PAS MATEMATIKA BLOG

Peluang Kejadian Majmuk (Lanjutan Materi 1 Kelas XII Matematika Wajib)

$\begin{aligned} C . & Peluang Kejadian Tunggal \end{aligned}$

Jika A adalah suatu kejadian dengan $A \subset S$ dan S suatu ruang sampel, maka peluang kejadian A didefinisikan dengan

$\begin{aligned} P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} \\ Keterangan & : \\ P (A) & = Peluang kejadian A \\ n (A) & = Banyak elemen pada suatu \\ kejadian A \\ n (S) & = Banyak titik sampel pada \\ ruang sampel S \end{aligned}$

$\begin{aligned} Dari k & emungkinan di atas \\ dapat & disimpulkan \\ a & Kisaran nilai peluangnya, yaitu \\ 0 \leq P (A) \leq 1 \\ b & Jika A = \emptyset, maka P (A) = 0 \\ dan ini dinamakan kejadian \\ yang mustahil \\ c & Jika A = S, maka P (A) = 1 \\ dan kejadian ini dinamakan \\ kejadian yang pasti terjadi \end{aligned}$

$\begin{aligned} D . & Frekuensi Harapan Suatu Kejadian \end{aligned}$

Frekuensi harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang suatu kejadian dengan dengan banyaknya percobaan dan dirumuskan dengan

$\begin{aligned} f_{h} (A) & = \frac{n (A)}{n (S)} \times n \end{aligned}$

$CONTOH SOAL$

$\begin{array}{ll} 1. & Sebuah dadu dilempar sekali. Berapakah \\ peluang munculnya mata dadu lebih \\ dari 3 \\ Jawab : \\ Misalkan A kejadian muncul mata dadu \\ lebih dari 3, maka \\ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, dan \\ A = {4, 5, 6} \\ Sehingga \\ P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\ Jadi, peluang kejadian ini adalah \frac{1}{2} \end{array}$

Peluang Kejadian Majmuk (Matematika Wajib Kelas XII)

Masih ingat konsep materi peluang pada saat Amda duduk di SMP?

$\begin{aligned} A . & Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian \end{aligned}$

Mari lakukan aktivitas berikut

$\begin{array}{clcc} No . & Percobaan & Titik & Notasi \\ Sampel & Himpunan \\ 1 & Pelemparan sekeping \\ uang logam & A, G & {A, G} \\ 2 & Pelemparan dua keping & A A, \\ mata uang logam & A G, \\ secara bersamaan & G A, & \dots \\ G G \\ 3 & Pelemparan sebuah \\ dadu & \dots & \dots \\ 4 & Pelemparan dua buah \\ dadu secara bersamaan & \dots & \dots \end{array}$

$\begin{aligned} Sebagai penjelasan istilah di atas adalah : \\ Percobaan : proses berupa tindakan yang \\ bisa diamati atau dapat juga dikatakan \\ suatu tindakan untuk mendapatkan hasil \\ tertentu \\ Ruang sampel : kumpulan dari semua \\ hasil yang mungkin dari sebuah percobaan \\ Titik Sampel : tiap hasil yang mungkin \\ Kejadian atau peristiwa (event) : \\ hasil-hasil (titik-titik sampel) tertentu \\ dari ruang sampel . \end{aligned}$

Selanjutnya ruang sampel dilambangkan dengan S dan kejadian/event dilambangkan dengan E.

$\begin{aligned} B . & Penentuan Ruang Sampel \end{aligned}$

Ada 2 macam penentuan ruang sampel, yaitu tabel dan diagram pohon

Sebagai misal pada pelemparan 3 buah uang koin sebanyak tiga kali, maka akan didapatkan ruang sampel sebagai berikut

$\begin{aligned} a . & Dengan tabel \\ Mula-mula (pelemparan) 1 & 2 \\ \begin{array}{ccc} A & G \\ A & A A & A G \\ G & G A & G G \end{array} \\ selanjutnya pada pelemparan ke-3 \\ \begin{array}{ccc} A & G \\ A A & A A A & A A G \\ A G & A G A & A G G \\ G A & G A A & G A G \\ G G & G G A & G G G \end{array} \\ b & Dengan Diagram Pohon \\ \begin{aligned} Mula & (1) (2) (3) Ruang sampel \\ Mulai & {\begin{array}{c} A {\begin{matrix} A {\begin{matrix} A \to (A, A, A) \\ G \to (A, A, G) \end{matrix} \\ G {\begin{matrix} A \to (A, G, A) \\ G \to (A, G, G) \end{matrix} \end{matrix} \\ G {\begin{matrix} A {\begin{matrix} A \to (G, A, A) \\ G \to (G, A, G) \end{matrix} \\ G {\begin{matrix} A \to (G, G, A) \\ G \to (G, G, G) \end{matrix} \end{matrix} \end{array} \end{aligned} \end{aligned}$

$CONTOH SOAL$

$\begin{array}{ll} 1. & Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, \\ tentukanlah \\ a . ruang sampel \\ b . titik sampel \\ c . banyak titik sampel \\ d . banyak kejadian muncul mata dadu 6 \\ e . banyak kejadian muncul mata dadu ganjil \\ Jawab : \\ a . ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \\ b . titik sampel : 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 \\ c . banyak titik sampel : n (S) = 6 \\ d . kejadian muncul mata dadu 6, E = {6} \\ n (E) = 1 \\ e . kejadian muncul mata dadu ganjil, \\ E = {1, 3, 5}, n (E) = 3 \end{array}$

$\begin{array}{ll} 2. & Pada percobaan pelemparan sekeping uang \\ logam, tentukanlah \\ a . ruang sampel \\ b . titik sampel \\ c . banyak titik sampel \\ d . banyak kejadian muncul sisi angka \\ e . banyak kejadian muncul sisi gambar \\ Jawab : \\ a . ruang sampel S = {A, G} \\ b . titik sampel : A dan G \\ c . banyak titik sampel : n (S) = 2 \\ d . kejadian muncul sisi angka, E = {A} \\ n (E) = 1 \\ e . kejadian muncul sisi gambar, E = {G} \\ n (E) = 1 \end{array}$

$\begin{array}{ll} 3. & Pada percobaan pelemparan 2 keping uang \\ logam, tentukanlah \\ a . ruang sampel \\ b . titik sampel \\ c . banyak titik sampel \\ d . banyak kejadian muncul 2 angka \\ e . banyak kejadian muncul minimal \\ sebuah sisi gambar \\ Jawab : \\ a . ruang sampel \\ S = {A A, A G, G A, G G} \\ b . titik sampel : A A, A G, G A dan G G \\ c . banyak titik sampel : n (S) = 4 \\ d . kejadian muncul 2 sisi angka, E = {A A} \\ n (E) = 1 \\ e . kejadian muncul minimal \\ sebuah sisi gambar E = {A G, G A, G G} \\ n (E) = 3 \end{array}$

Binomial Newton pada Kombinasi (Matematika Wajib Kelas XII)

Pengayaan:

$E. Binomial Newton$

$E. 1 Binomial Newton$

$\begin{aligned} Perhatikanlah susunan bilangan berikut \\ \begin{array}{cl} 1 = C_{0}^{1} 1 = C_{1}^{1} & (a + b)^{1} \\ 1 = C_{0}^{2} 2 = C_{1}^{2} 1 = C_{2}^{2} & (a + b)^{2} \\ 1 = C_{0}^{3} 3 = C_{1}^{3} 3 = C_{2}^{3} 1 = C_{3}^{3} & (a + b)^{3} \\ 1 = C_{0}^{4} 4 = C_{1}^{4} 6 = C_{2}^{4} 4 = C_{3}^{4} 1 = C_{4}^{4} & (a + b)^{4} \\ ⋮ & ⋮ \\ d s t & (a + b)^{\dots} \\ ⋮ & ⋮ \\ (a + b)^{n} \end{array} \\ Susunan bilangan-bilangan di atas selanjutnya \\ dinamakan Segitiga Pascal \end{aligned}$

$\begin{aligned} Bilangan C_{r}^{n} = (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) merupakan koefisien \\ dari binomial (a + b)^{n} \\ Selanjutnya perhatikanlah bahwa untuk \\ n = 1, 2, 3, 4, \dots berlaku \\ \begin{aligned} (a + b)^{n} = & C_{0}^{n} a^{n} b^{0} + C_{1}^{n} a^{n - 1} b^{1} + C_{2}^{n} a^{n - 2} b^{2} \\ + C_{3}^{n} a^{n - 3} b^{3} + \dots + C_{n - 3}^{n} a^{3} b^{n - 3} \\ + C_{n - 2}^{n} a^{2} b^{n - 2} + C_{n - 1}^{n} a^{1} b^{n - 1} + C_{n}^{n} a^{0} b^{n} \\ = \sum_{r = 0}^{n} C_{r}^{n} a^{n - r} b^{r} \end{aligned} \end{aligned}$

$E. 2 Perluasan Binomial Newton$

$\begin{aligned} Untuk bilangan real n dan bilangan \\ non negatif r, serta | A | < 1, berlaku : \\ (1 + A)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} C_{r}^{n} A^{r} \end{aligned}$

$E. 3 Teorema Multinomial$

Pada bentuk multinomial dengan ekspresi $(x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{r})^{n}$ dengan n dan r bilangan bulat positif, maka koefisien dari $x_{1}^{n_{1}} x_{2}^{n_{2}} x_{3}^{n_{3}} \dots x_{r}^{n_{r}}$ adalah $\frac{n!}{n_{1}! n_{2}! n_{3}! \dots n_{r}!}$ dinotasikan dengan $(\begin{matrix} n \\ n_{1}, n_{2}, n_{3}, \dots, n_{r} \end{matrix})$

$CONTOH SOAL$

$\begin{array}{ll} 1. & Misalkan untuk n bilangan bulat \\ Positif. Tunjukklan bahwa \\ a . (1 + x)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} C_{r}^{n} x^{r} = \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) x^{r} \\ b . (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} n \\ n \end{array}) = 2^{n} \\ Bukti \\ \begin{aligned} a . (1 + x) & ^{n} \\ = & C_{0}^{n} 1^{n} x^{0} + C_{1}^{n} 1^{n - 1} x^{1} + C_{2}^{n} 1^{n - 2} x^{2} \\ + C_{3}^{n} 1^{n - 3} x^{3} + \dots + C_{n - 3}^{n} 1^{3} x^{n - 3} \\ + C_{n - 2}^{n} 1^{2} x^{n - 2} + C_{n - 1}^{n} 1^{1} x^{n - 1} + C_{n}^{n} 1^{0} x^{n} \\ = & C_{0}^{n} + C_{1}^{n} x + C_{2}^{n} x^{2} + C_{3}^{n} x^{3} + \dots \\ + C_{n - 3}^{n} x^{n - 3} + C_{n - 2}^{n} x^{n - 2} + C_{n - 1}^{n} x^{n - 1} \\ + C_{n}^{n} x^{n} \\ atau & dengan bentuk lain \\ = & (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) x + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) x^{2} + (\begin{array}{c} n \\ 3 \end{array}) x^{3} \\ + \dots + (\begin{array}{c} n \\ n - 3 \end{array}) x^{n - 3} + (\begin{array}{c} n \\ n - 2 \end{array}) x^{n - 2} \\ + (\begin{array}{c} n \\ n - 1 \end{array}) x^{n - 1} + (\begin{array}{c} n \\ n \end{array}) x^{n} \\ = & \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) x^{r} \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . (1 + x) & ^{n} lihat jawaban poin a, saat x = 1 \\ (1 + 1) & ^{n} = (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) 1 + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) 1^{2} + (\begin{array}{c} n \\ 3 \end{array}) 1^{3} \\ + \dots + (\begin{array}{c} n \\ n - 3 \end{array}) 1^{n - 3} + (\begin{array}{c} n \\ n - 2 \end{array}) 1^{n - 2} \\ + (\begin{array}{c} n \\ n - 1 \end{array}) 1^{n - 1} + (\begin{array}{c} n \\ n \end{array}) 1^{n} \\ (2) & ^{n} = (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 3 \end{array}) \\ + \dots + (\begin{array}{c} n \\ n - 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ n \end{array}) \\ = & \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) \\ Sehing & ga \\ 2^{n} & = \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 2. & Misalkan untuk n bilangan bulat \\ Positif. Tunjukklan bahwa \\ (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) - \dots + (- 1)^{n} (\begin{array}{c} n \\ n \end{array}) = 0 \\ Bukti \\ Sebelumnya diketahui bahwa \\ \begin{aligned} (a + b)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) a^{n - r} b^{r} \\ atau \\ \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) a^{n - r} b^{r} = (a + b)^{n} \\ ⧫ saat a = b = 1, maka \\ \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) 1^{n - r} 1^{r} = (1 + 1)^{n} \\ \Leftrightarrow \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) = 2^{n} . . . (bukti no. 1.b) \\ ⧫ saat a = 1 & b = - 1 maka \\ \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) 1^{n - r} (- 1)^{r} = (1 - 1)^{n} = 0 \\ Sehingga \\ (\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) - \dots + (- 1)^{n} (\begin{array}{c} n \\ n \end{array}) = 0 ◼ \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 3. & Untuk n, r \geq 0, tunjukkan bahwa \\ a . (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) = (\begin{array}{c} n \\ n - r \end{array}) \\ b . (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) = \frac{n}{r} (\begin{array}{c} n - 1 \\ r - 1 \end{array}) \\ c . (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) = \frac{n - r + 1}{r} (\begin{array}{c} n \\ r - 1 \end{array}) \\ d . (\begin{array}{c} - n \\ r \end{array}) = (- 1)^{k} (\begin{array}{c} n + r - 1 \\ r \end{array}) \\ e . (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ r + 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} n + 1 \\ r + 1 \end{array}) \\ f . (\begin{array}{c} n \\ m \end{array}) (\begin{array}{c} m \\ r \end{array}) = (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) (\begin{array}{c} n - r \\ m - r \end{array}) \\ Bukti : \\ \begin{aligned} a . (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) & = \frac{n!}{r! (n - r)!} \\ = \frac{n!}{(n - r)! (n - (n - r))!} \\ = \frac{n!}{(n - r)! r!} = (\begin{array}{c} n \\ n - r \end{array}) \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) & = \frac{n!}{r! (n - r)!} \\ = \frac{n . (n - 1)!}{r . (r - 1)! ((n - 1) - (r - 1))!} \\ = \frac{n}{r} \frac{(n - 1)!}{(r - 1)! ((n - 1) - (r - 1))!} \\ = \frac{n}{r} (\begin{array}{c} n - 1 \\ r - 1 \end{array}) \end{aligned} \\ \begin{aligned} c . (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) & = \frac{n!}{r! (n - r)!} \\ = \frac{n!}{r . (r - 1)! (n - r)!} \times \frac{((n - r) + 1)}{((n - r) + 1)} \\ = \frac{n - r + 1}{r} \times \frac{n!}{(r - 1)! ((n - r) + 1)!} \\ = \frac{n - r + 1}{r} \times \frac{n!}{(r - 1)! (n - (r - 1))!} \\ = \frac{n - r + 1}{r} (\begin{array}{c} n \\ r - 1 \end{array}) \end{aligned} \\ d . Silahkan dicoba buat latihan \\ e . Silahkan dicoba buat latihan \\ f . Silahkan dicoba buat latihan \end{array}$

$\begin{array}{ll} 4. & Tentukan nilai dari \\ a . (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 100 \\ 1 \end{array}) \\ b . (\begin{array}{c} 100 \\ 100 \end{array}) + (\begin{array}{c} 101 \\ 100 \end{array}) + (\begin{array}{c} 102 \\ 100 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 200 \\ 100 \end{array}) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 100 \\ 1 \end{array}) \\ Sebelumnya perhatikan \\ = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) \\ Karena \\ (\begin{array}{c} n \\ r - 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) = (\begin{array}{c} n + 1 \\ r \end{array}) \\ Saat \\ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) \\ Sehingga \\ \underset{(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array})}{\underset{⏟}{\underset{(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array})}{\underset{⏟}{\underset{(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array})}} + (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array})}} + (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array})}} \\ maka \\ = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} n + 1 \\ 2 \end{array}) \\ Jadi, \\ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 100 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 101 \\ 2 \end{array}) \end{aligned} \\ b Silahkan coba sendiri \\ sebagai latihan \end{array}$

$\begin{array}{ll} 5. & Tentukanlah nilai dari \\ a . \sum_{r = 0}^{1000} (\begin{array}{c} 1000 \\ r \end{array}) \\ b . (\begin{array}{c} 2009 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 3 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 2009 \\ 2004 \end{array}) \\ (OSK 2009) \\ Jawab : \\ a . \sum_{r = 0}^{1000} (\begin{array}{c} 1000 \\ r \end{array}) = \sum_{r = 0}^{1000} (\begin{array}{c} 1000 \\ r \end{array}) 1^{1000 - r} 1^{r} \\ = (1 + 1)^{1000} = 2^{1000} \\ b . \sum_{r = 0}^{2009} (\begin{array}{c} 2009 \\ r \end{array}) = 2^{2009} \\ karena (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) = (\begin{array}{c} n \\ n - r \end{array}), maka \\ (\begin{array}{c} 2009 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2009 \\ 2009 \end{array}), (\begin{array}{c} 2009 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2009 \\ 2008 \end{array}), \\ \dots, (\begin{array}{c} 2009 \\ 1004 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2009 \\ 1005 \end{array}) \\ Sehingga \\ (\begin{array}{c} 2009 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 2 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 2009 \\ 2009 \end{array}) = 2^{2009} \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} 2009 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 2 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 2009 \\ 1004 \end{array}) = \frac{2^{2009}}{2} = 2^{2008} \\ \Leftrightarrow 1 + (\begin{array}{c} 2009 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 3 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 2009 \\ 1004 \end{array}) = 2^{2008} \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} 2009 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2009 \\ 3 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 2009 \\ 1004 \end{array}) = 2^{2008} - 1 \end{array}$

Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI. Bandung: SEWU.
Rasiman, Rahmawati, N., D. 2012. Matematika Diskrit. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press.
Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.

Contoh Soal 14 (Segitiga dan Ketaksamaan)

\begin{array}{ll} 66. & Jika x, y bilangan positif, tunjukkan \\ x^{2} + y^{2} \geq \frac{(x + y)^{2}}{2} \\ Bukti : \\ Alternatif 1 \\ \begin{aligned} Perhatikan bahwa \\ (x - y)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x y + y^{2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2 x y \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} + 2 y^{2} \geq x^{2} + y^{2} + 2 x y \\ \Leftrightarrow 2 (x^{2} + y^{2}) \geq (x + y)^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq \frac{(x + y)^{2}}{2} ◼ \end{aligned} \\ Alternatif 2 \\ Dengan Ketaksamaan Holder pilih \\ λ_{1} = λ_{2} = \frac{1}{2} (\sum_{i = 1}^{2} λ_{i} = 1) akan diperoleh \\ \begin{aligned} {(\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{1})}^{\frac{1}{2}} (1 + 1)^{\frac{1}{2}} \geq x + y \\ \Leftrightarrow (x^{2} + y^{2}) (1 + 1) \geq (x + y)^{2} \\ \Leftrightarrow (x^{2} + y^{2}) \geq \frac{(x + y)^{2}}{2} ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 67. & Untuk x, y bilangan positif, tunjukkan \\ kebenaran ketaksamaan Cauchy-Schwarz \\ \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \frac{x_{3}^{2}}{y_{3}} + \dots + \frac{x_{n}^{2}}{y_{n}} \geq \frac{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{2}}{y_{1} + y_{2} + \dots + y_{n}} \\ Bukti : \\ \begin{aligned} Dengan Ketaksamaan Holder pilih \\ λ_{1} = λ_{2} = \frac{1}{2} (\sum_{i = 1}^{2} λ_{i} = 1) akan diperoleh \\ {(\frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \dots + \frac{x_{n}^{2}}{y_{n}})}^{\frac{1}{2}} (y_{1} + y_{2} + \dots + y_{n})^{\frac{1}{2}} \geq (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) \\ (\frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \dots + \frac{x_{n}^{2}}{y_{n}}) (y_{1} + y_{2} + \dots + y_{n}) \geq (\sqrt{x_{1}^{2}} + \sqrt{x_{2}^{2}} + \dots + \sqrt{x_{n}^{2}})^{2} \\ (\frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \dots + \frac{x_{n}^{2}}{y_{n}}) (y_{1} + y_{2} + \dots + y_{n}) \geq (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{2} \\ (\frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \dots + \frac{x_{n}^{2}}{y_{n}}) \geq \frac{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{2}}{(y_{1} + y_{2} + \dots + y_{n})} ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 68. & (National Mathematical Contest, Belarus-2000) \\ Jika a, b, c, x, y dan z bilangan real positif, tunjukkan \\ \frac{a^{3}}{x} + \frac{b^{3}}{y} + \frac{c^{3}}{z} \geq \frac{(a + b + c)^{3}}{3 (x + y + z)} \\ Bukti : \\ \begin{aligned} Dengan Ketaksamaan Holder pilih \\ λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = \frac{1}{3} (\sum_{i = 1}^{3} λ_{i} = 1) akan diperoleh \\ {(\frac{a^{3}}{x} + \frac{b^{3}}{y} + \frac{c^{3}}{z})}^{\frac{1}{3}} (1 + 1 + 1)^{\frac{1}{3}} (x + y + z)^{\frac{1}{3}} \geq (a + b + c) \\ \Leftrightarrow (\frac{a^{3}}{x} + \frac{b^{3}}{y} + \frac{c^{3}}{z}) (3) (x + y + z) \geq (a + b + c)^{3} \\ \Leftrightarrow (\frac{a^{3}}{x} + \frac{b^{3}}{y} + \frac{c^{3}}{z}) \geq \frac{(a + b + c)^{3}}{3 (x + y + z)} ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 69. & Jika a, b, c, x, y dan z bilangan real positif \\ dengan a + b + c = x + y + z tunjukkan bahwa \\ \frac{a^{3}}{x^{2}} + \frac{b^{3}}{y^{2}} + \frac{c^{3}}{z^{2}} \geq a + b + c \\ Bukti : \\ \begin{aligned} Dengan Ketaksamaan Holder pilih \\ λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = \frac{1}{3} (\sum_{i = 1}^{3} λ_{i} = 1) akan diperoleh \\ {(\frac{a^{3}}{x^{2}} + \frac{b^{3}}{y^{2}} + \frac{c^{3}}{z^{2}})}^{\frac{1}{3}} (x + y + z)^{\frac{1}{3}} (x + y + z)^{\frac{1}{3}} \geq (a + b + c) \\ \Leftrightarrow (\frac{a^{3}}{x^{2}} + \frac{b^{3}}{y^{2}} + \frac{c^{3}}{z^{2}}) (x + y + z)^{2} \geq (a + b + c)^{3} \\ \Leftrightarrow (\frac{a^{3}}{x^{2}} + \frac{b^{3}}{y^{2}} + \frac{c^{3}}{z^{2}}) (a + b + c)^{2} \geq (a + b + c)^{3} \\ \Leftrightarrow (\frac{a^{3}}{x} + \frac{b^{3}}{y} + \frac{c^{3}}{z}) \geq \frac{(a + b + c)^{3}}{(a + b + c)^{2}} \\ \Leftrightarrow \frac{a^{3}}{x^{2}} + \frac{b^{3}}{y^{2}} + \frac{c^{3}}{z^{2}} \geq a + b + c ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 70. & Jika a, b, c adalah bilangan real positif \\ dengan a + b + c = 1, tunjukkan \\ bahwa (\frac{1}{a} + 1) (\frac{1}{b} + 1) (\frac{1}{c} + 1) \geq 64 \\ Bukti : \\ Alternatif 1 \\ \begin{aligned} (\frac{1}{a} + 1) (\frac{1}{b} + 1) (\frac{1}{c} + 1) \\ = \frac{1}{a b c} + (\frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a}) + (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + 1 \\ Dengan AM-GM kita mendapatkan \\ ∙ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a b c}} \\ ∙ \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{(a b c)^{2}}} \\ Kita tulis sintak prosesnya di atas \\ = 1 + (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + (\frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a}) + \frac{1}{a b c} \\ \geq 1 + 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a b c}} + 3 \sqrt[3]{\frac{1}{(a b c)^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{(a b c)^{3}}} \\ \geq 1 + 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a b c}} + 3 \sqrt[3]{\frac{1}{(a b c)^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{(a b c)^{3}}} \\ = {(1 + \frac{1}{\sqrt[3]{a b c}})}^{3} \\ Karena \sqrt[3]{a b c} \leq \frac{a + b + c}{3} = \frac{1}{3}, maka \\ (\frac{1}{a} + 1) (\frac{1}{b} + 1) (\frac{1}{c} + 1) \geq {(1 + \frac{1}{\sqrt[3]{a b c}})}^{3} \\ \geq {(1 + \frac{1}{(\frac{1}{3})})}^{3} \\ \geq {(1 + 3)}^{4} \\ \geq 4^{4} \\ \geq 64 ◼ \end{aligned} \\ \begin{aligned} Alternatif 2 \\ Dengan Ketaksamaan Holder diperoleh \\ (\frac{1}{a} + 1) (\frac{1}{b} + 1) (\frac{1}{c} + 1) \geq {(\sqrt[3]{\frac{1}{a} . \frac{1}{b} . \frac{1}{c}} + \sqrt[3]{1.1 .1})}^{3} \\ \geq {(\sqrt[3]{\frac{1}{(a b c)}} + 1)}^{3} \\ \geq {(\frac{1}{\sqrt[3]{a b c}} + 1)}^{3} \\ \geq {(3 + 1)}^{3} \\ \geq 64 ◼ \end{aligned} \end{array}

Contoh 3 Soal Permutasi dan Kombinasi (Matematika Wajib Kelas XII)

$\begin{array}{ll} 11. & Dalam suatu rapat mengelilingi meja bundar \\ yang dihadiri sebanyak 7 orang \\ a . ada berapa susunan yang terjadi ? \\ b . Jika A dan B bagian dari 7 orang ini \\ duduknya selalu berdampingan, maka \\ posisi duduk yang terbentuk sejumlah ? \\ c . Jika seperti poin b, tetapi yang \\ duduk berdampingan atau saling berdekatan \\ adalah A, B, dan C \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa n = 7 \\ \begin{aligned} a . & Posisi duduk melingkarnya \\ = (7 - 1)! = 6! = 720 \\ atau \\ n = r = 7 orang, maka \\ = \frac{P (7, 7)}{7} = 6! = 720 \\ b . & Ada syarat A dan B berdampingan, maka \\ A dan B dihitung 1 objek dulu, sehingga total \\ objek ada 1 objek ditambah sisanya = 6 objek . \\ Dari 6 objek ini yang dianggap duduk melingkar \\ dengan 2 orang (A dan B) bisa gantian posisi . \\ sehingga \\ (6 - 1)! \times 2! = 5! \times 2! = 240 \\ atau \\ = \frac{P (6, 6)}{6} \times P (2, 2) \\ = 5! \times 2! = 120 \times 2 = 240 \\ b . & 3 orang (A, B, dan C) dianggap 1 objek \\ dulu sehigga yang duduk posisi melingkar \\ dianggap 5 orang, sehingga perhitungannya \\ = \frac{P (5, 5)}{5} \times P (3, 3) \\ = 24 \times 6 = 144 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 12. & Suatu kelompok yang terdiri dari 20 remaja \\ a . Jika mereka saling berjabat tangan \\ seseorang dengan lainnya hanya satu kali \\ maka banyak jabat tangan yang terjadi ? \\ b . Jika mereka membentuk regu voly, maka \\ berapa banyak regu voly yang terbentuk ? \\ c . Jika mereka membentuk regu sepak bola, \\ maka banyak regu sepak bola yang terbentuk ? \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa n = 20 \\ \begin{aligned} a . & Karena jabat tangan dilakukan hanya hanya \\ pada dua remaja yang berbeda dan urutan \\ tidak diperlukan, maka hal ini persoalan \\ kombinasi. Sehingga banyaknya jabat tangan \\ (\begin{array}{c} n \\ r \end{array}) = \frac{n!}{r! (n - r)!} \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} 20 \\ 2 \end{array}) = \frac{20!}{2! (20 - 2)!} = \frac{20!}{2! \times 18!} \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} 20 \\ 2 \end{array}) = \frac{20.19 . ⧸ 18!}{2. ⧸ 18!} = 190 \\ b . & Karena satu regu voli ada 6 orang, maka \\ (\begin{array}{c} 20 \\ 6 \end{array}) = \frac{20!}{6! (20 - 6)!} \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} 20 \\ 6 \end{array}) = \frac{20!}{6! \times 14!} \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} 20 \\ 6 \end{array}) = \frac{20.19 .18 .17 .16 .15 . ⧸ 14!}{720 \times ⧸ 14!} \\ c . & Karena satu regu terdiri dari 11 orang, \\ maka \\ (\begin{array}{c} 20 \\ 11 \end{array}) = \frac{20!}{11! (20 - 11)!} = \frac{20!}{11! \times 9!} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 13. & Jajargenjang yang dapat dibuat oleh \\ himpunan empat garis sejajar yang \\ berpotongan dengan garis yang terhimpun \\ dalam 7 garis sejajar adalah . . . . \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa kombinasi dari dua himpunan \\ garis sejajar yang masing-masing berjumlah \\ 4 dan 7 garis, maka banyak jajar genjang \\ \begin{aligned} = (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 7 \\ 2 \end{array}) \\ = \frac{4!}{2! (4 - 2)!} \times \frac{7!}{2! \times (7 - 2)!} \\ = \frac{4 \times 3 \times ⧸ 2!}{2 \times ⧸ 2!} \times \frac{7 \times 6 \times ⧸ 5!}{2 \times ⧸ 5!} \\ = 6 \times 21 \\ = 126 jajar genjang \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 14. & Diketahui segi enam beraturan. Tentukanlah \\ a . Banyak diagonal dapat dibentuk ? \\ b . Banyak segi tiga di dalamnya ? \\ c . Banyak perpotongan diagonal-diagonal \\ jika tidak ada titik-titik perpotongan \\ yang sama ? \\ Jawab : \\ Diketahui segi - n dengan n = 6 \\ Dan perlu diingat bahwa di sini tidak diperlukan \\ urutan mana yang perlu didahulukan, maka \\ rumus kombinasi yang perlu digunakan, yaitu \\ \begin{aligned} a . & Banyak diagonalnya adalah : \\ (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) - n = \frac{n (n - 3)}{2} \\ \Leftrightarrow = \frac{6. (6 - 3)}{2} = \frac{6.3}{2} = 9 \\ b . & Banyaknya segi tiga, berarti melibatkan \\ tiga garis, maka \\ (\begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array}) = \frac{6!}{3! \times (6 - 3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times ⧸ 3!}{6 \times ⧸ 3!} = 20 \\ c . & Satu buah titik potong dapat dibentuk \\ dengan dua garis ekuivalen dengan empat \\ buah titik sudut, maka banyaknya titik \\ potong adalah : \\ (\begin{array}{c} 6 \\ 4 \end{array}) = \frac{6!}{4! \times (6 - 4)!} = \frac{6!}{4! \times 2!} = 15 \end{aligned} \end{array}$

\begin{array}{ll} 15. & Perhatikalah dua ilustrasi gambar berikut \end{array}

Gambar (1)

Gambar (2)

\begin{array}{ll} . & Tentukanlah \\ a . jalur terpendek dari titik A ke B \\ pada gambar (1) \\ b . jalur terpendek dari titik P ke Q \\ pada gambar (2) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & Perhatikanlah bahwa langkah dari titik A \\ ke titik B harus terdiri dari 8 langkah, yaitu \\ 3 langkah ke kanan dan 5 langkah ke atas \\ Karena yang diinginkan lintasan terpendek \\ dan tidak ada kekhususn harus dimulai dari \\ mana, maka banyaknya langkah berbdeda \\ dan terpendek adalah : \\ (\begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array}) atau (\begin{array}{c} 8 \\ 5 \end{array}) . Misal kita hitung salah \\ satunya saja : \\ (\begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array}) = \frac{8!}{3! (8 - 5)!} = \frac{8!}{3! \times 5!} = \frac{8.7 .6 . ⧸ 5!}{6. ⧸ 5!} = 56 \end{aligned} \end{array}

. \begin{aligned} b . & Untuk poin b, perhatikanlah ilustrasi \\ gambar berikut(untuk memudahkan \\ perhitungan). Tempatkan titik-titik \\ bantu A, B, C, D, E, dan F seperti \\ pada gambar berikut \end{aligned}

. \begin{aligned} . & Perhatikanlah untuk setiap lintasan \\ terpendek dari titik P ke titik Q \\ dapat dipastikan akan melewati \\ titik A, B, C, dan D. Sehingga dari \\ keempat titik itulah akan diperoleh \\ rute PAQ, PBQ, PCQ, dan PDQ . \\ Sehingga banyak rute terpendek dari \\ titik P ke Q yang selanjutnya kita \\ simbolkan dengan # P Q adalah : \\ \begin{aligned} # P Q & = # P A Q + # P B Q + # P C Q + # P D Q \\ = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array}) + # P E C Q + # P F C Q + # P F D Q \\ = 1.1 + 4.5 + (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array}) \\ = 1 + 20 + 3.1 .3 + 3.3 .3 + 3.1 .1 \\ = 1 + 20 + 9 + 27 + 3 \\ = 60 \end{aligned} \end{aligned}

DAFTAR PUSTAKA

Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
Ibrahim, Mussafi, N, S, M. 2013. Pengantar Kombinatorika dan Teori Graf. Yogyakarta: GRAHA ILMU.
Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI (Wajib). Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
Sobirin. 2006. Kompas Matematika: Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika (SMA Kelas XI IPA). Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
Sukino. 2011. Maestro Olimpiade Matematika SMP Seri B. Jakarta: ERLANGGA.
Susyanto, N, 2012. Tutor Senior Olimpiade Matematika Lima Benua Tingkat SMP. Yogyakarta: KENDI MAS MEDIA.
Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika SMU Jilid 2 Kelas 2 Berdasarkan Kurikulum 1994 Suplemen CBPP 1999. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh 2 Soal Permutasi dan Kombinasi (Matematika Wajib Kelas XII)

$\begin{array}{ll} 6. & Dari angka-angka 2,3,5,6,7, dan 9 dibuat \\ susunan bilangan \\ a. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4 \\ angka berlainan \\ b. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4 \\ angka boleh berulang \\ c. berapa banyak bilangan ganjil yang terdiri \\ dari 4 angka berlainan \\ d. berapa banyak bilangan genap yang terdiri \\ dari 4 angka berlainan \\ e. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4 \\ angka berlainan yang lebih dari 2021 \\ f. berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4 \\ angka boleh berulang yang lebih dari 2021 \\ g. berapa banyak bilangan genap yang terdiri \\ dari 4 angka berlainan yang lebih dari 2021 \\ h. berapa banyak bilangan ganjil yang terdiri \\ dari 4 angka berlainan yang lebih dari 2021 \\ Jawab : \end{array}$

$. \begin{aligned} a . & P (6, 4) = \frac{6!}{(6 - 2)!} = \frac{6!}{2!} = 6.5 .4 .3 = 360 \\ b . & P (6, 1)^{4} = 6^{4} = 1296 \\ c . & Untuk digit satuan ditentukan dulu, yaitu \\ karena digit ganjil ada 4, maka ada 4 pilihan \\ sisanya disebar ke slot ribuan sampai puluhan \\ maka \\ \begin{array}{cccc} kotak & kotak & kotak & kotak \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ digit & digit & digit & digit \\ ribuan & ratusan & puluhan & satuan \\ P (5, 1) & P (4, 1) & P (3, 1) & P (4, 1) \\ pilihan & pilihan & pilihan & pilihan \end{array} \\ Sehingga banyak bilangan yg terjadi \\ P (5, 1) . P (4, 1) . P (3, 1) . P (4, 1) = 5.4 .3 .4 = 240 \\ d . & Cara pertama \\ Semisal dengan jawaban poin c, Karena \\ digit genap ada 2, maka digit satuan ada \\ 2 pilihan, sisanya disebar, yaitu \\ \begin{array}{cccc} kotak & kotak & kotak & kotak \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ digit & digit & digit & digit \\ ribuan & ratusan & puluhan & satuan \\ P (5, 1) & P (4, 1) & P (3, 1) & P (2, 1) \\ pilihan & pilihan & pilihan & pilihan \end{array} \\ Sehingga banyak bilangan yg terjadi \\ P (5, 1) . P (4, 1) . P (3, 1) . P (2, 1) = 5.4 .3 .2 = 120 \\ Cara kedua \\ Jawaban poin a dikurangi poin c, yaitu \\ 360 - 240 = 120 \end{aligned}$

$. \begin{aligned} e . & Cara Pertama \\ Karena digit pilihannya, 2,3,5,6,7, dan 9 \\ disusun bagaimanapun bilangan 4 digit \\ yang diambilkan dari bilangan di atas \\ pasti semunya akan lebih besar dari 2021 \\ maka banyaknya bilangan yang terjadi \\ adalah : \\ \begin{array}{cccc} kotak & kotak & kotak & kotak \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ digit & digit & digit & digit \\ ribuan & ratusan & puluhan & satuan \\ P (6, 1) & P (5, 1) & P (4, 1) & P (3, 1) \\ pilihan & pilihan & pilihan & pilihan \end{array} > 2021 \\ Sehingga totalnya banyaknya \\ P (6, 1) \times P (5, 1) \times P (4, 1) \times P (3, 1) \\ = 6.5 .4 .3 = 360 \\ Cara Kedua \\ Sama seperti jawaban pada poin a \\ f . & Sama persis jawaban poin b, yaitu \\ P (6, 1)^{4} = 6^{4} = 1296 \\ Jika diuraikan adalah sebagai berikut \\ \begin{array}{cccc} kotak & kotak & kotak & kotak \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ digit & digit & digit & digit \\ ribuan & ratusan & puluhan & satuan \\ P (6, 1) & P (6, 1) & P (6, 1) & P (6, 1) \\ pilihan & pilihan & pilihan & pilihan \end{array} > 2021 \end{aligned}$

$\begin{array}{ll} 7. & Andi akan mengambil 4 buah bola dari \\ 10 warna yang berbeda. Berapakah banyak \\ kombinasi warna yang berbeda yang diambil \\ oleh Andi \\ Jawab : \\ \begin{aligned} n = 10 & dan r = 4 \\ C (n, r) & = \frac{n!}{r! (n - r)!} \\ C (10, 4) & = \frac{10!}{4! (10 - 4)!} \\ = \frac{10!}{4! \times 6!} \\ = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 6!} \\ = 420 kombinasi warna bola berbeda \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 8. & Berapa banyak cara dapat memilih untuk \\ 3 perwakilan dari 10 anggota suatu \\ kelompok, jika \\ a. tanpa perlakuan khusus \\ b. salah seorang harus terpilih \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & Dengan tanpa perlakuan \\ memilih 3 orang dari 10 orang adalah : \\ C (10, 3) = \frac{10!}{3! (10 - 3)!} = \frac{10!}{3! \times 7!} = 120 \\ b . & Dengan perlakuan 1 orang terpilih \\ (1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan) \\ memilih 2 orang dari 9 orang adalah : \\ C (9, 2) = \frac{9!}{2! (9 - 2)!} = \frac{9!}{2! \times 8!} = 36 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 9. & Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku \\ matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku \\ ekonomi pada suatu lemari buku yang \\ di dalamnya terdapat 10 buku matematika, \\ 11 buku fisika dan 12 buku ekonomi \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Banyak & cara pemilihan tersebut adalah : \\ = C (10, 2) \times C (11, 3) \times C (12, 4) \\ = \frac{10!}{2! \times 8!} \times \frac{11!}{3! \times 8!} \times \frac{12!}{4! \times 8!} \\ = \frac{10 \times 9}{1 \times 2} \times \frac{11 \times 10 \times 9}{1 \times 2 \times 3} \times \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{1 \times 2 \times 3 \times 4} \\ = 3675375 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 10. & Banyak susunan huruf yang berbeda \\ pada satu baris yang dapat dibentuk \\ dari huruf-huruf pada kata "MATEMATIKA" \\ adalah . . . . \\ Jawab : \\ {\begin{cases} Jumlah huruf & n = 10 \\ Penyusunnya, & yaitu : {\begin{cases} M & jumlah = 2 \\ A & jumlah = 3 \\ T & jumlah = 2 \\ E & banyak = 1 \\ I & banyak = 1 \\ K & banyak = 1 \end{cases} \end{cases} \\ Sehingga \\ \begin{aligned} P (10; 2, 3, 2, 1, 1, 1) & = \frac{10!}{2! .3! .2! .1! .1! .1!} \\ = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{4} \\ = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \\ = 151200 \end{aligned} \end{array}$

Ketaksamaan Holder

3. Ketaksamaan Holder

Misalkan

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}

dan

b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n}

adalah merupakan kumpulan bilangan real positif dan misalkan pula

α, β > 0

dengan

α + β = 1

, maka

\begin{aligned} (a_{1} + \dots + a_{n})^{α} (b_{1} + \dots + b_{n})^{β} \geq (a_{1}^{α} b_{1}^{β} + \dots + a_{n}^{α} b_{n}^{β}) \end{aligned}

Kesamaan terjadi jika dan hanya jika

\begin{aligned} \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{a_{3}}{b_{3}} = \dots = \frac{a_{n}}{b_{n}} \end{aligned}

Secara umum Ketaksamaan Holder dituliskan sebagai berikut:

Misalkan

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}

b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n}

, ... ,

z_{1}, z_{2}, z_{3}, \dots, z_{n}

adalah merupakan barisan bilangan tak negatif serta

λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, \dots, λ_{n}

adalah bilangan-bilangan real positif dengan

λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} + \dots + λ_{n} = 1

, maka

\begin{aligned} (a_{1} + \dots + a_{n})^{λ_{a}} (b_{1} + \dots + b_{n})^{λ_{b}} \dots (z_{1} + \dots + z_{n})^{λ_{z}} \\ \geq a_{1}^{λ_{a}} b_{1}^{λ_{b}} \dots z_{1}^{λ_{z}} + a_{2}^{λ_{a}} b_{2}^{λ_{b}} \dots z_{2}^{λ_{z}} + \dots + a_{n}^{λ_{a}} b_{n}^{λ_{b}} \dots z_{n}^{λ_{z}} \\ (a_{1} + \dots + a_{n})^{λ_{a}} (b_{1} + \dots + b_{n})^{λ_{b}} \dots (z_{1} + \dots + z_{n})^{λ_{z}} \geq \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{λ_{a}} b_{i}^{λ_{b}} \dots z_{i}^{λ_{z}} \\ {(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{λ_{a}} {(\sum_{i = 1}^{n} b_{i})}^{λ_{b}} \dots {(\sum_{i = 1}^{n} z_{i})}^{λ_{z}} \geq \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{λ_{a}} b_{i}^{λ_{b}} \dots z_{i}^{λ_{z}} \end{aligned}

\begin{aligned} Ketaksamaan terjadi jika dan hanya jika \\ a_{1} : a_{2} : \dots : a_{n} = b_{1} : b_{2} : \dots : b_{n} = z_{1} : z_{2} : \dots : z_{n} \end{aligned}

Bukti 1:

\begin{aligned} Tanpa mengurangi keumuman misalkan untuk \\ a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} = \dots = 1 \\ maka diperoleh \\ 1 \geq \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{λ_{a}} b_{i}^{λ_{b}} \dots z_{i}^{λ_{z}} atau \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{λ_{a}} b_{i}^{λ_{b}} \dots z_{i}^{λ_{z}} \leq 1 \\ Dengan AM-GM akan diperoleh \\ \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{λ_{a}} b_{i}^{λ_{b}} \dots z_{i}^{λ_{z}} \leq \sum_{i = 1}^{n} (λ_{a} a_{1} + λ_{b} b_{1} + \dots + λ_{z} z_{1}) = 1 \\ Misalkan lagi kita atur λ_{a} = λ_{b} = \frac{1}{2} \\ (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) (b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}) \geq (\sqrt{a_{1} b_{1}} + \sqrt{a_{2} b_{2}} + \dots + \sqrt{a_{n} b_{n}})^{2} \\ bentuk di atas adalah Ketaksamaan Cauchy-Schwarz \end{aligned}

Bentuk lain yang lebih luas untuk sekian-

k

variabel, adalah

\begin{aligned} \underset{k}{\underset{⏟}{(a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) (b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}) \dots (z_{1} + z_{2} + \dots + z_{n})}} \\ \geq {(\sqrt[k]{a_{1} b_{1} \dots z_{1}} + \sqrt[k]{a_{2} b_{2} \dots z_{2}} + \dots + \sqrt[k]{a_{n} b_{n} \dots z_{n}})}^{k} \end{aligned}

Bukti 2:

Dengan induksi matematika sebagaimana berikut ini

\begin{aligned} Diketahui \\ P (n) \equiv (a_{1} + \dots + a_{n})^{λ_{a}} (b_{1} + \dots + b_{n})^{λ_{b}} \dots (z_{1} + \dots + z_{n})^{λ_{z}} \geq \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{λ_{a}} b_{i}^{λ_{b}} \dots z_{i}^{λ_{z}} \\ Langkah basis \\ P (1) benar, karena (a_{1})^{λ_{a}} (b_{1})^{λ_{b}} \dots (z_{1})^{λ_{z}} \geq a_{1}^{λ_{a}} b_{1}^{λ_{b}} \dots z_{1}^{λ_{z}} \\ Langkah induksi \\ Misalkan rumus berlaku untuk n = k, yaitu \\ P (k) \equiv (a_{1} + \dots + a_{k})^{λ_{a}} (b_{1} + \dots + b_{k})^{λ_{b}} \dots (z_{1} + \dots + z_{k})^{λ_{z}} \\ \geq a_{1}^{λ_{a}} b_{1}^{λ_{b}} \dots z_{1}^{λ_{z}} + a_{2}^{λ_{a}} b_{2}^{λ_{b}} \dots z_{2}^{λ_{z}} + \dots + a_{k}^{λ_{a}} b_{k}^{λ_{b}} \dots z_{k}^{λ_{z}} \\ maka untuk n = k + 1 \\ (a_{1} + \dots + a_{k} + a_{k + 1})^{λ_{a}} (b_{1} + \dots + b_{k} + b_{k + 1})^{λ_{b}} \dots (z_{1} + \dots + z_{k} + z_{k + 1})^{λ_{z}} \\ \geq a_{1}^{λ_{a}} b_{1}^{λ_{b}} \dots z_{1}^{λ_{z}} + a_{2}^{λ_{a}} b_{2}^{λ_{b}} \dots z_{2}^{λ_{z}} + \dots + a_{k}^{λ_{a}} b_{k}^{λ_{b}} \dots z_{k}^{λ_{z}} + a_{k + 1}^{λ_{a}} b_{k + 1}^{λ_{b}} \dots z_{k + 1}^{λ_{z}} \\ = \underset{k}{\underset{⏟}{\sum_{i = 1}^{k} a_{i}^{λ_{a}} b_{i}^{λ_{b}} \dots z_{i}^{λ_{z}}}} + a_{k + 1}^{λ_{a}} b_{k + 1}^{λ_{b}} \dots z_{k + 1}^{λ_{z}} \\ = \sum_{i = 1}^{k + 1} a_{i}^{λ_{a}} b_{i}^{λ_{b}} \dots z_{i}^{λ_{z}} \equiv P (k + 1) \\ Jadi, P (n) benar untuk n = k + 1 \\ Kesimpulan \\ Jadi, P (n) benar untuk \forall n \in N \end{aligned}

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Jika x, y bilangan positif, tunjukkan \\ x^{2} + y^{2} \geq \frac{(x + y)^{2}}{2} \\ Bukti : \\ Alternatif 1 \\ \begin{aligned} Perhatikan bahwa \\ (x - y)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x y + y^{2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2 x y \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} + 2 y^{2} \geq x^{2} + y^{2} + 2 x y \\ \Leftrightarrow 2 (x^{2} + y^{2}) \geq (x + y)^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq \frac{(x + y)^{2}}{2} ◼ \end{aligned} \\ Alternatif 2 \\ Dengan Ketaksamaan Holder pilih \\ λ_{1} = λ_{2} = \frac{1}{2} (\sum_{i = 1}^{2} λ_{i} = 1) akan diperoleh \\ \begin{aligned} {(\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{1})}^{\frac{1}{2}} (1 + 1)^{\frac{1}{2}} \geq x + y \\ \Leftrightarrow (x^{2} + y^{2}) (1 + 1) \geq (x + y)^{2} \\ \Leftrightarrow (x^{2} + y^{2}) \geq \frac{(x + y)^{2}}{2} ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Untuk x, y bilangan positif, tunjukkan \\ kebenaran ketaksamaan Cauchy-Schwarz \\ \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \frac{x_{3}^{2}}{y_{3}} + \dots + \frac{x_{n}^{2}}{y_{n}} \geq \frac{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{2}}{y_{1} + y_{2} + \dots + y_{n}} \\ Bukti : \\ \begin{aligned} Dengan Ketaksamaan Holder pilih \\ λ_{1} = λ_{2} = \frac{1}{2} (\sum_{i = 1}^{2} λ_{i} = 1) akan diperoleh \\ {(\frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \dots + \frac{x_{n}^{2}}{y_{n}})}^{\frac{1}{2}} (y_{1} + y_{2} + \dots + y_{n})^{\frac{1}{2}} \geq (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) \\ (\frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \dots + \frac{x_{n}^{2}}{y_{n}}) (y_{1} + y_{2} + \dots + y_{n}) \geq (\sqrt{x_{1}^{2}} + \sqrt{x_{2}^{2}} + \dots + \sqrt{x_{n}^{2}})^{2} \\ (\frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \dots + \frac{x_{n}^{2}}{y_{n}}) (y_{1} + y_{2} + \dots + y_{n}) \geq (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{2} \\ (\frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \dots + \frac{x_{n}^{2}}{y_{n}}) \geq \frac{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{2}}{(y_{1} + y_{2} + \dots + y_{n})} ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & (National Mathematical Contest, Belarus-2000) \\ Jika a, b, c, x, y dan z bilangan real positif, tunjukkan \\ \frac{a^{3}}{x} + \frac{b^{3}}{y} + \frac{c^{3}}{z} \geq \frac{(a + b + c)^{3}}{3 (x + y + z)} \\ Bukti : \\ \begin{aligned} Dengan Ketaksamaan Holder pilih \\ λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = \frac{1}{3} (\sum_{i = 1}^{3} λ_{i} = 1) akan diperoleh \\ {(\frac{a^{3}}{x} + \frac{b^{3}}{y} + \frac{c^{3}}{z})}^{\frac{1}{3}} (1 + 1 + 1)^{\frac{1}{3}} (x + y + z)^{\frac{1}{3}} \geq (a + b + c) \\ \Leftrightarrow (\frac{a^{3}}{x} + \frac{b^{3}}{y} + \frac{c^{3}}{z}) (3) (x + y + z) \geq (a + b + c)^{3} \\ \Leftrightarrow (\frac{a^{3}}{x} + \frac{b^{3}}{y} + \frac{c^{3}}{z}) \geq \frac{(a + b + c)^{3}}{3 (x + y + z)} ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 4. & Jika a, b, c, x, y dan z bilangan real positif \\ dengan a + b + c = x + y + z tunjukkan bahwa \\ \frac{a^{3}}{x^{2}} + \frac{b^{3}}{y^{2}} + \frac{c^{3}}{z^{2}} \geq a + b + c \\ Bukti : \\ \begin{aligned} Dengan Ketaksamaan Holder pilih \\ λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = \frac{1}{3} (\sum_{i = 1}^{3} λ_{i} = 1) akan diperoleh \\ {(\frac{a^{3}}{x^{2}} + \frac{b^{3}}{y^{2}} + \frac{c^{3}}{z^{2}})}^{\frac{1}{3}} (x + y + z)^{\frac{1}{3}} (x + y + z)^{\frac{1}{3}} \geq (a + b + c) \\ \Leftrightarrow (\frac{a^{3}}{x^{2}} + \frac{b^{3}}{y^{2}} + \frac{c^{3}}{z^{2}}) (x + y + z)^{2} \geq (a + b + c)^{3} \\ \Leftrightarrow (\frac{a^{3}}{x^{2}} + \frac{b^{3}}{y^{2}} + \frac{c^{3}}{z^{2}}) (a + b + c)^{2} \geq (a + b + c)^{3} \\ \Leftrightarrow (\frac{a^{3}}{x} + \frac{b^{3}}{y} + \frac{c^{3}}{z}) \geq \frac{(a + b + c)^{3}}{(a + b + c)^{2}} \\ \Leftrightarrow \frac{a^{3}}{x^{2}} + \frac{b^{3}}{y^{2}} + \frac{c^{3}}{z^{2}} \geq a + b + c ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 5. & Jika a, b, c adalah bilangan real positif \\ dengan a + b + c = 1, tunjukkan \\ bahwa (\frac{1}{a} + 1) (\frac{1}{b} + 1) (\frac{1}{c} + 1) \geq 64 \\ Bukti : \\ Alternatif 1 \\ \begin{aligned} (\frac{1}{a} + 1) (\frac{1}{b} + 1) (\frac{1}{c} + 1) \\ = \frac{1}{a b c} + (\frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a}) + (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + 1 \\ Dengan AM-GM kita mendapatkan \\ ∙ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a b c}} \\ ∙ \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{(a b c)^{2}}} \\ Kita tulis sintak prosesnya di atas \\ = 1 + (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + (\frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a}) + \frac{1}{a b c} \\ \geq 1 + 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a b c}} + 3 \sqrt[3]{\frac{1}{(a b c)^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{(a b c)^{3}}} \\ \geq 1 + 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a b c}} + 3 \sqrt[3]{\frac{1}{(a b c)^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{(a b c)^{3}}} \\ = {(1 + \frac{1}{\sqrt[3]{a b c}})}^{3} \\ Karena \sqrt[3]{a b c} \leq \frac{a + b + c}{3} = \frac{1}{3}, maka \\ (\frac{1}{a} + 1) (\frac{1}{b} + 1) (\frac{1}{c} + 1) \geq {(1 + \frac{1}{\sqrt[3]{a b c}})}^{3} \\ \geq {(1 + \frac{1}{(\frac{1}{3})})}^{3} \\ \geq {(1 + 3)}^{4} \\ \geq 4^{4} \\ \geq 64 ◼ \end{aligned} \\ \begin{aligned} Alternatif 2 \\ Dengan Ketaksamaan Holder diperoleh \\ (\frac{1}{a} + 1) (\frac{1}{b} + 1) (\frac{1}{c} + 1) \geq {(\sqrt[3]{\frac{1}{a} . \frac{1}{b} . \frac{1}{c}} + \sqrt[3]{1.1 .1})}^{3} \\ \geq {(\sqrt[3]{\frac{1}{(a b c)}} + 1)}^{3} \\ \geq {(\frac{1}{\sqrt[3]{a b c}} + 1)}^{3} \\ \geq {(3 + 1)}^{3} \\ \geq 64 ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 6. & (IMO 2001) \\ Diberikan a, b dan c bilangan real positif, tunjukkan \\ \frac{a}{\sqrt{a^{2} + 8 b c}} + \frac{b}{\sqrt{b^{2} + 8 c a}} + \frac{c}{\sqrt{c^{2} + 8 a b}} \geq 1 \\ Bukti : \\ \begin{aligned} Dengan Ketaksamaan Holder diperoleh \\ {(\sum_{siklik}^{.} a (a^{2} + 8 b c))}^{\frac{1}{3}} {(\sum_{siklik}^{.} \frac{a}{\sqrt{a^{2} + 8 b c}})}^{\frac{1}{3}} {(\sum_{siklik}^{.} \frac{a}{\sqrt{a^{2} + 8 b c}})}^{\frac{1}{3}} \geq (\sum_{siklik}^{.} a) \\ dapat juga dituliskan lebih sederhana \\ {(\sum_{siklik}^{.} a (a^{2} + 8 b c))}^{\frac{1}{3}} {(\sum_{siklik}^{.} \frac{a}{\sqrt{a^{2} + 8 b c}})}^{\frac{2}{3}} \geq (\sum_{siklik}^{.} a) \\ \Leftrightarrow (\sum_{siklik}^{.} a (a^{2} + 8 b c)) {(\sum_{siklik}^{.} \frac{a}{\sqrt{a^{2} + 8 b c}})}^{2} \geq {(\sum_{siklik}^{.} a)}^{3} \\ \Leftrightarrow {(\sum_{siklik}^{.} \frac{a}{\sqrt{a^{2} + 8 b c}})}^{2} \geq \frac{{(\sum_{siklik}^{.} a)}^{3}}{(\sum_{siklik}^{.} a (a^{2} + 8 b c))} \\ Perhatikan bahwa \\ ∙ {(\sum_{siklik}^{.} a)}^{3} = (a + b + c)^{3} \geq a^{3} + b^{3} + c^{3} + 24 a b c \\ ∙ (\sum_{siklik}^{.} a (a^{2} + 8 b c)) = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 24 a b c \\ maka \\ {(\sum_{siklik}^{.} \frac{a}{\sqrt{a^{2} + 8 b c}})}^{2} \geq \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} + 24 a b c}{a^{3} + b^{3} + c^{3} + 24 a b c} = 1 \\ \sum_{siklik}^{.} \frac{a}{\sqrt{a^{2} + 8 b c}} \geq 1 ◼ \end{aligned} \end{array}

. \begin{aligned} Sebagai catatan \\ (a + b + c)^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \\ + 3 b^{2} c + 3 b c^{2} + 3 a^{2} c + 3 a c^{2} + 6 a b c \\ (a + b + c)^{3} - (a^{3} + b^{3} + c^{3}) = 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \\ + 3 b^{2} c + 3 b c^{2} + 3 a^{2} c + 3 a c^{2} + 6 a b c \\ Dengan AM-GM akan diperoleh bentuk \\ (a + b + c)^{3} - (a^{3} + b^{3} + c^{3}) \\ \geq 3 (3 \sqrt[3]{(a b c)^{3}} + 3 \sqrt[3]{(a b c)^{3}}) + 6 a b c \\ \geq 3 (3 a b c + 3 a b c) + 6 a b c = 24 a b c \\ Sehingga \\ (a + b + c)^{3} \geq a^{3} + b^{3} + c^{3} + 24 a b c \end{aligned}

\begin{array}{ll} 7. & Jika a, b, dan c bilangan real positif \\ dengan a + b + c = 1 tunjukkan bahwa \\ \frac{1}{a (b + c)^{2}} + \frac{1}{b (a + c)^{2}} + \frac{1}{c (a + b)^{2}} \geq \frac{81}{4} \\ Bukti : \\ \begin{aligned} Dengan Ketaksamaan Holder pilih \\ λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = λ_{4} = \frac{1}{4} (\sum_{i = 1}^{4} λ_{i} = 1) akan diperoleh \\ (a + b + c) (b + c + a + c + a + b) (b + c + a + c + a + b) (\frac{1}{a (b + c)^{2}} + \frac{1}{b (a + c)^{2}} + \frac{1}{c (a + b)^{2}}) \\ \geq (1^{.^{\frac{1}{4}}} + 1^{.^{\frac{1}{4}}} + 1^{.^{\frac{1}{4}}})^{4} = 3^{4} = 81 \\ \Leftrightarrow (1) (2) (2) (\frac{1}{a (b + c)^{2}} + \frac{1}{b (a + c)^{2}} + \frac{1}{c (a + b)^{2}}) \geq 81 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{a (b + c)^{2}} + \frac{1}{b (a + c)^{2}} + \frac{1}{c (a + b)^{2}} \geq \frac{81}{4} ◼ \end{aligned} \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Chen, E. 2014. A Brief Introduction to Olympiad Inequalities.
Riasat, S. 2008. Basics of Olympiad Inequalities.
Todinov, M.T. 2020. Risk And Uncertaintly Reduction by Using Algebraic Inequalities. Boca Raton: CRC Press.
Tung. K.Y. 2013. Ayo Raih Medali Emas Olimpiade Matematika SMA. Yogyakarta: ANDI.
Young, B. 2009. Seri Buku Olimpiade Matematika Strategi Menyelesaikan Soal-Soal Olimpiade Matematika: Ketaksamaan (Inequality). Bandung: PAKAR RAYA.

Contoh 1 Soal Permutasi dan Kombinasi (Matematika Wajib Kelas XII)

$\begin{array}{ll} 1. & Bentuk sederhana dari \\ a . 5! + 6! + 7! \\ b . \frac{(n + 1)!}{(n - 1)!} \\ c . \frac{(n + 2)!}{n!} \\ d . \frac{(n - 2)!}{(n + 1)!} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & 5! + 6! + 7! = 5! + 6.5! + 7.6 .5! \\ = (1 + 6 + 42) .5! \\ = 49.5! = 49.120 = 5880 \\ b . & \frac{(n + 1)!}{(n - 1)!} = \frac{(n + 1) n (n - 1)!}{(n - 1)!} \\ = (n + 1) n = n^{2} + n \\ c . & \frac{(n + 2)!}{n!} = \frac{(n + 1) (n + 1) n!}{n!} \\ = (n + 2) (n + 1) \\ = n^{2} + 3 n + 2 \\ d . & \frac{(n - 2)!}{(n + 1)!} = \frac{(n - 2)!}{(n + 1) n (n - 1) (n - 2)!} \\ = \frac{1}{(n + 1) n (n - 1)} \\ = \frac{1}{n^{3} - n} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 2. & Tentukanlah nilai n yang memenuhi \\ persamaan berikut \\ a . \frac{n! 3!}{6! (n - 3)!} = \frac{33}{4} \\ b . \frac{3}{8!} - \frac{2}{7!} + \frac{1}{6!} = \frac{5 n + 3}{8!} \\ c . \frac{7!}{5! 2!} : \frac{10!}{5! 5!} = 1 : 4 n \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & \frac{n! 3!}{6! (n - 3)!} = \frac{33}{4} \\ \Leftrightarrow \frac{n (n - 1) (n - 2) ⧸ (n - 3)! . ⧸ 3!}{6.5 . ⧸ 4 . ⧸ 3! ⧸ (n - 3)!} = \frac{33}{⧸ 4} \\ \Leftrightarrow n (n - 1) (n - 2) = 33.6 .5 = 11.10 .9 \\ \Leftrightarrow n (n - 1) (n - 2) = 11. (11 - 1) . (11 - 2) \\ \Leftrightarrow n = 11 \\ b . & \frac{3}{8!} - \frac{2}{7!} + \frac{1}{6!} = \frac{5 n + 3}{8!} \\ \Leftrightarrow \frac{3 - 2.8 + 56}{8!} = \frac{5 n + 3}{8!} \\ \Leftrightarrow \frac{43}{8!} = \frac{5 n + 3}{8!} \\ \Leftrightarrow 43 = 5 n + 3 \Leftrightarrow 5 n = 40 \Leftrightarrow n = 8 \\ c . & \frac{7!}{5! 2!} : \frac{10!}{5! 5!} = 1 : 4 n \\ \Leftrightarrow 4 n = \frac{5! 2! 10!}{7! 5! 5!} \\ \Leftrightarrow 4 n = \frac{⧸ 5! 2! 10.9 .8 . ⧸ 7!}{⧸ 7! 5! ⧸ 5!} \\ \Leftrightarrow n = 3 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 3. & Tentukanlah nilai n yang memenuhi \\ persamaan berikut \\ a . P (n, 2) = 42 \\ b . 7. P (n, 3) = 6. P (n + 1, 3) \\ c . 3. P (n, 4) = P (n - 1, 5) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & P (n, 2) = 42 \\ \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)!} = 42 \\ \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)!} = \frac{n \times (n - 1) \times (n - 2)!}{(n - 2)!} = 42 \\ \Leftrightarrow n \times (n - 1) = 7.6 = 7. (7 - 1) \\ \Leftrightarrow n = 7 \\ b . & 7. P (n, 3) = 6. P (n + 1, 3) \\ \frac{7. n!}{(n - 3)!} = \frac{6 (n + 1)!}{(n + 1 - 3)!} \\ \frac{7 ⧸ n!}{(n - 3)!} = \frac{6. (n + 1) . ⧸ n!}{(n - 2)!} \\ \Leftrightarrow \frac{7}{⧸ (n - 3)!} = \frac{6 n + 6}{(n - 1) ⧸ (n - 3)!} \\ \Leftrightarrow 7 (n - 2) = 6 n + 6 \\ \Leftrightarrow 7 n - 6 n = 6 + 14 \Leftrightarrow n = 20 \\ c . & 3. P (n, 4) = P (n - 1, 5) \\ \Leftrightarrow \frac{3. n!}{(n - 4)!} = \frac{(n - 1)!}{(n - 1 - 5)!} \\ \Leftrightarrow \frac{3. n . ⧸ (n - 1)!}{(n - 4)!} = \frac{⧸ (n - 1)!}{(n - 6)!} \\ \Leftrightarrow \frac{3 n}{(n - 4) (n - 5) . ⧸ (n - 6)!} = \frac{1}{⧸ (n - 6)!} \\ \Leftrightarrow 3 n = (n - 4) (n - 5) \\ \Leftrightarrow 3 n = n^{2} - 9 n + 20 \\ \Leftrightarrow n^{2} - 12 n + 20 = 0 \\ \Leftrightarrow (n - 2) (n - 10) = 0 \\ \Leftrightarrow n = 2 tidak memenuhi atau n = 10 \\ jadi, n = 10 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 4. & Jika 10 siswa akan dipilih 4 orang untuk \\ menjadi ketua kelas, wakil, sekretaris dan \\ seorang bendahara, maka banyak susunan \\ terjadi adalah . . . . \\ Jawab : \\ Penyusunan memerlukan urutan \\ maka perlu digunakan permutasi, yaitu : \\ P (n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} \\ \Leftrightarrow P (10, 4) = \frac{10!}{(10 - 4)!} = \frac{10!}{6!} \\ \Leftrightarrow = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times ⧸ 6!}{⧸ 6!} \\ \Leftrightarrow = 5040 \end{array}$

$\begin{array}{ll} 5. & Jika dari kota A ke kota B terdapat 3 jalur. \\ Dan dari kota B ke kota C terdapat 4 jalur, \\ serta dari kota C sampai ke kota D ada 5 jalur \\ Banyak jalan dari kota A ke kota D adalah . . . . \\ Jawab : \\ Jalur yang ada semuanya berbeda \\ maka perlu digunakan permutasi, yaitu : \\ P (n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} \\ \begin{aligned} a & dari A ke B ada 3 jalur cukup pilih satu, maka \\ ∙ P (3, 1) = \frac{3!}{(3 - 1)!} = \frac{3!}{2!} = 3 \\ b & dari B ke C ada 4 jalur cukup pilih satu, maka \\ ∙ P (4, 1) = \frac{4!}{(4 - 1)!} = \frac{4!}{3!} = 4 \\ c & dari C ke D ada 5 jalur cukup pilih satu, maka \\ ∙ P (5, 1) = \frac{5!}{(5 - 1)!} = \frac{5!}{4!} = 5 \end{aligned} \\ Jadi, total jalur yang dapat di lalui dari A sampai D adalah : \\ P (3, 1) \times P (4, 1) \times P (5, 1) = 3 \times 4 \times 5 = 60 \end{array}$

Materi Dasar Persiapan Mengadapi Olimpiade Matematika

Silahkan download di sini

silahkan download di sini (Barisan dan Deret)

Lanjutan Materi 3 Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik di Luar Lingkaran

D. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik di Luar Lingkaran

Coba perhatikan ilustrasi berikut

Dalam penyelesaian permasalah terkait dengan ini tidak ada rumus baku, tetapi terdapat beberapa langkah untuk mendapatkan hasil yang diinginkan, yaitu dengan menggunkan diskriminan persamaan kuadrat hasil substitusi dan menggunakan rumus persamaan garis singgung jika terdapat gardiennya.

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Tentukan persamaan garis singgung \\ pada lingkaran x^{2} + y^{2} = 25 dan \\ melalui titik (7, 1) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Alternatif 1 \\ Kita cek dulu posisi titik (7,1) ini \\ K_{(7, 1)} \equiv 7^{2} + 1^{2} = 49 + 1 = 50 > 25 \\ ini artinya titik (7,1) berada di luar \\ lingkaran x^{2} + y^{2} = 25 \\ \underset{―}{Persamaan garis singgung melalui} (7, 1) \\ y - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ \Leftrightarrow y - 1 = m (x - 7) \Leftrightarrow y = m x + (1 - 7 m) \end{aligned} \\ \underset{―}{Hasilnya kita substitusikan ke persamaan} \\ lingkaran, yaitu : \\ x^{2} + y^{2} = 25 \\ \Leftrightarrow x^{2} + (m x + (1 - 7 m))^{2} = 25 \\ \Leftrightarrow x^{2} + m^{2} x^{2} + 2 m (1 - 7 m) x + (1 - 7 m)^{2} - 25 = 0 \\ \Leftrightarrow (1 + m^{2}) x^{2} + 2 m (1 - 7 m) x + (49 m^{2} - 14 m - 24) = 0 \\ \underset{―}{Syarat menyinggung} D = 0 \\ D = b^{2} - 4 a c = 0 \\ \Leftrightarrow (2 m (1 - 7 m))^{2} - 4 (1 + m^{2}) (49 m^{2} - 14 m - 24) = 0 \\ ⋮ \\ \Leftrightarrow 96 m^{2} - 56 m - 96 = 0 \\ \Leftrightarrow 12 m^{2} - 7 m - 12 = 0 \Leftrightarrow \frac{(12 m - 16) (12 m + 9)}{4.3} = 0 \\ \Leftrightarrow (3 m - 4) (4 m + 3) = 0 \\ \Leftrightarrow m = \frac{4}{3} atau m = - \frac{3}{4} \\ \underset{―}{Substitusi gradien ke garis singgungnya} \\ y = m x + (1 - 7 m) {\begin{cases} = & \frac{4}{3} x + (1 - \frac{28}{3}) \\ = & - \frac{3}{4} x + (1 + \frac{21}{4}) \end{cases} \\ maka \\ {\begin{cases} 4 x - 3 y - 25 = 0 \\ 3 x + 4 y - 25 = 0 \end{cases} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & (SBMPTN 2015 Matematika IPA) \\ Misalkan titik A dan B pada lingkaran \\ x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + k = 0 sehingga garis \\ singgung lingkaran ke titik A dan B \\ berpotongan di C (8, 1) . Jika luas segiempat \\ yang melalui titik A, B, C dan pusat \\ lingkaran adalah 12, maka nilai k adalah . . . . \\ A . - 1 D . 2 \\ B . 0 E . 3 \\ C . 1 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \underset{―}{Lingkaran} : x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + k = 0 \\ Pusat : P (- \frac{(- 6)}{2}, - \frac{(- 2)}{2}) = (3, 1) \\ Jari-jari = r = \sqrt{3^{2} + 1^{2} - k} = \sqrt{10 - k} \\ Perhatikan ilustrasinya berikut ini \end{aligned} \end{array}

. \begin{aligned} \underset{―}{Penentuan jarak antar titik} \\ ∙ P A = r = \sqrt{10 - k} \Rightarrow P A^{2} = 10 - k \\ ∙ P C = \sqrt{(8 - 3)^{2} + (1 - 1)^{2}} = \sqrt{25} = 5 \\ △ A P C siku-siku di A, maka \\ ∙ A C^{2} = P C^{2} - P A^{2} = 5^{2} - (10 - k) = 15 - k \\ Luas PACB = [P A C] + [P B C] = 12 \\ Karena [P A C] = [P B C], maka \\ 2 (\frac{1}{2} P A \times P C) = 12 \Leftrightarrow P A \times P C = 12 \\ \Leftrightarrow (\sqrt{10 - k}) (\sqrt{15 - k}) = 12 \\ \Leftrightarrow (10 - k) (15 - k) = 144 \\ \Leftrightarrow (10 - 1) (15 - 1) = 144 \Leftrightarrow k = 1 \\ Jadi, nilai k = 1 \end{aligned}

DAFTAR PUSTAKA

Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.

Lanjutan Materi 2 Persamaan Garis Singgung Lingkaran (dengan Gradien m)

C. Garis Singgung dengan Gradien m

Perhatikan ilustrasi berikut

Jika ada 2 garis yang saling sejajar dan keduanya atau salah satunya menyinggung lingkaran dengan kondisi garis singgungnya hanya diketahui garadiennya saja tanpa diketahui persamaannya, maka bagaimana kita menentukan persamaanya garis singgung tersebut?

Coba perhatikan lagi ilustrasi gambar di atas dengan tambahan beberapa keterangan

Berikut uraiannya

\begin{aligned} Misalkan diketahui \\ ∙ Persamaan lingkarannya : x^{2} + y^{2} = r^{2} \\ ∙ Persamaan garisnya : y = m x + c \\ Jika kita substitusikan persamaan garis \\ ke persamaan lingkaran, maka hasilnya \\ x^{2} + (m x + c)^{2} = r^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} + m^{2} x^{2} + 2 m c x + c^{2} - r^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow (1 + m^{2}) x^{2} + 2 m c k + c^{2} - r^{2} = 0 \\ Syarat garis menyinggung lingkaran, D = 0 \\ D = b^{2} - 4 a c = 0 \\ \Leftrightarrow (2 m c)^{2} - 4 (1 + m^{2}) (c^{2} - r^{2}) = 0 \\ \Leftrightarrow 4 m^{2} c^{2} - 4 (c^{2} + m^{2} c^{2} - r^{2} - m^{2} r^{2}) = 0 \\ \Leftrightarrow m^{2} c^{2} - c^{2} - m^{2} c^{2} + r^{2} + m^{2} r^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow c^{2} = r^{2} + m^{2} r^{2} = r^{2} (1 + m^{2}) \\ \Leftrightarrow c = \pm r \sqrt{1 + m^{2}} \\ Sehingga persamaan garis singgungnya \\ berubah menjadi bentuk \\ y = m x + c \\ \Leftrightarrow y = m x \pm r \sqrt{1 + m^{2}} \end{aligned}

Catatan:

Untuk lingkaran berpusat di (a,b), maka persamaan garis singgungnya adalah:

(y - b) = m (x - a) \pm r \sqrt{1 + m^{2}}

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Tentukan persamaan garis singgung \\ lingkaran yang bergradien m = \frac{3}{4} dan \\ persamaan lingkaran singgungnya \\ x^{2} + y^{2} = 25 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui lingkaran {\begin{cases} x^{2} + y^{2} & = 25 \\ r & = 5 \end{cases} \\ maka persamaan garis singgung lingkarannya \\ y = m x \pm r \sqrt{1 + m^{2}} \\ \Leftrightarrow y = \frac{3}{4} x \pm 5 \sqrt{1 + {(\frac{3}{4})}^{2}} = \frac{3}{4} x \pm 5 \sqrt{1 + \frac{9}{16}} \\ \Leftrightarrow y = \frac{3}{4} x \pm 5 \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{3}{4} x \pm \frac{25}{4} \\ \Leftrightarrow 4 y = 3 x \pm 25 \\ \Leftrightarrow 3 x - 4 y \pm 25 = 0 \\ Jadi, persamaan garis singgungnya adalah \\ 3 x - 4 y + 25 = 0 dan 3 x - 4 y - 25 = 0 \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Tentukan persamaan garis singgung \\ lingkaran yang bergradien - \frac{4}{3} dengan \\ persamaan lingkaran singgungnya \\ (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui lingkaran {\begin{cases} (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} & = 25 \\ r & = 5 \end{cases} \\ Persamaan garis singgungnya adalah : \\ y - b = m (x - a) \pm r \sqrt{1 + m^{2}} \\ \Leftrightarrow y - 2 = - \frac{4}{3} (x - 1) \pm 5 \sqrt{1 + {(- \frac{4}{3})}^{2}} \\ \Leftrightarrow y - 2 = - \frac{4}{3} (x - 1) \pm 5 \sqrt{1 + \frac{16}{9}} \\ \Leftrightarrow y - 2 = - \frac{4}{3} (x - 1) \pm 5 \sqrt{\frac{25}{9}} \\ \Leftrightarrow y - 2 = - \frac{4}{3} (x - 1) \pm \frac{25}{3} \\ \Leftrightarrow 3 y - 6 = - 4 x + 4 \pm 25 \\ \Leftrightarrow 4 x + 3 y - 10 \pm 25 = 0 \\ Jadi, persamaan garis singgungnya adalah \\ 4 x + 3 y + 15 = 0 dan 4 x + 3 y - 35 = 0 \end{aligned} \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.

Contoh Soal dan Pembahasan Distribusi Binomial (Bagian 3)

$\begin{array}{ll} 11. & Suatu tes dengan pilihan jawaban \\ benar-salah berjumlah 8 soal \\ Supaya lulus tes, peserta diharuskan \\ menjawab benar minimal 50 % \\ Peluang seseorang dianggap lulus tes \\ adalah . . . . \\ a . 0, 2188 d . 0, 6367 \\ b . 0, 2734 c . 0, 3633 e . 0, 7266 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} p = Peluang benar = \frac{1}{2}, dan \\ q = Peluang Salah = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \\ f (x) = P (X = x) = (\begin{array}{c} n \\ x \end{array}) p^{x} . q^{n - x} \\ maka \\ P (X = 50 % (8) = 4) = (\begin{array}{c} 8 \\ 4 \end{array}) \times {(\frac{1}{2})}^{4} \times {(\frac{1}{2})}^{8 - 4} \\ = \frac{8!}{4! \times 4!} {(\frac{1}{2})}^{4 + 4} \\ = 70 \times \frac{1}{256} \\ = 0, 2734 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 12. & Sebuah kotak berisi 20 bola dengan \\ rincian 12 boal berwarna kuning dan \\ sisanya berwarna hijau. Dari kotak \\ diambil 6 bola secara acak. Peluang \\ terambil 4 bola hijau adalah . . . . \\ a . 0, 1238 d . 0, 8132 \\ b . 0, 1382 c . 0, 3110 e . 0, 9590 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} p = Peluang bola kuning \\ = \frac{C_{1}^{12}}{C_{1}^{20}} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}, \\ q = Peluang bola hijau = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \\ f (x) = P (X = x) = (\begin{array}{c} n \\ x \end{array}) p^{x} . q^{n - x} \\ maka \\ f (4) = (\begin{array}{c} 6 \\ 4 \end{array}) \times {(\frac{2}{5})}^{4} \times {(\frac{3}{5})}^{6 - 4} \\ = \frac{6!}{2! \times 4!} (\frac{16}{625}) \times (\frac{9}{25}) \\ = 15 \times \frac{144}{15625} = \frac{2160}{15625} \\ = 0, 1382 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 13. & Dua dadu dilambungkan 5 kali \\ Peluang muncul pasangan mata dadu \\ berjumlah 4 sampai dengan 7 \\ sebanyak 4 kali adalah . . . . \\ a . 0, 1503 d . 0, 1583 \\ b . 0, 1553 c . 0, 1563 e . 0, 1593 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} p = Peluang mata dadu berjumlah 4 sampai 7 \\ = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}, dan \\ q = Peluang bola hijau = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \\ f (x) = P (X = x) = (\begin{array}{c} n \\ x \end{array}) p^{x} . q^{n - x} \\ f (4) = P (X = 4) = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array}) \times {(\frac{1}{2})}^{4} \times {(\frac{1}{2})}^{5 - 4} \\ = \frac{5!}{1! \times 4!} (\frac{1}{16}) \times (\frac{1}{2}) \\ = 5 \times \frac{1}{32} = \frac{5}{32} \\ = 0, 1563 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 14. & Peluang seseorang sembih dari \\ penyakit jantung adalah 0,6 \\ Jika 7 orang penderita ini menjalani \\ operasi, maka peluang 3 sampai \\ 6 orang sembuh adalah . . . . \\ a . 0, 0629 d . 0, 6822 \\ b . 0, 2613 c . 0, 2898 e . 0, 9720 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} p = Peluang sembuh = 0, 6, maka \\ q = Peluang tidak sembuh = 1 - 0, 6 = 0, 4 \\ f (x) = P (X = x) = (\begin{array}{c} n \\ x \end{array}) p^{x} . q^{n - x} \\ maka \\ P (3 \leq X \leq 6) = P (X \leq 6) - P (X \leq 3) \\ = C_{4}^{7} (0, 6)^{4} (0, 4)^{3} + C_{5}^{7} (0, 6)^{5} (0, 4)^{2} + C_{6}^{7} (0, 6)^{6} (0, 4)^{1} \\ = 35 \times 0, 0082944 + 21 \times 0, 0124416 + 7 \times 0, 0186624 \\ = 0, 290304 + 0, 2612736 + 0, 1306368 \\ = 0, 6822144 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 15. & Peluang seseorang mendapatkan reaksi \\ buruk setelah disuntik adalah 0,0005 \\ Dari 4000 orang yang disuntik, maka \\ peluang seseorang mendapatkan reaksi \\ ada 2 orang adalah . . . . . \\ a . \frac{1}{2} e^{- 2} \\ b . e^{- 2} \\ c . 2 e^{- 2} \\ d . \frac{1}{2} e^{2} \\ e . 2 e^{2} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Di atas adalah contoh kasus \\ permasalahan Distribusi Poisson \\ P (X = x) = f (x) = {\begin{array}{c} \frac{e^{- λ} . λ^{x}}{x!}, x = 0, 1, 2, 3, \dots \\ 0, untuk x yang lain \end{array} \\ P (X = 2) = \frac{e^{- n p} . (n p)^{2}}{2!} \\ = \frac{e^{- (4000.0, 0005)} . (4000.0, 0005)^{2}}{2!} \\ = \frac{e^{- 2} {.2}^{2}}{2} \\ = 2 e^{- 2} \end{aligned} \end{array}$