PAS MATEMATIKA BLOG

Lanjutan Materi Operasi Polinom

$\color{blue}\textrm{C. Operasi Pada Polinom}$

$\textbf{1. Kesamaan dua buah polinom}$

Dua buah polinom dikatakan sama jika keduanya memiliki pangkat/derajat sama dan koefisien-koefisien suku yang sejenis juga sama.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$

$\begin{aligned}x^{4}+Ax^{3}-4x^{2}-10x+3&=(x^{2}+2x+3)(x^{2}+Bx+1)\\ x^{4}+Ax^{3}-4x^{2}-10x+3&=x^{4}+(B+2)x^{3}+(2B+4)x^{2}\\ &+(3B+2)x+3\\ \textrm{Elemen yang bersesuaian}&\\ \textrm{untuk}\: \: x^{1}\: :\: \color{blue}-10&=3B+2\\ \textrm{maka}\: \: \: B& =4\\ \textrm{untuk}\: \: x^{3}\: :\: \color{blue}A&=B+2\\ A&=-2 \end{aligned}$

$\textbf{2. Penjumlahan}$

Dua polinom dapat dijumlahkan jika hanya jika suku-sukunya sejenis, jika tidak maka tidak bisa

$\textbf{3. Pengurangan}$

Pada operasi pengurangan juga juga berlaku seperti pada operasi penjumlahan, yaitu pengurangan hanya bisa terjadi pada suku-suku yang sejenis saja yang lainnya tidak dapat dilakukan.

$\textbf{4. Perkalian}$

Pada jenis operasi ini dilakukan seperti mengalikan biasa yaitu mengalikan semua suku-suku secara distribusi dari kedua polinom tersebut.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui 2 suku banyak berikut}\\ &\begin{cases} p(x) &=x^{3}+2x^{2}+x-1 \\ q(x) &=x^{4}+5x+2 \end{cases}\\ &\textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{penjumlahan keduanya}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{pengurangan}\: \: p(x)\: \: \textrm{oleh}\: \: q(x)\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{lllllllllll}\\ p(x)=&&x^{3}&+&2x^{2}&+&x&-&1&\\ q(x)=&x^{4}&&&&+&5x&+&2&(+)\\\hline &\color{red}x^{4}\: +&\color{red}x^{3}&+&\color{red}2x^{2}&+&\color{red}6x&+&\color{red}1& \end{array}\\ &\textrm{poin b Silahkan dicoba sebagai latihan} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah hasil kali perkalian}\\ &\textrm{dari dua polinom berikut}\\ &\textrm{a}.\quad 3x(-5x^{2})\\ &\textrm{b}.\quad 2a(7a-3)\\ &\textrm{c}.\quad (x+2)(x-5)\\ &\textrm{d}.\quad (3t-2)(2t^{2}-5t+3)\\ &\textrm{e}.\quad (5a^{2}+2)(5a^{2}-2)\\ &\textrm{f}.\quad (x^{3}-2x)(x^{2}+3x-4)\\ &\textrm{g}.\quad (2a^{3}+1)(-a-3)^{2}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&3x(-5x^{2})=-3.5x^{1+2}=\color{red}-15x^{3}\\ \textrm{b}.\quad&2a(7a-3)=2.7a^{1+1}-2.3a=\color{red}14a^{2}-6a\\ &\color{blue}\textrm{Selanjutnya kita langsungkan saja}\\ \textrm{c}.\quad&(x+2)(x-5)=x^{2}+(2-5)x-2.5\\ &\qquad\qquad \qquad\: =\color{red}x^{2}-3x-10\\ \textrm{d}.\quad&(3t-2)(2t^{2}-5t+3)\\ &\qquad = 6t^{3}-15t^{2}+9t-4t^{2}+10t-6\\ &\qquad = \color{red}6t^{3}-19t^{2}+19t-6\\ \textrm{e}.\quad&(5a^{2}+2)(5a^{2}-2)\\ &\qquad = 25a^{4}-10x^{2}+10a^{2}-4\\ &\qquad =\color{red}25a^{4}-4\\ \textrm{f}.\quad&(x^{3}-2x)(x^{2}+3x-4)\\ &x^{5}+3x^{4}-4x^{3}-2x^{3}-6x^{2}+8x\\ &\qquad =\color{red}x^{5}+3x^{4}-6x^{3}-6x^{2}+8x\\ \textrm{g}.\quad&(2a^{2}+1)(-a-3)^{2}\\ &\qquad =(2a^{2}+1)(a^{2}+6a+9)\\ &\qquad =2a^{4}+12a^{3}+18a^{2}+a^{2}+6a+9\\ &\qquad =\color{red}2a^{4}+12a^{3}+19a^{2}+6a+9 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah hasil dari perkalian}\\ &\textrm{dua polinom berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \begin{cases} p(x) &=x^{2}-x-1 \\ q(x) &=x^{2}+x+1 \end{cases}\\\\ &\textrm{b}.\quad \begin{cases} p(x) &=x^{5}+3x^{3}-x-1 \\ q(x) &=x^{4}+2x+1 \end{cases}\\\\ &\textrm{c}.\quad \begin{cases} p(x) &=x^{6}+3x-6 \\ q(x) &=x^{3}-6x+3 \end{cases}\\\\ &\textrm{d}.\quad \begin{cases} p(x) &=x^{2020}-x \\ q(x) &=x^{2}+x-1 \end{cases}\\\\ &\textrm{e}.\quad \begin{cases} p(x) &=x^{2021}-1 \\ q(x) &=x^{2019}+1 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Poin a sampai d silahkan dicoba}\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\begin{cases} p(x) &=x^{2021}-1 \\ q(x) &=x^{2019}+1 \end{cases}\\ &\textrm{maka}\: \: p(x)\times q(x)\\ &=\left ( x^{2021}-1 \right )\times \left ( x^{2019}+1 \right )\\ &=x^{2021+2019}+1\times x^{2021}-1\times x2019-1\times 1\\ &=\color{red}x^{4040}+x^{2021}-x^{2019}-1 \end{aligned} \end{array}$

$\textbf{5. Pembagian}$

Perhatikanlah ilustrasi pembagian bersusun panjang berikut

Misalkan untuk pembagian $x^{3}+4x^{2}-2x+4$ oleh $x-1$ adalah sebagai berikut:

Selanjutnya dari caontoh di atas kita mendapatkan,

$\begin{aligned}x^{3}&+4x^{2}-2x+4\\ &=(x-1)(x^{2}+5x+3)+7 \end{aligned}$

Sehingga dari uraian di atas secara umum pembagian polinom dapat dinyatakan bahwa:

$\textrm{Polinomial}=\textrm{Pembagi}\times \textrm{Hasil bagi}+\textrm{Sisa}$

$\textbf{a. Pembagian bentuk}\: (x-h)$

$\textbf{b. Pembagian bentuk}\: (ax+b)$

$\textbf{c. Pembagian bentuk}\: (ax^{2}+bx+c)$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian}\\ &\textrm{jika}\: \: x^{3}+4x^{2}-2x+4\: \: \textrm{oleh}\: \: x-1\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ & \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian}\\ &\textrm{jika}\: \: 4x^{3}-8x^{2}-x+5\: \: \textrm{oleh}\: \: 2x-1\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ & \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian}\\ &\textrm{jika}\: \: x^{4}-2x^{2}-13x-19\: \: \textrm{oleh}\: \: x^{2}-2x-3\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ & \end{array}$

Catatan hasil bagi adalah pada contoh no.1 s.d 3 adalah pada tiap pembahasan di tiap nomornya adalah terletak di bagian atas (berwarna biru) dan sisa pembagiannya adalah yang terletak di bagian paling bawah (berwarna merah).

TAMBAHAN

Pembagian Horner - Kino

Perhatikanlah bagan berikut

Sebagai tambahan penjelasan dari bagan di atas adalah

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Dengan metode Horner, tentukanlah}\\ & \textrm{nilai suku banyak berikut ini}!\\ &\textrm{a})\quad 4x^{4}-7x^{3}+8x^{2}-2x+3\: \: \: \textrm{jika}\: \: x=2\\ &\textrm{b})\quad 2x^{5}+3x^{3}-x+1\: \: \: \textrm{jika}\: \: x=-3\\ &\textrm{c})\quad 2x^{3}+x^{2}-2x+3\: \: \: \textrm{jika}\: \: x=\displaystyle \frac{1}{3}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\\ &f(x)=\color{red}4x^{4}-7x^{3}+8x^{2}-2x+3\\ &\textbf{Cara biasa (Substitusi)}\\ &\begin{aligned}f(2)&=4(2)^{4}-7(2)^{3}+8(2)^{2}-2(2)+3\\ &=64-56+32-4+3\\ &=39\\ \textrm{Seba}&\textrm{gai catatan bahwa}:\\ &\: \textrm{Polinom}\: \: f(x)\: \: \textrm{tersebut di atas }\\ &\textrm{jika dibagi}\: (x-2)\: \textrm{bersisa 39} \end{aligned}\\ &\textbf{Cara Horner}\\ & \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Hitunglah nilai}\: \: a,\: b,\: c,\: \: \textrm{dan}\: \: d,\: \: \textrm{jika}\\ &\textrm{a})\quad -3x+4\equiv a(x-7)-b(2x-3)\\ &\textrm{b})\quad a(x-1)^{2}-b(x+4)\equiv 2x^{2}-5x-7\\ &\textrm{c})\quad 3x^{2}+2x-5\equiv (ax+1)(x+b)-c(x+1)+2(ab-c)\\ &\textrm{d})\quad x^{4}-8x^{3}+15x-20\equiv x^{4}+ax^{3}+(a+b)x^{2}+(2b-c)x+d\\ &\textrm{e})\quad \displaystyle \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+3}\equiv \displaystyle \frac{8}{x^{2}+2x-3}\\ &\textrm{f})\quad \displaystyle \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-4}\equiv \displaystyle \frac{3}{x-1}+\frac{20}{x-4}+\frac{x+17}{x^{2}-5x+4}\\ &\textrm{g})\quad \displaystyle \frac{5x-4}{x^{2}-1}\equiv \displaystyle \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}-\frac{3}{x^{2}-1}\\ &\textrm{h})\quad \displaystyle \frac{2x^{2}+x+2}{x^{3}-1}\equiv \displaystyle \frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^{2}+x+1}\\ &\textrm{i})\quad \displaystyle \frac{3x^{2}+2x-5}{x^{2}+5x+6}\equiv \displaystyle \frac{a(x-3)}{x+3}+\frac{b(x-5)}{x+2}+\frac{4c}{(x+2)(x+3)}\\ &\textrm{j})\quad x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\: \: \textrm{dengan akar-akar}\: \: x_{1}=x_{2}=-1\: \: \textrm{dan}\: \: x_{3}=-3\\ &\textrm{k})\quad x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\: \: \textrm{dengan akar-akar}\: \: 1,\: 2,\: \: \textrm{dan}\: \: 3 \end{array}$

$.\: \qquad\begin{aligned}\color{blue}\textrm{Yang diba}&\color{blue}\textrm{has hanya no. 6 d}\\ x^{4}-8x^{3}+&15x-20\\ \equiv \color{red}x^{4}\color{black}+a\color{red}x^{3}&+(a+b)\color{red}x^{2}\color{black}+(2b-c)\color{red}x\color{black}+d\\ \textrm{koefisien}\: \: \color{red}x^{4}&:\: \: 1=1\\ \textrm{koefisien}\: \: \color{red}x^{3}&:\: \: -8=a,\: \: \textrm{maka}\: \: a=-8\\ \textrm{koefisien}\: \: \color{red}x^{2}&:\: \: 0=a+b,\: \: \textrm{maka}\: \: b=-a=-(-8)=8\\ \textrm{koefisien}\: \: \color{red}x^{1}&:\: \: 15=2b-c,\: \: \textrm{maka}\: \: c=2b-15=2(8)-15=1\\ \textrm{koefisien}\: \: \color{red}x^{0}&:\: \: -20=d,\: \: \textrm{maka}\: \: d=-20\\ \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah hasil bagi dan sisanya}!\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a})\quad (3x^{3}-2x^{2}+x-4):(x-1)&\textrm{k})\quad (x^{7}+3x^{5}+1):(x^{2}-1)\\ \textrm{b})\quad (2x^{4}-3x^{3}+x^{2}-5x+3):(x-2)&\textrm{l})\quad (x^{4}-3x^{3}-5x^{2}+x-6):(x^{2}-x-2)\\ \textrm{c})\quad (3-x+4x^{2}-x^{3}):(x-3)&\textrm{m})\quad (2x^{4}-3x^{2}-x+2):(x^{2}-2x+1)\\ \textrm{d})\quad (x^{4}-x^{2}+11):(x+4)&\textrm{n})\quad (3x^{6}+4x^{4}-2x-1):(x-1)(x^{2}-4)\\ \textrm{e})\quad (x^{3}-10x+9):(x+5)&\textrm{o})\quad (x^{4}-4x^{3}+2x^{2}-x+1):(2x+1)(x^{2}-3x+2)\\ \textrm{f})\quad (2x^{3}-5x^{2}-11x+8):(3x+1)&\textrm{p})\quad (x^{7}-7x^{4}+3x):(x^{3}-4x)\\ \textrm{g})\quad (5x^{3}+11x^{2}+7x-4):(5x+1)&\textrm{q})\quad (2x^{3}+x^{2}-4x+5):(x^{2}+x+1)\\ \textrm{h})\quad (2x^{3}+5x^{2}-4x+5):(2x+3)&\textrm{r})\quad (2x^{4}+x^{3}-3x+6):(x^{2}+x+2)\\ \textrm{i})\quad (2x^{3}+7x^{2}-5x+4):(2x-1)&\textrm{s})\quad (x^{4}-3x^{2}+7x-4):(x^{2}-2x-1)\\ \textrm{j})\quad (6x^{3}-x^{2}+3):(2x-3)&\textrm{t})\quad (3x^{3}+4x-8):(3x^{2}+x+2) \end{array} \end{array}$

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Untuk pembahasan no. 3 i} \end{aligned}$

$.\qquad\begin{aligned}&\begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Pembagi}&\begin{aligned}&\textrm{Sisa}\\ &s(x)=\displaystyle \frac{7}{2} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&2x-1=2(x-\frac{1}{2}) \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Hasil bagi}\\ &\displaystyle \frac{h(x)}{2}=\frac{2x^{2}+8x-1}{2}=x^{2}+4x-\frac{1}{2}\ \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{aligned}$

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Dan untuk pembahasan no. 3 m} \end{aligned}$

$.\qquad\begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Pembagi}&\begin{aligned}&\textrm{Sisa}\\ &s_{2}(x-p)+s_{1}\\ &1(x-1)+0=x-1 \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}(x-p)(x-q)&=(x-1)(x-1)\\ &=(x-1)^{2} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Hasil bagi}\\ &2x^{2}+4x+3 \end{aligned}\\\hline \end{array}$

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Coba bandingkan dengan cara Horner-Kino berikut} \end{aligned}$

$.\qquad\begin{cases} \textrm{Suku banyak}: & f(x)=2x^{4}-3x^{2}-x+2 \\ \textrm{Pembagai}: & p(x)=x^{2}-2x+1 \\ &: -1\: \: \textrm{dari}\: -\frac{1}{1},\: \: \textrm{sedang}\: \: 2=-\left ( \frac{-2}{1} \right )\\ \textrm{Hasil bagi}:&h(x)=2x^{2}+4x+3\\ \textrm{Sisa bagi}:&s(x)=x-1 \end{cases}$.

$.\qquad \textrm{Sehingga},\\\\ 2x^{4}-3x^{2}-x+2=\color{red}\left ( x^{2}-2x+1 \right )\left ( 2x^{2}+4x+3 \right )+x-1$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Jika diketahui akar-akar persamaan}\: \: x^{2}+4x-5=0\\ &\textrm{juga akar-akar untuk persamaan}\: \: 2x^{3}+9x^{2}-6x-5=0,\\ &\textrm{maka akar ketiga untuk persamaan yang kedua adalah}\: ...\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ \end{array}$

$.\qquad \begin{cases} \textrm{Suku banyak}: & f(x)=2x^{3}+9x^{2}-6x-5 \\ \textrm{Pembagai}: & p(x)=x^{2}+4x-5 \\ &: 5\: \: \textrm{dari}\: -\left (\frac{-5}{1} \right ),\: \: \textrm{sedang}\: \: -4=\left ( \frac{4}{1} \right )\\ \textrm{Hasil bagi}:&h(x)=2x+1\\ \textrm{Sisa bagi}:&s(x)=0 \end{cases}$

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Sehingga}\\ &2x^{3}+9x^{2}-6x-5=\left ( x^{2}+4x-5 \right )\left ( 2x+1 \right )\\ &\textrm{Jadi, akar yang lain (yang ketiga) adalah}\\ & (2x+1)\Rightarrow x=\color{red}-\displaystyle \frac{1}{2} \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{LATIHAN SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah hasil bagi dan sisanya}!\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a})\quad (x^{7}+3x^{5}+1):(x^{2}-1)\\ \textrm{b})\quad (x^{4}-3x^{3}-5x^{2}+x-6):(x^{2}-x-2)\\ \textrm{c})\quad (2x^{3}+x^{2}-4x+5):(x^{2}+x+1)\\ \textrm{d})\quad (2x^{4}+x^{3}-3x+6):(x^{2}+x+2)\\ \textrm{e})\quad (x^{4}-3x^{2}+7x-4):(x^{2}-2x-1)\\ \textrm{f})\quad (3x^{3}+4x-8):(3x^{2}+x+2) \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: a\: \: \textrm{dan}\: \: b\: \: \textrm{bilangan bulat yang menyebabkan}\\ & x^{2}-x-1\: \: \textrm{merupakan faktor dari}\: \: ax^{3}+bx^{2}+1,\\ &\textrm{maka harga}\: \: b\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllll}\\ \textrm{a}.&-2&&&\textrm{d}.&1\\ \textrm{b}.&-1&\textrm{c}.&0&\textrm{e}.&2 \end{array}\\ &\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\qquad (\textrm{AHSME 1988})\end{array}$.

$\color{blue}\textrm{Pembagian Istimewa}$

Aturan pembagian istimewa adalah

$\begin{aligned}1.\quad &\displaystyle \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}=x^{n-1}a^{0}+x^{n-2}a^{1}+\cdots +x^{1}a^{n-2}+x^{0}a^{n-1}\\ &\qquad =\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x^{n-k}a^{k-1}\\ &\textrm{dengan suku ke}-k\: \: \textrm{hasil bagi}=\color{red}x^{n-k}a^{k-1}\\ 2.\quad&\displaystyle \frac{x^{2n}-a^{2n}}{x+a}=x^{2n-1}a^{0}-x^{2n-2}a^{1}+\cdots +x^{1}a^{2n-2}-x^{0}a^{2n-1}\\ &\qquad =\displaystyle \sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}x^{2n-k}a^{k-1}\\ &\textrm{dengan suku ke}-k\: \: \textrm{hasil bagi}=\color{red}(-1)^{k+1}x^{2n-k}a^{k-1}\\ 3.\quad&\displaystyle \frac{x^{2n+1}+a^{2n+1}}{x+a}=x^{2n}a^{0}-x^{2n-1}a^{1}+\cdots -x^{1}a^{2n-1}+x^{0}a^{2n}\\ &\qquad =\displaystyle \sum_{k=1}^{2n+1}(-1)^{k+1}x^{2n+1-k}a^{k-1}\\ &\textrm{dengan suku ke}-k\: \: \textrm{hasil bagi}=\color{red}(-1)^{k+1}x^{2n+1-k}a^{k-1} \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah hasil bagi polinom}\\ &\textrm{untuk tiap pembagian istimewa berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \left ( x^{3}-a^{3} \right ):(x-a)\\ &\textrm{b}.\quad \left ( x^{4}-a^{4} \right ):(x+a)\\ &\textrm{c}.\quad \left ( x^{5}+a^{5} \right ):(x+a)\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{\left ( x^{3}-a^{3} \right )}{(x-a)}=x^{2}+xa+a^{2}\: \: ....(\textrm{rumus}\: 1)\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{\left ( x^{4}-a^{4} \right )}{(x+a)}=x^{3}-x^{2}a+xa^{2}-a^{3}\: \: ....(\textrm{rumus}\: 2)\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{\left ( x^{5}+a^{5} \right )}{(x+a)}=x^{4}-x^{3}a+x^{2}a^{2}-xa^{3}+a^{4}\: \: ....(\textrm{rumus}\: 3) \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah hasil bagi polinom}\\ &\textrm{untuk tiap pembagian istimewa berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \left ( m^{8}-n^{8} \right ):(m+n)\\ &\textrm{b}.\quad \left ( x^{10}-y^{10} \right ):(x+y)\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{\left ( m^{8}-n^{8} \right )}{(m+n)}=m^{7}-m^{6}n+m^{5}n^{2}-\cdots +mn^{6}-n^{7}\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{\left ( x^{10}-y^{10} \right )}{(x+y)}=x^{9}-x^{8}y+x^{7}y^{2}-\cdots +xy^{8}-y^{9}\\ \end{array}$

Lanjutan Materi Kaidah Pencacahan

$\color{blue}\textrm{B. Kaidah Pencacahan}$

Dalam kombinatorial kita harus melakukan perhitungan (counting) untuk mendapatkan semua kemungkinan dari pengaturan objekgar hasilnya didaptkan valid. Dua kaidah dasar yang digunakan dalam hal ini adalah adalah kaidah perkalian (rule of product) dan kaidah penjumlahan (rule of sum). Kedua kaidah tersebut nantinya akan selalu digunakan secara terpisah atau secara gabungan tergantung kondisi yang diinginkan dalam penentuan aturan pengisian tempat.

$\color{blue}\textrm{B. 1 Kaidah Perkalian}$

$\begin{cases} \color{red}\Rightarrow &\begin{array}{|c|}\hline \textrm{Kaidah Perkalian}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Jika percobaan 1 mendapat hasil}\: \: m,\\ & \textrm{percobaan 2 mendapatkan hasil}\: n,\\ & \textrm{maka jika percobaan 1 dan 2 dilakukan},\\ &\textrm{maka akan mendapatkan hasil} \: \: m \times n \\ &\textrm{kemungkinan} \end{aligned}\\\hline \end{array} \\\\\\ \color{blue}\Rightarrow &\begin{array}{|c|}\hline \textrm{Kaidah Penjumlah}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Jika percobaan 1 mendapat hasil}\: \: m,\\ & \textrm{percobaan 2 mendapatkan hasil}\: \: n,\\ & \textrm{maka jika hanya}\: \: \color{magenta}\textbf{satu percobaan}\: \: \color{black}\textrm{saja}\\ & \textrm{yang dilakukan (percobaan 1 atau percobaan 2)},\\ & \textrm{maka akan mendapatkan hasil}\: \: m + n\\ & \textrm{kemungkinan} \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{cases}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sekumpulan pelajar terdiri dari 5 anak putra}\\ & \textrm{dan 4 anak putri. Tentukanlah jumlah cara memilih}\\ & \textrm{satu orang wakil siswa dan satu orang wakil siswi}?\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{ada 5 kemungkinan memilih seorang wakil siswa}\\ & \textrm{dan ada 4 kemungkinan memilih wakil siswi}.\\ & \textrm{Jika 2 orang wakil harus dipilih yang terdiri}\\ & \textrm{dari 1 siswa dan 1 siswi, maka jumlah}\\ & \textrm{kemungkinan perwakilan tersebut adalah yang}\\ & \textrm{dapat dipilih adalah 5 x 4 = 20 cara} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah ruang sampel dan banyaknya}\\ &\textrm{anggota untuk percobaan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{melambungkan sebuah koin sebanyak 3 kali}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{melambungkan dua buah dadu sebanyak sekali}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Jika S adalah ruang sampel dan n(S) adalah}\\ &\textrm{banyak anggota ruang sampel, maka}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{karena muka koin ada 2, maka n(S)}\\ &\qquad n(S)=2\times 2\times 2=2^{3}=8\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{karena muka dadu ada 6, maka n(S)}\\ &\qquad n(S)=6\times 6=6^{2}=36\\ &\textrm{Dan berikut ilustrasi untuk seluruh ruang}\\ &\color{red}\textrm{sampelnya untuk kedua kasus di atas}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{a}&\textrm{b}\\\hline \left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A&=AAA\\ \\ G&=AAG \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A&=AGA\\ \\ G&=AGG \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A&=GAA\\ \\ G&=GAG \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A&=GGA\\ \\ G&=GGG \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. &\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \setminus&1&2&3&4&5&6\\\hline 1&(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\\hline 2&(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\\hline 3&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\\hline 4&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)\\\hline 5&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&(5,6)\\\hline 6&(6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4)&(6,5)&(6,6)\\\hline \end{array} \\\hline \textrm{n}(\textrm{S})=8&\textrm{n}(\textrm{S})=36\\\hline \end{array} \end{array}$

Catatan :

Sebuah koin di lempar 3 kali sama dengan hasilnya untuk ruang sampel 3 buah koin dilempar sekali. Demikian juga sebuah dadu diundi 2 kali akan sama hasilnya dengan 2 buah dadi diundi sekali.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Sekumpulan pelajar terdiri dari 5 anak putra dan}\\ & \textrm{4 anak putri. Tentukanlah jumlah cara memilih satu}\\ & \textrm{orang wakil pelajar tersebut(tidak masalah putra atau putri)}?\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{ada 5 kemungkinan memilih seorang wakil siswa dan}\\ &\textrm{ada 4 kemungkinan memilih wakil siswi. Jika}\\ &\textrm{hanya 1 orang wakil yang harus dipilih}\\ & \textrm{(tidak peduli putra atau putri)},\\ & \textrm{maka banyak cara memilih adalah 5 + 4 = 9 cara} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Sebuah bilangan dibentuk dari angka-angka}\\ & \textrm{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Jika pengulangan} \\ &\textrm{tidak diperbolehkan, tentukan banyaknya bilangan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{yang terdiri dari 1 angka dan kurang dari 5}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{yang terdiri dari 2 angka dan kurang dari 50}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{yang terdiri dari 3 angka dan kurang dari 500}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{yang terdiri dari 4 angka dan kurang dari 5000}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{yang terdiri dari 5 angka dan kurang dari 50000}\\ &\textrm{f}.\quad \textrm{yang terdiri dari 6 angka dan kurang dari 500000 dan habis dibagi 5}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{jelas ada 4 angka yang memenuhi, yaitu: 1, 2, 3, dan 4}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{2 angka misalkan AB, posisi A dapat diisi dengan 4 cara dan posisi B dapat}\\ &\qquad \textrm{diisi dengan 8 cara, karena setelah diisikan ke A angka tinggal 8 buah dan}\\ &\qquad \textrm{semuanya memiliki kesempatan yang sama untuk diisikan ke B}.\\ &\qquad \textrm{sehingga AB dapat diisi dengan 4 x 8 = 32 cara}.\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{3 angka misalkan ABC, posisi A dapat diisi dengan 4 cara, posisi B dapat}\\ &\qquad \textrm{diisi dengan 8 cara, dan posisi C dapat diisi dengan 7 cara}.\\ &\qquad \textrm{sehingga ABC dapat diisi dengan 4 x 8 x 7 = 224 cara}.\\ &\\ &\textrm{Untuk jawaban d, e, dan f silahkan dicoba sendiri sebagai latihan} \end{array}$

Aturan Pencacahan (Kelas XII Matematika Wajib)

$\color{blue}\textrm{A. Pendahuluan}$

$\color{blue}\textrm{A. 1 Kombinatorial}$

Dalam matematika ada cabang ilmu yang mengkhususkan mempelajari tentang pengaturan objek-objek. Cabang matematika ini selanjutnya dinamakan Kombinatorial. Hasil dari mempelajari bagian ini adalah diperoleh jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya.

Sebagai contoh nomor plat mobil di negara X terdiri atas 4 angka diikuti dengan 2 huruf. Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat mobil yang dapat dibuat?

Sebagai contoh yang lain sandi-lewat (password) sistem komputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter sendiri boleh berupa angka atau huruf, dengan huruf besar maupun huruf kecil tidak dibedakan. Berapa banyak sandi-lewat (password) yang dapat dibuat?

$\color{blue}\textrm{A. 2 Percobaan}$

Hasil dari Kombinatorial ini diperoleh dari percobaan(experiment). Percobaan dalam pengertian di sini adalah Proses yang berupa tindakan yang dapat diamati. Sebagai misal dalam percobaan melempar sebuah dadu, maka hasil yang mungkin adalah munculnya salah satu muka dadu yang enam, yaitu: 1,2,3,4,5, dan 6. Setiap kali kita melempar dapat dipastikan salah satu muka dadu akan muncul

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Pada saat melempar sebuah koin, maka akan}\\ &\textrm{didapatkan 2 kemungkinan, yaitu muka}\\ &\textrm{gambar (G) atau muka angka (A)}\\ 2.&\textrm{Ketika melempar dua koin sekaligus, maka }\\ &\textrm{akan didapatkan kemungkinan 4 muka koin}\\ &\textrm{4 kemungkinan itu yaitu: AA, AG, GA, dan GG}\\ 3.&\textrm{Selanjutnya saat kita melempar 3 koin sekaligus}\\ &\textrm{maka kita akan mendapatkan 8 kemungkinan}\\ &\textrm{muka koin, yaitu}:\\ &\textrm{AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA,}\\ &\textrm{dan GGG}\\ 4.&\textrm{Contoh yang lain saat kita melempar dua buah}\\ &\textrm{dadu, maka kita akan mendapatkan 36 kemungkinan}\\ &\textrm{muka dadu} \end{array}$

Untuk uraian contoh pada no.3 dan 4 disertakan tabel berikut

$\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{3}&\textrm{4}\\\hline \color{red}\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A&=AAA\\ \\ G&=AAG \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A&=AGA\\ \\ G&=AGG \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A&=GAA\\ \\ G&=GAG \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A&=GGA\\ \\ G&=GGG \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. &\color{blue}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \setminus&1&2&3&4&5&6\\\hline 1&(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\\hline 2&(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\\hline 3&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\\hline 4&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)\\\hline 5&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&(5,6)\\\hline 6&(6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4)&(6,5)&(6,6)\\\hline \end{array} \\\hline \textrm{n}(\textrm{S})=8&\textrm{n}(\textrm{S})=36\\\hline \end{array}$

Sebagai catatan kemungkinan-kemungkinan yang muncul dalam setaip tindakan pada 4 contoh di atas selanjutnya akan disebut sebagai titik sampel.

DAFTAR PUSTAKA

Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Bandung: IMFORMATIKA.

Contoh Soal Vektor di Dimensi Dua (Matematika Peminatan Kelas X) Bagian 1

Perhatikanlah gambar berikut untuk menjawab soal no.1

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika}\: \: \overline{XW}=\textbf{a}\: ,\: \overline{XY}=\textbf{b}\: ,\: \textrm{dan}\: \: \overline{YZ}=\textbf{c}\\ &\textrm{Nyatakan dalam vektor},\: \textbf{a},\: \textbf{b},\: \&\: \: \textbf{c}\\ &\textrm{untuk vektor-vektor berikut}\\ &\textrm{a}.\quad\overline{WY}\qquad\qquad\qquad \textrm{d}.\quad\overline{WZ}\\ &\textrm{b}. \quad\overline{XZ}\qquad\qquad\qquad \: \textrm{e}.\quad\overline{WM}\\ &\textrm{c}.\quad\overline{ZX}\qquad\qquad\qquad \: \: \textrm{f}.\quad\overline{MY}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\begin{aligned}\textrm{a}.\quad\overline{WY}&=\overline{WX}+\overline{XY}=\textbf{a}+\textbf{b}\\ \textrm{b}.\quad\overline{XZ}&=\overline{XY}+\overline{YZ}=\textbf{b}+\textbf{c}\\ \textrm{c}.\quad\overline{ZX}&=\overline{ZY}+\overline{YX}=-\textbf{c}+(-\textbf{b})=-\textbf{b}-\textbf{c}\\ &=-(\textbf{b}+\textbf{c})\\ &\textrm{atau}\\ \overline{ZX}&=-\overline{XZ}=-(\textbf{b}+\textbf{c})\\ \textrm{d}.\quad \overline{WZ}&=\overline{WX}+\overline{XY}+\overline{YZ}\\ &=\textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c}\\ \textrm{e}.\quad \overline{WM}&=\displaystyle \frac{1}{2}\overline{WZ}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c} \right )\\ \textrm{f}.\quad \overline{MY}&=\overline{MZ}+\overline{ZY}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\overline{WZ}+\overline{ZY}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c} \right )+(-\textbf{c})\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c} \right )-\textbf{c}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \textbf{a}+\textbf{b}-\textbf{c} \right )\end{aligned} \end{array}$

Perhatikanlah gambar berikut untuk menjawab soal no.2

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: \overline{PQ}=\textbf{a}\: ,\: \overline{QR}=\textbf{b}\: ,\: \textrm{dan}\: \: \overline{RS}=\textbf{c}\\ &\textrm{dan titik}\: \: \textbf{E}\: \: \textrm{dan}\: \: \textbf{F}\: \: \textrm{adalah titik tegah}\\ &\overline{RS}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{QS},\\ &\textrm{nyatakanlah dalam vektor},\: \textbf{a},\: \textbf{b},\: \&\: \: \textbf{c}\\ &\textrm{untuk vektor-vektor berikut}\\ &\textrm{a}.\quad\overline{PR}\qquad\qquad\qquad \textrm{e}.\quad\overline{PF}\\ &\textrm{b}. \quad\overline{RP}\qquad\qquad\qquad \textrm{f}.\quad\overline{SF}\\ &\textrm{c}.\quad\overline{PS}\qquad\qquad\qquad \: \textrm{g}.\quad\overline{FR}\\ &\textrm{d}.\quad\overline{QE}\qquad\qquad\qquad \textrm{h}.\quad\overline{EF}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\begin{aligned}\textrm{a}.\quad\overline{PR}&=\overline{PQ}+\overline{QR}=\textbf{a}+\textbf{b}\\ \textrm{b}.\quad\overline{RP}&=\overline{RQ}+\overline{QP}=-\textbf{b}-\textbf{a}=-\left ( \textbf{a}+\textbf{b} \right )\\ \textrm{c}.\quad\overline{PS}&=\overline{PQ}+\overline{QR}+\overline{RS}=\textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c}\\ \textrm{d}.\quad \overline{QE}&=\overline{QR}+\overline{RE}=\overline{QR}+\displaystyle \frac{1}{2}\overline{RS}\\ &=\textbf{b}+\displaystyle \frac{1}{2}\textbf{c}\\ \textrm{e}.\quad \overline{PF}&=\overline{PQ}+\overline{QF}=\overline{PQ}+\displaystyle \frac{1}{2}\overline{QS}\\ &=\overline{PQ}+\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \overline{QR}+\overline{RS} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 2\textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c} \right )\\ \textrm{f}.\quad \overline{SF}&=\displaystyle \frac{1}{2}\overline{SQ}=\displaystyle \frac{1}{2}\left (\overline{SR}+\overline{RQ} \right )=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( -\textbf{c}+(-\textbf{b}) \right )\\ &=-\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \textbf{b}+\textbf{c} \right )\\ \textrm{g}.\quad \overline{FR}&=\overline{FQ}+\overline{QR}=\displaystyle \frac{1}{2}\overline{SQ}+\overline{QR}\\ &=-\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \textbf{b}+\textbf{c} \right )+\textbf{b}=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \textbf{b}-\textbf{c} \right )\\ \textrm{h}.\quad \overline{EF}&=\overline{ES}+\overline{SF}=\displaystyle \frac{1}{2}\overline{RS}+\displaystyle \frac{1}{2}\overline{SQ}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\textbf{c}+\left ( -\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \textbf{b}+\textbf{c} \right ) \right )=-\displaystyle \frac{1}{2}\textbf{b} \end{aligned} \end{array}$

$\color{red}\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Perhatikanlah gambar berikut} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ .\quad&\textrm{Jika pada titik P bekerja 3 buah gaya}\\ &\textrm{seperti pada gambar di bawah, lukislah}\\ &\textrm{vektor}\\ &\qquad\qquad \textbf{r}=\textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Dengan aturan poligon kita akan}\\ &\textrm{mendapatkan gambar berikut} \end{array}$

Polinom / Suku Banyak (Matematika Peminatan Kelas XI)

$\color{blue}\textrm{A. Pendahuluan}$

Polinom disebut juga suku banyak. Polinom atau suku banyak adalah suatu bentuk variabel yang berpangkat/berderajat.

Secara definisi suku banyak (polinomial) dalam $x$ berderajat $n$ adalah:

Suatu bentuk

$\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}$

dengan $n$ bilangan cacah serta $a_{0},\: a_{1},\: a_{2},\: ...,\: a_{n}$ koefisien dari suku $x$ dan $a_{n}\neq 0$ dengan $a_{0}$ sebagai suku tetap (konstan)nya.

Selanjutnya perhatikanlah tabel berikut!

$\color{purple}\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}a_{n}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{n}\\ a_{n-1}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{n-1}\\ a_{n-2}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{n-2}\\ \vdots &\\ a_{2}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{2}\\ a_{1}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{1}\\ a_{0}&\: \: \textrm{adalah konstanta} \\ &(\textrm{suku tetap}) \end{aligned}&\begin{aligned}a_{n}\: &\: \neq 0\\ n:&\: \: \textrm{bilangan cacah},\\ :&\: \: \textrm{adalah derajat (pangkat)} \\ &\: \: \textrm{tertinggi dalam suku} \\ &\: \: \textrm{banyak tersebut}&\\ &\\ &\\ &\end{aligned}\\\hline \end{array}$

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL 1}$

$\begin{aligned}1.\quad&\textrm{Polinom}\: \: \color{red}2x^{3}-6x^{2}+2020\: \: \color{black}\textrm{dapat dinyatakan}\\ &\textrm{dengan}\: \: \: \color{blue}2x^{3}-6x^{2}+0x^{1}+2020x^{0}\\ &\textrm{Polinom tersebut memiliki suku tetap}\: \: 2020\\ 2.\quad&\textrm{Polinom}\: \: \color{red}5x^{4}-8x^{3}+6x-2021 \: \: \color{black}\textrm{dapat dinyatakan}\\ &\textrm{dengan}\: \: \: \color{blue}5x^{4}-8x^{3}+0x^{2}+6x^{1}-2021x^{0}\\ &\textrm{Polinom tersebut memiliki suku tetap}\: \: -2021\\ 3.\quad&\textrm{Polinom}\: \: \color{red}x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-2\sqrt{x}+1 \: \: \color{black}\textrm{tidak dapat}\\ &\textrm{dinamakan polinom, sebab ada variabel dari}\: \: \: \color{blue}x\\ &\textrm{yang berderajat bukan bilangan cacah}\\ 4.\quad&\textrm{Sedangkan polinom}\: \: \color{red}5-x+(2-x)(1+x+x^{2})\\ &\textrm{adalah bentuk polinom, karena dapat dinayatakan}\\ &\textrm{dengan}\: \: \: \color{blue}-x^{3}+x^{2}+7 \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{B. Nilai Polinom}$

Polinom atau suku banyak yang berderajat $\color{red}n$ yang selanjutnya dinyatakan dengan

$f(x)=\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{1}x^{1}+a_{0}$

Berkaitan dengan kebutuhan penentuan nilai ini, dapat ditentukan dengan dua cara:

$\textbf{a. Substitusi}$

$\begin{aligned}&\textrm{Nilai suku banyak}\: \: \color{red}f(x)\: \: \textrm{berderajat}\\ &n\: \: \textrm{saat}\: \: \color{red}x = k\: \: \color{black}\textrm{adalah}\: \: \color{blue}f(k).\\ &\textrm{Jika}\: \: f(k)=0\: \: \textrm{maka}\: \: x = k\: \: \textrm{akar dari}\: \: f(x),\\ &\textrm{dan}\: \: (x-k)\: \: \textrm{faktor dari}\: \: f(x)\\ &\end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL 2}$

Jika suatu polinom dinyatakan dengan $f(x)$, maka nilai polinom itu untuk $x=3$ adalah $f(3)$.

Misalkan diketahui

$\begin{aligned}1.\quad f(x)&=x^{3}-1\\ \textrm{mak}&\textrm{a}\\ f(1)&=1^{3}-1=1-1=0\\ f(3)&=3^{3}-1=27-1=26\\ f(-4)&=(-4)^{2}-1=-64-1=-65 \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui}\: \: h(x)=2x^{3}+5x^{2}-12x-6\\ &\textrm{Tentukanlah nilai untuk}\: \: h(-2),\: h(-1),\\ &h(0),\: h(1),\: \: \textrm{dan}\: \: h(2)\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|c|l|}\hline \color{red}x=k&\color{red}h(k)&\qquad\qquad\qquad\qquad\color{red}\textrm{Nilai}\\\hline x=-2&h(-2)&\begin{aligned}h(-2)&=2(-2)^{3}+5(-2)^{2}-12(-2)-6\\ &=-16+20+24-6\\ &=22 \end{aligned}\\\hline x=-1&h(-1)&\begin{aligned}h(-1)&=2(-1)^{3}+5(-1)^{2}-12(-1)-6\\ &=-2+5+12-6\\ &=9 \end{aligned}\\\hline x=0&h(0)&\begin{aligned}h(0)&=2(0)^{3}+5(0)^{2}-12(0)-6\\ &=-6 \end{aligned}\\\hline x=1&h(1)&\begin{aligned}h(1)&=2(1)^{3}+5(1)^{2}-12(1)-6\\ &=2+5-12-6\\ &=-11 \end{aligned}\\\hline x=2&h(2)&\begin{aligned}h(2)&=2(2)^{3}+5(2)^{2}-12(2)-6\\ &=16+20-24-6\\ &=6 \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Diketahui}\: \: p(x)=x-2019\\ &\textrm{dan}\: \: q(x)=x^{2019}+1.\: \textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{nilai untuk}\: \: p\left ( q(2) \right )\: \: \textrm{dan}\: \: q\left ( p(2) \right )\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Yang dibahas yang bagian}\: \: p\left ( q(2) \right )\\ &q(2)=2^{2019}+1,\: \textrm{maka nilai}\\ &\begin{aligned}p\left ( q(2) \right )&=\left ( 2^{2019}+1 \right )-2019\\ &=2^{2019}-2018 \end{aligned}\\\\ &\textrm{Untuk yang}\: \: q\left ( p(2) \right )\: \: \textrm{adalah}\\ &p(2)=\cdots , \: \textrm{maka nilai}\\ &\begin{aligned}q\left ( p(2) \right )&=\because \cdots ^{2019}+1\\ &=\cdots \end{aligned} \end{array}$

$\textbf{b. Horner/Sintetik}$

Nilai suatu polinom dapat ditentukan dengan pembagian sintesis Horner

Misalkan:

$\begin{aligned}f(x)&=\color{blue}ax^{3}+bx^{2}+cx+d\: \: \color{black}\textrm{saat akan dibagi}\\ &\color{red}x=h,\: \: \color{black}\textrm{maka pembagian Horner itu}:\\ & \end{aligned}$

Perhatikan bahwa proses ke bawah adalah berup proses penjumlahan.

Proses di atas akan sama saat kita mensubstitusikan $\color{red}x=h$ ke dalam $\color{red}f(x)$, yaitu:

$\begin{aligned}f(x)&=\color{blue}ax^{3}+bx^{2}+cx+d\: \: \textrm{saat}\\ &\color{red}x=h,\: \: \color{black}\textrm{maka}\\ f(\color{red}h\color{black})&=a\color{red}h^{3}\color{black}+b\color{red}h^{2}\color{black}+c\color{red}h\color{black}+d\\ &\\ &\textbf{Cukup JELAS bukan}? \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL 3}$

$\begin{array}{l}\\ \textrm{Tentukanlah nilai dari}\: \: f(4)\: \: \textrm{jika}\\ \textrm{diketahui}\: \: f(x)=x^{3}-x-5\\ \textrm{Jawab}:\\ \begin{aligned}(1).\quad&\textrm{Cara substitusi langsung}\\ &f(x)=x^{3}-x-5\\ &f(4)=\color{red}4^{3}-4-5\\ &\qquad=\color{red}64-9=\color{blue}55\\ (2).\quad&\textrm{Cara Horner}\\ &\textrm{Karena}\: \: f(x)=x^{3}-x-5\\ &\textrm{dan koefisiennya yang akan}\\ &\textrm{adalah}:\\ & a_{3}=1,\: a_{2}=0,\: a_{1}=-1,\: \&\: a_{0}=-5\\ &\textbf{maka bagan pembagian Hornernya}\\ &\begin{array}{ll|llllllllll}\\ &\color{red}x=4&1&\color{blue}0&\color{magenta}-1&-5&\\ &&&&&&\\ &&&\color{blue}4&\color{magenta}16&60&+\\\hline &&1&\color{blue}4&\color{magenta}15&55 \end{array} \end{aligned} \end{array}$

Lanjutan Materi Vektor Di Ruang Dimensi Dua (Matematika Peminatan Kelas X)

$\color{blue}\textrm{E. Modulus Vektor}$

Modulus suatu vektor adalah ukuran (panjang) suatu vektor. Dalam hal ini modulus suatu vektor adalah besar/panjang suatu vektor.

Lihat pada pembahasan sebelumnya tentang panjang vektor di $\color{red}\textrm{R}^{2}$ di sini.

Dalam menuliskan modulus/panjang vektor ini digunakan notasi $\left | \overline{a} \right |$ jika vektornya $\overline{a}$.

Bila $\color{red}\overline{a}=\begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{pmatrix},\: \: \color{black}\textrm{maka}\: \: \color{red}\left | \overline{a} \right |=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}$

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

Tentukanlah modulus/panjang vektor $\overline{u}$ ?

Jawab:

$\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa vektor}\: \: \color{red}\overline{u}=\begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka modulus vektor}\: \: \overline{u}\\ &=\left | \overline{u} \right |\\ &=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}\\ &=\color{red}2\sqrt{13} \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{F. Vektor Posisi dan Vektor Bebas}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Vektor yang titik pangkalnya berada di titik O(0,0), maka vektor tersebut dinamakan vektor posisi. Pada gambar di atas titik A rekatif terhadapa O(0,0), maka $\color{red}\overline{OA}$ disebut vektor posisi A terhadap titik O(0,0) dan vektor yang lainnya dinamakan vektor bebas. Pada gambar di atas $\color{red}\overline{BC}\: \&\: \overline{DF}$ adalah contoh vektor bebasnya.

$\color{blue}\textrm{G. Kesamaan Dua Vektor}$

Perhatikanlah dua vektor bebas pada gambar di atas, cukup jelas secara geometri tampak panjang vektor $\color{red}\overline{BC}\: \&\: \overline{DF}$ sama. Dan secara aljabar dapat ditunjukkan juga bahwa:

$\color{red}\overline{BC}=\begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix}\: \&\: \color{red}\overline{DF}=\begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix}$

Secara definisi

$\overline{a}=\overline{b}\: \: \begin{cases} \bullet & \left | \overline{a} \right |=\left | \overline{b} \right | \\\\ \bullet & \textrm{arah}\: \: \overline{a}=\textrm{arah}\: \: \overline{b} \end{cases}$

$\color{blue}\textrm{H. Vektor Negatif}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

$\color{red}\overline{a}=\begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix}\: \color{black}\&\: \: \color{red}\overline{b}=\color{black}\begin{pmatrix} -4\\ -6 \end{pmatrix}=-\color{red}\begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix}$

Vektor $\color{red}-\: \overline{a}=\overline{b}$ memiliki ukuran yang sama dengan $\overline{a}$.

Selanjutnya vektor $\color{red}\overline{a}=-\: \overline{b}\: \: \color{black}\textrm{maka}\: \: \color{red}\left | \overline{a} \right |=\left | \overline{b} \right |$

$\color{blue}\textrm{I. Vektor Satuan}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Jika diketahui $\color{red}\overline{a}\: \color{black}\&\: \: \color{red}\overline{b}$ seperti gambar di atas, maka

$\begin{cases} \color{red}\displaystyle \frac{\overline{a}}{\left | \overline{a} \right |} & \color{black}\textrm{adalah vektor satuan dari vektor}\: \: \: \color{red}\overline{a} \\\\ \color{red}\displaystyle \frac{\overline{b}}{\left | \overline{b} \right |} & \color{black}\textrm{adalah vektor satuan dari vektor}\: \: \: \color{red}\overline{b} \end{cases}$

Dan panjang dari vektor satuan ini adalah selalu satu satuan.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$

Tentukanlah vektor satuan dari dua vektor pada gambar di atas?

Jawab:

$\begin{cases} \color{red}\displaystyle \frac{\overline{a}}{\left | \overline{a} \right |} & \color{black}=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} -2\\ 5 \end{pmatrix}}{\sqrt{(-2)^{2}+5^{2}}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{29}}\begin{pmatrix} -2\\ 5 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{1}{29}\sqrt{29}\begin{pmatrix} -2\\ 5 \end{pmatrix} \\\\ \color{red}\displaystyle \frac{\overline{b}}{\left | \overline{b} \right |} & \color{black}=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 6\\ 4 \end{pmatrix}}{\sqrt{6^{2}+4^{2}}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{52}}\begin{pmatrix} 6\\ 4 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{1}{26}\sqrt{52}\begin{pmatrix} 6\\ 4 \end{pmatrix} \end{cases}$

$\color{blue}\textrm{J. Vektor Basis}$

Vektor satuan yang saling tegak lurus. Didalam ruang dimensi dua terdapat dua vektir basis., yaitu:

$\bar{i}=\color{red}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\: \: \color{black}\textrm{dan}\: \: \bar{j}=\color{blue}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan vektor}\: \: \bar{u}=\color{red}\begin{pmatrix} u_{1}\\ u_{2} \end{pmatrix}\\ &\textrm{dapat dinyatakan dalam kombinasi linear}\\ &\textrm{vektor basis}\: \: \bar{i}\: \: \textrm{dan}\: \: \bar{j}\: \: \textrm{di atas, yaitu}\\ &\bar{u}=\begin{pmatrix} u_{1}\\ u_{2} \end{pmatrix}=u_{1}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}+u_{2}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka akan menjadi}\\ &\bar{u}=u_{1}\bar{i}+u_{2}\bar{j}\\ &\textrm{SEBAGAI CONTOH}\\ &\overline{AB}=\begin{pmatrix} 5\\ 8 \end{pmatrix}\: \: \color{blue}\textrm{dalam vektor basis menjadi}\\ &\overline{AB}=5\bar{i}+8\bar{j}\\ &\textrm{Demikian juga jika}\\ &\overline{CD}=\begin{pmatrix} -3\\ -8 \end{pmatrix}\: \: \color{red}\textrm{dalam vektor basis menjadi}\\ &\overline{AB}=-3\bar{i}-8\bar{j}\\ \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{K. Vektor Nol}$

Jika vektor $\overline{a}=\overline{b}$ , maka $\overline{a}-\overline{b}=0$.

$\textbf{0}$ disebut sebagai vektor ol.

Sebagai tabahan penjelasan vektor $\textbf{0}$ tidak mempunyai besar dan arahnya tak tentu.

Operasi Vektor Di Ruang Dimensi Dua (Matematika Peminatan Kelas X)

$\color{blue}\textrm{D. Operasi Vektor}$

$\color{blue}\textrm{1. Penjumlahan}$

$\color{blue}\textrm{1. 1 Secara Geometri}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Penjumlahan di atas adalah penjumlahan menurut aturan segitiga,

perhatikan pula pemisalan berikut

$\begin{aligned}&\textrm{Menurut aturan segitiga}\\ &\overline{AB}+\overline{BC}=\bar{a}+\bar{b}=\overline{AC},\quad \color{red}\textrm{Selanjutnya}\\ &\overline{AC}+\overline{CD}=\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}=\overline{AD},\quad \color{red}\textrm{maka}\\ &\overline{AD}+\overline{DE}=\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}+\bar{d}=\overline{AE} \end{aligned}$

Pada penjumlahan dengan vektor adalah tetap (tidak berubah)

$\begin{aligned} &\overline{a}+\overline{0}=\overline{0}+\overline{a}=\overline{a}\\ &\textrm{Sehingga vektor nol disebut sebagai}\\ &\color{red}\textbf{elemen identitas} \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{1. 2 Secara Aljabar}$

Misal

$\begin{aligned} &\overline{a}=\begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{b}=\begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2} \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka secara aljabar}\\ &\color{red}\overline{a}+\overline{b}=\begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_{1}+x_{2}\\ y_{1}+y_{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$

Perhatikan kembali gambar berikut (lihat pada pembahasan sebelumnya)

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$

Titik A(-3,4) , B(-2,1) , C(1,1) , D(5,4) , E(7,3) & F(3,1)

$\begin{aligned} &\overline{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{CD}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ &\color{red}\overline{AB}+\overline{CD}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+4\\ (-3)+3 \end{pmatrix}=\color{blue}\begin{pmatrix} 5\\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$

Dan untuk contoh yang lain adalah:

$\begin{aligned} &\overline{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}\: ,\: \overline{CD}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{EF}=\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ &\color{red}\overline{AB}+\overline{CD}+\overline{EF}\\ &=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1+4+(-4)\\ (-3)+3+(-2) \end{pmatrix}=\color{blue}\begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix} \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{2. Pengurangan}$

$\color{blue}\textrm{2. 1 Secara Geometri}$

Pada pengurangan vektor $\overline{a}\: \: \: \color{red}\textrm{oleh}\: \: \: \color{black}\overline{b}$ dapat didefinisikan sebagai:

$\overline{a}-\overline{b}=\overline{a}+\left ( -\overline{b} \right )$. Perhatikanlah ilustrasi secara geometri berikut:

$\color{blue}\textrm{2. 2 Secara Aljabar}$

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\: \: \: \overline{a}=\begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{b}=\begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2} \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka}\: \: -\overline{b}=\begin{pmatrix} -x_{2}\\ -y_{2} \end{pmatrix}\\ &\color{red}\textrm{Selanjutnya}\\ &\overline{a}-\overline{b}=\overline{a}+\left ( -\overline{b} \right )=\color{red}\begin{pmatrix} x_{1}-x_{2}\\ y_{1}-y_{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$

Pada contoh soal bahasan penjumlahan di atas, perhatikan lagi bahwa

Titik A(-3,4) , B(-2,1) , C(1,1) , D(5,4) , E(7,3) & F(3,1)

$\begin{aligned} &\overline{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{CD}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ &\color{red}\overline{AB}-\overline{CD}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4\\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-4\\ (-3)-3 \end{pmatrix}=\color{blue}\begin{pmatrix} -3\\ -6 \end{pmatrix} \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{3. Perkalian dengan Skalar}$

$\color{blue}\textrm{3. 1 Secara Geometri}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut!

$\color{blue}\textrm{3. 2 Secara Aljabar}$

Perkalian suatu skalar dengan suatu vektor tergantung pada skalarnya. Jika suatu skalar k dengan $\color{red}k>0$, maka perkalian ini akan menghasilkan vektor baru yang besarnya sekian k kali dari vektor semula atau $\color{red}k\left | \overline{a} \right |$ dan arahnya searah dengan vektor yang dikalikan. Demikian sebaliknya, jika nilai $\color{red}k<0$, maka besar vektor hasil perkaliannya adalah $\color{red}k\left | \overline{a} \right |$ dengan arah yang berlawanan dari vektor semula.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$

Misalkan diketahui vektor-vektor sebagai berikut:

$\begin{aligned} &\overline{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}\: ,\: \overline{CD}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{EF}=\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ &\textrm{dengan muculnya skalar adalah}:\\ &\color{red}3\overline{AB}+4\overline{CD}-5\overline{EF}\\ &=3\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}+4\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}-5\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 3.1+4.4+(-5).(-4)\\ 3.(-3)+4.3+(-5).(-2) \end{pmatrix}=\color{blue}\begin{pmatrix} 39\\ 13 \end{pmatrix} \end{aligned}$

DAFTAR PUSTAKA

Kuntarti, Sulistiyono, & Kurnianingsih, S. 2005. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XII Program Ilmu Alam. Jakarta: PT. Gelora Aksara Pratama

Vektor (Matematika Peminatan Kelas X)

$\color{blue}\textrm{A. Pendahuluan}$

Vektor adalah besaran yang memiliki panjang/besar sekaligus memiliki arah. Secara geometri, vektor digambarkan dengan anak panah (ruas garis berarah) yang mana memiliki titik pangkal dan titik ujung.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Perhatikanlah vektor b pada gambar di atas. Vektor tersebut dilambangkan dengan sebuah huruf b kecil tebal yang memiliki titik pangkal pada koordinat kartesius di titik $\left ( \displaystyle -\frac{5}{2},-\frac{3}{2} \right )$ dan berujung di titik $\left ( \displaystyle -1,2 \right )$ . Selain vektor b dituliskan dengan sebuah huruf kecil tercetak tebal dapat juga dituliskan dengan sebuah huruf kecil tanpa tercetak tebal tapi diberi anak panah kecil atau ruas garis di atasnya, yaitu : $\vec{a},\: \bar{a}$.

$\color{red}\textrm{Berikut cara penulisan notasi vektor}$

Menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya ada anak panah, misalnya $\overline{PQ},\: \overline{RS},\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{AZ}$
Menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya diberikan anak panah, seperti $\overrightarrow{PQ},\: \overrightarrow{RS},\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{AZ}$
Menggunakan sebauah huruf kecil tercetak tebal seperti pembahasan sebelumnya di atas, yaitu : $\textbf{a},\: \textbf{b},\: \textbf{c},\: \textbf{d},\: \: \textrm{dan}\: \: \textbf{e}$
Menggunakan sebuah huruf kecil yang di atsnya diberikan anak panah, misalnya: $\vec{a},\: \vec{b},\: \vec{c},\: \vec{d},\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{e}$
Menggunakan sebuah huruf kecil yang bawahnya diberi garis
Menggunakan sebuah huruf kecil yang di atasnya diberi ruas garis, seperti $\bar{a},\: \bar{b},\: \bar{c},\: \bar{d},\: \: \textrm{dan}\: \: \bar{e}$

$\color{blue}\textrm{B. Vektor pada}\: \: \textrm{R}^{2}$

Vektor di $\color{blue}\textrm{R}^{2}$ adalah sebuah vektor yang diwakili oleh sebuah garis berarah dalam sebuah bidang datar atau Cartesius.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Misalkan pada salah satu vektor pada gambar di atas, ambil contoh $\overline{AB}$ . Vektor tersebut dilambangkan secara geometri dengan $\overline{AB}$ dan dibaca "vektor AB" yang berarti "vektor dari titik A ke titik B", dengan titik A sebagai titik pangkal dan B sebagai titik ujung. Sedangkan penulisan vektor secara aljabar dapat dinyatakan dalam matriks kolom atau matrik baris.

Pada $\color{blue}\textrm{R}^{2}$ (penulisan vektor pada ruang dimensi dua) penulisan vektor ini dituliskan dengan $\overline{AB}$, dengan

$\overline{AB}=\begin{pmatrix} \textrm{komponen horisontal}\\ \textrm{komponen vertikal} \end{pmatrix}$

Sehingga pada ilustrasi gambar di atas vektor-vektorya dapat dituliskan sebagai:

$\overline{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix},\: \: \overline{CD}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix},\: \: \&\: \: \overline{EF}=\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}$

atau

$\overline{AB}=\begin{bmatrix} 1, & -3 \end{bmatrix},\: \: \overline{CD}=\begin{bmatrix} 4, & 3 \end{bmatrix},\: \: \&\: \: \overline{EF}=\begin{bmatrix} -4, & -2 \end{bmatrix}$

$\color{blue}\textrm{C. Panjang Vektor}$

Panjang suatu vektor dilambangkan dengan tanda harga mutlak. Misal pada gambar di atas pada bahasan vekor di $\color{blue}\textrm{R}^{2}$, yaitu:

$\left | \overline{AB} \right |,\: \left | \overline{CD} \right |,\: \: \&\: \: \left | \overline{EF} \right |$.

Misalkan suatu vektor $\bar{u}$ dengan $\bar{u}=\begin{pmatrix} u_{1}\\ u_{2} \end{pmatrix}$, maka panjang dari vektor $\bar{u}$ ini dapat ditentukan dengan

= $\left | \bar{u} \right |=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}$.

Sehingga pada gambar di atas, panjang/besar vektornya dapat kita tentukan, yaitu:

$\begin{aligned}\bullet \: \left | \overline{AB} \right |&=\color{red}\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{1+9}\\ &=\sqrt{10}\\ \bullet \: \left | \overline{CD} \right |&=\color{red}\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}\\ &=\sqrt{25}=5\\ \bullet \: \left | \overline{EF} \right |&=\color{red}\sqrt{(-4)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16+4}\\ &=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \end{aligned}$

Fungsi (Matematika Wajib Kelas X)

$\color{blue}\textrm{A. Pendahuluan}$

$\begin{aligned}&\\\textrm{Fungsi}\: &\textrm{atau pemetaan dari A ke B adalah}\\ &\textrm{suatu relasi khusus yang memasangkan}\\ &\textrm{setiap} \: \: x\in A\: \: \textrm{ke tepat satu}\: \: y\in B.\\ & \end{aligned}$

$\color{red}\begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Notasi}&\color{black}f:x \rightarrow y\: \: \: \color{red}\textrm{atau}\: \: \: \color{black}f:x \rightarrow f(x) \\\hline \textrm{Dibaca}&\textrm{fungsi}\: \: \color{black}f\: \: \color{red}\textrm{memetakan}\: \: \color{black}x\in A\: \: \color{red}\textrm{ke}\: \: \color{black}y\in B\\\hline \: \: \: \: \color{black}A&\textrm{Domain atau daerah asal fungsi atau}\quad \color{black}D_{f}\\\hline \: \: \: \: \, \color{black}x&\textrm{prapeta(sebelum dipetakan)}\\\hline \: \: \: \: \color{black}B&\textrm{Kodomain atau daerah kawan fungsi atau}\quad \color{black}K_{f}\\\hline \: \: \: \: \, \color{black}y&\textrm{peta(bayangan dari prapeta) adalah Range}\\ &\textrm{atau}\quad \color{black}R_{f}\\\hline \end{array}$

Sebagai ilustrasi perhatikanlah gambar berikut!

Sebagai misal, diberikan

$\begin{aligned}&\LARGE\boxed{f:x\rightarrow f(x)=3x+2}\\ &\textit{dibaca}:\\ &\color{red}\textrm{sebuah fungsi}\: \: f\: \: \textrm{memetakan}\: \: x\: \: ke\: \: 3x+2 \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{B. Sifat-Sifat Fungsi}$

$\color{purple}\begin{array}{|c|c|l|}\hline \textrm{Injektif}&\textrm{Surjektif}&\qquad\qquad\textrm{Bijektif}\\ (\textrm{satu-satu})&(\textrm{pada})&(\textrm{korespondensi satu-satu})\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Jika setiap anggota}\\ &\textrm{himpunan A memiliki}\\ &\textrm{bayangan berbeda di}\\ &\textrm{himpunan B} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Jika setiap anggota}\\ &\textrm{himpunan di B}\\ &\textrm{mempunyai prapeta}\\ &\textrm{di himpunan A} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Jika fungsi yang injektif}\\ &\textrm{sekaligus juga surjektif}\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}$

$\color{blue}\textrm{C. Operasi Aljabar Fungsi}$

$\color{purple}\begin{array}{|l|l|}\hline \qquad\color{black}\textrm{Aljabar Fungsi}&\quad\color{black}\textrm{Daerah Asal}\\\hline (f+g)(x)=f(x)+g(x)&D_{_{(f+g)}}=D_{_{f}}\cap D_{_{g}}\\\hline (f-g)(x)=f(x)-g(x)&D_{_{(f-g)}}=D_{_{f}}\cap D_{_{g}}\\\hline (f.g)(x)=f(x).g(x)&D_{_{(f.g)}}=D_{_{f}}\cap D_{_{g}}\\\hline \left ( \displaystyle \frac{f}{g} \right )(x)=\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}&D_{_{\left ( \frac{f}{g} \right )}}=D_{_{f}}\cap D_{_{g}}\: , \\ &\textrm{dengan}\: \: g(x)\neq 0 \\\hline \end{array}$

$\color{blue}\textrm{D. Macam-Macam Fungsi}$

$\color{purple}\begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Fungsi Konstan}&\textrm{Berupa konstanta}\\ &f(x)=c\\\hline \textrm{Fungsi Identitas}&\textrm{Nilainya dirinya sendiri}\\ &f(x)=x\\\hline \textrm{Fungsi linear}&\textrm{Fungsi berupa garis lurus}\\ &f(x)=ax+b\\\hline \textrm{Fungsi Kuadrat}&\textrm{Fungsi Kuadrat/parabola}\\ &f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0\\\hline \textrm{Fungsi Rasional}&\textrm{Fungsi Pecahan}\\ &f(x)=\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}\\\hline \textrm{Fungsi Khusus 1}&\textrm{Fungsi Modulus(nilai mutlak)}\\ &f(x)=\left | x \right |\\\hline \textrm{Fungsi Khusus 2} &\textrm{Fungsi tangga}\\ &f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor\\\hline \textrm{Fungsi Khusus 3}&\textrm{Fungsi genap dan ganjil}\\ &\begin{cases} \textrm{Fungsi ganjil} & f(-x)=-f(x) \\ \textrm{Fungsi genap} & f(-x)=f(x) \end{cases}\\\hline \end{array}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui 2 humpuan sebagai berikut}:\\ &\begin{cases} \textrm{P} & =\left \{ -2,-1,0,1,2 \right \} \\ \textrm{Q} & =\left \{ 0,1,2,5,7 \right \} \end{cases}\\ &\textrm{Di antara relasi dari P ke Q berikut manakah }\\ &\textrm{yang merupakan fungsi}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{A}=\left \{ (-2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0) \right \}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{B}=\left \{ (-2,1),(-1,2),(0,5),(1,7),(-2,2) \right \}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{C}=\left \{ (-2,0),(-1,1),(0,2),(1,5),(2,7) \right \}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Semuanya Fungsi kecuali}\textbf{ poin b)} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Relasi berikut yang merupakan fungsi adalah}.... \end{array}$

$.\qquad \begin{array}{|c|l|l|}\hline \textrm{Poin}&\textrm{Jenis}&\textrm{Keterangan}\\\hline \textrm{a}&\textrm{Fungsi}&\begin{aligned}&\textrm{Sesuai definisi}\\ \end{aligned}\\ &&\begin{aligned}&\textrm{yaitu}:\\ &\textrm{Setiap prepeta}\\ &\textrm{(anggota himpunan A) }\\ &\textrm{memiliki peta di }\\ &\textrm{himpunan B tepat satu}.\\ &\color{blue}\textrm{Tetapi}\\ &\color{blue}\textrm{bukan fungsi injektif}\\ &\color{red}\textrm{bukan pula fungsi}\\ &\color{red}\textrm{surjektif} \end{aligned}\\\hline \textrm{b}&\textrm{Fungsi}&\textrm{Sama di atas}\\\hline \textrm{c}&\textrm{Bukan Fungsi}&\textrm{Tidak sesuai definisi}\\ &&\color{red}\textrm{hanya relasi saja}\\\hline \textrm{d}&\textrm{Fungsi}&\textrm{Sesuai definisi}\\ &&\color{blue}(\textrm{Fungsi bijektif})\\\hline \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah daerah asal dari fungsi beberapa berikut}:\\ &\begin{array}{lllllllll}\\ \textrm{a}.&f(x)=x-3&\textrm{g}.&f(x)=\displaystyle \frac{\left | x \right |}{x}\\ \textrm{b}.&f(x)=\displaystyle \frac{6}{x^{2}-2x-8}&\textrm{h}.&f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor \\ \textrm{c}.&f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}-3x}{x^{2}-2x-15}&\textrm{i}.&f(x)=\left | x \right |+\left \lfloor x \right \rfloor\\ \textrm{d}.&y+2=x^{2}-5x+5&\textrm{j}.&f(x)=\sqrt{x^{2}-16}\\ \textrm{e}.&f(x)=\left | x-3 \right |&\textrm{k}.&f(x)=\sqrt{2x^{2}-50}\\ \textrm{f}.&f(x)=3-\left | 2x-1 \right |&\textrm{l}.&f(x)=\displaystyle \frac{2\sqrt{x}}{x-3} \end{array}\\\\ \end{array}$.

$.\qquad \begin{aligned}&\textrm{catatan}\: \: \left \lfloor x \right \rfloor\: \: \textrm{adalah }\\ &\textrm{bulat terbesar atau sama dengan}\: \: x \end{aligned}$.

$.\qquad \color{blue}\textrm{Jawab}$.

$.\qquad \begin{array}{|c|c|}\hline (\textrm{a})&(\textrm{b})\\\hline \begin{aligned}f(x)&=x-3\\ \textrm{selu}&\textrm{ruh bilangan real}\\ &x\: \: \textrm{akan terdefinisi}\\ &\textrm{atau tetap bernilai}\\ &\textrm{real}\\ \textrm{sehi}&\textrm{ngga},\\ D_{f}&=\left \{ x|x\in \mathbb{R} \right \}\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}f(x)&=\displaystyle \frac{6}{x^{2}-2x-8}\\ \textrm{terd}&\textrm{efinisi ketika}\\ &\textrm{penyebut tidak sama}\\ &\textrm{dengan}\: \: 0, \: \: \textrm{yaitu}:\\ &\begin{aligned}x^{2}-2x-8&\neq 0\\ (x-4)(x+2)&\neq 0\\ x\neq 4\: \: \textrm{dan}\: \: x&\neq -2 \end{aligned}\\ D_{f}&=\left \{ x|x\in \mathbb{R},\: x\neq 4\: \: \textrm{dan}\: \: x\neq -2 \right \} \end{aligned}\\\hline \end{array}$

$.\qquad \begin{array}{|c|c|}\hline (\textrm{d})&(\textrm{e})\\\hline \begin{aligned}&y+2=x^{2}-5x+5\\ &y=x^{2}-5x+5-2\\ &f(x)=x^{2}-5x+3\\ &\textrm{Sehingga daerah}\\ &\textrm{asalnya}\\ &D_{f}=\left \{ x|x\in \mathbb{R} \right \}\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}f(x)&=\left | x-3 \right |\\ D_{f}&=\left \{ x|x\in \mathbb{R} \right \}\\ \textrm{teta}&\textrm{pi pada \textit{range} fungsinya}\\ &\textrm{hanya akan berupa}\\ &\textrm{bilangan positif saja}.\\ \textrm{yait}&\textrm{u}:\\ R_{f}&=\left \{ y|y\in \mathbb{R},\: y\geq 0 \right \}\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}$

$.\qquad \begin{array}{|c|c|}\hline (\textrm{g})&(\textrm{h})\\\hline \begin{aligned} &f(x)=\displaystyle \frac{\left \lfloor x \right \rfloor}{x}\\ &\textrm{Sehingga daerah}\\ &\textrm{asalnya}\\ &D_{f}=\left \{ x|x\in \mathbb{R},\: x\neq 0 \right \}\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor\\ &\textrm{Sehingga daerah}\\ &\textrm{asalnya}\\ &D_{f}=\left \{ x|x\in \mathbb{R} \right \}\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$.\qquad \begin{array}{|c|c|}\hline (\textrm{i})&(\textrm{l})\\\hline \begin{aligned} &f(x)=\sqrt{x^{2}-16}\\ &\textrm{Sehingga daerah}\\ &\textrm{asalnya yaitu:}\\ &x^{2}-16\geq 0\\ &(x+4)(x-4)\geq 0\\ &x\leq -4\: \: \textrm{atau}\: \: x\geq 4\\ &D_{f}=\left \{ x|x\leq -4\: \: \textrm{atau}\: \: x\geq 4,\: x\in \mathbb{R} \right \}\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&f(x)=\displaystyle \frac{2\sqrt{x}}{x-3}\\ &\textrm{Sehingga daerah}\\ &\textrm{asalnya yaitu:}\\ &\begin{cases} \bullet & x\geq 0 \\ \bullet & x-3\neq 0 \end{cases}\\ &D_{f}=\left \{ x|x\geq 0,\: x\neq 3,\: x\in \mathbb{R} \right \}\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Jika}\: \left | x \right |\: \textrm{menyatakan nilai mutlak}\\ &\textrm{dan}\: \left \lfloor x \right \rfloor\: \textrm{menyatakan bilangan bulat terbesarnatau sama dengan}\: x\\ &\textrm{misalkan}\: \: \left \lfloor 1,6 \right \rfloor=1,\: \left \lfloor \pi \right \rfloor=3\\ &\textrm{Jika diberikan}\: \: f(x)=\left | x \right |+\left \lfloor x \right \rfloor,\: \textrm{maka tentukanlah nilai untuk}\\ &\textrm{a}.\quad f\left ( -3,5 \right )+f\left ( 2,5 \right )\\ &\textrm{b}.\quad f\left ( -1,5 \right )+f\left ( 3,5 \right )\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{l}\\ \begin{aligned}\textrm{a}.f\left ( -3,5 \right )+f\left ( 2,5 \right )&=\left | -3,5 \right |+\left \lfloor -3,5 \right \rfloor+\left | 2,5 \right |+\left \lfloor 2,5 \right \rfloor\\ &=3,5+\left ( -4 \right )+2,5+2\\ &=4 \end{aligned}\\ \begin{aligned}\textrm{b}.f\left ( -1,5 \right )+f\left ( 3,5 \right )&=\left | -1,5 \right |+\left \lfloor -1,5 \right \rfloor+\left | 3,5 \right |+\left \lfloor 3,5 \right \rfloor\\ &=1,5+(-2)+3,5+3\\ &=6 \end{aligned} \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Jika diketahui relasi}\: \: f\: \: \textrm{dengan kondisi}\\ &\begin{array}{l} (\textrm{a}).\quad f(1)=1\\ (\textrm{b}).\quad f(2x)=4f(x)+6\\ (\textrm{c}).\quad f(x+2)=f(x)+12x+12 \end{array}\\ &\textrm{maka nilai}\: \: f(14)\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f(1)&=1\\ f(2.1)=f(2)&=4f(1)+6=4.1+6=10\\ f(1+2)=f(3)&=f(1)+12.1+12\\ f(3)&=1+12+12=25\\ f(3+2)=f(5)&=f(3)+12.3+12\\ f(5)&=25+36+12=73\\ f(5+2)=f(7)&= f(5)+12.5+12\\ f(7)&=73+60+12=145\\ f(7.2)=f(14)&=4.f(7)+6\\ f(14)&=4.145+6=580+6\\ &=586 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textbf{(OSK 2013)}\textrm{Fungsi}\: \: f\: \: \textrm{didefinisikan oleh}\\ & f(x)=\displaystyle \frac{kx}{2x+3},\quad x=-\displaystyle \frac{3}{2}.\\ & \textrm{Tentukanlah nilai}\: \: k\: \: \textrm{agar}\: \: f(f(x))=x\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f(x)&=\displaystyle \frac{kx}{2x+3},\quad x\neq -\frac{2}{3}\\ f\left ( f(x) \right )&=x\\ x&=f\left ( f(x) \right )\\ x&=\displaystyle \frac{k\left ( \displaystyle \frac{kx}{2x+3} \right )}{2\left ( \displaystyle \frac{kx}{2x+3} \right )+3}\\ x&=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{k^{2}x}{2x+3}}{\displaystyle \frac{2kx+3(2x+3)}{2x+3}}\\ x&=\displaystyle \frac{k^{2}x}{2kx+6x+9}\\ 2kx+6x+9&=k^{2}\\ 0&=k^{2}-2xk-6x-9\\ 0&=(k+3)(k-2x-3)\\ &\quad k=-3\: \: \textrm{atau}\: \: k=2x+3 \end{aligned} \end{array}$

$\color{blue}\textrm{E. Menggambar Grafik Fungsi}$

Untuk menggambar suatu fungsi $f(x)$ dengan kondisi rumusnya telah diketahui pada diagram Kartesius adalah sebagai berikut

Menentukan titik-titik berupa pasangan terurut $(x,y)$ dalam tabel dengan $x$ anggota dari daerah asal (domain) dan $y$ adalah anggota dari daerah kawan (kodomain).
mengkonversi titik-titik tadi ke dalam diagram kartesius
menghubungkan titik-titik tersebut sehingga didapatkan grafik mulus

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Gambarlah grafik fungsi}\\ &\textrm{a}.\quad f(x)=2x+5\\ &\textrm{b}.\quad g(x)=2x^{2}\\ &\textrm{c}.\quad h(x)=\displaystyle \frac{1}{x}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ & \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{a. Menggambar grafik}\: \: f(x)=2x+5\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&y=f(x)=2x+5&\textrm{Titik}\: (x,y)\\\hline -3&f(-3)=2(-3)+5=-1&(-3,-1)\\\hline -2&f(-2)=2(-2)+5=3&(-2,1)\\\hline -1&f(-1)=2(-1)+5=3&(-1,3)\\\hline 0&f(0)=2(0)+5=5&(0,5)\\\hline 1&f(1)=2(1)+5=7&(1,7)\\\hline 2&f(2)=2(2)+5=9&(2,9)\\\hline 3&f(3)=2(3)+5=11&(3,11)\\\hline \end{array} \end{aligned}$

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{b. Menggambar grafik}\: \: f(x)=2x^{2}\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&y=f(x)=2x^{2}&\textrm{Titik}\: (x,y)\\\hline -3&f(-3)=2(-3)^{2}=18&(-3,18)\\\hline -2&f(-2)=2(-2)^{2}=8&(-2,8)\\\hline -1&f(-1)=2(-1)^{2}=2&(-1,2)\\\hline 0&f(0)=2(0)^{2}=0&(0,0)\\\hline 1&f(1)=2(1)^{2}=2&(1,2)\\\hline 2&f(2)=2(2)^{2}=8&(2,8)\\\hline 3&f(3)=2(3)^{2}=18&(3,18)\\\hline \end{array} \end{aligned}$

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{c. Menggambar grafik}\: \: f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&y=f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}&\textrm{Titik}\: (x,y)\\\hline -3&f(-3)=-\displaystyle \frac{1}{3}&(-3,-\displaystyle \frac{1}{3})\\\hline -2&f(-2)=-\displaystyle \frac{1}{2}&(-2,-\displaystyle \frac{1}{2})\\\hline -1&f(-1)=-1&(-1,-1)\\\hline 0&f(0)\: \: \color{blue}\textrm{tidak ada}&-\\\hline 1&f(1)=1&(1,1)\\\hline 2&f(2)=\displaystyle \frac{1}{2}&(2,\displaystyle \frac{1}{2})\\\hline 3&f(3)=\displaystyle \frac{1}{3}&(3,\displaystyle \frac{1}{3})\\\hline \end{array} \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Gambarlah grafik fungsi}\\ &\textrm{a}.\quad f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor\\ &\textrm{b}.\quad g(x)=\left \lfloor x+1 \right \rfloor\\ &\textrm{c}.\quad h(x)=\left \{ x \right \}\\\\ &\textbf{Catatan}:\\ &\left \lfloor x \right \rfloor=\textrm{bilangan bulat terbesar tetapi}\\ &\: \: \: \, \quad\quad \textrm{lebih kecil atau sama dengan}\: \: x\\ &\left \{ x \right \}=\textrm{bagian pecahan dari}\: \: x\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ & \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{a. Menggambar grafik}\: \: f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&y=f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor&\textrm{Titik}\: (x,y)\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline -1&f(-1)=\left \lfloor -1 \right \rfloor=-1&(-1,-1)\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline -\displaystyle \frac{1}{2}&f(-\displaystyle \frac{1}{2})=\left \lfloor -\displaystyle \frac{1}{2} \right \rfloor=-1&(-\displaystyle \frac{1}{2},-1)\\\hline -\displaystyle \frac{1}{3}&f(-\displaystyle \frac{1}{3})=\left \lfloor -\displaystyle \frac{1}{3} \right \rfloor=-1&(-\displaystyle \frac{1}{3},-1)\\\hline -\displaystyle \frac{1}{4}&f(-\displaystyle \frac{1}{4})=\left \lfloor -\displaystyle \frac{1}{4} \right \rfloor=-1&(\displaystyle \frac{1}{4},-1)\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline 0&f(0)=\left \lfloor 0 \right \rfloor=0&(0,0)\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline \displaystyle \frac{1}{4}&f(\displaystyle \frac{1}{4})=\left \lfloor \displaystyle \frac{1}{4} \right \rfloor=0&(\displaystyle \frac{1}{4},0)\\\hline \displaystyle \frac{1}{3}&f(\displaystyle \frac{1}{3})=\left \lfloor \displaystyle \frac{1}{3} \right \rfloor=0&(\displaystyle \frac{1}{3},0)\\\hline \displaystyle \frac{1}{2}&f(\displaystyle \frac{1}{2})=\left \lfloor \displaystyle \frac{1}{2} \right \rfloor=0&(-\displaystyle \frac{1}{2},0)\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline 1&f(1)=\left \lfloor 1 \right \rfloor=1&(1,1)\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline 2\displaystyle \frac{1}{4}&f(2\displaystyle \frac{1}{4})=\left \lfloor 2\displaystyle \frac{1}{4} \right \rfloor=2&(2\displaystyle \frac{1}{4},2)\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline 4\displaystyle \frac{1}{3}&f(4\displaystyle \frac{1}{3})=\left \lfloor 4\displaystyle \frac{1}{3} \right \rfloor=4&(4\displaystyle \frac{1}{3},4)\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline \end{array} \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textbf{(OSK 2003)}\textrm{Jika}\: \: x\: \: \textrm{dan}\: \: y\: \: \textrm{adalah bilangan real }\\ &\textrm{sedemikian sehingga}\: \: \displaystyle \left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor=9\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \left \lfloor \sqrt{y} \right \rfloor=12\: ,\\ &\textrm{maka nilai terkecil dari}\: \: \displaystyle \left \lfloor y-x \right \rfloor=....\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ & \end{array}$.

$.\qquad \begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: \left \lfloor x \right \rfloor\: \: \textrm{adalah bilangan bulat terbesar }\\ &\textrm{yang lebih kecil atau sama dengan}\: \: x\\ &\textrm{Misal}\: \: \left \lfloor 3,2 \right \rfloor=3, \: \left \lfloor -2,47 \right \rfloor=-3,\: \: \left \lfloor 6 \right \rfloor=6,\: \: \textrm{dan lain-lain}.\\ &\textrm{Sehingga}\, \,\left \lfloor x \right \rfloor=a\Rightarrow a\leq x< a+1\: \: (\textrm{dengan}\: \: a\: \: \textrm{bilangan bulat}),\\ & \textrm{maka}\\ &\begin{cases} \left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor=9 & \Rightarrow 9\leq \sqrt{x}< 9+1\\ &\Leftrightarrow 9\leq \sqrt{x}< 10\Leftrightarrow \color{red}81\leq x< 100 \\ \left \lfloor \sqrt{y} \right \rfloor=12 & 12\leq \sqrt{y}< 12+1\\ &\Leftrightarrow 12\leq \sqrt{y}< 13\Leftrightarrow \color{red}144\leq y< 169 \end{cases}\\ \end{aligned}$.

$.\qquad \begin{aligned}&\bullet \: \: 144\leq y< 169\: \: \textrm{dan}\\ &\bullet \: \: \: \: 81\leq x< 100\: ,\: \textrm{dikalikan dengan}\: \: (-1)\\ &\quad \textrm{maka akan menjadi},\\ &\qquad -100< -x\leq -81,\\ &\textrm{sehingga}\: \: -99,\overline{999}\leq -x< -80,\overline{999}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{array}{cll}\\ 144&\leq y< 169&\\ -99,\overline{999}&\leq -x< -80,\overline{999}&+\\\hline\\ 44,...&\leq y-x< 88,...\\ \end{array}\\ &\textrm{Jadi, nilai terkecil}\: \left \lfloor y-x \right \rfloor=\color{red}44 \end{aligned}$

Contoh Soal Distribusi Binomial (2)

$\color{blue}\textbf{Contoh Variabel Acak}$

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Sebuah uang logam ditos sebanyak 3 kali}\\ &\textrm{Jika}\: \: X\: \: \textrm{sebagai variabel acak dari kejadian}\\ &\textrm{munculnya sisi angka (A), maka peluang}\\ &\textrm{a. kejadian terjadi muncul 0 angka}\\ &\textrm{b. kejadian terjadi muncul 1 angka}\\ &\textrm{c. kejadian terjadi muncul 2 angka}\\ &\textrm{d. kejadian terjadi muncul 3 angka}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{aligned} \color{blue}\textrm{Mula}\: \, &\color{red}(1)\quad (2)\quad (3)\quad \color{blue}\textbf{Ruang sampel}\\ \textbf{Mulai}&\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,A,A)\\ G\rightarrow (A,A,G) \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,G,A)\\ G\rightarrow (A,G,G) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,A,A)\\ G\rightarrow (G,A,G) \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,G,A)\\ G\rightarrow (G,G,G) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{aligned}\\ &\begin{aligned}P(X=0)&=P((G,G,G))\\ &=\displaystyle \frac{n(X=0)}{n(S)}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{1}{8}\\ P(X=1)&=P((G,G,A),(G,A,G),(A,G,G))\\ &=\displaystyle \frac{n(X=1)}{n(S)}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{3}{8}\\ P(X=2)&=P((G,A,A),(A,G,A),(A,A,G))\\ &=\displaystyle \frac{n(X=2)}{n(S)}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{3}{8}\\ P(X=3)&=P((A,A,A))\\ &=\displaystyle \frac{n(X=3)}{n(S)}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{1}{8} \end{aligned} \end{array}$

Contoh Soal Distribusi Binomial (1)

$\color{blue}\textbf{Contoh Peluang dan Kombinasi}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Seorang melempar sebuah dadu dengan enam muka}\\ &\textrm{Tentukukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{peluang muncul mata dadu ganjil}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{peluang muncul mata dadu genap}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{peluang muncul mata dadu angka prima}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{peluang muncul mata dadu kurang dari 6}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Mata}&\: \textrm{dadu ada 6, yaitu}:\color{red}1,2,3,4,5,\: \& \: 6\\ \textrm{a}.\quad&\textrm{Raung sampel}\\ &S=\color{red}\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}\: \color{black}\Rightarrow n(S)=6\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{peluang}\: \color{red}\textrm{muncul mata dadu ganjil}\color{black}(J)\\ &\textrm{Mata dadu ganjil}:1,3,5\: \Rightarrow n(J)=3\\ &\textrm{Peluangnya}=\displaystyle \frac{n(J)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{peluang}\: \color{red}\textrm{muncul mata dadu ganap}\color{black}(P)\\ &\textrm{Mata dadu ganap}:2,4,6\: \Rightarrow n(P)=3\\ &\textrm{Peluangnya}=\displaystyle \frac{n(P)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\ \textrm{d}.\quad&\textrm{peluang}\: \color{red}\textrm{muncul mata dadu angka prima}\color{black}(R)\\ &\textrm{Mata dadu angka prima}:2,3,5\: \Rightarrow n(R)=3\\ &\textrm{Peluangnya}=\displaystyle \frac{n(R)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\ \textrm{e}.\quad&\textrm{peluang}\: \color{red}\textrm{muncul mata dadu kurang dari 6}\color{black}(Z)\\ &\textrm{Mata dadu kurang dari 6}:1,2,3,4,5\: \Rightarrow n(Z)=5\\ &\textrm{Peluangnya}=\displaystyle \frac{n(Z)}{n(S)}=\frac{5}{6} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Andi akan mengambil 4 buah bola dari}\\ &\textrm{10 warna yang berbeda. Berapakah banyak}\\ &\textrm{kombinasi warna yang berbeda yang diambil}\\ &\textrm{oleh Andi}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}n=10&\: \: \textrm{dan}\: \: r=4\\ C(n,r)&=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\\ C(10,4)&=\displaystyle \frac{10!}{4!(10-4)!}\\ &=\displaystyle \frac{10!}{4!\times 6!}\\ &=\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{(4\times 3\times 2\times 1)\times 6!}\\ &=420\: \: \textrm{kombinasi warna bola berbeda} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Dua kantong berisi bola merah dan biru}\\ &\textrm{Kantong I memuat 4 bola merah dan }\\ &\textrm{6 bola biru. Sedangkan kantong II memuat}\\ &\textrm{5 bola merah dan 3 bola biru. Jika pada}\\ &\textrm{masing-masing kantong diambil 2 bola}\\ &\textrm{sekaligus, maka peluang terambilnya}\\ &\textrm{1 bola merah dan 1 bola biru pada kantong}\\ &\textrm{I serta 2 bola biru pada kantong II}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Kejadian di atas adalah kejadian saling}\\ &\textrm{bebas karena tidak saling mempengaruhi}\\ &\begin{aligned}\textrm{Misal}&\: X=\textrm{kejadian terambil}\: 1M,1B\\ \bullet \quad&\color{red}\textrm{pada kantong I}\\ P(X)&=\displaystyle \frac{C(4,1)\times C(6,1)}{C(10,2)}\\ &=\displaystyle \frac{4\times 6}{\displaystyle \frac{10\times 9}{2}}=\frac{8}{15}\\ \textrm{Misal}&\: Y=\textrm{kejadian terambil}\: 2B\\ \bullet \quad&\color{red}\textrm{pada kantong II}\\ P(Y)&=\displaystyle \frac{C(3,2)}{C(8,2)}\\ &=\displaystyle \frac{3}{\displaystyle \frac{8\times 7}{2}}=\frac{3}{28}\\ \color{magenta}\textrm{maka}&\: \textrm{peluang dari}\: \: X\: \: \textrm{dan}\: \: Y\\ P(X\cap Y)&=P(X)\times P(Y)\\ &=\displaystyle \frac{8}{15}\times \frac{3}{28}\\ &=\displaystyle \frac{2}{35} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Berapa banyak cara dapat memilih untuk}\\ &\textrm{3 perwakilan dari 10 anggota suatu}\\ &\textrm{kelompok, jika}\\ &\textrm{a. tanpa perlakuan khusus}\\ &\textrm{b. salah seorang harus terpilih}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Dengan tanpa perlakuan}\\ &\textrm{memilih 3 orang dari 10 orang adalah}:\\ &C(10,3)=\displaystyle \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\times 7!}=\color{blue}120\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Dengan perlakuan 1 orang terpilih}\\ &\color{red}(\textrm{1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan})\\ &\textrm{memilih 2 orang dari 9 orang adalah}:\\ &C(9,2)=\displaystyle \frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\times 8!}=\color{blue}36 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku}\\ &\textrm{matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku}\\ &\textrm{ekonomi pada suatu lemari buku yang}\\ &\textrm{di dalamnya terdapat 10 buku matematika,}\\ &\textrm{11 buku fisika dan 12 buku ekonomi}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Banyak}&\: \textrm{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ &=C(10,2)\times C(11,3)\times C(12,4)\\ &=\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}\times \frac{11!}{3!\times 8!}\times \frac{12!}{4!\times 8!}\\ &=\displaystyle \frac{10\times 9}{1\times 2}\times \frac{11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3\times 4}\\ &=\color{red}3675375 \end{aligned} \end{array}$