Lanjutan 2 Materi Rumus-Rumus Trigonometri

 A. 3  Rumus  $\tan \left ( \alpha +\beta \right )$ dan $\tan \left ( \alpha -\beta \right )$.

Sebelumnya telah dibahas pada materi sebelumnya dan disertai pula dengan contoh soal rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk sinus dan cosinus, yaitu:

Jika dua sudut yang dimaksud misalkan alfa dan beta, maka

$\begin{cases} \sin \left ( \alpha +\gamma \right ) & =\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \sin \gamma \\ \sin \left ( \alpha -\gamma \right ) & =\sin \alpha \cos \gamma -\cos \alpha \sin \gamma \\ \cos \left ( \alpha +\gamma \right ) & =\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \sin \gamma \\ \cos \left ( \alpha +\gamma \right ) & =\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \sin \gamma \end{cases}$.

Sengan menggunakan fakta yang ada-rumus yang telah diketahui-kita akan terbantu dalam menemukan rumus untuk tangen, yaitu:

$\begin{aligned} \tan \left ( \alpha +\beta \right )&=\displaystyle \frac{\sin \left ( \alpha +\beta \right )}{\cos \left ( \alpha +\beta \right )}\\ &=\displaystyle \frac{\left (\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \right )\times \left ( \displaystyle \frac{1}{\cos \alpha \cos \beta } \right ) }{\left (\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \right ) \times \left ( \displaystyle \frac{1}{\cos \alpha \cos \beta } \right )}\\ &=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\displaystyle \frac{\sin \beta }{\cos \beta }}{1-\displaystyle \frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\\ &=\displaystyle \color{red}\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }\color{black}.\qquad \blacksquare \end{aligned}$.

Selanjutnya dengan untuk mendapatkan rumus  $\tan \left ( \alpha +\beta \right )$ adalah dengan mengganti  $\beta =-\beta$, maka

$\begin{aligned} \tan \left ( \alpha +\beta \right )&=\displaystyle \frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }\\ &\qquad \textrm{dengan mengganti}\: \color{blue}\beta =-\beta \: \: \color{black}\textrm{maka,}\\ &=\displaystyle \frac{\tan \alpha +\tan \left ( -\beta \right )}{1-\tan \alpha \tan \left ( -\beta \right )}\\ \tan \left ( \alpha -\beta \right )&=\displaystyle \color{red}\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }\color{black}.\qquad \blacksquare \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tunjukkan bahwa nilai}\: \: \tan 60^{\circ}=\color{red}\sqrt{3}\\\\ &\color{blue}\textbf{Bukti}:\\ &\begin{aligned}\tan 60^{\circ}&=\tan \left ( 30^{\circ}+30^{\circ} \right )\\ &=\displaystyle \frac{\tan 30^{\circ} +\tan 30^{\circ} }{1-\tan 30^{\circ} \tan 30^{\circ} }\\ &=\displaystyle \frac{2\tan 30^{\circ}}{1-\tan^{2} 30^{\circ}}\\ &=\displaystyle \frac{2\left ( \displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3} \right )}{1-\left ( \displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3} \right )^{2}}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{3}}{1-\displaystyle \frac{1}{9}\sqrt{9}}\\ &=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{3}}{1-\displaystyle \frac{3}{9}}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{3}}{\displaystyle \frac{6}{9}}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{3}}{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ &=\displaystyle \color{red}\sqrt{3}\qquad \color{black}\blacksquare \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tunjukkan bahwa nilai}\\ & \tan 90^{\circ}=\color{red}\textrm{Tidak Terdefinisi}\\\\ &\color{blue}\textbf{Bukti}:\\ &\begin{aligned}\tan 90^{\circ}&=\tan \left ( 45^{\circ}+45^{\circ} \right )\\ &=\displaystyle \frac{\tan 45^{\circ} +\tan 45^{\circ} }{1-\tan 45^{\circ} \tan 45^{\circ} }\\ &=\displaystyle \frac{2\tan 45^{\circ}}{1-\tan^{2} 45^{\circ}}\\ &=\displaystyle \frac{2\left ( 1 \right )}{1-\left ( 1 \right )^{2}}=\displaystyle \frac{\displaystyle 2}{1-1}\\ &=\displaystyle \frac{2}{0}\\ &=\color{red}\textrm{Tidak Terdefinisi}\qquad \color{black}\blacksquare \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan nilai dari}\: \: \tan 75^{\circ}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\tan 75^{\circ}&=\tan \left ( 30^{\circ}+45^{\circ} \right )\\ &=\displaystyle \frac{\tan 30^{\circ} +\tan 45^{\circ} }{1-\tan 30^{\circ} \tan 45^{\circ} }\\ &=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}+1}{1-\left ( \displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3} \right )\left ( 1 \right )}\\ &=\displaystyle \frac{1+\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}}{1-\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3}\left (3+\sqrt{3} \right )}{\displaystyle \frac{1}{3}\left (3-\sqrt{3} \right )}\\ &=\displaystyle \frac{3+\sqrt{3} }{3-\sqrt{3} }\\ &=\displaystyle \frac{3+\sqrt{3} }{3-\sqrt{3} }\times \displaystyle \frac{3+\sqrt{3} }{3+\sqrt{3} }\\ &=\displaystyle \frac{3^{2}+3\sqrt{3}+3\sqrt{3}+\sqrt{9}}{3^{2}-\left ( \sqrt{3} \right )^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{12+6\sqrt{3}}{9-3}=\displaystyle \frac{12+6\sqrt{3}}{6}\\ &=\displaystyle \frac{6}{6}\left ( 2+\sqrt{3} \right )\\ &=\color{red}2+\sqrt{3} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan nilai dari}\: \: \tan 105^{\circ}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\tan 105^{\circ}&=\tan \left ( 45^{\circ}+60^{\circ} \right )\\ &=\displaystyle \frac{\tan 45^{\circ} +\tan 60^{\circ} }{1-\tan 45^{\circ} \tan 60^{\circ} }\\ &=\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}+1}{1-1.\left ( \sqrt{3} \right )}\\ &=\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\\ &=\displaystyle \frac{1+\sqrt{3} }{1-\sqrt{3} }\\ &=\displaystyle \frac{1+\sqrt{3} }{1-\sqrt{3} }\times \displaystyle \frac{1+\sqrt{3} }{1+\sqrt{3} }\\ &=\displaystyle \frac{1^{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}+\left (\sqrt{3} \right )^{2}}{1^{2}-\left ( \sqrt{3} \right )^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{4+2\sqrt{3}}{1-3}=\displaystyle \frac{4+2\sqrt{3}}{-2}\\ &=\color{red}-2-\sqrt{3} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Sederhanakan bentuk dari}\: \: \tan \left ( 270^{\circ}+A \right )\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\tan \left ( 270^{\circ}+A \right )&=\displaystyle \frac{\tan 270^{\circ}+\tan A}{1-\tan 270^{\circ}\tan A}\\ &=\displaystyle \frac{\textbf{TD}+\tan A}{1-\textbf{TD}\tan A}\\ &\quad \textrm{dengan}\: \: \textbf{TD}\: \textrm{adalah Tidak Terdefinisi}\\ &=\: \textrm{Bentuk yang harus dihindari}\\ \textrm{maka gunakan}&\: \textrm{bentuk berikut ini}\\ \tan \left ( 270^{\circ}+A \right )&=\displaystyle \frac{\sin \left ( 270^{\circ}+A \right )}{\cos \left ( 270^{\circ}+A \right )}\\ &=\displaystyle \frac{-\cos A}{\sin A}\\ &= \color{red}-\cot A\\\\ \color{purple}\textbf{Catatan}:&\: \textrm{lihatlah materi sebelumnya} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Sederhanakan bentuk dari}\: \: \tan \left ( 270^{\circ}-A \right )\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\tan \left ( 270^{\circ}-A \right )&=\displaystyle \frac{\sin \left ( 270^{\circ}-A \right )}{\cos \left ( 270^{\circ}-A \right )}\\ &=\displaystyle \frac{-\cos A}{-\sin A}\\ &= \color{red}\cot A \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Tunjukkan bahwa}\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.&\tan \left ( 2\alpha \right )=\displaystyle \frac{2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }\\ \textrm{b}.&\tan \alpha =\displaystyle \frac{2\tan \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right )}{1-\tan \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right )} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textbf{Bukti}\\ &\begin{aligned}\textnormal{a.}\quad \tan \left ( \alpha +\beta \right )&=\displaystyle \frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta } ,&\textnormal{dan jika}\quad \beta =\alpha ,&&\textnormal{maka}\\ \tan \left ( \alpha +\alpha \right )&=\displaystyle \frac{\tan \alpha +\tan \alpha }{1-\tan \alpha \tan \alpha } \\ \tan 2\alpha &= \displaystyle \frac{2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha } \alpha\qquad \blacksquare \\ \textnormal{b.}\qquad\quad \tan 2\alpha &=\displaystyle \frac{2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha } ,&\textnormal{dan jika}\quad \alpha =\displaystyle \frac{1}{2}\alpha ,&&\textnormal{maka}\\ \tan 2\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right )&=\displaystyle \frac{2\tan \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right )}{1-\tan ^{2}\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right )}\\ \tan \alpha &=\displaystyle \frac{2\tan \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right )}{1-\tan ^{2}\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right )}\qquad \blacksquare \end{aligned}\\ \end{array}$.

Lanjutan 1 Materi Rumus-Rumus Trigonometri

A. 2  Rumus  $\cos \left ( \alpha +\beta \right )$ dan $\cos \left ( \alpha -\beta \right )$.

Dalam penentuan rumus $\cos \left ( \alpha -\beta \right )$, pada uraian berikut akan ditunjukkan penentuan rumus yang dimaksud dengan bantuan segitiga ABC

Perhatikanlah ilustrai berikut

Jika diurai gambar di atas adalah 

Mungkin gambarnya ada tang kurang jelas, mari kita perjelas lagi gambar di atas

Perhatikan bahwa

dan

Sehingga

$\begin{aligned}\left [ ABC \right ]&=\left [ ACD \right ]+\left [ BCD \right ]\\ \displaystyle \frac{1}{2}ab\sin \left ( 90^{0}-\alpha +\beta \right )&=\displaystyle \frac{1}{2}ab\cos \alpha \cos \beta +\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin \alpha \sin \beta \\ \sin \left ( 90^{0}-\left ( \alpha -\beta \right ) \right )&=\color{red}\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \\ \cos \left ( \alpha -\beta \right )&=\color{red}\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta.\qquad \color{black}\blacksquare \end{aligned}$.

Selanjutnya dengan untuk mendapatkan rumus  $\cos \left ( \alpha +\beta \right )$ adalah dengan mengganti  $\beta =-\beta$, maka

$\begin{aligned}&\cos \left ( \alpha -(-\beta ) \right )=\cos \left ( \alpha +\color{red}\beta \right )\\ &=\cos\alpha \cos \left ( -\beta \right )+\sin \alpha \sin \left ( -\beta \right )\\ &=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \left ( -\sin \beta \right )\\ &=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \qquad \blacksquare \end{aligned}$.

Catatan:

$\left [ ABC \right ]=\textbf{luas segitiga ABC}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tunjukkan bahwa nilai}\: \: \cos 60^{\circ}=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2}\\\\ &\color{blue}\textbf{Bukti}:\\ &\begin{aligned}\cos 60^{\circ}&=\cos \left ( 30^{\circ}+30^{\circ} \right )\\ &=\cos 30^{\circ}\cos 30^{\circ}-\sin 30^{\circ}\sin 30^{\circ}\\ &=\cos^{2} 30^{\circ}-\sin^{2} 30^{\circ}\\ &=\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \right )^{2}-\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{9}-\frac{1}{4}=\displaystyle \frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\displaystyle \frac{2}{4}\\ &=\displaystyle \color{red}\frac{1}{2}\qquad \color{black}\blacksquare \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tunjukkan bahwa nilai}\: \: \cos 90^{\circ}=\color{red}0\\\\ &\begin{aligned}\color{blue}\textbf{Bukti}&\: \: \textbf{pertama}\\ \cos 90^{\circ}&=\cos \left ( 60^{\circ}+30^{\circ} \right )\\ &=\cos 60^{\circ}\cos 30^{\circ}-\sin 60^{\circ}\sin 30^{\circ}\\ &=\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \right )-\left (\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \right )\left (\displaystyle \frac{1}{2} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{3}-\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{3}\\ &=\displaystyle \color{red}0\qquad \color{black}\blacksquare\\ \color{blue}\textbf{Bukti}&\: \: \textbf{kedua}\\ \cos 90^{\circ}&=\cos \left ( 30^{\circ}+60^{\circ} \right )\\ &=....+....\\ &=....\\ &=....\\ \color{blue}\textbf{Bukti}&\: \: \textbf{ketiga}\\ \cos 90^{\circ}&=\cos \left ( 45^{\circ}+45^{\circ} \right )\\ &=....+....\\ &=....\\ &=....\\ \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan nilai dari}\: \: \cos 75^{\circ}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\cos 75^{\circ}&=\cos \left ( 30^{\circ}+45^{\circ} \right )\\ &=\cos 30^{\circ}\cos 45^{\circ}-\sin 30^{\circ}\sin 45^{\circ}\\ &=\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \right )-\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{6}-\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{2}\\ &=\displaystyle \color{red}\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right ) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan nilai dari}\: \: \cos 105^{\circ}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\cos 105^{\circ}&=\cos \left ( 45^{\circ}+60^{\circ} \right )\\ &=\cos 45^{\circ}\cos 60^{\circ}-\sin 45^{\circ}\sin 60^{\circ}\\ &=\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )-\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{2}-\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{6}\\ &=\displaystyle \color{red}\frac{1}{4}\left ( \sqrt{2}-\sqrt{6} \right ) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Sederhanakan bentuk dari}\: \: \cos \left ( 270^{\circ}+A \right )\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\cos \left ( 270^{\circ}+A \right )&=\cos 270^{\circ}\cos A-\sin 270^{\circ}\sin A\\ &=\left ( 0 \right )\cos A-\left (-1 \right )\sin A\\ &=0+\sin A\\ &= \color{red}\sin A \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Sederhanakan bentuk dari}\: \: \cos \left ( 270^{\circ}-A \right )\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\cos \left ( 270^{\circ}-A \right )&=\cos 270^{\circ}\cos A+\sin 270^{\circ}\sin A\\ &=\left ( 0 \right )\cos A+\left ( -1 \right )\sin A\\ &=0-\sin A\\ &= \color{red}-\sin A \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Tunjukkan bahwa}\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.&\cos \left ( 2\alpha \right )= \cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha\\ \textrm{b}.&\cos \alpha =\cos^{2} \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right )-\sin^{2} \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right ) \end{array}\\\\ &\color{blue}\textbf{Bukti}\\ &\begin{aligned}\textnormal{a.}\quad \cos \left ( \alpha +\beta \right )&=\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ,&\textnormal{dan jika}\quad \beta =\alpha ,&&\textnormal{maka}\\ \cos \left ( \alpha +\alpha \right )&=\cos \alpha \cos \alpha -\sin \alpha \sin \alpha \\ \cos 2\alpha &= \cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha\qquad \blacksquare \\ \textnormal{b.}\qquad\quad \cos 2\alpha &=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha ,&\textnormal{dan jika}\quad \alpha =\displaystyle \frac{1}{2}\alpha ,&&\textnormal{maka}\\ \cos 2\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right )&=\cos^{2} \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right )-\sin^{2} \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right )\\ \cos \alpha &=\cos^{2} \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right )-\sin^{2} \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right )\qquad \blacksquare \end{aligned}\\ \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M. 2007. Matematika untuk Kelas X Semester 2 Sekolah Menengah Atas. Bandung: GRAFINDO MEDIA PRATAMA.
2. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam Berdasarkan Kurikulum 2013 Edisi Revisi 2016. Jakarta: ERLANGGA.

Rumus-Rumus Trigonometri

Sebelumnya kita buka arsip lama di blog ini, yaitu:

 Materi Lawas

A. Rumus Jumlah Dan selisih Sudut

A. 1  Rumus  $\sin \left ( \alpha +\beta \right )$ dan $\sin \left ( \alpha -\beta \right )$.

Dalam penentuan rumus $\sin \left ( \alpha +\beta \right )$, pada uraian berikut akan ditunjukkan penentuan rumus yang dimaksud dengan bantuan segitiga ABC

Perhatikanlah ilustrai berikut

Bukti:

$\begin{aligned}\displaystyle \frac{AC}{\sin 90^{0}}&=\displaystyle \frac{CA'}{\sin \alpha }=\displaystyle \frac{AA'}{\sin \angle C}\\ AA'&=AC.\sin \angle C\\ &=AC.\sin \left ( 90^{0}-\alpha \right )\\ &=AC.\cos \alpha\\ &\textnormal{dengan cara yang kurang lebih }\\ &\textrm{sama akan diperoleh juga}\\ AA'&=AB.\cos \beta\\ &\textnormal{selanjutnya kita tentukan luasnya, yaitu}\\ \left [ ABC \right ]&=\left [ AA'C \right ]+\left [ AA'B \right ]\\ \displaystyle \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \left ( \alpha +\beta \right )&=\displaystyle \frac{1}{2}.AC.AA'.\sin \alpha +\displaystyle \frac{1}{2}.AB.AA'.\sin \beta \\ \sin \left ( \alpha +\beta \right )&=\displaystyle \frac{AC.AA'.\sin \alpha }{AB.AC}+\displaystyle \frac{AB.AA'.\sin \beta }{AB.AC}\\ &=\displaystyle \frac{AA'}{AB}.\sin \alpha +\displaystyle \frac{AA'}{AC}.\sin \beta \\ &=\displaystyle \frac{\left ( AB.\cos \beta \right )}{AB}.\sin \alpha +\displaystyle \frac{\left ( AC.\cos \alpha \right )}{AC}.\sin \beta \\ \sin \left ( \alpha +\beta \right )&=\sin \alpha .\cos \beta +\cos \alpha .\sin \beta \quad \blacksquare \end{aligned}$.

Selanjutnya dengan untuk mendapatkan rumus  $\sin \left ( \alpha -\beta \right )$ adalah dengan mengganti  $\beta =-\beta$, maka

$\begin{aligned}&\sin \left ( \alpha +(-\beta ) \right )=\sin \left ( \alpha -\color{red}\beta \right )\\ &=\sin\alpha \cos \left ( -\beta \right )+\cos \alpha \sin \left ( -\beta \right )\\ &=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \left ( -\sin \beta \right )\\ &=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \qquad \blacksquare \end{aligned}$.

Catatan:

$\left [ ABC \right ]=\textbf{luas segitiga ABC}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tunjukkan bahwa nilai}\: \: \sin 60^{\circ}=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}\\\\ &\color{blue}\textbf{Bukti}:\\ &\begin{aligned}\sin 60^{\circ}&=\sin \left ( 30^{\circ}+30^{\circ} \right )\\ &=\sin 30^{\circ}\cos 30^{\circ}+\cos 30^{\circ}\sin 30^{\circ}\\ &=\sin 30^{\circ}\cos 30^{\circ}+\sin 30^{\circ}\cos 30^{\circ}\\ &=2\sin 30^{\circ}\cos 30^{\circ}\\ &=2\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \right )\\ &=\displaystyle \color{red}\frac{1}{2}\sqrt{3}\qquad \color{black}\blacksquare \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tunjukkan bahwa nilai}\: \: \sin 90^{\circ}=\color{red}1\\\\ &\begin{aligned}\color{blue}\textbf{Bukti}&\: \: \textbf{pertama}\\ \sin 90^{\circ}&=\sin \left ( 60^{\circ}+30^{\circ} \right )\\ &=\sin 60^{\circ}\cos 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}\sin 30^{\circ}\\ &=\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \right )+\left (\displaystyle \frac{1}{2} \right )\left (\displaystyle \frac{1}{2} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{9}+\displaystyle \frac{1}{4}\\ &=\displaystyle \frac{3}{4}+\displaystyle \frac{1}{4}\\ &=\displaystyle \frac{4}{4}\\ &=\displaystyle \color{red}1\qquad \color{black}\blacksquare\\ \color{blue}\textbf{Bukti}&\: \: \textbf{kedua}\\ \sin 90^{\circ}&=\sin \left ( 30^{\circ}+60^{\circ} \right )\\ &=....+....\\ &=....\\ &=....\\ \color{blue}\textbf{Bukti}&\: \: \textbf{ketiga}\\ \sin 90^{\circ}&=\sin \left ( 45^{\circ}+45^{\circ} \right )\\ &=....+....\\ &=....\\ &=....\\ \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan nilai dari}\: \: \sin 75^{\circ}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\sin 75^{\circ}&=\sin \left ( 30^{\circ}+45^{\circ} \right )\\ &=\sin 30^{\circ}\cos 45^{\circ}+\cos 30^{\circ}\sin 45^{\circ}\\ &=\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \right )+\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{2}+\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{6}\\ &=\displaystyle \color{red}\frac{1}{4}\left ( \sqrt{2}+\sqrt{6} \right ) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan nilai dari}\: \: \sin 105^{\circ}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\sin 105^{\circ}&=\sin \left ( 45^{\circ}+60^{\circ} \right )\\ &=\sin 45^{\circ}\cos 60^{\circ}+\cos 45^{\circ}\sin 60^{\circ}\\ &=\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )+\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \right )\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{2}+\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{6}\\ &=\displaystyle \color{red}\frac{1}{4}\left ( \sqrt{2}+\sqrt{6} \right ) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Sederhanakan bentuk dari}\: \: \sin \left ( 270^{\circ}+A \right )\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\sin \left ( 270^{\circ}+A \right )&=\sin 270^{\circ}\cos A+\cos 270^{\circ}\sin A\\ &=\left ( -1 \right )\cos A+\left ( 0 \right )\sin A\\ &=-\cos A+0\\ &= \color{red}-\cos A \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Sederhanakan bentuk dari}\: \: \sin \left ( 270^{\circ}-A \right )\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\sin \left ( 270^{\circ}-A \right )&=\sin 270^{\circ}\cos A-\cos 270^{\circ}\sin A\\ &=\left ( -1 \right )\cos A-\left ( 0 \right )\sin A\\ &=-\cos A-0\\ &= \color{red}-\cos A \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Tunjukkan bahwa}\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.&\sin \left ( 2\alpha \right )=2\sin \alpha \cos \alpha\\ \textrm{b}.&\sin \alpha =2\sin \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right ).\cos \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right ) \end{array}\\\\ &\color{blue}\textbf{Bukti}\\ &\begin{aligned}\textnormal{a.}\quad \sin \left ( \alpha +\beta \right )&=\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta ,&\textnormal{dan jika}\quad \beta =\alpha ,&&\textnormal{maka}\\ \sin \left ( \alpha +\alpha \right )&=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha \\ \sin 2\alpha &=2\sin \alpha \cos \alpha\qquad \blacksquare \\ \textnormal{b.}\qquad\quad \sin 2\alpha &=2\sin \alpha \cos \alpha ,&\textnormal{dan jika}\quad \alpha =\displaystyle \frac{1}{2}\alpha ,&&\textnormal{maka}\\ \sin 2\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right )&=2\sin \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right )\cos \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right )\\ \sin \alpha &=2\sin \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right )\cos \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\alpha \right )\qquad \blacksquare \end{aligned}\\ \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M. 2007. Matematika untuk Kelas X Semester 2 Sekolah Menengah Atas. Bandung: GRAFINDO MEDIA PRATAMA.
2. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam Berdasarkan Kurikulum 2013 Edisi Revisi 2016. Jakarta: ERLANGGA.

Lanjutan 3 Soal Persiapan Penilaian Tengah Semester Gasal Kelas XI Pendalaman Matematika (Peminatan)

$\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Himpunan penyelesaian dari persamaan}\\ &\cos (x-30)^{\circ}= \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \: \: \textrm{untuk}\: \: 0^{\circ}\leq x\leq 360^{\circ}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \left \{ 75^{\circ},285^{\circ} \right \}\\\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \left \{ 75^{\circ},343^{\circ} \right \}\\\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \left \{ 75^{\circ},344^{\circ} \right \}\\\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \color{red}\left \{ 75^{\circ},345^{\circ} \right \}\\\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \left \{ 75^{\circ},346^{\circ} \right \}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{ll}\\ &\begin{aligned} & \cos (x-30)^{\circ}= \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ &\cos (x-30)^{\circ}= \cos 45^{\circ}\\ &\Leftrightarrow \: \: x-30^{\circ}=\pm 45^{\circ}+k.360^{\circ}\\ &\Leftrightarrow \quad x =30^{\circ}\pm 45^{\circ}+k.360^{\circ} \\ &k=0\Rightarrow x_{1}=75^{\circ}\: \: (\color{blue}\textrm{mm})\\ &\qquad\textrm{atau}\: \: x_{2}=-15^{\circ}\: \: \color{red}(tm)\\ &k=1\Rightarrow x_{1}=75^{\circ}+360^{\circ} \: \: (\color{red}\textrm{tm})\\ &\qquad \textrm{atau}\: \: \: x_{2}=-15^{\circ}+360^{\circ}=345^{\circ}\: \: \color{blue}(mm) \end{aligned} \\ &\textbf{HP}=\color{red}\color{red}\left \{\displaystyle 75^{\circ},345^{\circ} \right \} \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{Himpunan penyelesaian dari persamaan}\\ &\cos (x-30)^{\circ}= \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \: \: \textrm{untuk}\: \: 0^{\circ}< x< 360^{\circ}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \left \{ 100^{\circ},330^{\circ} \right \}\\\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \color{red}\left \{ 30^{\circ},330^{\circ} \right \}\\\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \left \{ 120^{\circ},300^{\circ} \right \}\\\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \left \{ 60^{\circ},120^{\circ} \right \}\\\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \left \{ 50^{\circ},300^{\circ} \right \}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{ll}\\ &\begin{aligned} & \cos x^{\circ}= \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &\cos x^{\circ}= \cos 30^{\circ}\\ &\Leftrightarrow \quad x =\pm 30^{\circ}+k.360^{\circ} \\ &k=0\Rightarrow x_{1}=30^{\circ}\: \: (\color{blue}\textrm{mm})\\ &\qquad\textrm{atau}\: \: x_{2}=-30^{\circ}\: \: \color{red}(tm)\\ &k=1\Rightarrow x_{1}=30^{\circ}+360^{\circ}=390^{\circ} \: \: (\color{red}\textrm{tm})\\ &\qquad \textrm{atau}\: \: \: x_{2}=-30^{\circ}+360^{\circ}=330^{\circ}\: \: \color{blue}(mm) \end{aligned} \\ &\textbf{HP}=\color{red}\color{red}\left \{\displaystyle 30^{\circ},330^{\circ} \right \} \end{array} \end{array}$

Lanjutan 2 Soal Persiapan Penilaian Tengah Semester Gasal Kelas XI Pendalaman Matematika (Peminatan)

$\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Grafik fungsi trigonometri pada gambar}\\ &\textrm{berikut adalah}\: .... \end{array}$.

$.\quad\begin{array}{ll}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle y=2\sin \left ( x-\displaystyle \frac{1}{2}\pi \right ) \\\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle y=2\sin \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\pi -x \right ) \\\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \color{red}y=2\sin \left ( 2x+\displaystyle \frac{1}{6}\pi \right ) \\\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle y=-2\sin \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\pi +x \right ) \\\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle y=-2\sin \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\pi -2x \right ) \\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Dari grafik tampak jelas bahwa}\\ &\textrm{gambar di atas adalah garfik}\\ &\textrm{fungsi sinus di geser ke}\: \: \textbf{kiri}\\ &\textrm{dengan}\: \: \textbf{amplitudo}\: \: 2\\ &\textrm{dan}\: \: \textbf{periodenya}\: \: 2\pi,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{bentuk persamaan}\: \: \textbf{grafik fungsinya}\\ &y=\color{red}2\sin \left ( 2x+k \right )\\ &\textrm{dengan}\: \: +k\: \: \textrm{adalah}\\ &\textbf{besar geseran ke kirinya} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Grafik fungsi trigonometri pada gambar}\\ &\textrm{berikut adalah}\: .... \end{array}$.

$.\quad\begin{array}{ll}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle y=-2\sin (3x+45)^{\circ} \\\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle y=-2\sin (3x-15)^{\circ} \\\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle y=-2\sin (3x-45)^{\circ} \\\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle y=2\sin (3x+15)^{\circ} \\\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \color{red}y=2\sin (3x-45)^{\circ} \\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Dari grafik tampak jelas bahwa}\\ &\textrm{gambar di atas adalah garfik}\\ &\textrm{fungsi sinus di geser ke}\: \: \textbf{kanan}\\ &\textrm{dengan}\: \: \textbf{amplitudo}\: \: 2\\ &\textrm{dan}\: \: \textbf{periodenya}\: \: \displaystyle \frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ},\: \textrm{maka}\\ &\textrm{bentuk persamaan}\: \: \textbf{grafik fungsinya}\\ &y=\color{red}2\sin 3\left ( x-k \right )\\ &\textrm{dengan}\: \: -k\: \: \textrm{adalah}\\ &\textbf{besar geseran ke kanan}\: \: 15^{\circ}\\ &\textrm{Jadi},\: \: y=\color{red}2\sin 3(x-15)^{\circ}=2\sin (3x-45)^{\circ} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Grafik fungsi trigonometri pada gambar}\\ &\textrm{berikut adalah}\: .... \end{array}$.

$.\quad\begin{array}{ll}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle y=-\cos (2x-30)^{\circ} \\\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle y=\sin (2x-60)^{\circ} \\\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \color{red}y=\cos (2x+30)^{\circ} \\\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle y=\sin (2x-80)^{\circ} \\\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle y=\sin (2x+60)^{\circ} \\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Dari grafik tampak jelas bahwa}\\ &\textrm{gambar di atas adalah garfik}\\ &\textrm{fungsi cosinus di geser ke}\: \: \textbf{kiri}\\ &\textrm{dengan}\: \: \textbf{amplitudo}\: \: 1\\ &\textrm{dan}\: \: \textbf{periodenya}\: \: \displaystyle \frac{360^{\circ}}{2}=180^{\circ},\: \textrm{maka}\\ &\textrm{bentuk persamaan}\: \: \textbf{grafik fungsinya}\\ &y=\color{red}\cos 2\left ( x+k \right )\\ &\textrm{dengan}\: \: +k\: \: \textrm{adalah}\\ &\textbf{besar geseran ke kiri}\: \: 15^{\circ}\\ &\textrm{Jadi},\: \: y=\color{red}\cos 2(x+15)^{\circ}=\sin (2x+30)^{\circ} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Himpunan penyelesaian dari persamaan}\\ &\sin x=\sin \displaystyle \frac{2}{10}\pi \: \: \textrm{untuk}\: \: 0^{\circ}\leq x\leq 360^{\circ}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \left \{ \displaystyle \frac{22}{10}\pi ,\displaystyle \frac{8}{10}\pi \right \} \\\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \left \{ \displaystyle \frac{2}{10}\pi ,\displaystyle \frac{28}{10}\pi \right \} \\\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \color{red}\left \{ \displaystyle \frac{2}{10}\pi ,\displaystyle \frac{8}{10}\pi \right \} \\\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \left \{ \displaystyle \frac{22}{10}\pi ,\displaystyle \frac{28}{10}\pi \right \} \\\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \left \{ \displaystyle \frac{12}{10}\pi ,\displaystyle \frac{8}{10}\pi \right \} \\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{ll}\\ &\begin{aligned} & \sin x=\sin \displaystyle \frac{2}{10}\pi \\ &\Leftrightarrow \: \: x_{1}=\displaystyle \frac{2}{10}\pi+k.2\pi \: \: \: \: \color{blue}\textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow \quad x_{2} =\left (\pi -\displaystyle \frac{2}{10}\pi \right )+k.2\pi=\displaystyle \frac{8}{10}\pi +k.2\pi \\ &k=0\Rightarrow x_{1}=\displaystyle \frac{2}{10}\pi\: \: (\color{blue}\textrm{mm})\: \: \color{black}\textrm{atau}\\ &\qquad\qquad x_{2}=\displaystyle \frac{8}{10}\pi\: \: (\color{blue}\textrm{mm})\\ &k=1\Rightarrow x_{1,2}=....+2\pi \quad (\color{red}\textrm{tidak memenuhi})\\ \end{aligned} \\ &\textbf{HP}=\color{red}\left \{\displaystyle \frac{2}{10}\pi,\: \displaystyle \frac{8}{10}\pi \right \} \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Himpunan penyelesaian dari persamaan}\\ &\tan \left ( 2x-\displaystyle \frac{1}{4}\pi \right )=\tan \displaystyle \frac{1}{4}\pi \: \: \textrm{untuk}\: \: 0^{\circ}\leq x\leq 360^{\circ}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \left \{ \displaystyle \frac{1}{3}\pi ,\pi ,\displaystyle \frac{5}{3}\pi ,\displaystyle \frac{7}{3}\pi \right \} \\\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \left \{ \displaystyle \frac{1}{4}\pi ,\displaystyle \frac{3}{5}\pi ,\frac{5}{4}\pi ,\frac{8}{5}\pi \right \} \\\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \left \{ \displaystyle \frac{1}{4}\pi ,\displaystyle \frac{3}{4}\pi ,\frac{6}{4}\pi ,\displaystyle \frac{7}{4}\pi \right \} \\\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \left \{ \displaystyle \frac{2}{4}\pi ,\displaystyle \frac{3}{4}\pi ,\pi ,\displaystyle \frac{7}{4}\pi \right \} \\\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \color{red}\left \{ \displaystyle \frac{1}{4}\pi ,\frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi ,\displaystyle \frac{7}{4}\pi \right \} \\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{ll}\\ &\begin{aligned} & \tan \left ( 2x-\displaystyle \frac{1}{4}\pi \right )=\tan \displaystyle \frac{1}{4}\pi \\ &\Leftrightarrow \: \: 2x-\displaystyle \frac{1}{4}\pi=\displaystyle \frac{1}{4}\pi+k.\pi\\ &\Leftrightarrow \quad 2x =\displaystyle \frac{2}{4}\pi +k.\pi \\ &\Leftrightarrow \quad x =\displaystyle \frac{1}{4}\pi +k.\frac{\pi}{2} \\ &k=0\Rightarrow x=\displaystyle \frac{1}{4}\pi\: \: (\color{blue}\textrm{mm})\\ &k=1\Rightarrow x=\displaystyle \frac{1}{4}\pi+\frac{\pi}{2}=\displaystyle \frac{3}{4}\pi \: \: (\color{blue}\textrm{mm}) \\ &k=2\Rightarrow x=\displaystyle \frac{1}{4}\pi+\pi =\displaystyle \frac{5}{4}\pi \: \: (\color{blue}\textrm{mm}) \\ &k=3\Rightarrow x=\displaystyle \frac{1}{4}\pi+\frac{3\pi}{2}=\displaystyle \frac{7}{4}\pi \: \: (\color{blue}\textrm{mm}) \\ &k=4\Rightarrow x=\displaystyle \frac{1}{4}\pi+2\pi =\displaystyle \frac{9}{4}\pi \: \: (\color{red}\textrm{tidak memenuhi}) \\ \end{aligned} \\ &\textbf{HP}=\color{red}\color{red}\left \{\displaystyle \frac{1}{4}\pi,\: \displaystyle \frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi \right \} \end{array} \end{array}$

Lanjutan Soal Persiapan Penilaian Tengah Semester Gasal Kelas XI Pendalaman Matematika (Peminatan)

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Nilai}\: \: x \: \: \textrm{positif terkecil yang memenuhi}\\ &\sin x=-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}\: \: \textrm{adalah}\: ....\\\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle 30^{\circ} \\\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle 60^{\circ} \\\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle 120^{\circ} \\\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}\displaystyle 240^{\circ} \\\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle 300^{\circ} \\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\sin x&=-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \textrm{Gun}&\textrm{akan rumus persamaan}\\ &\textrm{sederhana, yaitu}:\\ \sin x&=-\sin 60^{\circ}\\ &=\sin \left ( 180^{\circ}+60^{\circ} \right )\\ &=\sin 240^{\circ}\\ x&=\color{red}240^{\circ} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Jika}\: \: \cos x=\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5} \: \: \textrm{maka nilai}\\ &\cot x\left ( \displaystyle \frac{\pi }{2}-x \right )\: \: \textrm{adalah}\: ....\\\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}\displaystyle \frac{1}{2} \\\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{1}{3} \\\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{1}{6} \\\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{1}{7} \\\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{1}{8} \\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\cos x&=\frac{2\sqrt{5}}{5},\: \: \textrm{maka}\\ \sin^{2} x&+\cos ^{2}x=1\\ \sin x&=1-\cos ^{2}x\\ &=\sqrt{1-\cos ^{2}x}=\sqrt{1-\left (\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5} \right )^{2}}\\ &=\sqrt{1-\displaystyle \frac{20}{25}}=\sqrt{\displaystyle \frac{5}{25}}=\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}\\ \cot &\left ( \displaystyle \frac{\pi }{2}-x \right )=\tan x,\: \: \textrm{maka}\\ \tan x&=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Periode dari fungsi}\: \: f(x)=-2\cos 3x\: \: \textrm{adalah}\: ....\\\\ &\textrm{a}.\quad 90^{\circ} \\\\ &\textrm{b}.\quad 100^{\circ} \\\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}120^{\circ} \\\\ &\textrm{d}.\quad 150^{\circ} \\\\ &\textrm{e}.\quad 180^{\circ} \\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Periode dari}\: :\: f(x)=-2\cos 3x\\ &\textrm{adalah}\\ &=\displaystyle \frac{360^{\circ}}{3}\\ &=\color{red}120^{\circ}\\ &\\ &\textrm{Ingat bahwa}\\ &f(x)=a\cos bx,\: \: \textrm{maka periodenya}\\ &=\displaystyle \frac{360^{\circ}}{b} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Perhatikanlah grafik berikut} \end{array}$.

$.\quad\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Gambar di atas adalah grafik fungsi dari}\\ &\textrm{a}.\quad f(x)=\cos 2x \\\\ &\textrm{b}.\quad f(x)=\cos 3x \\\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}f(x)=3\cos x \\\\ &\textrm{d}.\quad f(x)=3\cos 3x \\\\ &\textrm{e}.\quad f(x)=\displaystyle \frac{1}{3}\cos x \\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Gambar cukup jelas}\\ &\textrm{dengan periode}\: \: 360^{\circ}\\ &\textrm{gambar dari grafik}\: \: f(x)=\color{red}3\cos x \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Nilai dari}\: \: \displaystyle \frac{\sin \displaystyle \frac{3}{4}\pi +\tan \pi +\cos \pi }{\sin \displaystyle \frac{1}{2}\pi +\cos 2\pi -3\cos \displaystyle \frac{1}{3}\pi }=\: ....\\\\ &\textrm{a}.\quad 4 \\\\ &\textrm{b}.\quad 2-\sqrt{2} \\\\ &\textrm{c}.\quad \sqrt{2}-2 \\\\ &\textrm{d}.\quad -4 \\\\ &\textrm{e}.\quad \color{red}-1 \\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\displaystyle \frac{\sin \displaystyle \frac{3}{4}\pi +\tan \pi +\cos \pi }{\sin \displaystyle \frac{1}{2}\pi +\cos 2\pi -3\cos \displaystyle \frac{1}{3}\pi }\\ &=\displaystyle \frac{\sin 150^{\circ} +\tan 180^{\circ} +\cos 180^{\circ} }{\sin \displaystyle 90^{\circ} +\cos 360^{\circ} -3\cos \displaystyle 60^{\circ} }\\ &=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}+0+(-1)}{1+1-3\left (\displaystyle \frac{1}{2} \right ) }\\ &=\displaystyle \frac{-\displaystyle \frac{1}{2}}{2-\displaystyle \frac{3}{2}}\\ &=-\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ &=\color{red}-1 \end{aligned} \end{array}$

Soal Persiapan Penilaian Tengah Semester Gasal Kelas XI Pendalaman Matematika (Peminatan)

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Nilai}\: \: 75^{\circ}\: \: \textrm{jika dinyatakan ke radian}\\ &\textrm{adalah}\: \: ....\: \: \textrm{radian}\\\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{1}{3}\pi \\\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{5}{6}\pi \\\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \color{red}\frac{5}{12}\pi \\\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{7}{12}\pi \\\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{9}{12}\pi \\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketah}&\textrm{ui bahwa}\\ 180^{\circ}&=\pi \: \: \: radian\\ 1^{\circ}&=\displaystyle \frac{\pi }{180}\: \: \: radian\\ 75\times 1^{\circ}&=75\times \displaystyle \frac{\pi }{180}\: \: \: radian\\ 75^{\circ}&=\displaystyle \frac{5}{12}\pi \: \: \: radian \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: \tan \theta =\displaystyle \frac{5}{12}\: \: \textrm{untuk}\: \: 0^{\circ}\leq \theta \leq 90^{\circ}\\ &\textrm{maka}\: \: \cos \theta \: \: \textrm{adalah}\: ....\\\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{5}{13} \\\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \color{red}\frac{12}{13} \\\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{13}{5} \\\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{13}{12} \\\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{12}{5} \\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikanlah gambar segitiga berikut} \end{array}$.

$. \qquad\begin{aligned}\textrm{Diketah}&\textrm{ui bahwa}\\ \tan \theta &=\displaystyle \frac{5}{12}\: ,\: \textrm{untuk}\: 0^{\circ}\leq \theta \leq 90^{\circ}\\ &\color{red}\textrm{lihat gambar di atas}\\ &\textrm{dengan dalil Pythagoras akan}\\ &\textrm{didapatkan sisimiringnya}=13\\ \textrm{jadi}&,\: \textrm{nilai dari}\\ \cos \theta &=\displaystyle \frac{12}{13} \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Perhatikanlah gambar berikut}\\ \end{array}$.

$.\qquad\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Panjang BC adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle 20\sin 36^{\circ} \\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle 20\cos 36^{\circ} \\ &\textrm{c}.\quad \color{red}\displaystyle 20\tan 36^{\circ} \\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle 15\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle 16 \\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketah}&\textrm{ui bahwa}\\ \tan 36^{\circ} &=\displaystyle \frac{BC}{20}\\ \Leftrightarrow &\: \color{red}BC\color{black}=20\tan 36^{\circ} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Nilai}\: \: \tan 300^{\circ} \: \: \: \textrm{adalah}\: \: ....\\\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \sqrt{3} \\\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3} \\\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle -\frac{1}{3}\sqrt{3} \\\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \\\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \color{red}-\sqrt{3} \\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\tan 300^{\circ}&=\tan \left ( 360^{\circ}-60^{\circ} \right )\\ &=-\tan 60^{\circ}\\ &=\color{red}-\sqrt{3}\\ \textbf{catatan}&: \textrm{ingat sudut berelasi} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Nilai}\: \: \tan 60^{\circ}-\sin 120^{\circ}-\tan 210^{\circ} \: \: \: \textrm{adalah}\: \: ....\\\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{6} \\\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{6} \\\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle -\frac{1}{2}\sqrt{6} \\\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3} \\\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \color{red}\frac{1}{6}\sqrt{3} \\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\tan 60^{\circ}-\sin 120^{\circ}-\tan 210^{\circ}\\ &=\tan 60^{\circ}-\sin \left ( 180^{\circ}-60^{\circ} \right )-\tan \left ( 180^{\circ}+30^{\circ} \right )\\ &=\tan 60^{\circ}-\sin 60^{\circ}-\tan 30^{\circ}\\ &=\sqrt{3}-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}-\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}\\ &=\left (1-\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right )\sqrt{3}\\ &=\displaystyle \color{red}\frac{1}{6}\sqrt{3} \end{aligned} \end{array}$

Grafik Fungsi Trigonometri

Sebelumnya telah diketahui perbandingan trigonometri diberbagai kuadan dan sudut-sudut yang berelasi, selanjutnya dapat digambarkan garfik fungsinya, yaitu : $y =\sin x$, $y =\cos x$, dan $y =\tan x$.

A. Grafik Fungsi Sinus

Berikut ilustrasi grafik fungsi sinus untuk  $-\pi \leq x\leq \pi$.

$\begin{aligned}&\textbf{Bentuk umum}\\ &f(x)=a\sin b\left ( x+c \right )+d\\ &\bullet \quad \textrm{periode}:\displaystyle \frac{360^{\circ}}{b}\: \: \textrm{atau}\: \: \displaystyle \frac{2\pi }{\left | b \right |}\\ &\bullet \quad \textrm{nilai maksimum}:\left | a \right |\\ &\bullet \quad \textrm{nilai minimum}:-\left | a \right |\\ &\bullet \quad \textrm{geseran grafik ke kiri}:c\\ &\bullet \quad \textrm{geseran grafik ke kanan}:-c\\ &\bullet \quad \textrm{geseran grafik ke atas}:d\\ &\bullet \quad \textrm{geseran grafik ke bawah}:-d\\ \end{aligned}$.

B. Grafik Fungsi Cosinus

Berikut ilustrasi grafik fungsi sinus untuk  $-\pi \leq x\leq \pi$.

$\begin{aligned}&\textbf{Bentuk umum}\\ &f(x)=a\cos b\left ( x+c \right )+d\\ &\bullet \quad \textrm{periode}:\displaystyle \frac{360^{\circ}}{b}\: \: \textrm{atau}\: \: \displaystyle \frac{2\pi }{\left | b \right |}\\ &\bullet \quad \textrm{nilai maksimum}:\left | a \right |\\ &\bullet \quad \textrm{nilai minimum}:-\left | a \right |\\ &\bullet \quad \textrm{geseran grafik ke kiri}:c\\ &\bullet \quad \textrm{geseran grafik ke kanan}:-c\\ &\bullet \quad \textrm{geseran grafik ke atas}:d\\ &\bullet \quad \textrm{geseran grafik ke bawah}:-d\\ \end{aligned}$.

C. Grafik Fungsi Tangen

Berikut ilustrasi grafik fungsi sinus untuk  $-\pi \leq x\leq \pi$.

$\begin{aligned}&\textbf{Bentuk umum}\\ &f(x)=a\tan b\left ( x+c \right )+d\\ &\bullet \quad \textrm{periode}:\displaystyle \frac{180^{\circ}}{b}\: \: \textrm{atau}\: \: \displaystyle \frac{\pi }{\left | b \right |}\\ &\bullet \quad \textrm{nilai maksimum}:\: \: \color{red}\textit{tidak ada}\\ &\bullet \quad \textrm{nilai minimum}:\: \: \color{red}\textit{tidak ada}\\ &\bullet \quad \textrm{geseran grafik ke kiri}:c\\ &\bullet \quad \textrm{geseran grafik ke kanan}:-c\\ &\bullet \quad \textrm{geseran grafik ke atas}:d\\ &\bullet \quad \textrm{geseran grafik ke bawah}:-d\\ \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui fungsi}\: \: f(x)=\displaystyle \frac{4}{5}\sin \left ( 2x-\displaystyle \frac{\pi }{3} \right )\\ &\textrm{tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{periode}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{nilai maksimu}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{nilai minimum}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{arah geseran fungsinya}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{gambarlah grafik fungsinya}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Diket}&\textrm{ahui bahwa}\\ f(x)&=\displaystyle \frac{4}{5}\sin \left ( 2x-\displaystyle \frac{\pi }{3} \right )\\ &=\displaystyle \frac{4}{5}\sin 2\left ( x-\displaystyle \frac{\pi }{6} \right )\quad \textrm{atau boleh juga}\\ &\quad\qquad\qquad\textrm{dituliskan dengan bentuk}\\ &=\displaystyle \frac{4}{5}\sin 2\left ( x-30^{\circ} \right ) \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Periodenya}:\: \: \left | \displaystyle \frac{360^{\circ}}{2} \right |=180^{\circ}\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Nilai maksimumnya}:\: \: \left | \displaystyle \frac{4}{5} \right |=\frac{4}{5}\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{Nilai minimumnya}:\: \: -\left | \displaystyle \frac{4}{5} \right |=-\frac{4}{5}\\ \textrm{d}.\quad&\textrm{Arah geserannya ke kanan sejauh}: \: 30^{\circ}\\ \textrm{e}.\quad&\textrm{Berikut gambar ilustrasinya} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui fungsi}\: \: f(x)=2\cos \left ( 2x-\displaystyle \frac{\pi }{4} \right )\\ &\textrm{tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{periode}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{nilai maksimu}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{nilai minimum}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{arah geseran fungsinya}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{gambarlah grafik fungsinya}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Diket}&\textrm{ahui bahwa}\\ f(x)&=2\cos \left ( 2x-\displaystyle \frac{\pi }{4} \right )\\ &=2\cos 2\left ( x-\displaystyle \frac{\pi }{8} \right )\quad \textrm{atau boleh juga}\\ &\quad\qquad\qquad\textrm{dituliskan dengan bentuk}\\ &=2\cos 2\left ( x-22,5^{\circ} \right ) \end{aligned} \\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Periodenya}:\: \: \left | \displaystyle \frac{360^{\circ}}{2} \right |=180^{\circ}\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Nilai maksimumnya}:\: \: \left | 2 \right |=2\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{Nilai minimumnya}:\: \: -\left | 2 \right |=-2\\ \textrm{d}.\quad&\textrm{Arah geserannya ke kanan sejauh}: \: 22,5^{\circ}\\ \textrm{e}.\quad&\textrm{Berikut gambar ilustrasinya} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Diketahui fungsi}\: \: f(x)=\tan \left ( 2x-\displaystyle \frac{\pi }{4} \right )\\ &\textrm{tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{periode}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{nilai maksimu}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{nilai minimum}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{arah geseran fungsinya}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{gambarlah grafik fungsinya}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Diket}&\textrm{ahui bahwa}\\ f(x)&=\tan \left ( 2x-\displaystyle \frac{\pi }{4} \right )\\ &=\tan 2\left ( x-\displaystyle \frac{\pi }{8} \right )\quad \textrm{atau boleh juga}\\ &\quad\qquad\qquad\textrm{dituliskan dengan bentuk}\\ &=\tan 2\left ( x-22,5^{\circ} \right ) \end{aligned} \\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Periodenya}:\: \: \left | \displaystyle \frac{180^{\circ}}{2} \right |=90^{\circ}\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Nilai maksimumnya}:\: \: \color{red}\textit{tidak ada}\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{Nilai minimumnya}:\: \: \color{red}\textit{tidak ada}\\ \textrm{d}.\quad&\textrm{Arah geserannya ke kanan sejauh}: \: 22,5^{\circ}\\ \textrm{e}.\quad&\textrm{Berikut gambar ilustrasinya} \end{aligned} \end{array}$.

Contoh Soal Numerasi Lanjutan 4 Persiapan Asesmen Nasional (AN)

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL 14}$.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Jika sesorang ingin bepergian dari kota A ke kota C dengan melewati kota B dan jalur yang bisa dipilih tersedia sebagaimana pada gambar yaitu dari kota A ke kota B tersia 4 jalur berbeda dan dari kota B ke kota C tersedia 3 jalur berbeda, maka berapa jalur yang dapat ditempuh seseorang jika ia bermula dari kota A ke kota C dengan harus melewati kota B

$\LARGE\colorbox{white}{SOLUSI SOAL 14}$.

Jalur yang dapat ditempuh adalah sebanyak 4 x 3 = 12 jalur dari kota A ke kota C dengan harus melewati kota B sebagaimana gambar pada soal di atas.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL 15}$.

Jika seseorang tadi berangkat dari kota A ke kota C dengan harus melewati kota C kemudian pulangnya dari C ke A dengan melewati kota B juga, berapa banyak jalur yang dapat dipilih jika antara berangkat dan pulang menggunakan jalur yang berbeda?

$\LARGE\colorbox{white}{SOLUSI SOAL 15}$.

Dengan kondisi seperti pada soal karena saat berangkat semua jalur dapat dipilih semua dari daftar pilihan yang mungkin atau yang ada dan jika ketika pulang disyaratkan harus dengan memilih jalur yang berbeda dari saat berangkat, maka ketika pulang dari kota C akan mau ke B, maka jalur akan berkurang satu (ingat saat berangkat salah satu jalur ini sudah dipilih). Demikian pula saat sampai di B kemudian ingin menuju ke A, maka ia hanya punya 3 pilihan (karena saat berangkat ia punya 4 pilihan dan saat itu ia sudah mengambil satu jalur dari 4 jaur yang ada). Sehingga total jalur yang dapat dipilih ada sebanyak : 4 x 3 x (3-1) x (4-1) = 72 jalur yang berbeda.

Contoh Soal Numerasi Lanjutan 3 Persiapan Asesmen Nasional (AN)

 $\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL 13}$.

Diberikan dua kertas karton A dan B yang sama ukurannya diatur dengan posisi berbeda berikut

Jika lebarnya (bagian seperti tinggi) baik kertas A maupun kertas B bagian tepinya direkatkan jadilah ia sebuah tabung yang tentunya tinggi tabung dari kertas A dan B akan menyesuaikan lebar kertasnya. Tentukanlah volume terbesar dari kedua tabung tersebut dan berilah alasannya

$\LARGE\colorbox{white}{SOLUSI SOAL 13}$.

Perhatikanlah ilustrasi dari dua kertas yang sama ukurannya di atas yang dikondisikan posisinya berbeda

Lingkaran  di bawah masing-masing hanya menunjukkan bahwa setelah masing-masing kertas bagian lebar tepinya saling direkatkan akan berupa lingkaran karena hasilnya adalah berupa tabung (tentunya kedua tabungnya tanpa alas dan atap)

$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \textrm{Bagian}&\textbf{Lingkaran A}&\textbf{Lingkaran B}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{keliling}\\ &\textrm{alas} \end{aligned}&\qquad35&\qquad14\\\hline \textrm{Jari-Jari}&\begin{aligned}2\pi r_{_{A}}&=35\\ r_{_{A}}&=\displaystyle \frac{35}{2\pi } \end{aligned}&\begin{aligned} 2\pi r_{_{B}}&=14\\ r_{_{B}}&=\displaystyle \frac{14}{2\pi }\end{aligned}\\\hline \textrm{Luas}&\begin{aligned}\textbf{L}&=\pi r_{A}^{2}\\ &=\pi \left ( \displaystyle \frac{35}{2\pi } \right )^{2}\\ &=\displaystyle \frac{\color{blue}1225}{4\pi } \end{aligned}&\begin{aligned}\textbf{L}&=\pi r_{B}^{2}\\ &=\pi \left ( \displaystyle \frac{14}{2\pi } \right )^{2}\\ &=\displaystyle \frac{\color{red}196}{4\pi } \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

Jelas bahwa pengaruh utama terletak pada panjang jari-jarinya. Karena dalam penghitungan volume jari-jarinya harus dikuadratkan, maka hasil yang didapatkan akan sangat berpengaruh. Dan karena jari-jari didasarkan berasal dari keliling lingkaran (panjang kertas), maka kertas dengan keliling alas terbesar akan memiliki volume yang terbesar pula.

Contoh Soal Numerasi Lanjutan 2 Persiapan Asesmen Nasional (AN)

Materi Pendukung

A. Faktor Pembilang

Misalkan kita ingin mendaftar bilangan keliapatan genap positif  $m$ yang kurang dari atau sama dengan $n$. 

Jika $n$ kelipatan dari $m$, maka akan dapat dituliskan $n=k.m$. Karena $n=k.m$ selanjutnya  $k=\displaystyle \frac{n}{m}$ dan oleh karenanya dapat dituliskan pula $m,\: 2m,\: \cdots ,km=n$.

Akan tetapi, jika $n$ bukan merupakan kelipatan dari $m$, maka akan terdapat suatu bilangan bulat $k$ dengan  $km<n<(k+1)m$, dengan  $k$ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari  $\displaystyle \frac{n}{m}$.

B. Fungsi Bilangan Dasar/Fungsi Tangga

Untuk suatu bilangan asli  $x$, fungsi dasar  $x$ dinotasikan dengan  $\left \lfloor x \right \rfloor$ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan  $x$.

Contoh:

$\left \lfloor 1,7 \right \rfloor=1,\: \: \left \lfloor \sqrt{5} \right \rfloor=2,\: \textrm{dan}\: \: \left \lfloor 4 \right \rfloor=4$.

Selanjutnya, untuk menuliskan banyaknya bilangan bulat positif  $m$ yang kurang dari atau sama dengan bilangan bulat $n$  adalah  $\left \lfloor \displaystyle \frac{n}{m} \right \rfloor$.

Contoh:

Untuk menuliskan banyaknya bilangan kelipatan 3 yang yang terletak di antara bilangan 5 dan 10 dapat ditentukan dengan 

$\begin{aligned}&\left \lfloor \displaystyle \frac{10}{3} \right \rfloor-\left \lfloor \displaystyle \frac{5}{3} \right \rfloor=3-1=2\\ &\\ &\textrm{bukan dituliskan dengan}\\ &\color{red}\left \lfloor \displaystyle \frac{10-5}{3} \right \rfloor=\left \lfloor \displaystyle \frac{5}{3} \right \rfloor=1 \end{aligned}$.

Prinsip Inklusi Eksklusi

Hal yang berkaitan dengan jumlah hitungan dan tidaknya.

Jika diberikan $N$ objek, sebagai misal

• $N(\alpha )$  banyaknya objek dengan sifat  $\alpha$
• $N(\beta )$  banyaknya objek dengan sifat  $\beta$
• $N(\gamma )$  banyaknya objek dengan sifat  $\gamma$
• dan seterusnya

dan misal

• $N(\alpha,\: \beta )$  banyaknya objek dengan sifat  $\alpha$  dan  $\beta$
• $N(\alpha,\: \gamma )$  banyaknya objek dengan sifat  $\alpha$  dan  $\gamma$
• $N(\beta,\: \gamma )$  banyaknya objek dengan sifat  $\beta$  dan  $\gamma$
• dan seterusnya

serta misalkan juga 

• $N(\alpha,\: \beta,\: \gamma )$  banyaknya objek dengan sifat  $\alpha$,  $\beta$ serta $\gamma$

Maka gabungan objek $N$ dengan sifat $\alpha$,  $\beta$ serta $\gamma$  adalah:

$\begin{aligned}&\left | \color{red}N(\alpha )\color{black}\cup \color{red}N(\beta )\color{black}\cup \color{red}N(\gamma )\color{black}\cup \cdots \right |\\ &=\left | \color{red}N(\alpha )\color{black}+\color{red}N(\beta )\color{black}+\color{red}N(\gamma )\color{black}+\cdots \right |\\ &\quad -\left | \color{blue}N(\alpha,\beta )\color{black}+\color{blue}N(\alpha,\gamma )\color{black}+\color{blue}N(\beta ,\gamma )\color{black}+\cdots \right |\\ &\quad +\left | \color{purple}N(\alpha ,\beta ,\gamma )\color{black}+\cdots \right |\\ &\quad -\: \: \cdots \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL 11}$.

Perhatikanlah tabel berikut

Ada berapa banyak bilangan 1 - 500 yang habis dibagi 2 atau 3?

$\LARGE\colorbox{white}{SOLUSI SOAL 11}$.

$\begin{aligned}S&=\textrm{himpunan bilangan antara}\: \: 1-500\\ \textrm{m}&\textrm{isalkan}\\ A&=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 2}\\ B&=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 3}\\ A&\cup B=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 2 atau 3}\\ A&\cap B=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 3}\\ \textrm{m}&\textrm{aka}\\ &\left | A\cup B \right |\\ &=\left | A \right |+\left | B \right |-\left | A\cap B \right |\\ &=\left \lfloor \displaystyle \frac{500}{2} \right \rfloor +\left \lfloor \displaystyle \frac{500}{3} \right \rfloor - \left \lfloor \displaystyle \frac{500}{6} \right \rfloor \\ &=250+166-83\\ &=\color{red}333 \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL 12}$.

Perhatikan pula tabel berikut

Ada berapa banyak pula bilangan 1 - 500 yang habis dibagi 2 atau 3 atau 5?

$\LARGE\colorbox{white}{SOLUSI SOAL 12}$.

$\begin{aligned}S&=\textrm{himpunan bilangan antara}\: \: 1-500\\ \textrm{m}&\textrm{isalkan}\\ A&=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 2}\\ B&=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 3}\\ C&=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 5}\\ A&\cup B\cup C=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 2, 3, atau 5}\\ A&\cap B=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 3}\\ A&\cap C=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 5}\\ B&\cap C=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 3 dan 5}\\ A&\cap B\cap C=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 3 serta 5}\\ \textrm{m}&\textrm{aka}\\ &\left | A\cup B\cup C \right |\\ &=\left | A \right |+\left | B \right |+\left | C \right |-\left | A\cap B \right |-\left | A\cap C \right |\\ &\quad -\left | B\cap C \right |+\left | A\cap B\cap C \right |\\ &=\left \lfloor \displaystyle \frac{500}{2} \right \rfloor +\left \lfloor \displaystyle \frac{500}{3} \right \rfloor + \left \lfloor \displaystyle \frac{500}{5} \right \rfloor - \left \lfloor \displaystyle \frac{500}{6} \right \rfloor- \left \lfloor \displaystyle \frac{500}{10} \right \rfloor- \left \lfloor \displaystyle \frac{500}{15} \right \rfloor+ \left \lfloor \displaystyle \frac{500}{30} \right \rfloor\\ &=250+166+100-83-50-33+16\\ &=\color{red}366 \end{aligned}$.

Contoh Soal Numerasi Lanjutan Persiapan Asesmen Nasional (AN)

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL 6}$.

Perhatikan ilustrasi gambar berikut

Sebuah titik (x,y) diambil secara acak dari dalam persegi panjang yang terbentuk dari titik (0,0), (4,0), (4,1) dan (1,0). Probabilitas x<y adalah ... .

$\begin{array}{llllll}\\ \textrm{A}.&\displaystyle \frac{1}{8}&&&\textrm{D}.&\displaystyle \frac{1}{2}\\\\ \textrm{B}.&\displaystyle \frac{1}{4}&\textrm{C}.&\displaystyle \frac{3}{8}&\textrm{E}.&\displaystyle \frac{3}{4} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{white}{SOLUSI SOAL 6}$.

Jika gambar diperjelas dengan kertas berpetak akan tampak dengan jelas luasnya, yaitu

Tampak Jelas bahwa luas daerah yang dibatasi oleh  $f(x)=y=x$ dengan $x<y$ adalah $\displaystyle \frac{1}{2}$.

Perhatikan ilustrasi berikut

Dan jelas juga bahwa total luas persegi pajang di atas adalah 4 satuan luas serta luas daerah. Sehingga probabilitas bahwa titik (x,y) yang dipilih secara acak pada persegi panjang di atas dengan x<y adalah:

$\begin{aligned}\textrm{Probabilitas}&=\displaystyle \frac{\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )}{4}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{1}{8} \end{aligned}$.

Jadi, opsi jawaban di atas adalah A.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL 7}$.

Perhatikan ilustrasi gambar berikut

Sebuah titik P akan dipilih secara acak dari bagian dalam sebuah segilima dengan koordinat titik sudut  $A(0,2)$, $B(4,0)$, $C(2\pi +1,1)$, $C(2\pi +1,4)$, dan  $E(0,4)$. Probabilitas bahwa  $\angle APB$  sebuah sudut tumpul adalah ... .

$\begin{array}{llllll}\\ \textrm{A}.&\displaystyle \frac{1}{5}&&&\textrm{D}.&\displaystyle \frac{3}{8}\\\\ \textrm{B}.&\displaystyle \frac{1}{4}&\textrm{C}.&\displaystyle \frac{5}{16}&\textrm{E}.&\displaystyle \frac{1}{2} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{white}{SOLUSI SOAL 7}$.

Sebelumnya perlu dingat bahwa sudut tumpul adalah sudut yang lebih besar dari  $90^{\circ}$. Selanjutnya perhatikan gambar berikut

Gambar di atas menunjukkan sebuah titik P dengan  $\angle APB=90^{\circ}$. Dalam hal ini titik P terletak pada keliling dari setengah lingkaran dengan pusat lingkaran (2,1) terletak pada ruas garis AB dengan jari-jari

$\begin{aligned}r&=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5} \end{aligned}$. Dantitik yang berada di luar setengah lingkaran tetapi masih dalam segilima ABCDE tersebut akan memiliki  $\angle APB<90^{\circ}$ dan titik-tik yang berada di dalam setengah lingkrang ini akan memiliki sudut  $\angle APB>90^{\circ}$. Sehingga untuk menentukan probabilitas $\angle APB$ tumpul adalah sama saja kita menentukan probabilitas untuk $\angle APB>90^{\circ}$, yaitu:

$\begin{aligned}\textrm{Probabilitasnya}&=\displaystyle \frac{\textbf{Luas setengah lingkaran}}{\textbf{Luas segilima}\: ABCDE}\\ &=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}\pi \times \left (\sqrt{5} \right )^{2}}{(2\pi +1)\times 4-\left (\displaystyle \frac{1}{2}\times 2\times 4 \right )}\\ &=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 5\pi \right )}{8\pi }\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{5}{16} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL 8}$.

Gambar 0, 1, 2, dan 3 berturut-turut terdiri atas 1, 5, 13, dan 25 persegi satuan sebagaimana ilustrasi gambar berikut

Jika pola di atas berlanjut, maka persegi satuan pada gambar ke-100 adalah ... .

$\begin{array}{llllll}\\ \textrm{A}.&10.401&&&\textrm{D}.& 39.801\\\\ \textrm{B}.& 19.801&\textrm{C}.& 20.201&\textrm{E}.& 40.801 \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{white}{SOLUSI SOAL 8}$.

Untuk memudahkan penghitungan persegi kecil, ada baiknya kita susun menjadi susunan persegi agak besar dengan melengkapkan persegi-persegi kecil dikeempat pojoknya sebagaimana ilustrasi berikut

Setelah ditambah kotak warna pink, maka perhitungan jumlah kotak warna hijau pada gambar ke-n akan semakin mudah, yaitu:

mulai dari gambar pertama atau suku ke-0, maka 

$\begin{aligned}U_{n}&=(2n+1)^{2}-4.\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}\\ &=4n^{2}+4n+1-2n^{2}-2n\\ &=2n^{2}+2n+1\\ \textrm{ma}&\textrm{ka suku ke-100 (gambar ke-100)}\\ U_{100}&=2.100^{2}+2.100+1\\ &=\color{red}20.201 \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL 9}$.

Pada persegi panjang ABCD diketahui AD = 1, Titik P berada di ruas garis AB. Ruas garis DB dan DP membagi tiga sudut $\angle ADC$, maka keliling $\bigtriangleup BDP$ adalah ... .

$\begin{array}{llllll}\\ \textrm{A}.&3+\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}&&&\textrm{D}.& \displaystyle \frac{3+3\sqrt{5}}{2}\\\\ \textrm{B}.& 2+\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}&\textrm{C}.& 2+2\sqrt{2}&\textrm{E}.& 2+\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{3} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{white}{SOLUSI SOAL 9}$.

Karena $\overline{DB}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{DP}$ membagi sudut ADC menjadi tiga bagian yang sama besar, maka 

$\angle CBD=\angle BDP=\angle PDA=30^{\circ}$,

maka

$\begin{aligned}AP&=AD\tan \angle PAD=1.\tan 30^{\circ}=\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}\\ DP&=\displaystyle \frac{AD}{\cos 30^{\circ}}=\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}=\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}\\ AB&=AD\angle BDA=1.\tan 60^{\circ}=1.\sqrt{3}=\sqrt{3}\\ DB&=\sqrt{DA^{2}+AB^{2}}=\sqrt{1+\left ( \sqrt{3} \right )^{2}}\\ &=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\\ \end{aligned}$.

Sehingga keliling  

$\begin{aligned}\bigtriangleup BDP&=BD+DP+PB\\ &=2+\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{3}+\left ( \sqrt{3}-\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3} \right )\\ &=\color{red}2+\displaystyle \frac{4}{3}\sqrt{3} \end{aligned}$.

Jadi, jawaban yang tepat adalah opsi B.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL 10}$.

Manakah di antara kerucut berikut ini yang terbentuk dari sektor lingkaran bersudut $252^{\circ}$ dan jari-jari 10 dengan cara menyambungkan kedua sisinya yang lurus?

A.  

B. 

. 

C. 

 

D. 

E. 

$\LARGE\colorbox{white}{SOLUSI SOAL 10}$.

Keliling lingkaran yang bagiannya terpotong adalah  $2\pi \times 10=20\pi$ dan bagian dari luas lingkaran yang akan menjadi selimut kerucut adalah:

$\displaystyle \frac{252^{\circ}}{360^{\circ}}\times 20\pi =14\pi$. Perhatikan gambar berikut

Sehingga keliling lingkaran sebagai alas kerucut adalah $14\pi$. 

Dari fakta ini, maka lingkaran sebagai alas kerucut akan memiliki jari-jari:

$\begin{aligned}L_{\bigodot \: \color{purple}\textrm{alas}}&=2\pi r\\ r&=\displaystyle \frac{L_{\bigodot \: \color{purple}\textrm{alas}}}{2\pi }\\ &=\displaystyle \frac{14\pi }{2\pi }\\ &=\color{red}7 \end{aligned}$

Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah gambar opsi C.

DAFTAR PUSTAKA

1. Faires, J. Douglas. 2006. Langkah Pertama Menuju Olimpiade Matematika Menggunakan Kompetisi Matematika Amerika, ed. ke-3. Terjemahan: Tim Penerjemah. Pakar Raya, Bandung. 307 hal.