Menemukan Konsep Sederhana Ketaksamaan QM-AM-GM-HM

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Dari gambar di atas, misalkan sebuah lingkaran yang berpusat di titik $S$  dengan titik $A$ dan $B$ pada lingkaran yang masih-masing memiliki koordinat $(a,0)$ dan $(b,0)$. Dari sani koordinat titik S adalah $\left({\displaystyle \frac{a+b}{2},0}\right)$. Selain itu terdapat garis singgung lingkaran melalui sebuah titik di luar lingkaran tersebut sebagaimana ilustrasi gambar di atas yaitu titik $O(0,0)$.

$\begin{array}{|l|}\hline \begin{array}{rl}1.TS& =BS=OS-OB=\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)-b\\ & ={\displaystyle {\displaystyle \frac{a-b}{2}}}\end{array}\\ \begin{array}{rl}2.OT& =\sqrt{O{S}^2-T{S}^2}\\ & =\sqrt{{\left({\displaystyle {\displaystyle \frac{a+b}{2}}}\right)}^2-{\left({\displaystyle {\displaystyle \frac{a-b}{2}}}\right)}^2}\\ & =\sqrt{ab}\end{array}\\ \begin{array}{rl}3.TP& =...\\ & \text{Kita gunakan luas}\mathrm{△}OTS\\ & OS\times TP=OT\times TS\\ & TP={\displaystyle \frac{OT\times TS}{OS}=\sqrt{ab}\left({\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}\right)}\\ & \begin{array}{rl}4.OP& =\sqrt{O{T}^2-P{T}^2}\\ & =\sqrt{{\left(\sqrt{ab}\right)}^2-{\left(\sqrt{ab}\right)}^2{\left({\displaystyle {\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}}\right)}^2}\\ & =\sqrt{ab(1-{\left({\displaystyle \frac{a-b}{a+}}\right)}^2)}\\ & =\sqrt{ab\left(\frac{4ab}{(a+b{)}^2}\right)}\\ & ={\displaystyle \frac{2ab}{a+b}}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}5.OK& =\sqrt{O{S}^2+S{K}^2}\\ & =\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{a-b}{2}}\right)}^2}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}}}\end{array}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

 Perhatikan bahwa dari ilustrasi gambar lingkaran beserta hal-hal yang terkait dengan lingkaran tersebut termasuk garis sinngungnya melalui sebuah titik di luar lingkaran, maka

$\begin{array}{|c|}\hline \begin{array}{rl}& \left|OB\right|<\left|OP\right|<\left|OT\right|<\left|OS\right|<\left|OK\right|<\left|OA\right|\\ & \text{maka}\\ & b<{\displaystyle \frac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}<{\displaystyle \frac{a+b}{2}<\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}}}<b}}\\ & \text{Selanjutnya dapat dituliskan sebagai bentuk}\\ & b<{\displaystyle \frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}<\sqrt{ab}<{\displaystyle \frac{a+b}{2}<\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}}}<b}}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

Bentuk akhir pada tabel terakhir di atas selanjutnya yang kita kenal dengan ketaksamaan HM-GM-AM-QM

$\begin{array}{rl}& \text{Misalkan diberikan}{x}_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n\\ & \text{bilangan real positif, maka hubungan }\\ & \text{ketaksamaan}\text{QM-AM-GM-HM}\\ & \text{dapat dituliskan}\\ & \begin{array}{rl}\bullet & \text{QM}(x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n)=\sqrt{{\displaystyle \frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2+\cdots +x_n^2}{n}}}\\ & QuadraticMean(\text{rata-rata kuadrat})\\ \bullet & \text{AM}(x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n)={\displaystyle \frac{x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n}{n}}\\ & ArithmeticMean(\text{rata-rata aritmetika})\\ \bullet & \text{GM}(x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n)=\sqrt[n]{x_1.x_2.x_3\cdots x_n}\\ & GeometricMean(\text{rata-rata geometri})\\ \bullet & \text{HM}(x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n)={\displaystyle \frac{n}{{\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\cdots +\frac{1}{x_n}}}}\\ & HarmonicMean(\text{rata-rata harmoni})\end{array}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Jika}a,b\text{bilangan real positif bahwa}\\ & (a+b)\left({\displaystyle \frac{1}{a}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}\right)\ge 4\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\\ & \text{Alternatif 1}\\ & \begin{array}{rl}& (a+b)\left({\displaystyle \frac{1}{a}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}\right)\\ & =1+{\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1}\\ & =2+{\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}}\\ & \text{Dengan}\mathbf{\text{AM-GM}}\\ & \ge 2+2\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}\times \frac{b}{a}}}\\ & \ge 2+2.1=4◼\end{array}\\ & \text{Alternatif 2}\\ & \begin{array}{rl}& (a+b)\left({\displaystyle \frac{1}{a}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}\right)\\ & \text{Dengan}\mathbf{\text{AM-GM}}\\ & \ge 2\sqrt{ab}\times {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{ab}}=4◼}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Jika}a,b,c\text{bilangan real, tunjukkan}\\ & \text{bahwa}{a}^2+b^2+y^2\ge ab+ac+bc\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\\ & \text{Dengan ketaksamaan}\mathbf{\text{AM-GM}}\\ & \text{pada bilangan}a,b,c\text{bilangan real}\\ & \text{kita akan peroleh}\\ & \begin{array}{ll}{a}^2+b^2\ge 2ab& \\ a^2+c^2\ge 2ac& \\ b^2+c^2\ge 2bc& +\\ 2(a^2+b^2+c^2)& \ge 2ab+2ac+2bc\\ a^2+b^2+c^2& \ge ab+ac+bc\\ & \mathbf{\text{terbukti}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Jika}{a}_i\ge 0,i\in \{1,2,3,4\}\\ & \text{tunjukkan bahwa}\\ & {\displaystyle \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}\ge \sqrt[4]{a_1{a}_2{a}_3{a}_4}}\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\\ & {\displaystyle \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a_1+a_2}{2}+\frac{a_3+a_4}{2}}}{2}}}\\ & \ge {\displaystyle \frac{\sqrt{a_1{a}_2}+\sqrt{a_3{a}_4}}{2}}\\ & \ge \sqrt{\sqrt{a_1{a}_2}.\sqrt{a_3{a}_4}}\\ & =\sqrt[4]{a_1{a}_2{a}_3{a}_4}◼\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bambang, S. 2012. Materi, Soal dan Penyelesaian Olimpiade Matematika Tingkat SMA/MA. Jakarta: BINA PRESTASI INSANI.
2. Leo Bocek.----. Nerovnosti a Nerovnice. dalam : https://olympiada.karlin.mff.cuni.cz/prednasky/bocek1.pdf

Persamaan Polinom

 $\mathbf{\text{1. Pencarian akar-akar persamaan polinom}}$

Persamaan suku banyak/polinom  $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$  dengan  $n>1\text{dan}{a}_n\ne 0$  paling sedikit memiliki sebuah akar riil atau imajiner. Pada bahasan ini untuk mendapatkan akar-akar rasional perlu dilakukan cara coba-coba. Misalkan  $x=h$  kita pilih, selanjutnya tinggal kita buktikan bahwa apakah  $x=h$ apakah akar polinom tersebut atau tidak, jika $f(h)=0$, maka $x=h$ adalah termasuk akar dari polinom tersebut, tetapi jika tidak  atau  $f(h)\ne 0$, maka $x=h$ bukan akar yang diinginkan.

Beberapa petunjuk agar  $x=h$  terarah sebagai akar polinom

• Misalkan  $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$  dengan  $r$  adalah faktor dari  $a_0$, dan  $s$  adalah faktor dari  $a_n$, maka akar-akar rasional jika ada adalah  $x=h={\displaystyle \frac{r}{s}}$.
• Jika pada langkah pertama di atas ditemukan sebuah akar rasional katakanlah  $x=h_1$, maka tentukan hasil bagi  $f(x)$  dengan  $x=h_1$  ini. Misalkan hasil baginya adalah  $h_1(x)$  atau  $f(x)=(x-h_1)h_1(x)$, maka langkah berikutnya carilah akar dari  $h_1(x)$ ini. Dan jika didapatkan akar dari  $h_1(x)$  adalah  $x=h_2$, maka tentukanlah hasil bagi  dari  $h_1(x)$  oleh  $x=h_2$, katakanlah hasilnya  $h_2(x)$, maka  $f(x)=(x-h_1)(x-h_2)h_2(x)$ demikian seterusnya.

$\mathbf{\text{2. Jumlah dan hasil kali akar-akar polinom}}$

Untuk fungsi  derajat 2 maka berlaku seperti menentukan rumus jumlah dan selisih pada persamaan kuadrat. Tetapi untuk polinom berderajat tiga  $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$  saat  $f(x)=0$, maka berlaku

$\begin{array}{rl}f(x)& =a{x}^3+b{x}^2+cx+d\text{dengan}\\ & x_1,x_2,x_3\text{adalah akar-akarnya, maka}\\ \bullet & x_1+x_2+x_3=-{\displaystyle \frac{b}{a}}\\ \bullet & x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3={\displaystyle \frac{c}{a}}\\ \bullet & x_1\times x_2\times x_3=-{\displaystyle \frac{d}{a}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{Unt}& \text{uk yang berderajat empat}\\ f(x)& =a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e\text{saat}f(x)=0\\ & \text{dengan}{x}_1,x_2,x_3,x_4\text{adalah akar-akarnya},\\ & \text{maka}\\ \bullet & x_1+x_2+x_3+x_4=-{\displaystyle \frac{b}{a}}\\ \bullet & x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_3+...+x_3{x}_4={\displaystyle \frac{c}{a}}\\ \bullet & x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4=-{\displaystyle \frac{d}{a}}\\ \bullet & x_1{x}_2{x}_3{x}_4={\displaystyle \frac{e}{a}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Rumus Tambahan}}\\ & \bullet x_1^2+x_2^2={(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2\\ & \bullet x_1^2+x_2^2+x_3^2\\ & ={(x_1+x_2+x_3)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)\\ & \bullet x_1^3+x_2^3+x_3^3\\ & ={(x_1+x_2+x_3)}^3-3x_1{x}_2{x}_3(x_1+x_2+x_3)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Teorema Vieta berkaitan polinom}}\\ & \text{Persamaan polinom berderajat}n\\ & a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0\\ & \text{dengan akar-akar}:x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n,\\ & \text{maka}:\\ & \bullet x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n=-{\displaystyle \frac{a_{n-1}}{a_n}}\\ & \bullet x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_2{x}_3+\cdots +x_{n-1}{x}_n={\displaystyle \frac{a_{n-2}}{a_n}}\\ & \bullet x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+\cdots +x_{n-2}{x}_{n-1}{x}_n=-{\displaystyle \frac{a_{n-3}}{a_n}}\\ & ⋮\\ & \bullet x_1{x}_2{x}_3\cdots x_n=(-1{)}^n.{\displaystyle \frac{a_0}{a_n}}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Jika akar-akar dari polinom}\\ & x^3+2x^2-5x-6=0\text{adalah}\\ & x_1,x_2,\text{dan}{x}_3,\text{tentukanlah nilai}\\ & \text{a}.x_1+x_2+x_3\\ & \text{b}.x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3\\ & \text{c}.x_1\times x_2\times x_3\\ & \text{d}.x_1^2+x_2^2+x_3^2\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Diketahui bahwa}:x^3+2x^2-5x-6=0\\ & \text{dengan koefisien-koefisien variabelnya}\\ & a_3=1,a_2=2,a_1=-5,\text{dan}{a}_0=-6\\ & \text{Menurut}\mathbf{\text{Teorema Vieta}},\text{maka}\\ & \text{a}.x_1+x_2+x_3=-{\displaystyle \frac{a_2}{a_3}=-\frac{2}{1}=-2}\\ & \text{b}.x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3={\displaystyle \frac{a_1}{a_3}={\displaystyle \frac{-5}{1}=-5}}\\ & \text{c}.x_1\times x_2\times x_3=-{\displaystyle \frac{a_0}{a_3}=-{\displaystyle \frac{-6}{1}=6}}\\ & \text{d}.x_1^2+x_2^2+x_3^2\\ & ={(x_1+x_2+x_3)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)\\ & =(-2{)}^2-2(-5)=4+10=14\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Diketahui polinom}{x}^3+3x-1=0\\ & \text{dengan akar-akar}\alpha ,\beta ,\text{dan}\gamma \\ & \text{tentukanlah nilai}{\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Pandang polinom}{x}^3+3x-1=0\\ & \text{dengan}:a_3=1,a_2=0,a_1=3,a_0=-1\\ & \text{maka bentuk nilai dari akar-akarnya}\\ & \text{yaitu}:\\ & \bullet {\alpha }^3+3\alpha -1=0.......(1)\\ & \bullet {\beta }^3+3\beta -1=0.......(2)\\ & \bullet {\gamma }^3+3\gamma -1=0.......(3)\\ & \text{Ketika persamaan}(1)+(2)+(3)\text{maka}\\ & \iff {\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3+3(\alpha +\beta +\gamma )-3=0\\ & \iff {\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3+3\left({\displaystyle \frac{a_2}{a_3}}\right)-3=0\\ & \iff {\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3+3\left(0\right)-3=0\\ & \iff {\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3=3\end{array}$

Daftar Pustaka

1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Kelas XI untuk SMA dan MA Program Studi Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Nugroho, P. A., Gunarto, D. 2013. Big Bank Soal+Bahas Matematika SMA/MA Kelas 1, 2, 3. Jakarta: WAHYUMEDIA.
3. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT.
4. Sunardi, Waluyo, S., Sutrisno, Subagya. 2005. Matematika 2 untuk SMA Kelas XI IPA. Jakarta: BUMI AKSARA.
5. Sukino, S., Intan, T. S., Santiago, Y. E. 2015. Pena Emas Olimpiade Sains Nasional Matematika untuk SMP Seri Kinomatika 1: Seleksi Tingkat Sekolah dan Seleksi Tingkat Kabupaten\Kota. Bandung: YRAMA WIDYA.
6. Sukino. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Lanjutan Materi Polinom (Teorema Faktor)

7. Teorema Faktor

Pada pembagian sebuah bilangan bahwa suatu bilangan dikatakan habis terbagi jika pembaginya adalah faktor dari bilangan tersebut. Sebagai misal 15 faktornya adalah: 1,3,5, dan 15. Dan pada bahasan materi tentang pemfaktoran pada persamaan kuadrat saat Anda duduk di kelas X sebagai misal  $x^2+x-6$ akan habis terbagi oleh  $x+3$  dan  $x-2$. Demikian juga  ketika  $x^2+2x-8$  akan habis terbagi oleh  $x+4$  dan  $x-2$. Selanjutnya pembagi-pembagi tersebut kita namakan sebagai faktor dari yang dibagi tersebut.

Untuk selanjutnya toerema faktor dinyatakan:

• Jika  $(x-h)$ adalah faktor dari  $f(x)$  jika dan hanya jika  $f(h)=0$
• Jika  $(ax+h)$  merupakan faktor dari  $f(x)$  jika dan hanya jika  $f\left({\displaystyle \frac{-h}{a}}\right)=0$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah apakah}(x-2)\text{dan}(x-4)\\ & \text{apakah faktor dari}2x^3+x^2-22x+24\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa}\\ & P(x)=2x^3+x^2-22x+24\\ & \bullet x=2\Rightarrow P(2)={2.2}^3+2^2-22.2+24=0\\ & \bullet x=4\Rightarrow P(4)={2.4}^3+4^2-22.4+24=80\ne 0\\ & \text{Jadi},(x-4)\text{bukan faktor dari}P(x)\text{di atas}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah apakah}(x+1)\text{dan}(x-1)\\ & \text{apakah faktor dari}{x}^6-x^5+x^3-1\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa}\\ & P(x)=x^6-x^5+x^3-1\\ & \bullet x=-1\Rightarrow P(-1)=(-1{)}^6-(-1{)}^5+(-1{)}^3-1=0\\ & \bullet x=1\Rightarrow P(1)=1^6-1^5+1^3-1=0\\ & \text{Jadi},(x+1)\text{dan}(x-1)\text{faktor dari}P(x)\text{di atas}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Faktorkanlah polinom}{x}^3-11x^2+30x-8\\ & \text{ke faktor rasional}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa}\\ & P(x)=x^3-11x^2+30x-8\\ & \text{Misalkan salah satu faktor polinom adalah}:(x-k)\\ & \text{maka}k\text{adalah faktor dari}-8,\text{yaitu}:\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8\\ & \text{dengan mencoba-coba kita harapkan ketemu}\\ & \bullet x=1\Rightarrow P(1)=1^3-{11.1}^2+30.1-8=12\ne 0\\ & \bullet x=-1\Rightarrow P(-1)=(-1{)}^3-11.(-1{)}^2+30.(-1)-8\\ & =-66\ne 0\\ & \bullet x=4\Rightarrow P(4)=4^3-{11.4}^2+30.4-8=0\\ & \text{dengan metode sintetis Horner kita tampilkan}\\ & \begin{array}{llllll}4& 1& -11& 30& -8& \\ & & 4& -28& 8& +\\ & 1& -7& 2& 0\end{array}\\ & \text{Jadi},(x-4)\text{faktor dari}P(x)\text{di atas}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Jika diketahui}(x-2)\text{dan}(2x+1)\\ & \text{adalah faktor dari}2x^3+a{x}^2+bx-2\\ & \text{Tentukanlah nilai}a\text{dan}b\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Misalkan polinom}P(x)=2x^3+a{x}^2+bx-2\\ & \bullet x=2\Rightarrow P(2)={2.2}^3+a{.2}^2+b.2-2=0\\ & \Rightarrow P(2)=14+8a+2b=0.......(1)\\ & \bullet x={\displaystyle \frac{1}{2}\Rightarrow P(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=2{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^3+a{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+b(-{\displaystyle \frac{1}{2}})-2=0}\\ & \Rightarrow P(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-{\displaystyle \frac{2}{8}+{\displaystyle \frac{a}{4}-{\displaystyle \frac{b}{2}-2=0}}}\\ & \Rightarrow P(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=a-2b=9.........(2)\\ & \text{Dengan eliminasi diperoleh}a=-1\text{dan}b=-5\\ & \text{Jadi},a=-1\text{dan}b=-5\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& (\mathbf{\text{OSK 2016}})\\ & \text{Misalkan}a\text{bilangan real sehingga polinom}\\ & P(x)=x^4+4x+a\text{habis dibagi}(x-c{)}^2\\ & \text{untuk suatu bilangan real}c.\text{Nilai}a\\ & \text{yang memenuhi adalah}....\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \mathbf{\text{Alternatif 1}}\\ & \text{Diketahui polinom}P(x)=x^4+4x+a\\ & \text{Dengan metode Horner sebanyak 2 kali}\\ & \text{yaitu}:\\ & \begin{array}{llllll}c& 1& 0& 0& 4& a\\ & & c& c^2& c^3& c^4+4c^3& +\\ c& 1& c& c^2& c^3+4& c^4+4c^3+a\\ & & c& 2c^2& 3c^3& \\ & 1& 2c& 3c^2& 4c^3+4& \end{array}\\ & \text{Dari bentuk di atas diperoleh}\\ & \bullet 4c^3+4=0\Rightarrow c=-1\\ & \bullet c^4+4c^3+a=0\Rightarrow 1-4+a=0\Rightarrow a=3\\ & \text{Jadi},a=3\\ \\ & \mathbf{\text{Alternatif 2}}\\ & \text{Silahkan Anda coba sebagai latihan mandiri}\end{array}$.

$\text{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Buktikan bahwa}x+3\text{dan}x-8\text{adalah}\\ & \text{faktor dari polinom}\\ & f(x)=2x^4+6x^3-114x^2-454x-336\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukan nilai}k,k\ne 0\text{agar}x+k\\ & \text{dan}x-k\text{keduanya adalah faktor dari}\\ & x^3-x^2-9x+9\end{array}$ .

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Bila}{x}^2-x-2\text{adalah faaktor dari}\\ & \text{sebuah polinom}\\ & P(x)=6x^4-x^3+a{x}^2-6x+b\\ & \text{tentukanlah nilai}a+b\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Bila}x+1\text{dan}x-3\text{adalah faktor}\\ & \text{dari polinom}\\ & P(x)=x^4+p{x}^3+5x^2+5x+q\\ & \text{tentukanlah nilai}p\text{dan}q\text{serta}\\ & \text{dua faktor lainnya yang belum }\\ & \text{diketahui dari polinom tersebut}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& (\mathbf{\text{OSK 2019}})\\ & \text{Kedua akar dari persamaan kuadrat}\\ & x^2-111x+k=0\text{adalah bilangan prima}\\ & \text{Nilai}k\text{adalah}....\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 6.& (\mathbf{\text{OSK 2015}})\\ & \text{Diketahui}a,b,c\text{adalah akar dari persamaan}\\ & x^3-5x-9x+10=0.\text{Jika polinom}\\ & P(x)=A{x}^3+B{x}^2+Cx-2015\text{memenuhi}\\ & P(a)=b+c,P(b)=a+c,P(c)=a+b,\\ & \text{maka nilai dari}A+B+C\text{adalah}....\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 7.& (\mathbf{\text{OSK 2014}})\\ & \text{Semua bilangan bulat}n\text{sehingga}\\ & n^4-51n^2+225\text{merupakan bilangan}\\ & \text{prima adalah}....\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Diketahui bahwa salah satu dari penyelesaian}\\ & x^4-14n^3+54x^2-62x+13=0\text{adalah}\\ & 2+\sqrt{3}.\text{Carilah tiga buah akar yang lain}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Muslim, M.S. 2020. Kumpulan Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kota/Kabupaten Tahun 2009-2019. Bandung: YRAMA WIDYA.
3. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
4. Tim Matematika. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap 1. Bandung: ITB

Lanjutan Materi Polinom (Teorema Sisa)

6. Teorema Sisa

Sebelumnya telah diketahui bahwa jika suatu polinom  $\mathbf{\text{P(x)}}$ dibagi oleh  $\mathbf{\text{g(x)}}$ dengan hasil bagi  $\mathbf{\text{h(x)}}$  dan sisa pembagian berupa  $\mathbf{\text{s(x)}}$, maka kondisi tersebut dapat dituliskan dengan

$P(x)=g(x)\times h(x)+s(x)$

Selanjutnya apabila  $\mathbf{\text{P(x)}}$  berderajat  $n$  dibagi oleh  $\mathbf{\text{g(x)}}$ berderajat  $m$, maka hasil bagi  $\mathbf{\text{h(x)}}$  akan berderajat  $n-m$  dan sisa pembagian maksimum berderajat $m-1$.

Perhatikan kembali contoh soal sebelumnya yaitu:

Dari paparan di atas apabila disederhanakan, maka:

$\begin{array}{rl}\text{Jika}& \text{polinomial}P(x)\text{dibagi oleh}\\ \text{1}.& g(x)=(x-a),s(x)=P(a)\\ \text{2}.& g(x)=(x+a),s(x)=P(-a)\\ \text{3}.& g(x)=(ax-b),s(x)=P\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)\\ \text{4}.& g(x)=(ax+b),s(x)=P(-{\displaystyle \frac{b}{a}})\\ \text{5}.& g(x)=(x-a)(x-b)\\ & s(x)={\displaystyle \frac{x-a}{b-a}P(b)+\frac{x-b}{a-b}P(a)}\\ \text{6}.& g(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\\ & s(x)={\displaystyle \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}P(c)}\\ & +{\displaystyle \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}P(b)}\\ & +{\displaystyle \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}P(a)}\end{array}$.

Sebagai bukti dari beberapa properti formula di atas adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}& \text{Untuk formula no.1 di atas adalah:}\\ & \text{Pandang}:P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ & \text{atau}P(x)=(x-a).h(x)+s(x)\\ & \text{substitusikan}x-a=0\text{atau}x=a\\ & \text{maka akan diperoleh bentuk}\\ & P(a)=(a-a).h(a)+s(x)=0+s(x)\\ & =s(x)\\ & \text{Jadi},s(x)=P(a)\text{(terbukti)}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Dan untuk formula no.3 di atas adalah}:\\ & \text{Pandang}:P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ & \text{atau}P(x)=(ax-b).h(x)+s(x)\\ & \text{substitusikan}ax-b=0\text{atau}x={\displaystyle \frac{b}{a}}\\ & \text{maka akan diperoleh bentuk}\\ & P\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)=(a\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)-b).h\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)+s(x)\\ & =0+s(x)\\ & \text{Jadi},s(x)=P\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)\text{(terbukti)}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Untuk formula no.5 di atas}\\ & \text{Pandang}:P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ & \text{anggap sisanya}s(x)=ux+v\\ & \text{atau}\\ & P(x)=(x-a)(x-b).h(x)+ux+v\\ & \text{substitusikan}x-a=0\text{atau}x=a\\ & \text{maka akan diperoleh bentuk}\\ & P(a)=(a-a)(a-b).h(a)+ua+v\\ & =0+ua+v=ua+v.....(1)\\ & \text{Demikian pula}\\ & P(b)=(a-b)(b-b).h(b)+ub+v\\ & =0+ub+v=ub+v.....(2)\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{r}\\ P(a)& =& ua+v\\ P(b)& =& ub+v& -\\ P(a)-P(b)& =& u(a-b)\\ {\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}}& =& u\\ \text{atau}\\ u& =& {\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}}\end{array}\\ & \text{dan}\\ & \begin{array}{rl}& P(a)=ua+v\\ & P(a)=\left({\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}}\right)a+v\\ & \iff v=P(a)-\left({\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}}\right)a\\ & \iff v={\displaystyle \frac{(a-b)}{(a-b)}P(a)-\left({\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}}\right)a}\\ & \iff v={\displaystyle \frac{aP(a)-bP(a)-aP(a)+aP(b)}{a-b}}\\ & \iff v={\displaystyle \frac{-bP(a)+aP(b)}{a-b}}\end{array}\\ & \text{Sehingga},\\ & \begin{array}{rl}s(x)& =ux+v\\ & ={\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}x+{\displaystyle \frac{-bP(a)+aP(b)}{a-b}}}\\ & ={\displaystyle \frac{P(a)x-P(b)x-bP(a)+aP(b)}{a-b}}\\ & ={\displaystyle \frac{(x-b)P(a)+(a-x)P(b)}{a-b}}\\ & ={\displaystyle \frac{a-b}{x-b}P(a)+\frac{x-a}{b-a}P(b)}\end{array}\\ & \text{Jadi},\\ & s(x)={\displaystyle \frac{a-b}{x-b}P(a)+\frac{x-a}{b-a}P(b)\text{(terbukti)}}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\text{Pembagi Linear}$.

$\begin{array}{l}\\ & \text{Tentukan sisa pembagian}\\ & 1.12x^4-40x^3+27x^2+13x-6\\ & \text{jika dibagi oleh}x+1\\ & 2.2x^3+4x^2-6x+7\text{jika dibagi}\\ & \text{oleh}x+1\\ & 3.3x^4-5x^2+4\text{jika dibagi}\\ & \text{oleh}{x}^2+2\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}1.& \text{Polinom}P(x)=12x^4-40x^3+27x^2+13x-6\\ & \text{dibagi}x+1,\text{artinya}\\ & P(-1)=12(-1{)}^4-40(-1{)}^3+27(-1{)}^2+13(-1)-6\\ & \iff P(-1)=12+40+27-13-6=60\end{array}\\ & \begin{array}{rl}2.& \text{Polinom}P(x)=2x^3+4x^2-6x+7\\ & \text{dibagi}x+1,\text{artinya}\\ & P\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=2{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3+4{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-6{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+7\\ & \iff P\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=5\frac{1}{4}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}3.& \text{Polinom}P(x)=3x^4-5x^2+4\\ & \text{dibagi}{x}^2+2,\text{gunakan bentuk sederhana}\\ & \text{misa}{x}^2=n=-2,\text{maka}\\ & P(-2)=3(-2{)}^2-5(-2)+4\\ & \iff P(-2)=12+10+4=26\end{array}\end{array}$.

$\text{Pembagi Kuadrat}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Tentukan sisa pembagian suku banyak}\\ & \text{a}.(3x^3-7x^2-11x+4)\text{oleh}(x^2-x-2)\\ & \text{b}.(2x^3+5x^2-7x+3):(x^2-4)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ & P(x)=g(x).h(x)+ax+b\\ & \text{dengan}\\ & P(x)=3x^3-7x^2-11x+4\\ & g(x)=x^2-x-2=(x-2)(x+1)\\ & \text{maka}\\ & 3x^3-7x^2-11x+4\\ & =(x-2)(x+1).h(x)+ax+b\\ & \text{Selanjutnya kita substitusikan}\\ & \text{pembuat nol fungsi, yaitu}\\ & x=2\text{atau}x=-1,\text{maka}\\ & \bullet x=2\Rightarrow -22=0+2a+b....(1)\\ & \bullet x=-1\Rightarrow 5=0-a+b........(2)\\ & \text{perhatikan eliminasi berikut}\\ & \begin{array}{r}\\ 2a& +& b& =& -22\\ -a& +& b& =& 5& -\\ 3a& & & =& -27\\ a& & & =& -9\\ \text{maka}& & b& =& -4\end{array}\\ & \text{Jadi, sisanya}=s(x)=-9x-4\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{b}.& \text{Dengan cara yang semisal di atas}\\ & g(x)=x^2-4=(x-2)(x+2)\\ & \text{dengan}s(x)=ax+b\\ & \text{maka}\\ & P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ & \bullet x=2\Rightarrow 25=2a+b......(1)\\ & \bullet x=-2\Rightarrow 21=-2a+b....(2)\\ & \text{perhatikan eliminasi berikut}\\ & \begin{array}{r}\\ 2a& +& b& =& 25\\ -2a& +& b& =& 21& -\\ 4a& & & =& 4\\ a& & & =& 1\\ \text{maka}& & b& =& 23\end{array}\\ & \text{Jadi, sisanya}=s(x)=x+23\end{array}\end{array}$.

$\text{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ & \text{Tentukan sisa pembagian}\\ & 1.3x^4-2x^3+27x^2+x-7\\ & \text{jika dibagi oleh}x-2\\ & 2.x^3+5x^2-3x-16\text{jika dibagi}\\ & \text{oleh}x+1\\ & 3.3x^4-5x^2+4\text{jika dibagi}\\ & \text{oleh}{x}^2-2\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Tentukan sisa pembagian suku banyak}\\ & \text{a}.(x^3-6x^2+3x-2):(x^2-3x+2)\\ & \text{b}.(x^3+2x^2-4):(x^2-9)\\ & \text{c}.(4x^3-x^2+7x+1):(x^2-x-2)\\ & \text{d}.(2x^4-2x^2-7):(x^2+x-6)\\ & \text{e}.(x^3+4x^2-x+2):(x^2+2x-3)\\ & \text{f}.(4x^3-x^2+4x-1):(x^2+2x-15)\\ & \text{g}.(2x^3-6x^2-5x+3):(2x^2-7x-4)\\ & \text{h}.(x^4-x^3+5):(x^2+4)\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Polinom}f(x)=2x^3+p{x}^2+qx-7\text{saat}\\ & \text{dibagi}{x}^2+2x-3\text{bersisa}-4x-1.\\ & \text{Nilai}p-q=....\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 6.& (\mathbf{\text{SBMPTN 2015 Matematika IPA}})\\ & \text{Sisa pembagian}A{x}^{2014}+x^{2015}-B(x-2{)}^2\\ & \text{oleh}{x}^2-1\text{adalah}5x-4.\text{Nilai}A+B=....\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Suatu perusahaan mulai beroperasi 1 Juni 2016}\\ & \text{Pendapatan kotor tahunan perusahaan tersebut}\\ & \text{setelah}t\text{tahun adalah sebesar}x\text{juta rupiah}\\ & \text{dengan definisi fungsi}x\text{sebagai berikut}\\ & x=250.000+90.000t+3.000t^2\\ & \text{Tentukan}\\ & \text{a}.\text{Berapa besar pendapatkan kotor perusahaan}\\ & \text{tersebut pada awal}\text{Juni 2021}?\\ & \text{b}.\text{Setelah berapa tahun perusahaan tersebut}\\ & \text{akan memeperoleh pendapatan sebesar}\\ & 2.125\text{miliar rupiah}?\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Suatu gelombang udara bergerak mendekati}\\ & \text{sebuah kota}.\text{Jika suhu}t\text{jam setelah tengah}\\ & \text{malam adalah}T\text{yang diformulasikan}\\ & T=0,01(400-40t+t^2),0\le t\le 10\\ & \text{Tentukan}\\ & \text{a}.\text{Berapa besar suhu di kota tersebut pada}\\ & \text{pukul}05.00\text{pagi}?\\ & \text{b}.\text{Pada pukul berapa suhu di kota tersebut}\\ & \text{mencapai}{15}^{\circ }C?\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
3. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA

Ketaksamaan Muirhead

Ketaksamaan Muirhead

Diberikan  $a=(a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n)$  dan   $b=(b_1,b_2,b_3,\cdots ,b_n)$ yang merupakan barisan bilangan real, dengan barisan  $a$ lebih utama dari barisan  $b$ dan selanjutnya dituliskan dengan  $a\succ b$ disebutkan demikian jika kedua barisan di atas memenuhi 3 kondisi berikut:

$\begin{array}{rl}1.& a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n\text{dan}{b}_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_n\\ 2.& a_1+a_2+\cdots +a_n=b_1+b_2+\cdots +b_k\\ 3.& a_1+a_2+\cdots +a_n=b_1+b_2+\cdots +b_k,\\ & \text{untuk tiap}k,\text{dengan}:1\le k\le n\end{array}$.

Contoh:

$\begin{array}{rl}1.& (4,0,0)\succ (3,1,0)\\ 2.& (2,2,0)\succ (2,1,1)\\ 3.& (2,0,0,0)\text{⧸}\succ (1,1,0)\end{array}$.

Sebagai keterangan tambahan adalah:

• Jika  $(a)\succ (b)$, maka  $\left[a\right]\ge \left[b\right]$. Kesamaan terjadi jika dan hanya jika barisan a dan b identik atau semua sama untuk nilai $x_i$.
• Jika  (a) barisan bilangan real positif, $(x_n)\succ (y_n)$, maka  ${\displaystyle \sum _{sym}^{.}{a}_1^{x_1}{a}_2^{x_2}{a}_3^{x_3}\cdots a_n^{x_n}\ge {\displaystyle \sum _{sym}^{.}{a}_1^{y_1}{a}_2^{y_2}{a}_3^{y_3}\cdots a_n^{y_n}}}$. (untuk hal terkait symetri, silahkan klik link ini)

Lanjutan Materi Operasi Vektor di Ruang (Cross Product): Perkalian Silang Dua Vektor

$\text{C. Perkalian Silang Vektor (Pengayaan)}$.

Pada ruang dimensi tiga khususnya pada vektor akan berlaku perkalian silang (cross vektor) adalah perkalian antara dua vektor yang menghasilkan vektor tunggal. Misalkan diketahui  $\overrightarrow{u}$  dan  $\overrightarrow{v}$  adalah dua vektor sembarang dan keduanya membentuk sudut  $\theta$, maka hasil kali kedua vektor tersebut adalah sebuah vektor baru dengan dinotasiakan sebagai  $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$. Tentunya sebagai syarat kedua vektor tersebut masing-masing tidak berupa vektor nol.

Jika  $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=\overrightarrow{c}$ , maka

$\begin{array}{rl}\overrightarrow{u}& \times \overrightarrow{v}=\overrightarrow{c}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|\\ & =(y_1{z}_2-z_1{y}_2)\overrightarrow{i}-(x_1{z}_2-z_1{x}_2)\overrightarrow{j}+(x_1{y}_2-y_1{x}_2)\overrightarrow{k}\end{array}$

Lalu kalau sudah demikian berapa besarnya? dan ke mana arahnya?

Besarnya adalah  $|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|=\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|\sin \theta$  dan arahnya tegak lurus terhadap  $\overrightarrow{u}$  dan  $\overrightarrow{v}$.

Sebagai ilustrasi perhatikanlah gambar berikut  untuk dua buah vektor sebagai misal  $\overrightarrow{a}$  dan  $\overrightarrow{b}$.

Jika putarannya dibalik, maka akan mendapatkan hasil sebagai mana ilustrasi berikut

Sehingga perlu diingat bahwa :  $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$.

Pada hasil kali silang dua vektor berlaku

1. tidak bersifat komutatif , karena  $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$.
2. distributif terhadap penjumlahan : $\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}$.
3. pada perkalian dengan skalar : $k(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=\left(k\overrightarrow{a}\right)\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times \left(k\overrightarrow{b}\right)$.
4. berlaku untuk sembarang vektor : $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}=0$.
5. jika kedua vektor sejajar, maka hasil kalinya adalah = 0.
6. Nilai dari perkalian kedua vektor terbut adalah sama dengan hasil luas jajar genjang.
7. Nilai dari poin 6 jika dibagi 2 akan berupa hasil luas sebuah segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.
8. berlaku identitas Lagrange : ${|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2.{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-{(\overrightarrow{a}\bullet \overrightarrow{b})}^2$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Diketahui}\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}\text{dan}\overrightarrow{b}=4\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{k}\\ & \text{Tentukanlah hasil}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\text{dan}\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\overrightarrow{a}& \times \overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|\\ & =(y_1{z}_2-z_1{y}_2)\overrightarrow{i}-(x_1{z}_2-z_1{x}_2)\overrightarrow{j}+(x_1{y}_2-y_1{x}_2)\overrightarrow{k}\\ & =\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 4& 3& 0\\ 4& 0& -3\end{array}\right|\\ & =(-9-0)\overrightarrow{i}-(-12-0)\overrightarrow{j}+(0-12)\overrightarrow{k}\\ & =-9\overrightarrow{i}+12\overrightarrow{j}-12\overrightarrow{k}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\overrightarrow{b}& \times \overrightarrow{a}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ x_2& y_2& z_2\\ x_1& y_1& z_1\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 4& 0& -3\\ 4& 3& 0\end{array}\right|\\ & =(0-(-9))\overrightarrow{i}-(0-(-12))\overrightarrow{j}+(12-0)\overrightarrow{k}\\ & =9\overrightarrow{i}-12\overrightarrow{j}+12\overrightarrow{k}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Diketahui}\overrightarrow{a}=6\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+10\overrightarrow{k}\text{dan}\overrightarrow{b}=4\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+9\overrightarrow{k}\\ & \text{Tentukanlah hasil}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\text{dan}\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\overrightarrow{a}& \times \overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|\\ & =(y_1{z}_2-z_1{y}_2)\overrightarrow{i}-(x_1{z}_2-z_1{x}_2)\overrightarrow{j}+(x_1{y}_2-y_1{x}_2)\overrightarrow{k}\\ & =\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 6& 2& 10\\ 4& 1& 9\end{array}\right|\\ & =(18-10)\overrightarrow{i}-(54-40)\overrightarrow{j}+(6-8)\overrightarrow{k}\\ & =8\overrightarrow{i}-14\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\overrightarrow{b}& \times \overrightarrow{a}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ x_2& y_2& z_2\\ x_1& y_1& z_1\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 4& 1& 9\\ 6& 2& 10\end{array}\right|\\ & =(10-18)\overrightarrow{i}-(40-54)\overrightarrow{j}+(8-6)\overrightarrow{k}\\ & =-8\overrightarrow{i}+14\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah luas segitiga}ABC\text{jika}\\ & \text{diketahui}A(2,1,-2),B(0,-1,0),\text{dan}\\ & C(-1,2,-1)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Misalkan luas segitiga}{\displaystyle \frac{1}{2}|\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{q}|,\text{dengan}}\\ & \{\begin{array}{ll}\overrightarrow{p}& =\overline{AB}=\overline{OB}-\overline{OA}=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 2\end{array}\right)\\ \overrightarrow{q}& =\overline{AC}=\overline{OC}-\overline{OA}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 1\end{array}\right)\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\overrightarrow{p}& \times \overrightarrow{q}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|\\ & =(y_1{z}_2-z_1{y}_2)\overrightarrow{i}-(x_1{z}_2-z_1{x}_2)\overrightarrow{j}+(x_1{y}_2-y_1{x}_2)\overrightarrow{k}\\ & =\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ -2& -2& 2\\ -3& 1& 1\end{array}\right|\\ & =(-2-2)\overrightarrow{i}-(-2-(-6))\overrightarrow{j}+(-2-6)\overrightarrow{k}\\ & =-4\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}-8\overrightarrow{k}\\ & \text{Sehingga}\\ & |\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{q}|=\sqrt{(-4{)}^2+(-4{)}^2+(-8{)}^2}\\ & =\sqrt{16+16+64}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\\ & \text{Maka luas segi tiganya adalah}:\\ & \text{luas}\mathrm{△}ABC={\displaystyle \frac{1}{2}|\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{q}|={\displaystyle \frac{1}{2}\left(4\sqrt{6}\right)=2\sqrt{6}}}\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT. TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI

Lanjutan Materi Operasi Vektor di Ruang (Dot Product)

 $\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Diketahui}\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 3\end{array}\right)\text{dan}\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ t\end{array}\right),\\ & \text{jika}\overrightarrow{p}\text{tegak lurus}\overrightarrow{q},\text{maka tentukanlah}\\ & \text{nilai}t\text{adalah}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Karena}& \text{kedua vektor tersebut saling }\\ \text{tegak l}& \text{urus maka}\\ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}& =0\\ \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 3\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ t\end{array}\right)=0\\ (-2).4& +1.(-1)+3.t=0\\ -8-1& +3t=0\\ 3t& =9\\ t& =3\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Tentukanlah nilai}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\text{jika}\\ & \text{a}.\left|\overrightarrow{a}\right|=4,\left|\overrightarrow{b}\right|=6,\mathrm{\angle }(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})={60}^{\circ }\\ & \text{b}.\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-5\overrightarrow{k}\text{dan}\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{k}\\ & \text{c}.\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 3\end{array}\right)\text{dan}\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 1\end{array}\right)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}& =\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \mathrm{\angle }(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})\\ & =4.6.\cos {60}^{\circ }\\ & =24.\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\\ & =12\end{array}\\ & \text{b}.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.2+1.0+(-5).(-3)=4+15=19\\ & \text{c}.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0.4+(-1).(-2)+3.1=0+2+3=5\end{array}$

$\begin{array}{ll}8.& \text{Diketahui}\left|\overrightarrow{a}\right|=10,\left|\overrightarrow{b}\right|=3\\ & \text{dan}\overrightarrow{a}\bullet \overrightarrow{b}=15\sqrt{3}.\text{Tentukan sudut}\\ & \text{yang dibentuk oleh}\overrightarrow{a}\text{dan}\overrightarrow{b}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}\\ & \text{Dari bentuk}\\ & \begin{array}{rl}\overrightarrow{a}\bullet \overrightarrow{b}& =\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \theta \\ \text{dipe}& \text{roleh bentuk}\\ \cos \theta & ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\bullet \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}}\\ \cos \theta & ={\displaystyle \frac{15\sqrt{3}}{10.3}=\frac{15}{30}\sqrt{3}=\frac{1}{2}\sqrt{3}}\\ \cos \theta & =\cos {30}^{\circ }\\ \theta & ={30}^{\circ }\\ \text{Jadi}& \text{sudut antara keduanya adalah}{30}^{\circ }\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 9.& \text{Tentukanlah besar sudut antara vektor}\\ & \overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\text{dan}\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\cos \theta & ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}}\\ & ={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)}{\sqrt{(-1{)}^2+1^2}\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{-1-2+0}{\sqrt{2}\sqrt{9}}}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}}}\\ & =-\cos {45}^{\circ }\\ & =\cos ({180}^{\circ }-{45}^{\circ })\\ \cos \theta & =\cos {135}^{\circ }\\ \therefore \theta & ={135}^{\circ }\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 10.& \text{Diketahui bahwa}\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{6},(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=0\\ & \text{dan}\overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=3.\text{Tentukanlah besar}\\ & \text{sudut antara}\overrightarrow{a}\text{dan}\overrightarrow{b}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Perhatikan}& \text{bahwa}\\ (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})& =0\\ {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2& =0\\ {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2& ={\left|\overrightarrow{b}\right|}^2\Rightarrow \left|\overrightarrow{a}\right|=\overrightarrow{b}=\sqrt{6}\\ \text{dan}\overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})& =3\\ {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}& =3\\ 6-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}& =3\\ -\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}& =3-6=-3\\ \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}& =3\\ \left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \theta & =3\\ \cos \theta & ={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{6}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}\\ \cos \theta & =\cos {60}^{\circ }\\ \therefore \theta & ={60}^{\circ }\end{array}\end{array}$

$\text{Berikut dua contoh untuk sudut tidak istimewa}$.

$\begin{array}{ll}11.& \text{Diketahui}\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k},\text{dan}\\ & \overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}.\text{Tentukan sudut}\\ & \text{yang dibentuk oleh}\overrightarrow{a}\text{dan}\overrightarrow{b}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}\\ & \begin{array}{rl}\text{Dik}& \text{etahui bahwa}\\ ▹& \overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)\text{dan}\\ & \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3\\ ▹& \overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)\text{dan}\\ & \left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{3^2+4^2+0^2}=\sqrt{25}=5\end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{rl}\cos \theta & ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\bullet \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}}\\ \cos \theta & ={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)}{3.5}=\frac{3+8+0}{15}=\frac{11}{15}}\\ \cos \theta & =0,733\\ \theta & =\arccos \left({\displaystyle 0.733}\right)\\ & \text{gunakan alat bantu tabel trigonometri}\\ & \text{atau kalkulator scientific}\\ & =42,9^{\circ }\\ \text{Jadi}& \text{sudut antara keduanya adalah}42,9^{\circ }\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}12.& \text{Diketahui}\overrightarrow{p}=(1,2,2),\text{dan}\\ & \overrightarrow{q}=(3,-2,6).\text{Tentukan sudut}\\ & \text{yang dibentuk oleh}\overrightarrow{p}\text{dan}\overrightarrow{q}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}\\ & \begin{array}{rl}\text{Dik}& \text{etahui bahwa}\\ ▹& \overrightarrow{p}=(1,2,2)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)\text{dan}\\ & \left|\overrightarrow{p}\right|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3\\ ▹& \overrightarrow{q}=(3,-2,6)=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)\text{dan}\\ & \left|\overrightarrow{q}\right|=\sqrt{3^2+(-2{)}^2+6^2}=\sqrt{49}=7\end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{rl}\cos \theta & ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{p}\bullet \overrightarrow{q}}{\left|\overrightarrow{p}\right|\left|\overrightarrow{q}\right|}}\\ \cos \theta & ={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)}{3.7}=\frac{3-4+12}{21}=\frac{11}{21}}\\ \cos \theta & =0,524\\ \theta & =\arccos \left({\displaystyle 0.524}\right)\\ & \text{gunakan alat bantu tabel trigonometri}\\ & \text{atau kalkulator scientific}\\ & =58,4^{\circ }\\ \text{Jadi}& \text{sudut antara keduanya adalah}58,4^{\circ }\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 13.& \text{Diketahui vektor}\overrightarrow{a}\text{dan}\overrightarrow{b}\text{memiliki }\\ & \text{panjang masing-masing adalah 2 dan 3}\\ & \text{serta}\mathrm{\angle }(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})={60}^{\circ }.\text{Carilah nilai}\\ & \text{a}.|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\\ \\ & \text{b}.|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\\ & \text{b}\text{besar sudut antara}\\ & (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\text{dan}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& {|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}^2\\ & =(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\\ & =\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{b}\\ & ={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2\cos 0^{\circ }+2\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos {60}^{\circ }+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2\cos 0^{\circ }\\ & =2^2.1+2.2.3.{\displaystyle \frac{1}{2}+3^2.1}\\ & =4+6+9=19\\ & \text{Jadi, nilainya adalah}|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{19}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{b}.& {|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}^2\\ & =(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\\ & =\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{b}\\ & ={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2\cos 0^{\circ }-2\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos {60}^{\circ }+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2\cos 0^{\circ }\\ & =2^2.1-2.2.3.{\displaystyle \frac{1}{2}+3^2.1}\\ & =4-6+9=7\\ & \text{Jadi, nilainya adalah}|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{c}.\text{Untuk menentukan nilai}& \\ \cos \mathrm{\angle }(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})& ={\displaystyle \frac{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|.|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}}\\ & ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\overrightarrow{b}}{\sqrt{19}.\sqrt{7}}}\\ & ={\displaystyle \frac{2^2-3^2}{\sqrt{133}}=-\frac{5}{\sqrt{133}}}\\ \mathrm{\angle }(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})& =\arccos (-\frac{5}{\sqrt{133}})\end{array}\end{array}$

$\text{Berikut contoh untuk bentuk sudutnya}$.

$\begin{array}{ll}14.& \text{Diketahui}\overrightarrow{p}=(x,3,2),\text{dan}\\ & \overrightarrow{q}=(2,-6,3).\text{Tentukan nilai}x\\ & \text{agar kedua vektor}\\ & \text{a}\text{membentuk sudut lancip}\\ & \text{b}\text{membentuk sudut siku-siku}\\ & \text{c}\text{membentuk sudut tumpul}\\ & \text{d}\text{sama panjang}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}\\ & \begin{array}{rl}\text{Dik}& \text{etahui bahwa}\\ ▹& \overrightarrow{p}=(x,3,2)=\left(\begin{array}{c}x\\ 3\\ 2\end{array}\right)\text{dan}\\ ▹& \overrightarrow{q}=(2,-6,3)=\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)\end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \overrightarrow{p}\bullet \overrightarrow{q}=\left(\begin{array}{c}x\\ 3\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)\\ & =2x-18+6=2x-12\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{rl}\text{a}& \mathbf{\text{Syarat lancip}},\text{yaitu}:\overrightarrow{p}\bullet \overrightarrow{q}>0\\ & 2x-12>0\iff 2x>12\iff x>6\\ \text{b}& \mathbf{\text{Syarat siku-siku}},\text{yaitu}:\overrightarrow{p}\bullet \overrightarrow{q}=0\\ & 2x-12=0\iff 2x=12\iff x=6\\ \text{c}& \mathbf{\text{Syarat tumpul}},\text{yaitu}:\overrightarrow{p}\bullet \overrightarrow{q}<0\\ & 2x-12<0\iff 2x<12\iff x<6\\ \text{d}& \mathbf{\text{Syarat panjang kedua vektor sama}}\\ & \text{yaitu}:\left|\overrightarrow{p}\right|=\left|\overrightarrow{q}\right|,\text{maka}\\ & \begin{array}{rl}& \sqrt{x^2+3^2+2^2}=\sqrt{2^2+(-6{)}^2+3^2}\\ & x^2+9+4=4+36+9\\ & x^2=36\\ & x=\pm \sqrt{36}=\pm 6\\ & \text{Jadi},x=-6\text{atau}x=6\end{array}\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika Program IPA 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA.
2. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
3. Noormandiri, Sucipto, E. 2003. Buku Pelajaran Matematika SMU untuk Kelas 3 Program IPA. Jakarta: ERLANGGA.
4. Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT. TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI.

Metode Horner-Kino (Lanjutan Materi Operasi Polinom)

 TAMBAHAN

Pembagian Horner - Kino

Perhatikanlah bagan berikut

Sebagai tambahan penjelasan dari bagan di atas adalah

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Dengan metode Horner, tentukanlah}\\ & \text{nilai suku banyak berikut ini}!\\ & \text{a})4x^4-7x^3+8x^2-2x+3\text{jika}x=2\\ & \text{b})2x^5+3x^3-x+1\text{jika}x=-3\\ & \text{c})2x^3+x^2-2x+3\text{jika}x={\displaystyle \frac{1}{3}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Diketahui bahwa}\\ & f(x)=4x^4-7x^3+8x^2-2x+3\\ & \mathbf{\text{Cara biasa (Substitusi)}}\\ & \begin{array}{rl}f(2)& =4(2{)}^4-7(2{)}^3+8(2{)}^2-2(2)+3\\ & =64-56+32-4+3\\ & =39\\ \text{Seba}& \text{gai catatan bahwa}:\\ & \text{Polinom}f(x)\text{tersebut di atas }\\ & \text{jika dibagi}(x-2)\text{bersisa 39}\end{array}\\ & \mathbf{\text{Cara Horner}}\\ & \end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Hitunglah nilai}a,b,c,\text{dan}d,\text{jika}\\ & \text{a})-3x+4\equiv a(x-7)-b(2x-3)\\ & \text{b})a(x-1{)}^2-b(x+4)\equiv 2x^2-5x-7\\ & \text{c})3x^2+2x-5\equiv (ax+1)(x+b)-c(x+1)+2(ab-c)\\ & \text{d})x^4-8x^3+15x-20\equiv x^4+a{x}^3+(a+b)x^2+(2b-c)x+d\\ & \text{e}){\displaystyle \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+3}\equiv {\displaystyle \frac{8}{x^2+2x-3}}}\\ & \text{f}){\displaystyle \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-4}\equiv {\displaystyle \frac{3}{x-1}+\frac{20}{x-4}+\frac{x+17}{x^2-5x+4}}}\\ & \text{g}){\displaystyle \frac{5x-4}{x^2-1}\equiv {\displaystyle \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}-\frac{3}{x^2-1}}}\\ & \text{h}){\displaystyle \frac{2x^2+x+2}{x^3-1}\equiv {\displaystyle \frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^2+x+1}}}\\ & \text{i}){\displaystyle \frac{3x^2+2x-5}{x^2+5x+6}\equiv {\displaystyle \frac{a(x-3)}{x+3}+\frac{b(x-5)}{x+2}+\frac{4c}{(x+2)(x+3)}}}\\ & \text{j})x^3+a{x}^2+bx+c=0\text{dengan akar-akar}{x}_1=x_2=-1\text{dan}{x}_3=-3\\ & \text{k})x^3+a{x}^2+bx+c=0\text{dengan akar-akar}1,2,\text{dan}3\end{array}$

$.\begin{array}{rl}\text{Yang diba}& \text{has hanya no. 6 d}\\ x^4-8x^3+& 15x-20\\ \equiv x^4+a{x}^3& +(a+b)x^2+(2b-c)x+d\\ \text{koefisien}{x}^4& :1=1\\ \text{koefisien}{x}^3& :-8=a,\text{maka}a=-8\\ \text{koefisien}{x}^2& :0=a+b,\text{maka}b=-a=-(-8)=8\\ \text{koefisien}{x}^1& :15=2b-c,\text{maka}c=2b-15=2(8)-15=1\\ \text{koefisien}{x}^0& :-20=d,\text{maka}d=-20\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah hasil bagi dan sisanya}!\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a})(3x^3-2x^2+x-4):(x-1)& \text{k})(x^7+3x^5+1):(x^2-1)\\ \text{b})(2x^4-3x^3+x^2-5x+3):(x-2)& \text{l})(x^4-3x^3-5x^2+x-6):(x^2-x-2)\\ \text{c})(3-x+4x^2-x^3):(x-3)& \text{m})(2x^4-3x^2-x+2):(x^2-2x+1)\\ \text{d})(x^4-x^2+11):(x+4)& \text{n})(3x^6+4x^4-2x-1):(x-1)(x^2-4)\\ \text{e})(x^3-10x+9):(x+5)& \text{o})(x^4-4x^3+2x^2-x+1):(2x+1)(x^2-3x+2)\\ \text{f})(2x^3-5x^2-11x+8):(3x+1)& \text{p})(x^7-7x^4+3x):(x^3-4x)\\ \text{g})(5x^3+11x^2+7x-4):(5x+1)& \text{q})(2x^3+x^2-4x+5):(x^2+x+1)\\ \text{h})(2x^3+5x^2-4x+5):(2x+3)& \text{r})(2x^4+x^3-3x+6):(x^2+x+2)\\ \text{i})(2x^3+7x^2-5x+4):(2x-1)& \text{s})(x^4-3x^2+7x-4):(x^2-2x-1)\\ \text{j})(6x^3-x^2+3):(2x-3)& \text{t})(3x^3+4x-8):(3x^2+x+2)\end{array}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Untuk pembahasan no. 3 i}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \begin{array}{|ll|}\hline \text{Pembagi}& \begin{array}{rl}& \text{Sisa}\\ & s(x)={\displaystyle \frac{7}{2}}\end{array}\\ \begin{array}{rl}& 2x-1=2(x-\frac{1}{2})\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Hasil bagi}\\ & {\displaystyle \frac{h(x)}{2}=\frac{2x^2+8x-1}{2}=x^2+4x-\frac{1}{2}}\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Dan untuk pembahasan no. 3 m}\end{array}$

$.\begin{array}{|ll|}\hline \text{Pembagi}& \begin{array}{rl}& \text{Sisa}\\ & s_2(x-p)+s_1\\ & 1(x-1)+0=x-1\end{array}\\ \begin{array}{rl}(x-p)(x-q)& =(x-1)(x-1)\\ & =(x-1{)}^2\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Hasil bagi}\\ & 2x^2+4x+3\end{array}\\ \hline\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Coba bandingkan dengan cara Horner-Kino berikut}\end{array}$

$.\{\begin{array}{ll}\text{Suku banyak}:& f(x)=2x^4-3x^2-x+2\\ \text{Pembagai}:& p(x)=x^2-2x+1\\ & :-1\text{dari}-\frac{1}{1},\text{sedang}2=-\left(\frac{-2}{1}\right)\\ \text{Hasil bagi}:& h(x)=2x^2+4x+3\\ \text{Sisa bagi}:& s(x)=x-1\end{array}$.

$$\begin{gathered} .\text{Sehingga}, \\ 2x^4-3x^2-x+2=(x^2-2x+1)(2x^2+4x+3)+x-1 \end{gathered}$$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Jika diketahui akar-akar persamaan}{x}^2+4x-5=0\\ & \text{juga akar-akar untuk persamaan}2x^3+9x^2-6x-5=0,\\ & \text{maka akar ketiga untuk persamaan yang kedua adalah}...\\ \\ & \text{Jawab}:\end{array}$

$.\{\begin{array}{ll}\text{Suku banyak}:& f(x)=2x^3+9x^2-6x-5\\ \text{Pembagai}:& p(x)=x^2+4x-5\\ & :5\text{dari}-\left(\frac{-5}{1}\right),\text{sedang}-4=\left(\frac{4}{1}\right)\\ \text{Hasil bagi}:& h(x)=2x+1\\ \text{Sisa bagi}:& s(x)=0\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Sehingga}\\ & 2x^3+9x^2-6x-5=(x^2+4x-5)(2x+1)\\ & \text{Jadi, akar yang lain (yang ketiga) adalah}\\ & (2x+1)\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

$\text{LATIHAN SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah hasil bagi dan sisanya}!\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a})(x^7+3x^5+1):(x^2-1)\\ \text{b})(x^4-3x^3-5x^2+x-6):(x^2-x-2)\\ \text{c})(2x^3+x^2-4x+5):(x^2+x+1)\\ \text{d})(2x^4+x^3-3x+6):(x^2+x+2)\\ \text{e})(x^4-3x^2+7x-4):(x^2-2x-1)\\ \text{f})(3x^3+4x-8):(3x^2+x+2)\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Jika}a\text{dan}b\text{bilangan bulat yang menyebabkan}\\ & x^2-x-1\text{merupakan faktor dari}a{x}^3+b{x}^2+1,\\ & \text{maka harga}b\text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& -2& & & \text{d}.& 1\\ \text{b}.& -1& \text{c}.& 0& \text{e}.& 2\end{array}\\ & (\text{AHSME 1988})\end{array}$.

$\text{Pembagian Istimewa}$

Aturan pembagian istimewa adalah

$\begin{array}{rl}1.& {\displaystyle \frac{x^n-a^n}{x-a}=x^{n-1}{a}^0+x^{n-2}{a}^1+\cdots +x^1{a}^{n-2}+x^0{a}^{n-1}}\\ & ={\displaystyle \sum _{k=1}^n{x}^{n-k}{a}^{k-1}}\\ & \text{dengan suku ke}-k\text{hasil bagi}=x^{n-k}{a}^{k-1}\\ 2.& {\displaystyle \frac{x^{2n}-a^{2n}}{x+a}=x^{2n-1}{a}^0-x^{2n-2}{a}^1+\cdots +x^1{a}^{2n-2}-x^0{a}^{2n-1}}\\ & ={\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}(-1{)}^{k+1}{x}^{2n-k}{a}^{k-1}}\\ & \text{dengan suku ke}-k\text{hasil bagi}=(-1{)}^{k+1}{x}^{2n-k}{a}^{k-1}\\ 3.& {\displaystyle \frac{x^{2n+1}+a^{2n+1}}{x+a}=x^{2n}{a}^0-x^{2n-1}{a}^1+\cdots -x^1{a}^{2n-1}+x^0{a}^{2n}}\\ & ={\displaystyle \sum _{k=1}^{2n+1}(-1{)}^{k+1}{x}^{2n+1-k}{a}^{k-1}}\\ & \text{dengan suku ke}-k\text{hasil bagi}=(-1{)}^{k+1}{x}^{2n+1-k}{a}^{k-1}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah hasil bagi polinom}\\ & \text{untuk tiap pembagian istimewa berikut}\\ & \text{a}.(x^3-a^3):(x-a)\\ & \text{b}.(x^4-a^4):(x+a)\\ & \text{c}.(x^5+a^5):(x+a)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{a}.{\displaystyle \frac{(x^3-a^3)}{(x-a)}=x^2+xa+a^2....(\text{rumus}1)}\\ & \text{b}.{\displaystyle \frac{(x^4-a^4)}{(x+a)}=x^3-x^{2}a+x{a}^2-a^3....(\text{rumus}2)}\\ & \text{c}.{\displaystyle \frac{(x^5+a^5)}{(x+a)}=x^4-x^{3}a+x^2{a}^2-x{a}^3+a^4....(\text{rumus}3)}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah hasil bagi polinom}\\ & \text{untuk tiap pembagian istimewa berikut}\\ & \text{a}.(m^8-n^8):(m+n)\\ & \text{b}.(x^{10}-y^{10}):(x+y)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{a}.{\displaystyle \frac{(m^8-n^8)}{(m+n)}=m^7-m^{6}n+m^5{n}^2-\cdots +m{n}^6-n^7}\\ & \text{b}.{\displaystyle \frac{(x^{10}-y^{10})}{(x+y)}=x^9-x^{8}y+x^7{y}^2-\cdots +x{y}^8-y^9}\end{array}$

Operasi Polinom

 $\text{C. Operasi Pada Polinom}$

$\mathbf{\text{1. Kesamaan dua buah polinom}}$

Dua buah polinom dikatakan sama jika keduanya memiliki pangkat/derajat  sama dan koefisien-koefisien suku yang sejenis juga sama.

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{rl}1.\text{Misalkan diketahui}& \\ x^4+A{x}^3-4x^2-10x+3& =(x^2+2x+3)(x^2+Bx+1)\\ x^4+A{x}^3-4x^2-10x+3& =x^4+(B+2)x^3+(2B+4)x^2\\ & +(3B+2)x+3\\ \text{Elemen yang bersesuaian}& \\ \text{untuk}{x}^1:-10& =3B+2\\ \text{maka}B& =4\\ \text{untuk}{x}^3:A& =B+2\\ A& =-2\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah nilai}m\text{dan}n,\text{jika diketahui}\\ & {\displaystyle \frac{m}{x+1}+\frac{n}{x-2}=\frac{3x+4}{x^2-x-2}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Kalikan kedua ruas dengan}\\ & x^2-x-2\text{atau}(x+1)(x-2)\\ & \text{maka}\\ & 3x+4=m(x-2)+n(x+1)\\ & \iff 3x+4=(m+n)x+(-2m+n)\\ & \text{Dari bentuk kesamaan di atas didapatkan}\\ & m+n=3\\ & -2m+n=4\\ & \text{Dengan eliminasi substitusi akan}\\ & \text{didapatkan nilai}m=-{\displaystyle \frac{1}{3}\text{dan}n=\frac{10}{3}}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Diketahui kesamaan dua polinom}\\ & {\displaystyle 5x^2-2x+3=a{x}^2+(b+c)x+7(b-c)}\\ & \text{Tentukan nilai}a+8b-6c\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Dari soal diketahui bahwa}\\ & \{\begin{array}{ll}a& =5\\ b+c& =-2\\ 7(b-c)& =3\end{array}\\ & \text{maka}\\ & 7b+7c=-14\\ & 7b-7c=3+\\ & 14b=-11\Rightarrow b=-11/14\\ & \text{dan}\\ & 7b+7c=-14\\ & 7b-7c=3-\\ & 14c=-17\Rightarrow c=-17/14\\ & \text{maka nilai}a+8b-6c\\ & =5+8\left({\displaystyle \frac{-11}{14}}\right)-6(-{\displaystyle \frac{17}{14}})\\ & =5+{\displaystyle \frac{14}{14}=5+1=6}\end{array}$.

$\mathbf{\text{2. Penjumlahan}}$

 Dua polinom dapat dijumlahkan jika hanya jika suku-sukunya sejenis, jika tidak maka tidak bisa

$\mathbf{\text{3. Pengurangan}}$

Pada operasi pengurangan juga juga berlaku seperti pada operasi penjumlahan, yaitu pengurangan hanya bisa terjadi pada suku-suku yang sejenis saja yang lainnya tidak dapat dilakukan.

$\mathbf{\text{4. Perkalian}}$

Pada jenis operasi ini dilakukan seperti mengalikan biasa yaitu mengalikan semua suku-suku secara distribusi dari kedua polinom tersebut.

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Diketahui 2 suku banyak berikut}\\ & \{\begin{array}{ll}p(x)& =x^3+2x^2+x-1\\ q(x)& =x^4+5x+2\end{array}\\ & \text{Tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{penjumlahan keduanya}\\ & \text{b}.\text{pengurangan}p(x)\text{oleh}q(x)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{l}\\ p(x)=& & x^3& +& 2x^2& +& x& -& 1& \\ q(x)=& x^4& & & & +& 5x& +& 2& (+)\\ & x^4+& x^3& +& 2x^2& +& 6x& +& 1& \end{array}\\ & \text{poin b Silahkan dicoba sebagai latihan}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah hasil kali perkalian}\\ & \text{dari dua polinom berikut}\\ & \text{a}.3x(-5x^2)\\ & \text{b}.2a(7a-3)\\ & \text{c}.(x+2)(x-5)\\ & \text{d}.(3t-2)(2t^2-5t+3)\\ & \text{e}.(5a^2+2)(5a^2-2)\\ & \text{f}.(x^3-2x)(x^2+3x-4)\\ & \text{g}.(2a^3+1)(-a-3{)}^2\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& 3x(-5x^2)=-3.5x^{1+2}=-15x^3\\ \text{b}.& 2a(7a-3)=2.7a^{1+1}-2.3a=14a^2-6a\\ & \text{Selanjutnya kita langsungkan saja}\\ \text{c}.& (x+2)(x-5)=x^2+(2-5)x-2.5\\ & =x^2-3x-10\\ \text{d}.& (3t-2)(2t^2-5t+3)\\ & =6t^3-15t^2+9t-4t^2+10t-6\\ & =6t^3-19t^2+19t-6\\ \text{e}.& (5a^2+2)(5a^2-2)\\ & =25a^4-10x^2+10a^2-4\\ & =25a^4-4\\ \text{f}.& (x^3-2x)(x^2+3x-4)\\ & x^5+3x^4-4x^3-2x^3-6x^2+8x\\ & =x^5+3x^4-6x^3-6x^2+8x\\ \text{g}.& (2a^2+1)(-a-3{)}^2\\ & =(2a^2+1)(a^2+6a+9)\\ & =2a^4+12a^3+18a^2+a^2+6a+9\\ & =2a^4+12a^3+19a^2+6a+9\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah hasil dari perkalian}\\ & \text{dua polinom berikut}\\ & \text{a}.\{\begin{array}{ll}p(x)& =x^2-x-1\\ q(x)& =x^2+x+1\end{array}\\ \\ & \text{b}.\{\begin{array}{ll}p(x)& =x^5+3x^3-x-1\\ q(x)& =x^4+2x+1\end{array}\\ \\ & \text{c}.\{\begin{array}{ll}p(x)& =x^6+3x-6\\ q(x)& =x^3-6x+3\end{array}\\ \\ & \text{d}.\{\begin{array}{ll}p(x)& =x^{2020}-x\\ q(x)& =x^2+x-1\end{array}\\ \\ & \text{e}.\{\begin{array}{ll}p(x)& =x^{2021}-1\\ q(x)& =x^{2019}+1\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Poin a sampai d silahkan dicoba}\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Diketahui bahwa}\\ & \{\begin{array}{ll}p(x)& =x^{2021}-1\\ q(x)& =x^{2019}+1\end{array}\\ & \text{maka}p(x)\times q(x)\\ & =(x^{2021}-1)\times (x^{2019}+1)\\ & =x^{2021+2019}+1\times x^{2021}-1\times x2019-1\times 1\\ & =x^{4040}+x^{2021}-x^{2019}-1\end{array}\end{array}$

$\mathbf{\text{5. Pembagian}}$

Perhatikanlah ilustrasi pembagian bersusun panjang berikut

Misalkan untuk pembagian  $x^3+4x^2-2x+4$  oleh   $x-1$ adalah sebagai berikut:

Selanjutnya dari caontoh di atas kita mendapatkan, 

$\begin{array}{rl}{x}^3& +4x^2-2x+4\\ & =(x-1)(x^2+5x+3)+7\end{array}$

Sehingga dari uraian di atas secara umum pembagian polinom dapat dinyatakan bahwa:

$\text{Polinomial}=\text{Pembagi}\times \text{Hasil bagi}+\text{Sisa}$

$\mathbf{\text{a. Pembagian bentuk}}(x-h)$

$\mathbf{\text{b. Pembagian bentuk}}(ax+b)$

$\mathbf{\text{c. Pembagian bentuk}}(a{x}^2+bx+c)$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian}\\ & \text{jika}{x}^3+4x^2-2x+4\text{oleh}x-1\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian}\\ & \text{jika}4x^3-8x^2-x+5\text{oleh}2x-1\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian}\\ & \text{jika}{x}^4-2x^2-13x-19\text{oleh}{x}^2-2x-3\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \end{array}$

Catatan hasil bagi adalah pada contoh no.1 s.d 3 adalah pada tiap pembahasan di tiap nomornya adalah terletak di bagian atas (berwarna biru) dan sisa pembagiannya adalah yang terletak di bagian paling bawah (berwarna merah).

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
3. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA

Polinom (Suku Banyak)

 $\text{A. Pendahuluan}$

Polinom disebut juga suku banyak. Polinom atau suku banyak adalah suatu bentuk variabel yang berpangkat/berderajat.

Secara definisi suku banyak (polinomial) dalam  $x$  berderajat $n$ adalah:

Suatu bentuk

${\displaystyle a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+...+a_2{x}^2+a_1{x}^1+a_0}$

dengan  $n$  bilangan cacah serta  $a_0,a_1,a_2,...,a_n$  koefisien dari suku  $x$  dan  $a_n\ne 0$  dengan  $a_0$  sebagai suku tetap (konstan)nya.

Selanjutnya perhatikanlah tabel berikut!

$\begin{array}{|ll|}\hline \begin{array}{rl}{a}_n& \text{adalah koefisien dari}{x}^n\\ a_{n-1}& \text{adalah koefisien dari}{x}^{n-1}\\ a_{n-2}& \text{adalah koefisien dari}{x}^{n-2}\\ ⋮& \\ a_2& \text{adalah koefisien dari}{x}^2\\ a_1& \text{adalah koefisien dari}{x}^1\\ a_0& \text{adalah konstanta}\\ & (\text{suku tetap})\end{array}& \begin{array}{rl}{a}_n& \ne 0\\ n:& \text{bilangan cacah},\\ :& \text{adalah derajat (pangkat)}\\ & \text{tertinggi dalam suku}\\ & \text{banyak tersebut}& \\ & \\ & \\ & \end{array}\\ \hline\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL 1}$

$\begin{array}{rl}1.& \text{Polinom}2x^3-6x^2+2020\text{dapat dinyatakan}\\ & \text{dengan}2x^3-6x^2+0x^1+2020x^0\\ & \text{Polinom tersebut memiliki suku tetap}2020\\ 2.& \text{Polinom}5x^4-8x^3+6x-2021\text{dapat dinyatakan}\\ & \text{dengan}5x^4-8x^3+0x^2+6x^1-2021x^0\\ & \text{Polinom tersebut memiliki suku tetap}-2021\\ 3.& \text{Polinom}{x}^4-2x^3+3x^2-2\sqrt{x}+1\text{tidak dapat}\\ & \text{dinamakan polinom, sebab ada variabel dari}x\\ & \text{yang berderajat bukan bilangan cacah}\\ 4.& \text{Sedangkan polinom}5-x+(2-x)(1+x+x^2)\\ & \text{adalah bentuk polinom, karena dapat dinayatakan}\\ & \text{dengan}-x^3+x^2+7\end{array}$

$\text{B. Nilai Polinom}$

Polinom atau suku banyak yang berderajat $n$ yang selanjutnya dinyatakan dengan 

$f(x)={\displaystyle a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+...+a_1{x}^1+a_0}$

Berkaitan dengan kebutuhan penentuan nilai ini, dapat ditentukan dengan dua cara:

$\mathbf{\text{a. Substitusi}}$

$\begin{array}{rl}& \text{Nilai suku banyak}f(x)\text{berderajat}\\ & n\text{saat}x=k\text{adalah}f(k).\\ & \text{Jika}f(k)=0\text{maka}x=k\text{akar dari}f(x),\\ & \text{dan}(x-k)\text{faktor dari}f(x)\\ & \end{array}$

$\text{CONTOH SOAL 2}$

Jika suatu polinom dinyatakan dengan  $f(x)$, maka nilai polinom itu untuk  $x=3$  adalah  $f(3)$.

Misalkan diketahui  

$\begin{array}{rl}1.f(x)& =x^3-1\\ \text{mak}& \text{a}\\ f(1)& =1^3-1=1-1=0\\ f(3)& =3^3-1=27-1=26\\ f(-4)& =(-4{)}^2-1=-64-1=-65\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Diketahui}h(x)=2x^3+5x^2-12x-6\\ & \text{Tentukanlah nilai untuk}h(-2),h(-1),\\ & h(0),h(1),\text{dan}h(2)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{|ccl|}\hline x=k& h(k)& \text{Nilai}\\ x=-2& h(-2)& \begin{array}{rl}h(-2)& =2(-2{)}^3+5(-2{)}^2-12(-2)-6\\ & =-16+20+24-6\\ & =22\end{array}\\ x=-1& h(-1)& \begin{array}{rl}h(-1)& =2(-1{)}^3+5(-1{)}^2-12(-1)-6\\ & =-2+5+12-6\\ & =9\end{array}\\ x=0& h(0)& \begin{array}{rl}h(0)& =2(0{)}^3+5(0{)}^2-12(0)-6\\ & =-6\end{array}\\ x=1& h(1)& \begin{array}{rl}h(1)& =2(1{)}^3+5(1{)}^2-12(1)-6\\ & =2+5-12-6\\ & =-11\end{array}\\ x=2& h(2)& \begin{array}{rl}h(2)& =2(2{)}^3+5(2{)}^2-12(2)-6\\ & =16+20-24-6\\ & =6\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Diketahui}p(x)=x-2019\\ & \text{dan}q(x)=x^{2019}+1.\text{Tentukanlah}\\ & \text{nilai untuk}p(q(2))\text{dan}q(p(2))\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Yang dibahas yang bagian}p(q(2))\\ & q(2)=2^{2019}+1,\text{maka nilai}\\ & \begin{array}{rl}p(q(2))& =(2^{2019}+1)-2019\\ & =2^{2019}-2018\end{array}\\ \\ & \text{Untuk yang}q(p(2))\text{adalah}\\ & p(2)=\cdots ,\text{maka nilai}\\ & \begin{array}{rl}q(p(2))& =\because {\cdots }^{2019}+1\\ & =\cdots \end{array}\end{array}$

$\mathbf{\text{b. Horner/Sintetik}}$

Nilai suatu polinom dapat ditentukan dengan pembagian sintesis Horner

Misalkan:

$\begin{array}{rl}f(x)& =a{x}^3+b{x}^2+cx+d\text{saat akan dibagi}\\ & x=h,\text{maka pembagian Horner itu}:\\ & \end{array}$

Perhatikan bahwa proses ke bawah adalah berup proses penjumlahan.

Proses di atas akan sama saat kita mensubstitusikan  $x=h$  ke dalam  $f(x)$, yaitu:

$\begin{array}{rl}f(x)& =a{x}^3+b{x}^2+cx+d\text{saat}\\ & x=h,\text{maka}\\ f(h)& =a{h}^3+b{h}^2+ch+d\\ & \\ & \mathbf{\text{Cukup JELAS bukan}}?\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL 3}$

$\begin{array}{l}\\ \text{Tentukanlah nilai dari}f(4)\text{jika}\\ \text{diketahui}f(x)=x^3-x-5\\ \text{Jawab}:\\ \begin{array}{rl}(1).& \text{Cara substitusi langsung}\\ & f(x)=x^3-x-5\\ & f(4)=4^3-4-5\\ & =64-9=55\\ (2).& \text{Cara Horner}\\ & \text{Karena}f(x)=x^3-x-5\\ & \text{dan koefisiennya yang akan}\\ & \text{adalah}:\\ & a_3=1,a_2=0,a_1=-1,\mathrm{\&}{a}_0=-5\\ & \mathbf{\text{maka bagan pembagian Hornernya}}\\ & \begin{array}{l}\\ & x=4& 1& 0& -1& -5& \\ & & & & & & \\ & & & 4& 16& 60& +\\ & & 1& 4& 15& 55\end{array}\end{array}\end{array}$