PAS MATEMATIKA BLOG: Hasil penelusuran untuk induksi matematika

Menampilkan postingan yang diurutkan menurut relevansi untuk kueri induksi matematika. Urutkan menurut tanggal Tampilkan semua postingan

Induksi Matematika (Kelas XI Matematika Wajib)

$\LARGE\textrm{A. Pendahuluan}$

Misalkan kita menjumlahkan 100 bilangan ganjil pertama (anggap saja sebagai penjumlahan suku pertama sampai suku ke seratus) yaitu : 1+3+5+...+199, maka untuk memudahkannya kita dapat menentukan cara menjumlahkan dengan atau menurut pola tertentu sebagaimana ilstrasi berikut ini

$\begin{aligned}1&=1^{2}=S_{1}\\ 1+3&=2^{2}=S_{2}\\ 1+3+5&=3^{2}=S_{3}\\ 1+3+5+7&=4^{2}=S_{4}\\ 1+3+5+7+9&=5^{2}=S_{5}\\ \vdots &\\ 1+3+5+7+9+\cdots +(2n-1)&=n^{2}=S_{n}\\ \vdots &\\ 1+3+5+7+9+\cdots +199&=100^{2}=S_{100} \end{aligned}$

$\LARGE\textrm{B. Induksi Matematika}$

Pola bilangan tertentu dalam matematika sebagaimana misal contoh di atas dapat ditarik suatu bentuk umum. Selanjutnya untuk membuktikan bahwa suatu bentuk umum dari sebuah pernyataan berlaku, kita dapat menggunakan Induksi Matematika ini. Tentunya semunya dari pernyataan tersebut harus memenuhi kriteria tertentu. Sehingga Induksi Matematika dapat juga disebutkan sebagai proses pembuktian pernyataan (teorema) dari kejadian-kejadian khusus yang berlaku untuk setiap bilangan asli.

Dalam pembuktian dengan Induksi Matematika, perhatikanlah beberapa langkah-langkah ini

Misalkan $\color{blue}P(n)$ adalah suatu pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya untuk semua bilangan asli $\color{blue}n$, maka

$\color{blue}\begin{aligned}&\color{black}\textbf{Langkahnya:}\\ &(1)\quad \textrm{buktikan}\: \: \color{black}P(1)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n=1\\ &\, \: \qquad \color{magenta}\textrm{Selanjutnya disebut Langkah Basis}\\ &(2)\quad \textrm{Asumsikan pernyataan berlaku untuk}\: \: n=k,\\ &\, \: \qquad \textrm{yaitu}\: \: P(k)\: \: \textrm{benar, dengan}\: \: k\in A,\\ &\, \: \qquad \textrm{maka untuk}\: \: \color{black}n=k+1\: \: \textrm{bahwa}\: \: P(k+1)\\ &\, \: \qquad \textrm{juga benar}\\ &\, \: \qquad \color{magenta}\textrm{Selanjutnya disebut Langkah Induksi}\\ &(3)\quad \textrm{Setelah langkah}\: \: (1)\: \: \textrm{dan}\: \: (2)\: \: \textrm{terpenuhi}\\ &\, \: \qquad \textrm{atau benar, maka dapat disimpulkan bahwa}\\ &\, \: \qquad \color{black}P(n)\: \: \textrm{benar untuk setiap}\: \: n\\ &\, \: \qquad \color{magenta}\textrm{Selanjutnya disebut Konkulsi}\\ \end{aligned}$

$\LARGE\color{blue}\fbox{CONTOH SOAL}$

$\begin{aligned}(1)\quad&\textrm{Buktikanlah dengan induksi matematika}\\ &\textrm{untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan asli berlaku}\\ &\color{red}1+2+3+...+n = \displaystyle \frac{n(n+1)}{2}\\\\ &\textbf{Bukti} \end{aligned}$

$\begin{aligned}.\: \qquad \textrm{Diket}&\textrm{ahui}\: \: P(n)\equiv 1+2+3+...+n=\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}\\ (\textrm{a})\quad&\color{magenta}\textrm{Langkah basis}\\ &P(1)\: \: \textrm{benar, karena}\: \: 1=\displaystyle \frac{1(1+1)}{2}\\ (\textrm{b})\quad&\color{magenta}\textrm{Langkah induksi}\\ &\textrm{Misalkan rumus berlaku untuk}\: \: n=k,\: \: \textrm{yaitu}\\ &P(k)\equiv 1+2+3+...+k=\displaystyle \frac{k(k+1)}{2},\: \textrm{maka}\\ &\textrm{untuk}\: \: n=k+1:\\ &1+2+3+\cdots +(k)+(k+1)=\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}\\ &\underset{\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}{\underbrace{1+2+3+\cdots +(k)}}+(k+1)=\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}\\ &\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}\\ &\displaystyle (k+1)\left ( \frac{k}{2}+1 \right )=\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}\\ &\displaystyle (k+1)\frac{k+2}{2} =\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}\\ &\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}=\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}\equiv P(k+1)\\ &\textrm{Jadi},\: \: P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n=k+1\\ (\textrm{c})\quad&\color{magenta}\textrm{Kesimpulan/Konklusi}\\ &\textrm{Jadi},\: \: P(n)\: \: \textrm{berlaku untuk}\: \: \forall \: n\in \mathbb{N}. \end{aligned}$

$\begin{aligned}(2)\quad&\textrm{Buktikanlah dengan induksi matematika}\\ &\textrm{untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan asli berlaku}\\ &\color{red}1+3+5+7+...+(2n-1)=n^{2}\\\\ &\textbf{Bukti} \end{aligned}$

$\begin{aligned}.\: \qquad \textrm{Diket}&\textrm{ahui}\: \: P(n)\equiv 1+3+5+...+(2n-1)=n^{2}\\ (\textrm{a})\quad&\color{magenta}\textrm{Langkah basis}\\ &P(1)\: \: \textrm{benar, karena}\: \: 2.1-1=1^{2}\Leftrightarrow 1=1\\ (\textrm{b})\quad&\color{magenta}\textrm{Langkah induksi}\\ &\textrm{Misalkan rumus berlaku untuk}\: \: n=k,\: \: \textrm{yaitu}\\ &P(k)\equiv 1+3+5+...+(2k-1)=k^{2},\: \textrm{maka}\\ &\textrm{untuk}\: \: n=k+1:\\ &1+3+5+\cdots +(2k-1)+(2(k+1)-1)=(k+1)^{2}\\ &\underset{\displaystyle k^{2}}{\underbrace{1+3+5+\cdots +(2k-1)}}+(2(k+1)-1)=(k+1)^{2}\\ &\qquad\qquad\quad k^{2}+\: \: \quad\quad\quad\quad\quad (2(k+1)-1)=(k+1)^{2}\\ &\qquad\qquad\quad k^{2}+\: \: \quad\quad\quad\quad\quad (2k+2-1)\: \: \: \: =(k+1)^{2}\\ &\qquad\qquad\quad k^{2}+2k+1 \quad\quad\quad\qquad\qquad\qquad=(k+1)^{2}\\ &\qquad\qquad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (k+1)^{2}=P(k+1)\\ &\textrm{Jadi},\: \: P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n=k+1\\ (\textrm{c})\quad&\color{magenta}\textrm{Kesimpulan/Konklusi}\\ &\textrm{Jadi},\: \: P(n)\: \: \textrm{berlaku untuk}\: \: \forall \: n\in \mathbb{N}. \end{aligned}$

$\begin{aligned}(3)\quad&\textrm{Buktikanlah dengan induksi matematika}\\ &\textrm{untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan asli berlaku}\\ &\color{red}2n-3<2^{n-2}\\\\ &\textbf{Bukti} \end{aligned}$

$\begin{aligned}.\: \qquad \textrm{Diket}&\textrm{ahui}\: \: P(n)\equiv 2n-3<2^{n-2}\\ (\textrm{a})\quad&\color{magenta}\textrm{Langkah basis}\\ &P(1)\: \: \textrm{benar, karena}\: \: 2.1-3<2^{1-2}\\ &\textrm{demikian pula untuk}\: \: n=2\\ (\textrm{b})\quad&\color{magenta}\textrm{Langkah induksi}\\ &\textrm{Misalkan rumus berlaku untuk}\: \: n=k,\: \: \textrm{yaitu}\\ &P(k)\equiv (2k-3)<2^{k-2},\: \textrm{maka}\\ &\textrm{untuk}\: \: n=k+1:\\ &2(k+1)-3=2k+2-3=(2k-3)+2<2^{k-2}+2\\ &\textrm{sehingga}\\ &(2k-3)+2<2^{k-2}+2<2^{k-2}+2^{k-2},\quad \textrm{untuk}\quad k\geq 3\\ &(2k-3)+2<2.2^{k-2}\\ &(2k-3)+2<2^{(k+1)-2}\\ &\textrm{maka rumus berlaku untuk}\: \: P(k+1)\\ &\textrm{Jadi},\: \: P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n=k+1\\ (\textrm{c})\quad&\color{magenta}\textrm{Kesimpulan/Konklusi}\\ &\textrm{Jadi},\: \: P(n)\: \: \textrm{berlaku untuk}\: \: \forall \: n\in \mathbb{N}. \end{aligned}$

$\begin{aligned}(4)\quad&\textrm{Buktikanlah dengan induksi matematika}\\ &\textrm{untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan asli berlaku}\\ &\color{red}(1+h)^{n}\geq 1+nh\\\\ &\textbf{Bukti} \end{aligned}$

$\begin{aligned}.\: \qquad \textrm{Diket}&\textrm{ahui}\: \: P(n)\equiv (1+h)^{n}\geq 1+nh\\ (\textrm{a})\quad&\color{magenta}\textrm{Langkah basis}\\ &P(1)\: \: \textrm{benar, karena}\: \: (1+h)^{1}\geq 1+1h\\ (\textrm{b})\quad&\color{magenta}\textrm{Langkah induksi}\\ &\textrm{Misalkan rumus berlaku untuk}\: \: n=k,\: \: \textrm{yaitu}\\ &P(k)\equiv (1+h)^{k}\geq 1+kh,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{untuk}\: \: n=k+1:\\ &(1+h)^{k+1}\geq (1+kh)(1+h)\\ &(1+h)^{k+1}\geq \left ( 1+(k+1)h+kh^{2} \right )\\ &(1+h)^{k+1}\geq 1+(k+1)h\\ &\textrm{maka rumus berlaku untuk}\: \: P(k+1)\\ &\textrm{Jadi},\: \: P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n=k+1\\ (\textrm{c})\quad&\color{magenta}\textrm{Kesimpulan/Konklusi}\\ &\textrm{Jadi},\: \: P(n)\: \: \textrm{berlaku untuk}\: \: \forall \: n\in \mathbb{N}. \end{aligned}$

$\color{blue}\begin{aligned}.\: \qquad &\textbf{Catatan}\\ &\textrm{untuk}\: \: k=2\\ &(1+h)^{2}=1+2h+h^{2}\geq 1+2h, \: \: \textrm{maka}\\ &(1+h)^{n}\geq 1+nh \end{aligned}$

$\begin{aligned}(5)\quad&\textrm{Buktikanlah dengan induksi matematika}\\ &\textrm{untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan asli berlaku}\\ &\color{red}\sum_{h=1}^{n}3^{h}=\displaystyle \frac{3}{2}\left ( 3^{n}-1 \right )\\\\ &\textbf{Bukti} \end{aligned}$

$\begin{aligned}.\: \qquad \textrm{Diket}&\textrm{ahui}\: \: P(n)\equiv \sum_{h=1}^{n}3^{h}=\displaystyle \frac{3}{2}\left ( 3^{n}-1 \right )\\ (\textrm{a})\quad&\color{magenta}\textrm{Langkah basis}\\ &P(1)\: \: \textrm{benar, karena untuk}\: \: n=1\\ &3^{1}=\displaystyle \frac{3}{2}\left ( 3^{1}-1 \right )\\ (\textrm{b})\quad&\color{magenta}\textrm{Langkah induksi}\\ &\textrm{Misalkan rumus berlaku untuk}\: \: n=k,\: \: \textrm{yaitu}\\ &P(k)\equiv \sum_{h=1}^{k}3^{h}=\displaystyle \frac{3}{2}\left ( 3^{k}-1 \right ),\: \textrm{maka}\\ &\textrm{untuk}\: \: n=k+1:\\ &\sum_{h=1}^{k+1}3^{h}=\sum_{h=1}^{k}3^{h}+\sum_{h=k+1}^{k+1}3^{h}\\ &=\displaystyle \frac{3}{2}\left ( 3^{k}-1 \right )+3^{k+1}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 3^{k+1}-3+2.3^{k+1} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 3.3^{k+1}-3 \right )\\ &=\displaystyle \frac{3}{2}\left ( .3^{k+1}-1 \right )\\ &\textrm{maka rumus berlaku untuk}\: \: P(k+1)\\ &\textrm{Jadi},\: \: P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n=k+1\\ (\textrm{c})\quad&\color{magenta}\textrm{Kesimpulan/Konklusi}\\ &\textrm{Jadi},\: \: P(n)\: \: \textrm{berlaku untuk}\: \: \forall \: n\in \mathbb{N}. \end{aligned}$

$\LARGE\color{blue}\fbox{LATIHAN SOAL}$

$\begin{aligned}.\: \qquad&\textrm{Buktikanlah dengan induksi matematika}\\ &\textrm{untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan asli berlaku}\\\\ \end{aligned}$

$.\: \qquad\begin{array}{ll}\\ 1.&2+4+6+8+...+2n=n^{2}+n\\ 2.&1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\ 3.&1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\displaystyle \frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}\\ 4.&1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=\displaystyle \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\\ 5.&\displaystyle \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\displaystyle \frac{n}{n+1}\\ 6.&\displaystyle \frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\displaystyle \frac{n}{2n+1}\\ 7.&\displaystyle \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\displaystyle \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\\ 8.&1+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n+1}-2\\ 9.&n^{3}-n\quad \textrm{habis dibagi oleh}\: \: 3\\ 10.&n^{5}-n\quad \textrm{habis dibagi oleh}\: \: 5\\ 11.&5^{n}+6.7^{n}+1\quad \textrm{habis dibagi oleh}\: \: 4\\ 12.&5^{2n}-1\quad \textrm{habis dibagi oleh}\: \: 3\\ 13.&3^{n}-1\geq 2^{n}\\ 14.&2n+7< (n+3)^{2}\\ 15.&2+4+6+8+...+2n\leq 2^{n}\\ 16.&\left ( 3+\sqrt{5} \right )^{n}+\left ( 3-\sqrt{5} \right )^{n}\quad \textrm{habis dibagi oleh}\: \: 2^{n} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

Budhi, W.S., 2018. Bupena Mathematika SMA/MA Kelas XI Kelompok Wajib. Jakarta: Erlangga.
Kemendikbud. 2017. Matematika untuk SMA/MA/SMK Kelas XI Edisi Revisi. Jakarta: Kementerian Pendidikan Nasional.
Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika Jilid 3 untuk SMU Kelas 3. Jakarta: Erlangga
Tim ITB. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap 1. Bandung: LPPM ITB

Contoh Soal 2 Induksi Matematika (Matematika Wajib Kelas XI)

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Dengan Induksi Matematika untuk}\: \: n\in \mathbb{N}\\ &\textrm{dapat dibuktikan juga bahwa}\: \: 7^{n}-2^{n}\\ &\textrm{akan habis dibagi oleh}\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&2\\ \textrm{b}.&3\\ \textrm{c}.&4\\ \color{red}\textrm{d}.&5\\ \textrm{e}.&6\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\color{blue}\begin{aligned}P(n)&=7^{n}-2^{n}\\ P(1)&=7^{1}-2^{1}\\ &=7-2=5\\ &\textrm{adalah bilangan yang habis dibagi 5} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: P(n)\: \: \textrm{rumus dari}\\ & 3+6+9+\cdots +3n=\displaystyle \frac{3}{2}n(n+1)\\ &\textrm{maka langkah pertama dengan induksi matematika}\\ &\textrm{dalam pembuktian rumus tersebut adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n=-1\\ \color{red}\textrm{b}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n=1\\ \textrm{c}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan bulat}\\ \textrm{d}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan rasional}\\ \textrm{d}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan real} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\color{blue}\begin{aligned}\textrm{Langkah}&\: \textrm{awal yang harus ditunjukkan adalah}\\ n=1&\: \: \textrm{atau}\: \: P(1)\: \: \textrm{harus benar, yaitu}:\\ P(1)&=3.1(\textit{ruas kiri})=\displaystyle \frac{3}{2}.1.(1+1)(\textit{ruas kanan})=3 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Bila kita hendak membuktikan}\: \: \displaystyle \sum_{i=1}^{n}=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\\ &\textrm{dengan induksi matematika}\\ &\textrm{maka untuk langkah}\: \: n=k+1\\ &\textrm{bentuk yang harus ditunjukkan adalah}...\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.&1+2+3+\cdots +n=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\\ \textrm{b}.&1+2+3+\cdots +k=\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)\\ \textrm{c}.&1+2+3+\cdots +k=\displaystyle \frac{1}{2}k(k+2)\\ \color{red}\textrm{d}.&1+2+3+\cdots +k+(k+1)=\displaystyle \frac{1}{2}(k+1)(k+2)\\ \textrm{e}.&1+2+3+\cdots +k+(k+1)=\displaystyle \frac{1}{2}(k+2)(k+3)\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\color{blue}\begin{aligned}P(n)&=1+2+3+\cdots +n=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\\ P(k)&=1+2+3+\cdots +k=\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)\\ P(k+1)&=1+2+3+\cdots +k+(k+1)\\ &=\underset{\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)}{\underbrace{1+2+3+\cdots +k}}+(k+1)\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)+(k+1)=(k+1)\left ( \displaystyle \frac{1}{2}k+1 \right )\\ &=(k+1)\displaystyle \frac{1}{2}(k+2)\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}(k+1)(k+2) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Jika}\: \: P(n)=\displaystyle \frac{n-1}{n+3},\: \textrm{maka}\: \: P(k+1)\\ & \textrm{dinyatakan dengan}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{k-1}{k+3}\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{k-1}{k+4}\\ \color{red}\textrm{c}.&\displaystyle \frac{k}{k+4}\\ \textrm{d}.&\displaystyle \frac{k+1}{k+4}\\ \textrm{e}.&\displaystyle \frac{k+1}{k+5} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\begin{aligned}P(n)=&\displaystyle \frac{n-1}{n+3}\\ P(k+1)&=\displaystyle \frac{k+1-1}{k+1+3}\\ &=\displaystyle \frac{k}{k+4} \end{aligned}\end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Jika}\: \: P(n)=\displaystyle \frac{n^{2}+1}{4},\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{pernyataan untuk}\: \: P(k+1)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{k^{2}+2k+1}{4}\\ \color{red}\textrm{b}.&\displaystyle \frac{k^{2}+2k+2}{4}\\ \textrm{c}.&\displaystyle \frac{k^{2}+2k+2}{5}\\ \textrm{d}.&\displaystyle \frac{k^{2}+2k+3}{5}\\ \textrm{e}.&\displaystyle \frac{k^{2}+2k+3}{4} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\color{blue}\begin{aligned}P(n)&=\displaystyle \frac{n^{2}+1}{4}\\ P(k+1)&=\displaystyle \frac{(k+1)^{2}+1}{4}\\ &=\displaystyle \frac{k^{2}+2k+2}{4} \end{aligned} \end{array}$

Rangkuman Materi dan Contoh Soal Pelajaran Matematika Kelas X Fase E Tahun 2024

Kelas X

Kurikulum Merdeka

Fase E Kelas X

Semester Gasal

Eksponen dan Logaritma

materi eksponen 1, materi fungsi eksponen 2, lanjutan fungsi eksponen, lanjutan materi 2 fungsi ekponen, lanjutan materi 3 fungsi eksponen, Persamaan eksponen.
contoh soal eksponen 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10
materi logaritma
materi logaritma lanjutan
contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
materi logaritma lanjutan 2
materi persamaan logaritma 1, persamaan 2, persamaan 3, persamaan 4, persamaan 5. aplikasi logaritma, pengayaan (operasi logaritma natural)
contoh soal 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13

Barisan dan Deret

(pilih materi yang Anda butuhkan saja)

materi pola bilangan - induksi matematika
pola bilangan dan barisan serta deret aritmetika
pola bilangan dan barisan serta deret geometri
berikut contoh soal induksi matematika dan pola bilangan
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5
materi barisan dan deret aritmetika (hitung)
lanjutan materi barisan dan deret geometri (ukur)
berikut contoh soalnya
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.
barisan dan deret aritmetika dan geometri sekaligus
contoh soal selingan (diselipkan soal untuk kompetisi) yang terkait barisan dan deret: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4

Trigonometri

koordinat kartesius, koordinat kutub serta sudut-sudut di berbagai kuadran

aturan sinus
aturan cosinus (bagian 1), aturan cosinus (bagian 2)
contoh soal

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
lanjutan materi SPLTV
contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4

Semester Genap

Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat, contoh soal PK 1, contoh PK 2, contoh PK 3, contoh PH 4, contoh soal FK 1, contoh FK 2, contoh FK 3, contoh FK 4, contoh FK 5, contoh FK 6.
Statistikaa materi statistika, penyajian data dalam bentuk diagram. ukuran pemusatan data. ukuran letak data 1, ukuran letak data 2, ukuran letak data 3, interpolasi linear, ukuran penyebaran data 1, ukuran penyebaran data 2, koefisien variansi contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13
Aturan Pencacahan dan Peluang
Aturan Pencacahan
- materi pendahuluan(kombinatorial dan percobaan), kaidah pencacahan(kaidah perkalian), faktorial-permutasi-kombinasi,
- contoh soal 1 permutasi-kombinasi, contoh 2, contoh 3,
- materi Binomial Newton (pengayaan), fungsi pembangkit untuk kombinasi (pengayaan),
- contoh soal 1 (kaidah pencacahan), contoh 2, contoh 3,
Peluang Kejadian Majmuk
- materi pendahuluan (percobaan, ruang sampel, dan kejadian), peluang kejadian tunggal dan frekuensi harapan, peluang kejadian majmuk (peluang komplemen, dua kejadian saling bebas, dua kejadian tidak saling bebas), kejadian saling lepas, kejadian tidak saling lepas,
- contoh soal 1, contoh 2, contoh 3,

Kelas XI dan Kelas XII

Matematika Wajib

Matematika Peminatan

Latihan Soal 1 Persiapan PAS Gasal Matematika Wajib Kelas XI

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Hasil dari}\: \: \displaystyle \sum_{i=1}^{6}16i\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&306\\ \textrm{b}.&314\\ \textrm{c}.&326\\ \color{red}\textrm{d}.&336\\ \textrm{e}.&402 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\begin{aligned}\displaystyle \sum_{i=1}^{6}16i&=16.1+16.2+16.3+16.4+16.5+16.6\\ &=16+32+48+64+80+96\\ &=\color{red}336 \end{aligned}\end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Hasil dari}\: \: \displaystyle \sum_{i=2}^{9}i^{2}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&274\\ \textrm{b}.&278\\ \textrm{c}.&280\\ \color{red}\textrm{d}.&284\\ \textrm{e}.&286 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\begin{aligned}\displaystyle \sum_{i=2}^{9}i^{2}&=2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+..+9^{2}\\ &=4+9+16+25+...+81\\ &=\color{red}284 \end{aligned}\end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Poa bilangan}\: \: 12,14,16,18,20,...,(2n+10).\\ &\textrm{Nilai suku ke-100 adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.&180\\ \textrm{b}.&194\\ \textrm{c}.&198\\ \textrm{d}.&208\\ \color{red}\textrm{e}.&210\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{e}\\ &\begin{aligned}U_{n}&=2n+10\\ U_{100}&=2\times 100+10\\ &=210 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diketahui bahwa jika}\\ & 31+39+47+\cdots +8n+23=4n^{2}+27n\\ & \textrm{dengan}\: \: k,n\in \mathbb{N}\: \: \textrm{maka}\\ & 31+39+47+\cdots +8n+23+8k+31=....\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&4k^{2}+27k\\ \textrm{b}.&4k^{2}+35k\\ \color{red}\textrm{c}.&4k^{2}+35k+31\\ \textrm{d}.&4k^{2}+35k+1\\ \textrm{e}.&4k^{2}+35k+54\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\begin{aligned}&\underset{4k^{2}+27k}{\underbrace{31+39+47+\cdots +8k+23}}+8k+31\\ &=4k^{2}+27k+8k+31\\ &=\color{red}4k^{2}+35k+31 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Dengan Induksi Matematika untuk}\: \: n\in \mathbb{N}\\ &\textrm{dapat dibuktikan bahwa}\: \: n(n+1)(n+2)\\ &\textrm{akan habis dibagi oleh}\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&4\\ \textrm{b}.&5\\ \color{red}\textrm{c}.&6\\ \textrm{d}.&7\\ \textrm{e}.&8\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\begin{aligned}P(n)&=n(n+1)(n+2)\\ P(1)&=1(1+1)(1+2)=\color{red}1.2.3\\ &\color{purple}\textrm{adalah bilangan yang habis dibagi 6} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Dengan Induksi Matematika untuk}\: \: n\in \mathbb{N}\\ &\textrm{dapat dibuktikan juga bahwa}\: \: 7^{n}-2^{n}\\ &\textrm{akan habis dibagi oleh}\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&2\\ \textrm{b}.&3\\ \textrm{c}.&4\\ \color{red}\textrm{d}.&5\\ \textrm{e}.&6\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\begin{aligned}P(n)&=7^{n}-2^{n}\\ P(1)&=7^{1}-2^{1}\\ &=7-2=\color{red}5\\ &\textrm{adalah bilangan yang habis dibagi 5} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: P(n)\: \: \textrm{rumus dari}\\ & 3+6+9+\cdots +3n=\displaystyle \frac{3}{2}n(n+1)\\ &\textrm{maka langkah pertama dengan induksi matematika}\\ &\textrm{dalam pembuktian rumus tersebut adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n=-1\\ \color{red}\textrm{b}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n=1\\ \textrm{c}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan bulat}\\ \textrm{d}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan rasional}\\ \textrm{d}.&P(n)\: \: \textrm{benar untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan real} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\begin{aligned}\textrm{Langkah}&\: \textrm{awal yang harus ditunjukkan adalah}\\ n=1&\: \: \textrm{atau}\: \: P(1)\: \: \textrm{harus benar, yaitu}:\\ P(1)&=3.1(\textit{ruas kiri})=\displaystyle \frac{3}{2}.1.(1+1)(\textit{ruas kanan})=\color{red}3 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Bila kita hendak membuktikan}\: \: \displaystyle \sum_{i=1}^{n}=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\\ &\textrm{dengan induksi matematika}\\ &\textrm{maka untuk langkah}\: \: n=k+1\\ &\textrm{bentuk yang harus ditunjukkan adalah}...\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.&1+2+3+\cdots +n=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\\ \textrm{b}.&1+2+3+\cdots +k=\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)\\ \textrm{c}.&1+2+3+\cdots +k=\displaystyle \frac{1}{2}k(k+2)\\ \color{red}\textrm{d}.&1+2+3+\cdots +k+(k+1)=\displaystyle \frac{1}{2}(k+1)(k+2)\\ \textrm{e}.&1+2+3+\cdots +k+(k+1)=\displaystyle \frac{1}{2}(k+2)(k+3)\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\begin{aligned}P(n)&=1+2+3+\cdots +n=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\\ P(k)&=1+2+3+\cdots +k=\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)\\ P(k+1)&=1+2+3+\cdots +k+(k+1)\\ &=\underset{\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)}{\underbrace{1+2+3+\cdots +k}}+(k+1)\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)+(k+1)=(k+1)\left ( \displaystyle \frac{1}{2}k+1 \right )\\ &=(k+1)\displaystyle \frac{1}{2}(k+2)\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2}(k+1)(k+2) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Jika}\: \: P(n)=\displaystyle \frac{n-1}{n+3},\: \textrm{maka}\: \: P(k+1)\\ & \textrm{dinyatakan dengan}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{k-1}{k+3}\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{k-1}{k+4}\\ \color{red}\textrm{c}.&\displaystyle \frac{k}{k+4}\\ \textrm{d}.&\displaystyle \frac{k+1}{k+4}\\ \textrm{e}.&\displaystyle \frac{k+1}{k+5} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\begin{aligned}P(n)=&\displaystyle \frac{n-1}{n+3}\\ P(k+1)&=\displaystyle \frac{k+1-1}{k+1+3}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{k}{k+4} \end{aligned}\end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Jika}\: \: P(n)=\displaystyle \frac{n^{2}+1}{4},\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{pernyataan untuk}\: \: P(k+1)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{k^{2}+2k+1}{4}\\ \color{red}\textrm{b}.&\displaystyle \frac{k^{2}+2k+2}{4}\\ \textrm{c}.&\displaystyle \frac{k^{2}+2k+2}{5}\\ \textrm{d}.&\displaystyle \frac{k^{2}+2k+3}{5}\\ \textrm{e}.&\displaystyle \frac{k^{2}+2k+3}{4} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\begin{aligned}P(n)&=\displaystyle \frac{n^{2}+1}{4}\\ P(k+1)&=\displaystyle \frac{(k+1)^{2}+1}{4}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{k^{2}+2k+2}{4} \end{aligned} \end{array}$

KUMPULAN MATERI SMA/MA KELAS X/FASE E (Bagian 1)

Kelas X

Kurikulum Merdeka

Fase E Kelas X

Semester Gasal

Eksponen dan Logaritma

materi eksponen 1, materi fungsi eksponen 2, lanjutan fungsi eksponen, lanjutan materi 2 fungsi ekponen, lanjutan materi 3 fungsi eksponen, Persamaan eksponen.
contoh soal eksponen 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10
materi logaritma
materi logaritma lanjutan
contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
materi logaritma lanjutan 2
materi persamaan logaritma 1, persamaan 2, persamaan 3, persamaan 4, persamaan 5. aplikasi logaritma, pengayaan (operasi logaritma natural)
contoh soal 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13

Barisan dan Deret

(pilih materi yang Anda butuhkan saja)

materi pola bilangan - induksi matematika
pola bilangan dan barisan serta deret aritmetika
pola bilangan dan barisan serta deret geometri
berikut contoh soal induksi matematika dan pola bilangan
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5
materi barisan dan deret aritmetika (hitung)
lanjutan materi barisan dan deret geometri (ukur)
berikut contoh soalnya
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.
barisan dan deret aritmetika dan geometri sekaligus
contoh soal selingan (diselipkan soal untuk kompetisi) yang terkait barisan dan deret: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4

Trigonometri

koordinat kartesius, koordinat kutub serta sudut-sudut di berbagai kuadran

aturan sinus
aturan cosinus (bagian 1), aturan cosinus (bagian 2)
contoh soal

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
lanjutan materi SPLTV
contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4

Semester Genap

Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat, contoh soal
Statistika
Aturan Pencacahan dan Peluang

Kelas XI dan Kelas XII

Matematika Wajib

Matematika Peminatan

KUMPULAN MATERI SMA/MA KELAS X/FASE E (Bagian 2) Tahun 2024

Kelas X

Kurikulum Merdeka

Fase E Kelas X

Semester Gasal

Eksponen dan Logaritma

materi eksponen 1, materi fungsi eksponen 2, lanjutan fungsi eksponen, lanjutan materi 2 fungsi ekponen, lanjutan materi 3 fungsi eksponen, Persamaan eksponen.
contoh soal eksponen 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10
materi logaritma
materi logaritma lanjutan
contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
materi logaritma lanjutan 2
materi persamaan logaritma 1, persamaan 2, persamaan 3, persamaan 4, persamaan 5. aplikasi logaritma, pengayaan (operasi logaritma natural)
contoh soal 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13

Barisan dan Deret

(pilih materi yang Anda butuhkan saja)

materi pola bilangan - induksi matematika
pola bilangan dan barisan serta deret aritmetika
pola bilangan dan barisan serta deret geometri
berikut contoh soal induksi matematika dan pola bilangan
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5
materi barisan dan deret aritmetika (hitung)
lanjutan materi barisan dan deret geometri (ukur)
berikut contoh soalnya
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.
barisan dan deret aritmetika dan geometri sekaligus
contoh soal selingan (diselipkan soal untuk kompetisi) yang terkait barisan dan deret: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4

Trigonometri

koordinat kartesius, koordinat kutub serta sudut-sudut di berbagai kuadran

aturan sinus
aturan cosinus (bagian 1), aturan cosinus (bagian 2)
contoh soal

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
lanjutan materi SPLTV
contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4

Semester Genap

Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat, contoh soal PK 1, contoh PK 2, contoh PK 3, contoh PH 4, contoh soal FK 1, contoh FK 2, contoh FK 3, contoh FK 4, contoh FK 5, contoh FK 6.
Statistikaa materi statistika, penyajian data dalam bentuk diagram. ukuran pemusatan data. ukuran letak data 1, ukuran letak data 2, ukuran letak data 3, interpolasi linear, ukuran penyebaran data 1, ukuran penyebaran data 2, koefisien variansi contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13
Aturan Pencacahan dan Peluang
Aturan Pencacahan
- materi pendahuluan(kombinatorial dan percobaan), kaidah pencacahan(kaidah perkalian), faktorial-permutasi-kombinasi,
- contoh soal 1 permutasi-kombinasi, contoh 2, contoh 3,
- materi Binomial Newton (pengayaan), fungsi pembangkit untuk kombinasi (pengayaan),
- contoh soal 1 (kaidah pencacahan), contoh 2, contoh 3,
Peluang Kejadian Majmuk
- materi pendahuluan (percobaan, ruang sampel, dan kejadian), peluang kejadian tunggal dan frekuensi harapan, peluang kejadian majmuk (peluang komplemen, dua kejadian saling bebas, dua kejadian tidak saling bebas), kejadian saling lepas, kejadian tidak saling lepas,
- contoh soal 1, contoh 2, contoh 3,

Kelas XI dan Kelas XII

Matematika Wajib

Matematika Peminatan

FASE E - KUMPULAN MATERI MATEMATIKA MA-SMA KELAS X

Kelas X

Kurikulum Merdeka

Fase E Kelas X

Semester Gasal

Eksponen dan Logaritma

materi eksponen 1, materi fungsi eksponen 2, lanjutan fungsi eksponen, lanjutan materi 2 fungsi ekponen, lanjutan materi 3 fungsi eksponen, Persamaan eksponen.
contoh soal eksponen 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10
materi logaritma
materi logaritma lanjutan
contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
materi logaritma lanjutan 2
materi persamaan logaritma 1, persamaan 2, persamaan 3, persamaan 4, persamaan 5. aplikasi logaritma, pengayaan (operasi logaritma natural)
contoh soal 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13

Barisan dan Deret

(pilih materi yang Anda butuhkan saja)

materi pola bilangan - induksi matematika
pola bilangan dan barisan serta deret aritmetika
pola bilangan dan barisan serta deret geometri
berikut contoh soal induksi matematika dan pola bilangan
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5
materi barisan dan deret aritmetika (hitung)
lanjutan materi barisan dan deret geometri (ukur)
berikut contoh soalnya
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.
barisan dan deret aritmetika dan geometri sekaligus
contoh soal selingan (diselipkan soal untuk kompetisi) yang terkait barisan dan deret: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4

Trigonometri

koordinat kartesius, koordinat kutub serta sudut-sudut di berbagai kuadran

aturan sinus
aturan cosinus (bagian 1), aturan cosinus (bagian 2)
contoh soal

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
lanjutan materi SPLTV
contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4

Semester Genap

Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat, contoh soal PK 1, contoh PK 2, contoh PK 3, contoh PH 4, contoh soal FK 1, contoh FK 2, contoh FK 3, contoh FK 4, contoh FK 5, contoh FK 6.
Statistikaa materi statistika, penyajian data dalam bentuk diagram. ukuran pemusatan data. ukuran letak data 1, ukuran letak data 2, ukuran letak data 3, interpolasi linear, ukuran penyebaran data 1, ukuran penyebaran data 2, koefisien variansi contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13
Aturan Pencacahan dan Peluang
Aturan Pencacahan
- materi pendahuluan(kombinatorial dan percobaan), kaidah pencacahan(kaidah perkalian), faktorial-permutasi-kombinasi,
- contoh soal 1 permutasi-kombinasi, contoh 2, contoh 3,
- materi Binomial Newton (pengayaan), fungsi pembangkit untuk kombinasi (pengayaan),
- contoh soal 1 (kaidah pencacahan), contoh 2, contoh 3,
Peluang Kejadian Majmuk
- materi pendahuluan (percobaan, ruang sampel, dan kejadian), peluang kejadian tunggal dan frekuensi harapan, peluang kejadian majmuk (peluang komplemen, dua kejadian saling bebas, dua kejadian tidak saling bebas), kejadian saling lepas, kejadian tidak saling lepas,
- contoh soal 1, contoh 2, contoh 3,

Contoh Soal 1 Induksi Matematika (Matematika Wajib Kelas XI)

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Hasil dari}\: \: \displaystyle \sum_{i=1}^{6}16i\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&306\\ \textrm{b}.&314\\ \textrm{c}.&326\\ \color{red}\textrm{d}.&336\\ \textrm{e}.&402 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\color{blue}\begin{aligned}\displaystyle \sum_{i=1}^{6}16i&=16.1+16.2+16.3+16.4+16.5+16.6\\ &=16+32+48+64+80+96\\ &=336 \end{aligned}\end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Hasil dari}\: \: \displaystyle \sum_{i=2}^{9}i^{2}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&274\\ \textrm{b}.&278\\ \textrm{c}.&280\\ \color{red}\textrm{d}.&284\\ \textrm{e}.&286 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\color{blue}\begin{aligned}\displaystyle \sum_{i=2}^{9}i^{2}&=2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+..+9^{2}\\ &=4+9+16+25+...+81\\ &=284 \end{aligned}\end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Poa bilangan}\: \: 12,14,16,18,20,...,(2n+10).\\ &\textrm{Nilai suku ke-100 adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.&180\\ \textrm{b}.&194\\ \textrm{c}.&198\\ \textrm{d}.&208\\ \color{red}\textrm{e}.&210\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{e}\\ &\color{blue}\begin{aligned}U_{n}&=2n+10\\ U_{100}&=2\times 100+10\\ &=210 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diketahui bahwa jika}\\ & 31+39+47+\cdots +8n+23=4n^{2}+27n\\ & \textrm{dengan}\: \: k,n\in \mathbb{N}\: \: \textrm{maka}\\ & 31+39+47+\cdots +8n+23+8k+31=....\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&4k^{2}+27k\\ \textrm{b}.&4k^{2}+35k\\ \color{red}\textrm{c}.&4k^{2}+35k+31\\ \textrm{d}.&4k^{2}+35k+1\\ \textrm{e}.&4k^{2}+35k+54\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&\underset{4k^{2}+27k}{\underbrace{31+39+47+\cdots +8k+23}}+8k+31\\ &=4k^{2}+27k+8k+31\\ &=4k^{2}+35k+31 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Dengan Induksi Matematika untuk}\: \: n\in \mathbb{N}\\ &\textrm{dapat dibuktikan bahwa}\: \: n(n+1)(n+2)\\ &\textrm{akan habis dibagi oleh}\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&4\\ \textrm{b}.&5\\ \color{red}\textrm{c}.&6\\ \textrm{d}.&7\\ \textrm{e}.&8\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\begin{aligned}P(n)&=n(n+1)(n+2)\\ P(1)&=1(1+1)(1+2)=1.2.3\\ &\textrm{adalah bilangan yang habis dibagi 6} \end{aligned} \end{array}$