Fungsi Distribusi

 

Variabel Acak (Lanjutan Materi Distribusi Binomial)

$\text{C. Variabel Acak}$

Suatu besaran yang nilainya hanya tunggal dalam konsep matematis disebut sebagai konstanta, sedangkan besaran yang memungkinkan nilainya berbeda-beda disebut sebagai variabel/peubah.

Berkaitan dengan konsep variabel acak, pada contoh berikut akan diberikan contoh kejadian pelemparan sebuah uang koin sebanyak tiga kali dan didapatkan gambarannya sebagai berikut:

$\begin{array}{rl}\text{Mula}& (1)(2)(3)\mathbf{\text{Ruang sampel}}\\ \mathbf{\text{Mulai}}& \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (A,A,A)\\ G\to (A,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (A,G,A)\\ G\to (A,G,G)\end{array}\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (G,A,A)\\ G\to (G,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (G,G,A)\\ G\to (G,G,G)\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$.

Ruang sampel yang kita dapatkan dari ilustrasi pelemparan sebuah koin sebanyak tiga kali di atas adalah: S={(A,A,A),(A,A,G),(A,G,A),(A,G,G),(G,A,A),(G,A,G),(G,G,A),(G,G,G)}, sehingga  $n(S)=8$.

Selanjutnya dalam fungsi atau pemetaan $S\to R$ yang memetakan setiap anggota S (ruang sampel) ke X (range=daerah hasil), jika X adalah kejadian munculnya nilai sisi A dari cara acak pelemparan uang koin di atas, maka kita akan memiliki data sebagaimana di bawah.

$\begin{array}{rl}& \text{Perhatikanlah ilustrasi berikut}\\ & \begin{array}{rl}\text{Mula}& (1)(2)(3)\mathbf{\text{Ruang sampel}}\mathbf{\text{Nilai}}\\ \mathbf{\text{Mulai}}& \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (A,A,A)\to \to \to X=3\\ G\to (A,A,G)\to \to \to X=2\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (A,G,A)\to \to \to X=2\\ G\to (A,G,G)\to \to \to X=1\end{array}\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (G,A,A)\to \to \to X=2\\ G\to (G,A,G)\to \to \to X=1\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (G,G,A)\to \to \to X=1\\ G\to (G,G,G)\to \to \to X=0\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\\ & \text{Jadi, nilai}X\text{yang mungkin}=0,1,2,\text{atau}3\end{array}$

Perhatikanlah contoh ilustrasi di atas, nilai  X  ternyata tidak memiliki nilai tunggal. Karena  X  tidak memiliki nilai tunggal, maka  X  selanjutnya disebut dengan variabel. Dan variabel seperti ini yang nilainya ditentukan oleh percobaan sehingga akan mendapatkan beberapa kemungkinan selanjutnya disebut dengan variabel acak. Sehingga  X  pada contoh di atas adalah salah satu contoh untuk variabel acak.

Sebagai tambahan penjelasan perhatikan pula tabel berikut

$\begin{array}{|lll|}\hline \text{No}& \text{Istilah}& \text{Penjelasan}\\ 8& \text{Cara}& \text{atau radom}.\text{yaitu setiap elemen populasi}\\ & \text{Acak}& \text{memiliki kesempatan yang yang sama}\\ & & \text{sehingga bersifat objektif}\\ 9& \text{Ruang}& \text{Himpunan dari semua hasil yang mungkin}\\ & \text{Sampel}& \text{dari sebuah percobaan}\\ 10& \text{Variabel}& \text{Suatu fungsi (aturan) yang memetakan }\\ & \text{Acak}& \text{setiap anggota ruang sampel dengan}\\ & (\text{VA})& \text{sebuah bilangan riil. Biasanya dinotasikan}\\ & & \text{dengan huruf besar, sedangkan nilai}\\ & & \text{variabel acaknya dinotasikan dengan}\\ & & \text{huruf kecil}\\ 11& (\text{VA})& \text{Jika VA tersebut memiliki sejumlah nilai}\\ & \text{Diskrit}& \text{yang dapat dihitung(berupa bilangan}\\ & & \text{bulat positif)}\\ 12& \text{VA}& \text{Sebaliknya yaitu berupa bilangan yang}\\ & \text{Kontinu}& \text{tidak bulat}\\ \hline\end{array}$.

Tabel di atas adalah tabel lanjutan dari tabel pada halaman ini.

Perlu untuk dimengerti pada kasus pemisalan di atas untuk kejadian $(X=0)$ adalah ekivalen dengan kejadian $\{(G,G,G)\}$ dengan nilai  $n\{(X=0)\}=1$, sehingga peluang untuk kejadian ini adalah:

$P\{(X=0)\}={\displaystyle \frac{n\{(X=0)\}}{n(S)}={\displaystyle \frac{1}{8}}}$.

Selanjutnya untuk penulisan singkat dari perhitungan di atas adalah:

$P(X=0)={\displaystyle \frac{n\{(X=0)\}}{n(S)}={\displaystyle \frac{1}{8}}}$.

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sebuah koin dilempar sebanyak tiga kali}\\ & \text{tentukan peluang mendapatkan tepat}\\ & \text{dua angka (contoh kasus variabel acak diskrit)}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misalkan},X=\text{banyak kejadian muncul sisi angka}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikan uraian sampel pada materi di atas}\\ & \text{ada 2 sisi angka : AAG,AGA,GAA}\\ & \text{sehingga peluangnya}=P(X=2),\text{dan nilainya}\\ & P(X=2)={\displaystyle \frac{n(X=2)}{n(S)}=\frac{3}{8}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tunjukkan bahwa total semua kejadian}\\ & \text{pada soal No.1 di atas, adalah 1}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikan lagi ilustrasi nilai}X\text{yang}\\ & \text{mungkin, yaitu}:0,1,2,\text{dan}3\\ & \text{Karena semua kejadian saling lepas},\\ & \text{maka}\\ & P(X=0\cup X=1\cup X=2\cup X=3)\\ & =P(0\le X\le 3)\\ & =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}}\\ & ={\displaystyle \frac{8}{8}=1\mathbf{\text{(terbukti)}}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Pada gambar berikut diberikan ilustrasi}\\ & \text{papan putar}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Jika}{X}_1\text{menyatakan perolehan angka pada}\\ & \text{papan catur A. dan}{X}_2\text{menyatakan perolehan}\\ & \text{angka pada catur B. Tunjukkan bahwa}\\ & Y=X_1+X_2\text{adalah}\mathbf{\text{variabel acak diskrit}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Pada papan putar A, peluang munculnya}\\ & \text{angka 2 dan 3 adalah sama, yaitu}:\\ & P(A2)=P(A3)={\displaystyle \frac{1}{4}}\\ & catatan:\text{luas A1 = luas A2+A3}\\ & \text{Sedangkan pada papan putar B peluangnya}\\ & \text{sama yaitu}:P(B1)+P(B2)+P(B3)={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$.

$.\begin{array}{|lll|}\hline Y=X_1+X_2& \text{Hasil}& \text{Peluang}P(Y)\\ 2=1+1& (A1,B1)& {\displaystyle \frac{2}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{12}}\\ \begin{array}{rl}3& =1+2\\ & =2+1\end{array}& \begin{array}{rl}& (A1,B2)\\ & (A2,B1)\end{array}& \begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{2}{4}\times \frac{1}{3}}\\ & +{\displaystyle \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{3}{12}}\end{array}\\ \begin{array}{rl}4& =1+3\\ & =2+2\\ & =3+1\end{array}& \begin{array}{rl}& (A1.B3)\\ & (A2,B2)\\ & (A3,B1)\end{array}& \begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{2}{4}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}}\\ & +\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{4}{12}\end{array}\\ \begin{array}{rl}5& =2+3\\ & =3+2\end{array}& \begin{array}{rl}& (A2,B3)\\ & (A3,B2)\end{array}& \begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}}\\ & +{\displaystyle \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{12}}\end{array}\\ 6=3+3& (A3,B3)& {\displaystyle \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{12}}\\ \hline\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Dari tabel di atas diperoleh bahwa}\\ & P(Y=2\cup Y=3\cup Y=4\cup Y=5\cup Y=6)\\ & =P(2\le Y\le 6)\\ & =P(Y=2)+P(Y=3)+\cdots +P(Y=6)\\ & ={\displaystyle \frac{2}{12}+\frac{3}{12}+\frac{4}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=\frac{12}{12}=1}\\ & \text{Dari hasil di atas, maka dapat disimpulkan}\\ & Y=X_1+X_2\text{dengan nilai numeriknya}\\ & \text{adalah}y=2,3,4,5,6\text{adalah bilangan}\\ & \text{bulat, maka}Y\text{adalah}\mathbf{\text{variabel acak}}\\ & \mathbf{\text{diskrit}}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H, Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.

Lanjutan 2 Contoh Soal Kombinasi (Dsitribusi Binomial)

 $\begin{array}{l}\\ 11.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih untuk}\\ & \text{3 perwakilan dari 10 anggota suatu}\\ & \text{kelompok, jika}\\ & \text{a. tanpa perlakuan khusus}\\ & \text{b. salah seorang harus terpilih}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Dengan tanpa perlakuan}\\ & \text{memilih 3 orang dari 10 orang adalah}:\\ & C(10,3)={\displaystyle \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\times 7!}=120}\\ \text{b}.& \text{Dengan perlakuan 1 orang terpilih}\\ & (\text{1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan})\\ & \text{memilih 2 orang dari 9 orang adalah}:\\ & C(9,2)={\displaystyle \frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\times 8!}=36}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 12.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku}\\ & \text{matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku}\\ & \text{ekonomi pada suatu lemari buku yang}\\ & \text{di dalamnya terdapat 10 buku matematika,}\\ & \text{11 buku fisika dan 12 buku ekonomi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Banyak}\text{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ & =C(10,2)\times C(11,3)\times C(12,4)\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}\times \frac{11!}{3!\times 8!}\times \frac{12!}{4!\times 8!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9}{1\times 2}\times \frac{11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3\times 4}}\\ & =3675375\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 13.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih 3 tas}\\ & \text{dan 4 dompet serta 5 kunci kotak motor}\\ & \text{di atas meja yang di atasnya telah tersedia}\\ & \text{10 tas, 11 dompet serta 12 kunci kontak}\\ & \text{motor}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Banyak}\text{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ & =C(10,3)\times C(11,4)\times C(12,5)\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{3!\times 7!}\times \frac{11!}{4!\times 7!}\times \frac{12!}{5!\times 7!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3}\times \frac{11\times 10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3\times 4}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3\times 4\times 5}}\\ & =120\times 330\times 792\\ & =31363200\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 14.& \text{Suatu kelompok yang terdiri dari 20 remaja}\\ & \text{a}.\text{Jika mereka saling berjabat tangan}\\ & \text{seseorang dengan lainnya hanya satu kali}\\ & \text{maka banyak jabat tangan yang terjadi}?\\ & \text{b}.\text{Jika mereka membentuk regu voly, maka}\\ & \text{berapa banyak regu voly yang terbentuk}?\\ & \text{c}.\text{Jika mereka membentuk regu sepak bola},\\ & \text{maka banyak regu sepak bola yang terbentuk}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa}n=20\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Karena jabat tangan dilakukan hanya hanya}\\ & \text{pada dua remaja yang berbeda dan urutan}\\ & \text{tidak diperlukan, maka hal ini persoalan}\\ & \text{kombinasi. Sehingga banyaknya jabat tangan}\\ & \left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}\\ & \iff \left(\begin{array}{c}20\\ 2\end{array}\right)={\displaystyle \frac{20!}{2!(20-2)!}=\frac{20!}{2!\times 18!}}\\ & \iff \left(\begin{array}{c}20\\ 2\end{array}\right)={\displaystyle \frac{20.19.\text{⧸}18!}{2.\text{⧸}18!}=190}\\ \text{b}.& \text{Karena satu regu voli ada 6 orang, maka}\\ & \left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)={\displaystyle \frac{20!}{6!(20-6)!}}\\ & \iff \left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)={\displaystyle \frac{20!}{6!\times 14!}}\\ & \iff \left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)={\displaystyle \frac{20.19.18.17.16.15.\text{⧸}14!}{720\times \text{⧸}14!}}\\ \text{c}.& \text{Karena satu regu terdiri dari 11 orang},\\ & \text{maka}\\ & \left(\begin{array}{c}20\\ 11\end{array}\right)={\displaystyle \frac{20!}{11!(20-11)!}=\frac{20!}{11!\times 9!}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 15.& \text{Jajargenjang yang dapat dibuat oleh}\\ & \text{himpunan empat garis sejajar yang}\\ & \text{berpotongan dengan garis yang terhimpun}\\ & \text{dalam 7 garis sejajar adalah}....\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa kombinasi dari dua himpunan}\\ & \text{garis sejajar yang masing-masing berjumlah}\\ & \text{4 dan 7 garis, maka}\text{banyak jajar genjang}\\ & \begin{array}{rl}& =\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{4!}{2!(4-2)!}\times \frac{7!}{2!\times (7-2)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{4\times 3\times \text{⧸}2!}{2\times \text{⧸}2!}\times \frac{7\times 6\times \text{⧸}5!}{2\times \text{⧸}5!}}\\ & =6\times 21\\ & =126\text{jajar genjang}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 16.& \text{Diketahui segi enam beraturan. Tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{Banyak diagonal dapat dibentuk}?\\ & \text{b}.\text{Banyak segi tiga di dalamnya}?\\ & \text{c}.\text{Banyak perpotongan diagonal-diagonal}\\ & \text{jika tidak ada titik-titik perpotongan}\\ & \text{yang sama}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui segi}-n\text{dengan}n=6\\ & \text{Dan perlu diingat bahwa di sini tidak diperlukan}\\ & \text{urutan mana yang perlu didahulukan, maka}\\ & \text{rumus kombinasi yang perlu digunakan, yaitu}\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Banyak diagonalnya adalah}:\\ & \left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)-n={\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}}\\ & \iff ={\displaystyle \frac{6.(6-3)}{2}=\frac{6.3}{2}=9}\\ \text{b}.& \text{Banyaknya segi tiga, berarti melibatkan}\\ & \text{tiga garis, maka}\\ & \left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)={\displaystyle \frac{6!}{3!\times (6-3)!}=\frac{6\times 5\times 4\times \text{⧸}3!}{6\times \text{⧸}3!}=20}\\ \text{c}.& \text{Satu buah titik potong dapat dibentuk}\\ & \text{dengan dua garis ekuivalen dengan empat}\\ & \text{buah titik sudut, maka banyaknya titik}\\ & \text{potong adalah}:\\ & \left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)={\displaystyle \frac{6!}{4!\times (6-4)!}=\frac{6!}{4!\times 2!}=15}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 17.& \text{Perhatikalah dua ilustrasi gambar berikut}\end{array}$

Gambar (1)

Gambar (2)

$\begin{array}{l}\\ .& \text{Tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{jalur terpendek dari titik A ke B}\\ & \text{pada gambar (1)}\\ & \text{b}.\text{jalur terpendek dari titik P ke Q}\\ & \text{pada gambar (2)}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Perhatikanlah bahwa langkah dari titik A}\\ & \text{ke titik B harus terdiri dari 8 langkah, yaitu}\\ & \text{3 langkah ke kanan dan 5 langkah ke atas}\\ & \text{Karena yang diinginkan lintasan terpendek}\\ & \text{dan tidak ada kekhususn harus dimulai dari}\\ & \text{mana, maka banyaknya langkah berbdeda}\\ & \text{dan terpendek adalah}:\\ & \left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)\text{atau}\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right).\text{Misal kita hitung salah}\\ & \text{satunya saja}:\\ & \left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)={\displaystyle \frac{8!}{3!(8-5)!}=\frac{8!}{3!\times 5!}=\frac{8.7.6.\text{⧸}5!}{6.\text{⧸}5!}=56}\end{array}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}\text{b}.& \text{Untuk poin b, perhatikanlah ilustrasi}\\ & \text{gambar berikut(untuk memudahkan}\\ & \text{perhitungan). Tempatkan titik-titik}\\ & \text{bantu A, B, C, D, E, dan F seperti}\\ & \text{pada gambar berikut}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}.& \text{Perhatikanlah untuk setiap lintasan}\\ & \text{terpendek dari titik P ke titik Q}\\ & \text{dapat dipastikan akan melewati}\\ & \text{titik A, B, C, dan D. Sehingga dari}\\ & \text{keempat titik itulah akan diperoleh}\\ & \text{rute PAQ, PBQ, PCQ, dan PDQ}.\\ & \text{Sehingga banyak rute terpendek dari}\\ & \text{titik P ke Q yang selanjutnya kita}\\ & \text{simbolkan dengan}\mathrm{\#}PQ\text{adalah}:\\ & \begin{array}{rl}\mathrm{\#}PQ& =\mathrm{\#}PAQ+\mathrm{\#}PBQ+\mathrm{\#}PCQ+\mathrm{\#}PDQ\\ & =\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{\#}PECQ+\mathrm{\#}PFCQ+\mathrm{\#}PFDQ\\ & =1.1+4.5+\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\\ & =1+20+3.1.3+3.3.3+3.1.1\\ & =1+20+9+27+3\\ & =60\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 18.& \text{Berapa banyak cara memilih 3 dari}\\ & \text{7 hari yang disediakan}\\ & \text{(penglangan diperbolehkan)}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\{\begin{array}{ll}n& =7\text{(hari)}\\ r& =3(\text{hari})\\ \bullet & \text{Pengulangan dibolehkan}\end{array}\\ & =\left(\begin{array}{c}n+r-1\\ r\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}7+3-1\\ 3\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)={\displaystyle \frac{9!}{3!(9-3)!}={\displaystyle \frac{9!}{3!\times 6!}={\displaystyle \frac{9\times 8\times 7}{1\times 2\times 3}}}}\\ & =84\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 19.& \text{Sebuah toko roti menjual 8 jenis roti}\\ & \text{Jika seseorang membeli 12 buah roti}\\ & \text{dengan setiap jenis minimal 1 buah}\\ & \text{berapa banyak kemungkinannya}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\{\begin{array}{ll}n& =12\text{(buah)}\\ r& =8(\text{jenis roti})\\ \bullet & \text{Pengulangan dibolehkan}\\ \bullet & \text{minimal 1 jenis roti}\end{array}\\ & =\left(\begin{array}{c}n-r+(r-1)\\ (r-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n-1\\ r-1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}12-1\\ 8-1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}11\\ 7\end{array}\right)={\displaystyle \frac{11!}{7!(11-7)!}={\displaystyle \frac{11!}{7!\times 4!}}}\\ & ={\displaystyle \frac{11\times 10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3\times 4}}\\ & =330\end{array}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
2. Ibrahim, Mussafi, N, S, M. 2013. Pengantar Kombinatorika dan Teori Graf. Yogyakarta: GRAHA ILMU.
3. Johnaes, Kastolan, & Sulasim. 2004. Kompetensi Matematika SMA Kelas 2 Semester 1 Program Ilmu Sosial KBK 2004. Jakarta: YUDHISTIRA.
4. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI (Wajib). Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
5. Kartini, Suprapto, Subandi, & Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
6. Sobirin. 2006. Kompas Matematika: Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika (SMA Kelas XI IPA). Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
7. Sukino. 2011. Maestro Olimpiade Matematika SMP Seri B. Jakarta: ERLANGGA.
8. Susyanto, N, 2012. Tutor Senior Olimpiade Matematika Lima Benua Tingkat SMP. Yogyakarta: KENDI MAS MEDIA.
9. Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika SMU Jilid 2 Kelas 2 Berdasarkan Kurikulum 1994 Suplemen CBPP 1999. Jakarta: ERLANGGA.

Lanjutan 1 Contoh Soal Kombinasi (Distribusi Binomial)

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Bentuk sederhana dari}\\ & \text{a}.{\displaystyle 5!+6!+7!}\\ & \text{b}.{\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n-1)!}}\\ & \text{c}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{n!}}\\ & \text{d}.{\displaystyle \frac{(n-2)!}{(n+1)!}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& 5!+6!+7!=5!+6.5!+7.6.5!\\ & =(1+6+42).5!\\ & =49.5!=49.120=5880\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n-1)!}=\frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}}\\ & =(n+1)n=n^2+n\\ \text{c}.& {\displaystyle \frac{(n+2)!}{n!}=\frac{(n+1)(n+1)n!}{n!}}\\ & =(n+2)(n+1)\\ & =n^2+3n+2\\ \text{d}.& {\displaystyle \frac{(n-2)!}{(n+1)!}=\frac{(n-2)!}{(n+1)n(n-1)(n-2)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{(n+1)n(n-1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{n^3-n}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Tentukanlah nilai}n\text{yang memenuhi}\\ & \text{persamaan berikut}\\ & \text{a}.{\displaystyle \frac{n!3!}{6!(n-3)!}=\frac{33}{4}}\\ & \text{b}.{\displaystyle \frac{3}{8!}-\frac{2}{7!}+\frac{1}{6!}=\frac{5n+3}{8!}}\\ & \text{c}.{\displaystyle \frac{7!}{5!2!}:\frac{10!}{5!5!}=1:4n}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& {\displaystyle \frac{n!3!}{6!(n-3)!}=\frac{33}{4}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)\text{⧸}(n-3)!.\text{⧸}3!}{6.5.\text{⧸}4.\text{⧸}3!\text{⧸}(n-3)!}=\frac{33}{\text{⧸}4}}\\ & \iff n(n-1)(n-2)=33.6.5=11.10.9\\ & \iff n(n-1)(n-2)=11.(11-1).(11-2)\\ & \iff n=11\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{3}{8!}-\frac{2}{7!}+\frac{1}{6!}=\frac{5n+3}{8!}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{3-2.8+56}{8!}=\frac{5n+3}{8!}}\\ & \iff \frac{43}{8!}=\frac{5n+3}{8!}\\ & \iff 43=5n+3\iff 5n=40\iff n=8\\ \text{c}.& {\displaystyle \frac{7!}{5!2!}:\frac{10!}{5!5!}=1:4n}\\ & \iff 4n={\displaystyle \frac{5!2!10!}{7!5!5!}}\\ & \iff 4n={\displaystyle \frac{\text{⧸}5!2!10.9.8.\text{⧸}7!}{\text{⧸}7!5!\text{⧸}5!}}\\ & \iff n=3\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Tentukanlah nilai}n\text{yang memenuhi}\\ & \text{persamaan berikut}\\ & \text{a}.P(n,2)=42\\ & \text{b}.7.P(n,3)=6.P(n+1,3)\\ & \text{c}.3.P(n,4)=P(n-1,5)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& P(n,2)=42\\ & \iff {\displaystyle \frac{n!}{(n-2)!}=42}\\ & \iff {\displaystyle \frac{n!}{(n-2)!}={\displaystyle \frac{n\times (n-1)\times (n-2)!}{(n-2)!}=42}}\\ & \iff {\displaystyle n\times (n-1)=7.6=7.(7-1)}\\ & \iff n=7\\ \text{b}.& 7.P(n,3)=6.P(n+1,3)\\ & {\displaystyle \frac{7.n!}{(n-3)!}=\frac{6(n+1)!}{(n+1-3)!}}\\ & {\displaystyle \frac{7\text{⧸}n!}{(n-3)!}=\frac{6.(n+1).\text{⧸}n!}{(n-2)!}}\\ & \iff \frac{7}{\text{⧸}(n-3)!}=\frac{6n+6}{(n-1)\text{⧸}(n-3)!}\\ & \iff 7(n-2)=6n+6\\ & \iff 7n-6n=6+14\iff n=20\\ \text{c}.& 3.P(n,4)=P(n-1,5)\\ & \iff {\displaystyle \frac{3.n!}{(n-4)!}=\frac{(n-1)!}{(n-1-5)!}}\\ & \iff \frac{3.n.\text{⧸}(n-1)!}{(n-4)!}=\frac{\text{⧸}(n-1)!}{(n-6)!}\\ & \iff \frac{3n}{(n-4)(n-5).\text{⧸}(n-6)!}=\frac{1}{\text{⧸}(n-6)!}\\ & \iff 3n=(n-4)(n-5)\\ & \iff 3n=n^2-9n+20\\ & \iff n^2-12n+20=0\\ & \iff (n-2)(n-10)=0\\ & \iff n=2\text{tidak memenuhi}\text{atau}n=10\\ & \text{jadi},n=10\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Jika 10 siswa akan dipilih 4 orang untuk}\\ & \text{menjadi ketua kelas, wakil, sekretaris dan}\\ & \text{seorang bendahara, maka banyak susunan}\\ & \text{terjadi adalah}....\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Penyusunan memerlukan urutan}\\ & \text{maka perlu digunakan permutasi, yaitu}:\\ & P(n,r)={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}}\\ & \iff P(10,4)={\displaystyle \frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10!}{6!}}\\ & \iff ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times \text{⧸}6!}{\text{⧸}6!}}\\ & \iff =5040\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Jika dari kota A ke kota B terdapat 3 jalur.}\\ & \text{Dan dari kota B ke kota C terdapat 4 jalur,}\\ & \text{serta dari kota C sampai ke kota D ada 5 jalur}\\ & \text{Banyak jalan dari kota A ke kota D adalah}....\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Jalur yang ada semuanya berbeda}\\ & \text{maka perlu digunakan permutasi, yaitu}:\\ & P(n,r)={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}}\\ & \begin{array}{rl}\text{a}& \text{dari A ke B ada 3 jalur cukup pilih satu, maka}\\ & \bullet P(3,1)={\displaystyle \frac{3!}{(3-1)!}=\frac{3!}{2!}=3}\\ \text{b}& \text{dari B ke C ada 4 jalur cukup pilih satu, maka}\\ & \bullet P(4,1)={\displaystyle \frac{4!}{(4-1)!}=\frac{4!}{3!}=4}\\ \text{c}& \text{dari C ke D ada 5 jalur cukup pilih satu, maka}\\ & \bullet P(5,1)={\displaystyle \frac{5!}{(5-1)!}=\frac{5!}{4!}=5}\end{array}\\ & \text{Jadi, total jalur yang dapat di lalui dari A sampai D adalah}:\\ & P(3,1)\times P(4,1)\times P(5,1)=3\times 4\times 5=60\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 9.& \text{Jika di suatu kelas terdapat 4 orang akan dipilih 3 orang }\\ & \text{untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara}.\\ & \text{Tentukanlah banyak cara memilih 3 orang tersebut?}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Karena ada 4 orang, misal A, B, C, dan D yang}\\ & \text{akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi}\\ & \text{ketua, sekretaris, dan bendahara, maka kita tinggal}\\ & \text{buat permutasinya, yaitu posisi ketua dapat dipilih }\\ & \text{dengan 4 cara, sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara},\\ & \text{dan bendahara dapat dipilih dengan 2 cara. atau}\\ & P(4,3)={\displaystyle \frac{4!}{(4-3)!}=\frac{4!}{1!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{1}=24\text{cara}}\\ & \text{Berikut ilustrasinya dengan diagram pohon}\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}B& \{\begin{array}{ll}C& \to ABC\\ D& \to ABD\end{array}\\ C& \{\begin{array}{ll}B& \to ACB\\ D& \to ACD\end{array}\\ D& \{\begin{array}{ll}B& \to ADB\\ C& \to ADC\end{array}\end{array}\\ \\ B& \{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}C& \to BAC\\ D& \to BAD\end{array}\\ C& \{\begin{array}{ll}A& \to BCA\\ D& \to BCD\end{array}\\ D& \{\begin{array}{ll}A& \to BDA\\ C& \to BDC\end{array}\end{array}\\ \\ C& \{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}B& \to CAB\\ D& \to CAD\end{array}\\ B& \{\begin{array}{ll}A& \to CBA\\ D& \to CBD\end{array}\\ D& \{\begin{array}{ll}A& \to CDA\\ B& \to CDB\end{array}\end{array}\\ \\ D& \{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}B& \to DAB\\ C& \to DAC\end{array}\\ B& \{\begin{array}{ll}A& \to DBA\\ C& \to DBC\end{array}\\ C& \{\begin{array}{ll}A& \to DCA\\ B& \to DCB\end{array}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 10.& \text{Seorang anak akan mengambil 4 buah bola dari}\\ & \text{10 warna yang berbeda. Berapakah banyak}\\ & \text{kombinasi warna yang berbeda yang diambil}\\ & \text{oleh Andi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}n=10& \text{dan}r=4\\ C(n,r)& ={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}\\ C(10,4)& ={\displaystyle \frac{10!}{4!(10-4)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{4!\times 6!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{(4\times 3\times 2\times 1)\times 6!}}\\ & =420\text{kombinasi warna bola berbeda}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 11.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih untuk}\\ & \text{3 perwakilan dari 10 anggota suatu}\\ & \text{kelompok, jika}\\ & \text{a. tanpa perlakuan khusus}\\ & \text{b. salah seorang harus terpilih}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Dengan tanpa perlakuan}\\ & \text{memilih 3 orang dari 10 orang adalah}:\\ & C(10,3)={\displaystyle \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\times 7!}=120}\\ \text{b}.& \text{Dengan perlakuan 1 orang terpilih}\\ & (\text{1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan})\\ & \text{memilih 2 orang dari 9 orang adalah}:\\ & C(9,2)={\displaystyle \frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\times 8!}=36}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 12.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku}\\ & \text{matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku}\\ & \text{ekonomi pada suatu lemari buku yang}\\ & \text{di dalamnya terdapat 10 buku matematika,}\\ & \text{11 buku fisika dan 12 buku ekonomi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Banyak}\text{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ & =C(10,2)\times C(11,3)\times C(12,4)\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}\times \frac{11!}{3!\times 8!}\times \frac{12!}{4!\times 8!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9}{1\times 2}\times \frac{11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3\times 4}}\\ & =3675375\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 13.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih 3 tas}\\ & \text{dan 4 dompet serta 5 kunci kotak motor}\\ & \text{di atas meja yang di atasnya telah tersedia}\\ & \text{10 tas, 11 dompet serta 12 kunci kontak}\\ & \text{motor}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Banyak}\text{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ & =C(10,3)\times C(11,4)\times C(12,5)\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{3!\times 7!}\times \frac{11!}{4!\times 7!}\times \frac{12!}{5!\times 7!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3}\times \frac{11\times 10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3\times 4}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3\times 4\times 5}}\\ & =120\times 330\times 792\\ & =31363200\end{array}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Johnaes, Kastolan, & Sulasim. 2004. Kompetensi Matematika SMA Kelas 2 Semester 1 Program Ilmu Sosial KBK 2004. Jakarta: YUDHISTIRA.
2. Kartini, Suprapto, Subandi, & Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
3. Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.

Distribusi Binomial (Matematika Peminatan kelas XII SMA/MA)

 $\text{A. Pendahuluan Distribusi Binomial}$

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}(1)\text{Review}\{\begin{array}{l}\text{Peluang}\{\begin{array}{l}\text{Populasi}\\ \text{Sampel}\{\begin{array}{l}\text{Acak}\\ \text{Bukan Acak}.\end{array}\end{array}\\ \text{Kombiasi}& \end{array}\\ (2)\text{Variabel Acak}\{\begin{array}{ll}\text{Diskrit}& .\\ \text{Kontinue}& \end{array}\\ (3)\text{Distribusi}\{\begin{array}{ll}\text{Distribusi Peluang Variabel Acak}& \\ \text{Fungsi Distribusi Kumulatif}& \\ \text{Variabel Acak Binomial}& \\ \text{Distribusi Binomial}\end{array}\end{array}\end{array}$

$\text{Penjelasan}$

$\begin{array}{|cll|}\hline \text{No}& \text{Istilah}& \text{Penjelasan}\\ 1& \text{Statistika}& \text{Ilmu tentang pengumpulan, pengolahan},\\ & & \text{penganalisaan serta penarikan kesimpulan}\\ & & \text{data. Selanjutnya akan dibagi dua yaitu}\\ & & \text{deskriptif dan inferensia}\\ 2& \text{Statistik}& \text{Kumpulan data/ukuran sampel}\\ 3& \text{Parameter}& \text{Ukuran populasi}\\ 4& \text{Populasi}& \text{Keseluruhan/semua anggota objek/data}\\ 5& \text{Sampel}& \text{Subjek/Objek yang mewakili populasi}\\ 6& \text{Sesus}& \text{Penelitian seluruh data (populasi)}\\ 7& \text{Tekik}& \text{Cara pengambilan data terbatas pada}\\ & \text{Sampling}& \text{sebagian saja dari populasi yang diteliti}\\ \hline\end{array}$.

$\text{B. Kombinasi, Peluang, dan Variabel Acak}$.

Untuk memulai bahasan ini kita sertakan pengertian yang berkaitan dengan kombinasi yaitu adalah permutasi. Perhatikanlah tabel berikut

$\begin{array}{|lll|}\hline \text{Istilah}& \text{Permutasi}& \text{Kombinasi}\\ \text{Definisi}& \begin{array}{rl}& \text{Permutasi r unsur dari n unsur}\\ & \text{adalah banyaknya kemungkinan}\\ & \text{urutan r unsur yang dipilih}\\ & \text{dari n unsur yang tersedia}.\\ & \text{Tiap unsur berbeda dan}r\le n\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Kombinasi r unsur dan n unsur}\\ & \text{adalah banyaknya kemungkinan}\\ & \text{tidak terurut dalam pemilihan}\\ & \text{r unsur yang diambil dari n}\\ & \text{unsur yang tersedia. Tiap unsur}\\ & \text{berbeda dan}r\le n\end{array}\\ \text{Tipe}& \begin{array}{rl}& \text{Bentuk khusus kaidah}\\ & \text{perkalian}\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Bentuk khusus dari bentuk}\\ & \text{permutasi}\end{array}\\ \text{Notasi}& {}_n{P}_r,P_n^r,\text{atau}P(n,k)& {}_n{C}_r,C_r^n,(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}),\text{atau}C(n,r)\\ \text{Rumus}& P(n,r)={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}}& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=C(n,r)={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}\\ \hline\end{array}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Sebagai catatan bahwa}\\ & n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1)\times n\end{array}$

Selanjutnya yang akan kita bahas berkaitan bab ini adalah kombinasi beserta contohnya. Perhatikan pula tabel berikut

$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Kombinasi}& \text{Kombinasi dalam}\\ \text{dengan pengulangan}& \text{Binom Newton}\\ \begin{array}{rl}& C(n+r-1,r)\\ & =C(n+r-1,n-1)\\ & (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{r})\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{n-1})\end{array}& \begin{array}{rl}& (x+y{)}^n\\ & =\sum _{k=o}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})x^{n-k}{y}^k\\ \\ & \text{Koefisien untuk}\\ & x^{n-k}{y}^k,\text{yaitu}\\ & \text{suku ke}-(k+1)\\ & \text{adalah}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})\end{array}\\ \hline\end{array}$.

serta

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah nilai}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.3!& \text{e}.{\displaystyle \frac{6!}{4!}}& \text{i}.{\displaystyle \frac{2!}{0!}+\frac{3!}{1!}+\frac{4!}{2!}}\\ \text{b}.5!& \text{f}.{\displaystyle \frac{10!}{6!}}& \text{j}.{\displaystyle \frac{2!}{0!}\times \frac{3!}{1!}+\frac{4!}{2!}}\\ \text{c}.0!+1!+2!+3!& \text{g}.{\displaystyle \frac{7!}{3!\times 4!}}& \text{k}.{\displaystyle \frac{3\times 4!}{3!(5!-5!)}}\\ \text{d}.(2!)!+(3!)!& \text{h}.{\displaystyle \frac{13!}{12!+12!}}& \text{l}.{\displaystyle \frac{3!+5!+7!}{4!+6!}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ \\ & \begin{array}{c}\\ \text{a}.3!=3.2.1=6\\ \text{b}.5!=5.4.3.2.1=120\\ \begin{array}{rl}\text{c}.0!+1!+2!+3!& =1+1+2+6\\ & =10\end{array}\\ \begin{array}{rl}\text{d}.(2!)!+(3!)!& =2!+6!\\ & =2+720\\ & =722\end{array}\\ \text{e}.{\displaystyle \frac{6!}{4!}=\frac{720}{24}=30\text{atau}{\displaystyle \frac{6!}{4!}={\displaystyle \frac{6.5.\text{⧸}4.\text{⧸}3.\text{⧸}2.\text{⧸}1}{\text{⧸}4.\text{⧸}3.\text{⧸}2.\text{⧸}1}=6.5=30}}}\\ \text{f}.{\displaystyle \frac{10!}{6!}=\frac{10.9.8.7.6.5.4.3.2.1}{6.5.4.3.2.1}=....(\text{silahkan diselesaikan sendiri})}\\ \text{g}.{\displaystyle \frac{7!}{3!\times 4!}=\frac{7.6.5.4.3.2.1}{(3.2.1)\times (4.3.2.1)}=....(\text{silahkan juga diselesaikan sendiri})}\\ ⋮\\ (\text{silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri})\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Sederhanakanlah}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.{\displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}}& \text{e}.{\displaystyle \frac{1}{n!}+\frac{n}{(n+1)!}-\frac{1}{(n-1)!}}\\ \text{b}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{(n+1)!}}& \text{f}.{\displaystyle \frac{(4n)!}{(4n+1)!}+\frac{(4n)!}{(4n-1)!}}\\ \text{c}.{\displaystyle \frac{(2n)!}{(2n+1)!}}& \text{g}.{\displaystyle \frac{1}{n}-\frac{n!}{(n-1).(n-2)!}}\\ \text{d}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{(n^2+3n+2)}}& \text{h}.1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ \\ & \begin{array}{c}\\ \text{a}.{\displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n.(n-1)!}{(n-1)!}=n}\\ \text{b}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{(n+1)!}=\frac{(n+2).(n+1)!}{(n+1)!}=n+2}\\ \text{c}.{\displaystyle \frac{(2n)!}{(2n+1)!}=\frac{(2n)!}{(2n+1).(2n)!}=\frac{1}{2n+1}}\\ \text{d}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{n^2+3n+2}=\frac{(n+2)!}{(n+2).(n+1)}=\frac{(n+2).(n+1).n!}{(n+2).(n+1)}=n!}\\ ⋮\\ (\text{silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri sebagai latihan})\\ ⋮\\ \begin{array}{rl}\text{h}.& 1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!\\ & =(2-1).1!+(3-1).2!+(4-1).3!+(5-1).4!+...+(n+1-1).n!\\ & =2.1!+3.2!+4.3!+5.4!+...+(n+1).n!-1!-2!-3!-4!-...-n!\\ & =2!+3!+4!+5!+...+(n+1)!-(1!+2!+3!+4!+...+n!)\\ & =(n+1)!-1\end{array}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Sederhanakanlah bentuk penjumlahan berikut}\\ & {\displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\cdots +{\displaystyle \frac{100}{98!+99!+100!}}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ \\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikan}\text{bahwa}\\ & {\displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}=\frac{3}{1+2+6}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\times \frac{2}{2}=\frac{2}{1\times 2\times 3}=\frac{2}{3!}=\frac{3-1}{3!}=\frac{3}{3!}-\frac{1}{3!}=\frac{3}{2!\times 3}-\frac{1}{3!}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}}\\ & \text{sehingga}\\ & \frac{3}{1!+2!+3!}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\\ & {\displaystyle \frac{4}{2!+3!+4!}=\cdots =\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}}\\ & {\displaystyle \frac{5}{3!+4!+5!}=\cdots =\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}}\\ & ⋮\\ & {\displaystyle \frac{100}{98!+99!+100!}=\cdots =\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}}\\ & ---------------------------\\ & =\frac{1}{2!}-\frac{1}{100!}\end{array}\end{array}$.

Contoh Soal Vektor di Dimensi Dua (Kelas X Matematika Peminatan) Bagian 2

 $\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ .& \text{Nyatakanlah vektor-vektor di atas dalam}\\ & \text{a}.\text{vektor kolom}\\ & \text{b}.\text{vektor baris}\\ & \text{c}.\text{vektor basis}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Vektor di atas saat dinyatakan dengan}\\ & \begin{array}{|clll|}\hline \text{No}& \text{Kolom}& \text{Baris}& \text{Basis}\\ 1& \overline{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)& \overline{a}=\left(\begin{array}{cc}2,& 4\end{array}\right)& \overline{a}=2\overline{i}+4\overline{j}\\ 2& \overline{b}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)& \overline{b}=\left(\begin{array}{cc}4,& 2\end{array}\right)& \overline{b}=4\overline{i}+2\overline{j}\\ 3& \overline{c}=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right)& \overline{c}=\left(\begin{array}{cc}5,& 0\end{array}\right)& \overline{c}=5\overline{i}\\ 4& \overline{d}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\end{array}\right)& \overline{d}=\left(\begin{array}{cc}-2,& -4\end{array}\right)& \overline{d}=-2\overline{i}-4\overline{j}\\ 5& \overline{e}=\left(\begin{array}{c}0\\ -4\end{array}\right)& \overline{e}=\left(\begin{array}{cc}0,& -4\end{array}\right)& \overline{e}=-4\overline{j}\\ 6& \overline{f}=\left(\begin{array}{c}3\\ -3\end{array}\right)& \overline{f}=\left(\begin{array}{cc}3,& -3\end{array}\right)& \overline{f}=3\overline{i}-3\overline{j}\\ \hline\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 5& \text{Tentukanlah panjang atau besar dari}\\ & \text{vektor-vektor berikut}\\ & \text{a}.\overline{a}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\end{array}\right)\text{d}.\overline{d}=\left(\begin{array}{cc}6,& -8\end{array}\right)\\ & \text{b}.\overline{b}=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right)\text{e}.\overline{e}=2\overline{i}+4\overline{j}\\ & \text{c}.\overline{c}=\left(\begin{array}{cc}4,& -6\end{array}\right)\text{f}.\overline{f}=-5\overline{i}+12\overline{j}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Lambang panjang suatu vektor adalah}:\\ & \left|\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)\right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2},\text{maka}\\ & \bullet \left|\overline{a}\right|=\sqrt{(-4{)}^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\\ & \bullet \left|\overline{b}\right|=\sqrt{5^2+0^2}=\sqrt{25}=5\\ & \bullet \left|\overline{c}\right|=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\\ & \bullet \left|\overline{d}\right|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\\ & \bullet \left|\overline{e}\right|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\ & \bullet \left|\overline{f}\right|=\sqrt{(-5{)}^2+{12}^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 6& \text{Pada soal no.4 di atas dengan menggunakan}\\ & \text{aturan segitiga dan jajar genjang, gambarlah}\\ & \text{vektor-vektor berikut pada kertas berpertak}\\ & \text{a}.\overline{a}+\overline{b}\text{d}.(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}\\ & \text{b}.\overline{b}+\overline{c}\text{e}.2\overline{a}+\overline{e}+2\overline{b}+3\overline{d}\\ & \text{c}.\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})\text{f}.2(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}+\overline{d}+\overline{e})\\ \\ & \text{Jawab}:\end{array}$

Contoh Soal Vektor di Dimensi Dua (Kelas X Matematika Peminatan) Bagian 1

 Perhatikanlah gambar berikut untuk menjawab soal no.1

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Jika}\overline{XW}=\mathbf{\text{a}},\overline{XY}=\mathbf{\text{b}},\text{dan}\overline{YZ}=\mathbf{\text{c}}\\ & \text{Nyatakan dalam vektor},\mathbf{\text{a}},\mathbf{\text{b}},\mathrm{\&}\mathbf{\text{c}}\\ & \text{untuk vektor-vektor berikut}\\ & \text{a}.\overline{WY}\text{d}.\overline{WZ}\\ & \text{b}.\overline{XZ}\text{e}.\overline{WM}\\ & \text{c}.\overline{ZX}\text{f}.\overline{MY}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.\overline{WY}& =\overline{WX}+\overline{XY}=\mathbf{\text{a}}+\mathbf{\text{b}}\\ \text{b}.\overline{XZ}& =\overline{XY}+\overline{YZ}=\mathbf{\text{b}}+\mathbf{\text{c}}\\ \text{c}.\overline{ZX}& =\overline{ZY}+\overline{YX}=-\mathbf{\text{c}}+(-\mathbf{\text{b}})=-\mathbf{\text{b}}-\mathbf{\text{c}}\\ & =-(\mathbf{\text{b}}+\mathbf{\text{c}})\\ & \text{atau}\\ \overline{ZX}& =-\overline{XZ}=-(\mathbf{\text{b}}+\mathbf{\text{c}})\\ \text{d}.\overline{WZ}& =\overline{WX}+\overline{XY}+\overline{YZ}\\ & =\mathbf{\text{a}}+\mathbf{\text{b}}+\mathbf{\text{c}}\\ \text{e}.\overline{WM}& ={\displaystyle \frac{1}{2}\overline{WZ}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}(\mathbf{\text{a}}+\mathbf{\text{b}}+\mathbf{\text{c}})}\\ \text{f}.\overline{MY}& =\overline{MZ}+\overline{ZY}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\overline{WZ}+\overline{ZY}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}(\mathbf{\text{a}}+\mathbf{\text{b}}+\mathbf{\text{c}})+(-\mathbf{\text{c}})}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}(\mathbf{\text{a}}+\mathbf{\text{b}}+\mathbf{\text{c}})-\mathbf{\text{c}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}(\mathbf{\text{a}}+\mathbf{\text{b}}-\mathbf{\text{c}})}\end{array}\end{array}$

Perhatikanlah gambar berikut untuk menjawab soal no.2

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Jika}\overline{PQ}=\mathbf{\text{a}},\overline{QR}=\mathbf{\text{b}},\text{dan}\overline{RS}=\mathbf{\text{c}}\\ & \text{dan titik}\mathbf{\text{E}}\text{dan}\mathbf{\text{F}}\text{adalah titik tegah}\\ & \overline{RS}\text{dan}\overline{QS},\\ & \text{nyatakanlah dalam vektor},\mathbf{\text{a}},\mathbf{\text{b}},\mathrm{\&}\mathbf{\text{c}}\\ & \text{untuk vektor-vektor berikut}\\ & \text{a}.\overline{PR}\text{e}.\overline{PF}\\ & \text{b}.\overline{RP}\text{f}.\overline{SF}\\ & \text{c}.\overline{PS}\text{g}.\overline{FR}\\ & \text{d}.\overline{QE}\text{h}.\overline{EF}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.\overline{PR}& =\overline{PQ}+\overline{QR}=\mathbf{\text{a}}+\mathbf{\text{b}}\\ \text{b}.\overline{RP}& =\overline{RQ}+\overline{QP}=-\mathbf{\text{b}}-\mathbf{\text{a}}=-(\mathbf{\text{a}}+\mathbf{\text{b}})\\ \text{c}.\overline{PS}& =\overline{PQ}+\overline{QR}+\overline{RS}=\mathbf{\text{a}}+\mathbf{\text{b}}+\mathbf{\text{c}}\\ \text{d}.\overline{QE}& =\overline{QR}+\overline{RE}=\overline{QR}+{\displaystyle \frac{1}{2}\overline{RS}}\\ & =\mathbf{\text{b}}+{\displaystyle \frac{1}{2}\mathbf{\text{c}}}\\ \text{e}.\overline{PF}& =\overline{PQ}+\overline{QF}=\overline{PQ}+{\displaystyle \frac{1}{2}\overline{QS}}\\ & =\overline{PQ}+{\displaystyle \frac{1}{2}(\overline{QR}+\overline{RS})}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}(2\mathbf{\text{a}}+\mathbf{\text{b}}+\mathbf{\text{c}})}\\ \text{f}.\overline{SF}& ={\displaystyle \frac{1}{2}\overline{SQ}={\displaystyle \frac{1}{2}(\overline{SR}+\overline{RQ})={\displaystyle \frac{1}{2}(-\mathbf{\text{c}}+(-\mathbf{\text{b}}))}}}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{2}(\mathbf{\text{b}}+\mathbf{\text{c}})}\\ \text{g}.\overline{FR}& =\overline{FQ}+\overline{QR}={\displaystyle \frac{1}{2}\overline{SQ}+\overline{QR}}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{2}(\mathbf{\text{b}}+\mathbf{\text{c}})+\mathbf{\text{b}}={\displaystyle \frac{1}{2}(\mathbf{\text{b}}-\mathbf{\text{c}})}}\\ \text{h}.\overline{EF}& =\overline{ES}+\overline{SF}={\displaystyle \frac{1}{2}\overline{RS}+{\displaystyle \frac{1}{2}\overline{SQ}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\mathbf{\text{c}}+(-{\displaystyle \frac{1}{2}(\mathbf{\text{b}}+\mathbf{\text{c}})})=-{\displaystyle \frac{1}{2}\mathbf{\text{b}}}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Perhatikanlah gambar berikut}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ .& \text{Jika pada titik P bekerja 3 buah gaya}\\ & \text{seperti pada gambar di bawah, lukislah}\\ & \text{vektor}\\ & \mathbf{\text{r}}=\mathbf{\text{a}}+\mathbf{\text{b}}+\mathbf{\text{c}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Dengan aturan poligon kita akan}\\ & \text{mendapatkan gambar berikut}\end{array}$

Materi Vektor Lanjutan 2 (Kelas X Matematika Peminatan)

 $\text{K. Operasi Vektor}$

$\text{1. Penjumlahan}$

$\text{1. 1 Secara Geometri}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Penjumlahan di atas adalah penjumlahan menurut aturan segitiga, 

perhatikan pula pemisalan berikut

$\begin{array}{rl}& \text{Menurut aturan segitiga}\\ & \overline{AB}+\overline{BC}=\overline{a}+\overline{b}=\overline{AC},\text{Selanjutnya}\\ & \overline{AC}+\overline{CD}=\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=\overline{AD},\text{maka}\\ & \overline{AD}+\overline{DE}=\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}+\overline{d}=\overline{AE}\end{array}$

Pada penjumlahan dengan vektor adalah tetap (tidak berubah)

$\begin{array}{rl}& \bar{a}+\bar{0}=\bar{0}+\bar{a}=\bar{a}\\ & \text{Sehingga vektor nol disebut sebagai}\\ & \mathbf{\text{elemen identitas}}\end{array}$

$\text{1. 2 Secara Aljabar}$

Misal  

$\begin{array}{rl}& \bar{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)\text{dan}\bar{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)\\ & \text{maka secara aljabar}\\ & \bar{a}+\bar{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2\\ y_1+y_2\end{array}\right)\end{array}$

Perhatikan kembali gambar berikut (lihat pada pembahasan sebelumnya) 

$\text{CONTOH SOAL}$.

Titik  A(-3,4) , B(-2,1) , C(1,1) , D(5,4) , E(7,3) & F(3,1)

$\begin{array}{rl}& \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)\text{dan}\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\\ & \text{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ & \overline{AB}+\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+4\\ (-3)+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right)\end{array}$

Dan untuk contoh yang lain adalah:

$\begin{array}{rl}& \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right),\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\text{dan}\overline{EF}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)\\ & \text{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ & \overline{AB}+\overline{CD}+\overline{EF}\\ & =\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}1+4+(-4)\\ (-3)+3+(-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\end{array}$

$\text{2. Pengurangan}$

$\text{2. 1 Secara Geometri}$

Pada pengurangan vektor $\bar{a}\text{oleh}\bar{b}$  dapat didefinisikan sebagai:

$\bar{a}-\bar{b}=\bar{a}+(-\bar{b})$. Perhatikanlah ilustrasi secara geometri berikut:

$\text{2. 2 Secara Aljabar}$

$\begin{array}{rl}& \text{Misalkan}\bar{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)\text{dan}\bar{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)\\ & \text{maka}-\bar{b}=\left(\begin{array}{c}-x_2\\ -y_2\end{array}\right)\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \bar{a}-\bar{b}=\bar{a}+(-\bar{b})=\left(\begin{array}{c}{x}_1-x_2\\ y_1-y_2\end{array}\right)\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

Pada contoh soal bahasan penjumlahan di atas, perhatikan lagi bahwa

Titik  A(-3,4) , B(-2,1) , C(1,1) , D(5,4) , E(7,3) & F(3,1)

$\begin{array}{rl}& \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)\text{dan}\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\\ & \text{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ & \overline{AB}-\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1-4\\ (-3)-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\end{array}\right)\end{array}$

$\text{3. Perkalian dengan Skalar}$

$\text{3. 1 Secara Geometri}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut!

$\text{3. 2 Secara Aljabar}$

Perkalian suatu skalar dengan suatu vektor tergantung pada skalarnya. Jika suatu skalar  k  dengan  $k>0$,  maka perkalian ini akan menghasilkan vektor baru yang besarnya sekian  k  kali dari vektor semula  atau  $k\left|\bar{a}\right|$   dan arahnya searah dengan vektor yang dikalikan. Demikian sebaliknya, jika nilai  $k<0$, maka besar vektor hasil perkaliannya adalah  $k\left|\bar{a}\right|$  dengan arah yang berlawanan dari vektor semula.

$\text{CONTOH SOAL}$.

Misalkan diketahui vektor-vektor sebagai berikut:

$\begin{array}{rl}& \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right),\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\text{dan}\overline{EF}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)\\ & \text{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ & \text{dengan muculnya skalar adalah}:\\ & 3\overline{AB}+4\overline{CD}-5\overline{EF}\\ & =3\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)+4\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)-5\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}3.1+4.4+(-5).(-4)\\ 3.(-3)+4.3+(-5).(-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}39\\ 13\end{array}\right)\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kuntarti, Sulistiyono, & Kurnianingsih, S. 2005. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XII Program Ilmu Alam. Jakarta: PT. Gelora Aksara Pratama

Materi Vektor Lanjutan (Kelas X Matematika Peminatan)

 

$\text{D. Modulus Vektor}$

Modulus suatu vektor adalah ukuran (panjang) suatu vektor. Dalam hal ini modulus suatu vektor adalah besar/panjang suatu vektor.

Lihat pada pembahasan sebelumnya tentang panjang vektor di  ${\text{R}}^2$  di sini.

Dalam menuliskan modulus/panjang vektor ini digunakan notasi  $\left|\bar{a}\right|$  jika vektornya $\bar{a}$. 

Bila  $\bar{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right),\text{maka}\left|\bar{a}\right|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$

$\text{CONTOH SOAL}$

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

Tentukanlah modulus/panjang vektor  $\bar{u}$ ?

Jawab:

$\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa vektor}\bar{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)\\ & \text{maka modulus vektor}\bar{u}\\ & =\left|\bar{u}\right|\\ & =\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}\\ & =2\sqrt{13}\end{array}$

$\text{E. Vektor Posisi dan Vektor Bebas}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Vektor yang titik pangkalnya berada di titik O(0,0), maka vektor tersebut dinamakan vektor posisi. Pada gambar di atas titik A rekatif terhadapa O(0,0), maka  $\overline{OA}$ disebut vektor posisi A terhadap titik O(0,0) dan vektor yang lainnya dinamakan vektor bebas. Pada gambar di atas  $\overline{BC}\mathrm{\&}\overline{DF}$  adalah contoh vektor bebasnya.

$\text{F. Kesamaan Dua Vektor}$

Perhatikanlah dua vektor bebas pada gambar di atas, cukup jelas secara geometri tampak panjang vektor $\overline{BC}\mathrm{\&}\overline{DF}$  sama. Dan secara aljabar dapat ditunjukkan juga bahwa:

$\overline{BC}=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)\mathrm{\&}\overline{DF}=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)$.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Secara aljabar}}\text{pula dua vektor}\\ & \text{dikatakan sama, jika komponen}\\ & \text{komponen yang bersesuaian sama}\\ & \left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{ll}{a}_1& =b_1\\ a_2& =b_2\end{array}\end{array}$.

Secara definisi

$\bar{a}=\bar{b}\{\begin{array}{ll}\bullet & \left|\bar{a}\right|=\left|\bar{b}\right|\\ \\ \bullet & \text{arah}\bar{a}=\text{arah}\bar{b}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{rl}1.& \text{Tentukan nilai}x\text{dan}y\text{jika}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right)\\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Jelas bahwa jawabannya adalah}\\ & x=2,\text{dan}y=5\end{array}$.

$\begin{array}{rl}2.& \text{Tentukan nilai}x\text{dan}y\text{jika}\left(\begin{array}{c}x+y\\ x-y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ 1\end{array}\right)\\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Jelas bahwa jawabannya adalah}\\ & x+y=9\\ & x-y=1\\ & ------+\\ & 2x=10\\ & x={\displaystyle \frac{10}{2}=5}\\ & \text{dan}x+y=9\iff 5+y=9\iff v=9-5=4\\ & \text{Jadi},x=5,\text{dan}y=4\end{array}$.

$\text{G. Vektor Negatif}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

$\bar{a}=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)\mathrm{\&}\bar{b}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)$

Vektor  $-\bar{a}=\bar{b}$ memiliki ukuran yang sama dengan   $\bar{a}$.

Selanjutnya vektor  $\bar{a}=-\bar{b}\text{maka}\left|\bar{a}\right|=\left|\bar{b}\right|$

$\text{H. Vektor Satuan}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Jika diketahui  $\bar{a}\mathrm{\&}\bar{b}$ seperti gambar di atas, maka

$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\bar{a}}{\left|\bar{a}\right|}}& \text{adalah vektor satuan dari vektor}\bar{a}\\ \\ {\displaystyle \frac{\bar{b}}{\left|\bar{b}\right|}}& \text{adalah vektor satuan dari vektor}\bar{b}\end{array}$ 

Dan panjang dari vektor satuan ini adalah selalu satu satuan.

$\text{CONTOH SOAL}$.

Tentukanlah vektor satuan dari dua vektor pada gambar di atas?

Jawab:

$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\bar{a}}{\left|\bar{a}\right|}}& ={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)}{\sqrt{(-2{)}^2+5^2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{29}}\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{29}\sqrt{29}\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)}}\\ \\ {\displaystyle \frac{\bar{b}}{\left|\bar{b}\right|}}& ={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)}{\sqrt{6^2+4^2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{52}}\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{26}\sqrt{52}\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)}}\end{array}$

$\text{I. Vektor Basis}$

Vektor satuan yang saling tegak lurus. Didalam ruang dimensi dua terdapat dua vektir basis., yaitu:

$\overline{i}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{dan}\overline{j}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

$\begin{array}{rl}& \text{Misalkan vektor}\overline{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)\\ & \text{dapat dinyatakan dalam kombinasi linear}\\ & \text{vektor basis}\overline{i}\text{dan}\overline{j}\text{di atas, yaitu}\\ & \overline{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=u_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+u_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\\ & \text{maka akan menjadi}\\ & \overline{u}=u_1\overline{i}+u_2\overline{j}\\ & \text{SEBAGAI CONTOH}\\ & \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}5\\ 8\end{array}\right)\text{dalam vektor basis menjadi}\\ & \overline{AB}=5\overline{i}+8\overline{j}\\ & \text{Demikian juga jika}\\ & \overline{CD}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -8\end{array}\right)\text{dalam vektor basis menjadi}\\ & \overline{AB}=-3\overline{i}-8\overline{j}\end{array}$

$\text{J. Vektor Nol}$

Jika vektor  $\bar{a}=\bar{b}$ , maka $\bar{a}-\bar{b}=0$.

$\mathbf{\text{0}}$  disebut sebagai vektor ol.

Sebagai tabahan penjelasan vektor  $\mathbf{\text{0}}$  tidak mempunyai besar dan arahnya tak tentu. 

Vektor (Kelas X Matematika Peminatan)

 $\text{A. Pendahuluan}$

Vektor adalah besaran yang memiliki panjang/besar sekaligus memiliki arah. Secara geometri, vektor digambarkan dengan anak panah (ruas garis berarah) yang mana memiliki titik pangkal dan titik ujung.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Perhatikanlah vektor  b  pada gambar di atas. Vektor tersebut dilambangkan dengan sebuah huruf  b  kecil tebal yang memiliki titik pangkal pada koordinat kartesius di titik  $\left({\displaystyle -\frac{5}{2},-\frac{3}{2}}\right)$  dan berujung di titik $\left({\displaystyle -1,2}\right)$ . Selain vektor b dituliskan dengan sebuah huruf kecil tercetak tebal dapat juga dituliskan dengan sebuah huruf kecil tanpa tercetak tebal tapi diberi anak panah kecil  atau ruas garis di atasnya, yaitu :  $\overrightarrow{a},\overline{a}$.

$\text{Berikut cara penulisan notasi vektor}$

1. Menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya ada anak panah, misalnya  $\overline{PQ},\overline{RS},\text{dan}\overline{AZ}$
2. Menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya diberikan anak panah, seperti  $\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{RS},\text{dan}\overrightarrow{AZ}$
3. Menggunakan sebauah huruf kecil tercetak tebal seperti pembahasan sebelumnya di atas, yaitu :  $\mathbf{\text{a}},\mathbf{\text{b}},\mathbf{\text{c}},\mathbf{\text{d}},\text{dan}\mathbf{\text{e}}$
4. Menggunakan sebuah huruf kecil yang di atsnya diberikan anak panah, misalnya:  $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\text{dan}\overrightarrow{e}$
5. Menggunakan sebuah huruf kecil yang bawahnya diberi garis
6. Menggunakan sebuah huruf kecil yang di atasnya diberi ruas garis, seperti  $\overline{a},\overline{b},\overline{c},\overline{d},\text{dan}\overline{e}$

$\text{B. Vektor pada}{\text{R}}^2$

Vektor di  ${\text{R}}^2$ adalah sebuah vektor yang diwakili oleh sebuah garis berarah dalam sebuah bidang datar atau Cartesius.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Misalkan pada salah satu vektor pada gambar di atas, ambil contoh $\overline{AB}$ . Vektor tersebut dilambangkan secara geometri dengan $\overline{AB}$  dan dibaca "vektor AB" yang berarti "vektor dari titik A ke titik B", dengan titik A sebagai titik pangkal dan B sebagai titik ujung. Sedangkan penulisan vektor secara aljabar dapat dinyatakan dalam matriks kolom atau matrik baris.

Pada   ${\text{R}}^2$  (penulisan vektor pada ruang dimensi dua) penulisan vektor ini dituliskan dengan  $\overline{AB}$, dengan 

$\overline{AB}=\left(\begin{array}{c}\text{komponen horisontal}\\ \text{komponen vertikal}\end{array}\right)$

Sehingga pada ilustrasi gambar di atas vektor-vektorya dapat dituliskan sebagai:

$\overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right),\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right),\mathrm{\&}\overline{EF}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)$

atau

$\overline{AB}=\left[\begin{array}{cc}1,& -3\end{array}\right],\overline{CD}=\left[\begin{array}{cc}4,& 3\end{array}\right],\mathrm{\&}\overline{EF}=\left[\begin{array}{cc}-4,& -2\end{array}\right]$

$\text{C. Panjang Vektor}$

Panjang suatu vektor dilambangkan dengan tanda harga mutlak. Misal pada gambar di atas pada bahasan vekor di  ${\text{R}}^2$, yaitu:

$\left|\overline{AB}\right|,\left|\overline{CD}\right|,\mathrm{\&}\left|\overline{EF}\right|$.

Misalkan suatu vektor  $\overline{u}$ dengan  $\overline{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$, maka panjang dari vektor  $\overline{u}$  ini dapat ditentukan dengan 

= $\left|\overline{u}\right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$.

Sehingga pada gambar di atas, panjang/besar vektornya dapat kita tentukan, yaitu:

$\begin{array}{rl}\bullet \left|\overline{AB}\right|& =\sqrt{1^2+(-3{)}^2}=\sqrt{1+9}\\ & =\sqrt{10}\\ \bullet \left|\overline{CD}\right|& =\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}\\ & =\sqrt{25}=5\\ \bullet \left|\overline{EF}\right|& =\sqrt{(-4{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{16+4}\\ & =\sqrt{20}=2\sqrt{5}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$.

1. Perhatikanlah gambar berikut

$\begin{array}{l}\\ .& \text{Nyatakan vektor pada gambar di atas}\\ & \text{secara aljabar dan tentukan panjangnya}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{l}\\ \bullet & \text{Secara aljabar dinyatakan}\\ & \overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}6\\ -1\end{array}\right)=(6,-1)\\ & \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)=(10,5)\\ & \overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\end{array}\right)=(-3,-6)\\ \bullet & \text{Besar/panjang vektornya adalah}\\ & \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{6^2+(-1{)}^2}=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}\\ & \left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{10}^2+5^2}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}\\ & \left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{(-3{)}^2+(-6{)}^2}=\sqrt{9+36}\\ & =\sqrt{45}=3\sqrt{5}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukan panjang vektor berikut}\\ & \text{a}.\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right),\text{b}.\left(\begin{array}{c}6\\ 9\end{array}\right)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \left|\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)\right|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\ \\ & \left|\left(\begin{array}{c}6\\ 9\end{array}\right)\right|=\sqrt{6^2+9^2}=\sqrt{36+81}=\sqrt{117}\end{array}$

Kedudukan Titik terhadap Lingkaran (Kelas XI)

$\text{D. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran }$.

Kedudukan sebuah titik terhadap sebuah lingkaran yang berpusat di O(0,0) memiliki 3 kemungkinan, yaitu:

• jika titik A(x,y) di dalam lingkaran, maka berlaku  $x^2+y^2<r^2$.
• jika titik A(x,y) pada lingkaran, maka berlaku  $x^2+y^2=r^2$, dan
• jika titik A(x,y) di luar lingkaran, maka berlaku  $x^2+y^2>r^2$.

Demikian juga kedudukan sebuah titik terhadap sebuah lingkaran yang berpusat di $(a,b)$ memiliki 3 kemungkinan, yaitu:

• jika titik A(x,y) di dalam lingkaran, maka berlaku $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2<r^2$  atau  $x^2+y^2+Ax+By+C<0$.
• jika titik A(x,y) pada lingkaran, maka berlaku $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$  atau  $x^2+y^2+Ax+By+C=0$.
• jika titik A(x,y) di luar lingkaran, maka berlaku $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2>r^2$  atau  $x^2+y^2+Ax+By+C>0$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sebuah lingkaran yang berpusat pada }\\ & \text{pangkal koordinat}\\ & \text{a}.\text{Tentukanlah persamaan lingkaran }\\ & \text{yang berjari-jari 5}\\ & \text{b}.\text{Gambarlah lingkaran (pada soal a.) }\\ & \text{pada kertas grafiks}\\ & \text{c}.\text{Lukislah titik-titik dari},\\ & A(2,3),B(4,3),\text{dan}C(3,6).\\ & \text{d}.\text{Nyatakan kedudukan titik-titik}\\ & A,B,\text{dan}C\text{terhadap lingkaran. }\\ & \text{Di dalam, pada, atau}\\ & \text{beradakah di luar lingkaran}\\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikanlah ilustrasi berikut}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Diketahui}r=5\\ & \begin{array}{rl}& x^2+y^2=5^2\\ & \updownarrow \\ & x^2+y^2=25\\ & \text{atau}\\ & L\equiv \{(x,y)|x^2+y^2=25\}\end{array}\\ \text{b}.& \text{Lihat gambar di atas}\\ \text{c}.& \text{Lihat juga gambar di atas}\\ \text{d}.& \text{Dari gambar jelas bahwa}:\\ & \begin{array}{c}\bullet \text{Titik}A(2,3)\text{berada di dalam lingkaran}\\ \text{atau}:(2{)}^2+(3{)}^2=4+9=13<25\\ \bullet \text{Titik}A(4,3)\text{berada pada lingkaran}\\ \text{atau}:(4{)}^2+(3{)}^2=16+9=25=25\\ \bullet \text{Titik}A(3,6)\text{berada di luar lingkaran}\\ \text{atau}:(3{)}^2+(6{)}^2=9+36=45>25\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah persamaan lingkaran}\\ & \text{yang berpusat di pangkal koordinat}\\ & \text{dan melalui titik}P(5,-3)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Diketahui}& \text{pusat lingkaran di pangkal }\\ \text{koordinat}& O(0,0)\text{serta lingkaran}\\ \text{yang mela}& \text{lui titik}P(5,-3),\text{maka}\\ r& =\sqrt{(x_p-0{)}^2+(y_p-0{)}^2}\\ & =\sqrt{5^2+(-3{)}^2}\\ & =\sqrt{25+9}\\ & =\sqrt{34}\\ \text{Sehingga }& ,\text{persamaan lingkarannya adalah}\\ L& \equiv x^2+y^2=r^2\iff x^2+y^2=34\end{array}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika SMA Kelas 2. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
3. Wirodikromo, S. 2007. Matematika Jilid 2 IPA untuk Kelas XI. Jakarta: ERLANGGA.