Menampilkan postingan yang diurutkan menurut relevansi untuk kueri induksi matematika. Urutkan menurut tanggal Tampilkan semua postingan
Menampilkan postingan yang diurutkan menurut relevansi untuk kueri induksi matematika. Urutkan menurut tanggal Tampilkan semua postingan

Induksi Matematika (Kelas XI Matematika Wajib)

A. Pendahuluan

Misalkan kita menjumlahkan 100 bilangan ganjil pertama (anggap saja sebagai penjumlahan suku pertama sampai suku ke seratus) yaitu : 1+3+5+...+199, maka untuk memudahkannya kita dapat menentukan cara menjumlahkan dengan atau menurut pola tertentu sebagaimana ilstrasi berikut ini

1=12=S11+3=22=S21+3+5=32=S31+3+5+7=42=S41+3+5+7+9=52=S51+3+5+7+9++(2n1)=n2=Sn1+3+5+7+9++199=1002=S100

B. Induksi Matematika

Pola bilangan tertentu dalam matematika sebagaimana misal contoh di atas dapat ditarik suatu bentuk umum. Selanjutnya untuk membuktikan bahwa suatu bentuk umum dari sebuah pernyataan berlaku, kita dapat menggunakan Induksi Matematika ini. Tentunya semunya dari pernyataan tersebut harus memenuhi kriteria tertentu. Sehingga Induksi Matematika dapat juga disebutkan sebagai proses pembuktian pernyataan (teorema) dari kejadian-kejadian khusus yang berlaku untuk setiap bilangan asli.

Dalam pembuktian dengan Induksi Matematika, perhatikanlah beberapa langkah-langkah ini

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya untuk semua bilangan asli n, maka

Langkahnya:(1)buktikanP(1)benar untukn=1Selanjutnya disebut Langkah Basis(2)Asumsikan pernyataan berlaku untukn=k,yaituP(k)benar, dengankA,maka untukn=k+1bahwaP(k+1)juga benarSelanjutnya disebut Langkah Induksi(3)Setelah langkah(1)dan(2)terpenuhiatau benar, maka dapat disimpulkan bahwaP(n)benar untuk setiapnSelanjutnya disebut Konkulsi


CONTOH SOAL

(1)Buktikanlah dengan induksi matematikauntuknbilangan asli berlaku1+2+3+...+n=n(n+1)2Bukti

.DiketahuiP(n)1+2+3+...+n=n(n+1)2(a)Langkah basisP(1)benar, karena1=1(1+1)2(b)Langkah induksiMisalkan rumus berlaku untukn=k,yaituP(k)1+2+3+...+k=k(k+1)2,makauntukn=k+1:1+2+3++(k)+(k+1)=(k+1)(k+2)21+2+3++(k)k(k+1)2+(k+1)=(k+1)(k+2)2k(k+1)2+(k+1)=(k+1)(k+2)2(k+1)(k2+1)=(k+1)(k+2)2(k+1)k+22=(k+1)(k+2)2(k+1)(k+2)2=(k+1)(k+2)2P(k+1)Jadi,P(n)benar untukn=k+1(c)Kesimpulan/KonklusiJadi,P(n)berlaku untuknN.

(2)Buktikanlah dengan induksi matematikauntuknbilangan asli berlaku1+3+5+7+...+(2n1)=n2Bukti

.DiketahuiP(n)1+3+5+...+(2n1)=n2(a)Langkah basisP(1)benar, karena2.11=121=1(b)Langkah induksiMisalkan rumus berlaku untukn=k,yaituP(k)1+3+5+...+(2k1)=k2,makauntukn=k+1:1+3+5++(2k1)+(2(k+1)1)=(k+1)21+3+5++(2k1)k2+(2(k+1)1)=(k+1)2k2+(2(k+1)1)=(k+1)2k2+(2k+21)=(k+1)2k2+2k+1=(k+1)2(k+1)2=P(k+1)Jadi,P(n)benar untukn=k+1(c)Kesimpulan/KonklusiJadi,P(n)berlaku untuknN.

(3)Buktikanlah dengan induksi matematikauntuknbilangan asli berlaku2n3<2n2Bukti

.DiketahuiP(n)2n3<2n2(a)Langkah basisP(1)benar, karena2.13<212demikian pula untukn=2(b)Langkah induksiMisalkan rumus berlaku untukn=k,yaituP(k)(2k3)<2k2,makauntukn=k+1:2(k+1)3=2k+23=(2k3)+2<2k2+2sehingga(2k3)+2<2k2+2<2k2+2k2,untukk3(2k3)+2<2.2k2(2k3)+2<2(k+1)2maka rumus berlaku untukP(k+1)Jadi,P(n)benar untukn=k+1(c)Kesimpulan/KonklusiJadi,P(n)berlaku untuknN.

(4)Buktikanlah dengan induksi matematikauntuknbilangan asli berlaku(1+h)n1+nhBukti

.DiketahuiP(n)(1+h)n1+nh(a)Langkah basisP(1)benar, karena(1+h)11+1h(b)Langkah induksiMisalkan rumus berlaku untukn=k,yaituP(k)(1+h)k1+kh,makauntukn=k+1:(1+h)k+1(1+kh)(1+h)(1+h)k+1(1+(k+1)h+kh2)(1+h)k+11+(k+1)hmaka rumus berlaku untukP(k+1)Jadi,P(n)benar untukn=k+1(c)Kesimpulan/KonklusiJadi,P(n)berlaku untuknN.

.Catatanuntukk=2(1+h)2=1+2h+h21+2h,maka(1+h)n1+nh

(5)Buktikanlah dengan induksi matematikauntuknbilangan asli berlakuh=1n3h=32(3n1)Bukti

.DiketahuiP(n)h=1n3h=32(3n1)(a)Langkah basisP(1)benar, karena untukn=131=32(311)(b)Langkah induksiMisalkan rumus berlaku untukn=k,yaituP(k)h=1k3h=32(3k1),makauntukn=k+1:h=1k+13h=h=1k3h+h=k+1k+13h=32(3k1)+3k+1=12(3k+13+2.3k+1)=12(3.3k+13)=32(.3k+11)maka rumus berlaku untukP(k+1)Jadi,P(n)benar untukn=k+1(c)Kesimpulan/KonklusiJadi,P(n)berlaku untuknN.

LATIHAN SOAL

.Buktikanlah dengan induksi matematikauntuknbilangan asli berlaku

.1.2+4+6+8+...+2n=n2+n2.12+22+32+...+n2=16n(n+1)(2n+1)3.13+23+33+...+n3=14n2(n+1)24.1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=13n(n+1)(n+2)5.11.2+12.3+13.4+...+1n(n+1)=nn+16.11.3+13.5+15.7+...+1(2n1)(2n+1)=n2n+17.11.2.3+12.3.4+13.4.5+...+1n(n+1)(n+2)=n(n+3)4(n+1)(n+2)8.1+12+13+...+1n<2n+129.n3nhabis dibagi oleh310.n5nhabis dibagi oleh511.5n+6.7n+1habis dibagi oleh412.52n1habis dibagi oleh313.3n12n14.2n+7<(n+3)215.2+4+6+8+...+2n2n16.(3+5)n+(35)nhabis dibagi oleh2n

DAFTAR PUSTAKA

  1. Budhi, W.S., 2018. Bupena Mathematika SMA/MA Kelas XI Kelompok Wajib. Jakarta: Erlangga.
  2. Kemendikbud. 2017. Matematika untuk SMA/MA/SMK Kelas XI Edisi Revisi. Jakarta: Kementerian Pendidikan Nasional.
  3. Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika Jilid 3 untuk SMU Kelas 3. Jakarta: Erlangga
  4. Tim ITB. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap 1. Bandung: LPPM ITB


Contoh Soal 2 Induksi Matematika (Matematika Wajib Kelas XI)

6.Dengan Induksi Matematika untuknNdapat dibuktikan juga bahwa7n2nakan habis dibagi oleha.2b.3c.4d.5e.6Jawab:dP(n)=7n2nP(1)=7121=72=5adalah bilangan yang habis dibagi 5

7.Diketahui bahwaP(n)rumus dari3+6+9++3n=32n(n+1)maka langkah pertama dengan induksi matematikadalam pembuktian rumus tersebut adalah....a.P(n)benar untukn=1b.P(n)benar untukn=1c.P(n)benar untuknbilangan bulatd.P(n)benar untuknbilangan rasionald.P(n)benar untuknbilangan realJawab:bLangkahawal yang harus ditunjukkan adalahn=1atauP(1)harus benar, yaitu:P(1)=3.1(ruas kiri)=32.1.(1+1)(ruas kanan)=3

8.Bila kita hendak membuktikani=1n=12n(n+1)dengan induksi matematikamaka untuk langkahn=k+1bentuk yang harus ditunjukkan adalah...a.1+2+3++n=12n(n+1)b.1+2+3++k=12k(k+1)c.1+2+3++k=12k(k+2)d.1+2+3++k+(k+1)=12(k+1)(k+2)e.1+2+3++k+(k+1)=12(k+2)(k+3)Jawab:dP(n)=1+2+3++n=12n(n+1)P(k)=1+2+3++k=12k(k+1)P(k+1)=1+2+3++k+(k+1)=1+2+3++k12k(k+1)+(k+1)=12k(k+1)+(k+1)=(k+1)(12k+1)=(k+1)12(k+2)=12(k+1)(k+2)

9.JikaP(n)=n1n+3,makaP(k+1)dinyatakan dengan....a.k1k+3b.k1k+4c.kk+4d.k+1k+4e.k+1k+5Jawab:cP(n)=n1n+3P(k+1)=k+11k+1+3=kk+4

10.JikaP(n)=n2+14,makapernyataan untukP(k+1)adalah....a.k2+2k+14b.k2+2k+24c.k2+2k+25d.k2+2k+35e.k2+2k+34Jawab:bP(n)=n2+14P(k+1)=(k+1)2+14=k2+2k+24


Rangkuman Materi dan Contoh Soal Pelajaran Matematika Kelas X Fase E Tahun 2024

Kelas X 

Kurikulum Merdeka

Fase E Kelas X

Semester Gasal

Eksponen dan Logaritma

Barisan dan Deret

(pilih  materi yang Anda butuhkan saja)
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Semester Genap

Kelas XI dan Kelas XII 

Matematika Wajib

Matematika Peminatan

Latihan Soal 1 Persiapan PAS Gasal Matematika Wajib Kelas XI

 1.Hasil darii=1616iadalah....a.306b.314c.326d.336e.402Jawab:di=1616i=16.1+16.2+16.3+16.4+16.5+16.6=16+32+48+64+80+96=336

2.Hasil darii=29i2adalah....a.274b.278c.280d.284e.286Jawab:di=29i2=22+32+42+52+..+92=4+9+16+25+...+81=284

3.Poa bilangan12,14,16,18,20,...,(2n+10).Nilai suku ke-100 adalah....a.180b.194c.198d.208e.210Jawab:eUn=2n+10U100=2×100+10=210

4.Diketahui bahwa jika31+39+47++8n+23=4n2+27ndengank,nNmaka31+39+47++8n+23+8k+31=....a.4k2+27kb.4k2+35kc.4k2+35k+31d.4k2+35k+1e.4k2+35k+54Jawab:c31+39+47++8k+234k2+27k+8k+31=4k2+27k+8k+31=4k2+35k+31

5.Dengan Induksi Matematika untuknNdapat dibuktikan bahwan(n+1)(n+2)akan habis dibagi oleha.4b.5c.6d.7e.8Jawab:cP(n)=n(n+1)(n+2)P(1)=1(1+1)(1+2)=1.2.3adalah bilangan yang habis dibagi 6.

6.Dengan Induksi Matematika untuknNdapat dibuktikan juga bahwa7n2nakan habis dibagi oleha.2b.3c.4d.5e.6Jawab:dP(n)=7n2nP(1)=7121=72=5adalah bilangan yang habis dibagi 5.

7.Diketahui bahwaP(n)rumus dari3+6+9++3n=32n(n+1)maka langkah pertama dengan induksi matematikadalam pembuktian rumus tersebut adalah....a.P(n)benar untukn=1b.P(n)benar untukn=1c.P(n)benar untuknbilangan bulatd.P(n)benar untuknbilangan rasionald.P(n)benar untuknbilangan realJawab:bLangkahawal yang harus ditunjukkan adalahn=1atauP(1)harus benar, yaitu:P(1)=3.1(ruas kiri)=32.1.(1+1)(ruas kanan)=3.

8.Bila kita hendak membuktikani=1n=12n(n+1)dengan induksi matematikamaka untuk langkahn=k+1bentuk yang harus ditunjukkan adalah...a.1+2+3++n=12n(n+1)b.1+2+3++k=12k(k+1)c.1+2+3++k=12k(k+2)d.1+2+3++k+(k+1)=12(k+1)(k+2)e.1+2+3++k+(k+1)=12(k+2)(k+3)Jawab:dP(n)=1+2+3++n=12n(n+1)P(k)=1+2+3++k=12k(k+1)P(k+1)=1+2+3++k+(k+1)=1+2+3++k12k(k+1)+(k+1)=12k(k+1)+(k+1)=(k+1)(12k+1)=(k+1)12(k+2)=12(k+1)(k+2).

9.JikaP(n)=n1n+3,makaP(k+1)dinyatakan dengan....a.k1k+3b.k1k+4c.kk+4d.k+1k+4e.k+1k+5Jawab:cP(n)=n1n+3P(k+1)=k+11k+1+3=kk+4.

10.JikaP(n)=n2+14,makapernyataan untukP(k+1)adalah....a.k2+2k+14b.k2+2k+24c.k2+2k+25d.k2+2k+35e.k2+2k+34Jawab:bP(n)=n2+14P(k+1)=(k+1)2+14=k2+2k+24



KUMPULAN MATERI SMA/MA KELAS X/FASE E (Bagian 1)

 Kelas X 

Kurikulum Merdeka

Fase E Kelas X

Semester Gasal

Eksponen dan Logaritma

Barisan dan Deret

(pilih  materi yang Anda butuhkan saja)
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Semester Genap

  • Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat, contoh soal
  • Statistika
  • Aturan Pencacahan dan Peluang

Kelas XI dan Kelas XII 

Matematika Wajib

Matematika Peminatan

KUMPULAN MATERI SMA/MA KELAS X/FASE E (Bagian 2) Tahun 2024

 Kelas X 

Kurikulum Merdeka

Fase E Kelas X

Semester Gasal

Eksponen dan Logaritma

Barisan dan Deret

(pilih  materi yang Anda butuhkan saja)
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Semester Genap

Kelas XI dan Kelas XII 

Matematika Wajib

Matematika Peminatan

FASE E - KUMPULAN MATERI MATEMATIKA MA-SMA KELAS X

 Kelas X 

Kurikulum Merdeka

Fase E Kelas X

Semester Gasal

Eksponen dan Logaritma

Barisan dan Deret

(pilih  materi yang Anda butuhkan saja)
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Semester Genap

Contoh Soal 1 Induksi Matematika (Matematika Wajib Kelas XI)

1.Hasil darii=1616iadalah....a.306b.314c.326d.336e.402Jawab:di=1616i=16.1+16.2+16.3+16.4+16.5+16.6=16+32+48+64+80+96=336

2.Hasil darii=29i2adalah....a.274b.278c.280d.284e.286Jawab:di=29i2=22+32+42+52+..+92=4+9+16+25+...+81=284

3.Poa bilangan12,14,16,18,20,...,(2n+10).Nilai suku ke-100 adalah....a.180b.194c.198d.208e.210Jawab:eUn=2n+10U100=2×100+10=210

4.Diketahui bahwa jika31+39+47++8n+23=4n2+27ndengank,nNmaka31+39+47++8n+23+8k+31=....a.4k2+27kb.4k2+35kc.4k2+35k+31d.4k2+35k+1e.4k2+35k+54Jawab:c31+39+47++8k+234k2+27k+8k+31=4k2+27k+8k+31=4k2+35k+31

5.Dengan Induksi Matematika untuknNdapat dibuktikan bahwan(n+1)(n+2)akan habis dibagi oleha.4b.5c.6d.7e.8Jawab:cP(n)=n(n+1)(n+2)P(1)=1(1+1)(1+2)=1.2.3adalah bilangan yang habis dibagi 6


Materi dan Contoh Soal Matematika Wajib Kelas X, XI, XII Tahun 2022

 A. Kelas X (Sepuluh)

A. 1 Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dari Bentuk Linear Satu Variabel

A. 2 Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Variabel

A. 3 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

A. 4 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linear-Linear

A. 5 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linear dan Kuadrat

A. 6 Fungsi

A. 7 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

A. 8 Rasio Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

A. 9 Rasio Trigonometri Sudut-Sudut diberbagai Kuadran

A. 10 Aturan Sinus dan Cosinus


B. Kelas XI (Sebelas)

B. 1 Program Linear

B. 2 Matriks

B. 3 Determinan dan Invers Matriks Ordo 2x2

B. 4 Transformasi Geometri

B. 5 Pola Bilangan dan Jumlah pada Barisan Aritmetika dan Geometri

B. 6 Limit Fungsi Aljabar

B. 7 Turunan Fungsi Aljabar

B. 8 Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Tambahan/Pengayaan

Integral Tentu Fungsi Aljabar


C. Kelas XII (Dua Belas)

C. 1 Jarak dalm Ruang

Statistika

C. 3 Aturan Pencacahan

C. 4 Peluang Kejadian Majmuk