Matriks (Matematika Wajib Kelas XI)

A. Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai atau mendapatkan informasi yang tersaji dalam bentuk daftar atau tabel. Sebagai misal ketika seorang wali kelas merekap data absensi kelas waliannya selama satu semester sebagaimana diperlihatkan dalam tabel berikut ini

NamaSakitIzinTanpaSiswaKeteranganAndi213Budi142Carli115Dodi221Judul barisJudul kolom

Dari tabel di atas, jika kita tuliskan bilangannya saja maka akan kita dapatkan bilangan yang seolah-olah tersusun berbentuk persegi atau persegi panjang dan oleh kareanya sebagaimana ilsutrasi tabel di atas bilangan terbut juga tersusun dalam baris dan kolom sebagaimana berikut ini

213142115221

Selanjutnya kaitanya dengan matriks apa bila susunan bilangan-bilangan di atas, diberikan tanda kurung tertentu jadil bentuk matriks. Dan dari paparan tersebut kita dapat mengakatakan matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk persegi atau persegi panjang yang di atur menurut baris dan kolom dalam tanda kurung tertentu.

Selanjutnya bilangan yang diatus menurut baris dan kolom disebut unsur atau elemen atau entri dari suatu matri

Perhatikanlah ilustrasi berikut


Sebagai tambahan nama sebuah matrik adalah sebuah huruf besar dan memiliki ukuran sebuah matrik(selanjutnya dapat isebut sebagai ordo) = baris x kolom.

CONTOH SOAL

1.DiketahuiM=[23003121120132210531],tentukanlaha.ordo dari matrik tersebutb.elemen penyusun kolom pertamac.elemen penyusun baris pertamad.elemen penyusun kolom keduae.elemen penyusun baris keduaf.elemen penyusun kolom ketigag.elemen penyusun baris ketigah.elemen penyusun kolom keempati.elemen penyusun baris keempatj.elemen penyusun kolom kelimak.elemen penyusun baris kelimal.elemen yang terletak pada baris kelima dan kolom kelimam.elemen yang terletak pada baris pertama dan kolom keliman.elemen yang terletak pada baris kedua dan kolom keempato.elemen yang terletak pada baris ketiga dan kolom ketigap.elemen yang terletak pada baris kedua dan kolom keduaq.elemen yang terletak pada baris pertama dan kolom pertama

.Jawab:a.ordo matriknya4×5b.2,1,0,1c.2,3,0,0,3d.3,2,1,0e.1,2,1,1,2f.0,1,3,5g.0,1,3,2,2h.0,1,2,3i.1,0,5,3,1j3,2,2,1ktidak adal.tidak adamm15=3n.m24=1o.m33=3p.m22=2q.m11=2

2.DiketahuiA=[1234],B=[374859610],C=[111213141516171819202122]tentukanlah nilaia.a11,a31,b42,danc43b.b42+c43c.a41b31+c21a11d.a11+b22+c33e.a112+b222+c332f.(a11+b22)2c332

.Jawaba.perhatikanlaha11=1,a31=3b42=10,c43=22b.b42+c43=10+22=32c.a41b31+c21a11=45+141=12d.a11+b22+c33=1+8+19=28e.a112+b222+c332=12+82+192=1+64+361=426f.(a11+b22)2c332=(1+8)2192=81361=280




Contoh Soal 8 Statistika

36.Diketahui nilai statistik lima serangkaidari empat kelompok data seperti terlihatdalam tabel berikutDataminQ1Q2Q3makI74808892,599II6681,58690,596III7077,58592,5100IV5580889097,5Data yang memuat pencilan terdapat padatabela.I dan IIb.II dan IIIc.I dan IIId.III dan IVe.II dan IVJawab:eDiketahui bahwapencilanadalah datum yangbernilai kurang dari pagar dalam dan lebih besardari pagar luarRumus pagar dalam=Q1L=Q132(Q3Q1)=52Q132Q3Rumus pagar luar=Q3+L=Q3+32(Q3Q1)=52Q332Q1Data Ipagar dalamnya=52(80)32(92,5)=200138,75=61,25Data Ipagar luarnya=52(92,5)32(80)=231,25120=111,25Jadi, data I tidak ada pencilanData II pagar dalamnya=52(81,5)32(90,5)=203,75135,75=68Data II pagar luarnya=52(90,5)32(81,5)=226,25122,25=104Jadi, data II ada pencilan, yaitu66<68karena66adalah datum terkecil data IIData III pagar dalamnya=52(77,5)32(92,5)=193,75138,75=55Data III pagar luarnya=52(92,5)32(77,5)=231,25116,25=115Jadi, data III tidak ada pencilanData IV pagar dalamnya=52(80)32(90)=200135=65Data IV pagar luarnya=52(90)32(70)=225105=120Jadi, data IV ada pencilan, yaitu55<65karena55adalah datum terkecil data IV

DAFTAR PUSTAKA

  1. Johanes, Kastolan, & Sulasim. 2005. Kompetensi Matematika SMA Kelas 2 Semester 1 Program IPA Kurikulum Berbasis Kompetensi. Jakarta: YUDHISTIRA.
  2. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI. Bandung: YRAMA WIDYA.
  3. Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.
  4. Tim Supermat. 2007. Cara Mudah MenghadapiS SMBB TELKOM. Jakarta: LITERATUR MEDIA SUKSES.

Contoh Soal 7 Statistika

31.(SMBB TELKOM 06)Berikut tidak termasuk ukuran penyebarandata adalah....a.rentangb.variansc.jarak antar kuartild.kuartile.simpangan bakuJawab:dIngat bahwa mean, median, modusadalah bagian ukuran pemusatan datasedangkan kuartil adalah ukuran letak data.

32.Perhatikanlah barisan1,2,3,4,5,6,...dengan suku kenadalah(1)n1×n.Rata-rata 200 suku pertama barisan tersebutadalah....a.1b.0,5c.0d.0,5e.1Jawab:bDiketahui bahwa:1,2,3,4,5,6,...,199,200x200=12+34+56+...+199200200=100200=0,5

33.(STT TELKOM 2005)Seratus mahasiswa telah mengikuti ujian psikotesdan rata-rata skornya yang diperoleh adalah 100.Banyaknya mahasiswa junior yang mengikutiujian psikotes50%lebih besar dari banyknya mahasiswa senior. Jika rata-rata skor dari mahasiswasenior50%lebih tinggi dari mahasiswa junior,maka rata-rata skor mahasiswa senior adalah....a.110b.115c.120d.125e.150Jawab:dPerhatikanlah tabel berikutMahasiswaMahasiswaTotalseniorjuniornseniornjunior100ns32ns100xseniorxjunior100xs23xs100ns+32ns=100ns=40,makanj=60.Selanjutnya kita tentukan nilai rata-ratamahasiswa senior, dengan40xs+(60)23xs100=10080xs=10000xs=1000080xs=125

34.(SPMB 04)Median, rata-rata, dan modus dari data yangterdiri atas empat bilangan asli adalah 7. Jikaselisih antara data terbesar dan terkecil adalah6, maka hasil kali keempat datum tersebutadalah....a.1.864b.1.932c.1.960d.1.976e.1.983Jawab:cDiketahui bahwa:x1,x2,x3,danx4adalahasli denganx4x1=6........(1)&modusnya adalah 7, maka data dapat dituliskan:x1,7,7,x4.Jawaban ini sesuai karena median=7.Karena mean=7,maka dapat dituliskanx1+x2+x3+x44=7x1+x2+x3+x4=28x1+14+x4=28x4+x1=14........(2)Selanjutnya kita eliminasi(1)&(2)x4x1=6x4+x1=14+2x4=20x4=10.......(3)makax1=4.........(4)Jadi,x1×x2×x3×x4=(4).(7).(7).(10)=1960

35.Desil ke-8(D8)dari data berikut adalah....Nilaif41457465012515595660861654a.58b.57,5c.57d.56,75e.56,25Jawab:aDiketahuidesil ke8=D8,dengann=f=40Di=tb+p(i×n10Ff)D8=datum ke(8n10)=x8×4010=x32Danx32terletak di kelas interval:5660D8=55,5+5(32288)=55,5+2,5=58




Contoh Soal 6 Statistika

26.Jika rata-rata darix1,x2,x3,x4,...,x10adalahx0,maka rata-rata dari data(x11),(x2+2),(x33),(x4+4),..adalah....a.x0+5,5b.x0+25c.x0+0,5d.x00,5e.x02,5Jawab:cRataratanya adalah:x=x0=x1+x2+x3+...+x101010x0=x1+x2+x3+...+x10Selanjutnya penghitungan rata-rata yang data baru,xbaru=(x11)+(x2+2)+(x33)+...+(x10+10)10=x1+x2+...+x10+(21+43+..+109)10=10x0+510=x0+0,5

27.Nilai rata-rata dari 20 bilangan adalah14,2Jika rata-rata dari 12 bilangan pertama adalah12,6 dan rata-rata dari 6 bilangan berikutnyaadalah 18,2, rata-rata 2 bilangan tersisaadalah....a.10,4b.11,8c.12,2d.12,8e.13,8Jawab:bxtotal=x12×(12)+x6×(6)+x2×(2)2014,2=(12,6×12)+(18,2×6)+x2×(2)20284=151,2+109,2+2x22x2=284(151,2+109,2)=23,6x2=23,62=11,8

28.Dari 3 bilangan yang terkecil adalah 39dan terbesarnya adalah 75, maka rata-ratahitung ketiga bilangan tersebut tidakmungkin sama dengan....a.49b.52c.53d.59e.60Jawab:ax3=39+A+753Selanjutnya rentang nilaiAakan berada di:39A75Sehingga,untukA=39,makax3=39+39+753=1533=51,danuntukA=75,makax3=39+75+753=1893=63

29.(SPMB 04)Nilai rata-rata tes Matematika dari kelompoksiswa dan kelompok siswi di suatu kelas berturut-turut adalah 5 dan 7. Jika nilai rata-rata di kelastersebut adalah 6,2, maka perbandingan banyaknyasiswa dan siswi adalah....a.2:3b.3:4c.2:5d.3:5e.4:5Jawab:axgabungan=n1x1+n2x2n1+n26,2=n1(5)+n2(7)n1+n26,2(n1+n2)=5n1+7n26,2n15n1=7n26,2n21,2n1=0,8n2n1n2=0,81,2=23

30.(SPMB 05)Nilai rata-rata ulangan kelas A adalahxAdankelas B adalahxB.Setelah kedua kelas digabungkannilai rata-ratanya adalahx.Perbandingan nilaikelas A dan B adalah10:9.Jika perbandingan nilairata-rata kedua kelas dan kelas B adalah85:81,maka perbandinganbanyaknya siswa kelas A dan Badalah....a.8:9b.4:5c.3:4d.3:5e.9:10Jawab:bxA:xB=10:9=90:81x:xB=85:81,makax:xA:xB=85:90:81(nA+nB)x=nA×xA+nB×xBnAnB=xxBxAx=8581xBxB109xB8581xB=481xB581xB=45

Contoh Soal 5 Statistika

21.Simpangan kuartil dari data71,70,68,40,45,48,52,53,53,67,62adalah....a.8b.10c.15d.18e.20Jawab:bDatamula-mula(degan total datum ganjil):71,70,68,40,45,48,52,53,53,67,62Setelah data diurutkan menjadi:40,45,48,52,53,53,62,67,68,70,71Diketahuin=11ganjilQ1=x14(n+1)=x14.12=x3=48Q2=x24(n+1)=x24.12=x6=53Q3=x34(n+1)=x34.12=x9=68Selanjutnya data dapat dituliskan40,45,48Q1,52,53,53,62,67,68Q3,70,71Simpangan kuartil data tunggal adalah:=12(Q3Q1)=12(6848)=12.20=10

22.Data penjualan suatu barang setiap bulandi sebuah toko pada tahun 2019 adalah:20,3,9,11,4,12,1,9,9,12,8,10.Median, kuartil bawah, dan kuartil atasnyaberturut-turut adalah....a.612,312,dan912b.9,6,dan1112c.612,9,dan12d.9,4,dan12e.9,312,dan12Jawab:bDatamula-mula:20,3,9,11,4,12,1,9,9,12,8,10Setelah data diurutkan:1,3,4,8,9,9,9,10,11,12,12,20Diketahuin=12genapQ1=x14n+12=x14.12+12=x3,5=6Q2=x24n+12=x24.12+12=x6,5=9=MeQ3=x34n+12=x34.12+12=x9,5=1112Selanjutnya data dapat dituliskan1,3,4,8Q1,9,9,9Q2=Me,10,11,12Q3,12,20

23.Ragam(varians) dari data6,8,6,7,8,7,9,7,7,6,7,8,6,5,8,7adalah....a.1b.138c.118d.78e.58Jawab:aDatamula-mula:6,8,6,7,8,7,9,7,7,6,7,8,6,5,8,7Setelah data diurutkan(untuk memudahkan):5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,9Diketahuin=16.Selanjutnya kita carix=5.1+6.4+7.6+8.4+9.116=11216=7Danrumus untuk menghitung ragam adalah:S2=i=116(xix)2n=(57)2+4(67)2+6(77)2+4(87)2+(97)216=4+4.1+6.0+4.1+416=1616=1

24.Diketahuix1=2,x2=3,5,x3=5,x4=7,danx5=7,5.Deviasi rata-rata data di atasadalah....a.0b.1c.1,8d.2,6e.5Jawab:cDatamula-mula:2,312,5,7,712Diketahuin=5.Selanjutnya kita carix=2+3,5+5+7+7,55=255=5Danrumus simpangan rata-rata adalah:SR=i=15|xix|n=|25|+|3,55|+|55|+|75|+|7,55|5=|3|+|1,5|+|0|+|2|+|2,5|5=3+1,5+0+2+2,55=95=1,8

25.Jumlah rataan dan median dari(x6),(x+5),(x+4),(x7),(x+9),dan(x2)adalah....a.2x1,5b.2x0,5c.2x+1,5d.2x+2,5e.2x+3,5Jawab:cDatamula-mula:(x6),(x+5),(x+4),(x7),(x+9),(x2)Diketahuin=6.Selanjutnya kita urutkan datanya(x7),(x6),(x2),(x+4),(x+5),(x+9)Rataannya:x=6x+36=x+0,5Mediannya:Me=x3,4=x3+x42=(x2)+(x+4)2=2x+22=x+1Rataan+median=x+0,5+x+1=2x+1,5

Contoh Soal 4 Statistika

16.(UN IPA 2014)Kuartil atas dari data pada tabel berikutadalah....Dataf2025426316323763843104449125055856614a.49,25b.48,75c.48,25d.47,75e.47,25Jawab:aKuartil atas=Q3,dengann=f=50Kita sertakan lagi tabel di atas berikutDataf20254263163237638431044-49125055856614Q3=Datum ke(3n4)=x3.504=x37,5danx37,5terletak di kelas interval4449Q3=tb+p(3n4Ff)=43,5+6(37,52612)=43,5+11,52=49,5+5,75=49,25

17.(UN IPA 2014)Perhatikanlah histrogram berikut

.Modus dari data pada histogram adalah....a.23,25b.23,75c.24,00d.25,75e.26,25Jawab:bDiketahui dari data histogram di atas adalah:Dataf37481261317818221023-2712283263337438422Saat menentukan batas interval kurang lebih samaseperti menentukan panjang interval kelasModus dari histogram di atasM0=tb+p(f1f1+f2)=22,5+5((1210)(1210)+(126))=22,5+(22+6)=22,5+108=22,5+1,25=23,75.

18.Median dari data3,4,7,5,6,9,9,7,6,5,8adalah....a.5b.6c.7d.8e.9Jawab:bDiketahui data adalah ganjilMedian (datum tengah) data tunggal:Data:3,4,7,5,6,9,9,7,6,5,8setelah diurutkanData:3,4,5,5,6,6,7,7,8,9,9Data:3,4,5,5,6,6,7,7,8,9,9

19.Dari data berikut yang memilikimean712danmedian7adalah....a.2,5,6,9,7,8,5,14,8,11b.6,3,7,8,6,4,11,8,9,8c.3,7,10,7,9,5,10,2,14,11d.4,1,6,12,8,11,4,5,8,2e.2,3,4,3,10,8,12,6,15,12Jawab:eMeanx=7510=7,5Median2,5,6,9,7,8,5,14,8,11a2,5,5,6,7,8,8,9,11,14Meanx=7010=7Median6,3,7,8,6,4,11,8,9,8b3,4,6,6,7,8,8,8,9,11Meanx=7810=7,8Median3,7,10,7,9,5,10,2,14,11c2,3,5,7,7,9,10,10,11,14Meanx=6110=6,1Median4,1,6,12,8,11,4,5,8,2d1,2,4,4,5,6,8,8,11,12Meanx=7510=7,5Median2,3,4,3,10,8,12,6,15,12e2,3,3,4,6,8,10,12,12,15

20.Berikut adalah daftar nilai matematikakelas XII IA1Nilai345678910Frekuensi35598622Jika siswa yang nilainya di atas rata-rataakan diikutsertakan dalam seleksiolimpiade matematika, maka banyaksiswa yang mengikuti seleksi olimpiadeadalah...siswaa.6b.8c.10d.18e.27Jawab:dxi345678910fi35598622xifi920255456481820Rata-rata nilai matematikanyax=xififi=25040=6,25Jadi, nilai rata-ratanya6,25Sehingga yang bisa ikut selesksi adalahnilai di atas rata-rata yaitu:7,8,9,10dan totalnya yang mendapatkan nilaiitu sebanyak:8+6+2+2=18siswa

Contoh Soal 3 Statistika

11.Perhatikan tabel distribusi frekuensiberikutIntervalf2627113121631721622266Rata-ratanya adalah....a.17,5b.17c.16,75d.16,5e.15,5Jawab:cIntervalxifixi.fi26428711932712161434217211961142226246144i=1520335maka rata-ratanyax=xi.fifi=33520=16,75

12.Perhatikan tabel distribusi frekuensiberikutIntervalf516056170771801481908911006Rata-ratanya adalah....a.75,50b.76,25c.76,50d.78,25e.80,50Jawab:bIntervalxifixi.fi516055,55277,5617065,57458,5718075,5141057819085,586849110095,56573i=15403050maka rata-ratanyax=xi.fifi=305040=76,25

13.Perhatikan tabel distribusi frekuensiberikut(data sama dengan no.12 di atas)Intervalf516056170771801481908911006Mediannya adalah....a.75,50b.76,20c.76,21d.77,22e.78,23Jawab:cDiketahui,n=f=40,Perhatikan tabelberikut iniIntervalfi51605617077180148190891100640Qk=Datum ke(kn4)Median=Q2=Datum ke(2.404)=x20x20terletak pada kelas interval:7180denganf=14,FsebelumQ2=12,tb=70,5,sertap=10maka mediannyaQ2=tb+p(2n4Ff)=70,5+10(201214)=70,5+5,714=76,21

14.Perhatikan tabel distribusi frekuensiberikutSkorf404985059960692270791580896Modusnya adalah....a.65,50b.66,00c.66,50d.67,00e.85,50Jawab:bDiketahuin=f=60,modusnyaterdapat pada kelas dengan frekuensi terbanyakyaitu:6069,denganp=10{fi=ff1=229=13fii=ff2=2215=7SehinggaM0=tb+p(f1f1+f2)M0=59,5+10(229(229)+(2215))=59,5+10.1313+7=59,5+6,5=66,0

15.(UN 2013)Perhatikan tabel distribusi frekuensiberikutBerat Badan (Kg)f45493505465559106064126569157074675794Kuartil atasnya adalah....a.6656b.6716c.6756d.6816e.6846Jawab:dKuartil atas=Q3,dengann=f=56Q3=Datum ke(3n4)=x3.564=x42danx42terletak di kelas interval6569Q3=tb+p(3n4Ff)=64,5+5(42(3+6+10+12)15)=6412+113=6436+346=6816


Contoh Soal 2 Statistika

6.Tabel berikut adalah nilai tes matematikaNilaif21301314024150551607617087180881906911001Banyak siswa yang mendapatkan nilai 71atau lebih adalah....a.16b.15c.12d.12e.10Jawab:bPerhatikan kembali tabelnyaNilaif21301314024150551607617087180881906911001Nilai yang lebih dari 71 adalah:8+6+1=17

7.Jangkauan dari tabel distribusifrekuensi pada no.6 di atas adalah....a.60b.70c.79d.89e.100Jawab:bKarena data berkelompok, makaJangkauan=(Nilai tengah kelas tertinggi)(Nilai tengah kelas pertama)=12((100+91)(30+21))=70

8.Jikan=banyak data,k=banyak intervalkelas, maka menurut aturan Sturges, rumusuntuk menentukan nilaikadalah....a.k=log(10.n3,3)b.k=1+3,3lognc.k=13,3log(n1)d.k=log(103,3.n)e.k=logn3,3+2Jawab:bCukup jelas.

9.Rata-rata data soal no.6di atas adalah....a64,45b64,55c65,45d65,55e66Jawab:aNilaixifixi.fi213025,5125,5314035,5271415045,55227,5516055,57388,5617065,58524718075,58604819085,565139110095,5195,5i=18382449Sehingga, rata-rata data nilai di atas adalahx=xififi=244938=64,44736842164,45

10.Rumus untuk menentukan%frel=....afi+1f×100%bfi1f×100%cfif×100%dfif+1×100%efif1×100%Jawab:cCukup jelas


Contoh Soal 1 Statistika

Perhatikanlah tabel berikutNilai ulangan kelas XIIuntuk menjawab soal no. 1 sampai 5NilaiMatematikaBahasa Inggris3039104049425059676069171870791012808976

1.Total datum pada data tabeldistribusi frekuensi di atas adalah....a.30b.35c.40d.45e.50Jawab:dTotal datum pada tabel di atassama dengan total frekuensi yaitu:=1+4+6+17+10+7=45,atau=0+2+7+18+12+6=45

2.Banyak kelas interval pada tabeldistribusi frekuensi tersebut adalah....a.4b.5c.6d.7e.8Jawab:cData di atas terbagai dalam 6kelas intervalnya, yaitu:kelas pertama : 30-39kelas kedua : 40-49kelas ketiga : 50-59kelas keempat : 60-69kelas kelima : 70-79kelas keenam : 80-89

3.Panjang kelas interval pada tabeldi atas adalah....a.9b.10c.11d.12e.13Jawab:bPanjnag kelas interval padatabel distribusi frekuensi di atasambil contoh kelas pertama yaitu:pada3039ada=(3930)+1=10

4.Titik tengah dari kelas interval ke enamadalah....a.84b.84,5c.85d.85,5e.86Jawab:bTitik tengah interval kelas keenampada tabel distribusi frekuensi di atasyaitu:=12(80+89)=1692=84,5

5.Tepi bawah dan tepi atas dari kelasinterval dari tabel distribusi frekuensidi atas yang tepat adalah....a.30,5dan39,5b.39,5dan49,5c.50,5dan59,5d.60,5dan70,5e.79,05dan89,05Jawab:bTepi bawah dan tepi atas dari kelasinterval pada tabel distribusi frekuensidi atas yaitu:{tepi bawah=xi0,5tepi atas=xi+0,5Berikut tabelnyaNilaitepi bawahtepi atas3039300,5=29,539+0,5=39,54049,5400,5=39,549+0,5=49,55059.....=49,5....=59,56069....=59,5....=69,57079....=69,5....=79,58089....=79,5....=89,5


Contoh Soal 4 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

16.Diketahui suatu fungsi kuadratf(x)=ax2+bx+c.Jika fungsi(1,0),(1,4),dan(2,9),makafungsi yang dimaksud adalah....a.f(x)=x22x+3b.f(x)=x2+2x+3c.f(x)=x2+2x3d.f(x)=x22x3e.f(x)=x2+2x+1Jawab:eDiketahui sistem persamaan{(1,0)f(1)=ab+c=0....(1)(1,4)f(1)=a+b+c=4....(2)(2,9)f(2)=4a+2b+c=9....(3)Saat(1)&(2),didapatkanb=2...............(4)Saat(1)&(3),didapatkan4a+2b+c=9ab+c=03a+3b=9a+b=3...(5)Dari persamaan(4)&(5)maka,{a=1c=1Jadi,f(x)=ax2+bx+c=x2+2x+1

17.Diketahui persamaan{xy=2kx+y=3memiliki solusi(x,y)di kuadran IJika dan hanya jika nilaikadalah....a.k=1b.k>1c.k<32d.0<k<32e.1<k<32Jawab:eDiketahui sistem persamaan{xy=2....(1)kx+y=3....(2)Dengan metode matriks didapatkanx=|2131||11k1|=2(3)1+k=5k+1Dengan cara yang sama pulay=|12k3||11k1|=32kk+1Supaya memiliki solusi di kwadran I,maka baikxmaupunyharuslah positif, akibatnya:k+1>0k>1Sebagai akibat yang lain adalah:32k>0k<32Jadi,1<k<32

18.Diketahui sistem persamaany+2x+z=45y+182x+y+z=188x+z62x+y+z=3Nilaiy+x22xz+y2adalah....a.3b.5c.7d.9e.11Jawab:aDiketahui sistem persamaan{y+2x+z=45y+182x+y+z=188x+z62x+y+z=3Jika disederhanakan beberapa bagian{y+2A=4....(1)5y+18B=18....(2)8A6B=3....(3)Saat(1)+(2)&(3),makay+2A=4|×5|5y+10A=205y+3(8A3)=18|×1|5y+24A=2714A=7A=12...(4)makaB=16&y=3akibatnya{x=1z=1Jadi,y+x22xz+z2=3+0=3

19.Diberikana,b,dancadalah angka-angkadari bilangan 3 digit yang memenuhi49a+7b+c=286.Nilai daria+b+cadalah....a.16b.17c.18d.19e.20Jawab:aDiketahui sistem persamaan49a+7b+c=286Nilai maksimumaadalah549×5=245,akibatnya:245+7b+c=2867b+c=286245=41Nilai maksimumbadalah57×5=35,akibatnya:35+c=41c=4135=6Sehinggaa,b,dancadalah5,5,dan6Jadi,nilaia+b+c=5+5+6=16

20.Diketahui sistem persamaan(2x+3y).log(xy+2z)=132x+y+z×273z+2y+x=815x+3y+8z=2Himpunan penyelesaian yangmemenuhi adalah....a.{1712,112,76}b.{1712,12,76}c.{1712,12,76}d.{1712,112,76}e.{1712,112,76}Jawab:eUntuk persamaan(1)(2x+3y).log(xy+2z)=(2x+3y)0(xy+2z)=100=1Untuk persamaan(2)32x+y+z×273z+2y+x=8132x+y+z+3(3z+2y+x)=345x+7y+10z=4Sehingga sistem persamaan akan terlihat{xy+2z=1....(1)5x+7y+10z=4....(2)5x+3y+8z=2....(3)Saat(2)&(3),maka5x+7y+10z=45x+3y+8z=24y+2z=22y+z=1...(4)Saat(1)+(3),maka5x5y+10z=55x+7y+10z=412y=1y=112...(5)Dari persamaan(5)disubstistusikan ke(4)2y+z=12(112)+z=1z=1+16z=76Cukup jelas jugax=....Jadi,pilihannya adalahe


DAFTAR PUSTAKA

  1. Bintari, N., Gunarto, D. 2007. Panduan Menguasai Soal-Soal Olimpiade MAtematika Nasional dan Internasional. Yogyakarta: INDONESIA CERDAS.
  2. Kanginan, M. 2016. Matematika untuk SMA-MA/SMK-MAK Kelas X. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA
  3. Kurnianingsih, S. 2008. SPM Matematika SMA dan MA Program IPS Siap Tuntas Menghadapi Ujian. Jakarta: ESIS
  4. Susianto, B. 2011. Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika dengan Proses Berpikir Aljabar dan Bilangan. Jakarta: GRASINDO
  5. Yuana, R. A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Mata Pelajaran Wajib. Solo: TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI

Contoh Soal 3 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

11.Suatu bilangan terdiri atas 3 angka. Jumlahketiga angka tersebut adalah 9. Angka keduadikurangi angka pertama dan angka ketiga sama dengan 1. Dua kali angka pertama samadengan jumlah angka kedua dan angka ketiga.Angka puluhan pada bilangan tersebut adalah....a.3b.4c.5d.6e.7Jawab:cModel matematikanya{A+B+C=9....(1)2BAC=1....(2)2A=B+C....(3)Saat(1)+(2),makaA+B+C=9A+BC=1+2B=10B=5...(4)Jadi,bilangan kedua adalah=B=5

12.(SIMAK UI 2010)Jikax+y+2z=K,x+2y+z=K,2x+y+z=KdenganK0,makax2+y2+z2bila dinyatakan dalamKadalah....a.116K2b.316K2c.417K2d.38K2e.23K2Jawab:bDiketahui sistem persamaan{x+y+2z=K....(1)x+2y+z=K....(2)2x+y+z=K....(3)maka{z+(x+y+z)=K....(1)y+(x+y+z)=K....(2)x+(x+y+z)=K....(3)Saat(1)+(2)+(3),makax+y+2z=Kx+2y+z=K2x+y+z=K+4x+4y+4z=3Kx+y+z=34K...(4)Saat(4)disubstitusikan ke(1),(2),dan(3)Jelas bahwa akan didapatkanx=y=z=14KJadi,x2+y2+y2=3(14K)2=316K2

13.Diketahui0,15252525252...=p2q+rJika jumlahpdanq=3 kalir,makamasing-masing hargap,q,danr=....a.152,2819,2584b.252,56387,810221c.151,28197,12927d.151,28197,25847e.152,281914,12927Jawab:cDari soal diketahui{0,15252=p2q+r.....(1)p+q=3r............(2)danx=0,15252525252...1000x=152,5252525252...10x=1,5252525252...990x=151x=151990,makap2q+r=151990{p=151.......(3)2p+r=990.......(4)Dari(3)diperoleh:q=3rp=3r151....(5)Dari(5)disubstitusikan ke(4)2q+r=9902(3r151)+r=9906r302+r=9907r=990+302=1292r=12927.....(6)Dari(3)&(6)disubstitusikan ke(2)p+q=3r151+q=3(12927)q=38767151=387610577=28197.....(7)Jadi,p,q,radalah:151,28197,12927

14.Perhatikanlah sistem persamaan berikut{3x+2y5z=32x6y+kz=95x4yz=5agar sistem persamaan ini tidakmemiliki penyelesaian, maka nilaik=....a.4b.2c.3d.4e.6Jawab:dAgar sistem persamaan{3x+2y5z=32x6y+kz=95x4yz=5tidak berpenyelesaian, makaingat penyelesaian metode matrikbuatlah penyebutnya=0,yaitu:|32526k541|=0Selanjutnya3|6k41|2|2k51|5|2654|=03(6+4k)2(25k)5(8+30)=018+12k+4+10k+40150=022x=88x=4

15.Diketahui(15151515154525110110)(xyz)=(120)Nilaix,y,danzadalah....a.15,45,110b.1,5,1c.1,5,1d.1,1,5e.5,1,1Jawab:cDiketahui sistem persamaan{15x+15y+15z=1....(1)15x+15y45z=2....(2)25x+110y+110z=0....(3)Saat(1)+(2),maka15x+15y+15z=115x+15y45z=255z=1z=1...(4)Saat(1)+(3),maka15x+15y+15z=1|×1|15x+15y+15z=125x+110y+110z=0|×2|45+15y+15z=055x=1x=1........(5)Dari persamaan(4)&(5)akan didapatkany=5Jadi,(x,y,z)=(1,5,1)

Contoh Soal 2 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

6.Diketahui sistem persamaan berikut{x+yz=12xy+2z=9x+3yz=7Nilai1x+1y+1z=....a.13b.34c.1312d.54e.74Jawab:cDiketahui sistem persamaan{x+yz=1....(1)2xy+2z=9....(2)x+3yz=7....(3)Saat(1)+(2),makax+yz=12xy+2z=9+3x+z=10...(4)Saat(1)+(3),makax+yz=1|×3|3x+3y3z=3x+3yz=7|×1|x+3yz=72x2z=4xz=2....(5)Dari persamaan(4)&(5)maka,3x+z=10xz=2+4x=8x=2.....(6)didapat pulaz=4......(7)Dari persamaan(1)&(3)didapatkan jugax+yz=1x+3yz=72y=6y=3....(8)Jadi,1x+1y+1z=12+13+14=1312

7.Diketahui sistem persamaan berikut{x+y+z=5x+y4z=102x+y+z=0Nilai darixzyadalah....a.613b.513c.113d.113e.713Jawab:bDiketahui sistem persamaan{x+y+z=5.....(1)x+y4z=10.....(2)2x+y+z=0.....(3)Saat(1)+(2),makax+y+z=5x+y4z=105z=5z=1...(4)Saat(1)+(3),makax+y+z=52x+y+z=03x=5x=53....(5)Dari persamaan(4)&(5)maka,x+y+z=553+y1=5y=5+153=133Jadi,xzy=(53).(1)133=513

8.Himpunan penyelesaian dari{1x+2y+3z=82x+2y+4z=102x+4y+2z=4adalah{(x,y,z)},makax+3z=....a.0b.13c.1d.3e.5Jawab:dDiketahui sistem persamaan{1x+2y+3z=8....(1)2x+2y+4z=10.....(2)2x+4y+2z=4...........(3)Saat(1)+(2),maka1x+2y+3z=82x+2y+4z=101x1z=21x+1z=2...(4)Saat(1)+(3),maka2x+2y+4z=8|×2|4x+4y+8z=162x+4y+2z=4|×1|2x+4y+2z=42x+6z=121x+3z=6...(5)Dari persamaan(4)&(5)maka,1x+3z=61x+1z=22z=4z=12......(6)x=212=32Jadi,x+3z=32+3.12=3

9.Diketahui tiga buah bilangan berturut-turuta,b,danc.Rata-rata dari ke tiga bilanganitu adalah 12. Bilangan kedua sama denganjumlah bilangan yang lain dikurangi 12.Jika bilangan ke tiga sama dengan jumlahbilangan yang lain, maka nilai2a+bc=....a.42b.36c.18d.12e.6Jawab:eModel matematika dari persamaan di atas{a+b+c=36....(1)a+bx=12....(2)a+bc=0....(3)Saat(1)+(2),makaa+b+c=36a+bc=12+2b=48b=24...(4)Saat(1)+(3),makaa+b+c=36a+bc=02c=36c=18....(5)Dari persamaan(4)&(5)maka,a+b+c=36a+24+18=36a=3642=6Jadi,2a+bc=2(6)+2418=6

10.Jumlah uang terdiri atas koin pecahanRp500,00Rp200,00danRp100,00dengan nilai totalRp100.000,00.Jika nilai uang pecahan 500-ansetengah dari nilai uang pecahan 200-an, tetapitiga kali uang pecahan 100-an, maka banyak koinadalah....a.460b.440c.420d.380e.350Jawab:aModel matematika dari kasus di atas{A(500)+B(200)+C(100)=100.000....(1)A(500)=12B(200)....(2)A(500)=3C(100)....(3)Dari persamaan(2)didapatkan2A(500)=B(200)Dari persamaan(3)akan didapatkan13A(500)=C(100)Dari persamaan(1)maka,A(500)+B(200)+C(100)=100.000A(500)+2A(500)+13A(500)=100.000103A(500)=100.000A(500)=30.000maka akan didapatkanB(200)=2(30.000)=60.000C(100)=13(30.000)=10.000{A(500)=30.000A=30.000500=60B(200)=60.000B=60.000200=300C(100)=10.000C=10.000100=100Jadi,A+B+C=60+300+100=460

Contoh Soal 1 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

1.Suatu unit pekerjaan dapat diselesaikan oleh AB, dan C bersama-sama dalam 2 jam saja.Jika pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh A danB bersama-sama dalam 2 jam 24 menit, dan olehB dan C bersama-sama dalam waktu 3 jam,maka sistem persamaan berikut yang memenuhiadalah....a.{A+B+C=2A+B=125B+C=3b.{A+B+C=12A+B=512B+C=13c.{1A+1B+1C=21A+1B=1251B+1C=3d.{1A+1B+1C=121A+1B=5121B+1C=13e.{1A+1B+1C=21A+1B1C=1251A+1B+1C=3Jawab:dPerhatikan bahwa:Waktu penyelesaiansuatu pekerjaan adalah termasukperbandingan berbalik nilai,makaA,B,danCdalam 2 jam, artinya:1A+1B+1C=12,demikian jugaAdanBbersama-sama selesai dalam2 jam 24 menit atau125jam:1A+1B=512BdanCselesai dalam 3 jam:1B+1C=13

2.Himpunan penyelesaian dari{x+y+4z=15xy+z=2x+2y3z=4adalah....a.{(1,1,3)}b.{(1,2,3)}c.{(2,1,1)}d.{(3,2,1)}e.{(1,2,3)}Jawab:bSemunya dikerjakan dengan metodematriks(Cara Cramer)x=|1514211423||114111123|=15|1123|1|2143|+4|2142|1|1123|1|1113|+4|1112|=15(32)1(6+4)+4(44)1(32)1(31)+4(2+1)=15(1)1(2)+4(0)1(1)1(4)+4(3)=1717=1y=|1154121143||114111123|=1|2143|15|1113|+4|1214|1|1123|1|1113|+4|1112|=1(6+4)15(31)+4(42)1(32)1(31)+4(2+1)=1(2)15(4)+4(6)1(1)1(4)+4(3)=3417=2z=|1115112124||114111123|=1|1224|1|1214|+15|1112|1|1123|1|1113|+4|1112|=1(44)1(42)+15(2+1)1(32)1(31)+4(2+1)=1(0)1(6)+15(3)1(1)1(4)+4(3)=5117=3

.Cara di atas  full matriks-Cramer

3.Hasil darixyzyang memenuhi{x+y+z=2xy+z=2xyz=2adalah....a.8b.4c.2d.4e.8Jawab:aDiketahui sistem persamaan{x+y+z=2.....(1)xy+z=2.....(2)xyz=2.....(3)Saat(1)+(2),makax+y+z=2xy+z=22y=4y=2....(4)Saat(1)+(3),makax+y+z=2xyz=2+2x=4x=2....(5)Persamaan(4)&(5)ke(1)x+y+z=2(2)+(2)+z=2z=2Jadi,xyz=(2).(2).(2)=8

.Cara di atas  full eliminasi-substitusi

4.Diketahui sistem persamaan berikut{x+y+z=6x2y+z=32x+y+z=9Nilaixyz=....a.30b.15c.5d.30e.35Jawab:dDiketahui sistem persamaan{x+y+z=6....(1)x2y+z=3....(2)2x+y+z=9....(3)Saat(1)+(2),makax+y+z=6x2y+z=33y=9y=3....(4)Saat(1)+(3),makax+y+z=62x+y+z=93x=15x=5....(5)Persamaan(4)&(5)ke(1)x+y+z=2(5)+(3)+z=6z=2Jadi,xyz=(5).(3).(2)=30

5.Diketahui sistem persamaan berikut{x+2y+z=43x+y+2z=5x2y+2z=6Nilaixyz=....a.96b.24c.24d.32e.96Jawab:bDiketahui sistem persamaan{x+2y+z=4.......(1)3x+y+2z=5......(2)x2y+2z=6.......(3)Saat(1)+(2),makax+2y+z=4|×1|x+2y+z=43x+y+2z=5|×2|6x+2y+4z=105x3z=14...(4)Saat(1)+(3),makax+2y+z=4x2y+2z=6+2x+3z=2...(5)Dari persamaan(4)&(5)maka,5x3z=142x+3z=2+3x=12x=4.....(6)didapat pulaz=2......(7)Dari persamaan(6)&(7)didapatkanx+2y+z=4(4)+2y+2=4y=3Jadi,xyz=(4).(3).(2)=24

Lanjutan Materi (6) Turunan Pertama Fungsi Trigonometri (Matematika Peminatan Kelas XII)

MASALAH YANG MELIBATKAN TURUNAN PERTAMA FUNGSI

E. Persamaan Garis Singgung

1. Fungsi Aljabar

Perhatikanlah gambar berikut!


Perhatikanlah kurva di atas, yaitu sebuah gambar grafik fungsi kuadrat  f(x)=x22x+1. Misalkan kita menginginkan garis mana yang merupakan persamaan garis singgung di titik (2,1)?
Ada 2 unsur penting dalam menentukan persamaan garis singgung, yaitu:
  • titik singgung
  • gradien (kemiringan) dari garis singgung itu sendiri, yaitu : m=dydx
Karena salah satu unsur penentuan persamaan garis singgung telah diketahui, yaitu sebuah titik singgung, langkah berikutnya kita tinggal mencari gradien. Dalam hal ini gradien dari garis singgung diperoleh dengan memasukkan absis seteleh kurva singgung itu diturunkan pertama dan kadang dituliskan dengan notasi  Leibniz  m=(dydx)x=a atau kadang juga dituliskan dengan bentuk notasi m=dydx|x=a. Untuk mempermudah, oerhatikanlah kurva di atas, dari keempat garis lurus yang ada, tidak semunya menyinggung. Karena sebagian bahkan berpotongan dengan kurva. Walaupun antara titik potong dan titik singgung sama, tetapi cara mendapatkannya berbeda. Sementara kita fokus pada aplikasi turunan pertama pada suatu kurva. Coba kita perjelas lagi dengan menyertakan persamaan keempat garis lurusnya berikut

Mari kita tentukan persamaan garis singgung kurva di atas dari keempat garis lurus itu, garis yang mana?
Persamaan Garis Singgung kurva dituliskan sebagai: y=m(xa)+b, dengan  (a,b)  adalah titik singgung. Kada titik singgung juga dituliskan dengan  (a,f(a)).

Sehingga persamaan garis singgung kurva di atas adalah:
f(x)=y=x22x+1=(x1)2m=2x2(dydx)x=2=m=2(2)2=42=2makapersamaan garis singgung kurvanyay=m(xa)+b=2(x2)+1=2x4+1y=2x3.
Jadi, garis pada gambar di atas yang merupakan garis singgung kurva yang dimaksud adalah garis g3:y=2x3.

2. Fungsi Trigonometri

Tidak jauh berbeda dengan fungsi aljabra, maka pada fungsi trigonometri berlaku sifat yang sama yang membedakan hanyanya kurvanya serta sumbu X (letak absis).

Sebagai misal kita diberikan sebuah fungsi trigonometri  f(x)=y=sin2x. Jika dituntut untuk menunjukkan persamaan garis singgung di titik yang berabsis  π2, maka kita juga dapat dengan mudah menentukannya.
Perhatikan uraian berikut sebagai pembahasan dari permasalahan di atas.
Diketahuix=a=π2Kita mencari titik singgungnya dulu, yaituf(a)=sin2(π2)=sinπ=0,(a,f(a))=(π2,0)f(x)=y=sin2xm=2cos2x......(turunan pertama)(dydx)x=π2=m=2cos2(π2)=2cosπ=2.(1)=2makapersamaan garis singgung kurvanyay=m(xa)+b=2(xπ2)+0=2x+π

DAFTAR PUSTAKA
  1. Kurnia, N. 2018. Jelajah Matematika 3 SMA Kelas XII Peminatan MIPA. Bogor: Yudhistira.
  2. Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika SMU Kelas 2. Jakarta: ERLANGGA
  3. Wirodikromo, S. 2007. Matematika Jilid 2 IPA untuk Kelas XI. Jakarta: ERLANGGA.




 







Contoh Soal 5 Turunan Fungsi Trigonometri (Bagian 1)

21.Turunan pertama dari fungsig(x)=sinxcosx+cosxsinxadalah....a.1cos2x1sin2xb.1cos2x+1sin2xc.1sin2xcos2xd.1sin2xcos2xe.sin2xcos2xJawab:aDiketahuig(x)=sinxcosx+cosxsinx=sin2x+cos2xsinxcosx=1sinxcosxmakag(x)=0.(sinxcosx)1.(cos2xsin2x)(sinxcosx)2=sin2xcos2xsin2xcos2x=1cos2x1sin2x

22.Diketahuih(x)=cos(3x),makadhdxa.3sin3xb.3x2sin3xc.3xsin3xd.3x2sin3xe.3xsin3xJawab:dcos3x=sin3x(0.(x)3.1x2)=(3)x2sin3x=3x2sin3x

23.Turunan pertama daritan(cosx),terhadapxadalah....a.sec2(cosx)sinxb.sec2(cosx)sinxc.sec2(sinx)cosxd.sinxe.sinxJawab:aMisalkany=tanx(cosx)y=sec2(cosx)×(sinx)=sec2(cosx).sinx

24.(UN 2005)Turunan pertama darif(x)=cos2(3x2+5x)3adalah....a.23cos.13(3x2+5x)sin(3x2+5x)b.23(6x+5)cos.13(3x2+5x)c.23cos.13(3x2+5x)sin(3x2+5x)d.23(6x+5)tan(3x2+5x)cos2(3x2+5x)3e.23(6x+5)tan(3x2+5x)cos2(3x2+5x)3Jawab:dMisalkanf(x)=cos2(3x2+5x)3f(x)=cos.23(3x2+5x)=23cos.12(3x2+5x)×(sin(3x2+5x))×(6x+5)=23(6x+5)cos.13(3x2+5x)sin(3x2+5x)=23(6x+5)cos.23(3x2+5x)×cos1(3x2+5x)×sin(3x2+5x)=23(6x+5)tan(3x2+5x)cos2(3x2+5x)3