PAS MATEMATIKA BLOG

Definit Positif dan Definit Negatif pada Fungsi Kuadrat

Materi Tambahan Persamaan Logaritma 4 d sini dan Pembahasan Soal 4 di sini

dan untuk memahami materi ini Anda harus sudah memahami materi persamaan kuadrat

A. Definit Positif

Perhatikan ilustrasi gambar grafik parabola (fungsi kuadrat) berikut

Pada gambar kurva parabola berkaitan dengan posisinya terhadap sumbu X di atas diberikan 3 model, yaitu:

model pertama $f(x)=x^{2}-1$ di mana kurva memotong sumbu X di dua titik berbeda yaitu di titik (0,-1) dan (0,1). Sedangkan model kurva kedua dengan $f(x)=(x-2)^{2}$ dengan kurva bukan memeotong, tetapi hanya menyinggung sumbu X saja di titik singgungnya (0,2). Sedangkan model gambar yang ketiga adalah kurva $f(x)=x^{2}-4x+5$, di mana kurva sama sekali tidak memotong maupun tidak menyinggung sumbu X., hal inilah yang dinamakan definit positif.

Selanjutnya dapat dijelaskan bahwa suatu kurva parabola dengan $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dengan $a>0$ das $b^{2}-4ac<0$, maka dapat dipastikan seluruh grafiknya akan berada di atas sumbu X.

B. Hungunagn dengan Diskriminan pada Grafik Fungsi Kuadrat

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0,\: \: a\neq 0$. adalah:

$x_{1,2}=\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$.

dengan $D=b^{2}-4ac$ adalah diskriminan dari persamaan kuadrat. Selanjutnya nilai D akan sangat menentukan akar-akar penyelesaian dari persamaan tersebut di atas.

Selain telah disebutkan sebelumnya terkait diskriminan, diskriminan juga akan sangat mempengaruhi kondisi kurva parabola (fungsi kuadrat) berkaitan dengan memotong, menyinggung, ataupun tidak memotong maupun tidak menyinggung terhadap sumbu X, yaitu:

Jika $D>0$, maka kurva akan memotong sumbu X di dua titik yang berbeda
Jika $D=0$, maka kurva akan menyinggung sumbu X di satu titik saja
Jika $D<0$, maka parabola tidak akan pernah memotong maupun menyinggung sumbu X.

C. Definit Negatif

Berlawanan dengan penjelasan pada bagian A, definit negatif adalah kurva parabola seluruhnya berada di bawah sumbu X, dengan $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dengan $a<0$ das $b^{2}-4ac<0$, maka dapat dipastikan seluruh grafiknya akan berada di bawah sumbu X.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\LARGE\colorbox{aqua}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll} 1.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: k\: \: \textrm{agar grafik dari fungsiu kuadrat}\\ &y=kx^{2}-2kx+k+1\: \: \textrm{menyinggung sumbu X}\\ 2.&\textrm{Tentukan nilai}\: \: p\: \: \textrm{agar garfik fungsi kuadrat dengan}\\ &\textrm{persamaan kurva}\: \: y=x^{2}+2x+p\: \: \textrm{selalu memotong}\\ &\textrm{sumbu X di dua titik}\\ 3.&\textrm{Tentukan harga} \: \: k\: \: \textrm{agar fungsi}\: \: f(x)=x^{2}-kx+1\\ &\textrm{definit positif} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Kurnianingsih, S., Kuntarti, Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas X Semester 1 KTSP Standar Isi 2006. Jakarta: ESIS.

SUMBER INTERNET

Ahmad Thohir, Contoh Soal Persiapan Semester Gasal. https://ahmadthohir1089.wordpress.com/2017/11/27/insyaallah-76/ pada tanggal 8 November 2021 pukul 5.28 WIB.

Bilangan e pada Logaritma (Bagian 2)

D. Lanjutan penentuan nilai e

Perhatikanlah bentuk

$\begin{aligned}\begin{cases} 1. & =\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{n} \right )^{n} \\\\ 2. & =\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{n} \right )^{-n} \end{cases} \end{aligned}$.

Menurut Binomial Newton,

$\color{blue}\begin{aligned}(a+b)^{n}\color{black}=\, &\color{red}C_{0}^{n}a^{n}b^{0}+C_{1}^{n}a^{n-1}b^{1}+C_{2}^{n}a^{n-2}b^{2}\\ &+C_{3}^{n}a^{n-3}b^{3}+\cdots +C_{n-3}^{n}a^{3}b^{n-3}\\ &+C_{n-2}^{n}a^{2}b^{n-2}+C_{n-1}^{n}a^{1}b^{n-1}+C_{n}^{n}a^{0}b^{n}\\ &\color{black}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}C_{r}^{\color{red}n}a^{\color{red}n\color{black}-r}b^{r} \end{aligned}$.

Bentuk perluasannya, ketika a=1 dan b=x

$\color{blue}\begin{aligned}\color{black}\quad(1+x)&^{n}\\ \color{black}=\, &\color{red}C_{0}^{n}1^{n}x^{0}+C_{1}^{n}1^{n-1}x^{1}+C_{2}^{n}1^{n-2}x^{2}\\ &+C_{3}^{n}1^{n-3}x^{3}+\cdots +C_{n-3}^{n}1^{3}x^{n-3}\\ &+C_{n-2}^{n}1^{2}x^{n-2}+C_{n-1}^{n}1^{1}x^{n-1}+C_{n}^{n}1^{0}x^{n}\\ =\, &\color{red}C_{0}^{n}+C_{1}^{n}x+C_{2}^{n}x^{2} +C_{3}^{n}x^{3}+\cdots \\ &+C_{n-3}^{n}x^{n-3} +C_{n-2}^{n}x^{n-2}+C_{n-1}^{n}x^{n-1}\\ &+C_{n}^{n}x^{n}\\ \end{aligned}$

Sehingga

$\begin{aligned}(1+x)^{n}&=1+nx+\displaystyle \frac{n(n-1)}{2!}x^{2}+\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{3}\\ &+... +\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}{(r-1)!}x^{r-1}+... \end{aligned}$.

Saat $x=\displaystyle \frac{1}{n}$,

$\begin{aligned}\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{n} \right )^{n}&=1+\displaystyle \frac{n}{1}.\left (\frac{1}{n} \right )^{1}+\displaystyle \frac{n(n-1)}{1.2}\left ( \displaystyle \frac{1}{n} \right )^{2}\\ &+\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3}\left ( \displaystyle \frac{1}{n} \right )^{2}\\ &+...+\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)...1}{1.2.3...n}\left ( \displaystyle \frac{1}{n} \right )^{n} \end{aligned}$.

Jika $U_{n}=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{n} \right )^{n}$, maka didapatkan

$\begin{aligned}U_{n}&=1+1+\displaystyle \frac{1}{2!}\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{n} \right )+\displaystyle \frac{1}{3!}\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{n} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{2}{n} \right )\\ &+\displaystyle \frac{1}{4!}\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{n} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{2}{n} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{3}{n} \right )\\ &+...+\displaystyle \frac{1}{n!}\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{n} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{2}{n} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{3}{n} \right )...\left ( 1-\displaystyle \frac{n-1}{n} \right ) \end{aligned}$.

Karena bentuk di atas $\color{red}\left ( 1-\displaystyle \frac{p}{n} \right )<1$, dengan $p,n\in \mathbb{N}$, maka akan diperoleh

$U_{1}<U_{n}<1+1+\displaystyle \frac{1}{2!}+\displaystyle \frac{1}{3!}+\displaystyle \frac{1}{4!}+...+\displaystyle \frac{1}{n!}$

Serta diketahui bentuk

$\begin{aligned}&\displaystyle \frac{1}{2.3}<\frac{1}{2.2}\\ &\displaystyle \frac{1}{2.3.4}<\frac{1}{2.2.2}\\ &\displaystyle \frac{1}{2.3.4.5}<\frac{1}{2.2.2.2}\\ &...\\ &\displaystyle \frac{1}{2.3.3.4...n}<\frac{1}{2^{n-1}}\\ \end{aligned}$.

Dan diketahui pula dari uraian di atas $U_{1}=2$, maka

$\begin{aligned}&U_{1}<U_{n}<1+1+\displaystyle \frac{1}{2!}+\displaystyle \frac{1}{3!}+\displaystyle \frac{1}{4!}+...+\displaystyle \frac{1}{n!}\\ &\Leftrightarrow \: 2<U_{n}<1+1+\underset{\color{blue}\textrm{deret konvergen}}{\underbrace{\left ( \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{n}} \right )}}\\ &\Leftrightarrow \: 2<U_{n}<1+1+\left ( \displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \right )\\ &\Leftrightarrow \: 2<U_{n}<1+1+1\\ &\Leftrightarrow \: 2<U_{n}<3\\ &\Leftrightarrow \: 2<\underset{n\rightarrow \infty }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle U_{n}<3 \end{aligned}$.

Selanjutnya bentuk $\underset{h\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle U_{n}=e$, dengan e adalah bilangan irasional dengan bentuk desimal e = 2,71828....

DAFTAR PUSTAKA

Koesmantoro, Rawuh (Ed.). 2001. Matematika Pendahuluan (Seri Matematika). Cet. VII. Bandung: ITB.

Bilangan e pada Logaritma (Bagian 1)

Materi pendukung pada aplikasi logaritma yang melibatkan penggunaan konstanta e di sini

A. Pendahuluan

Bilangan e (epsilon) yang dimaksud adalah bilangan basis pada logaritma alami yang besarnya dalam bentuk semimal e = 2,71828...

Dalam logaritma basis 10, log e = 0,4343. Sedangkankan dalam logaritma dengan basis e dinamakan logaritma natural (kadang dinamai dengan nama penemunya, yaitu Napier, matematikawan dari Skotlandia) dengan dilambangkan $^{e}\log x=\ln x$.

$\color{blue}^{e}\log x=\, ^{2,7183}\log x=\ln x$.

Bilangan e (epsilon) didapatkan dari bentuk $\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{n} \right )^{n}$ dengan $n$. bilangan asli.

Sebagai ilustrasi prosesnya mendapatkannya adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{|l|l|}\hline n=1&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{1} \right )^{1}\\ &=2 \end{aligned}\\\hline n=2&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}\\ &=2,25 \end{aligned}\\\hline n=3&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{3} \right )^{3}\\ &=2,37... \end{aligned}\\\hline n=30&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{30} \right )^{30}\\ &=2,67... \end{aligned}\\\hline n=105&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{105} \right )^{105}\\ &=2,705... \end{aligned}\\\hline n=1000&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{1000} \right )^{1000}\\ &=2,7169... \end{aligned}\\\hline n=100000&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{100000} \right )^{100000}\\ &=2,7182... \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

B. Sifat-Sifat

$\begin{aligned}1.\quad&\ln a.b=\ln a+\ln b\\ 2.\quad&\ln \left ( \displaystyle \frac{a}{b} \right )=\ln a-\ln b\\ 3.\quad&\ln a^{\textrm{p}}=\textrm{p}\times \ln a\\ 4.\quad&\ln a=\displaystyle \frac{\log a}{\log e}\\ 5.\quad&\ln e=1,\: \: \textrm{karena}\: \: ^{e}\log e=1\\ 6.\quad&\ln \sqrt[\textrm{p}]{n}=\displaystyle \frac{1}{\textrm{p}}\times \ln a\\ \end{aligned}$.

C. Hubungan Antara Logaritma Biasa dengan Logaritma Alami

Perhatikan tabel berikut:

$\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}^{e}\log x&=\ln x,\\ \displaystyle \frac{\log x}{\log e}&=\ln x\\ \log x&=\log e.\ln x\\ &=0,4343.\ln x\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}\ln x&=\, ^{e}\log x\\ &=\displaystyle \frac{\log x}{\log e}\\ &=\displaystyle \frac{\log x}{\log 2,71828}\\ &=\displaystyle \frac{\log x}{0,4343}\\ &=2,303\log x \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

Sehingga dapat disimpulkan

$\begin{aligned}\bullet\quad &\log x=0,4343\ln x\\ \bullet \quad&\ln x=2,303\log x \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika}\: \: \log 2=0,301,\: \: \textrm{tentukan nilai}\\ &\textrm{dari}\: \: \ln 2\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\ln 2&=2,303\log 2\\ &=2,303(0,301)\\ &=0,6932 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: \log 3=0,4771\: \: \textrm{dan}\: \: \log 5=0,6990\\ & \textrm{tentukan nilai dari}\: \: \ln 45\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\ln 45&=2,303\log 45\\ &=2,303\log 9.5\\ &=2,303\left ( \log 9+\log 5 \right )\\ &=2,303\left ( \log 3^{2}+\log 5 \right )\\ &=2,303\left ( 2\log 3+\log 5 \right )\\ &=2,303\left ( 2.0,4771+0,6990 \right )\\ &=2,303\left ( 1,6532 \right )\\ &=3,8073 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan nilai dari}\: \: \ln 345,67^{1.25}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\ln 345,67^{1.25}&=1,25\times \ln 345,67\\ &=1,25\times 2,303\log 345,67\\ &=1,25\times 2,303\times 2,5387\\ &=7,3084 \end{aligned} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{aqua}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika}\: \: \log 3=0,4771\: \: \textrm{dan}\: \: \log 5=0,699\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: \ln 75 \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: \log 2=0,3010\: \: \textrm{dan}\: \: \log 3=0,4771\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: \ln 4-\ln 9\end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Jika}\: \: \log 2=0,3010\: \: \textrm{dan}\: \: \log 7=0,8451\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: \ln (8\times 49)\end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Jika}\: \: \log 2=0,3010\: \: \textrm{dan}\: \: \log 7=0,8451\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: \ln 140-\ln 5\end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Tentukan nilai dari}\: \: \ln 89,75\end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Tentukan nilai dari}\: \: \ln 3,456^{0,75}+\ln 5,678^{0,75}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Tim MGMP Matematika SMK PROV JATENG. 2007. Modul Matematika SMK Kelompok Teknik, Pertanian dan Kesehatan Semester 1 Kelas X.

Rehat Sejenak

Bilangan Kaprekar

Pada tahun 1949 Kaprekar menemukan sebuah bilangan 4 digit dengan sifat menarik yang selanjutnya dinamakan konstanta Kaprekar. Beliau adalah Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905 - 1986) dari daerah Devlali, India.

Bagaimna caranya kita bisa menikmati dan menemukan sendiri bilangan ini, berikut ilustrasi sintak dan contohnya

Pilihlah sebarang bilangan 4 digit yang yang keempat digitnya tidak sama semuanya usahakan berbeda
Dari bilangan 4 digit yang Anda pilih tadi, buatlah menjadi bilangan yang terbesar dan sekaligus terkecil dengan cara menyusun ulang digit-digitnya sesuai perintah tadi.
Kurangkanlah digit terbesar tadi dengandigit yang terkecil
Lakukanlah langkah ketiga di atas, yaitu hasil dari pengurangan pada langkah ketiga menjadi bilangan yang terbesar-dan terkecil kemudian dikurangkan demikian seterusnya sampai Anda memenukan sebuah bilangan yang apabila dikondisikan seperti pada langkah ketiga di atas tetap menghasilnya bilangan yang konstan.

Misalkan bilangan 4 digit itu, pilih saja angkanya sama dengan tahun ini, yaitu: 2021.

Berikut cara proses/sintak mendapatkan konstanta Kaprekar yang dimaksud.

$\begin{aligned}&2021\\ &\color{blue}\textrm{Jadi bilangan terbesar, dan terkecil}\\ &\color{blue}\textrm{sekaligus kemudian dikurangkan}\\ &2210-0122=2088\\ &\color{red}\textrm{kita susun lagi}\\ &8820-0288=8532\\ &8532-2358=6174\\ &7641-1467=6174\\ &7641-1467=6174\\ &7641-1467=6174\\ & \textrm{bentuk terakhir ini}\\ &\textrm{selalu berupa bilangan}\: \: \color{red}6174 \end{aligned}$.

Misalkan dengan bilangan yang lain, misal pilih bilangan 2022, sebuah bilangan yang sama tahun depan.

$\begin{aligned}&2022\\ &\color{blue}\textrm{Jadi bilangan terbesar, dan terkecil}\\ &\color{blue}\textrm{sekaligus kemudian dikurangkan}\\ &2220-0222=1998\\ &9981-1899=8082\\ &8820-0288=8532\\ &8532-2358=6174\\ &7641-1467=6174\\ &7641-1467=6174\\ & \textrm{bentuk terakhir ini}\\ &\textrm{sama dengan proses sebelumnya}\\ &\textrm{kita bahas, selalu konstan}\: \: \color{red}6174 \end{aligned}$

Dan bilangan 6174 ini yang disebut konstanta Kaprekar tadi.

Seandainya Anda menyukainya, atau Anda penasaran, Anda bisa mencobanya dengan bilangan yang lain dan Anda kerjakan diwaktu senggang Anda.

Selamat mencoba.

Aplikasi Fungsi Logaritma

Dalam banyak hal konsep logaritma sering digunakan untuk memudahkan perhitungan, baik kejadian di sekitar kita sehari hari atau lainnya yang dilakukan seseorang yang menekuni bidang tertentu. Sebagai misal dalam bidang ekonomi saat perhitungan bunga majmuk, selain itu juga dalam bidang baik fisika, kimia, biologi, geografi dan lain-lain.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

Dalam bidang ekonomi

Jika modal M dibungakan untuk setiap periode bungan dengan bunga majmuk i = p % , maka besar modal M setelah n periode adalah $M_{n}$ dengan mengikuti rumus:

$M_{n}=M(1+i)^{n}$.

Dalam Bidang Fisika

Misalnya dalam menentukan tingkat kebisingan (Taraf Intensitas) bunyi yang merupakan laju perpindahan energi bunyi persatuan luas yang tegak lurus terhadap arah merambatnya diformulasikan dengan

$TI=10\log \left ( \displaystyle \frac{I}{I_{o}} \right )$.

Satuan dalam penghitungan dia atas adalah seibel (dB).

Jika diketahui nilai ambang intensitas bunyi $\left ( I_{o} \right )$ dalam hal ini adalah intensitas bunyi terendah yang masih bisa diterima oleh manusia, yaitu sekitar $10^{-12}\: \: watt/m^{2}$ pada frekuensi 1000 Hz pada suatu ketika diketahui pula taraf intensitas bunyi sebuah mesin adalah 60 dB, maka berapakah intensitas bunyi mesin tersebut, berikut uraiannya

$\begin{aligned}TI&=10 \log \left ( \displaystyle \frac{I}{I_{o}} \right )\\ 60&=10\log \left ( \displaystyle \frac{I}{10^{-12}} \right )\\ 6&=\log I-\log 10^{-12}\\ 6&=\log I-(-12)\\ 6&=\log I+12\\ \log I&=6-12\\ ^{10}\log I&=-6\\ I&=10^{-6} \end{aligned}$.

Jadi, intensitas bunyi mesin tersebut adalah $10^{-6}\: \: watt/m^{2}$.

Dalam Bidang Kimia

Dalam menentukan tingkat keasamam suatu larutan adalah melihat nilai pH-nya. Nilai pH (power of Hydrogen) ini tergantung dengan tingkat konsentrasi dari ion hidrogen dalam larutan. Misal diketahui konsentrasi ion hidrogen $\left [ \textrm{H}^{+} \right ]$ dalam satuan M (molaritas) adalah $6,6\times 10^{-7}$. Jika formulasi pH adalah $\textrm{pH}=-\log \left [ \textrm{H}^{+} \right ]$, maka pH dari larutan tersebut adalah:

$\begin{aligned}\textrm{pH}&=-\log \left [ \textrm{H}^{+} \right ]\\ &=-\log \left ( 6,6\times 10^{-7} \right )\\ &=-\left ( \log 6,6-7 \right )\\ &=-\left ( 0,8195-7 \right )\\ &=6,1805\\ &\approx 6,2 \end{aligned}$.

Jadi, pH larutan tersebut adalah 6,2.

Masih dalam bidang kimia, dalam hal ini adalah proses peluruhan zat. Misalkan formulasi untuk menentukan jumlah zat pada saat $t$ adalah sebagai berikut:

$N_{t}=N_{0}e^{-rt}$.

dengan:

$\begin{aligned} N_{t}&=\textrm{jumlah setelah}\: \: t\\ N_{0}&=\textrm{jumlah zat semula}\\ e&=\color{blue}2,71828...\\ &\quad\textrm{bilangan pokok logaritma natural}\\ r&=\textrm{laju peluruhan}\\ t&=\textrm{waktu yang dibutuhkan} \end{aligned}$.

untuk materi tentang bilangan logaritma natural silahkan klik di sini.

$\begin{array}{ll} &\textrm{Terdapat sejumlah zat}\: \: N_{0}.\: \textrm{Dalam 3 tahun}\\ &\textrm{Jumlah zat kimia tersebut menjadi}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}N_{0}\\ &\textrm{Tentukan waktu yang dibutuhkan agar}\\ &\textrm{jumlah zat menjadi}\: \: \displaystyle \frac{1}{4}N_{0}\: \: \textrm{nya}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \: N_{t}=N_{0}e^{-rt}\\ &\textrm{Karena}\: \: N_{t}=\displaystyle \frac{1}{2}N_{0},\: \: \textrm{maka}\\ &\displaystyle \frac{1}{2}N_{0}=N_{0}e^{-rt}\\ &\quad \displaystyle \frac{1}{2} \: =e^{-r(3)}\\ &\ln \displaystyle \frac{1}{2}=\ln e^{-3r}\\ &\ln \displaystyle \frac{1}{2}=-3r\ln e=-3r\\ &\quad r\: \, =-\displaystyle \frac{\ln \displaystyle \frac{1}{2}}{3}\\ &\quad r\: \, =0,23104906\\ &\textrm{Agar menjadi}\: \: \displaystyle \frac{1}{4}N_{0},\: \: \textrm{maka}\\ &\displaystyle \frac{1}{4}N_{0}=N_{0}e^{-rt}=N_{0}e^{-0,23104906t}\\ &\quad \displaystyle \frac{1}{4}=e^{-0,2310490t}\\ &\ln \displaystyle \frac{1}{4}=\ln e^{-0,2310490t}\\ &\ln \displaystyle \frac{1}{4}={-0,2310490t}.\ln e={-0,2310490t}\\ &\quad t\: \: =\displaystyle \frac{\ln \displaystyle \frac{1}{4}}{-0,23104906}\\ &\qquad =6,000000005 \end{aligned} \end{array}$.

Jadi, agar jumlah zat menjadi seperempatnyua dibutuhkan waktu lebih dari 6 tahun.

Catata:

Berikut link materi tentang konstanta e klik di sini dan di sini

Dalam Bidang Pembelajaran Matematika

Misalkan dalam pembelajaran matematika di tingkat SMA/MA ketika membahas mengenai perpangkatan suatu bilangan, jika sesorang diminta menentukan pangkat suatu bilangan yang menghasilkan bilangan bukan bilangan kuadrat pangkat.

$\begin{array}{ll} 1.&\textrm{Seorang siswa Kelas X suatu MA diminta}\\ &\textrm{menentukan pangkat dari sebuah persoalan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{2 dipangkatkan berapa akan sama dengan 8}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{2 dipangkatkan berapa akan sama dengan 7}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Kedua pertanyyan di atas jika dimodel dalam}\\ &\textrm{model matematika menjadi}:\: \: 2^{x}=...\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &\textrm{dengan cara tidak terlalu sulit seorang siswa}\\ &\textrm{akan segera menemukan jawabannya yaitu 3}\\ &\textrm{berikut prosesnya}\\ &\color{red}2^{x}=8\Leftrightarrow 2^{x}=2^{3}\Leftrightarrow x=3 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Mungkin siswa yang belum pernah mendapatkan}\\ &\textrm{materi logaritma hanya akan mencoba-coba}\\ &\textrm{beberapa bilangan dengan cara menduga-duga}\\ &\textrm{saja. Tetapi bagi yang sudah paham konsep}\\ &\textrm{logaritma tidak akan menenukan banyak kendala}.\\ &\textrm{berikut menurut konsep logaritma}:\\ &2^{x}=7\\ &\textrm{masing-masing ruas di-logkan didepan angkanya}\\ &\Leftrightarrow \, \log 2^{x}=\log 7\\ &\Leftrightarrow \, x.\, \log 2=\log 7\\ &\Leftrightarrow \, x=\displaystyle \frac{\log 7}{\log 2}=\frac{0,8451}{0,301}\approx 2,81\\ &\textrm{Jadi, siswa akan dengan mudah dan terarah menjawab}\\ &\textrm{dengan jawaban}\: \: 2,81\: \: \textrm{dengan angak 2 desimal} \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Budhi, W. S. 2017. Matematika untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
Sembiring,S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.

Pertidaksamaan Logaritma

Perhatikanlah grafik fungsi logaritma

$\Large{f:x\rightarrow \, ^{a}\log x}$.

Ada 2 macam pilihan untuk nilai basisnya. Sesuai sifat-sifat logaritma, basis atau bilangan pokok akan mempengaruhi nilai suatu logaritma. Karena basis logaritma harus positif dan tidak boleh sama dengan 1, maka basis ini dapat dipecah menjadi 2 macam, yaitu:

Saat basisnya lebih besar dari 1 atau a>1, maka grafiknya adalah sebagai berikut:

dan saat basisnya berada pada saat 0<a<1, maka gambar grafiknya adalah sebagai berikut:

Dari dua ilustrasi di atas dapat ditemukan dua hal, yaitu:

pada fungsi moton naik (saat a>1), jika $x_{1}<x_{2}$, maka $f(x_{1})<f(x_{2})$.
pada fungsi moton turun (saat 0<a<1), jika $x_{1}<x_{2}$, maka $f(x_{1})>f(x_{2})$.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:

$\begin{array}{|c|}\hline \begin{array}{ll} 1.&\color{blue}\textrm{Untuk basis}\: \: \color{red}a>1\\ &\textrm{dengan}\: \: f(x)>0,\: \: g(x)>0:\\ &\bullet \quad ^{a}\log f(x)\geq \, ^{a}\log g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)\geq g(x)\\ &\bullet \quad ^{a}\log f(x)> \, ^{a}\log g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)> g(x)\\ &\bullet \quad ^{a}\log f(x)\leq \, ^{a}\log g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)\leq g(x)\\ &\bullet \quad ^{a}\log f(x)< \, ^{a}\log g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)< g(x)\\\\ 2.&\color{blue}\textrm{Untuk basis}\: \: \color{red}0<a<1\\ &\textrm{dengan}\: \: f(x)>0,\: \: g(x)>0:\\ &\bullet \quad ^{a}\log f(x)\geq \, ^{a}\log g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)\leq g(x)\\ &\bullet \quad ^{a}\log f(x)> \, ^{a}\log g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)< g(x)\\ &\bullet \quad ^{a}\log f(x)\leq \, ^{a}\log g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)\geq g(x)\\ &\bullet \quad ^{a}\log f(x)< \, ^{a}\log g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)> g(x) \end{array}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll} 1.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad ^{3}\log (x+1)>2\\ &\textrm{b}.\quad ^{.^{ \frac{1}{3}}}\log (x+1)>2\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Diketahui}:\: \: ^{3}\log (x+1)>2\\ &\color{red}\textrm{Syarat numerusnya}\\ &f(x)>0\Leftrightarrow x+1>0\Leftrightarrow x>-1\\ &\color{red}\textrm{Proses lanjutan penyelesaian}\\ &^{3}\log (x+1)>2\Leftrightarrow \, ^{3}\log (x+1)>\, ^{3}\log 3^{2}\\ &\color{blue}\textrm{Karena}\: \: a=3,\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)>p\\ &(x+1)>3^{2}\\ &\Leftrightarrow x+1>9\Leftrightarrow x>8\\ &\textrm{Karena},\: \: x>8\: \: \textrm{berada di daerah}\: \: x>-1 ,\\ &\textrm{maka}\: \: x>8\: \: \textbf{memenuhi}\\ &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ x|x>8 \right \}\end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Diketahui}:\: \: ^{.^{\frac{1}{3}}}\log (x+1)>2\\ &\color{red}\textrm{Syarat numerusnya}\\ &f(x)>0\Leftrightarrow x+1>0\Leftrightarrow x>-1\\ &\color{red}\textrm{Proses lanjutan penyelesaian}\\ &^{.^{\frac{1}{3}}}\log (x+1)>2\Leftrightarrow \, ^{.^{\frac{1}{3}}}\log (x+1)>\, ^{.^{\frac{1}{3}}}\log \left ( \displaystyle \frac{1}{3} \right )^{2}\\ &\color{blue}\textrm{Karena}\: \: a=\displaystyle \frac{1}{3},\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)<p\\ &(x+1)<\left ( \displaystyle \frac{1}{3} \right )^{2}\\ &\Leftrightarrow x+1<\displaystyle \frac{1}{9}\Leftrightarrow x<\displaystyle \frac{1}{9}-1\Leftrightarrow x<-\displaystyle \frac{8}{9}\\ &\textrm{maka yang}\: \textbf{memenuhi}\: \: -1<x<-\displaystyle \frac{8}{9}\\ &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ x|-1<x<-\displaystyle \frac{8}{9} \right \}\end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll} 2.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad -1<\log (x-5)<2\\ &\textrm{b}.\quad ^{2}\log x+\, ^{2}\log (x-3)>2\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Diketahui}\\ &-1<\log (x-5)<2\\ &\Leftrightarrow -1<\, ^{10}\log (x-5)<2\qquad \color{blue}\textrm{mohon ingat}\\ &\Leftrightarrow (-1)\, ^{10}\log 10<\, ^{10}\log (x-5)<(2)\, ^{10}\log 10\\ &\Leftrightarrow \, \color{red}^{10}\log \color{black}10^{-1}<\, \color{red}^{10}\log \color{black}(x-5)<\, \color{red}^{10}\log \color{black}10^{2}\\ &\Leftrightarrow 10^{-1}<x-5<10^{2}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{10}<x-5<100\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{10}\color{red}+5\color{black}<x-5\color{red}+5\color{black}<100\color{red}+5\\ &\Leftrightarrow 5\displaystyle \frac{1}{10}<x<105\\ &\textrm{Jadi},\: \textrm{HP}=\left \{ x|5\displaystyle \frac{1}{10}<x<105 \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Diketahui}\\ &^{2}\log x+\, ^{2}\log (x-3)>2\\ &\Leftrightarrow \, ^{2}\log x+\, ^{2}\log (x-3)>\, ^{2}\log 2^{2}\\ &\Leftrightarrow \, ^{2}\log x (x-3)>\, ^{2}\log 2^{2}\\ &\color{red}\textrm{Syarat numerusnya}\\ &f(x)>0\Leftrightarrow x>0\: \: \textrm{dan}\: \: (x-3)>0\\ &\textrm{atau}\: \: x>0\: \: \textrm{atau}\: \: x>3\\ &\color{red}\textrm{Proses lanjutan penyelesaian}\\ & \, ^{2}\log x (x-3)>\, ^{2}\log 2^{2}\\ &\color{blue}\textrm{Karena}\: \: a=2,\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)>p\\ &x(x-3)>2^{4}\Leftrightarrow x^{2}-3x>4\\ &x^{2}-3x-4>0\Leftrightarrow (x+1)(x-4)>0\\ &\Leftrightarrow x<-1\: \: \textrm{atau}\: \: x>4\\ &\textrm{Karena},\: \: x>4\: \: \textrm{berada di daerah}\: \: x>3 ,\\ &\textrm{maka}\: \: x>4\: \: \textbf{memenuhi dan yang}\\ &\textbf{lainnya tidak memenuhi}\\ &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ x|x>4 \right \} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll} 3.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\left ( ^{b}\log x \right )^{2}+10<7.\, ^{b}\log x,\: \: \textrm{dengan}\: \: b>1\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\left ( ^{b}\log x \right )^{2}+10<7.\, ^{b}\log x\\ &\Leftrightarrow \left ( ^{b}\log x \right )^{2}-7.\, \left (^{b}\log x \right )+10<0\\ &\Leftrightarrow \left ( ^{b}\log x-2 \right )\left (^{b}\log x-5 \right )<0\\ &\textrm{Penyelesaiannya}:\: 2<\, ^{b}\log x<5\\ &\Leftrightarrow (2).^{b}\log b<\, ^{b}\log x<(5).^{b}\log b\\ &\Leftrightarrow \, ^{b}\log b^{2}<\, ^{b}\log x<\, ^{b}\log b^{5}\\ &\Leftrightarrow b^{2}<x<b^{5}\\ &\textrm{Jadi},\:\textrm{ HP}=\left \{ x|b^{2}<x<b^{5} \right \} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll} 4.&\textrm{Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan}\\ &\, ^{3}\log (5x-2)<\, ^{3}\log (3x+8)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\bullet \: \: \color{red}\textrm{Syarat basis},\: \color{black}a=3.\: \: \textrm{Jelas}\: 3>0,\: \neq 1\\ &\bullet \: \: \color{red}\textrm{Syarat numerusnya},\: \: \color{black}\textrm{dari bentuk}\: \: ^{a}\log f(x)>\, ^{a}\log g(x)\\ &\begin{array}{lll} \begin{array}{|c|c|}\hline f(x)&g(x)\\\hline \begin{aligned}&5x-2>0\\ &\Leftrightarrow \: 5x>2\\ &\Leftrightarrow \: x>\displaystyle \frac{2}{5} \end{aligned}&\begin{aligned}&3x+8>0\\ &\Leftrightarrow 3x>-8\\ &\Leftrightarrow \: x>-\displaystyle \frac{8}{3} \end{aligned}\\\hline \end{array}&\Rightarrow &\begin{aligned}&\textrm{Dari keduanya}\\ &\textrm{kita pilih yang}\\ &x>\displaystyle \frac{2}{5} \end{aligned} \end{array}\\ &\bullet \: \: \color{red}\textrm{Proses penyelesaian}\\ &.\quad\begin{aligned}&f(x)<g(x)\\ &\Leftrightarrow \: 5x-2<3x+8\\ &\Leftrightarrow \: 5x-3x<8+2\\ &\Leftrightarrow \: 2x<10\\ &\Leftrightarrow \: x<\displaystyle \frac{10}{2}\\ &\Leftrightarrow \: x<5.\\ &\textrm{Jadi, solusinya adalah}:\begin{cases} 1 &: x>\displaystyle \frac{2}{5}, \: \textrm{dan} \\ 2 &: x<5 \end{cases}\\ &\textrm{maka solusinya adalah}\: :\: \displaystyle \color{red}\frac{2}{5}<x<5 \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$

$\LARGE\colorbox{aqua}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll} &\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{pertidaksamaan berikut}!\\\\ &1.\quad -1<\log (2x-3)<2\\ &2.\quad ^{3}\log (2x-3)+\, ^{3}\log x >3\\ &3.\quad ^{6}\log (x^{2}+x-6)-1\geq 0\\ &4.\quad ^{4}\log (4^{x}.4)\leq 2-x\\ &5.\quad ^{.^{\frac{1}{3}}}\log (x-2)<2\\ &6.\quad ^{.^{\frac{1}{2}}}\log x^{2}-\, ^{.^{\frac{1}{2}}}\log (x+3)>-4\\ &7.\quad 4\left ( ^{.^{\frac{1}{2}}}\log m\right )<\, ^{.^{\frac{1}{3}}}\log81\\ &8.\quad ^{2}\log (x+2)<\, ^{(x+2)}\log (8x^{2}+32x+32)\\ &9.\quad ^{2}\log (2x+2)>6.\, ^{(x+1)}\log 2\\ &10.\: \: ^{2}\log \left ( 1-\, ^{2}\log x \right )<2\\ &11.\: \: ^{6}\log (x^{2}-x)<1\\ &12.\: \: ^{x}\log (x+12)-3.\, ^{x}\log 4+1\geq 0\\ &13.\: \: ^{5}\log x^{2}\leq \, ^{5}\log 5x\\ &14.\: \: \displaystyle \frac{2^{x}-4}{^{2}\log x-2}\leq 0\\ &15.\: \: \displaystyle \frac{^{2}\log x+\, ^{2}\log (x-1)}{^{2}\log 4}\leq 1\\ &16.\: \: \log \left | x+1 \right |\geq \log 3+\log \left | 2x-1 \right |\\\\ \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Sembiring,S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.

Persamaan Logaritma 5

E. Persamaan Logaritma Bentuk $A\left (^{a}\log f(x) \right )^{2}+B\: \left (^{a}\log f(x) \right )+C=0$.

Himpunan penyelesaian dari bentuk ini adalah kurang lebih sama dengan persamaan kuadrat, baik dengan cara dimisalkan terlebih dahulu ataupun tidak,

Jika dimisalkan, maka bentuknya akan semakin sederhana dan dan lebih efektif.

Adapun solusi dari persamaan kuadrat sendiri adalah:

memfaktorkan
melengkapkan kuadrat sempurna
rumus abc

Catatan : Syarat numerus dan basisnya mengikuti, yaitu untuk numerus harus positif dan basisnya selain harus positif juga tidak boleh sama dengan 1.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad \left ( ^{2}\log x \right )^{2}-6\left ( ^{2}\log x \right )+8=0\\ &\textrm{b}.\quad 2\, ^{3}\log ^{2}x+2\, ^{3}\log x-12=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\color{red}\textrm{Dengan tanpa pemisalan}\\ &\left ( ^{2}\log x \right )^{2}-6\left ( ^{2}\log x \right )+8=0\\ &\Leftrightarrow \: \: \left ( ^{2}\log x-2 \right )\left ( ^{2}\log x-4 \right )=0\\ &\Leftrightarrow \: \: ^{2}\log x=2\: \: \textrm{atau}\: \: ^{2}\log x=4\\ &\Leftrightarrow \: \: x=2^{2}=4\: \: \textrm{atau}\: \: x=2^{4}=16\\ &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{blue}\left \{ 4,16 \right \}\\ \textrm{b}.\quad&\color{red}\textrm{Dengan tanpa pemisalan juga}\\ &2\, ^{3}\log ^{2}x+2\, ^{3}\log x-12=0\\ & ^{3}\log ^{2}x+ ^{3}\log x-6=0\\ &\Leftrightarrow \: \: \left ( ^{3}\log x+3 \right )\left ( ^{3}\log x-2 \right )=0\\ &\Leftrightarrow \: \: ^{3}\log x=-3\: \: \textrm{atau}\: \: ^{3}\log x=2\\ &\Leftrightarrow \: \: x=3^{-3}=\displaystyle \frac{1}{27}\: \: \textrm{atau}\: \: x=3^{2}=9\\ &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{blue}\left \{ \displaystyle \frac{1}{27},9 \right \}\\ \end{aligned} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{aqua}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad \left ( \log x \right )^{2}-6\left ( \log x \right )+8=0\\ &\textrm{b}.\quad \left ( \log x \right )^{2}- \log x^{3} -10=0\\ &\textrm{c}.\quad \left ( ^{3}\log x \right )^{2}+2\left (^{3} \log x \right )-3=0\\ &\textrm{d}.\quad ^{5}\log ^{2}x-\, ^{5}\log x^{4}+\, ^{5}\log 125=0\\\\ \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Sembiring,S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.

Persamaan Logaritma 4

D. Persamaan Logaritma Bentuk $^{h(x)}\log f(x)=\: ^{h(x)}\log g(x)$.

Syarat penyelesaian dari bentuk:

$\begin{aligned}&\textrm{Jika}\: \: ^{h(x)}\log f(x)=\, ^{h(x)}\log g(x)\\ &\textrm{dengan}\: \: f(x)\: \: \textrm{dan}\: \: g(x)\: \: \textrm{keduanya positif}\\ &\textrm{serta}\: \: h(x)>0,\: \: \textrm{dan}\: \: h(x)\neq 1,\\ &\textrm{maka}\: \: f(x)=g(x) \end{aligned}$.

$\begin{aligned}&\textbf{atau}\\ &\textrm{Pernyataan}\: \: \color{red}^{h(x)}\log f(x)=\, ^{h(x)}\log g(x)\\ &\textrm{akan bernilai benar jika}\\ &(1)\quad \color{blue}h(x)>0,\: \: h(x)\neq 1\\ &(2)\quad \color{blue}f(x)>0,\: g(x)>0\\ &(3)\quad \color{blue}f(x)=g(x)\end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad ^{x}\log (2x-3)= \, ^{x}\log (x-1)\\ &\textrm{b}.\quad ^{x}\log (2x^{2}+11x-6)=\, ^{x}\log (x^{2}+10x)\\ &\textrm{c}.\quad ^{x}\log (x-1)+\displaystyle \frac{1}{^{x+6}\log x}=2+\, \displaystyle \frac{1}{^{2}\log x}\\ &\textrm{d}.\quad ^{2x-1}\log (x^{3}+3x^{2}-4x-1)=\, ^{2x-1}\log (2x^{2}+3)\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textbf{a}.\: \: \: \textrm{Dik}&\textrm{etahui}\\ &^{x}\log (2x-3)=\, ^{x}\log (x-1)\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat numerus dan bilangan pokok}\\ &\begin{array}{|l|l|}\hline \: \: \: \: \qquad\textrm{Syarat}&\: \: \quad\textrm{hasil}\\\hline h(x)>0, \: h(x)\neq 1&x>0\\\hline f(x)>0&\begin{aligned}2x&-3>0\\ \Leftrightarrow \: \: &2x>3\\ \Leftrightarrow \: \: &x>\displaystyle \frac{3}{2} \end{aligned}\\\hline g(x)>0&\begin{aligned}x-&1>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x>1 \end{aligned}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Syarat numerusnya},\: \: \color{red}x>\displaystyle \frac{3}{2}\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat kedua},\: \: \color{black}f(x)=g(x)\\ &\Leftrightarrow \quad 2x-3=x-1\\ &\Leftrightarrow \quad 2x-x=3-1\\ &\Leftrightarrow \quad x=2\\ &\textrm{Karena}\: \: x>\displaystyle \frac{3}{2},\\ & \textrm{maka nilai}\: \: x=2\: \: \textrm{memenuhi}\\ (\ast )\: \: &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{red}\left \{ 2 \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textbf{b}.\: \: \: \textrm{Dik}&\textrm{etahui}\\ &^{x}\log (2x^{2}+11x-6)=\, ^{x}\log (x^{2}+10)\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat numerus dan bilangan pokok}\\ &\begin{array}{|l|l|}\hline \: \: \: \: \qquad\textrm{Syarat}&\: \: \quad\textrm{hasil}\\\hline h(x)>0,\: h(x)\neq 1&x>0\\\hline f(x)>0&\begin{aligned}2x^{2}&+11x-6>0\\ \Leftrightarrow \: \: &(x+6)(2x-1)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x<-6\: \: \textrm{atau}\: \: x>\displaystyle \frac{1}{2} \end{aligned}\\\hline g(x)>0&\begin{aligned}x^{2}&+10x>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x(x+10)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x<-10\: \: \textrm{atau}\: \: x>0 \end{aligned}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Syarat numerusnya},\: \: \color{red}x>\displaystyle \frac{1}{2}\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat kedua},\: \: \color{black}f(x)=g(x)\\ &\Leftrightarrow \quad 2x^{2}+11x-6=x^{2}+10x\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}+x-6=0\\ &\Leftrightarrow \quad (x+3)(x-2)=0\\ &\Leftrightarrow \quad x=-3\: \: \textrm{atau}\: \: x=2\\ &\textrm{Karena}\: \: x>\displaystyle \frac{1}{2},\\ & \textrm{maka nilai}\: \: x=2\: \: \textrm{memenuhi}\\ (\ast )\: \: &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{red}\left \{ 2 \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textbf{c}.\: \: \: \textrm{Dik}&\textrm{etahui}\\ &^{x}\log (x-1)+\displaystyle \frac{1}{^{x+6}\log x}=2+\, \displaystyle \frac{1}{^{2}\log x}\\ &\Leftrightarrow \: ^{x}\log (x-1)+\, ^{x}\log (x+6)=\, ^{x}\log x^{2}+\, ^{x}\log 2\\ &\Leftrightarrow \: ^{x}\log (x-1)(x+6)=\, ^{x}\log 2x^{2}\\ &\Leftrightarrow \: ^{x}\log x^{2}+5x-6=\, ^{x}\log 2x^{2}\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat numerus dan bilangan pokok}\\ &\begin{array}{|l|l|}\hline \: \: \: \: \qquad\textrm{Syarat}&\: \: \quad\textrm{hasil}\\\hline h(x)>0,\: h(x)\neq 1&x>0\\\hline f(x)>0&\begin{aligned}x^{2}&+5x-6>0\\ \Leftrightarrow \: \: &(x+6)(x-1)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x<-6\: \: \textrm{atau}\: \: x>1 \end{aligned}\\\hline g(x)>0&\begin{aligned}2x^{2}&>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x>0 \end{aligned}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Syarat numerusnya},\: \: \color{red}x>\displaystyle 1\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat kedua},\: \: \color{black}f(x)=g(x)\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}+5x-6=2x^{2}\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}-5x+6=0\\ &\Leftrightarrow \quad (x-2)(x-3)=0\\ &\Leftrightarrow \quad x=2\: \: \textrm{atau}\: \: x=3\\ &\textrm{Karena}\: \: x>\displaystyle 1,\\ & \textrm{maka nilai}\: \: x=2\: \: \textrm{dan}\: \: x=3\: \: \textrm{memenuhi}\\ (\ast )\: \: &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{red}\left \{ 2,3 \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textbf{d}.\: \: \: \textrm{Dik}&\textrm{etahui}\\ &^{2x-1}\log (x^{3}+3x^{2}-4x-1)=\, ^{2x-1}\log (2x^{2}+3)\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat numerus dan bilangan pokok}\\ &\begin{array}{|l|l|}\hline \: \: \: \: \qquad\textrm{Syarat}&\qquad \: \: \quad\textrm{hasil}\\\hline h(x)>0,\: h(x)\neq 1&2x-1>0\Leftrightarrow x>\displaystyle \frac{1}{2}\\\hline f(x)>0&\begin{aligned}x^{3}&+3x^{2}-4x-1>0\\ \bullet \: \: &\textrm{Susah difaktorkan}\\ \bullet \: \: &\textrm{gunakan uji nilai} \end{aligned}\\\hline g(x)>0&\begin{aligned}2x^{2}&+3>0\\ \bullet \: \: &a>0,\: D<0\\ \bullet \: \: &\color{red}\textbf{Definit positif} \end{aligned}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Syarat basis/bilangan pokoknya},\: \: \color{red}x>\displaystyle \frac{1}{2}\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat kedua},\: \: \color{black}f(x)=g(x)\\ &\Leftrightarrow \quad x^{3}+3x^{2}-4x-1=2x^{2}+3\\ &\Leftrightarrow \quad x^{3}+x^{2}-4x-4=0\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}(x+1)-4(x+1)=0\\ &\Leftrightarrow \quad (x+1)(x^{2}-4)=0\\ &\Leftrightarrow \quad (x+1)(x+2)(x-2)=0\\ &\Leftrightarrow \quad x=-1\: \: \textrm{atau}\: \: x=-2\: \: \textrm{atau}\: \: x=2\\ &\textrm{Karena basisnya}\: \: x>\displaystyle \frac{1}{2},\\ &\textrm{maka nilai yang memenuhi hanya}\: \: x=2\: \: \textrm{saja}\\ &\textrm{dan nilai untuk numerusnya juga memenuhi}\\ &\textrm{yaitu}:\: (2)^{3}+3(2)^{2}-4(2)-1=11>0\\ &\textrm{demikian pula untuk}:\: 2(2)^{3}+3=19>0\\ (\ast )\: \: &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{red}\left \{ 2 \right \} \end{aligned} \end{array}$.

Penjelasan untuk jawaban 1. d tentang definit positif di sini dan di sini

$\LARGE\colorbox{aqua}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad ^{x}\log (2x+3)= \, ^{x}\log (x+7)\\ &\textrm{b}.\quad ^{x}\log (x+12)- \, ^{x}\log (4x+1)=0\\ &\textrm{c}.\quad ^{x-2}\log (x^{2}-3)=\, ^{x-2}\log x\\ &\textrm{d}.\quad ^{3x-2}\log (x^{2}-2x+4)=\, ^{3x-2}\log (5-4x)\\\\ \end{array}$

Persamaan Logaritma 3

C. Persamaan Logaritma Bentuk $^{a}\log f(x)=\: ^{a}\log g(x)$.

Syarat penyelesaian dari bentuk ini adalah numerusnya harus positif serta basisnya juga harus positif dan tidak berupa angka 1.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad 2\log x=\log (x+6)\\ &\textrm{b}.\quad \log (2x-3)=\log (x^{2}-3x+1)\\ &\textrm{c}.\quad ^{3}\log (x^{2}+3x+2)=\, ^{3}\log (5x+5)\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textbf{a}.\: \: \: \textrm{Dik}&\textrm{etahui}\\ &2\log x=\log (x+6)\\ &\Leftrightarrow \log x^{2}=\log (x+6)\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat numerus}\\ &\begin{array}{l|l} \begin{aligned}&f(x)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x^{2}>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x>0 \end{aligned}&\begin{aligned}&g(x)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x+6>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x>-6 \end{aligned} \end{array}\\ &\textrm{Sehingga syarat numerusnya},\: \: \color{red}x>0\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat kedua},\: \: \color{black}f(x)=g(x)\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}=x+6\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}-x-6=0\\ &\Leftrightarrow \quad (x+2)(x-3)=0\\ &\Leftrightarrow \quad x=-2\: \: \textrm{atau}\: \: x=3\\ &\textrm{Karena}\: \: x>0,\: \: \textrm{yang memenuhi}\: \: x=3\\ (\ast )\: \: &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{red}\left \{ 3 \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textbf{b}.\: \: \: \textrm{Dik}&\textrm{etahui}\\ &\log (2x-3)=\log (x^{2}-3x+1)\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat numerus}\\ &\begin{array}{l|l} \begin{aligned}&f(x)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &2x-3>0\\ \Leftrightarrow \: \: &2x>3\\ \Leftrightarrow \: \: &x>\displaystyle \frac{3}{2} \end{aligned}&\begin{aligned}&g(x)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x^{2}-3x+1>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x<\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}\\ \quad \: \: &\color{red}\textrm{atau}\: \: \color{black}x>\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2} \end{aligned} \end{array}\\ &\textrm{Syarat numerusnya},\: \: \color{red}x>\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat kedua},\: \: \color{black}f(x)=g(x)\\ &\Leftrightarrow \quad (2x-3)=(x^{2}-3x+1)\\ &\Leftrightarrow \quad -x^{2}+5x-4=0\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}-5x+4=0\\ &\Leftrightarrow \quad (x-1)(x-4)=0\\ &\Leftrightarrow \quad x=1\: \: \textrm{atau}\: \: x=4\\ &\textrm{Karena}\: \: x>\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2},\\ & \textrm{yang memenuhi adalah}\: \: x=4\\ (\ast )\: \: &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{red}\left \{ 4 \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textbf{c}.\: \: \: \textrm{Dik}&\textrm{etahui}\\ &^{3}\log (x^{2}+3x+2)=\, ^{3}\log (5x+5)\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat numerus}\\ &\begin{array}{l|l}\begin{aligned}&f(x)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x^{2}+3x+2>0\\ \Leftrightarrow \: \: &(x+1)(x+2)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x<-2\: \: \textrm{atau}\: \: x>-1 \end{aligned}&\begin{aligned}&g(x)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &5x+5>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x+1>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x>-1\\ \end{aligned} \end{array}\\ &\textrm{Syarat numerusnya},\: \: \color{red}x>-1\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat kedua},\: \: \color{black}f(x)=g(x)\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}+3x+2=5x+5\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}-2x-3=0\\ &\Leftrightarrow \quad (x+1)(x-3)=0\\ &\Leftrightarrow \quad x=-1\: \: \textrm{atau}\: \: x=3\\ &\textrm{Karena}\: \: x>-1,\\ & \textrm{yang memenuhi adalah}\: \: x=3\\ (\ast )\: \: &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{red}\left \{ 3 \right \} \end{aligned} \end{array}$.

Catatan:

Penjelasan untuk soal no.1 b ada berkaitan dengan penentuan akar $\color{red}\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ , silahlkan Anda klik di sini

Berikut soal yang berbasis seolah-olah berbeda, tetapi setelah Anda cermati, maka Anda akan dengan mudah menentukan penyelesaiannya.

$\begin{array}{ll} 2.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\, ^{0,25}\log (x-4)+\, ^{16}\log (x+2)=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Dik}&\textrm{etahui}\\ &^{0,25}\log (x-4)+\, ^{16}\log (x+2)=0\\ &\Leftrightarrow ^{.^{\frac{1}{4}}}\log (x-4)+\, ^{16}\log (x+2)=0\\ &\Leftrightarrow ^{.^{4^{-1}}}\log (x-4)+\, ^{.^{4^{2}}}\log (x+2)=0\\ &\Leftrightarrow \, -\, ^{4}\log (x-4)+\displaystyle \frac{1}{2}\: . ^{4}\log (x+2)=0\\ &\Leftrightarrow \, \displaystyle \frac{1}{2}\: . ^{4}\log (x+2)=\, ^{4}\log (x-4)\\ &\Leftrightarrow \, ^{4}\log (x+2)=2.\, ^{4}\log (x-4)\\ &\Leftrightarrow \, ^{4}\log (x+2)=\, ^{4}\log (x-4)^{2}\\ &\Leftrightarrow \, ^{4}\log (x+2)=\, ^{4}\log (x^{2}-8x+16)\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat numerus}\\ &\begin{array}{l|l} \begin{aligned}&f(x)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x-4>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x>4 \end{aligned}&\begin{aligned}&g(x)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x+2>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x>-2 \end{aligned} \end{array}\\ &\textrm{Sehingga syarat numerusnya},\: \: \color{red}x>4\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat kedua},\: \: \color{black}f(x)=g(x)\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}-8x+16=x+2\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}-8x-x+16-2=0\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}-9x+14=0\\ &\Leftrightarrow \quad (x-2)(x-7)=0\\ &\Leftrightarrow \quad x=2\: \: \textrm{atau}\: \: x=7\\ &\textrm{Karena}\: \: x>4,\: \: \textrm{yang memenuhi}\: \: x=7\\ (\ast )\: \: &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{red}\left \{ 7 \right \} \end{aligned} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{aqua}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad ^{2}\log x+\, ^{2}\log (x-1)=\, ^{2}\log (x+3)\\ &\textrm{b}.\quad \log x+\log 2=\log (x+2)\\ &\textrm{c}.\quad \log (x^{2}-4x-5)=\log (x-5)\\ &\textrm{d}.\quad \log (x^{2}-2x-8)=\log (3x-4)\\\\ \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Sembiring,S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
Kurnia, N., dkk. 2016. Jelajah Matematika SMA Kelas X Peminatan MIPA. Jakarta: YUDHISTIRA.

Persamaan Logaritma 2

B. Persamaan Logaritma Bentuk $^{a}\log f(x)=\: ^{b}\log f(x)$.

Syarat penyelesaian dari bentuk ini adalah numerusnya harus positif serta basisnya juga harus positif. Ketika basisnya berbeda, maka numerusnya cukup sama dengan 1. Hal ini dikarenakan nilai logaritma akan sama dengan 0 jika numerusnya berupa angka 1 dan basisnya bilangan positif. Sebagaimana ilustrasi contoh berikut ini

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad \log (x+6)=\, ^{2}\log (x+6)\\ &\textrm{b}.\quad \log (2x-3)=\, ^{3}\log (2x-3)\\ &\textrm{c}.\quad ^{4}\log (x^{2}-x+1)=\log (x^{2}-x+1)\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &\textrm{Karena basisnya berbeda, maka cukup}\\ &\textrm{numerusnya} =1,\: \: \textrm{yaitu}:\: \: x+6=1.\\ &\textrm{Sehingga}\: \: \: x=-5\\ &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ 7 \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad &\textrm{Karena basisnya berbeda, maka cukup}\\ &\textrm{numerusnya} =1,\: \: \textrm{yaitu}:\: \: 2x-3=1.\\ &\textrm{Sehingga}\: \: \: x=2\\ &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ 2 \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{c}.\quad &\textrm{Karena basisnya berbeda, maka cukup}\\ &\textrm{numerusnya} =1,\: \: \textrm{yaitu}:\: x^{2}-x+1=1.\\ &\textrm{Sehingga}\\ &x^{2}-x=0\\ &\Leftrightarrow x(x-1)=0\\ &\Leftrightarrow x=0\: \: \textrm{atau}\: \: x=1\\ &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ 0,1 \right \} \end{aligned} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{aqua}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad ^{3}\log (5x-4)=\log (5x-4)\\ &\textrm{b}.\quad \log (2x-1)=\, ^{5}\log (2x-1)\\ &\textrm{c}.\quad \log (2x^{2}+6x-5)=\, ^{8}\log (2x^{2}+6x-5)\\ &\textrm{d}.\quad ^{2}\log (x^{2}-4x+6)=\log (x^{2}-4x+6)\\ \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Sembiring,S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.

Persamaan Logaritma 1

A. Persamaan Logaritma Bentuk $^{a}\log f(x)=\: ^{a}\log p$.

Syarat yang harus dipenuhi numerus harus berupa bilangan positif demikian juga bilangan basisnya dan khus bilangan basisnya ketambahan syarat yang harus terpenuhi yaitu tidak boleh sama dengan 1.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad \log (4x-5)=\log 3\\ &\textrm{b}.\quad \log (2x^{2}-x)=1\\ &\textrm{c}.\quad ^{3}\log (x^{2}-3x+5)=1\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &\textrm{Diketahui numerus}:4x-5\\ &\textrm{1. Syarat numerus}:\: f(x)>0\\ &\quad 4x-5>0\Leftrightarrow x>\displaystyle \frac{5}{4}\\ &\textrm{2. Persamaan}\\ &\quad \log (4x-5)=\log 3\\ &\quad \Leftrightarrow 4x-5=3\\ &\quad \Leftrightarrow 4x=8\\ &\quad \Leftrightarrow x=2\\ &\textrm{3. Simpulan}\\ &\quad \textrm{Karena}\: \: x>\displaystyle \frac{5}{4},\\ &\quad \textrm{maka}\: \: x=2\: \: \textrm{memenuhi}\\ &\quad \textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ 2 \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad &\textrm{Diketahui numerus}:2x^{2}-x\\ &\textrm{1. Syarat numerus}:\: f(x)>0\\ &\quad 2x^{2}-x>0\Leftrightarrow x(2x-1)>0\\ &\quad \Leftrightarrow x<0\: \: \textrm{atau}\: \: x>\displaystyle \frac{1}{2}\\ &\textrm{2. Persamaan}\\ &\quad \log (2x^{2}-x)=1\\ &\quad \log (2x^{2}-x)=\, \log 10\\ &\quad \Leftrightarrow 2x^{2}-x=10\\ &\quad \Leftrightarrow 2x^{2}-x-10=0\\ &\quad \Leftrightarrow (2x-5)(x+2)=0\\ &\quad \Leftrightarrow x=-2\: \: \textrm{atau}\: \: x=\displaystyle \frac{5}{2}\\ &\textrm{3. Simpulan}\\ &\quad \textrm{Karena nilai}\: \: x\: \: \textrm{memenuhi}\\ &\quad \textrm{syarat numerus}\: \: 2x^{2}-x>0\\ &\quad \textrm{maka}\: \: x=-2\: \: \textrm{dan}\: \: x=\displaystyle \frac{5}{2}\: \: \textrm{memenuhi}\\ &\quad \textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ -2,\displaystyle \frac{5}{2} \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{c}.\quad &\textrm{Diketahui numerus}:x^{2}-3x+5\\ &\textrm{1. Syarat numerus}:\: f(x)>0\: \: \color{red}\textrm{memenuhi}.\\ &\quad x^{2}-3x+5>0\Leftrightarrow \textrm{Nilai}\: D=b^{2}-4ac>0\\ &\quad \color{red}\textrm{artinya numerus definit positif}\\ &\textrm{2. Persamaan}\\ &\quad ^{3}\log (x^{2}-3x+5)=1\\ &\quad ^{3}\log (x^{2}-3x+5)=\, ^{3}\log 3\\ &\quad \Leftrightarrow x^{2}-3x+5=3\\ &\quad \Leftrightarrow x^{2}-3x+2=0\\ &\quad \Leftrightarrow (x-1)(x-2)=0\\ &\quad \Leftrightarrow x=1\: \: \textrm{atau}\: \: x=2\\ &\textrm{3. Simpulan}\\ &\quad \textrm{Karena nilai}\: \: x\: \: \textrm{memenuhi}\\ &\quad \textrm{syarat numerus}\: \: x^{2}-3x+5>0\\ &\quad \textrm{maka}\: \: x=1\: \: \textrm{dan}\: \: x=2\: \: \textrm{memenuhi}\\ &\quad \textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ 1,2 \right \} \end{aligned} \end{array}$.

Untuk materi difinit positif silahkan klik di sini

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ & \log x+\, \log (2x-1)=1\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Persamaan di atas adalah persamaan}\\ &\textrm{logaritma model}:\: ^{a}\log f(x)=\, ^{a}\log p.\\ &\textrm{dengan bentuknya}:\\ &\qquad \color{blue}^{a}\log f_{1}(x)+\, ^{a}\log f_{2}(x)=\, ^{a}\log p\\ &\textrm{Diketahui numerus}:\\ &\qquad f_{1}(x)=x\: \: \textrm{dan}\: \: f_{2}(x)=2x-1\\ &\textrm{1. Syarat numerus}:\: f(x)>0\\ &\qquad \color{purple}\begin{array}{c|c} f_{1}(x)&f_{2}(x)\\\hline \begin{aligned}&x>0\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&2x-1>0\\ &2x>1\\ &x>\displaystyle \frac{1}{2} \end{aligned} \end{array}\\ &\: \quad \textrm{Sehingga syarat numerusnya}\: :\: x>\displaystyle \frac{1}{2}\\ &\textrm{2. Persamaan}\\ &\quad \log (2x^{2}-x)=1\\ &\quad \log (2x^{2}-x)=\, \log 10\\ &\quad \Leftrightarrow 2x^{2}-x=10\\ &\quad \Leftrightarrow 2x^{2}-x-10=0\\ &\quad \Leftrightarrow (2x-5)(x+2)=0\\ &\quad \Leftrightarrow x=-2\: \: \textrm{atau}\: \: x=\displaystyle \frac{5}{2}\\ &\textrm{3. Simpulan}\\ &\quad \textrm{Nilai}\: \: x\: \: \textrm{yang memenuhi}\\ &\quad \textrm{syarat numerus}\: \: 2x^{2}-x>0\\ &\quad \textrm{hanya ada satu, yaitu}\: :\: x=\color{blue}\displaystyle \frac{5}{2}\\ &\quad \textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{\displaystyle \frac{5}{2} \right \} \end{aligned} \end{array}$.

Catatan:

Coba bandingkan penyelesaian no. 1.b dan no. 2, secara sifat operasi logaritma soal sama, tetapi karena spesifikasi dari numerus tiap tipe soal, maka perlakuannya berbeda.

$\LARGE\colorbox{aqua}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad ^{3}\log (5x-4)=2\\ &\textrm{b}.\quad \log x+\log (2x-1)=1\\ &\textrm{c}.\quad \log (2x^{2}+6x-5)=1\\ &\textrm{d}.\quad ^{2}\log (x^{2}-4x+6)=1\\ &\textrm{e}.\quad ^{2}\log (x-4)+\, ^{2}\log (x-6)=3\\\\ & \end{array}$

Logaritma

A. Pendahuluan

Silahkan kunjungi alamat ini di sini

B. Sifat-Sifat

$\color{blue}\begin{array}{|l|l|}\hline \qquad\qquad\color{black}\textrm{Logaritma}\\\hline \color{black}^{a}\log b=c\: \Rightarrow \: a^{c}=b\\\hline \bullet \quad \color{black}^{a}\log x+\: ^{a}\log y=\: ^{a}\log xy\\\hline \bullet \quad \color{black}^{a}\log x-\: ^{a}\log y=\: ^{a}\log \displaystyle \frac{x}{y}\\\hline \bullet \quad ^{a}\log x=\: \displaystyle \frac{^{m}\log x}{^{m}\log a}\\\hline \bullet \quad ^{a}\log b\: \times \: ^{b}\log c=\: ^{a}\log c\\\hline \bullet \quad ^{a^{m}}\log b^{n}=\displaystyle \frac{n}{m}\times \: ^{a}\log b\\\hline \bullet \quad \displaystyle a^{\: {^{a}}\log b}=b\\\hline \bullet \quad ^{a}\log b=\displaystyle \frac{1}{^{b}\log a}\\\hline \bullet \quad ^{a}\log 1=0\\\hline \bullet \quad \color{black}^a\log a=1\\\hline \begin{cases} a\neq 0 &\\ a>0&(\textrm{bilangan pokok}) \\ x,y>0 & (\textrm{numerus}) \end{cases}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Hitunglah}\\ &\textrm{a}.\quad ^{36}\log 6\\ &\textrm{b}.\quad ^{8}\log \displaystyle \frac{1}{4}\\ &\textrm{c}.\quad ^{2}\log 3+\: ^{2}\log 12-\: ^{2}\log 9\\ &\textrm{d}.\quad ^{16}\log \sqrt[3]{25}\times \, ^{5}\log \displaystyle \frac{1}{4}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &^{36}\log 6=\: ^{6^{2}}\log 6^{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\times \, ^{6}\log 6\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2}\times \: \color{black}\underset{\color{red}1}{\underbrace{^{6}\log 6}}=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2}\times 1\color{black}=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2}\\ &\textrm{atau}\\ &^{36}\log 6=\displaystyle \frac{1}{^{6}\log 36}=\displaystyle \frac{1}{^{6^{.^{1}}}\log 6^{2}}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{1}{\frac{2}{1}\times \, \color{black}^{6}\log 6}\color{black}=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2\times 1}\color{black}=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2} \\ \textrm{b}.\quad &^{8}\log 4=\: ^{2^{3}}\log 2^{2}=\displaystyle \frac{2}{3}\times \color{black}\underset{\color{red}1}{\underbrace{^{2}\log 2}}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{2}{3}\times 1\color{black}=\color{red}\displaystyle \frac{2}{3}\\ \end{aligned} \\ &\begin{aligned} \textrm{c}.\quad &^{2}\log 3+\: ^{2}\log 12-\: ^{2}\log 9\\ &=\: ^{2}\log \color{blue}\left ( \displaystyle \frac{3\times 12}{9} \right )\color{black}=\: ^{2}\log \color{blue}\displaystyle \frac{36}{9}\\ &=\: ^{2}\log \color{blue}4\color{black}=\: ^{2}\log \color{blue}2^{2}\color{black}=\color{blue}2\color{black}\times \, \color{black}\underset{\color{red}1}{\underbrace{^{2}\log 2}}\\ &=\color{red}2\times 1\color{black}=\color{red}2\\ \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{d}.\quad &^{16}\log \sqrt[3]{25}\times \, ^{5}\log \displaystyle \frac{1}{4}\\ &=\: ^{4^{.^{2}}}\log 5^{.^{\frac{2}{3}}}\times \: ^{.5^{.^{1}}}\log 4^{-1}\\ &=\left (\displaystyle \frac{\left ( \displaystyle \frac{2}{3} \right )}{2}\times \, ^{4}\log 5 \right )\times \left (\displaystyle \frac{-1}{1}\times \: ^{5}\log 4 \right )\\ &=\: \color{red}\displaystyle \frac{1}{3}\times -1\color{black}\times \, ^{4}\log 5\times \, ^{5}\log 4\\ &=\color{red}-\displaystyle \frac{1}{3}\times \, \color{black}^{4}\log 4,\qquad \color{blue}(\textrm{ingat})\\ &=\color{red}-\displaystyle \frac{1}{3}\times \color{black}\underset{\color{red}1}{\underbrace{^{4}\log 4}}\\ &=\color{red}-\displaystyle \frac{1}{3}\times 1\\ &=\color{red}-\displaystyle \frac{1}{3} \end{aligned} \end{array}$.

C. Persamaan Logaritma

Bentuk-bentuk persamaan logaritma secara umum adalah persamaan dengan numerus ataupun bilangan basis/pokok yang memuat variabel x.

$\begin{aligned}1.\quad &^{a}\log f(x)=\: ^{a}\log p\\ 2.\quad&^{a}\log f(x)=\: ^{b}\log f(x)\\ 3.\quad &^{a}\log f(x)=\: ^{a}\log g(x)\\ 4.\quad &^{h(x)}\log f(x)=\: ^{h(x)}\log g(x)\\ 5.\quad&A\left (^{a}\log f(x) \right )^{2}+B\: \left (^{a}\log f(x) \right )+C=0\\ \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Hitunglah}\\ &\textrm{a}.\quad \log (x-5)=\log 3\\ &\textrm{b}.\quad \log (2x^{2}-x)=1\\ &\textrm{c}.\quad ^{3}\log (x^{2}-3x+5)=1\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Yang dibahas hanya no.2a, yaitu}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &\textrm{Diketahui numerus}:x-5\\ &\textrm{1. Syarat numerus}:\: f(x)>0\\ &\quad x-5>0\Leftrightarrow x>5\\ &\textrm{2. Persamaan}\\ &\quad \log (x-5)=\log 3\\ &\quad \Leftrightarrow x-5=3\\ &\quad \Leftrightarrow x=8\\ &\textrm{3. Simpulan}\\ &\quad \textrm{Karena}\: \: x>5,\\ &\quad \textrm{maka}\: \: x=8\: \: \textrm{memenuhi}\\ &\quad \textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ 8 \right \} \end{aligned} \end{array}$.

Contoh Soal 5 Transformasi Geometri

$\begin{array}{ll}\\ 21.&\textrm{Jika setiap titik pada grafik dengan}\\ &\textrm{dengan persamaan}\: \: y=\sqrt{x}\: \: \textrm{dicerminkan} \\ &\textrm{terhadap garis}\: \: y=x\: ,\: \textrm{maka persamaan}\\ &\textrm{grafik yang dihasilkan adalah}\, ...\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \color{red}y=x^{2}\: ,\: x\geq 0&&\\ \textrm{b}.\quad y=-\sqrt{x}\: ,\: x\geq 0&\\ \textrm{c}.\quad y=-x^{2}\: ,\: x\leq 0&\\ \textrm{d}.\quad y=\sqrt{-x}\: ,\: x\leq 0\\ \textrm{e}.\quad y=-\sqrt{-x}\: ,\: x\leq 0 \end{array}\\\\ &\quad\quad\qquad \textbf{UMB Tahun 2011 Kode 152}\\\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{a}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dike}&\textrm{tahui bahwa}:\\ y&=\sqrt{x},\: \: \textrm{atau}\: \: y^{2}=x\\ \textbf{Alt}&\textbf{ernatif 1}\\ \textrm{mak}&\textrm{a}\: \: \textrm{saat dicerminkan terhadap}\\ \textrm{gari}&\textrm{s}\: \: y=x,\: \textrm{adalah}\: \: \color{red}x^{2}=y\\ \textrm{atau}&\: \: \color{red}y=x^{2}.\\ \textbf{Alt}&\textbf{ernatif 2}\\ \textrm{Jika}\: &\textrm{ingin dikerjakan dengan rumus}\\ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=M_{x=y}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} y\\ x \end{pmatrix}\\ \textrm{Sela}&\textrm{njutnya hasilnya disubstitusikan}\\ \textrm{ke p}&\textrm{ersamaan}\: \: y=\sqrt{x}\Rightarrow \color{red}x'=\sqrt{y'}\\ \sqrt{y'} &=x'\: \: \: \textrm{maka}\\ y'&=\left ( x' \right )^{2}\: \: \: \textrm{selanjutnya}\\ y&=x^{2} \end{aligned} \end{array}$.

Sebelum dicerminkan terhadap garis y=x

Gambar kurva/grafik setelah cerminkan terhadap garis y=x

$\begin{array}{ll}\\ 22.&\textrm{Transformasi}\: \: T\: \: \textrm{adalah pencerminan}\\ &\textrm{terhadap garis}\: \: y=\displaystyle \frac{x}{3}\: \: \textrm{dilanjutkan oleh} \\ &\textrm{pencerminan terhadap garis}\: \: y=-3x.\\ &\textrm{Matriks yang bersesuian dengan}\\ &\textrm{transformasi}\: \: T\: \: \textrm{adalah}\, ...\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}&&\\ \textrm{b}.\quad \color{red}\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}&\\ \textrm{c}.\quad \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}&\\ \textrm{d}.\quad \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\\ \textrm{e}.\quad \begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{array}\\\\ &\quad\quad \textbf{SBMPTN Tahun 2013 Kode 433}\\\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dike}&\textrm{tahui bahwa}:\\ \textrm{sebu}&\textrm{ah persamaan garis lurus}\\ \textrm{dapa}&\textrm{t dituliskan dengan}:\: y=\color{red}m\color{black}x\\ \textrm{Dike}&\textrm{tahui pula bahwa ada 2 garis}:\\ y_{1}&=\displaystyle \frac{1}{3}x\quad \textrm{dan}\: \: \: y_{2}=-3x\\ \textrm{seba}&\textrm{gai representasi transformasi}\: \: T.\\ \textrm{Kare}&\textrm{na}\: \: m_{1}\times m_{2}=\left ( \displaystyle \frac{1}{3} \right )(-3)=-1\\ \textrm{bera}&\textrm{rti 2 garis di atas saling tegak}\\ \textrm{luru}&\textrm{s dan hal ini seperti rotasi 2}\\ \textrm{kali}\: \: &90^{\circ}\: \: \textrm{atau}\: \: 180^{\circ}\\ \textrm{Jadi},&\: T=\color{purple}\begin{pmatrix} \cos 180^{\circ} & -\sin 180^{\circ}\\ \sin 180^{\circ} & \cos 180^{\circ} \end{pmatrix}\\ \Leftrightarrow &\: T=\color{red}\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Johanes, Kastolan, Sulasim, 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Program IPA Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA.
Nugroho, P. A. Gunarto, D. 2013. Big Bank Soal-Bahas MAtematika SMA/MA. Jakarta: WAHYUMEDIA.
Sharma,S.N., dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XI Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.