Contoh Soal Polinom (Bagian 4)

16.Jika(m2)adalah faktor dari2m3+3tm+4,maka nilaitadalah....a.103d.310b.13c.310e.103Jawab:f(m)=2m3+3tm+4f(2)=2(2)3+3t(2)+40=16+6t+46t=20t=103.

17.(KSM MA Kab/Kota 2015)Nilai terkecilnyang mengkin sehinggan.(n+1).(n+2) habis dibagi 24 adalah....a.1b.2c.3d.4Jawab:k=n.(n+1).(n+2)24=n.(n+1).(n+2)2.(2+1).(2+2)makan=2

18.Jika polinomf(x)dibagi oleh(xa)(xb)danab,makasisa pembagiannya adalah....a.xaabf(a)+xabaf(b)b.xaabf(b)+xabaf(a)c.xbabf(a)+xabaf(b)d.xbabf(b)+xabaf(a)e.xabaf(b)+xabaf(a)Jawab:Misal sisa pembagiannya:s(x)=px+qSaatf(x)dibagi(xa)(xb)berartix=as(a)=f(a)=ap+q....(1)x=bs(b)=f(b)=bp+q......(2)Persamaan(1)dan(2)dieliminasiap+q=f(a)bp+q=f(b)apbp=f(a)f(b)p=f(a)f(b)abDari persamaan(1),f(a)=ap+qf(a)=a(f(a)f(b)ab)+qq=a(f(a)f(b)ab)+f(a)q=a(f(a)f(b)ab)+f(a)(abab)q=bf(a)af(b)abSehinggas(x)=px+q=(f(a)f(b)ab)x+(bf(a)af(b)ab)=f(a)xf(b)xbf(a)+af(b)ab=(xb)f(a)+(ax)f(b)ab=xbabf(a)+axabf(b)=xbabf(a)+xabaf(b).

19.Diketahuif(x)dibagi olehx2bersisa 5,dan dibagix3bersisa 7. Jiaf(x)dibagi olehx25x+6akan memiliki sisa....a.x2d.2x+1b.2x4c.x+2e.2x+3Jawab:Alternatif 1f(x)=(x2).h(x)+5f(x)=(x3).h(x)+7f(x)=(x25x+6).H(x)+s(x)f(x)=(x2)(x3).H(x)+px+qf(2)=(22)(23).H(x)+2p+q=50+2p+q=5.................(1)f(3)=(32)(33).H(x)+3p+q=70+3p+q=7.................(2)Daripersamaan(1)dan(2)saatpersamaan (1) dikurangi persamaan (2)p=2p=2maka,q=1Sehingga,s(x)=px+q=2x+1Alternatif 2f(x)dibagi(x2)sisa5f(2)=5f(x)dibagi(x3)sisa7f(3)=7maka,s(x)=xbabf(a)+xabaf(b)=x323(5)+x232(7)=5x151+7x141=155x+7x14=2x+1

20.Polinomf(x)dibagi oleh(2x4)bersisa 6,dibagi oleh(x+4)bersisa 24.Dan polinomg(x)dibagi oleh(2x4)bersisa 5,dibagi oleh(x+4)bersisa 2.Jikah(x)=f(x).g(x),makah(x)dibagi(2x2+4x16)akan sisa....a.3x+24d.6x+36b.3x+36c.6x+24e.12x+3Jawab:Langkah pertamaf(x)=(2x4).h(x)1+6f(x)=(x+4).h(x)2+24f(x)=(2x4)(x+4).H1(x)+p1x+q1Gunakanlah cara sebagai manacontoh soal No. 12 di atas yangAltenatif 2makap1x+q1=3x+12Langkah keduag(x)=(2x4).h(x)3+5g(x)=(x+4).h(x)4+2g(x)=(2x4)(x+4).H2(x)+p2x+q2Gunakanlah cara sebagai manacontoh soal No. 12 di atas yangAltenatif 2makap2x+q2=12x+4Langkah ketigah(x)=f(x)×g(x)=((2x4)(x+4)H1(x)+(3x+12))×((2x4)(x+4)H2(x)+12x+4)makah(2)=(0+(3.2+12))(0+12.2+4)=6.5=30h(4)=(0+(3.4+12))(0+12.4+4)=24.2=48Dengan pembagi2x2+x16,maka sisanya:s3(x)=p3x+q3saatx=22p+q=30saatx=44p+q=48selanjutnya dengan eliminasi-substitusi diperolehp=3,q=36sehinggas(x)=px+q=3x+36




Contoh Soal Polinom (Bagian 3)

11.Jika polinom2x3+7x2+ax3mempunyai faktor2x1,makafaktor linear lainnya adalah....a.(x3)dan(x+1)b.(x+3)dan(x+1)c.(x+3)dan(x1)d.(x3)dan(x1)e.(x+2)dan(x6)Jawab:Perhatikan uraian berikut2x3+7x2+2x3(2x1)pembagix2+4x+3hasilbagi2x12x3+7x2+2x32x3x28x2+2x38x24x6x36x3Sisa0(habis)f(x)=2x3+7x2+2x3=(2x1)(x2+4x+3)=(2x1)(x+1)(x+3).

12.Diketahuig(x)=2x3+ax2+bx+6h(x)=x2+x6adalah faktor darig(x),Nilaiayang memenuhi adalah....a.3d.2b.1c.1e.5Jawab:Diketahuig(x)=2x3+ax2+bx+6dengan pembagih(x)=x2+x6h(x)=(x+3)(x2)Hal ini artinyag(3)=2(3)3+a(3)2+b(3)+6=54+9a3b+6=0....(1)g(2)=2(2)3+a(2)2+b(2)+6=16+4a+2b+6=0..........(2)Dengan mengeliminasi persamaan(1)dengan persamaan(2),makag(3)=9a3b=48g(2)=4a+2b=22(x2)18a6b=96(x3)12a+6b=66+6a=30a=5.

13.Jikaf(x)=(x1)(x+1)(x2)maka berikut yang bukan faktorf(x)adalah....a.(x1)d.(x+2)b.(x+1)c.(x2)e.(1x)Jawab:Diketahuif(x)=(x1)(x+1)(x2)f(x)=(x1)(x+1)(x2)f(x)=(x+1)(x+1)(x+2)atauf(x)=(x1)(x1)(x+2)atauf(x)=(x+1)(x1)(x2)Perhatikan bahwa faktor(x2)tidak akan pernah ada.

14.Jikanmerupakan bilangan bulat positif, pernyataan berikut iniyang benar adalah....a.xn+1habis dibagi(x+1)b.xn+1habis dibagi(x1)c.xn1habis dibagi(x+1)d.xn1habis dibagi(x1)e.xn+1habis dibagi(x+2)Jawab:Alternatif 1Perhatikan bahwaxn+1=(x+1)(xn1+1)x(xn2+1)xn1=(x1)(xn1+xn2++x+1)Alternatif 2PolinomPembagiHasil dengannpositifxn+1x+1f(1)=(1)n+1=....xn+1x1f(1)=(1)n+1=2xn1x+1f(1)=(1)n1=2xn1x1f(1)=(1)n1=0xn+1x+2f(2)=(2)n+10Sebagai catatan bahwa saatxn+1x+1=....ketikan=ganjil, makaxn+1x+1=0,tetapiketikan=genap, makaxn+1x+10.

15.Jika salah satu akar dari polinomx3+4x2+x6=0adalahx=1,maka akar-akar yang lain adalah....a.2dan3b.3dan2c.2dan3d.3dan2e.1dan32Jawab:Perhatikan uraian berikutx3+4x2+x6(x1)pembagix2+5x+6hasilbagix1x3+4x2+x6x3x25x2+x65x25x6x66x6Sisa0(habis)f(x)=x3+4x2+x6=(x1)(x2+5x+6)=(x1)(x+2)(x+3)







Contoh Soal Polinom (Bagian 2)

 6.Diketahui bahwaf(x)x2=h(x)+3x2danf(x)x1=h(x)+2x1,jikaf(x)(x2)(x1)=h(x)+s(x)(x2)(x1),makas(x)=....a.x+1d.2x1b.x+2c.2x+1e.x2Jawab:f(x)x2=h(x)+3x2f(x)=(x2).h(x)+3f(2)=3f(x)x1=h(x)+2x1f(x)=(x1).h(x)+2f(1)=2f(x)(x2)(x1)=h(x)+s(x)(x2)(x1)makaf(x)=(x2)(x1).h(x)+s(x)f(x)=(x2)(x1).h(x)+px+qf(2)=2p+q=3f(1)=p+q=2,sehingga dengan eliminasi akan diperolehp=1danq=1Jadi,px+q=x+1

7.Jikax4+2mxndibagix21bersisa2x1,maka nilaimdannadalah....a.m=1dann=2b.m=1dann=2c.m=1dann=2d.m=1dann=2e.m=2dann=1Jawab:dengan Horner-Kino didapatkan

.{Suku banyak:f(x)=x4+2mxnPembagai:p(x)=(x1)(x+1)=x21:1dari11,sedang0=(01)Hasil bagi:h(x)=x2+1Sisa bagi:s(x)=2mx+(1n)=2x1
.Sehingga,2m=2m=11n=1n=2

8.Jikaf(x)=x4kx2+5habis dibagi(x1)makaf(x)juga habis dibagi oleh....a.x+1d.x+5b.2x+1c.3x+1e.2x+5Jawab:f(x)=x4kx2+5f(1)=(1)4k(1)2+50=1k+5k=6f(x)=x46x2+5=(x21)(x25)=(x1)(x+1)(x25).

9.Jikax312x+khabis dibagi oleh(x2)maka polinom tersebut juga akan dibagi habis oleh....a.x1d.x+2b.x3c.x+1e.x+4Jawab:Misalf(x)=x312x+kSaatf(2)=0(f(x)habis dibagi(x2))f(2)=2312.2+k=0k=16Sehinggaf(x)=x312x+16Dengan teorema faktor, yang mungkinadalah16=±1,±2,±4,±8,±16Dengan substitusi akan diperolehf(4)=(4)312(4)+16=0makax+4termasuk faktornya juga.

.Catatan:Perhatikan uraian berikutx312x+16(x2)(x+4)=x312x+16x2+2x8pembagix2hasilbagix2+2x8x312x+16x3+2x28x2x24x+162x24x+16Sisa0(habis)f(x)=x312x+16=(x2)2(x+4).

10.Jika(x2)adalah faktor darif(x)=2x3+ax2+7x+6,maka akar lainnya adalah....a.x+3d.2x3b.x3c.x1e.2x+3Jawab:Misalf(x)=2x3+ax2+7x+6Saatf(2)=0(f(x)habis dibagi(x2))f(2)=2.23+a.22+7.2+6=0a=9Sehinggaf(x)=2x39x2+7x+6Dengan teorema faktor, yang mungkinadalah62=±1,±2,±3Dengan substitusi akan diperolehf(3)=2(3)39(3)+7.3+6=0makax3termasuk faktornya juga.

.Catatan:Perhatikan uraian berikut2x39x2+7x+6(x2)(x3)=2x39x2+7x+6x25x+6pembagi2x+1hasilbagix25x+62x39x2+7x+62x310x2+12xx25x+6x25x+6Sisa0(habis)f(x)=2x39x2+7x+6=(2x+1)(x2)(x3).





Contoh Soal Polinom (Bagian 1)

 1.Jikag(x)=2x3+x2x+1,makag(1)=....a.2d.2b.1c.1e.3Jawab:g(x)=2x3+x2x+1g(1)=2(1)3+(1)2(1)+1=2+11+1=3

2.Jikap(y)=5y4+2r2y3+y2+1danq(y)=4y5+3ry23y1sertap(1)=q(1),maka nilairsama dengan....a.32dan3d.32b.32dan3c.32dan3e.3Jawab:p(1)=q(1)5(1)4+2r2(1)3+(1)2+1=4(1)5+3r(1)23(1)152r2+1+1=4+3r+3193r2r2=0(62r)(3+2r)2=0,ingat pemfaktoran(3r)(3+2r)=0r=3r=32

3.Diketahuif(x)berderajatn.Jika pembaginya berbentuk(ax2+bx+c),dengana0,maka hasil baginya berderajat....a.n1d.3b.n2c.n3e.2Jawab:Suku banyak (polinom)=pembagi×hasil bagi+sisaxn+...=(ax2+bx+c)×(xn2+...)+(mx+n)

4.Hasil bagi dan sisanya jika(6x43x2+x1)dibagi oleh(2x1)adalah....a.3x3+32x234x+18dan78b.3x3+3x234x+1dan7c.x3+32x23x+18dan78d.x3+32x234x+1dan18e.3x3+32x234x18dan78Jawab:x=12603113323418+63321478Selanjutnya{Hasil bagi:6x3+3x232x+142=3x3+32x234x+18Sisa bagi:78

5.Hasil bagi dan sisanya jika(x4x3x2+x1)dibagi oleh(x2)(x+1)adalah....a.x2+1dan2x+1b.x2+1dan2x1c.x21dan2x+1d.x21dan2x1e.2x21danx+1Jawab:Dengan caraHorner-Kinodiperoleh


.{Suku banyak:f(x)=x4x3x2+x1Pembagai:p(x)=(x2)(x+1)=x2x2:2dari21,sedang1=(11)Hasil bagi:h(x)=x2+1Sisa bagi:s(x)=2x+1

Sehingga,x4x3x2+x1=(x2x2)(x2+1)+2x+1




Menemukan Konsep Sederhana Ketaksamaan QM-AM-GM-HM

Perhatikanlah ilustrasi berikut
Dari gambar di atas, misalkan sebuah lingkaran yang berpusat di titik S  dengan titik A dan B pada lingkaran yang masih-masing memiliki koordinat (a,0) dan (b,0). Dari sani koordinat titik S adalah (a+b2,0). Selain itu terdapat garis singgung lingkaran melalui sebuah titik di luar lingkaran tersebut sebagaimana ilustrasi gambar di atas yaitu titik O(0,0).

1.TS=BS=OSOB=(a+b2)b=ab22.OT=OS2TS2=(a+b2)2(ab2)2=ab3.TP=...Kita gunakan luasOTSOS×TP=OT×TSTP=OT×TSOS=ab(aba+b)4.OP=OT2PT2=(ab)2(ab)2(aba+b)2=ab(1(aba+)2)=ab(4ab(a+b)2)=2aba+b5.OK=OS2+SK2=(a+b2)2+(ab2)2=a2+b22.

 Perhatikan bahwa dari ilustrasi gambar lingkaran beserta hal-hal yang terkait dengan lingkaran tersebut termasuk garis sinngungnya melalui sebuah titik di luar lingkaran, maka

|OB|<|OP|<|OT|<|OS|<|OK|<|OA|makab<2aba+b<ab<a+b2<a2+b22<bSelanjutnya dapat dituliskan sebagai bentukb<21a+1b<ab<a+b2<a2+b22<b.

Bentuk akhir pada tabel terakhir di atas selanjutnya yang kita kenal dengan ketaksamaan HM-GM-AM-QM

Misalkan diberikanx1,x2,x3,,xnbilangan real positif, maka hubungan ketaksamaanQM-AM-GM-HMdapat dituliskanQM(x1,x2,x3,,xn)=x12+x22+x32++xn2nQuadraticMean(rata-rata kuadrat)AM(x1,x2,x3,,xn)=x1+x2+x3++xnnArithmeticMean(rata-rata aritmetika)GM(x1,x2,x3,,xn)=x1.x2.x3xnnGeometricMean(rata-rata geometri)HM(x1,x2,x3,,xn)=n1x1+1x2+1x3++1xnHarmonicMean(rata-rata harmoni).

CONTOH SOAL.

1.Jikaa,bbilangan real positif bahwa(a+b)(1a+1b)4BuktiAlternatif 1(a+b)(1a+1b)=1+ab+ba+1=2+ab+baDenganAM-GM2+2ab×ba2+2.1=4Alternatif 2(a+b)(1a+1b)DenganAM-GM2ab×2ab=4.

2.Jikaa,b,cbilangan real, tunjukkanbahwaa2+b2+y2ab+ac+bcBuktiDengan ketaksamaanAM-GMpada bilangana,b,cbilangan realkita akan peroleha2+b22aba2+c22acb2+c22bc+2(a2+b2+c2)2ab+2ac+2bca2+b2+c2ab+ac+bcterbukti.

3.Jikaai0,i{1,2,3,4}tunjukkan bahwaa1+a2+a3+a44a1a2a3a44Buktia1+a2+a3+a44=a1+a22+a3+a422a1a2+a3a42a1a2.a3a4=a1a2a3a44.

DAFTAR PUSTAKA
  1. Bambang, S. 2012. Materi, Soal dan Penyelesaian Olimpiade Matematika Tingkat SMA/MA. Jakarta: BINA PRESTASI INSANI.
  2. Leo Bocek.----. Nerovnosti a Nerovnice. dalam : https://olympiada.karlin.mff.cuni.cz/prednasky/bocek1.pdf

Persamaan Polinom

 1. Pencarian akar-akar persamaan polinom

Persamaan suku banyak/polinom  anxn+an1xn1++a1x+a0=0  dengan  n>1danan0  paling sedikit memiliki sebuah akar riil atau imajiner. Pada bahasan ini untuk mendapatkan akar-akar rasional perlu dilakukan cara coba-coba. Misalkan  x=h  kita pilih, selanjutnya tinggal kita buktikan bahwa apakah  x=h apakah akar polinom tersebut atau tidak, jika f(h)=0, maka x=h adalah termasuk akar dari polinom tersebut, tetapi jika tidak  atau  f(h)0, maka x=h bukan akar yang diinginkan.

Beberapa petunjuk agar  x=h  terarah sebagai akar polinom

  • Misalkan  f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0  dengan  r  adalah faktor dari  a0, dan  s  adalah faktor dari  an, maka akar-akar rasional jika ada adalah  x=h=rs.
  • Jika pada langkah pertama di atas ditemukan sebuah akar rasional katakanlah  x=h1, maka tentukan hasil bagi  f(x)  dengan  x=h1  ini. Misalkan hasil baginya adalah  h1(x)  atau  f(x)=(xh1)h1(x), maka langkah berikutnya carilah akar dari  h1(x) ini. Dan jika didapatkan akar dari  h1(x)  adalah  x=h2, maka tentukanlah hasil bagi  dari  h1(x)  oleh  x=h2, katakanlah hasilnya  h2(x), maka  f(x)=(xh1)(xh2)h2(x) demikian seterusnya.

2. Jumlah dan hasil kali akar-akar polinom

Untuk fungsi  derajat 2 maka berlaku seperti menentukan rumus jumlah dan selisih pada persamaan kuadrat. Tetapi untuk polinom berderajat tiga  f(x)=ax3+bx2+cx+d  saat  f(x)=0, maka berlaku

f(x)=ax3+bx2+cx+ddenganx1,x2,x3adalah akar-akarnya, makax1+x2+x3=bax1x2+x1x3+x2x3=cax1×x2×x3=da

Untuk yang berderajat empatf(x)=ax4+bx3+cx2+dx+esaatf(x)=0denganx1,x2,x3,x4adalah akar-akarnya,makax1+x2+x3+x4=bax1x2+x1x3+x1x3+...+x3x4=cax1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=dax1x2x3x4=ea

Rumus Tambahanx12+x22=(x1+x2)22x1x2x12+x22+x32=(x1+x2+x3)22(x1x2+x1x3+x2x3)x13+x23+x33=(x1+x2+x3)33x1x2x3(x1+x2+x3)

Teorema Vieta berkaitan polinomPersamaan polinom berderajatnanxn+an1xn1++a1x+a0=0dengan akar-akar:x1,x2,x3,,xn,maka:x1+x2+x3++xn=an1anx1x2+x1x3++x2x3++xn1xn=an2anx1x2x3+x1x2x4++xn2xn1xn=an3anx1x2x3xn=(1)n.a0an

CONTOH SOAL

1.Jika akar-akar dari polinomx3+2x25x6=0adalahx1,x2,danx3,tentukanlah nilaia.x1+x2+x3b.x1x2+x1x3+x2x3c.x1×x2×x3d.x12+x22+x32Jawab:Diketahui bahwa:x3+2x25x6=0dengan koefisien-koefisien variabelnyaa3=1,a2=2,a1=5,dana0=6MenurutTeorema Vieta,makaa.x1+x2+x3=a2a3=21=2b.x1x2+x1x3+x2x3=a1a3=51=5c.x1×x2×x3=a0a3=61=6d.x12+x22+x32=(x1+x2+x3)22(x1x2+x1x3+x2x3)=(2)22(5)=4+10=14

2.Diketahui polinomx3+3x1=0dengan akar-akarα,β,danγtentukanlah nilaiα3+β3+γ3Jawab:Pandang polinomx3+3x1=0dengan:a3=1,a2=0,a1=3,a0=1maka bentuk nilai dari akar-akarnyayaitu:α3+3α1=0.......(1)β3+3β1=0.......(2)γ3+3γ1=0.......(3)Ketika persamaan(1)+(2)+(3)makaα3+β3+γ3+3(α+β+γ)3=0α3+β3+γ3+3(a2a3)3=0α3+β3+γ3+3(0)3=0α3+β3+γ3=3


Daftar Pustaka

  1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Kelas XI untuk SMA dan MA Program Studi Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
  2. Nugroho, P. A., Gunarto, D. 2013. Big Bank Soal+Bahas Matematika SMA/MA Kelas 1, 2, 3. Jakarta: WAHYUMEDIA.
  3. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT.
  4. Sunardi, Waluyo, S., Sutrisno, Subagya. 2005. Matematika 2 untuk SMA Kelas XI IPA. Jakarta: BUMI AKSARA.
  5. Sukino, S., Intan, T. S., Santiago, Y. E. 2015. Pena Emas Olimpiade Sains Nasional Matematika untuk SMP Seri Kinomatika 1: Seleksi Tingkat Sekolah dan Seleksi Tingkat Kabupaten\Kota. Bandung: YRAMA WIDYA.
  6. Sukino. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.



Lanjutan Materi Polinom (Teorema Faktor)

7. Teorema Faktor

Pada pembagian sebuah bilangan bahwa suatu bilangan dikatakan habis terbagi jika pembaginya adalah faktor dari bilangan tersebut. Sebagai misal 15 faktornya adalah: 1,3,5, dan 15. Dan pada bahasan materi tentang pemfaktoran pada persamaan kuadrat saat Anda duduk di kelas X sebagai misal  x2+x6 akan habis terbagi oleh  x+3  dan  x2. Demikian juga  ketika  x2+2x8  akan habis terbagi oleh  x+4  dan  x2. Selanjutnya pembagi-pembagi tersebut kita namakan sebagai faktor dari yang dibagi tersebut.

Untuk selanjutnya toerema faktor dinyatakan:

  • Jika  (xh) adalah faktor dari  f(x)  jika dan hanya jika  f(h)=0
  • Jika  (ax+h)  merupakan faktor dari  f(x)  jika dan hanya jika  f(ha)=0.
CONTOH SOAL.

1.Tentukanlah apakah(x2)dan(x4)apakah faktor dari2x3+x222x+24Jawab:Diketahui bahwaP(x)=2x3+x222x+24x=2P(2)=2.23+2222.2+24=0x=4P(4)=2.43+4222.4+24=800Jadi,(x4)bukan faktor dariP(x)di atas.

2.Tentukanlah apakah(x+1)dan(x1)apakah faktor darix6x5+x31Jawab:Diketahui bahwaP(x)=x6x5+x31x=1P(1)=(1)6(1)5+(1)31=0x=1P(1)=1615+131=0Jadi,(x+1)dan(x1)faktor dariP(x)di atas.

3.Faktorkanlah polinomx311x2+30x8ke faktor rasionalJawab:Diketahui bahwaP(x)=x311x2+30x8Misalkan salah satu faktor polinom adalah:(xk)makakadalah faktor dari8,yaitu:±1,±2,±4,±8dengan mencoba-coba kita harapkan ketemux=1P(1)=1311.12+30.18=120x=1P(1)=(1)311.(1)2+30.(1)8=660x=4P(4)=4311.42+30.48=0dengan metode sintetis Horner kita tampilkan41113084288+1720Jadi,(x4)faktor dariP(x)di atas.

4.Jika diketahui(x2)dan(2x+1)adalah faktor dari2x3+ax2+bx2Tentukanlah nilaiadanbJawab:Misalkan polinomP(x)=2x3+ax2+bx2x=2P(2)=2.23+a.22+b.22=0P(2)=14+8a+2b=0.......(1)x=12P(12)=2(12)3+a(12)2+b(12)2=0P(12)=28+a4b22=0P(12)=a2b=9.........(2)Dengan eliminasi diperoleha=1danb=5Jadi,a=1danb=5.

5.(OSK 2016)Misalkanabilangan real sehingga polinomP(x)=x4+4x+ahabis dibagi(xc)2untuk suatu bilangan realc.Nilaiayang memenuhi adalah....Jawab:Alternatif 1Diketahui polinomP(x)=x4+4x+aDengan metode Horner sebanyak 2 kaliyaitu:c1004acc2c3c4+4c3+c1cc2c3+4c4+4c3+ac2c23c312c3c24c3+4Dari bentuk di atas diperoleh4c3+4=0c=1c4+4c3+a=014+a=0a=3Jadi,a=3Alternatif 2Silahkan Anda coba sebagai latihan mandiri.

LATIHAN SOAL.

1.Buktikan bahwax+3danx8adalahfaktor dari polinomf(x)=2x4+6x3114x2454x336.

2.Tentukan nilaik,k0agarx+kdanxkkeduanya adalah faktor darix3x29x+9 .

3.Bilax2x2adalah faaktor darisebuah  polinomP(x)=6x4x3+ax26x+btentukanlah nilaia+b.

4.Bilax+1danx3adalah faktordari  polinomP(x)=x4+px3+5x2+5x+qtentukanlah nilaipdanqsertadua faktor lainnya yang belum diketahui dari polinom tersebut.

5.(OSK 2019)Kedua akar dari persamaan kuadratx2111x+k=0adalah bilangan primaNilaikadalah.....

6.(OSK 2015)Diketahuia,b,cadalah akar dari persamaanx35x9x+10=0.Jika polinomP(x)=Ax3+Bx2+Cx2015memenuhiP(a)=b+c,P(b)=a+c,P(c)=a+b,maka nilai dariA+B+Cadalah.....

7.(OSK 2014)Semua bilangan bulatnsehinggan451n2+225merupakan bilanganprima adalah.....

8.Diketahui bahwa salah satu dari penyelesaianx414n3+54x262x+13=0adalah2+3.Carilah tiga buah akar yang lain.

DAFTAR PUSTAKA

  1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
  2. Muslim, M.S. 2020. Kumpulan Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kota/Kabupaten Tahun 2009-2019. Bandung: YRAMA WIDYA.
  3. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
  4. Tim Matematika. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap 1. Bandung: ITB

Lanjutan Materi Polinom (Teorema Sisa)

6. Teorema Sisa

Sebelumnya telah diketahui bahwa jika suatu polinom  P(x) dibagi oleh  g(x) dengan hasil bagi  h(x)  dan sisa pembagian berupa  s(x), maka kondisi tersebut dapat dituliskan dengan

P(x)=g(x)×h(x)+s(x)

Selanjutnya apabila  P(x)  berderajat  n  dibagi oleh  g(x) berderajat  m, maka hasil bagi  h(x)  akan berderajat  nm  dan sisa pembagian maksimum berderajat m1.

Perhatikan kembali contoh soal sebelumnya yaitu:

Dari paparan di atas apabila disederhanakan, maka:

JikapolinomialP(x)dibagi oleh1.g(x)=(xa),s(x)=P(a)2.g(x)=(x+a),s(x)=P(a)3.g(x)=(axb),s(x)=P(ba)4.g(x)=(ax+b),s(x)=P(ba)5.g(x)=(xa)(xb)s(x)=xabaP(b)+xbabP(a)6.g(x)=(xa)(xb)(xc)s(x)=(xa)(xb)(ca)(cb)P(c)+(xa)(xc)(ba)(bc)P(b)+(xb)(xc)(ab)(ac)P(a).

Sebagai bukti dari beberapa properti formula di atas adalah sebagai berikut

Untuk formula no.1 di atas adalah:Pandang:P(x)=g(x).h(x)+s(x)atauP(x)=(xa).h(x)+s(x)substitusikanxa=0ataux=amaka akan diperoleh bentukP(a)=(aa).h(a)+s(x)=0+s(x)=s(x)Jadi,s(x)=P(a)(terbukti).

Dan untuk formula no.3 di atas adalah:Pandang:P(x)=g(x).h(x)+s(x)atauP(x)=(axb).h(x)+s(x)substitusikanaxb=0ataux=bamaka akan diperoleh bentukP(ba)=(a(ba)b).h(ba)+s(x)=0+s(x)Jadi,s(x)=P(ba)(terbukti).

Untuk formula no.5 di atasPandang:P(x)=g(x).h(x)+s(x)anggap sisanyas(x)=ux+vatauP(x)=(xa)(xb).h(x)+ux+vsubstitusikanxa=0ataux=amaka akan diperoleh bentukP(a)=(aa)(ab).h(a)+ua+v=0+ua+v=ua+v.....(1)Demikian pulaP(b)=(ab)(bb).h(b)+ub+v=0+ub+v=ub+v.....(2)SelanjutnyaP(a)=ua+vP(b)=ub+vP(a)P(b)=u(ab)P(a)P(b)ab=uatauu=P(a)P(b)abdanP(a)=ua+vP(a)=(P(a)P(b)ab)a+vv=P(a)(P(a)P(b)ab)av=(ab)(ab)P(a)(P(a)P(b)ab)av=aP(a)bP(a)aP(a)+aP(b)abv=bP(a)+aP(b)abSehingga,s(x)=ux+v=P(a)P(b)abx+bP(a)+aP(b)ab=P(a)xP(b)xbP(a)+aP(b)ab=(xb)P(a)+(ax)P(b)ab=abxbP(a)+xabaP(b)Jadi,s(x)=abxbP(a)+xabaP(b)(terbukti).


CONTOH SOAL.

Pembagi Linear.

Tentukan sisa pembagian1.12x440x3+27x2+13x6jika dibagi olehx+12.2x3+4x26x+7jika dibagiolehx+13.3x45x2+4jika dibagiolehx2+2Jawab:1.PolinomP(x)=12x440x3+27x2+13x6dibagix+1,artinyaP(1)=12(1)440(1)3+27(1)2+13(1)6P(1)=12+40+27136=602.PolinomP(x)=2x3+4x26x+7dibagix+1,artinyaP(12)=2(12)3+4(12)26(12)2+7P(12)=5143.PolinomP(x)=3x45x2+4dibagix2+2,gunakan bentuk sederhanamisax2=n=2,makaP(2)=3(2)25(2)+4P(2)=12+10+4=26.

Pembagi Kuadrat.

4.Tentukan sisa pembagian suku banyaka.(3x37x211x+4)oleh(x2x2)b.(2x3+5x27x+3):(x24)Jawab:a.P(x)=g(x).h(x)+s(x)P(x)=g(x).h(x)+ax+bdenganP(x)=3x37x211x+4g(x)=x2x2=(x2)(x+1)maka3x37x211x+4=(x2)(x+1).h(x)+ax+bSelanjutnya kita substitusikanpembuat nol fungsi, yaitux=2ataux=1,makax=222=0+2a+b....(1)x=15=0a+b........(2)perhatikan eliminasi berikut2a+b=22a+b=53a=27a=9makab=4Jadi, sisanya=s(x)=9x4b.Dengan cara yang semisal di atasg(x)=x24=(x2)(x+2)dengans(x)=ax+bmakaP(x)=g(x).h(x)+s(x)x=225=2a+b......(1)x=221=2a+b....(2)perhatikan eliminasi berikut2a+b=252a+b=214a=4a=1makab=23Jadi, sisanya=s(x)=x+23.

LATIHAN SOAL.

Tentukan sisa pembagian1.3x42x3+27x2+x7jika dibagi olehx22.x3+5x23x16jika dibagiolehx+13.3x45x2+4jika dibagiolehx22.

4.Tentukan sisa pembagian suku banyaka.(x36x2+3x2):(x23x+2)b.(x3+2x24):(x29)c.(4x3x2+7x+1):(x2x2)d.(2x42x27):(x2+x6)e.(x3+4x2x+2):(x2+2x3)f.(4x3x2+4x1):(x2+2x15)g.(2x36x25x+3):(2x27x4)h.(x4x3+5):(x2+4).

5.Polinomf(x)=2x3+px2+qx7saatdibagix2+2x3bersisa4x1.Nilaipq=.....

6.(SBMPTN 2015 Matematika IPA)Sisa pembagianAx2014+x2015B(x2)2olehx21adalah5x4.NilaiA+B=.....

7.Suatu perusahaan mulai beroperasi 1 Juni 2016Pendapatan kotor tahunan perusahaan tersebutsetelahttahun adalah sebesarxjuta rupiahdengan definisi fungsixsebagai berikutx=250.000+90.000t+3.000t2Tentukana.Berapa besar pendapatkan kotor perusahaantersebut pada awalJuni 2021?b.Setelah berapa tahun perusahaan tersebutakan memeperoleh pendapatan sebesar2.125miliar rupiah?.

8.Suatu gelombang udara bergerak mendekatisebuah kota.Jika suhutjam setelah tengahmalam adalahTyang diformulasikanT=0,01(40040t+t2),0t10Tentukana.Berapa besar suhu di kota tersebut padapukul05.00pagi?b.Pada pukul berapa suhu di kota tersebutmencapai15C?.

DAFTAR PUSTAKA

  1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
  2. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
  3. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA