Notasi Faktorial, Permutasi dan Kombinasi (Matematika Wajib Kelas XII)

 $\color{blue}\textrm{C. Faktorial}$

Perhatikanlah tabel berikut yang berisi perkalian bilangan terurut pada bilangan asli

$\begin{array}{|c|}\hline n!=1\times 2\times 3\times 4\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\\ \textbf{atau}\\ n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 4\times 3\times 2\times 1\\ \color{red}\textrm{dengan}\\ (n+1)!=(n+1)\times n!\: \: \textrm{untuk}\: \: n\geq 1,\: n\in \mathbb{N}\\ \color{blue}\textrm{serta didefinisikan bahwa}\\ 0!= 1!=1\\ \colorbox{yellow}{CONTOH}\\ 0!=1\\ 1!=1\\ 2!=2\times 1=2\\ 3!=3\times 2\times 1=6\\ 4!=4\times 3\times 2\times 1=24\\ 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\\ 6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720\\ \\ \vdots \\ \\ \color{black}n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 4\times 3\times 2\times 1\\\hline \end{array}$

$\LARGE\colorbox{aqua}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah nilai}\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 3!&\textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{6!}{4!}&\textrm{i}.\quad \displaystyle \frac{2!}{0!}+\frac{3!}{1!}+\frac{4!}{2!}\\ \textrm{b}.\quad 5!&\textrm{f}.\quad \displaystyle \frac{10!}{6!}&\textrm{j}.\quad \displaystyle \frac{2!}{0!}\times \frac{3!}{1!}+\frac{4!}{2!}\\ \textrm{c}.\quad 0!+1!+2!+3!&\textrm{g}.\quad \displaystyle \frac{7!}{3!\times 4!}&\textrm{k}.\quad \displaystyle \frac{3\times 4!}{3!(5!-5!)}\\ \textrm{d}.\quad (2!)!+(3!)!&\textrm{h}.\quad \displaystyle \frac{13!}{12!+12!}&\textrm{l}.\quad \displaystyle \frac{3!+5!+7!}{4!+6!}\end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\\\ &\begin{array}{l}\\ \textrm{a}.\quad 3!=3.2.1=6\\ \textrm{b}.\quad 5!=5.4.3.2.1=120\\ \begin{aligned}\textrm{c}.\quad 0!+1!+2!+3!&=1+1+2+6\\ &=10 \end{aligned}\\ \begin{aligned}\textrm{d}.\quad (2!)!+(3!)!&=2!+6!\\ &=2+720\\ &=722 \end{aligned}\\ \textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{6!}{4!}=\frac{720}{24}=30\quad \textrm{atau}\quad \displaystyle \frac{6!}{4!}=\displaystyle \frac{6.5.\not{4}.\not{3}.\not{2}.\not{1}}{\not{4}.\not{3}.\not{2}.\not{1}}=6.5=30\\ \textrm{f}.\quad \displaystyle \frac{10!}{6!}=\frac{10.9.8.7.6.5.4.3.2.1}{6.5.4.3.2.1}=.... (\textrm{silahkan diselesaikan sendiri})\\ \textrm{g}.\quad \displaystyle \frac{7!}{3!\times 4!}=\frac{7.6.5.4.3.2.1}{(3.2.1)\times (4.3.2.1)}=.... (\textrm{silahkan juga diselesaikan sendiri})\\ \vdots \\ (\textrm{silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri}) \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Sederhanakanlah}\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}&\textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{1}{n!}+\frac{n}{(n+1)!}-\frac{1}{(n-1)!}\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{(n+2)!}{(n+1)!}&\textrm{f}.\quad \displaystyle \frac{(4n)!}{(4n+1)!}+\frac{(4n)!}{(4n-1)!}\\ \textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{(2n)!}{(2n+1)!}&\textrm{g}.\quad \displaystyle \frac{1}{n}-\frac{n!}{(n-1).(n-2)!}\\ \textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{(n+2)!}{(n^{2}+3n+2)}&\textrm{h}.\quad 1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!\end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\\\ &\begin{array}{l}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n.(n-1)!}{(n-1)!}=n\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{(n+2)!}{(n+1)!}=\frac{(n+2).(n+1)!}{(n+1)!}=n+2\\ \textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{(2n)!}{(2n+1)!}=\frac{(2n)!}{(2n+1).(2n)!}=\frac{1}{2n+1}\\ \textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{(n+2)!}{n^{2}+3n+2}=\frac{(n+2)!}{(n+2).(n+1)}=\frac{(n+2).(n+1).n!}{(n+2).(n+1)}=n!\\ \vdots \\ (\textrm{silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri sebagai latihan})\\ \vdots \\ \begin{aligned}\textrm{h}.\quad &1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!\\ & =(2-1).1!+(3-1).2!+(4-1).3!+(5-1).4!+...+(n+1-1).n!\\ &=2.1!+3.2!+4.3!+5.4!+...+(n+1).n!-1!-2!-3!-4!-...-n!\\ &=2!+3!+4!+5!+...+(n+1)!-\left ( 1!+2!+3!+4!+...+n! \right )\\ &=(n+1)!-1 \end{aligned} \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Sederhanakanlah bentuk penjumlahan berikut}\\ &\displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\cdots +\displaystyle \frac{100}{98!+99!+100!}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\\\ &\begin{aligned}\textrm{Perhatikan}&\, \: \textrm{bahwa}\\ &\displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}=\frac{3}{1+2+6}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\times \frac{2}{2}=\frac{2}{1\times 2\times 3}=\frac{2}{3!}=\frac{3-1}{3!}=\frac{3}{3!}-\frac{1}{3!}=\frac{3}{2!\times 3}-\frac{1}{3!}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\\ &\textrm{sehingga}\\ &\frac{3}{1!+2!+3!}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\\ &\displaystyle \frac{4}{2!+3!+4!}=\cdots =\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}\\ &\displaystyle \frac{5}{3!+4!+5!}=\cdots =\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}\\ &\vdots \\ &\displaystyle \frac{100}{98!+99!+100!}=\cdots =\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}\\ &---------------------------\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad =\frac{1}{2!}-\frac{1}{100!} \end{aligned} \end{array}$

$\color{blue}\textrm{D. Permutasi dan Kombinasi}$

$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \textrm{Istilah}&\qquad\qquad\qquad\textrm{Permutasi}&\qquad\qquad\qquad\textrm{Kombinasi}\\\hline \textrm{Definisi}&\begin{aligned}&\textrm{Permutasi r unsur dari n unsur adalah}\\ &\textrm{banyaknya kemungkinan urutan r buah}\\ &\textrm{unsur yang dipilih dari n unsur}\\ &\textrm{yang tersedia}.\: \textrm{Tiap unsur berbeda dan}\\ & r\leq n \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Kombinasi r unsur dan n unsur adalah}\\ &\textrm{banyaknya kemungkinan tidak terurut}\\ &\textrm{dalam pemilihan r unsur yang diambil}\\ &\textrm{dari n unsur yang tersedia}.\: \textrm{Tiap unsur}\\ &\textrm{berbeda dan}\: \: r\leq n \end{aligned}\\\hline \textrm{Tipe}&\textrm{Bentuk khusus kaidah perkalian}&\textrm{Bentuk khusus permutasi}\\\hline \textrm{Notasi}&_{n}P_{r},\: P_{n}^{r},\: \textrm{atau}\: \: P(n,k)&_{n}C_{r},\: C_{r}^{n},\: \binom{n}{r},\: \textrm{atau}\: \: C(n,r)\\\hline \textrm{Rumus}&P(n,r)=\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}&\binom{n}{r}=C(n,r)=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\\\hline \end{array}$

Selanjutnya perhatikanlah tabel berikut

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Permutasi}&\textrm{Permutasi}\\ \textrm{dengan unsur yang sama}&\textrm{Siklis}\\\hline \begin{aligned}&P(n;n_{1},n_{2},n_{3},...,n_{k})\\ &=\displaystyle \frac{P(n,n)}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!...n_{k}!}\\ &=\displaystyle \frac{n!}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!...n_{k}!} \end{aligned}&\begin{aligned}&\begin{cases} \textrm{Siklis} & =(n-1)! \\\\ \textrm{Kalung} & =\displaystyle \frac{(n-1)!}{2} \end{cases} \end{aligned}\\\hline \end{array}$

dan

$\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Kombinasi}&\textrm{Kombinasi dalam}\\ \textrm{dengan pengulangan}&\textrm{Binom Newton}\\\hline \begin{aligned}&C(n+r-1,r)\\ &=C(n+r-1,n-1)\\ &\binom{n+r-1}{r}\\ &=\binom{n+r-1}{n-1} \end{aligned}&\begin{aligned}&(x+y)^{n}\\ &=\sum_{k=o}^{n}\binom{n}{r}x^{n-k}y^{k}\\\\ &\textrm{Koefisien untuk}\\ &x^{n-k}y^{k},\: \textrm{yaitu}\\ &\textrm{suku ke}-(k+1)\\ &\textrm{adalah}\: \binom{n}{r} \end{aligned}\\\hline \end{array}$

serta

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika di suatu kelas terdapat 4 orang akan dipilih 3 orang }\\ &\textrm{untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara}.\\ &\textrm{Tentukanlah banyak cara memilih 3 orang tersebut?}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Karena ada 4 orang, misal A, B, C, dan D yang}\\ &\textrm{akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi} \\ &\textrm{ketua, sekretaris, dan bendahara, maka kita tinggal}\\ &\textrm{buat permutasinya, yaitu posisi ketua dapat dipilih }\\ &\textrm{dengan 4 cara, sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara}, \\ &\textrm{dan bendahara dapat dipilih dengan 2 cara. atau} \\ &\color{blue} P(4,3)=\displaystyle \frac{4!}{(4-3)!}=\frac{4!}{1!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{1}=24\: \: \textrm{cara}\\ &\textrm{Berikut ilustrasinya dengan diagram pohon} \end{aligned} \end{array}$

$\color{red}\begin{cases} A&\begin{cases} B & \begin{cases} C &\rightarrow ABC\\ D & \rightarrow ABD \end{cases} \\ C & \begin{cases} B &\rightarrow ACB\\ D & \rightarrow ACD \end{cases} \\ D & \begin{cases} B &\rightarrow ADB \\ C &\rightarrow ADC \end{cases} \end{cases} \\ \\ B&\begin{cases} A & \begin{cases} C &\rightarrow BAC\\ D & \rightarrow BAD \end{cases} \\ C & \begin{cases} A &\rightarrow BCA\\ D & \rightarrow BCD \end{cases} \\ D & \begin{cases} A &\rightarrow BDA \\ C &\rightarrow BDC \end{cases} \end{cases} \\ \\ C&\begin{cases} A & \begin{cases} B &\rightarrow CAB\\ D & \rightarrow CAD \end{cases} \\ B & \begin{cases} A &\rightarrow CBA\\ D & \rightarrow CBD \end{cases} \\ D & \begin{cases} A &\rightarrow CDA \\ B &\rightarrow CDB \end{cases} \end{cases} \\ \\ D&\begin{cases} A & \begin{cases} B &\rightarrow DAB\\ C & \rightarrow DAC \end{cases} \\ B & \begin{cases} A &\rightarrow DBA\\ C & \rightarrow DBC \end{cases} \\ C & \begin{cases} A &\rightarrow DCA \\ B &\rightarrow DCB \end{cases} \end{cases} \end{cases}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Seorang anak akan mengambil 4 buah bola dari}\\ &\textrm{10 warna yang berbeda. Berapakah banyak}\\ &\textrm{kombinasi warna yang berbeda yang diambil}\\ &\textrm{oleh Andi}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}n=10&\: \: \textrm{dan}\: \: r=4\\ C(n,r)&=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\\ C(10,4)&=\displaystyle \frac{10!}{4!(10-4)!}\\ &=\displaystyle \frac{10!}{4!\times 6!}\\ &=\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{(4\times 3\times 2\times 1)\times 6!}\\ &=420\: \: \textrm{kombinasi warna bola berbeda} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Berapa banyak cara dapat memilih untuk}\\ &\textrm{3 perwakilan dari 10 anggota suatu}\\ &\textrm{kelompok, jika}\\ &\textrm{a. tanpa perlakuan khusus}\\ &\textrm{b. salah seorang harus terpilih}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Dengan tanpa perlakuan}\\ &\textrm{memilih 3 orang dari 10 orang adalah}:\\ &C(10,3)=\displaystyle \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\times 7!}=\color{blue}120\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Dengan perlakuan 1 orang terpilih}\\ &\color{red}(\textrm{1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan})\\ &\textrm{memilih 2 orang dari 9 orang adalah}:\\ &C(9,2)=\displaystyle \frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\times 8!}=\color{blue}36 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku}\\ &\textrm{matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku}\\ &\textrm{ekonomi pada suatu lemari buku yang}\\ &\textrm{di dalamnya terdapat 10 buku matematika,}\\ &\textrm{11 buku fisika dan 12 buku ekonomi}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Banyak}&\: \textrm{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ &=C(10,2)\times C(11,3)\times C(12,4)\\ &=\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}\times \frac{11!}{3!\times 8!}\times \frac{12!}{4!\times 8!}\\ &=\displaystyle \frac{10\times 9}{1\times 2}\times \frac{11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3\times 4}\\ &=\color{red}3675375 \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Johnaes, Kastolan, & Sulasim. 2004. Kompetensi Matematika SMA Kelas 2 Semester 1 Program Ilmu Sosial KBK 2004. Jakarta: YUDHISTIRA.
2. Kartini, Suprapto, Subandi, & Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
3. Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.

Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

 $\color{blue}\textrm{E. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran }$.

Posisi garis terhadap lingkaran tergantung nilai Diskriminan (D) hasil substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran.

$\begin{cases} \bullet &\textrm{memotong lingkaran di dua titik}\: \: (D>0)\\ & \textrm{ada garis dan titik polar} \\ \bullet &\textrm{menyinggung lingkaran}\: \: (D=0) \\ \bullet &\textrm{tidak memotong ataupun menyinggung}\: \: (D<0) \end{cases}$.

Berikut Ilustrasi gambarnya

$\color{blue}\textrm{F. Jarak Garis ke Pusat Lingkaran}$.

$\begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Jarak titik}\: \: M(p,q)\: \: \textrm{terhadap pusat}&\\ \textrm{lingkaran}\: \: N(a,b)&\left | MN \right |=r\\ \qquad r=\left | \displaystyle \frac{Ap+Bq+C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \right |&\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: p\: \: \textrm{supaya lingkaran}\\ & x^{2}+y^{2}-px-10y+4=0 \\ &\textrm{a}.\quad \textrm{menyinggung sumbu x}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{memotong sumbu x di dua titik}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{tidak memotong dan tidak menyinggung }\\ &\quad\: \: \: \: \textrm{sumbu x}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\\ &\textrm{Persamaan lingkaran}:\\ &x^{2}+y^{2}-px-10y+4=0\\ &\textrm{saat menyinggung}\: \: \textrm{sumbu x},\: \: \textrm{maka}\: \: y=0\\ &\textrm{adalah gar}\textrm{is yang sejajar sumbu x, maka}\\ &y=0\Rightarrow \: \: x^{2}+y^{2}-px-10y+4=0\\ &\: \qquad \Leftrightarrow \: \: x^{2}+0^{2}-px-0+4=0\\ &\: \qquad \Leftrightarrow \: \: \color{red}x^{2}-px+4 \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Menyinggung}&\textrm{memotong}&\textrm{Tidak keduanya}\\\hline \begin{aligned}D&= b^{2}-4ac=0\\ &\Leftrightarrow p^{2}-4.1.4=0\\ &\Leftrightarrow p^{2}=16\\ &\Leftrightarrow p=\pm 4\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}D&>0\\ &\Leftrightarrow b^{2}-4ac>0\\ &\Leftrightarrow p^{2}-16>0\\ &\Leftrightarrow (p+4)(p-4)>0\\ &\therefore \quad p<-4\: \: \textrm{atau}\: \: p>4 \end{aligned}&\begin{aligned}D&<0\\ &\Leftrightarrow b^{2}-4ac<0\\ &\Leftrightarrow p^{2}-16<0\\ &\Leftrightarrow (p+4)(p-4)<0\\ &\therefore \quad -4<p<4 \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: a\: \: \textrm{supaya lingkaran}\\ & x^{2}+y^{2}=1\: \: \textrm{dan garis}\: \: y=ax+2 \\ &\textrm{a}.\quad \textrm{bersinggungan}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{berpotongan}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{tidak berpotongan maupun bersinggungan}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Di sini yang kita bahas adalah yang poin b, }\\ &\textrm{yaitu untuk}\: \: y=ax+2,\: \: \textrm{maka}\\ &x^{2}+y^{2}=1\\ &x^{2}+(ax+2)^{2}=1\\ &x^{2}+a^{2}x^{2}+4ax+4=1\\ &(1+a^{2})x^{2}+4ax+3=0\\ &\textrm{syarat berpotongan}\: \: D=b^{2}-4ac\geq 0\\ &(\textrm{artinya bersinggungan sekaligus berpotongan di 2 titik})\\ &(4a)^{2}-4(1+a^{2})(3)\geq 0\\ &16a^{2}-12a^{2}-12\geq 0\\ &4a^{2}-12\geq 0\\ &a^{2}-3\geq 0\\ &(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})\geq 0\\ &\therefore \: \: \: \: a\leq -\sqrt{3}\: \: \textrm{atau}\: \: a\geq \sqrt{3} \end{aligned} \end{array}$.

Pembukaan PPDB MA FUTUHIYAH JEKETRO 2022

Bismillah

Pembukaan PPDB MA FUTUHIYAH Jeketro Gubug Kabupaten Grobogan Jawa Tengah

Hal yang berkaitan PPDB klik di sini

Perkalian Skalar Dua Vektor di Dimensi Dua (Matematika Peminatan Kelas X)

 $\color{blue}\textrm{L. Operasi Perkalian Dua Buah Vektor}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Bentuk perkalian dari ilustrasi dua vektor di atas dinotasikan dengan  $\color{black}\bar{a}\bullet \bar{b}$. Dimisalkan sebuah vektor  $\color{black}\bar{a}$  dan  vektor  $\color{black}\bar{b}$  membentuk sudut  $\theta$ , maka perkalian skalar dua vektor didefinisikan dengan

$\color{black}\bar{a}\bullet \bar{b}=\left | \bar{a} \right |\left | \bar{b} \right |\cos \theta ,\: \: \color{blue}\textrm{dengan}\: \: \color{black}0^{\circ}\leq \theta \leq 180^{\circ}$

Misalkan diberikan dua vektor   

$\begin{aligned}&\bar{a}=\color{red}\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2} \end{pmatrix}\: \: \color{black}\textrm{dan}\: \: \bar{b}=\color{blue}\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2} \end{pmatrix}\\ &\textrm{Sesuai definisi, maka}\\ &\bar{a}\bullet \bar{b}=\color{red}\bar{a_{1}}\color{blue}\bar{b_{1}}\color{black}+\color{red}\bar{a_{2}}\color{blue}\bar{b_{2}} \end{aligned}$

Sebagai bukti diberikan uraian berikut

Perhatikanlah   $\triangle \textbf{AOB}$   di atas, saat kita menentukan ruas garis  AB  yang terbentuk dari vektor posisi  $\color{black}\bar{a}$  dan  $\color{black}\bar{b}$ dengan sudut pengapitnya adalah  $\theta$, maka kita dapat menggunakan aturan COSINUS, yaitu:

$\color{purple}\begin{aligned}\left | \overline{AB} \right |^{2}&=\left | \overline{OA} \right |^{2}+\left | \overline{OB} \right |^{2}-2\left | \overline{OA} \right |\left | \overline{OB} \right |\cos \theta \\ (b_{1}-a_{1})^{2}&+(b_{2}-a_{2})^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}-2\left | \bar{a} \right |\left | \bar{b} \right |\cos \theta \\ -2a_{1}b_{1}-&2a_{2}b_{2}=-2\left | \bar{a} \right |\left | \bar{b} \right |\cos \theta \\ \displaystyle 2a_{1}b_{1}+&2a_{2}b_{2}=\displaystyle 2\left | \bar{a} \right |\left | \bar{b} \right |\cos \theta\\ &\textbf{Karena}\\ &\color{blue}\bar{a}\bullet \bar{b}=\displaystyle 2\left | \bar{a} \right |\left | \bar{b} \right |\cos \theta\\ \displaystyle 2a_{1}b_{1}+&2a_{2}b_{2}=\bar{a}\bullet \bar{b}\: \: \: \color{black}\blacksquare \end{aligned}$

Dan dari bentuk di atas kita juga akan mendapatkan bentuk:

$\cos \theta =\displaystyle \frac{\bar{a}\bullet \bar{b}}{\left | \bar{a} \right |\left | \bar{b} \right |}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika diketahui}\: \: \left | \bar{a} \right |=5,\: \: \textrm{dan}\: \: \left | \bar{b} \right |=8\\ &\textrm{dan kedua vektor itu membentuk sudut}\: \: 60^{\circ}\\ &\textrm{maka nilai}\: \: \bar{a}\bullet \bar{b}=....\\\\ &\textrm{Jawab}\\ &\begin{aligned}\bar{a}\bullet \bar{b}&=\left | \bar{a} \right |\left | \bar{b} \right |\cos \angle \left ( \bar{a},\bar{b} \right )\\ &=5.8.\cos 60^{\circ}\\ &=40\times \displaystyle \frac{1}{2}\\ &=20 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika diketahui vektor}\: \: \bar{a} =\begin{pmatrix} 15\\ -11 \end{pmatrix},\: \: \textrm{dan}\: \: \bar{b}=\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: \bar{a}\bullet \bar{b}\\\\ &\textrm{Jawab}\\ &\color{blue}\begin{aligned}\bar{a}\bullet \bar{b}&=\begin{pmatrix} 15\\ -11 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}\\ &=(15)(-2)+(-11)(1)\\ &=-30+(-11)\\ &=-30-11\\ &=-41 \end{aligned} \end{array}$

$\color{blue}\textrm{M. Perbandingan Vektor}$

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut!

Dari gambar tersebut di atas diketahui bahwa titik P dan Q dengan koordinat masing-masing adalah  $(x_{1},y_{1})$  dan  $(x_{1},y_{1})$, dan  $\overrightarrow{PT}:\overrightarrow{TQ}=m:n$ , mak vektor posisi titik T adalah $\vec{t}=\displaystyle \frac{n\vec{p}+m\vec{q}}{m+n}$.

Berikut paparan buktinya

$\begin{aligned}\overrightarrow{PT}:\overrightarrow{TQ}&=m:n\\ \displaystyle \frac{\overrightarrow{PT}}{\overrightarrow{TQ}}&=\frac{m}{n}\\ \displaystyle \frac{\vec{t}-\vec{p}}{\vec{q}-\vec{t}}&=\frac{m}{n}\\ n\left ( \vec{t}-\vec{p} \right )&=m\left ( \vec{q}-\vec{t} \right )\\ n\vec{t}-n\vec{p}&=m\vec{q}-m\vec{t}\\ m\vec{t}+n\vec{t}&=m\vec{q}+n\vec{p}\\ \vec{t}\left ( m+n \right )&=n\vec{p}+m\vec{q}\\ \vec{t}&=\color{red}\displaystyle \frac{n\vec{p}+m\vec{q}}{m+n}\qquad\quad \color{black}\blacksquare \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Perhatikanlah gambar pada soal No. 6 di atas. }\\ &\textrm{Jika titik T terletak pada}\: \overrightarrow{SP},\: \textrm{sehingga}\\&\: \: \overrightarrow{ST}:\overrightarrow{TP}=1:3,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Tentukanlah koordinat titik T}\:\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Jika titik M terletak di tengah-tengah}\: \: \overrightarrow{SP},\\ &\qquad \textrm{tentukanlah koordinat titik M}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}\textrm{a}.\quad \vec{t}&=\displaystyle \frac{3\vec{s}+\vec{p}}{3+1}\\ &=\displaystyle \frac{3\begin{pmatrix} -3\\ 7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}}{3+1}\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\left ( \begin{pmatrix} -9\\ 21 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -4\\ 24 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -1\\ 6 \end{pmatrix}\\ \textrm{jadi}&\: \textrm{koordinat titik}\: \color{red}T(-1,6) \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{b}.\quad \vec{m}&=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \vec{s}+\vec{p} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \begin{pmatrix} -3\\ 7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2\\ 10 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1\\ 5 \end{pmatrix}\\ \textrm{Jadi}&\: \textrm{koordinat titik}\: \color{red}M(1,5)\\ &\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{u}=\begin{pmatrix} -8\\ 2 \end{pmatrix}\: \textrm{dan}\: \: \vec{v}=\begin{pmatrix} -4\\ m \end{pmatrix}.\\ &\textrm{Tentukan}\: \: m\: \: \textrm{jika}\: \: \vec{u}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{v}\: \: \textrm{sejajar dan searah}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\overrightarrow{u}&=k\vec{v}\\ &\quad (\textrm{vektor}\: \: \vec{u}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{v}\: \: \textrm{sejajar dan searah})\\ \begin{pmatrix} -8\\ 2 \end{pmatrix}&=k\begin{pmatrix} -4\\ m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4k\\ mk \end{pmatrix}\\ -8&=-4m\: \: \Rightarrow \: \: m=\displaystyle \frac{-8}{-4}=2\\ \textrm{Jadi}\: &\: \color{red}m=2\\ \end{aligned} \end{array}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Perhatikanlah gambar berikut} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ .\quad &\textrm{Nyatakan vektor-vektor pada gambar }\\ &\textrm{di atas ke dalam bentuk}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Vektor kolom}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Vektor baris}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Vektor basis} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Pada soal No. 1 di atas, gambarkanlah }\\ &\textrm{vektor-vektor berikut pada kertas berpetak}\\ &\textrm{a}.\quad \vec{a}+\vec{b}\\ &\textrm{b}.\quad \vec{b}+\vec{c}\\ &\textrm{c}.\quad \vec{c}+\vec{d}\\ &\textrm{d}.\quad (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}\\ &\textrm{e}.\quad \vec{b}+(\vec{c}+\vec{d})\\ &\textrm{f}.\quad (\vec{a}+\vec{b})+(\vec{c}+\vec{d})\\ &\textrm{g}.\quad (\vec{a}+\vec{b})-(\vec{c}+\vec{d})\\ &\textrm{h}.\quad \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}+\vec{e}+\vec{f}\\ &\textrm{i}.\quad \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}-\vec{d}+\vec{e}-\vec{f}\end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Perhatikanlah gambar pada soal No. 6 di atas.}\\ &\textrm{Jika titik T terletak pada}\: \: \overrightarrow{SP},\: \textrm{sehingga}\\ &\overrightarrow{ST}:\overrightarrow{TP}=2:3,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Tentukanlah koordinat titik T}\:\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Jika titik M terletak di tengah-tengah}\: \: \overrightarrow{SP},\\ &\qquad \textrm{tentukanlah koordinat titik M}\\ \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{u}=\begin{pmatrix} 16\\ -2 \end{pmatrix}\: \textrm{dan}\: \: \vec{v}=\begin{pmatrix} -4\\ m \end{pmatrix}.\\ &\textrm{Tentukan}\: \: m\: \: \textrm{jika}\: \: \vec{u}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{v}\: \: \textrm{sejajar dan searah}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kuntarti, Sulistiyono, & Kurnianingsih, S. 2005. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XII Program Ilmu Alam. Jakarta: PT. Gelora Aksara Pratama.
2. Yuana, R. A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan dan Ilmu Alam. Solo: PT TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI.

Kaidah Pencacahan (Kaidah Penjumlahan dan Perkalian)

 $\color{blue}\textrm{B. Kaidah Pencacahan}$

Dalam kombinatorial kita harus melakukan perhitungan (counting) untuk mendapatkan semua kemungkinan dari pengaturan objekgar hasilnya didaptkan valid. Dua kaidah dasar yang digunakan dalam hal ini adalah adalah kaidah perkalian (rule of product) dan kaidah penjumlahan (rule of sum). Kedua kaidah tersebut nantinya akan selalu digunakan secara terpisah atau secara gabungan tergantung kondisi yang diinginkan dalam penentuan aturan pengisian tempat.

 $\color{blue}\textrm{B. 1 Kaidah Perkalian}$

$\begin{cases} \color{red}\Rightarrow &\begin{array}{|c|}\hline \textrm{Kaidah Perkalian}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Jika percobaan 1 mendapat hasil}\: \: m,\\ & \textrm{percobaan 2 mendapatkan hasil}\: n,\\ & \textrm{maka jika percobaan 1 dan 2 dilakukan},\\ &\textrm{maka akan mendapatkan hasil} \: \: m \times n \\ &\textrm{kemungkinan} \end{aligned}\\\hline \end{array} \\\\\\ \color{blue}\Rightarrow &\begin{array}{|c|}\hline \textrm{Kaidah Penjumlah}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Jika percobaan 1 mendapat hasil}\: \: m,\\ & \textrm{percobaan 2 mendapatkan hasil}\: \: n,\\ & \textrm{maka jika hanya}\: \: \color{magenta}\textbf{satu percobaan}\: \: \color{black}\textrm{saja}\\ & \textrm{yang dilakukan (percobaan 1 atau percobaan 2)},\\ & \textrm{maka akan mendapatkan hasil}\: \: m + n\\ & \textrm{kemungkinan} \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{cases}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sekumpulan pelajar terdiri dari 5 anak putra}\\ & \textrm{dan 4 anak putri. Tentukanlah jumlah cara memilih}\\ & \textrm{satu orang wakil siswa dan satu orang wakil siswi}?\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{ada 5 kemungkinan memilih seorang wakil siswa}\\ & \textrm{dan ada 4 kemungkinan memilih wakil siswi}.\\ & \textrm{Jika 2 orang wakil harus dipilih yang terdiri}\\ & \textrm{dari 1 siswa dan 1 siswi, maka jumlah}\\ & \textrm{kemungkinan perwakilan tersebut adalah yang}\\ & \textrm{dapat dipilih adalah 5 x 4 = 20 cara} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah ruang sampel dan banyaknya}\\ &\textrm{anggota untuk percobaan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{melambungkan sebuah koin sebanyak 3 kali}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{melambungkan dua buah dadu sebanyak sekali}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Jika S adalah ruang sampel dan n(S) adalah}\\ &\textrm{banyak anggota ruang sampel, maka}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{karena muka koin ada 2, maka n(S)}\\ &\qquad n(S)=2\times 2\times 2=2^{3}=8\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{karena muka dadu ada 6, maka n(S)}\\ &\qquad n(S)=6\times 6=6^{2}=36\\ &\textrm{Dan berikut ilustrasi untuk seluruh ruang}\\ &\color{red}\textrm{sampelnya untuk kedua kasus di atas}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{a}&\textrm{b}\\\hline \left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A&=AAA\\ \\ G&=AAG \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A&=AGA\\ \\ G&=AGG \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A&=GAA\\ \\ G&=GAG \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A&=GGA\\ \\ G&=GGG \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. &\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \setminus&1&2&3&4&5&6\\\hline 1&(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\\hline 2&(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\\hline 3&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\\hline 4&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)\\\hline 5&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&(5,6)\\\hline 6&(6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4)&(6,5)&(6,6)\\\hline \end{array} \\\hline \textrm{n}(\textrm{S})=8&\textrm{n}(\textrm{S})=36\\\hline \end{array} \end{array}$

Catatan :

Sebuah koin di lempar 3 kali sama dengan hasilnya untuk ruang sampel 3 buah koin dilempar sekali. Demikian juga sebuah dadu diundi 2 kali akan sama hasilnya dengan 2 buah dadi diundi sekali.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Sekumpulan pelajar terdiri dari 5 anak putra dan}\\ & \textrm{4 anak putri. Tentukanlah jumlah cara memilih satu}\\ & \textrm{orang wakil pelajar tersebut(tidak masalah putra atau putri)}?\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{ada 5 kemungkinan memilih seorang wakil siswa dan}\\ &\textrm{ada 4 kemungkinan memilih wakil siswi. Jika}\\ &\textrm{hanya 1 orang wakil yang harus dipilih}\\ & \textrm{(tidak peduli putra atau putri)},\\ & \textrm{maka banyak cara memilih adalah 5 + 4 = 9 cara} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Sebuah bilangan dibentuk dari angka-angka}\\ & \textrm{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Jika pengulangan} \\ &\textrm{tidak diperbolehkan, tentukan banyaknya bilangan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{yang terdiri dari 1 angka dan kurang dari 5}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{yang terdiri dari 2 angka dan kurang dari 50}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{yang terdiri dari 3 angka dan kurang dari 500}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{yang terdiri dari 4 angka dan kurang dari 5000}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{yang terdiri dari 5 angka dan kurang dari 50000}\\ &\textrm{f}.\quad \textrm{yang terdiri dari 6 angka dan kurang dari 500000 dan habis dibagi 5}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{jelas ada 4 angka yang memenuhi, yaitu: 1, 2, 3, dan 4}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{2 angka misalkan AB, posisi A dapat diisi dengan 4 cara dan posisi B dapat}\\ &\qquad \textrm{diisi dengan 8 cara, karena setelah diisikan ke A angka tinggal 8 buah dan}\\ &\qquad \textrm{semuanya memiliki kesempatan yang sama untuk diisikan ke B}.\\ &\qquad \textrm{sehingga AB dapat diisi dengan 4 x 8 = 32 cara}.\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{3 angka misalkan ABC, posisi A dapat diisi dengan 4 cara, posisi B dapat}\\ &\qquad \textrm{diisi dengan 8 cara, dan posisi C dapat diisi dengan 7 cara}.\\ &\qquad \textrm{sehingga ABC dapat diisi dengan 4 x 8 x 7 = 224 cara}.\\ &\\ &\textrm{Untuk jawaban d, e, dan f silahkan dicoba sendiri sebagai latihan} \end{array}$

Aturan Pencacahan

 $\color{blue}\textrm{A. Pendahuluan}$

$\color{blue}\textrm{A. 1 Kombiatorial}$

Dalam matematika ada cabang ilmu yang mengkhususkan mempelajari tentang pengaturan objek-objek. Cabang matematika ini selanjutnya dinamakan Kombinatorial. Hasil dari mempelajari bagian ini adalah diperoleh jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya. 

Sebagai contoh nomor plat mobil di negara X terdiri atas 4 angka diikuti dengan 2 huruf. Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat mobil yang dapat dibuat?

Sebagai contoh yang lain sandi-lewat (password) sistem komputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter sendiri boleh berupa angka atau huruf, dengan huruf besar maupun huruf kecil tidak dibedakan. Berapa banyak sandi-lewat (password) yang dapat dibuat?

$\color{blue}\textrm{A. 2 Percobaan}$

Hasil dari Kombinatorial ini diperoleh dari percobaan(experiment). Percobaan dalam pengertian di sini adalah Proses yang berupa tindakan yang dapat diamati. Sebagai misal dalam percobaan melempar sebuah dadu, maka hasil yang mungkin adalah munculnya salah satu muka dadu yang enam, yaitu: 1,2,3,4,5, dan 6. Setiap kali kita melempar dapat dipastikan salah satu muka dadu akan muncul

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Pada saat melempar sebuah koin, maka akan}\\ &\textrm{didapatkan 2 kemungkinan, yaitu muka}\\ &\textrm{gambar (G) atau muka angka (A)}\\ 2.&\textrm{Ketika melempar dua koin sekaligus, maka }\\ &\textrm{akan didapatkan kemungkinan 4 muka koin}\\ &\textrm{4 kemungkinan itu yaitu: AA, AG, GA, dan GG}\\ 3.&\textrm{Selanjutnya saat kita melempar 3 koin sekaligus}\\ &\textrm{maka kita akan mendapatkan 8 kemungkinan}\\ &\textrm{muka koin, yaitu}:\\ &\textrm{AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA,}\\ &\textrm{dan GGG}\\ 4.&\textrm{Contoh yang lain saat kita melempar dua buah}\\ &\textrm{dadu, maka kita akan mendapatkan 36 kemungkinan}\\ &\textrm{muka dadu} \end{array}$

Untuk uraian contoh pada no.3 dan 4 disertakan tabel berikut

$\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{3}&\textrm{4}\\\hline \color{red}\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A&=AAA\\ \\ G&=AAG \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A&=AGA\\ \\ G&=AGG \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A&=GAA\\ \\ G&=GAG \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A&=GGA\\ \\ G&=GGG \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. &\color{blue}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \setminus&1&2&3&4&5&6\\\hline 1&(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\\hline 2&(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\\hline 3&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\\hline 4&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)\\\hline 5&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&(5,6)\\\hline 6&(6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4)&(6,5)&(6,6)\\\hline \end{array} \\\hline \textrm{n}(\textrm{S})=8&\textrm{n}(\textrm{S})=36\\\hline \end{array}$

Sebagai catatan kemungkinan-kemungkinan yang muncul dalam setaip tindakan pada 4 contoh di atas selanjutnya akan disebut sebagai titik sampel. Titik sampel sampel sendiri adalah semua anggota dalam ruang sampel.

$\color{blue}\textrm{A. 3 Ruang sampel}$

Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari dari suatu percobaan. Jika dalam ruangnya sampel hanya terdapat satu titik sampel saja, maka disebut kejadian sederhana, tetapi jika titik sampelnya lebih dari satu, maka disebutlah dengan istilah kejadian majmuk. Ruang sampel dilambangkan dengan huruf S dan banyaknya anggota (titik sampel) dalam ruang sampel ini dituliskan dengan n(S). Adapun cara menentukan ruang sampel ini dapat dilakukan dengan beberapa cara di antaranya, yaitu: dengan mendaftar, dengan tabel, dan dengan diagram pohon.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Perhatikan lagi tabel di atas}\\ &\textrm{Tuliskan lagi ruang sampelnya}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Pada tabel kolom 3, anggota}\\&\textrm{ruang sampelnya adalah sebagai berikut}\\ &\left \{AAA,AAG,AGA,AGG,GAA,GAG,GGA,GGG \right \}\\ &\textrm{Jadi},\: \: n(S)=\color{red}8 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Pada tabel kolom 4, anggota}\\&\textrm{ruang sampelnya adalah sebagai berikut}\\ &\left \{ (1,1),(1,2),(1,3),\cdots ,(6,4),(6,5),(6,6) \right \}\\ &\textrm{Jadi},\: \: n(S)=\color{red}36 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Pada pelemparan dua buah koin}\\ &\textrm{uang logam tentukan banyaknya }\\ &\textrm{ruang sampel dengan tabel dan}\\ &\textrm{tentukan jumlahnya}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Dengan tabel yaitu}\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline &A&G\\\hline A&AA&AG\\\hline G&GA&GG\\\hline \end{array}\\ &S=\left \{ AA,AG,GA,GG \right \}\\  &\textrm{Jadi},\: \: n(S)=\color{red}4 \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Bandung: IMFORMATIKA.

Distribusi Binomial

 $\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E}.\quad&\textrm{Binomial Newton} \end{aligned}$

 $\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E. 1}.\quad&\textrm{Binomial Newton} \end{aligned}$

$\begin{aligned}&\textrm{Perhatikanlah susunan bilangan berikut}\\\\ &\begin{array}{|c|l|}\hline &\\ 1=C_{0}^{\color{red}1}\quad 1=C_{1}^{\color{red}1}&(a+b)^{\color{red}1}\\ &\\ 1=C_{0}^{\color{red}2}\quad 2=C_{1}^{\color{red}2}\quad 1=C_{2}^{\color{red}2}&(a+b)^{\color{red}2}\\ &\\ 1=C_{0}^{\color{red}3}\quad 3=C_{1}^{\color{red}3}\quad 3=C_{2}^{\color{red}3}\quad 1=C_{3}^{\color{red}3}&(a+b)^{\color{red}3}\\ &\\ 1=C_{0}^{\color{red}4}\quad 4=C_{1}^{\color{red}4}\quad 6=C_{2}^{\color{red}4}\quad 4=C_{3}^{\color{red}4}\quad 1=C_{4}^{\color{red}4}&(a+b)^{\color{red}4}\\ \vdots &\: \: \quad\vdots \\ dst&(a+b)^{\color{red}\cdots }\\ &\\ \vdots&\: \: \quad\vdots \\ &(a+b)^{\color{red}n}\\\hline \end{array}\\\\ &\textrm{Susunan bilangan-bilangan di atas selanjutnya}\\ &\textrm{dinamakan}\: \: \: \textbf{Segitiga Pascal}\\ & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&\textrm{Bilangan}\: \: C_{r}^{n}=\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}\: \: \textrm{merupakan koefisien}\\ &\textrm{dari binomial}\: \: (a+b)^{n}\\ &\textrm{Selanjutnya perhatikanlah bahwa untuk}\\ &n=1,2,3,4,\cdots \: \: \: \textrm{berlaku}\\ &\color{red}\begin{aligned}(a+b)^{n}\color{black}=\, &\color{red}C_{0}^{n}a^{n}b^{0}+C_{1}^{n}a^{n-1}b^{1}+C_{2}^{n}a^{n-2}b^{2}\\ &+C_{3}^{n}a^{n-3}b^{3}+\cdots +C_{n-3}^{n}a^{3}b^{n-3}\\ &+C_{n-2}^{n}a^{2}b^{n-2}+C_{n-1}^{n}a^{1}b^{n-1}+C_{n}^{n}a^{0}b^{n}\\ &\color{black}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}C_{r}^{\color{red}n}a^{\color{red}n\color{black}-r}b^{r} \end{aligned}\\ & \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{E. 2 Perluasan Binomial Newton}$

$\begin{aligned}&\textrm{Untuk bilangan real}\: \: n\: \: \textrm{dan bilangan}\\ &\textrm{non negatif}\: \: r,\: \: \textrm{serta}\: \: \left | A \right |<1,\: \textrm{berlaku}:\\ &(1+A)^{n}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}C_{r}^{n}A^{r} \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{E. 3 Teorema Multinomial}$

Pada bentuk multinomial dengan ekspresi  $(x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{r})^{n}$  dengan n dan r bilangan bulat positif, maka koefisien dari  $\color{red}x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}x_{3}^{n_{3}}\cdots x_{r}^{n_{r}}$   adalah  $\displaystyle \frac{n!}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!\cdots n_{r}!}$  dinotasikan dengan  $\begin{pmatrix} n\\\\ n_{1},n_{2},n_{3},\cdots ,n_{r} \end{pmatrix}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Misalkan untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan bulat}\\ &\textrm{Positif. Tunjukklan bahwa}\\ &\textrm{a}.\quad (1+x)^{n}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}C_{r}^{n}x^{r}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}x^{r}\\ &\textrm{b}.\quad \begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}=2^{n}\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\color{red}\begin{aligned}\color{black}\textrm{a}.\quad(1+x)&^{n}\\ \color{black}=\, &\color{red}C_{0}^{n}1^{n}x^{0}+C_{1}^{n}1^{n-1}x^{1}+C_{2}^{n}1^{n-2}x^{2}\\ &+C_{3}^{n}1^{n-3}x^{3}+\cdots +C_{n-3}^{n}1^{3}x^{n-3}\\ &+C_{n-2}^{n}1^{2}x^{n-2}+C_{n-1}^{n}1^{1}x^{n-1}+C_{n}^{n}1^{0}x^{n}\\ =\, &\color{red}C_{0}^{n}+C_{1}^{n}x+C_{2}^{n}x^{2} +C_{3}^{n}x^{3}+\cdots \\ &+C_{n-3}^{n}x^{n-3} +C_{n-2}^{n}x^{n-2}+C_{n-1}^{n}x^{n-1}\\ &+C_{n}^{n}x^{n}\\ \color{black}\textrm{atau}&\: \color{black}\textrm{dengan bentuk lain}\\ =\, &\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}x+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}x^{2}+\begin{pmatrix} n\\ 3 \end{pmatrix}x^{3}\\ &+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ n-3 \end{pmatrix}x^{n-3}+\begin{pmatrix} n\\ n-2 \end{pmatrix}x^{n-2}\\ &+\begin{pmatrix} n\\ n-1 \end{pmatrix}x^{n-1}+\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}x^{n}\\ \color{black}=&\color{black}\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} \color{red}n\\ r \end{pmatrix}x^{r} \end{aligned}\\ &\color{red}\begin{aligned}\color{black}\textrm{b}.\quad(1+x)&^{n}\: \: \color{black}\textrm{lihat jawaban poin}\: \: a,\: \: \textrm{saat}\: \: \color{blue}x=1\\ \color{black}(1+1)&^{n}\color{red} \color{black}=\color{red}\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}1+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}1^{2}+\begin{pmatrix} n\\ 3 \end{pmatrix}1^{3}\\ &+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ n-3 \end{pmatrix}1^{n-3}+\begin{pmatrix} n\\ n-2 \end{pmatrix}1^{n-2}\\ &+\begin{pmatrix} n\\ n-1 \end{pmatrix}1^{n-1}+\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}1^{n}\\ \color{black}(2)&^{n}\color{red} \color{black}=\color{red}\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 3 \end{pmatrix}\\ &+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ n-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}\\ \color{black}=&\color{black}\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}\\ \color{black}\textrm{Sehing}&\color{black}\textrm{ga}\\ 2^{n}&=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Misalkan untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan bulat}\\ &\textrm{Positif. Tunjukklan bahwa}\\ & \begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}-\cdots +(-1)^{n}\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}=0\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\textrm{Sebelumnya diketahui bahwa}\\ &\begin{aligned}&(a+b)^{n}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}a^{n-r}b^{r}\\ &\qquad\qquad\qquad \color{blue}\textrm{atau}\\ &\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}a^{n-r}b^{r}=(a+b)^{n}\\ &\blacklozenge \quad \textrm{saat}\: \: \color{blue}a=b=1,\: \: \color{black}\textrm{maka}\\ &\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}1^{n-r}1^{r}=(1+1)^{n}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}=2^{n}\: ...\: (\color{red}\textrm{bukti no. 1.b})\\ &\blacklozenge \quad \textrm{saat}\: \: \color{blue}a=1\: \&\: b=-1\: \: \color{black}\textrm{maka}\\ &\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}1^{n-r}(-1)^{r}=(1-1)^{n}=0\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}-\cdots +(-1)^{n}\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}=0\quad \blacksquare \end{aligned} \end{array}$

 $\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E}.\quad&\textrm{Distribusi Binomial} \end{aligned}$

Perhatikan materi Binomial Newton di atas berkaitan dengan distribusi binomial. Misalkan suatu kejadian yang hanya memberikan dua hasil saja  $\color{red}a$  dan  $\color{red}b$ saja seperti melambungkan sebuah uang koin yang akan menghasilkan 2 hasil saja yang mungkin, yaitu antara sisi gambar $\color{red}G$ atau muncul sisi angka $\color{red}A$ atau pada contoh lainnya adalah ketika seseorang yang menunggu hasil hasil ujian yang jelas hasilnya kemungkinannya cuma dua, yaitu lulus atau tidak lulus.

Percobaan acak yang hanya memberikan 2 hasil saja disebut percobaan $\color{red}Bernoulli$. Selanjujtnya percobaan Bernoulli yang dilakukan sebanyak $\color{blue}n$ kali dinamakan dengan  $\color{red}\textrm{percobaan}\: \textrm{Binomial}$.

Variabel acak $\color{red}X$ yanmg mana nilai-nilainya ditentukan oleh hasil dari percobaan binomial disebut sebagai  Variabel Acak Binomial. 

Berikut ciri-ciri percobaan binomial

• Percobaan dilakukan secara berulang sebanyak  $\color{red}n$  kali, dengan  $\color{red}n$ bilangan bulat positif
• Setiap percobaan memiliki dua macam hasil saja dan saling berkomplemen, yaitu kejadian yang diharapkan (disebut sukses) dan kejadian yang tidak diharapkan (disebut tidak sukses)
• Peluang setiap kejadian bersifat tetap untuk setiap percobaan dan jumlah peluangnya baik sukses maupun yang tidak sukses  sama dengan 1. Misalkan peluang suksesny adalah  $\color{red}p$, maka peluang gagalnya adalah  $\color{red}q=1-p$
• Setiap percobaan bebas $\color{red}(independent)$ satu sama lainnya, artinya hasil percobaan yang satu tidak mempengaruhi percobaan yang lain.

Secara umum rumus fungsi  $\color{red}\textrm{distribusi binomial}$ adalah:

$\begin{aligned}&f(x)=P(x;n;p)=\color{red}C(n,x)p^{x}q^{n-x}\color{black}=\color{red}\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}q^{n-x}\\ &\textbf{Keterangan}:\\ &\bullet \: C(n,x)=\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}=\color{blue}\textrm{koefisien bibonial}\\ &\bullet \: x=\textrm{banyak kejadian yang diharapkan},\\ &\quad\qquad \textrm{dengan nilai}\: \: x=0,1,2,3,\cdots ,n\\ &\bullet \: p=\textrm{peluang kejadian yang diharapkan}\\ &\bullet \: q=\textrm{peluang kejadian yang tidak diharapkan} \end{aligned}$

Jika rumus dari fungsi peluang di atas dijabarkan akan menjadi berupa bentuk penjumlahan, maka

$\begin{aligned}F(t)&=P(X\leq t)\\ &=\displaystyle \sum_{x=0}^{x=t}\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}q^{n-x}\\ &=\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}p^{0}q^{n-0}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+p^{1}q^{n-1}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}p^{2}q^{n-2}+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ t \end{pmatrix}p^{t}q^{n-t} \end{aligned}$

Dan rumus di atas karena tidak sepenuhnya sampai  $\color{red}n$ , maka akan diperoleh fungsi binomial. kumulatif.

Hasil perhitungan $\color{red}f(x)=P(x;n;p)$  juga dapat dilihat dalam tabel distribusi binomial. Sebagai contohnya adalah $\color{red}P(2;4;0,05)$ yang berarti  $\color{red}x=2$, $\color{red}n=4$,  dan  $\color{red}p=0,05$ berikut tabelnya:

(Sumber: Buku Siswa Matematika Kelas XII, penulis Tasari, dkk, 2016; hal :126, PT.INTAN PARIWARA)

Sedangkan untuk mencari nilai fungsi peluang distribusi binomial kumulatif, misalkan diberikan  $F(2)=P(X\leq 2)$  dari  $\color{red}P(2;4;0,05)$  perhatikanlah tabel distribusi untuk distribusi peluang kumulatif dari sumber buku yang sama tetapi terdapat pada halaman berikutnya dengan melihat kolom  $\color{red}p=0,05$  , lalu perhatikan baris  $\color{red}x=2$  untuk  $\color{red}n=2$. Berikut tabelnya

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Dari sebuah survei didapatkan bahwa}\\ &\textrm{1 dari 5 orang berkata bah dia telah}\\ &\textrm{mengunjungi dokter dalam sembarang}\\ &\textrm{bulan. Jika 10 orang dipilih secara acak}\\ &\textrm{maka peluang 3 orang telah berkunjung}\\ &\textrm{ke dokter pada bulan kemaren adalah}\: ....\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&n=10, \: x=3,\: p=\displaystyle \frac{1}{5},\: q=\frac{4}{5}\\ &\textrm{maka}\\ &P(3;10;\displaystyle \frac{1}{5})=\begin{pmatrix} 10\\ 3 \end{pmatrix}\left ( \displaystyle \frac{1}{5} \right )^{3}\left ( \displaystyle \frac{4}{5} \right )^{7} \end{aligned}\\ &\quad\qquad\qquad=\color{red}0,201 \end{array}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{TAMBAHAN}$

$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{F}.\quad&\textrm{Dsitribusi Poisson} \end{aligned}$

Perhatikanlah rumus ditribusi binomial berikut

$\begin{aligned}&f(x)=P(x;n;p)\\ &=\color{red}C(n,x)p^{x}q^{n-x}\color{black}=\color{red}\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}q^{n-x}\\ \end{aligned}$

Saat harga  $\color{blue}p$ sebagai lmabang sukses tersebut sangat kecil atau kecil sekali dapat juga dikatakan  $\color{blue}p\rightarrow 0$, dan percobaan dilakukan banyak sekali atau  $\color{blue}n\rightarrow \infty$ , maka penggunaan formula binomial akan terasa sulit. Dan untuk tetap mendapatkan nilai seperti hasil pada perhitungan dengan rumus binomial tersebut, maka digunakan pendekatan nilai dengan menggunkan rumus Distribusi Poisson berikut:

$f(x)=P(X=x)=\color{red}P(x;\lambda )=\displaystyle \frac{\lambda ^{x}}{x!}.e^{-\lambda }$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Pada tiap 100 lembarkertas produksi}\\ &\textrm{suatu pabrikdiperkirakan terdapat 1}\\ &\textrm{lembar yang rusak. Tentukanlah}\\ &\textrm{kemungkinan mendapat selembar kertas}\\ &\textrm{dari 20 lembar yang diambil secara acak}\\ &\textrm{dari hasil produksi tersebut}!\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &n=10, \: x=1,\: p=\displaystyle \frac{1}{100},\: q=\frac{99}{100}\\ &\textrm{maka penghitungan dengan}\\ &\textrm{rumus}\: \textbf{Distribusi Binomial}\\ &P(1;20;\displaystyle \frac{1}{100})=\begin{pmatrix} 20\\ 1 \end{pmatrix}\left ( \displaystyle \frac{1}{100} \right )^{1}\left ( \displaystyle \frac{99}{100} \right )^{19}\\ &=\cdots \\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Dengan rumus}\: \textbf{Distribusi poisson}\\ &\bullet \quad n=20\rightarrow \textrm{terlalu besar, dan}\\ &\bullet \quad p=\displaystyle \frac{1}{100}\rightarrow \textrm{terlalu kecil, maka}\\ &\textrm{dengan}\: \: \lambda =np=20\times \displaystyle \frac{1}{100}=\color{blue}0,2\\ &\textrm{dan}\: \: \: e=2,7183\: \: (\textrm{bilangan Euler})\\ &f(x)=P(X=x)=\displaystyle \frac{\lambda ^{x}}{x!}.e^{-\lambda }\\ &f(1)=\displaystyle \frac{(0,2)^{1}.e^{-0,2}}{1!}\\ &\qquad =0,2\times 0,409\\ &\qquad =\color{red}0,0818 \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
2. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI. Bandung: SEWU.
3. Rasiman, Rahmawati, N., D. 2012. Matematika Diskrit. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press.
4. Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.
5. Tasari, Sksin, N., Miyanto, & Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: PT. INTAN PARIWARA.
6. Yuliatun. 2019. Matematika IPA Kelas XII SMA/MA Semester Genap. Solo: INDONESIA JAYA

Distribusi Peluang Kontinue

 $\color{blue}\begin{aligned}\textrm{D. 2}.\quad&\textrm{Distribusi Peluang Kontinue} \end{aligned}$

Jika pada distribusi peluang diskrit nilai  x diperjelas lagi menjadi nilai eksak atau kontinue, maka distribusi peluangnya akan berubah menjadi distribusi peluang kontinu.

Luas seluruh daerah di dalam kurva memiliki luas 1. Luas daerah pada wilayah yang diarsi (warna kuning) yang terletak antara X=a  dan X=b dapat dinyatakan dengan :  $P(a\leq X\leq b)=\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\: \: dx$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Fungsi peluang lama bicara seorang}\\ &\textrm{operator sebagai berikut}\\ &f(x)=\begin{cases} kx &\textrm{untuk}\: \: 0\leq k\leq 5 \\ k(10-x)&\textrm{untuk}\: \: 5\leq k\leq 10\\ \qquad 0 &\textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{yang lain} \end{cases}\\ &\textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Nilai}\: \: k\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Peluang operator telpon berbicara}\\ &\qquad \textrm{lebih dari 8 menit}\\ &\qquad \textrm{Peluang operator telpon berbicara}\\ &\qquad \textrm{2 sampai 4 menit}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Karena}\: \: f(x)\: \: \textrm{adalah fungsi peluang, maka}\\ &\displaystyle \int_{0}^{5}kx\: dx+\int_{5}^{10}k(10-x)\: dx=1\\ &\Leftrightarrow \left [ \displaystyle \frac{1}{2}kx^{2} \right ]_{0}^{5}+\left [ 10kx-\displaystyle \frac{1}{2}kx^{2} \right ]_{5}^{10}=1\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2}k(5^{2}-0^{2})+\left ( 10k(10-5)-\displaystyle \frac{1}{2}k(10^{2}-5^{2}) \right )=1\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2}k(25)+10k(5)-\displaystyle \frac{1}{2}k(100-25)=1\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{25}{2}k+50k-\displaystyle \frac{75}{2}k=1\\ &\Leftrightarrow 50k-25k=1\\ &\Leftrightarrow 25k=1\\ &\Leftrightarrow k=\color{red}\displaystyle \frac{1}{25}\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Misalkan saja}\\ &X=\textrm{lama operator telpon bicara}\\ &\textrm{Peluang operator berbicara lebih}\\ &\textrm{dari 8 menit}=P(X>8),\\ &P(X>8)=P(8<X\leq 10)\\ &\quad\qquad =\displaystyle \int_{8}^{10}k(10-x)\: dx\\ &\quad\qquad =\displaystyle \int_{8}^{10}\frac{1}{25}(10-x)\: dx\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{25}\left [ 10x-\displaystyle \frac{1}{2}x^{2} \right ]_{8}^{10}\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{25}\left ( 10(10-8)-\displaystyle \frac{1}{2}(10^{2}-8^{2}) \right )\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{25}\left ( 10.(2)-\displaystyle \frac{1}{2}(100-64) \right )\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{25}\left ( 20-\displaystyle \frac{1}{2}(36) \right )\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{25}(20-18)\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{25}(2)=\color{red}\frac{2}{25}=0,08\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{Peluang operator telpon berbicara}\\ &P(2\leq X\leq 4)\\ &=\displaystyle \int_{2}^{4}kx\: dx\\ &=\displaystyle \int_{2}^{4}\displaystyle \frac{1}{25}x\: dx\\ &=\displaystyle \frac{1}{25}\left [ \displaystyle \frac{1}{2}x^{2} \right ]_{2}^{4}\\ &=\displaystyle \frac{1}{25}\times \frac{1}{2}(4^{2}-2^{2})\\ &=\displaystyle \frac{1}{50}(16-4)\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{12}{50}=0,24 \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kurnia, N., dkk. 2018. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Peminatan MIPA. Bogor: YUDHISTIRA.
2. Tasari. Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.

Distribusi Peluang Diskrit

$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{D. 1}.\quad&\textrm{Distribusi Peluang Diskrit} \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\textrm{Misalkan}\: \: X\: \: \textrm{adalah variabel acak diskrit}\\ &\textrm{dari nilai}\: :\: \: x_{1},\: x_{2},\: x_{3},\: x_{4},\: \cdots \: ,\: x_{k},\: \textrm{dan}\\ &P\: \textrm{adalah seluruh nilai peluang untuk}\: :\\ &p_{1},\: p_{2},\: p_{3},\: p_{4},\: \cdots \: ,p_{k}, \textrm{maka nilai untuk}\\ &\color{blue}p_{1}+ p_{2}+ p_{3}+ p_{4}+ \cdots +p_{k}=1\\ &\textbf{dan}\\ &\textrm{Fungsi}\: \: f(x) =P(X=x)\: \: \textrm{yang mempunyai}\\ &\textrm{nilai}\: \: p_{1},\: p_{2},\: p_{3},\: p_{4},\: \cdots \: ,p_{k},\: \textrm{pada variabel}\\ &X=x_{1},\: x_{2},\: x_{3},\: x_{4},\: \cdots \: ,\: x_{k},\: \textrm{disebut fungsi}\\ &\textrm{kepekatan peluang dari variabel acak}\: \: X.\\ &\textrm{Selanjutnya jika kita gambar grafik}\: \: f(x)\\ &\textrm{terhadap}\: \: x,\: \textrm{maka kita akan grafik yang}\\ &\textrm{dinamakan dengan}\: \: \color{red}\textbf{grafik peluang} \end{aligned}$

Suatu fungsi  $f(x)=P(X=x)$  disebut fungsi peluang (probabilitas) dari  $X$, jika memenuhi syarat-syarat:

$\color{blue}\begin{matrix} (\textrm{i})\quad f(x)\geq 0\: \: \: \textrm{untuk semua}\: \: x\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: \:  \\\\ (\textrm{ii})\quad \sum_{i=1}^{n}f\left ( x_{i} \right )=\color{red}f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3})+...+f(x_{n})=\color{black}1 \end{matrix}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Pada percobaan melempar 3 koin identik}\\ &\textrm{sekaligus bersama-sama. Variabel acak}\\ &\textrm{dalam hal ini pada kejadian muncul sisi}\\ &\textrm{gambar, tentukan}\\ &\textrm{a}.\: \: \textrm{distribusi peluangnya}\\ &\textrm{b}.\: \: \textrm{tabel fungsi peluangnya}\\ &\textrm{c}.\: \: \textrm{grafik fungsi peluangnya}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui dari soal}\: \: \color{red}\textrm{variabel acak}\\ &\textrm{pada kejadian di atas adalah munculnya}\\ &\textrm{sisi gambar pada pelemparan 3 koin}\\ &\textrm{maka} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Distribusi peluangnya}\\ &\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \textrm{Sampel}&AAA&AA\color{red}G&A\color{red}G\color{black}A&A\color{red}GG&\color{red}G\color{black}AA&\color{red}G\color{black}A\color{red}G&\color{red}GG\color{black}A&\color{red}GGG\\\hline \textrm{Muncul}\: \color{red}(G)&0&1&1&2&1&2&2&3\\\hline \end{array}\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Tabel fungsi peluangnya}\\ &x=\textrm{muncul kejadian sisi gambar}\: \: \color{red}(G)\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&1&2&3&\color{red}\textrm{Jumlah}\\\hline f(x)&\displaystyle \frac{1}{8}&\displaystyle \frac{3}{8}&\displaystyle \frac{3}{8}&\displaystyle \frac{1}{8}&\color{red}1\\\hline \end{array}\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{Grafik fungsi peluangnya adalah}\\ & \end{aligned} \end{array}$

 

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Pada sebuah kotak terdapat 2 kelereng}\\ &\textrm{biru dan 4 kelereng merah. Tiga kereng}\\ &\textrm{diambil secara acak. Tentukanlah distribusi}\\ &\textrm{peluang}\: \: \color{red}x\: \: \color{black}\textrm{jika}\: \: \color{red}x\: \: \color{black}\textrm{menyatakan banyaknya}\\ &\textrm{terambilnya bola biru}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|c|}\hline \qquad\qquad\textrm{Nama}&\textrm{Perhitungan}\\\hline \textrm{Banyak}&\\ \textrm{titik sampel}&\begin{aligned}C_{3}^{6}&=\displaystyle \frac{6!}{3!(6-3)!}=20 \end{aligned}\\\hline \textrm{Banyak cara}&\\ \textrm{mendapatkan bola biru}&C_{x}^{2}\\\hline \textrm{Banyak cara}&\\ \textrm{mendapatkan bola merah}&C_{3-x}^{4}\\\hline \end{array} \end{array}$

$.\quad \: \begin{array}{|l|l|}\hline \color{red}\textrm{Distribusi peluang}&\qquad\quad\color{red}\textrm{Perhitungan}\\\hline P(X=x)=f(x)&f(x)=\displaystyle \frac{\displaystyle C_{x}^{2}.C_{3-x}^{4}}{\displaystyle C_{3}^{6}},\\ \textrm{untuk}&\begin{aligned}x&=0,1,2 \end{aligned}\\\hline x=0\Rightarrow P(x=0)&f(x)=\displaystyle \frac{\displaystyle C_{0}^{2}.C_{3-0}^{4}}{\displaystyle C_{3}^{6}}\\ &.\: \: \, \quad=\displaystyle \frac{\displaystyle C_{0}^{2}.C_{3}^{4}}{\displaystyle C_{3}^{6}}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2!}{0!2!}\times \frac{4!}{3!1!}}{\displaystyle \frac{6!}{3!3!}}\\ &.\: \: \, \quad=\displaystyle \frac{2!4!3!3!}{2!3!6!}=0,2\\\hline x=1\Rightarrow P(x=1)&f(x)=\displaystyle \frac{\displaystyle C_{1}^{2}.C_{3-1}^{4}}{\displaystyle C_{3}^{6}}\\ &.\: \: \, \quad=\displaystyle \frac{\displaystyle C_{1}^{2}.C_{2}^{4}}{\displaystyle C_{3}^{6}}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2!}{1!1!}\times \frac{4!}{2!2!}}{\displaystyle \frac{6!}{3!3!}}\\ &.\: \: \, \quad=\displaystyle \frac{2!4!3!3!}{2!2!6!}=0,6\\\hline x=2\Rightarrow P(x=2)&f(x)=\displaystyle \frac{\displaystyle C_{2}^{2}.C_{3-2}^{4}}{\displaystyle C_{3}^{6}}\\ &.\: \: \, \quad=\displaystyle \frac{\displaystyle C_{2}^{2}.C_{1}^{4}}{\displaystyle C_{3}^{6}}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2!}{2!0!}\times \frac{4!}{1!3!}}{\displaystyle \frac{6!}{3!3!}}\\ &.\: \: \, \quad=\displaystyle \frac{2!4!3!3!}{2!3!6!}=0,2\\\hline \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tunjukkan bahwa fungsi}\: \: P(x)=\displaystyle \frac{x+2}{12}\\ &\textrm{untuk}\: \: x=1,2,\: \textrm{dan}\: \: 3\: \: \textrm{merupakan fungsi}\\ &\textrm{peluang}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Perhatik}&\textrm{an bahwa}\\ \bullet \quad P(1)&=\displaystyle \frac{1+2}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\\ \bullet \quad P(2)&=\displaystyle \frac{2+2}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} \\ \bullet \quad P(3)&=\displaystyle \frac{5+2}{12}=\frac{5}{12} \\ \textrm{Sehing}&\textrm{ga}\: \: \displaystyle \sum_{i=1}^{3}P(i)=\displaystyle \frac{3}{12}+\frac{4}{12}+\frac{5}{12}=\color{red}\frac{12}{12}=1\\ &\begin{cases} (\textrm{i}) & \textrm{Peluangnya berada}\: \: \color{red}0\leq P(i)\leq 1 \\ (\textrm{ii}) & \textrm{dan nilai totolnya}=\displaystyle \color{red}\sum_{i=1}^{3}P(i)=1 \end{cases}\\ \textrm{Jadi},\: &\textrm{fungsi}\: \: P(x)=\displaystyle \frac{x+2}{12}\: \: \textrm{untuk}\: \: x=1,2,\: \textrm{dan}\: \: 3\\ &\textbf{merupakan fungsi peluang} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diketahui fungsi peluang adalah}\: \: P(x)=\displaystyle \frac{\color{red}m}{x+1}\\ &\textrm{untuk}\: \: x=0,1,2,\: \textrm{dan}\: \: 3\: .\: \textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\: \: \textrm{nilai}\: \: \color{red}m\\ &\textrm{b}.\: \: \textrm{nilai}\: \: \color{red}P(x\leq 2)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\displaystyle \sum_{i=0}^{3}P(i)=\color{blue}1\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{\color{red}m}{0+1}+\frac{\color{red}m}{1+1}+\frac{\color{red}m}{2+1}+\frac{\color{red}m}{3+1}=1\\ &\Leftrightarrow \color{red}m\color{black}+\displaystyle \frac{\color{red}m}{2}+\frac{\color{red}m}{3}+\frac{\color{red}m}{4}=1\\ &\Leftrightarrow \left (\displaystyle \frac{12+6+4+3}{12} \right )\color{red}m\color{black}=1\\ &\Leftrightarrow \color{red}m\color{black}=\displaystyle \frac{12}{25}\\ \textrm{b}.\quad&P(x\leq 2)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)\\ &\Leftrightarrow \color{red}m\color{black}+\displaystyle \frac{\color{red}m}{2}+\frac{\color{red}m}{3}=1\\ &\Leftrightarrow \left ( \displaystyle \frac{6+3+2}{6} \right )\color{red}m\color{black}=\displaystyle \frac{11}{6}\color{red}m\\ &\Leftrightarrow \quad =\displaystyle \frac{11}{6}\left ( \displaystyle \frac{12}{25} \right )=\frac{22}{25} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Diketahui fungsi}\: \: f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x}{6} &\textrm{untuk}\: \: x=1,2,3 \\\\ 0 &\textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{yang lain} \end{cases}\\ &\textrm{adalah suatu fungsi peluang/probabilitas}\\ &\textrm{dari pubah/variabel acak}\: \: X.\: \: \textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{distribusi peluangnya untuk}\: \: X\\ &\textrm{b}.\quad P(X=2),\: P(X< 3),\: \textrm{dan}\: P(X\geq 2)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Distribusi peluangnya adalah}:\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X=x&1&2&3&4&5&\cdots &\textrm{Jumlah}\\\hline P(X=x)&\displaystyle \frac{1}{6}&\displaystyle \frac{2}{6}&\displaystyle \frac{3}{6}&\color{red}0&\color{red}0&\color{red}0&\color{blue}1\\\hline \end{array}\\ \textrm{b}.\quad &\textrm{Karena}\: \: f(x)=\begin{cases} \color{red}\displaystyle \frac{x}{6} &\textrm{untuk}\: \: x=1,2,3 \\\\ 0 &\textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{yang lain} \end{cases}\\ &\textrm{maka}\\ &\bullet P(X=2)=\color{red}\displaystyle \frac{2}{6}\\ &\bullet P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)\\ &\: \quad\qquad \qquad =\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{2}{6}\\ &\: \quad\qquad \qquad =\displaystyle \frac{3}{6}=\color{red}\frac{1}{2}\\ &\bullet P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3)\\ &\: \quad\qquad \qquad =\displaystyle \frac{2}{6}+\frac{3}{6}\\ &\: \quad\qquad \qquad =\color{red}\displaystyle \frac{5}{6} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Diketahui fungsi peluang variabel}\: \: X\\ &f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x+2}{14} &\textrm{untuk}\: \: x=0,1,2,\: \: \textrm{dan}\: \: 3 \\\\ \quad 0 &\textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{yang lain} \end{cases}\\ &\textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{bahwa}\: \: X\: \: \textrm{merupakan variabel acak diskrit}\\ &\textrm{b}.\quad P(X=4),\: F(2),\: P(1<X\leq 3),\\ &\qquad \textrm{dan}\: P(X\geq 1)\: \: \textrm{serta}\: \: P(\left |X-2 \right |\leq 1)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Distribusi peluangnya adalah}:\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c}\hline X=x&0&1&2&3&\textrm{Jumlah}\\\hline P(X=x)&\displaystyle \frac{2}{14}&\displaystyle \frac{3}{14}&\displaystyle \frac{4}{14}&\displaystyle \frac{5}{14}&1\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Karena}\: \: \displaystyle \sum_{x=0}^{3}f(x)=1,\: \textrm{serta}\\ &0\leq \displaystyle \frac{2}{14},\: \frac{3}{14},\: \frac{4}{14},\: \frac{5}{14}<1.\: \textrm{Sehingga syarat}\\ &0\leq f(x)<1\: \: \textrm{dan}\: \: \sum f(x)=1\: \: \: \color{red}\textbf{terpenuhi}\\ &\textrm{Jadi, terbukti}\: \: X\: \: \textrm{adalah variabel acak diskrit}\\ \textrm{b}.\quad&\bullet P(X=4)=f(4)=\color{red}0\\ &\bullet F(2)=P(X\leq 2)\\ &\quad\qquad=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\ &\quad\qquad=f(0)+f(1)+f(2)\\ &\quad\qquad=\displaystyle \frac{2}{14}+\frac{3}{14}+\frac{4}{14}=\color{red}\frac{9}{14}\\ &\bullet P(1<X\leq 3)=P(X=2)+P(X=3)\\ &\quad\qquad =f(2)+f(3)=\displaystyle \frac{4}{14}+\frac{5}{14}=\color{red}\displaystyle \frac{9}{14}\\ &\bullet P(X\geq 1)=f(1)+f(2)+f(3)\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{3}{14}+\frac{4}{14}+\frac{5}{14}=\color{red}\displaystyle \frac{12}{14}\\ &\bullet P(\left | X-2 \right |\leq 1)=P(-1\leq X-2\leq 1)\\ &\quad\qquad =P(1\leq X\leq 3)\\ &\quad\qquad =f(1)+f(2)+f(3)\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{3}{14}+\frac{4}{14}+\frac{5}{14}=\color{red}\displaystyle \frac{12}{14} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Distribusipeluang acak X disajikan dalam tabel berikut}\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&2&3&4\\\hline f(x)&\displaystyle \frac{1}{8}&k+\displaystyle \frac{1}{8}&2k\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Jika X merupakan variabel acak diskret, tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{nilai \textit{k}}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{nilai}\: \: \textrm{P}(\textrm{X}\geq 3)-\textrm{F}(3)\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad \sum f(x)&=f(2)+f(3)+f(4)=1\\ \Leftrightarrow \quad &\displaystyle \frac{1}{8}+k+\frac{1}{8}+2k=1\\ \Leftrightarrow \quad &3k=1-\displaystyle \frac{2}{8}=\frac{6}{8}\\ \Leftrightarrow \quad &k=\displaystyle \frac{2}{8}=\color{red}\frac{1}{4}\\ \textrm{b}.\quad \textrm{P}(\textrm{X}\, \geq 3&)-\textrm{F}(3)=\textrm{P}(\textrm{X}\geq 3)-\textrm{P}(\textrm{X}\leq 3)\\ &=f(3)+f(4)-\left ( f(2)+f(3) \right )\\ &=f(4)-f(2)\\ &=2\left ( \displaystyle \frac{1}{4} \right )-\frac{1}{8}\\ &=\displaystyle \frac{4}{8}-\frac{1}{8}=\color{red}\frac{3}{8} \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
2. Kurnia, N., dkk. 2018. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Peminatan MIPA. Bogor: YUDHISTIRA.

Fungsi Distribusi

 

Variabel Acak (Lanjutan Materi Distribusi Binomial)

$\color{blue}\textrm{C. Variabel Acak}$

Suatu besaran yang nilainya hanya tunggal dalam konsep matematis disebut sebagai konstanta, sedangkan besaran yang memungkinkan nilainya berbeda-beda disebut sebagai variabel/peubah.

Berkaitan dengan konsep variabel acak, pada contoh berikut akan diberikan contoh kejadian pelemparan sebuah uang koin sebanyak tiga kali dan didapatkan gambarannya sebagai berikut:

$\begin{aligned} \color{blue}\textrm{Mula}\: \, &(1)\quad (2)\quad (3)\quad \color{blue}\textbf{Ruang sampel}\\ \color{red}\textbf{Mulai}&\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,A,A)\\ G\rightarrow (A,A,G) \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,G,A)\\ G\rightarrow (A,G,G) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,A,A)\\ G\rightarrow (G,A,G) \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,G,A)\\ G\rightarrow (G,G,G) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{aligned}$.

Ruang sampel yang kita dapatkan dari ilustrasi pelemparan sebuah koin sebanyak tiga kali di atas adalah: S={(A,A,A),(A,A,G),(A,G,A),(A,G,G),(G,A,A),(G,A,G),(G,G,A),(G,G,G)}, sehingga  $n(S)=8$.

Selanjutnya dalam fungsi atau pemetaan $S\rightarrow R$ yang memetakan setiap anggota S (ruang sampel) ke X (range=daerah hasil), jika X adalah kejadian munculnya nilai sisi A dari cara acak pelemparan uang koin di atas, maka kita akan memiliki data sebagaimana di bawah.

$\begin{aligned}&\textrm{Perhatikanlah ilustrasi berikut}\\ &\begin{aligned} \color{blue}\textrm{Mula}\: \, &(1)\quad (2)\quad (3)\quad \color{blue}\textbf{Ruang sampel}\quad \textbf{Nilai}\\ \textbf{Mulai}&\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow \color{magenta}(A,A,A)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=3\\ G\rightarrow (A,A,G)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=2 \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,G,A)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=2\\ G\rightarrow (A,G,G)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,A,A)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=2\\ G\rightarrow (G,A,G)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=1 \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,G,A)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=1\\ G\rightarrow \color{red}(G,G,G)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi, nilai}\: \: X\: \: \textrm{yang mungkin}=\color{red}0,1,2,\: \color{black}\textrm{atau}\: \color{red}3 \end{aligned}$

Perhatikanlah contoh ilustrasi di atas, nilai  X  ternyata tidak memiliki nilai tunggal. Karena  X  tidak memiliki nilai tunggal, maka  X  selanjutnya disebut dengan variabel. Dan variabel seperti ini yang nilainya ditentukan oleh percobaan sehingga akan mendapatkan beberapa kemungkinan selanjutnya disebut dengan variabel acak. Sehingga  X  pada contoh di atas adalah salah satu contoh untuk variabel acak.

Sebagai tambahan penjelasan perhatikan pula tabel berikut

$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \textrm{No}&\textrm{Istilah}&\qquad\qquad\qquad\textrm{Penjelasan}\\\hline 8&\textrm{Cara}&\color{blue}\textrm{atau radom}.\: \textrm{yaitu setiap elemen populasi}\\ &\textrm{Acak}&\textrm{memiliki kesempatan yang yang sama}\\ &&\textrm{sehingga bersifat objektif}\\\hline 9&\textrm{Ruang}&\textrm{Himpunan dari semua hasil yang mungkin}\\ &\textrm{Sampel}&\textrm{dari sebuah percobaan}\\\hline 10&\textrm{Variabel}&\textrm{Suatu fungsi (aturan) yang memetakan }\\ &\textrm{Acak}&\textrm{setiap anggota ruang sampel dengan}\\ &(\textrm{VA})&\textrm{sebuah bilangan riil. Biasanya dinotasikan}\\ &&\textrm{dengan huruf besar, sedangkan nilai}\\ &&\textrm{variabel acaknya dinotasikan dengan}\\ &&\textrm{huruf kecil}\\\hline 11&(\textrm{VA})&\textrm{Jika VA tersebut memiliki sejumlah nilai}\\ &\textrm{Diskrit}&\textrm{yang dapat dihitung(berupa bilangan}\\ &&\textrm{bulat positif)}\\\hline 12&\textrm{VA}&\textrm{Sebaliknya yaitu berupa bilangan yang}\\ &\textrm{Kontinu}&\textrm{tidak bulat}\\\hline \end{array}$.

Tabel di atas adalah tabel lanjutan dari tabel pada halaman ini.

Perlu untuk dimengerti pada kasus pemisalan di atas untuk kejadian $(X=0)$ adalah ekivalen dengan kejadian $\left \{ (G,G,G) \right \}$ dengan nilai  $n\left \{ (X=0) \right \}=1$, sehingga peluang untuk kejadian ini adalah:

$P\left \{ (X=0) \right \}=\displaystyle \frac{n\left \{ (X=0) \right \}}{n(S)}=\displaystyle \frac{1}{8}$.

Selanjutnya untuk penulisan singkat dari perhitungan di atas adalah:

$P(X=0) =\displaystyle \frac{n\left \{ (X=0) \right \}}{n(S)}=\displaystyle \frac{1}{8}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sebuah koin dilempar sebanyak tiga kali}\\ &\textrm{tentukan peluang mendapatkan tepat}\\ &\textrm{dua angka (contoh kasus variabel acak diskrit)}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\  &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan},\: X=\textrm{banyak kejadian muncul sisi angka}  \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan uraian sampel pada materi di atas}\\ &\textrm{ada 2 sisi angka : AAG,AGA,GAA}\\ &\textrm{sehingga peluangnya}=P(X=2),\: \: \textrm{dan nilainya}\\ &P(X=2)=\displaystyle \frac{n(X=2)}{n(S)}=\color{red}\frac{3}{8} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tunjukkan bahwa total semua kejadian}\\ &\textrm{pada soal No.1 di atas, adalah 1}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan lagi ilustrasi nilai}\: \: X\: \: \textrm{yang}\\ &\textrm{mungkin, yaitu}:\: 0,1,2,\: \: \textrm{dan}\: \: 3\\ &\textrm{Karena semua kejadian saling lepas},\\ &\textrm{maka}\\ &P(X=0\cup X=1\cup X=2\cup X=3)\\ &=P(0\leq X\leq 3)\\ &=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\\ &=\displaystyle \frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}\\ &=\displaystyle \frac{8}{8}=\color{red}1\qquad \color{black}\textbf{(terbukti)}   \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Pada gambar berikut diberikan ilustrasi}\\ &\textrm{papan putar} ​\end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Jika}\: \: X_{1}\: \: \textrm{menyatakan perolehan angka pada}\\&\textrm{papan catur A. dan}\: \: X_{2}\: \: \textrm{menyatakan perolehan}\\ &\textrm{angka pada catur B. Tunjukkan bahwa}\\ &Y=X_{1}+X_{2}\: \: \textrm{adalah}\:  \textbf{variabel acak diskrit}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Pada papan putar A, peluang munculnya}\\ &\textrm{angka 2 dan 3 adalah sama, yaitu}:\\ &P(A2)=P(A3)=\displaystyle \frac{1}{4}\\ &catatan: \: \textrm{luas A1 = luas A2+A3}\\ &\textrm{Sedangkan pada papan putar B peluangnya}\\ &\textrm{sama yaitu}:P(B1)+P(B2)+P(B3)=\displaystyle \frac{1}{3} \end{aligned}$.

$.\qquad\begin{array}{|l|l|l|}\hline Y=X_{1}+X_{2}&\textrm{Hasil}&\textrm{Peluang}\: P(Y)\\\hline 2=1+1&(A1,B1)&\displaystyle \frac{2}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{12}\\\hline \begin{aligned}3&=1+2\\ &=2+1 \end{aligned}&\begin{aligned}&(A1,B2)\\ &(A2,B1) \end{aligned}&\begin{aligned}&\displaystyle \frac{2}{4}\times \frac{1}{3}\\ &+\displaystyle \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{3}{12} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}4&=1+3\\ &=2+2\\ &=3+1 \end{aligned}&\begin{aligned}&(A1.B3)\\ &(A2,B2)\\ &(A3,B1)\end{aligned}&\begin{aligned}&\displaystyle \frac{2}{4}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}\\ &+\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{4}{12} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}5&=2+3\\ &=3+2 \end{aligned}&\begin{aligned}&(A2,B3)\\ &(A3,B2) \end{aligned}&\begin{aligned}&\displaystyle \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}\\ &+\displaystyle \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{12} \end{aligned}\\\hline 6=3+3&(A3,B3)&\displaystyle \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{12}\\\hline  \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Dari tabel di atas diperoleh bahwa}\\ &P(Y=2\cup Y=3\cup Y=4\cup Y=5\cup Y=6)\\ &=P(2\leq Y\leq 6)\\ &=P(Y=2)+P(Y=3)+\cdots +P(Y=6)\\ &=\displaystyle \frac{2}{12}+\frac{3}{12}+\frac{4}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=\frac{12}{12}=1\\ &\textrm{Dari hasil di atas, maka dapat disimpulkan}\\ &Y=X_{1}+X_{2}\: \: \textrm{dengan nilai numeriknya}\\ &\textrm{adalah}\: y=2,3,4,5,6\: \: \textrm{adalah bilangan}\\ &\textrm{bulat, maka}\: \: Y\: \: \textrm{adalah}\: \:  \textbf{variabel acak}\\ &\textbf{diskrit} \end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H, Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.

Lanjutan 2 Contoh Soal Kombinasi (Dsitribusi Binomial)

 $\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Berapa banyak cara dapat memilih untuk}\\ &\textrm{3 perwakilan dari 10 anggota suatu}\\ &\textrm{kelompok, jika}\\ &\textrm{a. tanpa perlakuan khusus}\\ &\textrm{b. salah seorang harus terpilih}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Dengan tanpa perlakuan}\\ &\textrm{memilih 3 orang dari 10 orang adalah}:\\ &C(10,3)=\displaystyle \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\times 7!}=\color{blue}120\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Dengan perlakuan 1 orang terpilih}\\ &\color{red}(\textrm{1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan})\\ &\textrm{memilih 2 orang dari 9 orang adalah}:\\ &C(9,2)=\displaystyle \frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\times 8!}=\color{blue}36 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku}\\ &\textrm{matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku}\\ &\textrm{ekonomi pada suatu lemari buku yang}\\ &\textrm{di dalamnya terdapat 10 buku matematika,}\\ &\textrm{11 buku fisika dan 12 buku ekonomi}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Banyak}\: \textrm{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ &=C(10,2)\times C(11,3)\times C(12,4)\\ &=\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}\times \frac{11!}{3!\times 8!}\times \frac{12!}{4!\times 8!}\\ &=\displaystyle \frac{10\times 9}{1\times 2}\times \frac{11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3\times 4}\\ &=\color{red}3675375 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Berapa banyak cara dapat memilih 3 tas}\\ &\textrm{dan 4 dompet serta 5 kunci kotak motor}\\ &\textrm{di atas meja yang di atasnya telah tersedia}\\ &\textrm{10 tas, 11 dompet serta 12 kunci kontak}\\ &\textrm{motor}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Banyak}\: \textrm{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ &=C(10,3)\times C(11,4)\times C(12,5)\\ &=\displaystyle \frac{10!}{3!\times 7!}\times \frac{11!}{4!\times 7!}\times \frac{12!}{5!\times 7!}\\ &=\displaystyle \frac{10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3}\times \frac{11\times 10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3\times 4}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3\times 4\times 5}\\ &=120\times 330\times 792\\ &=\color{red}31363200 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Suatu kelompok yang terdiri dari 20 remaja}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Jika mereka saling berjabat tangan}\\ &\qquad \textrm{seseorang dengan lainnya hanya satu kali}\\ &\qquad \textrm{maka banyak jabat tangan yang terjadi}?\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Jika mereka membentuk regu voly, maka}\\ &\qquad \textrm{berapa banyak regu voly yang terbentuk}?\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Jika mereka membentuk regu sepak bola},\\ &\qquad \textrm{maka banyak regu sepak bola yang terbentuk}?\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\: \: n=20\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Karena jabat tangan dilakukan hanya hanya}\\ &\textrm{pada dua remaja yang berbeda dan urutan}\\ &\textrm{tidak diperlukan, maka hal ini persoalan}\\ &\textrm{kombinasi. Sehingga banyaknya jabat tangan}\\ &\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 20\\ 2 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{20!}{2!(20-2)!}=\frac{20!}{2!\times 18!}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 20\\ 2 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{20.19.\not{18!}}{2.\not{18!}}=\color{red}190\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Karena satu regu voli ada 6 orang, maka}\\ &\begin{pmatrix} 20\\ 6 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{20!}{6!(20-6)!}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 20\\ 6 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{20!}{6!\times 14!}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 20\\ 6 \end{pmatrix}=\color{red}\displaystyle \frac{20.19.18.17.16.15.\not{14!}}{720\times \not{14!}}\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{Karena satu regu terdiri dari 11 orang},\\ &\textrm{maka}\\ &\begin{pmatrix} 20\\ 11 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{20!}{11!(20-11)!}=\color{red}\frac{20!}{11!\times 9!} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Jajargenjang yang dapat dibuat oleh}\\ &\textrm{himpunan empat garis sejajar yang}\\ &\textrm{berpotongan dengan garis yang terhimpun}\\ &\textrm{dalam 7 garis sejajar adalah}\: ....\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa kombinasi dari dua himpunan}\\ &\textrm{garis sejajar yang masing-masing berjumlah}\\ &\textrm{4 dan 7 garis, maka}\: \color{red}\textrm{banyak jajar genjang}\\ &\begin{aligned}&=\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 7\\ 2 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{4!}{2!(4-2)!}\times \frac{7!}{2!\times (7-2)!}\\ &=\displaystyle \frac{4\times 3\times \not{2!}}{2\times \not{2!}}\times \frac{7\times 6\times \not{5!}}{2\times \not{5!}}\\ &=6\times 21\\ &=\color{red}126\: \: \color{black}\textrm{jajar genjang} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Diketahui segi enam beraturan. Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Banyak diagonal dapat dibentuk}?\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Banyak segi tiga di dalamnya}?\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Banyak perpotongan diagonal-diagonal}\\ &\qquad \textrm{jika tidak ada titik-titik perpotongan}\\ &\qquad \textrm{yang sama}?\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui segi}-n\: \: \textrm{dengan}\: \: n=6\\ &\textrm{Dan perlu diingat bahwa di sini tidak diperlukan}\\ &\textrm{urutan mana yang perlu didahulukan, maka}\\ &\textrm{rumus kombinasi yang perlu digunakan, yaitu}\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Banyak diagonalnya adalah}:\\ &\begin{pmatrix} n\\ 2\end{pmatrix}-n=\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}\\ &\Leftrightarrow \qquad\quad=\displaystyle \frac{6.(6-3)}{2}=\frac{6.3}{2}=\color{red}9\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Banyaknya segi tiga, berarti melibatkan}\\ &\textrm{tiga garis, maka}\\ &\begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{6!}{3!\times (6-3)!}=\frac{6\times 5\times 4\times \not{3!}}{6\times \not{3!}}=\color{red}20\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{Satu buah titik potong dapat dibentuk}\\ &\textrm{dengan dua garis ekuivalen dengan empat}\\ &\textrm{buah titik sudut, maka banyaknya titik}\\ &\textrm{potong adalah}:\\ &\begin{pmatrix} 6\\ 4 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{6!}{4!\times (6-4)!}=\frac{6!}{4!\times 2!}=\color{red}15 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{Perhatikalah dua ilustrasi gambar berikut} \end{array}$

Gambar (1)

Gambar (2)

$\begin{array}{ll}\\ .\quad\: \, &\textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{jalur terpendek dari titik A ke B}\\ &\qquad \textrm{pada gambar (1)}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{jalur terpendek dari titik P ke Q}\\ &\qquad \textrm{pada gambar (2)}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Perhatikanlah bahwa langkah dari titik A}\\ &\textrm{ke titik B harus terdiri dari 8 langkah, yaitu}\\ &\textrm{3 langkah ke kanan dan 5 langkah ke atas}\\ &\textrm{Karena yang diinginkan lintasan terpendek}\\ &\textrm{dan tidak ada kekhususn harus dimulai dari}\\ &\textrm{mana, maka banyaknya langkah berbdeda}\\ &\textrm{dan terpendek adalah}:\\ &\begin{pmatrix} 8\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \color{red}\textrm{atau}\: \: \color{black}\begin{pmatrix} 8\\ 5 \end{pmatrix}.\: \textrm{Misal kita hitung salah}\\ &\textrm{satunya saja}:\\ &\begin{pmatrix} 8\\ 3 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{8!}{3!(8-5)!}=\frac{8!}{3!\times 5!}=\frac{8.7.6.\not{5!}}{6.\not{5!}}=\color{red}56 \end{aligned} \end{array}$

$.\qquad\: \, \begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Untuk poin b, perhatikanlah ilustrasi}\\ &\textrm{gambar berikut(untuk memudahkan}\\ &\textrm{perhitungan). Tempatkan titik-titik}\\ &\textrm{bantu A, B, C, D, E, dan F seperti}\\ &\textrm{pada gambar berikut} \end{aligned}$

$.\qquad\: \, \begin{aligned}.\quad&\textrm{Perhatikanlah untuk setiap lintasan}\\ &\textrm{terpendek dari titik P ke titik Q}\\ &\textrm{dapat dipastikan akan melewati}\\ &\textrm{titik A, B, C, dan D. Sehingga dari}\\ &\textrm{keempat titik itulah akan diperoleh}\\ &\textrm{rute PAQ, PBQ, PCQ, dan PDQ}.\\ &\textrm{Sehingga banyak rute terpendek dari}\\ &\textrm{titik P ke Q yang selanjutnya kita}\\ &\textrm{simbolkan dengan}\: \: \color{red}\#PQ\: \: \color{black}\textrm{adalah}:\\ &\begin{aligned}\color{red}\#PQ&=\#PAQ+\#PBQ+\#PCQ+\#PDQ\\ &=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}+\color{magenta}\#PECQ+\#PFCQ+\#PFDQ\\ &=1.1+4.5+\color{magenta}\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}\color{black}+\color{magenta}\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}\color{black}+\color{magenta}\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix}\\ &=1+20+\color{magenta}3.1.3\color{black}+\color{magenta}3.3.3\color{black}+\color{magenta}3.1.1\\ &=1+20+9+27+3\\ &=\color{red}60 \end{aligned} \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Berapa banyak cara memilih 3 dari}\\ &\textrm{7 hari yang disediakan}\\ &\textrm{(penglangan diperbolehkan)}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\begin{cases} n & =7\: \: \textrm{(hari)} \\  r & =3\: \:(\textrm{hari} ) \\ \bullet   & \textrm{Pengulangan dibolehkan} \end{cases}\\ &=\begin{pmatrix} n+r-1\\ r \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 7+3-1\\  3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 9\\  3 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{9!}{3!(9-3)!}=\displaystyle \frac{9!}{3!\times 6!}=\displaystyle \frac{9\times 8\times 7}{1\times 2\times 3}\\  &=\color{red}84 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Sebuah toko roti menjual 8 jenis roti}\\ &\textrm{Jika seseorang membeli 12 buah roti}\\ &\textrm{dengan setiap jenis minimal 1 buah}\\ &\textrm{berapa banyak kemungkinannya}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\begin{cases} n & =12\: \: \textrm{(buah)} \\  r & =8\: \:(\textrm{jenis roti} ) \\ \bullet   & \textrm{Pengulangan dibolehkan} \\ \bullet   & \textrm{minimal 1 jenis roti} \end{cases}\\ &=\begin{pmatrix} n-r+(r-1)\\ (r-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n-1\\  r-1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 12-1\\  8-1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 11\\  7 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{11!}{7!(11-7)!}=\displaystyle \frac{11!}{7!\times 4!}\\&=\displaystyle \frac{11\times 10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3\times 4}\\  &=\color{red}330 \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
2. Ibrahim, Mussafi, N, S, M. 2013. Pengantar Kombinatorika dan Teori Graf. Yogyakarta: GRAHA ILMU.
3. Johnaes, Kastolan, & Sulasim. 2004. Kompetensi Matematika SMA Kelas 2 Semester 1 Program Ilmu Sosial KBK 2004. Jakarta: YUDHISTIRA.
4. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI (Wajib). Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
5. Kartini, Suprapto, Subandi, & Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
6. Sobirin. 2006. Kompas Matematika: Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika (SMA Kelas XI IPA). Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
7. Sukino. 2011. Maestro Olimpiade Matematika SMP Seri B. Jakarta: ERLANGGA.
8. Susyanto, N, 2012. Tutor Senior Olimpiade Matematika Lima Benua Tingkat SMP. Yogyakarta: KENDI MAS MEDIA.
9. Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika SMU Jilid 2 Kelas 2 Berdasarkan Kurikulum 1994 Suplemen CBPP 1999. Jakarta: ERLANGGA.