &\textrm{buat permutasinya, yaitu posisi ketua dapat dipilih }\\ &\textrm{dengan 4 cara, sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara}, \\ &\textrm{dan bendahara dapat dipilih dengan 2 cara. atau} \\ &\color{blue} P(4,3)=\displaystyle \frac{4!}{(4-3)!}=\frac{4!}{1!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{1}=24\: \: \textrm{cara}\\ &\textrm{Berikut ilustrasinya dengan diagram pohon} \end{aligned} \end{array}$

$\color{red}\begin{cases} A&\begin{cases} B & \begin{cases} C &\rightarrow ABC\\ D & \rightarrow ABD \end{cases} \\ C & \begin{cases} B &\rightarrow ACB\\ D & \rightarrow ACD \end{cases} \\ D & \begin{cases} B &\rightarrow ADB \\ C &\rightarrow ADC \end{cases} \end{cases} \\ \\ B&\begin{cases} A & \begin{cases} C &\rightarrow BAC\\ D & \rightarrow BAD \end{cases} \\ C & \begin{cases} A &\rightarrow BCA\\ D & \rightarrow BCD \end{cases} \\ D & \begin{cases} A &\rightarrow BDA \\ C &\rightarrow BDC \end{cases} \end{cases} \\ \\ C&\begin{cases} A & \begin{cases} B &\rightarrow CAB\\ D & \rightarrow CAD \end{cases} \\ B & \begin{cases} A &\rightarrow CBA\\ D & \rightarrow CBD \end{cases} \\ D & \begin{cases} A &\rightarrow CDA \\ B &\rightarrow CDB \end{cases} \end{cases} \\ \\ D&\begin{cases} A & \begin{cases} B &\rightarrow DAB\\ C & \rightarrow DAC \end{cases} \\ B & \begin{cases} A &\rightarrow DBA\\ C & \rightarrow DBC \end{cases} \\ C & \begin{cases} A &\rightarrow DCA \\ B &\rightarrow DCB \end{cases} \end{cases} \end{cases}$

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Seorang anak akan mengambil 4 buah bola dari}\\ &\textrm{10 warna yang berbeda. Berapakah banyak}\\ &\textrm{kombinasi warna yang berbeda yang diambil}\\ &\textrm{oleh Andi}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}n=10&\: \: \textrm{dan}\: \: r=4\\ C(n,r)&=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\\ C(10,4)&=\displaystyle \frac{10!}{4!(10-4)!}\\ &=\displaystyle \frac{10!}{4!\times 6!}\\ &=\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{(4\times 3\times 2\times 1)\times 6!}\\ &=420\: \: \textrm{kombinasi warna bola berbeda} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Berapa banyak cara dapat memilih untuk}\\ &\textrm{3 perwakilan dari 10 anggota suatu}\\ &\textrm{kelompok, jika}\\ &\textrm{a. tanpa perlakuan khusus}\\ &\textrm{b. salah seorang harus terpilih}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Dengan tanpa perlakuan}\\ &\textrm{memilih 3 orang dari 10 orang adalah}:\\ &C(10,3)=\displaystyle \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\times 7!}=\color{blue}120\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Dengan perlakuan 1 orang terpilih}\\ &\color{red}(\textrm{1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan})\\ &\textrm{memilih 2 orang dari 9 orang adalah}:\\ &C(9,2)=\displaystyle \frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\times 8!}=\color{blue}36 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku}\\ &\textrm{matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku}\\ &\textrm{ekonomi pada suatu lemari buku yang}\\ &\textrm{di dalamnya terdapat 10 buku matematika,}\\ &\textrm{11 buku fisika dan 12 buku ekonomi}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Banyak}\: \textrm{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ &=C(10,2)\times C(11,3)\times C(12,4)\\ &=\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}\times \frac{11!}{3!\times 8!}\times \frac{12!}{4!\times 8!}\\ &=\displaystyle \frac{10\times 9}{1\times 2}\times \frac{11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3\times 4}\\ &=\color{red}3675375 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Berapa banyak cara dapat memilih 3 tas}\\ &\textrm{dan 4 dompet serta 5 kunci kotak motor}\\ &\textrm{di atas meja yang di atasnya telah tersedia}\\ &\textrm{10 tas, 11 dompet serta 12 kunci kontak}\\ &\textrm{motor}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Banyak}\: \textrm{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ &=C(10,3)\times C(11,4)\times C(12,5)\\ &=\displaystyle \frac{10!}{3!\times 7!}\times \frac{11!}{4!\times 7!}\times \frac{12!}{5!\times 7!}\\ &=\displaystyle \frac{10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3}\times \frac{11\times 10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3\times 4}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3\times 4\times 5}\\ &=120\times 330\times 792\\ &=\color{red}31363200 \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Johnaes, Kastolan, & Sulasim. 2004. Kompetensi Matematika SMA Kelas 2 Semester 1 Program Ilmu Sosial KBK 2004. Jakarta: YUDHISTIRA.
Kartini, Suprapto, Subandi, & Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.

Distribusi Binomial (Matematika Peminatan kelas XII SMA/MA)

$\color{blue}\textrm{A. Pendahuluan Distribusi Binomial}$

$\begin{aligned}&\left\{\begin{matrix} (1)\: \textrm{Review}\begin{cases} \textrm{Peluang} \begin{cases} \textrm{Populasi} \\ \textrm{Sampel}\begin{cases} \textrm{Acak} \\ \textrm{Bukan Acak}.\quad \end{cases} \end{cases} \\ \textrm{Kombiasi} & \end{cases}\\ (2)\: \textrm{Variabel Acak}\begin{cases} \textrm{Diskrit} & .\qquad\qquad\qquad\qquad \\ \textrm{Kontinue} & \end{cases}\\ (3)\: \textrm{Distribusi}\begin{cases} \textrm{Distribusi Peluang Variabel Acak} & \\ \textrm{Fungsi Distribusi Kumulatif} & \\ \textrm{Variabel Acak Binomial}&\\ \textrm{Distribusi Binomial} \end{cases}\\ \end{matrix}\right. \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{Penjelasan}$

$\begin{array}{|c|l|l|}\hline \textrm{No}&\quad\textrm{Istilah}&\qquad\qquad\qquad\textrm{Penjelasan}\\\hline 1&\textrm{Statistika}&\textrm{Ilmu tentang pengumpulan, pengolahan},\\ &&\textrm{penganalisaan serta penarikan kesimpulan}\\ &&\textrm{data. Selanjutnya akan dibagi dua yaitu}\\ &&\color{blue}\textrm{deskriptif dan inferensia}\\\hline 2&\textrm{Statistik}&\color{red}\textrm{Kumpulan data/ukuran sampel}\\\hline 3&\textrm{Parameter}&\textrm{Ukuran populasi}\\\hline 4&\textrm{Populasi}&\color{blue}\textrm{Keseluruhan/semua anggota objek/data}\\\hline 5&\textrm{Sampel}&\color{blue}\textrm{Subjek/Objek yang mewakili populasi}\\\hline 6&\textrm{Sesus}&\textrm{Penelitian seluruh data (populasi)}\\\hline 7&\textrm{Tekik}&\textrm{Cara pengambilan data terbatas pada}\\ &\textrm{Sampling}&\textrm{sebagian saja dari populasi yang diteliti}\\\hline \end{array}$.

$\color{blue}\textrm{B. Kombinasi, Peluang, dan Variabel Acak}$.

Untuk memulai bahasan ini kita sertakan pengertian yang berkaitan dengan kombinasi yaitu adalah permutasi. Perhatikanlah tabel berikut

$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \textrm{Istilah}&\qquad\qquad\qquad\textrm{Permutasi}&\qquad\qquad\qquad\textrm{Kombinasi}\\\hline \textrm{Definisi}&\begin{aligned}&\textrm{Permutasi r unsur dari n unsur}\\ &\textrm{adalah banyaknya kemungkinan}\\ &\textrm{urutan r unsur yang dipilih}\\ &\textrm{dari n unsur yang tersedia}.\\ & \textrm{Tiap unsur berbeda dan}\: r\leq n\\ &\end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Kombinasi r unsur dan n unsur}\\ &\textrm{adalah banyaknya kemungkinan}\\ &\textrm{tidak terurut dalam pemilihan}\\ &\textrm{r unsur yang diambil dari n}\\ & \textrm{unsur yang tersedia. Tiap unsur}\\ &\textrm{berbeda dan}\: \: r\leq n \end{aligned}\\\hline \textrm{Tipe}&\begin{aligned}&\textrm{Bentuk khusus kaidah}\\ &\textrm{perkalian} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Bentuk khusus dari bentuk}\\ &\textrm{permutasi} \end{aligned}\\\hline \textrm{Notasi}&_{n}P_{r},\: P_{n}^{r},\: \textrm{atau}\: \: P(n,k)&_{n}C_{r},\: C_{r}^{n},\: \binom{n}{r},\: \textrm{atau}\: \: C(n,r)\\\hline \textrm{Rumus}&P(n,r)=\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}&\binom{n}{r}=C(n,r)=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\\\hline \end{array}$.

$\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Sebagai catatan bahwa}\\&n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1)\times n \end{aligned}$

Selanjutnya yang akan kita bahas berkaitan bab ini adalah kombinasi beserta contohnya. Perhatikan pula tabel berikut

$\begin{array}{|c|c|}\hline \color{red}\textrm{Kombinasi}&\textrm{Kombinasi dalam}\\ \textrm{dengan pengulangan}&\color{red}\textrm{Binom Newton}\\\hline \begin{aligned}&C(n+r-1,r)\\ &=C(n+r-1,n-1)\\ &\binom{n+r-1}{r}\\ &=\binom{n+r-1}{n-1} \end{aligned}&\begin{aligned}&(x+y)^{n}\\ &=\sum_{k=o}^{n}\binom{n}{r}x^{n-k}y^{k}\\\\ &\textrm{Koefisien untuk}\\ &x^{n-k}y^{k},\: \textrm{yaitu}\\ &\textrm{suku ke}-(k+1)\\ &\textrm{adalah}\: \binom{n}{r} \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

serta

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah nilai}\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 3!&\textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{6!}{4!}&\textrm{i}.\quad \displaystyle \frac{2!}{0!}+\frac{3!}{1!}+\frac{4!}{2!}\\ \textrm{b}.\quad 5!&\textrm{f}.\quad \displaystyle \frac{10!}{6!}&\textrm{j}.\quad \displaystyle \frac{2!}{0!}\times \frac{3!}{1!}+\frac{4!}{2!}\\ \textrm{c}.\quad 0!+1!+2!+3!&\textrm{g}.\quad \displaystyle \frac{7!}{3!\times 4!}&\textrm{k}.\quad \displaystyle \frac{3\times 4!}{3!(5!-5!)}\\ \textrm{d}.\quad (2!)!+(3!)!&\textrm{h}.\quad \displaystyle \frac{13!}{12!+12!}&\textrm{l}.\quad \displaystyle \frac{3!+5!+7!}{4!+6!}\end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\\\ &\begin{array}{l}\\ \textrm{a}.\quad 3!=3.2.1=6\\ \textrm{b}.\quad 5!=5.4.3.2.1=120\\ \begin{aligned}\textrm{c}.\quad 0!+1!+2!+3!&=1+1+2+6\\ &=10 \end{aligned}\\ \begin{aligned}\textrm{d}.\quad (2!)!+(3!)!&=2!+6!\\ &=2+720\\ &=722 \end{aligned}\\ \textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{6!}{4!}=\frac{720}{24}=30\quad \textrm{atau}\quad \displaystyle \frac{6!}{4!}=\displaystyle \frac{6.5.\not{4}.\not{3}.\not{2}.\not{1}}{\not{4}.\not{3}.\not{2}.\not{1}}=6.5=30\\ \textrm{f}.\quad \displaystyle \frac{10!}{6!}=\frac{10.9.8.7.6.5.4.3.2.1}{6.5.4.3.2.1}=.... (\textrm{silahkan diselesaikan sendiri})\\ \textrm{g}.\quad \displaystyle \frac{7!}{3!\times 4!}=\frac{7.6.5.4.3.2.1}{(3.2.1)\times (4.3.2.1)}=.... (\textrm{silahkan juga diselesaikan sendiri})\\ \vdots \\ (\textrm{silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri}) \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Sederhanakanlah}\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}&\textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{1}{n!}+\frac{n}{(n+1)!}-\frac{1}{(n-1)!}\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{(n+2)!}{(n+1)!}&\textrm{f}.\quad \displaystyle \frac{(4n)!}{(4n+1)!}+\frac{(4n)!}{(4n-1)!}\\ \textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{(2n)!}{(2n+1)!}&\textrm{g}.\quad \displaystyle \frac{1}{n}-\frac{n!}{(n-1).(n-2)!}\\ \textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{(n+2)!}{(n^{2}+3n+2)}&\textrm{h}.\quad 1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!\end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\\\ &\begin{array}{l}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n.(n-1)!}{(n-1)!}=n\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{(n+2)!}{(n+1)!}=\frac{(n+2).(n+1)!}{(n+1)!}=n+2\\ \textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{(2n)!}{(2n+1)!}=\frac{(2n)!}{(2n+1).(2n)!}=\frac{1}{2n+1}\\ \textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{(n+2)!}{n^{2}+3n+2}=\frac{(n+2)!}{(n+2).(n+1)}=\frac{(n+2).(n+1).n!}{(n+2).(n+1)}=n!\\ \vdots \\ (\textrm{silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri sebagai latihan})\\ \vdots \\ \begin{aligned}\textrm{h}.\quad &1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!\\ & =(2-1).1!+(3-1).2!+(4-1).3!+(5-1).4!+...+(n+1-1).n!\\ &=2.1!+3.2!+4.3!+5.4!+...+(n+1).n!-1!-2!-3!-4!-...-n!\\ &=2!+3!+4!+5!+...+(n+1)!-\left ( 1!+2!+3!+4!+...+n! \right )\\ &=(n+1)!-1 \end{aligned} \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Sederhanakanlah bentuk penjumlahan berikut}\\ &\displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\cdots +\displaystyle \frac{100}{98!+99!+100!}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\\\ &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan}\, \: \textrm{bahwa}\\ &\displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}=\frac{3}{1+2+6}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\times \frac{2}{2}=\frac{2}{1\times 2\times 3}=\frac{2}{3!}=\frac{3-1}{3!}=\frac{3}{3!}-\frac{1}{3!}=\frac{3}{2!\times 3}-\frac{1}{3!}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\\ &\textrm{sehingga}\\ &\frac{3}{1!+2!+3!}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\\ &\displaystyle \frac{4}{2!+3!+4!}=\cdots =\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}\\ &\displaystyle \frac{5}{3!+4!+5!}=\cdots =\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}\\ &\vdots \\ &\displaystyle \frac{100}{98!+99!+100!}=\cdots =\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}\\ &---------------------------\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad =\frac{1}{2!}-\frac{1}{100!} \end{aligned} \end{array}$.

Contoh Soal Vektor di Dimensi Dua (Kelas X Matematika Peminatan) Bagian 2

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\color{blue}\textrm{Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ .\quad&\textrm{Nyatakanlah vektor-vektor di atas dalam}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{vektor kolom}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{vektor baris}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{vektor basis}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\textrm{Vektor di atas saat dinyatakan dengan}\\ &\begin{array}{|c|l|l|l|}\hline \textrm{No}&\quad\textrm{Kolom}&\qquad\textrm{Baris}&\qquad\textrm{Basis}\\\hline 1&\bar{a}=\begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}&\bar{a}=\begin{pmatrix} 2, & 4 \end{pmatrix}&\bar{a}=2\bar{i}+4\bar{j}\\\hline 2&\bar{b}=\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}&\bar{b}=\begin{pmatrix} 4, & 2 \end{pmatrix}&\bar{b}=4\bar{i}+2\bar{j}\\\hline 3&\bar{c}=\begin{pmatrix} 5\\ 0 \end{pmatrix}&\bar{c}=\begin{pmatrix} 5, & 0 \end{pmatrix}&\bar{c}=5\bar{i}\\\hline 4&\bar{d}=\begin{pmatrix} -2\\ -4 \end{pmatrix}&\bar{d}=\begin{pmatrix} -2, & -4 \end{pmatrix}&\bar{d}=-2\bar{i}-4\bar{j}\\\hline 5&\bar{e}=\begin{pmatrix} 0\\ -4 \end{pmatrix}&\bar{e}=\begin{pmatrix} 0, & -4 \end{pmatrix}&\bar{e}=-4\bar{j}\\\hline 6&\bar{f}=\begin{pmatrix} 3\\ -3 \end{pmatrix}&\bar{f}=\begin{pmatrix} 3, & -3 \end{pmatrix}&\bar{f}=3\bar{i}-3\bar{j}\\\hline \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5&\textrm{Tentukanlah panjang atau besar dari}\\ &\textrm{vektor-vektor berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \bar{a}=\begin{pmatrix} -4\\ 3 \end{pmatrix}\quad\quad\quad \textrm{d}.\quad \bar{d}=\begin{pmatrix} 6, &-8 \end{pmatrix}\\ &\textrm{b}.\quad \bar{b}=\begin{pmatrix} 5\\ 0 \end{pmatrix}\qquad\quad\quad \textrm{e}.\quad \bar{e}=2\bar{i}+4\bar{j}\\ &\textrm{c}.\quad \bar{c}=\begin{pmatrix} 4, & -6 \end{pmatrix}\: \qquad \textrm{f}.\quad \bar{f}=-5\bar{i}+12\bar{j}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\textrm{Lambang panjang suatu vektor adalah}:\\ &\color{red}\left | \begin{pmatrix} u_{1}\\ u_{2} \end{pmatrix} \right |=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}},\: \: \color{black}\textrm{maka}\\ &\bullet \: \left | \bar{a} \right |=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\\ &\bullet \: \left | \bar{b} \right |=\sqrt{5^{2}+0^{2}}=\sqrt{25}=5\\ &\bullet \: \left | \bar{c} \right |=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\\ &\bullet \: \left | \bar{d} \right |=\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\\ &\bullet \: \left | \bar{e} \right |=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\ &\bullet \: \left | \bar{f} \right |=\sqrt{(-5)^{2}+12^{2}}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13 \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 6&\textrm{Pada soal no.4 di atas dengan menggunakan}\\ &\textrm{aturan segitiga dan jajar genjang, gambarlah}\\ &\textrm{vektor-vektor berikut pada kertas berpertak}\\ &\textrm{a}.\quad \bar{a}+\bar{b}\qquad\qquad\qquad \textrm{d}.\quad \left ( \bar{a}+\bar{b} \right )+\bar{c}\\ &\textrm{b}.\quad \bar{b}+\bar{c}\, \qquad\qquad\qquad \textrm{e}.\quad 2\bar{a}+\bar{e}+2\bar{b}+3\bar{d}\\ &\textrm{c}.\quad \bar{a}+\left (\bar{b}+\bar{c} \right )\: \: \quad \qquad \textrm{f}.\quad 2\left ( \bar{a}+\bar{b}+\bar{c}+\bar{d}+\bar{e} \right )\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ \end{array}$

Contoh Soal Vektor di Dimensi Dua (Kelas X Matematika Peminatan) Bagian 1

Perhatikanlah gambar berikut untuk menjawab soal no.1

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika}\: \: \overline{XW}=\textbf{a}\: ,\: \overline{XY}=\textbf{b}\: ,\: \textrm{dan}\: \: \overline{YZ}=\textbf{c}\\ &\textrm{Nyatakan dalam vektor},\: \textbf{a},\: \textbf{b},\: \&\: \: \textbf{c}\\ &\textrm{untuk vektor-vektor berikut}\\ &\textrm{a}.\quad\overline{WY}\qquad\qquad\qquad \textrm{d}.\quad\overline{WZ}\\ &\textrm{b}. \quad\overline{XZ}\qquad\qquad\qquad \: \textrm{e}.\quad\overline{WM}\\ &\textrm{c}.\quad\overline{ZX}\qquad\qquad\qquad \: \: \textrm{f}.\quad\overline{MY}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\begin{aligned}\textrm{a}.\quad\overline{WY}&=\overline{WX}+\overline{XY}=\textbf{a}+\textbf{b}\\ \textrm{b}.\quad\overline{XZ}&=\overline{XY}+\overline{YZ}=\textbf{b}+\textbf{c}\\ \textrm{c}.\quad\overline{ZX}&=\overline{ZY}+\overline{YX}=-\textbf{c}+(-\textbf{b})=-\textbf{b}-\textbf{c}\\ &=-(\textbf{b}+\textbf{c})\\ &\textrm{atau}\\ \overline{ZX}&=-\overline{XZ}=-(\textbf{b}+\textbf{c})\\ \textrm{d}.\quad \overline{WZ}&=\overline{WX}+\overline{XY}+\overline{YZ}\\ &=\textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c}\\ \textrm{e}.\quad \overline{WM}&=\displaystyle \frac{1}{2}\overline{WZ}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c} \right )\\ \textrm{f}.\quad \overline{MY}&=\overline{MZ}+\overline{ZY}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\overline{WZ}+\overline{ZY}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c} \right )+(-\textbf{c})\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c} \right )-\textbf{c}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \textbf{a}+\textbf{b}-\textbf{c} \right )\end{aligned} \end{array}$

Perhatikanlah gambar berikut untuk menjawab soal no.2

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: \overline{PQ}=\textbf{a}\: ,\: \overline{QR}=\textbf{b}\: ,\: \textrm{dan}\: \: \overline{RS}=\textbf{c}\\ &\textrm{dan titik}\: \: \textbf{E}\: \: \textrm{dan}\: \: \textbf{F}\: \: \textrm{adalah titik tegah}\\ &\overline{RS}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{QS},\\ &\textrm{nyatakanlah dalam vektor},\: \textbf{a},\: \textbf{b},\: \&\: \: \textbf{c}\\ &\textrm{untuk vektor-vektor berikut}\\ &\textrm{a}.\quad\overline{PR}\qquad\qquad\qquad \textrm{e}.\quad\overline{PF}\\ &\textrm{b}. \quad\overline{RP}\qquad\qquad\qquad \textrm{f}.\quad\overline{SF}\\ &\textrm{c}.\quad\overline{PS}\qquad\qquad\qquad \: \textrm{g}.\quad\overline{FR}\\ &\textrm{d}.\quad\overline{QE}\qquad\qquad\qquad \textrm{h}.\quad\overline{EF}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\begin{aligned}\textrm{a}.\quad\overline{PR}&=\overline{PQ}+\overline{QR}=\textbf{a}+\textbf{b}\\ \textrm{b}.\quad\overline{RP}&=\overline{RQ}+\overline{QP}=-\textbf{b}-\textbf{a}=-\left ( \textbf{a}+\textbf{b} \right )\\ \textrm{c}.\quad\overline{PS}&=\overline{PQ}+\overline{QR}+\overline{RS}=\textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c}\\ \textrm{d}.\quad \overline{QE}&=\overline{QR}+\overline{RE}=\overline{QR}+\displaystyle \frac{1}{2}\overline{RS}\\ &=\textbf{b}+\displaystyle \frac{1}{2}\textbf{c}\\ \textrm{e}.\quad \overline{PF}&=\overline{PQ}+\overline{QF}=\overline{PQ}+\displaystyle \frac{1}{2}\overline{QS}\\ &=\overline{PQ}+\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \overline{QR}+\overline{RS} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 2\textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c} \right )\\ \textrm{f}.\quad \overline{SF}&=\displaystyle \frac{1}{2}\overline{SQ}=\displaystyle \frac{1}{2}\left (\overline{SR}+\overline{RQ} \right )=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( -\textbf{c}+(-\textbf{b}) \right )\\ &=-\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \textbf{b}+\textbf{c} \right )\\ \textrm{g}.\quad \overline{FR}&=\overline{FQ}+\overline{QR}=\displaystyle \frac{1}{2}\overline{SQ}+\overline{QR}\\ &=-\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \textbf{b}+\textbf{c} \right )+\textbf{b}=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \textbf{b}-\textbf{c} \right )\\ \textrm{h}.\quad \overline{EF}&=\overline{ES}+\overline{SF}=\displaystyle \frac{1}{2}\overline{RS}+\displaystyle \frac{1}{2}\overline{SQ}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\textbf{c}+\left ( -\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \textbf{b}+\textbf{c} \right ) \right )=-\displaystyle \frac{1}{2}\textbf{b} \end{aligned} \end{array}$

$\color{red}\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Perhatikanlah gambar berikut} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ .\quad&\textrm{Jika pada titik P bekerja 3 buah gaya}\\ &\textrm{seperti pada gambar di bawah, lukislah}\\ &\textrm{vektor}\\ &\qquad\qquad \textbf{r}=\textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Dengan aturan poligon kita akan}\\ &\textrm{mendapatkan gambar berikut} \end{array}$

Materi Vektor Lanjutan 2 (Kelas X Matematika Peminatan)

$\color{blue}\textrm{K. Operasi Vektor}$

$\color{blue}\textrm{1. Penjumlahan}$

$\color{blue}\textrm{1. 1 Secara Geometri}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Penjumlahan di atas adalah penjumlahan menurut aturan segitiga,

perhatikan pula pemisalan berikut

$\begin{aligned}&\textrm{Menurut aturan segitiga}\\ &\overline{AB}+\overline{BC}=\bar{a}+\bar{b}=\overline{AC},\quad \color{red}\textrm{Selanjutnya}\\ &\overline{AC}+\overline{CD}=\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}=\overline{AD},\quad \color{red}\textrm{maka}\\ &\overline{AD}+\overline{DE}=\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}+\bar{d}=\overline{AE} \end{aligned}$

Pada penjumlahan dengan vektor adalah tetap (tidak berubah)

$\begin{aligned} &\overline{a}+\overline{0}=\overline{0}+\overline{a}=\overline{a}\\ &\textrm{Sehingga vektor nol disebut sebagai}\\ &\color{red}\textbf{elemen identitas} \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{1. 2 Secara Aljabar}$

Misal

$\begin{aligned} &\overline{a}=\begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{b}=\begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2} \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka secara aljabar}\\ &\color{red}\overline{a}+\overline{b}=\begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_{1}+x_{2}\\ y_{1}+y_{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$

Perhatikan kembali gambar berikut (lihat pada pembahasan sebelumnya)

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

Titik A(-3,4) , B(-2,1) , C(1,1) , D(5,4) , E(7,3) & F(3,1)

$\begin{aligned} &\overline{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{CD}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ &\color{red}\overline{AB}+\overline{CD}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+4\\ (-3)+3 \end{pmatrix}=\color{blue}\begin{pmatrix} 5\\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$

Dan untuk contoh yang lain adalah:

$\begin{aligned} &\overline{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}\: ,\: \overline{CD}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{EF}=\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ &\color{red}\overline{AB}+\overline{CD}+\overline{EF}\\ &=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1+4+(-4)\\ (-3)+3+(-2) \end{pmatrix}=\color{blue}\begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix} \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{2. Pengurangan}$

$\color{blue}\textrm{2. 1 Secara Geometri}$

Pada pengurangan vektor $\overline{a}\: \: \: \color{red}\textrm{oleh}\: \: \: \color{black}\overline{b}$ dapat didefinisikan sebagai:

$\overline{a}-\overline{b}=\overline{a}+\left ( -\overline{b} \right )$. Perhatikanlah ilustrasi secara geometri berikut:

$\color{blue}\textrm{2. 2 Secara Aljabar}$

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\: \: \: \overline{a}=\begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{b}=\begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2} \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka}\: \: -\overline{b}=\begin{pmatrix} -x_{2}\\ -y_{2} \end{pmatrix}\\ &\color{red}\textrm{Selanjutnya}\\ &\overline{a}-\overline{b}=\overline{a}+\left ( -\overline{b} \right )=\color{red}\begin{pmatrix} x_{1}-x_{2}\\ y_{1}-y_{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

Pada contoh soal bahasan penjumlahan di atas, perhatikan lagi bahwa

Titik A(-3,4) , B(-2,1) , C(1,1) , D(5,4) , E(7,3) & F(3,1)

$\begin{aligned} &\overline{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{CD}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ &\color{red}\overline{AB}-\overline{CD}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4\\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-4\\ (-3)-3 \end{pmatrix}=\color{blue}\begin{pmatrix} -3\\ -6 \end{pmatrix} \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{3. Perkalian dengan Skalar}$

$\color{blue}\textrm{3. 1 Secara Geometri}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut!

$\color{blue}\textrm{3. 2 Secara Aljabar}$

Perkalian suatu skalar dengan suatu vektor tergantung pada skalarnya. Jika suatu skalar k dengan $\color{red}k>0$, maka perkalian ini akan menghasilkan vektor baru yang besarnya sekian k kali dari vektor semula atau $\color{red}k\left | \overline{a} \right |$ dan arahnya searah dengan vektor yang dikalikan. Demikian sebaliknya, jika nilai $\color{red}k<0$, maka besar vektor hasil perkaliannya adalah $\color{red}k\left | \overline{a} \right |$ dengan arah yang berlawanan dari vektor semula.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

Misalkan diketahui vektor-vektor sebagai berikut:

$\begin{aligned} &\overline{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}\: ,\: \overline{CD}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{EF}=\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ &\textrm{dengan muculnya skalar adalah}:\\ &\color{red}3\overline{AB}+4\overline{CD}-5\overline{EF}\\ &=3\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}+4\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}-5\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 3.1+4.4+(-5).(-4)\\ 3.(-3)+4.3+(-5).(-2) \end{pmatrix}=\color{blue}\begin{pmatrix} 39\\ 13 \end{pmatrix} \end{aligned}$

DAFTAR PUSTAKA

Kuntarti, Sulistiyono, & Kurnianingsih, S. 2005. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XII Program Ilmu Alam. Jakarta: PT. Gelora Aksara Pratama

Materi Vektor Lanjutan (Kelas X Matematika Peminatan)

$\color{blue}\textrm{D. Modulus Vektor}$

Modulus suatu vektor adalah ukuran (panjang) suatu vektor. Dalam hal ini modulus suatu vektor adalah besar/panjang suatu vektor.

Lihat pada pembahasan sebelumnya tentang panjang vektor di $\color{red}\textrm{R}^{2}$ di sini.

Dalam menuliskan modulus/panjang vektor ini digunakan notasi $\left | \overline{a} \right |$ jika vektornya $\overline{a}$.

Bila $\color{red}\overline{a}=\begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{pmatrix},\: \: \color{black}\textrm{maka}\: \: \color{red}\left | \overline{a} \right |=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

Tentukanlah modulus/panjang vektor $\overline{u}$ ?

Jawab:

$\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa vektor}\: \: \color{red}\overline{u}=\begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka modulus vektor}\: \: \overline{u}\\ &=\left | \overline{u} \right |\\ &=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}\\ &=\color{red}2\sqrt{13} \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{E. Vektor Posisi dan Vektor Bebas}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Vektor yang titik pangkalnya berada di titik O(0,0), maka vektor tersebut dinamakan vektor posisi. Pada gambar di atas titik A rekatif terhadapa O(0,0), maka $\color{red}\overline{OA}$ disebut vektor posisi A terhadap titik O(0,0) dan vektor yang lainnya dinamakan vektor bebas. Pada gambar di atas $\color{red}\overline{BC}\: \&\: \overline{DF}$ adalah contoh vektor bebasnya.

$\color{blue}\textrm{F. Kesamaan Dua Vektor}$

Perhatikanlah dua vektor bebas pada gambar di atas, cukup jelas secara geometri tampak panjang vektor $\color{red}\overline{BC}\: \&\: \overline{DF}$ sama. Dan secara aljabar dapat ditunjukkan juga bahwa:

$\color{red}\overline{BC}=\begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix}\: \&\: \color{red}\overline{DF}=\begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix}$.

$\begin{aligned}&\textbf{Secara aljabar}\: \textrm{pula dua vektor}\\ &\textrm{dikatakan sama, jika komponen}\\ &\textrm{komponen yang bersesuaian sama}\\ &\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2} \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases} a_{1} & =b_{1} \\ a_{2} & =b_{2} \end{cases} \end{aligned}$.

Secara definisi

$\overline{a}=\overline{b}\: \: \begin{cases} \bullet & \left | \overline{a} \right |=\left | \overline{b} \right | \\\\ \bullet & \textrm{arah}\: \: \overline{a}=\textrm{arah}\: \: \overline{b} \end{cases}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{aligned}1.\quad&\textrm{Tentukan nilai}\: x\: \textrm{dan}\: y\: \textrm{jika}\: \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ 5 \end{pmatrix}\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Jelas bahwa jawabannya adalah}\\ &x=2,\: \textrm{dan}\: y=5 \end{aligned}$.

$\begin{aligned}2.\quad&\textrm{Tentukan nilai}\: x\: \textrm{dan}\: y\: \textrm{jika}\: \begin{pmatrix} x+y\\ x-y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9\\ 1 \end{pmatrix}\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Jelas bahwa jawabannya adalah}\\ &x+y=9\\ &x-y=1\\ &------\quad \: +\\ &2x\quad =10\\ &\qquad x=\displaystyle \frac{10}{2}=5\\ &\textrm{dan}\: \: x+y=9\Leftrightarrow 5+y=9\Leftrightarrow v=9-5=4\\ &\textrm{Jadi},\: \: x=5,\: \: \textrm{dan}\: \: y=4 \end{aligned}$.

$\color{blue}\textrm{G. Vektor Negatif}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

$\color{red}\overline{a}=\begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix}\: \color{black}\&\: \: \color{red}\overline{b}=\color{black}\begin{pmatrix} -4\\ -6 \end{pmatrix}=-\color{red}\begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix}$

Vektor $\color{red}-\: \overline{a}=\overline{b}$ memiliki ukuran yang sama dengan $\overline{a}$.

Selanjutnya vektor $\color{red}\overline{a}=-\: \overline{b}\: \: \color{black}\textrm{maka}\: \: \color{red}\left | \overline{a} \right |=\left | \overline{b} \right |$

$\color{blue}\textrm{H. Vektor Satuan}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Jika diketahui $\color{red}\overline{a}\: \color{black}\&\: \: \color{red}\overline{b}$ seperti gambar di atas, maka

$\begin{cases} \color{red}\displaystyle \frac{\overline{a}}{\left | \overline{a} \right |} & \color{black}\textrm{adalah vektor satuan dari vektor}\: \: \: \color{red}\overline{a} \\\\ \color{red}\displaystyle \frac{\overline{b}}{\left | \overline{b} \right |} & \color{black}\textrm{adalah vektor satuan dari vektor}\: \: \: \color{red}\overline{b} \end{cases}$

Dan panjang dari vektor satuan ini adalah selalu satu satuan.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

Tentukanlah vektor satuan dari dua vektor pada gambar di atas?

Jawab:

$\begin{cases} \color{red}\displaystyle \frac{\overline{a}}{\left | \overline{a} \right |} & \color{black}=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} -2\\ 5 \end{pmatrix}}{\sqrt{(-2)^{2}+5^{2}}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{29}}\begin{pmatrix} -2\\ 5 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{1}{29}\sqrt{29}\begin{pmatrix} -2\\ 5 \end{pmatrix} \\\\ \color{red}\displaystyle \frac{\overline{b}}{\left | \overline{b} \right |} & \color{black}=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 6\\ 4 \end{pmatrix}}{\sqrt{6^{2}+4^{2}}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{52}}\begin{pmatrix} 6\\ 4 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{1}{26}\sqrt{52}\begin{pmatrix} 6\\ 4 \end{pmatrix} \end{cases}$

$\color{blue}\textrm{I. Vektor Basis}$

Vektor satuan yang saling tegak lurus. Didalam ruang dimensi dua terdapat dua vektir basis., yaitu:

$\bar{i}=\color{red}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\: \: \color{black}\textrm{dan}\: \: \bar{j}=\color{blue}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan vektor}\: \: \bar{u}=\color{red}\begin{pmatrix} u_{1}\\ u_{2} \end{pmatrix}\\ &\textrm{dapat dinyatakan dalam kombinasi linear}\\ &\textrm{vektor basis}\: \: \bar{i}\: \: \textrm{dan}\: \: \bar{j}\: \: \textrm{di atas, yaitu}\\ &\bar{u}=\begin{pmatrix} u_{1}\\ u_{2} \end{pmatrix}=u_{1}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}+u_{2}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka akan menjadi}\\ &\bar{u}=u_{1}\bar{i}+u_{2}\bar{j}\\ &\textrm{SEBAGAI CONTOH}\\ &\overline{AB}=\begin{pmatrix} 5\\ 8 \end{pmatrix}\: \: \color{blue}\textrm{dalam vektor basis menjadi}\\ &\overline{AB}=5\bar{i}+8\bar{j}\\ &\textrm{Demikian juga jika}\\ &\overline{CD}=\begin{pmatrix} -3\\ -8 \end{pmatrix}\: \: \color{red}\textrm{dalam vektor basis menjadi}\\ &\overline{AB}=-3\bar{i}-8\bar{j}\\ \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{J. Vektor Nol}$

Jika vektor $\overline{a}=\overline{b}$ , maka $\overline{a}-\overline{b}=0$.

$\textbf{0}$ disebut sebagai vektor ol.

Sebagai tabahan penjelasan vektor $\textbf{0}$ tidak mempunyai besar dan arahnya tak tentu.

Vektor (Kelas X Matematika Peminatan)

$\color{blue}\textrm{A. Pendahuluan}$

Vektor adalah besaran yang memiliki panjang/besar sekaligus memiliki arah. Secara geometri, vektor digambarkan dengan anak panah (ruas garis berarah) yang mana memiliki titik pangkal dan titik ujung.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Perhatikanlah vektor b pada gambar di atas. Vektor tersebut dilambangkan dengan sebuah huruf b kecil tebal yang memiliki titik pangkal pada koordinat kartesius di titik $\left ( \displaystyle -\frac{5}{2},-\frac{3}{2} \right )$ dan berujung di titik $\left ( \displaystyle -1,2 \right )$ . Selain vektor b dituliskan dengan sebuah huruf kecil tercetak tebal dapat juga dituliskan dengan sebuah huruf kecil tanpa tercetak tebal tapi diberi anak panah kecil atau ruas garis di atasnya, yaitu : $\vec{a},\: \bar{a}$.

$\color{red}\textrm{Berikut cara penulisan notasi vektor}$

Menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya ada anak panah, misalnya $\overline{PQ},\: \overline{RS},\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{AZ}$
Menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya diberikan anak panah, seperti $\overrightarrow{PQ},\: \overrightarrow{RS},\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{AZ}$
Menggunakan sebauah huruf kecil tercetak tebal seperti pembahasan sebelumnya di atas, yaitu : $\textbf{a},\: \textbf{b},\: \textbf{c},\: \textbf{d},\: \: \textrm{dan}\: \: \textbf{e}$
Menggunakan sebuah huruf kecil yang di atsnya diberikan anak panah, misalnya: $\vec{a},\: \vec{b},\: \vec{c},\: \vec{d},\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{e}$
Menggunakan sebuah huruf kecil yang bawahnya diberi garis
Menggunakan sebuah huruf kecil yang di atasnya diberi ruas garis, seperti $\bar{a},\: \bar{b},\: \bar{c},\: \bar{d},\: \: \textrm{dan}\: \: \bar{e}$

$\color{blue}\textrm{B. Vektor pada}\: \: \textrm{R}^{2}$

Vektor di $\color{blue}\textrm{R}^{2}$ adalah sebuah vektor yang diwakili oleh sebuah garis berarah dalam sebuah bidang datar atau Cartesius.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Misalkan pada salah satu vektor pada gambar di atas, ambil contoh $\overline{AB}$ . Vektor tersebut dilambangkan secara geometri dengan $\overline{AB}$ dan dibaca "vektor AB" yang berarti "vektor dari titik A ke titik B", dengan titik A sebagai titik pangkal dan B sebagai titik ujung. Sedangkan penulisan vektor secara aljabar dapat dinyatakan dalam matriks kolom atau matrik baris.

Pada $\color{blue}\textrm{R}^{2}$ (penulisan vektor pada ruang dimensi dua) penulisan vektor ini dituliskan dengan $\overline{AB}$, dengan

$\overline{AB}=\begin{pmatrix} \textrm{komponen horisontal}\\ \textrm{komponen vertikal} \end{pmatrix}$

Sehingga pada ilustrasi gambar di atas vektor-vektorya dapat dituliskan sebagai:

$\overline{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix},\: \: \overline{CD}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix},\: \: \&\: \: \overline{EF}=\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}$

atau

$\overline{AB}=\begin{bmatrix} 1, & -3 \end{bmatrix},\: \: \overline{CD}=\begin{bmatrix} 4, & 3 \end{bmatrix},\: \: \&\: \: \overline{EF}=\begin{bmatrix} -4, & -2 \end{bmatrix}$

$\color{blue}\textrm{C. Panjang Vektor}$

Panjang suatu vektor dilambangkan dengan tanda harga mutlak. Misal pada gambar di atas pada bahasan vekor di $\color{blue}\textrm{R}^{2}$, yaitu:

$\left | \overline{AB} \right |,\: \left | \overline{CD} \right |,\: \: \&\: \: \left | \overline{EF} \right |$.

Misalkan suatu vektor $\bar{u}$ dengan $\bar{u}=\begin{pmatrix} u_{1}\\ u_{2} \end{pmatrix}$, maka panjang dari vektor $\bar{u}$ ini dapat ditentukan dengan

= $\left | \bar{u} \right |=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}$.

Sehingga pada gambar di atas, panjang/besar vektornya dapat kita tentukan, yaitu:

$\begin{aligned}\bullet \: \left | \overline{AB} \right |&=\color{red}\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{1+9}\\ &=\sqrt{10}\\ \bullet \: \left | \overline{CD} \right |&=\color{red}\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}\\ &=\sqrt{25}=5\\ \bullet \: \left | \overline{EF} \right |&=\color{red}\sqrt{(-4)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16+4}\\ &=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

1. Perhatikanlah gambar berikut

$\begin{array}{ll}\\ . &\textrm{Nyatakan vektor pada gambar di atas}\\ &\textrm{secara aljabar dan tentukan panjangnya}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{ll}\\ \bullet &\textrm{Secara aljabar dinyatakan}\\ &\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} 6\\ -1 \end{pmatrix}=(6,-1)\\ &\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 10\\ 5 \end{pmatrix}=(10,5)\\ &\overrightarrow{c}=\begin{pmatrix} -3\\ -6 \end{pmatrix}=(-3,-6)\\ \bullet &\textrm{Besar/panjang vektornya adalah}\\ &\left | \overrightarrow{a} \right |=\sqrt{6^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}\\ &\left | \overrightarrow{b} \right |=\sqrt{10^{2}+5^{2}}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}\\ &\left | \overrightarrow{c} \right |=\sqrt{(-3)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{9+36}\\ &\quad =\sqrt{45}=3\sqrt{5} \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan panjang vektor berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix},\qquad\qquad\qquad \textrm{b}.\quad\begin{pmatrix} 6\\ 9 \end{pmatrix}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\left | \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix} \right |=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\\\ &\left | \begin{pmatrix} 6\\ 9 \end{pmatrix} \right |=\sqrt{6^{2}+9^{2}}=\sqrt{36+81}=\sqrt{117} \end{array}$

Kedudukan Titik terhadap Lingkaran (Kelas XI)

$\color{blue}\textrm{D. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran }$.

Kedudukan sebuah titik terhadap sebuah lingkaran yang berpusat di O(0,0) memiliki 3 kemungkinan, yaitu:

jika titik A(x,y) di dalam lingkaran, maka berlaku $x^{2}+y^{2}<r^{2}$.
jika titik A(x,y) pada lingkaran, maka berlaku $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, dan
jika titik A(x,y) di luar lingkaran, maka berlaku $x^{2}+y^{2}>r^{2}$.

Demikian juga kedudukan sebuah titik terhadap sebuah lingkaran yang berpusat di $(a,b)$ memiliki 3 kemungkinan, yaitu:

jika titik A(x,y) di dalam lingkaran, maka berlaku $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<r^{2}$ atau $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C<0$.
jika titik A(x,y) pada lingkaran, maka berlaku $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ atau $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$.
jika titik A(x,y) di luar lingkaran, maka berlaku $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}>r^{2}$ atau $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C>0$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sebuah lingkaran yang berpusat pada }\\ &\textrm{pangkal koordinat}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Tentukanlah persamaan lingkaran }\\ &\qquad\textrm{yang berjari-jari 5}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Gambarlah lingkaran (pada soal a.) }\\ &\qquad\textrm{pada kertas grafiks}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Lukislah titik-titik dari},\\ &\qquad A(2,3),\: B(4,3),\: \: \textrm{dan}\: \: C(3,6).\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{Nyatakan kedudukan titik-titik}\\ &\qquad A,\: B,\: \textrm{dan}\: C\: \textrm{terhadap lingkaran. }\\ &\qquad\textrm{Di dalam, pada, atau}\\ &\qquad\textrm{beradakah di luar lingkaran}\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikanlah ilustrasi berikut} \end{array}$.

$\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Diketahui}\: \: r=5\\ &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}=5^{2}\\ &\qquad\qquad \updownarrow\\ &x^{2}+y^{2}=25\\ &\textrm{atau}\\ &L\equiv \left \{ (x,y)|x^{2}+y^{2}=25 \right \} \end{aligned}\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Lihat gambar di atas}\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{Lihat juga gambar di atas}\\ \textrm{d}.\quad&\textrm{Dari gambar jelas bahwa}:\\ &\begin{matrix} \bullet \quad \textrm{Titik}\: \: A(2,3)\: \textrm{berada di dalam lingkaran}\\ \textrm{atau}:(2)^{2}+(3)^{2}=4+9=13<\color{red}25\\ \bullet \quad \textrm{Titik}\: \: A(4,3)\: \textrm{berada pada lingkaran}\: \: \: \: \: \: \: \\ \textrm{atau}:(4)^{2}+(3)^{2}=16+9=25=\color{red}25\\ \bullet \quad \textrm{Titik}\: \: A(3,6)\: \textrm{berada di luar lingkaran}\: \: \: \,\\ \textrm{atau}:(3)^{2}+(6)^{2}=9+36=45>\color{red}25\\ \end{matrix} \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah persamaan lingkaran}\\ &\textrm{yang berpusat di pangkal koordinat}\\ &\textrm{dan melalui titik}\: \: P(5,-3)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \textrm{pusat lingkaran di pangkal }\\ \textrm{koordinat}&\: \: O(0,0)\: \: \textrm{serta lingkaran}\\ \textrm{yang mela}&\textrm{lui titik}\: \: P(5,-3),\: \textrm{maka}\\ r&=\sqrt{(x_{p}-0)^{2}+(y_{p}-0)^{2}}\\ &=\sqrt{5^{2}+(-3)^{2}}\\ &=\sqrt{25+9}\\ &=\sqrt{34}\\ \textrm{Sehingga }&,\: \textrm{persamaan lingkarannya adalah}\\ L&\equiv x^{2}+y^{2}=r^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=\color{red}34 \end{aligned}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika SMA Kelas 2. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
Wirodikromo, S. 2007. Matematika Jilid 2 IPA untuk Kelas XI. Jakarta: ERLANGGA.

Lingkaran (Matematika Peminatan Kelas XI)

$\color{blue}\textrm{A. Definisi Lingkaran}$.

Secara definisi lingkaran adalah tempat kedudukam titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Selanjutnya titik tertentu disebut sebagai pusat lingkaran sedangkan jarak yang salalu sama terhadapa titik tertentu tersebut disebut sebagai jari-jari atau radius (r).

Sebagai ilustrasi berikut diberikan gambar berkaitan kedudukan titik-titik tersebut

$\color{blue}\textrm{B. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0,0) }$.

Persamaan sebuah lingkaran dengan dengan jari-jari $r$ dan berpusat di titik pusat koordinat dapat dilustrasikan sebagai berikut

Misalkan sebuah titik $\textrm{P}(x,y)$ terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di O(0,0). Dan titik $\textrm{P}'(x,0)$ adalah proyeksi titik P pada sumbu-X sehingga $\bigtriangleup \textrm{OP}'\textrm{P}$ berupa sebuah segitiga siku-siku di $\textrm{P}'$. Dengan rumus Pythagoras kita mendapatkan

$\begin{aligned}&OP^{2}=(OP')^{2}+(PP')^{2}\\ &\Leftrightarrow \: r^{2}=x^{2}+y^{2}\\ &\Leftrightarrow r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \end{aligned}$

Untuk lebih memudahkan pemahaman Anda, perhatikanlah ilustrasi berikut

Sehingga dapat disimpulkan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) adalah:

$\begin{array}{|ccc|}\hline &&\\ &\color{red}x^{2}+y^{2}=r^{2}&\\ &&\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan persamaan lingkaran yang }\\ & \textrm{berpusat di O dan berjari-jari}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui pusat lingkaran di O}\\ &\textrm{dengan jarijari}\: \: r=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}\\ &\textrm{Persamaan lingkarannya adalah}:\\ &\color{red}x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+y^{2}=\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10} \right )^{2}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+y^{2}=\displaystyle \frac{10}{4},\quad \textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+y^{2}=\displaystyle \frac{5}{2}\\ &\textrm{Jadi, persamaan lingkarannya}\\ &\textrm{adalah}\: \: \: x^{2}+y^{2}=\displaystyle \frac{5}{2} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran}\\ & \textrm{yang memenuhi persamaan}\: \: \\ &x^{2}+y^{2}=6\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\\ &\: \: x^{2}+y^{2}=6\\ &\textrm{maka }\\ &\bullet \: \: \textrm{pusat lingkaran adalah O}\\ &\qquad\color{red}x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\bullet \: \: \textrm{dengan jari-jarinya adalah}\\ &\qquad r^{2}=6\Rightarrow \color{red}r=\sqrt{6}\\ &\textrm{Jadi, pusat lingkaran di O dengan}\\ &\textrm{jari-jari sebesar}\: \: r=\sqrt{6} \end{aligned} \end{array}$.

$\color{blue}\textrm{C. Persamaan Lingkaran Berpusat di (a,b)}$.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Pada ilustrasi gambar di atas ditunjukkan sebuah lingkaran berpusat di $N(a,b)$ dengan jari-jari $r$, misalkan kita ambil sebuah titik $P(x,y)$ pada keliling lingkaran, maka $NP=r$.

$\begin{aligned}&\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=r^{2}\\ &\color{red}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\ &\textrm{persamaan di atas adalah}\: \: \textbf{Bentuk Umum}\\ &\textrm{dari}\: \: \textbf{Persamaan Lingkaran}\: \: \textrm{yang}\\ &\textrm{berpusat di}\: \: (a,b) \end{aligned}$

Selanjutnya perhatikanlah rangkuman berikut

$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \textrm{Lingkaran} &x^{2}+y^{2}=r^{2}&(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}\\\hline \textrm{Pusat}&(0,0)&(p,q)\\\hline \textrm{Jari-jari}&r&r\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Pesamaan garis}\\ &\textrm{singgung melalui}\\ &\textrm{titik}\: \: (x_{1},y_{1})\\ &\textrm{pada lingkaran} \end{aligned}&x_{1}x+y_{1}y=r^{2}&\begin{aligned}&(x_{1}-p)(x-p)\\ &\: +(y_{1}-q)(y-q)=r^{2} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung dengan}\\ &\textrm{gradien}\: \: m \end{aligned}&\begin{aligned}&y=mx\\ &\: \pm r\sqrt{m^{2}+1} \end{aligned}&\begin{aligned}&(y-q)=m(x-a)\\ &\: \pm r\sqrt{m^{2}+1} \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

Kusus untuk yang pusat $(a,b)$ adalah:

$\begin{array}{|l|c|}\hline \textrm{Lingkaran} &x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\\\hline \textrm{Pusat}&\left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )\\\hline \textrm{Jari-jari}&r=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\left ( A^{2}+B^{2} \right )-C}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Pesamaan garis}\\ &\textrm{singgung melalui}\\ &\textrm{titik}\: \: (x_{1},y_{1})\\ &\textrm{pada lingkaran} \end{aligned}&\begin{aligned}&x_{1}x+y_{1}y\\ &\: +\displaystyle \frac{A}{2}(x_{1}+x)\\ &\: +\displaystyle \frac{B}{2}(y_{1}+y)+C=0 \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung dengan}\\ &\textrm{gradien}\: \: m \end{aligned}&\begin{aligned}&y+\frac{1}{2}B=m(x+\frac{1}{2}A)\\ &\: \pm \sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\left ( A^{2}+B^{2} \right )-C}.\sqrt{m^{2}+1} \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan persamaan lingkaran yang }\\ & \textrm{berpusat di (0,-2) dan berjari-jari}\: \: 5\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui pusat lingkaran berpusat}\\ &\textrm{di}\: \: (0,-2)\: \: \textrm{dan berjari-jari}\: r=5\\ &\textrm{Persamaan lingkarannya adalah}:\\ &\color{red}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\ &\Leftrightarrow \: (x-0)^{2}+(y-(-2))^{2}=\left ( 5 \right )^{2}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+(y+2)^{2}=25,\quad \textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+y^{2}+4y+4=25\\ &\textrm{Jadi, persamaan lingkarannya}\\ &\textrm{adalah}\: \: \: x^{2}+y^{2}+4y-21=0 \end{aligned} \end{array}$,

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan persamaan lingkaran}\\ & \textrm{yang berpusat di titik}\: \: M(1,3)\\ &\textrm{dan melalui titik}\: \: N(-2,5)\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui jari-jari lingkaran}\\ &r=MN=\sqrt{(x_{M}-x_{N})^{2}+()^{2}}\\ &\Leftrightarrow \: \: =\sqrt{(-2-1)^{2}+(5-3)^{2}}\\ &\Leftrightarrow \: \: =\sqrt{(-3)^{2}+2^{2}}\\ &\Leftrightarrow \: \: =\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\\ &\textrm{maka}\\ &\textrm{persamaan lingkarannya adalah}\\ &(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=r^{2}\\ &\Leftrightarrow \: (x-1)^{2}+(y-3)^{2}=\left ( \sqrt{13} \right )^{2}\\ &\Leftrightarrow \: (x-1)^{2}+(y-3)^{2}=13\\ &\textrm{Jadi, jari-jari lingkarannya}\\ &\textrm{adalah}\: \: \sqrt{13}\: .\: \textrm{Dan persamaan}\\ &\textrm{lingkarannya adalah}:\: (x-1)^{2}+(y-3)^{2}=13 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah pusat dan jari-jari lingkaran berikut?}\\ &\textrm{a}.\quad L\equiv (x+1)^{2}+(y+2)^{2}=9\\ &\textrm{b}.\quad L\equiv (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=9\\ &\textrm{c}.\quad L\equiv (x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9\\ &\textrm{d}.\quad L\equiv (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9\\ &\textrm{e}.\quad L\equiv (x+3)^{2}+(y-3)^{2}=9\\ &\textrm{f}.\quad L\equiv (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25\\ &\textrm{g}.\quad L\equiv (x-1)^{2}+y^{2}=27\\ &\textrm{h}.\quad L\equiv x^{2}+(y-1)^{2}=27\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &L\equiv (x+1)^{2}+(y+2)^{2}=9,\: \: \textrm{pusat di}\: \: (-1,-2)\\ &\textrm{dan jari-jarinya adalah}\: \: \sqrt{9}=3\\ &\textrm{Soal yang belum dibahas silahkan }\\ &\textrm{diselesaikan sendiri sebagai latihan} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukanlah pusat dan jari-jari dari }\\ &\textrm{persamaan lingkaran}\\\ & L\equiv 2x^{2}+2y^{2}-2x+6y-3=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Persamaan lingkaran}\\\ & L\equiv 2x^{2}+2y^{2}-2x+6y-3=0\\ &\Leftrightarrow \color{blue}x^{2}+y^{2}-x+3y-\displaystyle \frac{3}{2}=0\color{red}\begin{cases} A & =-1 \\ B & =3 \\ C & =-\displaystyle \frac{3}{2} \end{cases}\\ &\textrm{maka}\: \: \begin{cases} \textrm{Pusat} & =\left ( -\displaystyle \frac{-1}{2},- \frac{3}{2}\right )=\left ( \displaystyle \frac{1}{2},-\frac{3}{2} \right ) \\ \textrm{Jari-jari} & =r=\sqrt{\displaystyle \frac{(-1)^{2}}{4}+\frac{3^{2}}{4}-\left ( -\frac{3}{2} \right )}\\ &=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{9}{4}+\frac{6}{4}}=\sqrt{4}=2 \end{cases}\\ &\textrm{Jadi, lingkaran}\: \: 2x^{2}+2y^{2}-2x+6y-3=0\\\ & \textrm{berpusat di} \: \: \left ( \displaystyle \frac{1}{2},-\frac{3}{2} \right )\: \: \textrm{dan berjari-jari}\: \: 2\end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\\\ &L\equiv 2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30=0\\ & \textrm{dan melalui titik}\: \: (-2,1).\: \textrm{Tentukanlah }\\ &\textrm{persamaan lingkaran baru yang} \\ &\textrm{kosentris(sepusat) dan panjang jari-jarinya}\\ &\textrm{dua kali panjang jari-jari lingkaran semula?}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\\ &2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30=0,\: \: \textrm{melalui}\\ &(-2,1), \: \: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}&\textrm{kita tentukan harga}\: \: p\: \: \textrm{dulu, yaitu}:\\ &2(-2)^{2}+2(1)^{2}-4(-2)+3p(1)-30=0\\ &\Leftrightarrow \: \: 8+2+8+3p-30=0\\ &\Leftrightarrow \: \: 3p=12\\ &\Leftrightarrow \: \: \color{red}p=4 \end{aligned}\\ &\textrm{Akibatnya persamaan lingkaran menjadi}\\ &\begin{aligned}&2x^{2}+2y^{2}-4x+12y-30=0\\ &\Leftrightarrow \: \: x^{2}+y^{2}-2x+6y-15=0 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\begin{cases} \color{blue}\textrm{Pusat}: \\ \left ( -\displaystyle \frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )\\ =\left ( -\displaystyle \frac{1}{2}.(-2),-\frac{1}{2},6 \right )\\ =(1,-3) \\\\ \color{blue}\textrm{Jari-jari }:\\ \begin{aligned}r&=\sqrt{\left ( -\frac{1}{2}A \right )^{2}+\left ( -\frac{1}{2}B \right )-C}\\ &=\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}-(-15)}\\ &=\sqrt{1+9+15}=5 \end{aligned} \end{cases} \\ & \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Persamaan}\: \textrm{lingkaran baru }\\ &\textrm{dengan pusat}\: \: (1,-3)\: \: \textrm{dan jari-jari}\\ & r_{\textrm{baru}}=2r=2.5=10\\ &(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=(10)^{2}\\ &\Leftrightarrow \: \: x^{2}-2x+1+y^{2}+6x+9=100\\ &\Leftrightarrow \: \: \color{red}x^{2}+y^{2}-2x+6y-90=0\end{aligned} \end{aligned} \end{array}$

Berikut ilustrasi gambarnya

Contoh Soal 14 (Segitiga dan Ketaksamaan)

$\begin{array}{ll}\\ 66.&\textrm{Diberikan}\: \: a,b,c>0,\: \: \textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\displaystyle \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\geq 6\\\\ &\textbf{Bukti}:\\ &\color{red}\textrm{Alternatif 1}\\ &\textrm{Dengan mengaplikasikan AM-GM-HM}\\ &\textrm{pada}\: \: \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\: \: \textrm{kita dapat menemukan}\\ &\color{blue}\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\color{black}\geq \displaystyle \frac{3}{(abc)^{.^{\frac{1}{3}}}}\geq \color{blue}\displaystyle \frac{9}{a+b+c}\\ &\textrm{Jika kedua ruas dikalikan dengan}\: \: \color{red}a+b+c\color{black},\\ &\textrm{maka}\\ &\color{blue}3+\displaystyle \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\color{black}\geq \color{blue}\displaystyle \frac{9(a+b+c)}{a+b+c}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\geq 6\qquad \blacksquare \\ &\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Alternatif 2}\\ &\textrm{Asumsikan}\: \: a\leq b\leq c,\: \textrm{maka}\: \: a+b\leq a+c\leq b+c\\ &\textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{1}{c}\leq \frac{1}{b}\leq \frac{1}{a}.\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ & (a+b\leq a+c\leq b+c)\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{1}{c}\leq \frac{1}{b}\leq \frac{1}{a}\\ &\textrm{memiliki kemonotonan yang sama}\\ &\textrm{maka dengan}\: \: \textbf{ketaksamaan Renata}\\ &\textrm{dapat diperoleh bentuk}\\ &(b+c).\displaystyle \frac{1}{a}+(c+a).\displaystyle \frac{1}{b}+(a+b).\displaystyle \frac{1}{c}\geq (b+c).\displaystyle \frac{1}{b}+(c+a).\displaystyle \frac{1}{c}+(a+b).\displaystyle \frac{1}{a}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \doteq 1+\displaystyle \frac{c}{b}+1+\frac{a}{c}+1+\frac{b}{a}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \doteq 3+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \doteq 3+3\left ( \displaystyle \frac{abc}{abc} \right )^{.^{\frac{1}{3}}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \doteq 3+3\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \doteq 6\qquad \blacksquare \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 67.&\textrm{Diberikan}\: \: a,b,c>0,\: \: \textrm{tunjukkan kebenaran}\\ &\textbf{ketaksamaan Nesbitt}\: \textrm{berikut}\\ &\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}\\\\ &\textbf{Bukti}:\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Asumsikan},\\ &\color{red}\begin{cases} & a\geq b\geq c \\ & \displaystyle \frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{a+c}\geq \frac{1}{a+b} \end{cases} \\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{Ketaksamaan Chebyshev}\\ &\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}}{3}\geq \displaystyle \frac{(a+b+c)}{3}\left ( \displaystyle \frac{\left (\displaystyle \frac{1}{b+c}+ \frac{1}{a+c}+ \frac{1}{a+b} \right )}{3} \right )\\ &\textrm{Dengan AM-HM dan}\: K=\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{K}{3}\geq \displaystyle \frac{(a+b+c)}{3}\left ( \displaystyle \frac{3}{(b+c)+(a+c)+(a+b)} \right )\\ &\Leftrightarrow K\geq \displaystyle \frac{3(a+b+c)}{2(a+b+c)}\\ &\Leftrightarrow K\geq \displaystyle \frac{3}{2}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \displaystyle \frac{3}{2}\qquad \blacksquare \end{aligned}\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 2}\\ &\begin{aligned}&\color{magenta}\textbf{Pertama},\: \color{black}\textrm{asumsikan}\\ &\color{red}\begin{cases} & a\geq b\geq c \\ & \displaystyle \frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{a+c}\geq \frac{1}{a+b} \end{cases} \\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{Ketaksamaan Chebyshev}\\ &3\left (\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right )\geq (a+b+c)\left (\displaystyle \frac{1}{b+c}+ \frac{1}{a+c}+ \frac{1}{a+b} \right )\\ &\color{magenta}\textbf{Kedua},\: \color{black}\textrm{asumsikan}\\ &\color{red}\begin{cases} & a+b\geq a+c\geq b+c \\ & \displaystyle \frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{a+c}\leq \frac{1}{b+c} \end{cases} \\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{Ketaksamaan Chebyshev}\\ &3\left (\displaystyle \frac{a+b}{a+b}+\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c} \right )\leq (a+b+a+c+b+c)\left (\displaystyle \frac{1}{a+b}+ \frac{1}{a+c}+ \frac{1}{b+c} \right )\\ &\Leftrightarrow 3(1+1+1)\leq 2(a+b+c)\left (\displaystyle \frac{1}{a+b}+ \frac{1}{a+c}+ \frac{1}{b+c} \right )\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{9}{2}\leq (a+b+c)\left (\displaystyle \frac{1}{a+b}+ \frac{1}{a+c}+ \frac{1}{b+c} \right )\\ &\textrm{Dari dua ketaksamaan di atas didapatkan}\\ &3\left (\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right )\geq \displaystyle \frac{9}{2}\\ &\Leftrightarrow \left (\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right )\geq \displaystyle \frac{3}{2}\qquad \blacksquare \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 68.&\textrm{Jika}\: \: a,b,c>0\: ,\: \textrm{dengan}\: \: a\neq b\neq c\\ &\textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )> \displaystyle \frac{(a+b+c)^{3}}{9}> 3abc\\\\ &\textbf{Bukti}:\\ &\textrm{Dengan}\: \textbf{ketaksamaan Chebyshev}\\ &\textrm{untuk}\: \: a\geq b\geq c,\: \textrm{dapat diperoleh bentuk}\\ &\displaystyle \frac{\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )}{3}> \left ( \displaystyle \frac{a+b+c}{3} \right )\left ( \displaystyle \frac{a+b+c}{3} \right )\left ( \displaystyle \frac{a+b+c}{3} \right )\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )}{3}> \left ( \displaystyle \frac{a+b+c}{3} \right )^{3}> \left ( \displaystyle \frac{3\sqrt[3]{abc}}{3} \right )^{3}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )}{3}> \displaystyle \frac{(a+b+c)^{3}}{27}> abc\\ &\Leftrightarrow \left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )> \displaystyle \frac{(a+b+c)^{3}}{9}> 3abc\quad \blacksquare \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 69.&\textrm{tunjukkan bahwa untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan asli}\\&\textrm{berlaku}\\ &\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}\left (1+\sqrt{\displaystyle \frac{1}{2}}+\sqrt{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +\sqrt{\displaystyle \frac{1}{n}} \right )\leq (2n-1)^{.^{\frac{1}{4}}}\\\\ &\textbf{Bukti}:\\ &\textrm{Dengan}\: \textbf{ketaksamaan Chebyshev}\\&\textrm{untuk}:\: \left ( 1\geq \displaystyle \frac{1}{2}\geq \frac{1}{3}\geq \cdots \geq \frac{1}{n} \right )\\ &\textrm{dapat diperoleh bentuk berikut}\\ &\left (1+ \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right )^{2}\leq n\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+\cdots +\frac{1}{n.n} \right )\\ &\Leftrightarrow \left (1+ \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right )^{2}\leq n\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\cdots +\frac{1}{(n-1).n} \right )\\ &\Leftrightarrow \left (1+ \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right )^{2}\leq n\left ( 1+\left (1-\displaystyle \frac{1}{2} \right )+\left (\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right )+\cdots +\left (\displaystyle \frac{1}{(n-1)}-\frac{1}{n} \right ) \right )\\ &\Leftrightarrow \left (1+ \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right )^{2}\leq n\left ( 1+1-\displaystyle \frac{1}{n} \right )=n\left ( 2-\displaystyle \frac{1}{n} \right )\\&\Leftrightarrow \left (1+ \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right )\leq \sqrt{2n-1}\quad \color{red}..........(1)\\ &\textrm{Gunakan lagi}\: \textbf{ketaksamaan Chebyshev}\\ &\left (1+\sqrt{\displaystyle \frac{1}{2}}+\sqrt{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +\sqrt{\displaystyle \frac{1}{n}} \right )^{2}\leq n\left (1+ \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right )\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{n}\left (1+\sqrt{\displaystyle \frac{1}{2}}+\sqrt{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +\sqrt{\displaystyle \frac{1}{n}} \right )^{2}\leq \left (1+ \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right )\: \: \color{red}...(2)\\&\textrm{Dari ketaksamaan (1) dan (2), dapat diperoleh}\\ & \displaystyle \frac{1}{n}\left (1+\sqrt{\displaystyle \frac{1}{2}}+\sqrt{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +\sqrt{\displaystyle \frac{1}{n}} \right )^{2}\leq \sqrt{2n-1}=(2n-1)^{.^{\frac{1}{2}}}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}\left (1+\sqrt{\displaystyle \frac{1}{2}}+\sqrt{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +\sqrt{\displaystyle \frac{1}{n}} \right )\leq (2n-1)^{.^{\frac{1}{4}}}\qquad \blacksquare \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 70.&(\textbf{OSN 2011})\\ &\textrm{Jika}\: \: a,b,c>0\: ,\: \textrm{dengan}\: \: abc=1\\ &\textrm{Jika diketahui}\\ &a^{2011}+b^{2011}+c^{2011}< \displaystyle \frac{1}{a^{2011}}+\frac{1}{b^{2011}}+\frac{1}{c^{2011}}\\ &\textrm{tunjukkan bahwa}\\ &(a+b+c)> \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\\\ &\textbf{Bukti}:\\ &\textrm{Asumsikan}\\&\color{red}\begin{cases} &a\geq b\geq c \\ &\displaystyle \frac{1}{c}\geq \frac{1}{b}\geq \frac{1}{a} \end{cases}\\ &\textrm{Dengan}\: \textbf{ketaksamaan Chebyshev}\\ &\textrm{Perhatikan}\\ &\begin{aligned}&\displaystyle \frac{1}{a^{2011}}+\frac{1}{b^{2011}}+\frac{1}{c^{2011}}\geq \displaystyle \frac{1}{3}\left ( \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{a^{2010}}+\frac{1}{b^{2010}}+\frac{1}{c^{2010}} \right )\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{a^{2010}}+\frac{1}{b^{2010}}+\frac{1}{c^{2010}}\geq \displaystyle \frac{1}{3}\left ( \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{a^{2009}}+\frac{1}{b^{2009}}+\frac{1}{c^{2009}} \right )\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{a^{2009}}+\frac{1}{b^{2009}}+\frac{1}{c^{2009}}\geq \displaystyle \frac{1}{3}\left ( \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{a^{2008}}+\frac{1}{b^{2008}}+\frac{1}{c^{2008}} \right )\\ &\qquad\qquad \vdots \\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}\geq \displaystyle \frac{1}{3}\left ( \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \right )\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq \displaystyle \frac{1}{3}\left ( \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\displaystyle \frac{1}{a^{2011}}+\frac{1}{b^{2011}}+\frac{1}{c^{2011}}\geq \displaystyle \frac{1}{3^{2010}}\left ( \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^{2011}\: \: \color{red}.....(1) \end{aligned} \\&\color{red}\textrm{dan}\\ &\begin{aligned}&a^{2011}+b^{2011}+c^{2011}\geq \displaystyle \frac{1}{3}(a+b+c)(a^{2010}+b^{2010}+c^{2010})\\ &\Leftrightarrow a^{2010}+b^{2010}+c^{2010}\geq \displaystyle \frac{1}{3}(a+b+c)(a^{2009}+b^{2009}+c^{2009})\\ &\Leftrightarrow a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}\geq \displaystyle \frac{1}{3}(a+b+c)(a^{2008}+b^{2008}+c^{2008})\\&\qquad\qquad \vdots \\&\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \displaystyle \frac{1}{3}(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\\&\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \displaystyle \frac{1}{3}(a+b+c)(a+b+c)\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\Leftrightarrow a^{2011}+b^{2011}+c^{2011}\geq \displaystyle \frac{1}{3^{2010}}(a+b+c)^{2011}\: \: \color{red}........(2) \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\color{purple}\textrm{Dari ketaksamaan (1) dan (2) didapatkan}\\ &\frac{1}{a^{2011}}+\frac{1}{b^{2011}}+\frac{1}{c^{2011}}\geq \displaystyle \frac{1}{3^{2010}}\left ( \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^{2011}\\ &>a^{2011}+b^{2011}+c^{2011}\geq \displaystyle \frac{1}{3^{2010}}(a+b+c)^{2011}\\ &\color{blue}\textrm{atau}\\ &\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}\displaystyle \frac{1}{a^{2011}}\geq \displaystyle \frac{1}{3^{2010}}\left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}\displaystyle \frac{1}{a}\right )^{2011}> \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{2011}\geq \displaystyle \frac{1}{3^{2010}}\left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.} \right )^{2011}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{3^{2010}}\left ( \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^{2011}>\displaystyle \frac{1}{3^{2010}}(a+b+c)^{2011}\\ &\Leftrightarrow \left ( \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )> (a+b+c)\\&\Leftrightarrow \: a+b+c< \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\qquad \blacksquare \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Young, B. 2009. Seri Buku Olimpiade Matematika Strategi Menyelesaikan Soal-Soal Olimpiade Matematika: Ketaksamaan (Inequality). Bandung: PAKAR RAYA.