Contoh Soal 1 Distribusi Binomial

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Manakah yang merupakan data diskrit dari pernyataan berikut}\\ & \text{a}.\text{Suhu Badan Anton ketika sakit mencapai}{40}^{\circ }C\\ & \text{b}.\text{Kecepatan mobil yang sedang melaju adalah}100km/jam\\ & \text{c}.\text{Tinggi tiang bendaera di madrasah Budi adalah 4 m}\\ & \text{d}.\text{Jumlah guru yang mengajar di MA Futuhiyah }\\ & \text{sebanyak 30 orang}\\ & \text{e}.\text{Berat bayi yang baru lahir adalah 3.500 gram}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Alasannya dikarena hasil mencacah}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Jika Anda mengumpulkan nilai raport}\\ & \text{teman-teman sekelas Anda untuk pelajaran}\\ & \text{ matematika, maka data yang Anda peroleh }\\ & \text{adalah}....\\ & \text{a}.\text{data diskrit}\\ & \text{b}.\text{data kontinu}\\ & \text{c}.\text{data kualitatif}\\ & \text{d}.\text{Populasi}\\ & \text{e}.\text{Sampel}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Dengan catatan nilainya cacah}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Ukuran yang dihitung dari seluruh data }\\ & \text{dalam populasi adalah}....\\ & \text{a}.\text{data kuantitatif}\\ & \text{b}.\text{data kualitatif}\\ & \text{c}.\text{Statistik}\\ & \text{d}.\text{Statistika}\\ & \text{e}.\text{Parameter}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Parameter adalah ukuran dari }\\ & \text{seluruh data atau populasi}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Diketahui distribusi peluang suatu }\\ & \text{variabel acak diskrit sebagai berikut}\\ & \begin{array}{|ccccc|}\hline x& 0& 1& 2& 3\\ f(x)& m& 0,26& 3m& 0,42\\ \hline\end{array}\\ & \text{Peluang nilai X minimal berharga 2 adalah}\\ & \text{a}.0,24\\ & \text{b}.0,34\\ & \text{c}.0,42\\ & \text{d}.0,58\\ & \text{e}.0,66\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}X\text{adalah variabel }\\ & \text{acak diskrit, maka}\sum f(x)=1\\ & F(c)=P(X\le c)={\displaystyle \sum _{x=0}^{x=c}f(x)}\\ & =f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(c)=1\\ & \text{dalam hal soal}\text{di atas, maka kita tentukan}\\ & \text{nilai}m\text{dulu}\\ & F(3)=P(X\le 3)={\displaystyle \sum _{x=0}^{x=3}f(x)}\\ & =f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=1\\ & 1=m+0,26+3m+0,42=4m+0,68\\ & 4m=1-0.68=0,32\\ & m=0.08,\text{sehingga}\\ & P(2\le X\le 3)=f(2)+f(3)=3m+0,42\\ & =3(0,08)+0,42=0,24+0,42=0,66\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Diketahui fungsi peluang suatu }\\ & \text{variabel acak kontinu adalah}\\ & f(y)=\{\begin{array}{c}0,\text{untuk textit{y} yang lain}\\ \\ {\displaystyle \frac{2y+k}{50},\text{untuk}0\le y\le 5}\end{array}\\ & \text{Nilai}P(|Y-1|\le 2)\text{adalah}....\\ & \text{a}.{\displaystyle \frac{7}{25}\text{d}.\frac{14}{25}}\\ \\ & \text{b}.{\displaystyle \frac{9}{25}\text{c}.\frac{12}{25}\text{e}.\frac{18}{25}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& {\int }_0^5{\displaystyle \frac{2y+k}{50}dy=1}\\ & 1={\int }_0^5{\displaystyle \frac{2y+k}{50}dy}\\ & 50={\int }_0^5(2y+k)dy\\ & 50=y^2+ky{|}_0^5=5^2+5k=25+5k\\ & k=5\\ & P(|Y-1|\le 2)=P(-2\le Y-1\le 2)\\ & =P(-1\le Y\le 3)\\ & =f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)\\ & ={\int }_0^3\left({\displaystyle \frac{2y+5}{50}}\right)dy\\ & ={\displaystyle \frac{1}{50}(y^2+5y){|}_0^3}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{50}(9+15)={\displaystyle \frac{24}{50}=\frac{12}{25}}}\end{array}\end{array}$

Contoh Soal 1 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

 $\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Diketahui fungsi}f(2x)=8x-9\\ & \text{dan}g(3x+1)=6x+3.\\ & \text{Rumus untuk}(f+g)(x)=....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 6x+8& & & \text{d}.& 14x-6\\ \text{b}.& 6x-8& \text{c}.& 14x+6& \text{e}.& 6x-6\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\text{bahwa}:\\ & \{\begin{array}{ll}& f(2x)=8x-9\\ & \Rightarrow f(x)=f\left(2\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)\right)\\ & =8\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)-9=4x-9\\ & g(3x+1)=6x+3\\ & \Rightarrow g(x)=g(3\left({\displaystyle \frac{x-1}{3}}\right)+1)\\ & =6\left({\displaystyle \frac{x-1}{3}}\right)+3\\ & =2x+1\end{array}\\ & (f+g)(x)=(4x-9)+(2x+1)\\ & =6x-8\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Diketahui fungsi}f(x)=2x-1\\ & \text{dan}g(x)=x^2.\text{Fungsi}(f+g)(x^2)=....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& x^2+2x-1\\ \text{b}.& x^4+2x^2-1\\ \text{c}.& x^4+2x-1\\ \text{d}.& x^4+(2x-1{)}^2\\ \text{e}.& x^4+2x\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\text{bahwa}:\\ & \{\begin{array}{ll}& f(x)=2x-1\\ & g(x)=x^2\end{array}\\ & (f+g)(x)=(2x-1)+(x^2)\\ & =x^2+2x-1\\ & \text{maka}\\ & (f+g)(x^2)=(x^2{)}^2+2(x^2)-1\\ & =x^4+2x^2-1\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Jika}f(x)=3-x,\text{maka}\\ & f\left(x^2\right)+{(f(x))}^2-2f(x)=....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 2x^2-6x+4\\ \text{b}.& 2x^2+4x+6\\ \text{c}.& 2x^2-4x-6\\ \text{d}.& 6x+4\\ \text{e}.& -4x+6\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\\ & f(x)=3-x,\text{sehingga}\\ & f\left(x^2\right)+{(f(x))}^2-2f(x)\\ & =(3-x^2)+{(3-x)}^2-2(3-x)\\ & =(3-x^2)+(9-6x+x^2)-(6-2x)\\ & =-x^2+x^2-6x+2x+3+9-6\\ & =-4x+6\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Diketahui fungsi}f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{dan}\\ & g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{dirumuskan dengan}\\ & f(x)=x-1\text{dan}g(x)=x^2+2x-3.\\ & \text{Fungsi komposisi}g\text{atas}f\\ & \text{dinotasikan dengan}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& (g\circ f)(x)=x^2-4\\ \text{b}.& (g\circ f)(x)=x^2-5\\ \text{c}.& (g\circ f)(x)=x^2-6\\ \text{d}.& (g\circ f)(x)=x^2-4x-4\\ \text{e}.& (g\circ f)(x)=x^2-4x-5\end{array}\\ & (\mathbf{\text{UN 2016}})\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Diketahui}& \text{bahwa}:\\ & \{\begin{array}{ll}f(x)& =x-1\\ g(x)& =x^2+2x-3\end{array}\\ (g\circ f)& =g(f(x))\\ & ={(f(x))}^2+2(f(x))-3\\ & ={(x-1)}^2+2(x-1)-3\\ & =(x^2-2x+1)+(2x-2)-3\\ & =x^2-4\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Diketahui fungsi}f(x)=6x-3\\ & \text{dan}g(x)=5x+4\text{dan}(f\circ g)(a)=81\\ & \text{Nilai}a\text{adalah}........(\mathbf{\text{Ebtanas 2001}})\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& -2& & & \text{d}.& 2\\ \text{b}.& -1& \text{c}.& 1& \text{e}.& 27\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\text{bahwa}:\\ & \{\begin{array}{ll}& f(x)=6x-3\\ & g(x)=5x+4\end{array}\\ & (f\circ g)(a)=81\\ & \text{maka}\\ & (f\circ g)(x)=f(g(x))\\ & =6(g(x))-3\\ & =6(5x+4)-3\\ & =30x+24-3\\ & =30x+21=81\\ & 30x+21=81\\ & 30x=81-21=60\\ & x={\displaystyle \frac{60}{30}=2}\end{array}\end{array}$.

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

$\text{A. Fungsi Komposisi}$

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Syarat}& \text{Sifat-sifat}\\ \begin{array}{rl}& R_{{}_f}\cap D_{{}_g}\ne \left\{\right\}\end{array}& \begin{array}{rl}1.& \text{Tidak komutatif}\\ & (f\circ g)(x)\ne (g\circ f)(x)\\ 2.& \text{Bersifat asosiatif}\\ & f\circ (g\circ h)(x)=(f\circ g)\circ h(x)\\ 3.& \text{Adanya unsur dentitas}\\ & (f\circ I)(x)=(I\circ f)(x)=f(x)\end{array}\\ \hline\end{array}$.

$\text{B. Fungsi Invers}$

$\begin{array}{rl}& \bullet \text{Suatu fungsi}f:A\to B\\ & \text{memiliki fungsi invers}g:B\to A\\ & \mathbf{\text{jika dan hanya jika}}f\\ & \text{merupakan fungsi}\mathbf{\text{bijektif}}\\ & \bullet \text{Jika fungsi}g\text{ada, maka}\\ & g\text{dinyatakan dengan}{f}^{-1}(\text{dibaca}:f\mathbf{\text{invers}})\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ & \mathbf{\text{Catatan}}\\ & \text{Perlu diingat bahwa pada invers }\\ & \text{fungsi komposisi berlaku }\\ & \text{ketentuan sebagai berikut}\\ ⧫& {(g\circ f)}^{-1}(x)=(f^{-1}\circ g^{-1})(x)\\ ⧫& {(f\circ g)}^{-1}(x)=(g^{-1}\circ f^{-1})(x)\\ ⧫& f(x)=({\left(f^{-1}\right)}^{-1}(x))\\ ⧫& x=f^{-1}(f(x))=(f^{-1}\circ f)(x)\\ & =(f\circ f^{-1})(x)=f(f^{-1}(x))\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah}(f\circ g)(x)\text{dan}(g\circ f)(x)\text{Jika}:\\ & \text{a}.f(x)=2-x\text{dah}g(x)=5x+3\\ & \text{b}.f(x)=2x+1\text{dah}g(x)=x^2-4\\ & \text{c}.f(x)={\displaystyle \frac{5}{x-4}\text{dah}g(x)=3x^2}\\ & \text{d}.f(x)=\sqrt{4-x}\text{dah}g(x)=x^2+x\\ & \text{e}.f(x)=x^3+1\text{dah}g(x)={\displaystyle \frac{x}{x-1}}\\ & \text{f}.f(x)={\displaystyle \frac{3}{x-2}\text{dah}g(x)=\sqrt{x-4}}\end{array}$.

Jawab: 

hanya no. 1 a saja yang dibahas

$\begin{array}{rl}1.\text{a}.(f\circ g)(x)& =f(g(x))\\ & =f(5x+3)\\ & =2-(5x+3)\\ & =-5x-1\text{dan}& \\ (g\circ f)(x)& =g(f(x))\\ & =g(2-x)\\ & =5(2-x)+3\\ & =10-5x+3\\ & =13-10x\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Diketahui bahwa}g(x)=3x+2\\ & \text{dan}(g\circ f)(x)=4x-5.\text{Tentukanlah}f(x)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}(g\circ f)(x)& =4x-5\\ g(f(x))& =4x-5\\ 3.f(x)+2& =4x-5\\ 3.f(x)& =4x-7\\ f(x)& ={\displaystyle \frac{4x-7}{3}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Diketahui bahwa}g(x)=x+4\text{dan}\\ & (f\circ g)(x)=2x^2+3.\text{Tentukanlah}f(x)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}(f\circ g)(x)& =2x^2+3\\ f(g(x))& =2x^2+3\\ f(x+4)& =2x^2+3,\\ & \text{misalkan}x+4=a\Rightarrow x=a-4,\\ \text{sehingga}& ,\\ f(a)& =2(a-4{)}^2+3\\ f(a)& =2(a^2-8a+16)+3\\ & =2a^2-16a+35\\ f(x)& =2x^2-16x+35\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Diketahui}f(x)=3x\text{dan}g(x)=3^x.\\ & \text{Tentukanlah rumus untuk}{}^{{}^{27}}\log (g\circ f)(x)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}{}^{{}^{27}}\log (g\circ f)(x)& ={}^{{}^{27}}\log g(f(x))\\ & ={}^{{}^{27}}\log 3^{3x}\\ & ={}^{{}^{3^3}}\log 3^{3x}\\ & ={}^{{}^{{}^{\left(3^3\right)}}}\log {\left(3^3\right)}^x\\ & =x\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Tentukanlah invers dari}f(x)=6^{2x}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}f(x)& =6^{2x}\\ y& =6^{2x}\\ \log y& =\log 6^{2x}\\ \log y& =2x\log 6\\ {\displaystyle \frac{\log y}{\log 6}}& =2x\\ {\displaystyle \frac{\log y}{2\log 6}}& =x\\ {\displaystyle \frac{\log y}{\log 6^2}}& =x\\ {\displaystyle \frac{\log y}{\log 36}}& =x\\ x& ={\displaystyle \frac{\log y}{\log 36}}& \\ x& ={}^{{}^{36}}\log y\\ f^{-1}(x)& ={}^{{}^{36}}\log x\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Tentukanlah inver dari}\\ & f(x)={\displaystyle \frac{2x+3}{4x-5},x\ne {\displaystyle \frac{5}{4}}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}f(x)& ={\displaystyle \frac{2x+3}{4x-5}}\\ y& ={\displaystyle \frac{2x+3}{4x-5}}\\ (4x-5)y& =2x+3\\ 4xy-5y& =2x+3\\ 4xy-2x& =5y+3\\ x(4y-2)& =5y+3\\ x& ={\displaystyle \frac{5y+3}{4y-2}}\\ f^{-1}(y)& ={\displaystyle \frac{5y+3}{4y-2}}\\ \text{maka},& \\ f^{-1}(x)& ={\displaystyle \frac{5x+3}{4x-2},x\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Jika}f(x)=-2x-4\text{dan}g(x)={\displaystyle \frac{20-3x}{2},}\\ & \text{maka nilai dari}(f\circ g{)}^{-1}(2)=....\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \mathbf{\text{Perhatikan bahwa}}\\ & \begin{array}{rl}& \\ & (f\circ g{)}^{-1}(x)=(g^{-1}\circ f^{-1})(x)\\ & \end{array}\\ & \begin{array}{|cc|}\hline (f\circ g{)}^{-1}(x)& (g^{-1}\circ f^{-1})(x)\\ \begin{array}{rl}(f\circ g)(x)& =f(g(x))\\ y& =-2\left({\displaystyle \frac{20-3x}{2}}\right)-4\\ y& =3x-20-4\\ y& =3x-24\\ y+24& =3x\\ x& ={\displaystyle \frac{y+24}{3}}\\ (f\circ g{)}^{-1}y& ={\displaystyle \frac{y+24}{3}}\\ (f\circ g{)}^{-1}(2)& ={\displaystyle \frac{2+24}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{26}{3}}\end{array}& \begin{array}{rl}(g^{-1}\circ f^{-1})(x)& =g^{-1}(f^{-1}(x))\\ & =......\\ & =....\\ & =....\\ & =....\\ & =....\\ & =....\\ & =....\\ & =....\\ & =....\\ (g^{-1}\circ f^{-1})(2)& =....\\ & =....\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Soedyarto, Nugroho, Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
2. Sunardi, Waluyo, S., Sutrisno, & Subagya. 2005. Matematika 2untuk SMA Kelas 2 IPA. Jakarta: BUMI AKSARA.

Contoh Soal 3 Fungsi

$\begin{array}{l}\\ 11.& \text{Fungsi berikut yang tidak mempunyai }\\ & \text{asimtot vertikal adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& f(x)={\displaystyle \frac{x+2}{x^2-3}}& \\ \text{b}.& f(x)={\displaystyle \frac{x}{(x-2{)}^2}}\\ \text{c}.& f(x)={\displaystyle \frac{x^2-9}{x+3}}\\ \text{d}.& f(x)={\displaystyle \frac{-3}{x}}\\ \text{e}.& \text{semuanya mempunyai asimtot vertikal}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Perh}& \text{atikanlah opsi jawaban}c,\text{yaitu}:\\ f(x)& ={\displaystyle \frac{x^2-9}{x+3}}\\ \text{Jika}& \text{disederhanakan akan menjadi }\\ & \mathbf{\text{fungsi linear}}\text{yaitu}:\\ f(x)& ={\displaystyle \frac{x^2-9}{x+3}={\displaystyle \frac{(x+3)(x-3)}{x+3}=x-3}}\\ \text{sehi}& \text{ngga fungsi pada opsi}c\\ & \text{adalah berupa persamaan linear}\\ & \text{yang secara otomatis }\\ & \mathbf{\text{tidak akan memiliki asimtot}}\end{array}\end{array}$

Contoh Soal 2 Fungsi

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Diketahui bahwa}\\ & f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& \text{untuk}x<0\\ x^2,& \text{untuk}0\le x<1\\ 2x-1,& \text{untuk}x\ge 1\end{array}\\ & \text{Nilai dari}f(-1)+f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)-f(3)\text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& -5{\displaystyle \frac{1}{4}}& & & \text{d}.& 4{\displaystyle \frac{3}{4}}\\ \\ \text{b}.& -4{\displaystyle \frac{3}{4}}& \text{c}.& 4& \text{e}.& 5{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Diketahui}& \\ f(x)& =\{\begin{array}{ll}0,& \text{untuk}x<0\\ x^2,& \text{untuk}0\le x<1\\ 2x-1,& \text{untuk}x\ge 1\end{array}\\ \text{maka nilai}& f(-1)+f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)-f(3)\\ & =0+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-(2(3)-1)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}-5}\\ & =-4{\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Jika diketahui}f(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})=x^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3},}\\ & \text{maka nilai dari}f\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)\text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 2{\displaystyle \frac{1}{8}}& & & \text{d}.& 8{\displaystyle \frac{1}{8}}\\ \\ \text{b}.& 2{\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{c}.& 4{\displaystyle \frac{1}{8}}& \text{e}.& 12{\displaystyle \frac{1}{8}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Perhatikan}& \text{bahwa}:\\ (p+q{)}^3& =p^3+3p^{2}q+3p{q}^2+q^3\\ \text{Jika kita su}& \text{bstitusikan}p=x^3\text{dan}q={\displaystyle \frac{1}{x^3}}\\ {(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^3& =x^3+3x^2\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)+3x{\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^3\\ & =x^3+{\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^3+3x+{\displaystyle \frac{3}{x}}\\ & =(x^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}})+3(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})\\ \text{sehingga}& \\ f(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})& =x^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}\\ & ={(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^3-3(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})\\ f(u)& =u^3-3u,\text{maka}\\ f\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)& ={\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^3-3\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{125}{8}-\frac{15}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{65}{8}}\\ & =8{\displaystyle \frac{1}{8}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Misal fungsi}f\text{terdefinisi untuk }\\ & \text{seluruh bilangan real}x.\\ & \text{Jika}f(p+q)=f(pq)\text{untuk semua}p,q\\ & \text{bilangan bulat positif dan}f(1)=2,\\ & \text{maka nilai}f(2021)=....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 0& & & \text{d}.& 3\\ \\ \text{b}.& 1& \text{c}.& 2& \text{e}.& 5\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Diketahui}& \text{bahwa}\\ f(1)& =2\text{dan}\\ f(p+q)& =f(pq)\\ \text{maka}& \\ f(2)& =f(1+1)=f(1.1)=f(1)=2\\ f(3)& =f(1+2)=f(1.2)=f(2)=f(1)=2\\ f(4)& =f(1+3)=f(1.3)=f(3)=f(2)=f(1)=2\\ f(5)& =f(1+4)=f(1.4)=f(4)=f(3)=f(2)=f(1)=2\\ ⋮& \\ f(2021)& =\cdots =\cdots =\cdots =f(2)=f(1)=2\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 9.& \text{Jika}{a}_{{}_0}={\displaystyle \frac{2}{5}\text{dan}{a}_{n+1}=2\left|a_n\right|-1,\text{maka nilai}{a}_{{}_{2022}}}\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& -0,6& & & \text{d}.& 0,4\\ \\ \text{b}.& -0,2& \text{c}.& 0,2& \text{e}.& 0,6\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Diketahui}& \text{bahwa}\\ a_{{}_0}& ={\displaystyle \frac{2}{5}=0,4\text{dan}{a}_{n+1}=2\left|a_n\right|-1,\text{maka}}\\ a_{{}_1}& =2\left|a_{{}_0}\right|-1=2|0,4|-1=0,8-1=-0,2\\ a_{{}_2}& =2\left|a_{{}_1}\right|-1=2|-0,2|-1=2(0,2)-1\\ & =0,4-1=-0,6\\ a_{{}_3}& =2\left|a_{{}_2}\right|-1=2|-0,6|-1=1,2-1=0,2\\ a_{{}_4}& =2\left|a_{{}_3}\right|-1=2|0,2|-1=0,4-1=-0,6={\mathbf{\text{a}}}_{{}_{\mathbf{\text{2}}}}\\ a_{{}_5}& =2\left|a_{{}_4}\right|-1=2|-0,6|-1=1,2-1=0,2={\mathbf{\text{a}}}_{{}_{\mathbf{\text{3}}}}\\ a_{{}_6}& =2\left|a_{{}_5}\right|-1=2|0,2|-1=0,4-1=-0,6={\mathbf{\text{a}}}_{{}_{\mathbf{\text{2}}}}\\ a_{{}_7}& =2\left|a_{{}_6}\right|-1=2|-0,6|-1=1,2-1=0,2={\mathbf{\text{a}}}_{{}_{\mathbf{\text{3}}}}\\ ⋮& \\ a_{{}_{2022}}& =\cdots =\cdots ={\mathbf{\text{a}}}_{{}_{\mathbf{\text{2}}}}=-0,6\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 10.& \text{Kurva}f(x)={\displaystyle \frac{10}{x^2-10x+25}}\\ & \text{mempunyai asimtot vertikal pada}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& x=0\text{saja}& & & \\ \text{b}.& x=5\text{saja}& \\ \text{c}.& x=10\text{saja}\\ \text{d}.& x=0\text{dan}x=5\text{saja}\\ \text{e}.& x=0,x=5,\text{dan}x=10\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\mathbf{\text{Asimtot vertikal}}& (\mathbf{\text{tegak}})\text{diperoleh saat}\\ x^2-10x+25& =0\\ (x-5{)}^2& =0\\ x-5& =0\\ x& =5\\ \\ \text{Ilustrasinya gamba}& \text{rnya adalah sebagai berikut}:\end{array}\end{array}.$

Limit Fungsi Aljabar (XI Matematika Wajib)

Contoh Soal 3 Peluang Kejadian Majmuk

$\begin{array}{ll}11.& \text{Jika kejadian}A\text{dan}B\text{adalah dua kejadian}\\ & \text{dengan}P(A)={\displaystyle \frac{8}{15},P(B)={\displaystyle \frac{7}{12},\text{dan}}}\\ & P(A|B)={\displaystyle \frac{4}{7},\text{maka nilai}P(B|A)=....}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{8}{45}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{5}{8}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{1}{3}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{3}{8}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{7}{15}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah contoh}\\ & \text{kejadian}\mathbf{\text{tidak saling bebas (bersyarat)}}.\\ & \text{Diketahui bahwa}\\ & P(A)={\displaystyle \frac{8}{15},P(B)={\displaystyle \frac{7}{12},P(A|B)={\displaystyle \frac{4}{7}}}}\\ & \text{Ditanyakan nilai}P(B|A)=...?\\ & \text{maka}\\ & \begin{array}{rl}P(A\cap B)& =P(A\cap B)\\ P(A)\times P(B|A)& =P(B)\times P(A|B)\\ P(B|A)& ={\displaystyle \frac{P(B)\times P(A|B)}{P(A)}}\\ & ={\displaystyle \frac{\left({\displaystyle \frac{7}{12}}\right)\times \left({\displaystyle \frac{4}{7}}\right)}{{\displaystyle \frac{8}{15}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{{\displaystyle \frac{8}{15}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{15}{8}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{8}}\end{array}\end{array}\end{array}$

Contoh Soal 2 Peluang Kejadian Majmuk

$\begin{array}{ll}6.& \text{Sebuah kantong berisi 7 kelereng merah,}\\ & \text{5 kelereng hijau, dan 4 kelereng biru}\\ & \text{Diambil sebuah kelereng secara acak.}\\ & \text{Peluang yang terambil merah atau hijau}\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{5}{16}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{3}{4}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{7}{16}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah contoh}\\ & \text{kejadian}\mathbf{\text{saling lepas}}.\text{Misalkan}\\ & A=\text{kejadian terambil 1 kelereng merah}\\ & n(A)=C(7,1)=\left(\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right)=7\\ & B=\text{kejadian terambil 1 kelereng hijau}\\ & n(B)=C(5,1)=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)=5\\ & S=\text{semua dianggap identik}\\ & n(S)=C(16,1)=\left(\begin{array}{c}16\\ 1\end{array}\right)=16\\ & \text{maka}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)\\ & ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{7}{16}+\frac{5}{16}=\frac{12}{16}={\displaystyle \frac{3}{4}}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}7.& \text{Dari 100 orang yang mengikuti kegiatan}\\ & \text{jalan santai terdapat 60 orang memakai}\\ & \text{topi dan 45 orang yang berkacamata.}\\ & \text{Peluang bahwa seorang yang dipilih dari}\\ & \text{kelompok orang itu memakai topi dan}\\ & \text{kacamata adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{1}{20}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{11}{20}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{2}{5}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{9}{20}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Perhatikanlah ilustrasi}\mathbf{\text{Diagram Venn}}\\ & \text{berikut ini}\\ & \begin{array}{|ccl|}\hline \begin{array}{|l|}\hline \text{S}=100\\ \hline\end{array}& & \\ & \text{A}\text{B}& \\ & \begin{array}{|lcr|}\hline 60-n& n& 45-n\\ \hline\end{array}& \\ & & \\ \hline\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah contoh}\\ & \text{kejadian}\mathbf{\text{tidak saling lepas}}.\\ & A=\text{kejadian terpilih seorang bertopi}\\ & n(A)=C(60,1)=\left(\begin{array}{c}60\\ 1\end{array}\right)=60\\ & B=\text{kejadian terpilih seorang berkacamata}\\ & n(B)=C(45,1)=\left(\begin{array}{c}45\\ 1\end{array}\right)=45\\ & A\cap B=\text{terpilih seorang bertopi dan}\\ & \text{berkacamata}\\ & n(A\cap B)=x\\ & S=\text{semua dianggap identik}\\ & n(S)=C(100,1)=\left(\begin{array}{c}100\\ 1\end{array}\right)=100\\ & \text{maka}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & {\displaystyle \frac{n(A\cup B)}{n(S)}={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-{\displaystyle \frac{n(A\cap B)}{n(S)}}}}\\ & {\displaystyle \frac{100}{100}=\frac{60}{100}+\frac{45}{100}-\frac{x}{100}}\\ & {\displaystyle \frac{x}{100}={\displaystyle \frac{105}{100}-\frac{100}{100}}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{100}=\frac{1}{20}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}8.& \text{Diketahui dua buah kotak A dan B}\\ & \text{berisi 5 bola putih dan 3 bola merah.}\\ & \text{Kotak B berisi 4 bola putih dan 2 bola}\\ & \text{merah. Jika diambil secara acak 1 kotak,}\\ & \text{kemudian diambil secara acak 1 bola dari}\\ & \text{kotak tersebut, maka peluang terambilnya}\\ & \text{bola putih adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{5}{16}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{1}{3}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{7}{16}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{31}{48}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah kejadian}\\ & \mathbf{\text{saling lepas}}\text{dari dua kejadian Q}\\ & \text{dan R. Misalkan}:\\ & \text{Pada kotak A}\\ & Q=\text{Terambil 1 bola putih di kotak A}\\ & n(Q)=C(5,1)=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)=5\\ & S_Q=\text{Terambil 1 bola saja di kotak A}\\ & n(S_Q)=C(8,1)=\left(\begin{array}{c}8\\ 1\end{array}\right)=8\\ & \text{Pada kotak B}\\ & R=\text{Terambil 1 bola putih di kotak B}\\ & n(R)=C(4,1)=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)=4\\ & S_R=\text{Terambil 1 bola saja di kotak B}\\ & n(S_R)=C(6,1)=\left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)=6\\ & \text{Karena kejadian pengambilan sebuah}\\ & \text{bola putih di atas adalah dari pilihan}\\ & \text{dua buah kotak yang ada, maka peluang}\\ & \text{pengambilannya adalah 1 dari 2 kotak}\\ & \text{peluang kejadian ini adalah}={\displaystyle \frac{1}{2}.}\\ & \text{Sehingga peluang kasus di atas adalah}:\\ & {\displaystyle \frac{1}{2}P(Q\cup R)={\displaystyle \frac{1}{2}(P(Q)+P(R))}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\left({\displaystyle \frac{n(Q)}{n(S_Q)}+\frac{n(R)}{n(S_R)}}\right)}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\left({\displaystyle \frac{5}{8}+\frac{4}{6}}\right)}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\left({\displaystyle \frac{31}{24}}\right)={\displaystyle \frac{31}{48}}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}9.& \text{Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola }\\ & \text{putih. Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5}\\ & \text{biru. Dari tiap-tiap kotak diambil 2 bola}\\ & \text{sekaligus secara acak. Peluang terambil 2}\\ & \text{bola merah pada kotak I dan 2 bola biru}\\ & \text{dari kotak II adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{1}{10}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{3}{8}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{3}{28}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{4}{15}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{57}{140}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah kejadian}\\ & \mathbf{\text{saling bebas}}\text{dari dua kejadian A}\\ & \text{dan B. Misalkan}:\\ & \text{Pada kotak I}\\ & A=\text{Terambil 2 bola merah di kotak I}\\ & n(A)=C(3,2)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=3\\ & S=\text{Terambil 2 bola saja di kotak I}\\ & n(S)=C(5,2)=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=10\\ & \text{Pada kotak II}\\ & B=\text{Terambil 2 bola biru di kotak II}\\ & n(B)=C(5,2)=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=10\\ & S=\text{Terambil 2 bola saja di kota II}\\ & n(S)=C(8,2)=\left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right)=28\\ & \text{Sehingga peluang kasus di atas adalah}:\\ & {\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\times P(B)}\\ & ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times \frac{n(B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{10}\times \frac{10}{28}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{28}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}10.& \text{Jika kejadian}A\text{dan}B\text{dapat terjadi secara}\\ & \text{bersamaan. Jika}P(A)=0,6,P(B)=0.75,\\ & \text{dan}P(A\cap B)=0,43,\text{maka}P(A\cup B)=....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 0,98}& & & \text{d}.& {\displaystyle 0,92}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 0,96}& \text{c}.& {\displaystyle 0,94}& \text{e}.& {\displaystyle 0,91}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah contoh}\\ & \text{kejadian}\mathbf{\text{tidak saling lepas}}.\\ & \text{Diketahui bahwa}\\ & P(A)=0,6,P(B)=0,75,P(A\cap B)=0,43\\ & \text{Ditanyakan nilai}P(A\cup B)=...?\\ & \text{maka}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & =0,6+0,75-0,43\\ & =0,92\end{array}\end{array}$

Contoh Soal 1 Peluang Kejadian Majmuk

$\begin{array}{ll}1.& \text{Banyak anggota ruang sampel dari}\\ & \text{pelemparan sebuah dadu dan dua }\\ & \text{keping mata uang secara bersamaan}\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 4}& & & \text{d}.& {\displaystyle 24}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 6}& \text{c}.& {\displaystyle 12}& \text{e}.& {\displaystyle 36}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}1& \text{mata dadu}=P(6,1)=6\\ 2& \text{keping mata uang}=P(2,1)\times P(2,1)=4\\ \text{R}& \text{uang sampelnya adalah}:6\times 4=24\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}2.& \text{Setumpuk kartu remi diambil sebuah}\\ & \text{kartu secara acak. Peluang agar kartu}\\ & \text{yang terambil bukan kartu king}\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 0}& & & \text{d}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{12}{13}}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{13}}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{e}.& {\displaystyle 1}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misalkan}A=\text{Kejadian muncul kartu king}\\ & n(A)=\text{banyak kartu king ada}=4\\ & n(S)=\text{total kartu}=4\times 13\\ & A^{\prime }=\text{kejadian muncul bukan kartu king}\\ & \text{maka peluangnya bukan kartu king}:\\ & P(A^{\prime })=1-P(A)=1-{\displaystyle \frac{4}{4\times 13}=\frac{12}{13}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}3.& \text{Sebuah dadu dilempar sekali. Peluang}\\ & \text{muncul mata dadu 3 atau lebih adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{6}}}& & & \text{d}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{3}{5}}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{3}}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misal}A=\text{muncul mata dadu 3 atau lebih}\\ & A=\{3,4,5,6\}\\ & S=\{1,2,3,4,5,6\}\\ & \text{maka}n(A)=4\text{dengan}(S)=6\\ & P(A)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}4.& \text{Sebuah dadu dan sebuah mata uang logam}\\ & \text{dilempar bersama-sama. Peluang muncul}\\ & \text{gambar pada mata uang dan mata 1 pada}\\ & \text{dadu adalah}....\\ & \begin{array}{llllll}\text{a}.& {\displaystyle \frac{1}{12}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{1}{3}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{1}{6}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{1}{4}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Cara pertama}}\\ & \text{Perhatikan tabel berikut}\\ & \begin{array}{|ccccccc|}\hline ◻& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ A& (A,1)& (A,2)& (A,3)& (A,4)& (A,5)& (A,6)\\ G& (G,1)& (G,2)& (G,3)& (G,4)& (G,5)& (G,6)\\ \hline\end{array}\\ & \text{dari tabel di atas didapatkan bahwa}:\\ & A=\text{kejadian muncul mata 1 pada dadu}\\ & n(A)=2\\ & B=\text{kejadian muncul gambar pada uang}\\ & n(B)=6\\ & A\cap B=\text{kejadian muncul 1 pada dadu}\\ & \text{gambar pada koin}\\ & n(A\cap B)=1\\ & \text{dengan}n(S)=12,\\ & \text{maka peluang muncul mata 1 dan gambar}\\ & P(A\cap B)={\displaystyle \frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\frac{1}{12}}\\ & \mathbf{\text{Cara kedua}}\\ & \text{Karena ini dua kejadian}\mathit{\text{saling bebas}}\\ & \text{maka}\\ & P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\\ & ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times \frac{n(B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{12}\times \frac{6}{12}=\frac{12}{144}=\frac{1}{12}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}5.& \text{Peluang Dika lulus ujian adalah}0,75\text{dan}\\ & \text{peluang Tutik lulus ujian adalah}0,80.\\ & \text{Peluang keduanya lulus ujian adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 0,4}& & & \text{d}.& {\displaystyle 0,7}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 0,5}& \text{c}.& {\displaystyle 0,6}& \text{e}.& {\displaystyle 0,8}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Dua kejadian ini adalah}\mathit{\text{saling bebas}}\\ & \text{Misal}A=\text{Kejadian Dika lulus}\\ & n(A)=\cdots \text{tidak diketahui, tetapi}\\ & P(A)=0,75={\displaystyle \frac{3}{4},\mathbf{\text{diketahui}}}\\ & \text{dan}B=\text{Tutik lulus}\\ & n(B)=\cdots \text{juga tidak diketahui}\\ & P(B)=0,8={\displaystyle \frac{4}{5}}\\ & P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\\ & ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times \frac{n(B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{4}\times \frac{4}{5}=\frac{3}{5}=0,6}\end{array}\end{array}$

Contoh Soal 3 Kaidah Pencacahan

$\begin{array}{ll}11.& \text{Nilai}n\text{yang memenuhi persamaan}\\ & \left(\begin{array}{c}100\\ 45\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 5n\end{array}\right)\text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 15}& & & \text{d}.& {\displaystyle 12}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 14}& \text{c}.& {\displaystyle 13}& \text{e}.& {\displaystyle 11}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\\ & \left(\begin{array}{c}100\\ 45\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 5n\end{array}\right),\text{maka}\\ & 45+5n=100\\ & 5n=100-45=55\\ & n={\displaystyle \frac{55}{5}=11}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}12.& \text{Koefisien suku ke-4 dari}(2x-3{)}^4\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle -216}& & & \text{d}.& {\displaystyle 81}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle -96}& \text{c}.& {\displaystyle 16}& \text{e}.& {\displaystyle 216}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\\ & (2x-3{)}^4={\displaystyle \sum _{i=0}^4\left(\begin{array}{c}4\\ i\end{array}\right)(2x{)}^{4-i}(-3{)}^i}\\ & \text{Suku ke-4-nya adalah}:r=4.\\ & \text{Suku ke-r}=\left(\begin{array}{c}n\\ r-1\end{array}\right)a^{n-r+1}{b}^{r-1}\\ & \text{Sehingga suku ke-4 adalah}:\\ & =\left(\begin{array}{c}4\\ 4-1\end{array}\right)(2x{)}^{4-4+1}(-3{)}^{4-1}\\ & =\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)(2x{)}^1(-3{)}^3\\ & ={\displaystyle \frac{4!}{3!\times 1!}2x(-27)}\\ & =-4.2.27x\\ & =-216\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}13.& \text{Bentuk sederhana dari}{\displaystyle \sum _{r=1}^{n}r{\displaystyle \left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)}}\\ & \text{dengan}\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\text{adalah}....}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 2^{n+1}}& & & \text{d}.& {\displaystyle 3^n}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle n{2}^{n-1}}& \text{c}.& {\displaystyle n{2}^n}& \text{e}.& {\displaystyle 3^{n+1}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{r=1}^{n}r{\displaystyle \left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)}}& ={\displaystyle \sum _{r=1}^{n}r{\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}}\\ & ={\displaystyle \sum _{r=1}^{n}r{\displaystyle \frac{n(n-1)!}{r(r-1)!(n-r)!}}}\\ & =n{\displaystyle \sum _{r=1}^n{\displaystyle \frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}}}\\ & =n{\displaystyle \sum _{r=1}^n{\displaystyle \frac{(n-1)!}{(r-1)!((n-1)-(r-1))!}}}\\ & ={\displaystyle \sum _{r=1}^n\left(\begin{array}{c}n-1\\ r-1\end{array}\right)}\\ & =n{.2}^{r-1}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}14.& \text{Banyaknya diagonal segi 6 adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 15}& & & \text{d}.& {\displaystyle 9}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 14}& \text{c}.& {\displaystyle 10}& \text{e}.& {\displaystyle 6}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Banyak diagonal segi}-n\text{adalah}:\\ & C(n,2)-n.\text{Jika seperti soal dengan}\\ & n=6,\text{maka}\\ & C(6,2)={\displaystyle \frac{6!}{2!\times 4!}=\frac{6\times 5\times \text{⧸}4!}{2\times 1\times \text{⧸}4!}=15}\\ & \text{Sehingga}\\ & C(6,2)-6=15-6=9\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}15.& \text{Diketahui himpunan yang terdiri dari 5}\\ & \text{huruf vokal dan 10 huruf konsonan yang}\\ & \text{semuanya berlainan. Dari himpunan itu}\\ & \text{disusun suatu kata yang terdiri dari 2}\\ & \text{huruf vokal dan 3 konsonan. Banyak kata}\\ & \text{yang dapat disusun sebanyak}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 144.000}& & & \text{d}.& {\displaystyle 72.000}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 126.000}& \text{c}.& {\displaystyle 96.000}& \text{e}.& {\displaystyle 36.000}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa ingin menyusun}\\ & \mathbf{\text{5 huruf dengan susunan berbeda}}\\ & \mathit{\text{yang tersusun dari}}\\ & \text{2 dari 5 vokal berbeda disusun, dan}\\ & \text{3 dari 10 konsonan berbeda juga disusun}\\ & \text{maka banyak susunan kata terbentuk}:\\ & \text{Seperti menyusun 5 objek (kombinasi)}\\ & \text{2 benda dari 5 benda, atau 3 }\\ & \text{benda yang terbentuk dari 5}\\ & \text{objek yg tidak identik(permutasi)}\\ & \mathbf{\text{Cara pertama}}\\ & =C((2+3),2)\times P(5,2)\times P(10,5)\\ & ={\displaystyle \frac{5!}{2!\times 3!}\times \frac{5!}{(5-2)!}\times \frac{10!}{(10-3)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{5!}{2!\times 3!}\times \frac{5!}{3!}\times \frac{10!}{7!}}\\ & =10\times 60\times 720\\ & =144.000\\ & \mathbf{\text{Cara kedua}}\\ & =C((2+3),3)\times P(5,2)\times P(10,5)\\ & ={\displaystyle \frac{5!}{3!\times 2!}\times \frac{5!}{(5-2)!}\times \frac{10!}{(10-3)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{5!}{3!\times 2!}\times \frac{5!}{3!}\times \frac{10!}{7!}}\\ & =10\times 60\times 720\\ & =144.000\end{array}\end{array}$

Contoh Soal 2 Kaidah Pencacahan

$\begin{array}{ll}6.& \text{Banyaknya cara menyusun huruf-huruf dari}\\ & \text{kata "SEMARANG" adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 1680}& & & \text{d}.& {\displaystyle 20320}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 6720}& \text{c}.& {\displaystyle 20160}& \text{e}.& {\displaystyle 40320}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Penyelesaian di atas dapat diselesaikan}\\ & \text{baik dengan permutasi maupun kombinasi}\\ & \text{Susunan huruf berbeda yang diambil dari}\\ & \text{kata "SEMARANG" adalah}:\\ & \{\begin{array}{ll}\text{S}& =1\\ \text{E}& =1\\ \text{M}& =1\\ \text{A}& =2\\ \text{R}& =1\\ \text{N}& =1\\ \text{G}& =1\end{array}\\ & \text{Jumlah huruf ada 8 buah}\\ & \text{Dengan cara permutasi}\\ & \begin{array}{rl}P(n;n_1,n_2,n_2,...,n_r)& ={\displaystyle \frac{n!}{n_1!.n_2!.n_3!...n_r!}}\\ P(8;1,1,1,2,1,1,1)& ={\displaystyle \frac{8!}{1!.1!.1!.2!.1!.1!.1!}}\\ & ={\displaystyle \frac{40.320}{2}}\\ & =20.160\end{array}\\ & \text{Dengan cara kombinasi}\\ & \begin{array}{rl}C(n;...)& ={\displaystyle \frac{n!}{n_1!.n_2!.n_3!...n_r!}}\\ C(8;...)& ={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{1}).(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1}).(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1}).(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}).(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}).(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})}\\ & ={\displaystyle 8.7.6.{\displaystyle \frac{5.4}{2}.3.2}}\\ & ={\displaystyle \frac{40.320}{2}}\\ & =20.160\end{array}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}7.& \text{Jumlah susunan dari sebelas huruf}\\ & \mathbf{\text{MISSISSIPPI}}\\ & \text{Banyak susunan berbeda dari semua}\\ & \text{huruf di atas jika keempat huruf}\mathbf{\text{I}}\\ & \text{selalu tampil berdampingan}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{9!}{2!4!}}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{6!}{2!4!}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{8!}{2!4!}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{7!}{2!4!}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{5!}{2!4!}}\end{array}\\ \\ & \text{National University of Singapore}\\ & \text{Sample Test Entrance Examination}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Pandang semua huruf}I\text{dianggap 1}\\ & \text{maka perhitungannnya}\\ & P(8;1,1,4,2)={\displaystyle \frac{8!}{2!4!}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}8.& \text{Nilai dari}P(4,2)\times P(5,3)=....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 12}& & & \text{d}.& {\displaystyle 480}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 48}& \text{c}.& {\displaystyle 60}& \text{e}.& {\displaystyle 720}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& P(4,2)\times P(5,3)\\ & ={\displaystyle \frac{4!}{(4-2)!}\times \frac{5!}{(5-3)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{4!}{2!}\times \frac{5!}{2!}}\\ & ={\displaystyle \frac{4.3.\text{⧸}2!}{\text{⧸}2!}\times \frac{5.4.3.\text{⧸}2!}{\text{⧸}2!}}\\ & =720\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}9.& \text{Nilai}n\text{jika}P(n+1,3)=P(n,4)\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 3}& & & \text{d}.& {\displaystyle 6}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 4}& \text{c}.& {\displaystyle 5}& \text{e}.& {\displaystyle 7}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}P(n+1,3)& =P(n,4)\\ {\displaystyle \frac{(n+1)!}{((n+1)-3)!}}& ={\displaystyle \frac{n!}{(n-4)!}}\\ {\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n-2)!}}& =\frac{n!}{(n-4)!}\\ {\displaystyle \frac{(n+1).\text{⧸}n!}{(n-2).(n-3).\text{⧸}(n-4)!}}& ={\displaystyle \frac{\text{⧸}n!}{\text{⧸}(n-4)!}}\\ {\displaystyle \frac{n+1}{n^2-5n+6}}& =1\\ n^2-5n+6& =n+1\\ n^2-6n+5& =0\\ (n-1)(n-5)& =0\\ n=1\text{atau}n=5& \end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}10.& \text{Berikut ini nilainya tidak sama dengan}\\ & C(7,5)\text{adalah}....\\ \\ & (i){\displaystyle \frac{7!}{5!(7-5)!}}\\ \\ & (ii)C(6,1)\\ \\ & (iii){\displaystyle \frac{P(7,5)}{5!}}\\ \\ & (iv)\left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle (i),(ii),\mathrm{\&}(iii)}& & & \text{d}.& {\displaystyle \text{hanya}(i)}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle (i)\mathrm{\&}(iii)}& \text{c}.& (ii)\mathrm{\&}(iv)& \text{e}.& {\displaystyle \text{hanya}(iv)}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & C(7,5)={\displaystyle \frac{P(7,5)}{5!}=\frac{7!}{5!(7-5)!}}\end{array}$

Contoh Soal 1 Kaidah Pencacahan

$\begin{array}{ll}1.& \text{Nilai dari}{\displaystyle \frac{1}{14!}-\frac{10}{15!}+\frac{4}{16!}}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{114}{16!}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{9}{16!}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{108}{16!}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{84}{16!}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{4}{16!}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{14!}}& -{\displaystyle \frac{10}{15!}+\frac{4}{16!}}\\ & ={\displaystyle \frac{15\times 16}{14!\times 15\times 16}-\frac{10\times 16}{15!\times 16}+\frac{4}{16!}}\\ & ={\displaystyle \frac{240}{16!}-\frac{160}{16!}+\frac{4}{16!}}\\ & ={\displaystyle \frac{84}{16!}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}2.& \text{Permutasi 4 unsur dari 11 unsur}\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 7980}& & & \text{d}.& {\displaystyle 7290}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 7920}& \text{c}.& {\displaystyle 7820}& \text{e}.& {\displaystyle 7280}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}P(n,r)& ={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}}\\ P(11,4)& ={\displaystyle \frac{11!}{(11-4)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{11!}{7!}=\frac{11\times 10\times 9\times 8\times \text{⧸}7!}{\text{⧸}7!}}\\ & =7920\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}3.& \text{Empat siswa dan dua siswi akan duduk}\\ & \text{berdampingan. Apabila siswi selalu duduk}\\ & \text{paling pinggir, banyak cara mereka duduk}\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 24}& & & \text{d}.& {\displaystyle 64}\\ \text{b}.& {\displaystyle 48}& \text{c}.& {\displaystyle 56}& \text{e}.& {\displaystyle 72}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Total ada 6 anak; 4 siswa, 2 siswi}\\ & \text{Karena ini posisi orang, maka dan semuanya}\\ & \text{tidak identik, maka dapat diurutkan}\\ & \text{Sehingga rumus yang dipergunakan adalah}\\ & \text{permutasi, yaitu}:\\ & \text{Perhatikan posisi mereka}\\ & \mathbf{\text{Posisi pertama}}\\ & \begin{array}{|cccccc|}\hline (1)& (2)& (3)& (4)& (5)& (6)\\ \text{A}& ◻& ◻& ◻& ◻& \text{B}\\ \hline\end{array}\\ & =P(1,1)\times P(4,4)\times P(1,1)=24\\ & \mathbf{\text{Posisi kedua}}\\ & \begin{array}{|cccccc|}\hline (1)& (2)& (3)& (4)& (5)& (6)\\ \text{B}& ◻& ◻& ◻& ◻& \text{A}\\ \hline\end{array}\\ & =P(1,1)\times P(4,4)\times P(1,1)=24\\ & \text{Total}=24+24=48\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}4.& \text{Jika}P(7,r)=210,\text{maka nilai}r\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 2}& & & \text{d}.& {\displaystyle 5}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 3}& \text{c}.& {\displaystyle 4}& \text{e}.& {\displaystyle 6}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}P(7,r)& ={\displaystyle \frac{7!}{(7-r)!}}\\ 210& ={\displaystyle \frac{7!}{(7-r!)}}\\ (7-r)!& ={\displaystyle \frac{7!}{210}=\frac{7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{7\times 5\times 3\times 2\times 1}}\\ (7-r)!& =6.4=24\\ (7-r)!& =4!\\ 7-r& =4\\ r& =7-4\\ r& =3\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}5.& \text{Banyaknya cara milih 4 orang dari 10 orang }\\ & \text{anggota jika salah seorang di antaranya}\\ & \text{selalu terpilih adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 72}& & & \text{d}.& {\displaystyle 504}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 84}& \text{c}.& {\displaystyle 252}& \text{e}.& {\displaystyle 3024}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Cara memilih}=\text{Kombinasi}=C(10-1,4-1)\\ & \text{karena 1 orang di antaranya selalu ada/terpilih}\\ & =C(9,3)\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3})\\ & ={\displaystyle \frac{9!}{3!\times (9-3)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{9\times 8\times 7\times \text{⧸}6!}{3\times 2\times \times \text{⧸}6!}}\\ & ={\displaystyle \frac{9.8.7}{3.2}}\\ & =84\end{array}\end{array}$

Lanjutan 3 Materi Peluang Kejadian Majmuk (Matematika Wajib Kelas XII)

 $\begin{array}{rl}\text{E. 4}.& \text{Peluang Kejadian Saling Lepas}\end{array}$

Kasus ini terjadi jika dua kejadian tidak mungkin secara bersamaan. Jika kejadian A dan kejadian B saling lepas seperti ini maka   $(A\cap B)=\varnothing$. Untuk penentukan besar peluangnya adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)\\ \\ \mathbf{\text{Keterang}}& \mathbf{\text{an}}:\\ P(A\cup B)& =\text{Peluang kejadian A atau B}\\ P(A)& =\text{Peluang kejadian A}\\ P(B)& =\text{Peluang kejadian B}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{E. 5}.& \text{Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas}\end{array}$

Kasus ini terjadi jika dua kejadian dapat terjadi secara bersamaan. 

$\begin{array}{rl}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ \\ \mathbf{\text{Keterang}}& \mathbf{\text{an}}:\\ P(A\cup B)& =\text{Peluang kejadian A atau B}\\ P(A\cap B)& =\text{Peluang kejadian A dan B}\\ P(A)& =\text{Peluang kejadian A}\\ P(B)& =\text{Peluang kejadian B}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sebuah dadu dilempar, Peluang }\\ & \text{munculnya mata dadu 5 atau 6 adalah}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}A& =\text{Kejadian muncul mata dadu 5}=\left\{5\right\}\\ & n(A)=1\\ B& =\text{Kejadian muncul mata dadu 6}=\left\{6\right\}\\ & n(B)=1\\ S& =\text{Semua mata dadu}=\{1,2,3,4,5,6\}\\ P& (A\cup B)=P(A)+P(B)\\ P& (A\cup B)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}={\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}}}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Atau}}\\ & \text{Soal di atas dapat dikerjakan dengan rumus}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & \text{Karena antara kejadian muncul mata}\\ & \text{dadu 5 dan mat dadu 6 tidak ada irisannya}\\ & \text{maka irisannya haruslah bernilai}0\text{atau}\\ & \text{nilai}n(A\cap B)=0,\text{maka}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & P(A\cup B)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\frac{n(A\cap B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{0}{6}=\frac{2}{6}={\displaystyle \frac{1}{3}}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Dua buah dadu dilempar sekali. Peluang}\\ & \text{munculnya mata dadu berjumlah 3 atau 10}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikan tabel berikut}\\ & \begin{array}{|ccccccc|}\hline ◻& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 1& (1,1)& (1,2)& (1,3)& (1,4)& (1,5)& (1,6)\\ 2& (2,1)& (2,2)& (2,3)& (2,4)& (2,5)& (2,6)\\ 3& (3,1)& (3,2)& (3,3)& (3,4)& (3,5)& (3,6)\\ 4& (4,1)& (4,2)& (4,3)& (4,4)& (4,5)& (4,6)\\ 5& (5,1)& (5,2)& (5,3)& (5,4)& (5,5)& (5,6)\\ 6& (6,1)& (6,2)& (6,3)& (6,4)& (6,5)& (6,6)\\ \hline\end{array}\\ & \text{Misal}\\ & A=\text{Kejadian jumlah mata dadu 3}\\ & \Rightarrow n(A)=2\\ & B=\text{Kejadian jumlah mata dadu 10}\\ & \Rightarrow n(B)=3\\ & S=\text{Semua mata dadu}\Rightarrow n(S)=36\\ & \text{Gunakan rumus}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & P(A\cup B)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(A)}{n(S)}-\frac{n(A\cap B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{36}+\frac{3}{36}-\frac{0}{36}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{36}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Seratus kartu yang diberi diberi nomor urut}\\ & \text{1 sampai 100 diambil sebuah saja}.\\ & \text{Tentukanlah peluang}\\ & \text{a}.\text{muncul kelipatan 4}\\ & \text{b}.\text{muncul kelipatan 6}\\ & \text{c}.\text{muncul kelipatan 4 atau 6}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& S=\{1,2,3,4,\cdots ,100\}\Rightarrow n(S)=100\\ & A=\text{Kejadian muncul kelipatan 4}\\ & \iff A=\{4\times 1,4\times 2,\cdots ,4\times 25\}\Rightarrow n(A)=25\\ & B=\text{Kejadian muncul kelipatan 6}\\ & \iff B=\{6\times 1,6\times 2,\cdots ,6\times 16\}\Rightarrow n(B)=16\\ & \text{Tentunya kesamaan antara kejadian A dan B}\\ & \text{dan ini dilambangkan dengan}(A\cap B),\text{maka}\\ & (A\cap B)=\{12\times 1,12\times 2,\cdots ,12\times 8\}\\ & \Rightarrow n(A\cap B)=8\\ & \text{Selanjutnya adalah}:\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\frac{n(A\cap B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{25}{100}+\frac{16}{100}-\frac{8}{100}}\\ & ={\displaystyle \frac{33}{100}}\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI (Wajib). Bandung: SEWU.
2. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiyadi, U. 2005. Matematika untuk SMA dan MA Program Studi Ilmu Alam Kelas XI. Klaten: INTAN PARIWARA.
3. Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika 3 SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.

Lanjutan 2 Materi Peluang Kejadian Majmuk (Matematika Wajib Kelas XII)

 $\begin{array}{rl}\text{E}.& \text{Peluang Kejadian Majmuk}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{E. 1}.& \text{Peluang Komplemen Suatu Kejadian}\end{array}$

Komplemen suatu kejadian A misalnya adalah kejadian tidak terjadinya A dan dinotasikan dengan  $A^{\prime }\text{atau}{A}^c$

Selanjutnya peluang kejadian bukan A dituliskan dengan  $P(A^{\prime })\mathrm{atau}P(A^c)$ dan 

$P(A^{\prime })=1-P(A)\mathrm{atau}P(A^{\prime })+P(A)=1$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Dua puluh kartu diberi angka}1,2,3,\cdots ,20\\ & \text{Setelah semuanya bernomor kemudian kartu}\\ & \text{tersebut dikocok. Jika sebuah kartu diambil}\\ & \text{secara acak, maka peluang bahwa kartu yang}\\ & \text{termabil bukan angka prima}\\ 2.& \text{Jika sebuah keluarga merencanakan kelahiran}\\ & \text{dengan 4 anak anak. Peluang paling sedikit}\\ & \text{memiliki satu anak laki-laki}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ 1.& A=\text{Kejadian nomor prima}\\ & A=\{2,3,5,7,11,13,17,19\}\Rightarrow n(A)=8\\ & \text{Peluang terambilnya sebuah kartu prima}:\\ & P(A)={\displaystyle \frac{C(8,1)}{C(20,1)}=\frac{8}{20}}\\ & \text{Sehingga peluang termabilnya 1 kartu}\\ & \text{bukan prima adalah}:\\ & P(A^{\prime })=1-P(A)=1-{\displaystyle \frac{8}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}}\\ 2.& S=\text{Kejadian total kelahiran 4 anak}\\ & n(S)=C(2,1)\times C(2,1)\times C(2,1)\times C(2,1)\\ & \iff n(S)=2\times 2\times 2\times 2=16\text{susunan anak}\\ & =\{LLLL,LLLP,LLPL,LLPP,\cdots ,PPPP\}\\ \\ & \text{Jika}B=\text{Kejadian Kelahiran tanpa anak laki-laki}\\ & \text{atau kejadian semuanya perempuan=PPPP=1}\\ & \text{hanya akan terjadi 1 dari 16},\\ & \text{maka}n(B)=1.\text{Sehingga}\\ & P(B)={\displaystyle \frac{n(B)}{n(S)}=\frac{1}{16}}\\ & \text{Peluang kejadian kelahiran tanpa anak}\\ & \text{perempuan adalah}:\\ & P(B^{\prime })=1-P(B)=1-{\displaystyle \frac{1}{16}=\frac{15}{16}}\\ \\ & \text{Atau dengan cara langsung pun bisa sebenarnya}\\ & B^{\prime }=\text{Kejadian lahir minimal satu laki-laki}\\ & \text{maka}n(B^{\prime })=15\\ & P(B^{\prime })={\displaystyle \frac{n(B^{\prime })}{n(S)}=\frac{15}{16}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{E. 2}.& \text{Peluang Dua Kejadian Saling Bebas}\end{array}$

Dua kejadian dianggap saling bebas jika munculnya kejadian yang pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian yang kedua.

$\begin{array}{rl}P(A\cap B)& =P(A)\times P(B)\\ \\ \mathbf{\text{Keteran}}& \mathbf{\text{gan}}:\\ P(A\cap B)& =\text{Peluang kejadian A dan B}\\ P(A)& =\text{Peluang kejadian A}\\ P(B)& =\text{Peluang kejadian B}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{E. 3}.& \text{Peluang Dua Kejadian Tidak Saling Bebas}\end{array}$

Dua kejadian disebut dua kejadian tidak saling bebas jika munculnya kejadian pertama akan mempengaruhi peluang munculnya kejadian yang kedua, demikian sebaliknya. Selanjutnya kasus ini dinamakan peluang dua kejadian bersyarat

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}\bullet P(A|B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}& ,\text{dengan}P(B)\ne 0\\ \text{Peluang kejadian B}& \text{yang pertama terjadi}\\ \\ \bullet P(B|A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}& ,\text{dengan}P(A)\ne 0\\ \text{Peluang kejadian A}& \text{yang pertama terjadi}\end{array}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 6 bola}\\ & \text{biru. Dari kotak tersebut diambil bola satu}\\ & \text{persatu}\\ & \text{a}.\text{Tentukanlah peluang Jika bola pertama}\\ & \text{terambil merah lalu dikembalikan lalu}\\ & \text{terambil biru}\\ & \text{b}.\text{Tentukan peluang jika tanpa dikembalikan}\\ & \text{pada kasus 3.a di atas}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misalkan}\\ & X=\text{kejadian terambil merah pada proses 1}\\ & Y=\text{kejadian terambil biru pada proses 2}\\ & \text{a}.P(X\cap Y)=P(X)\times P(Y)\\ & ={\displaystyle \frac{C(5,1)}{C(11,1)}\times \frac{C(6,1)}{C(11,1)}={\displaystyle \frac{5\times 6}{11\times 11}=\frac{30}{121}}}\\ & \text{b}.P(X\cap Y)=P(X)\times P(Y)=P(X)\times P(Y|X)\\ & ={\displaystyle \frac{C(5,1)}{C(11,1)}\times \frac{C(6,1)}{C(10,1)}={\displaystyle \frac{5\times 6}{11\times 10}=\frac{3}{11}}}\\ & \text{ingat saat tanpa pengembalian, maka}\\ & \text{jumlah bola total berkurang 1}\end{array}\end{array}$

Lanjutan Materi Peluang Kejadian Majmuk (Matematika Wajib Kelas XII)

 $\begin{array}{rl}\text{C}.& \text{Peluang Kejadian Tunggal}\end{array}$

Jika A adalah suatu kejadian dengan  $A\subset S$  dan S suatu ruang sampel, maka peluang kejadian A didefinisikan dengan

$\begin{array}{rl}& P(A)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}}\\ \mathbf{\text{Keterangan}}& :\\ & \\ P(A)& =\text{Peluang kejadian}A\\ n(A)& =\text{Banyak elemen pada suatu}\\ & \text{kejadian}A\\ n(S)& =\text{Banyak titik sampel pada}\\ & \text{ruang sampel}S\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{Dari}\text{k}& \text{emungkinan di atas}\\ \text{dapat}& \text{disimpulkan}\\ \text{a}& \text{Kisaran nilai peluangnya, yaitu}\\ & 0\le P(A)\le 1\\ \text{b}& \text{Jika}A=\varnothing ,\text{maka}P(A)=0\\ & \text{dan ini dinamakan kejadian}\\ & \mathbf{\text{yang mustahil}}\\ \text{c}& \text{Jika}A=S,\text{maka}P(A)=1\\ & \text{dan kejadian ini dinamakan}\\ & \text{kejadian yang}\mathbf{\text{pasti terjadi}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{D}.& \text{Frekuensi Harapan Suatu Kejadian}\end{array}$

Frekuensi harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang suatu kejadian dengan dengan banyaknya percobaan dan dirumuskan dengan

$\begin{array}{rl}{f}_h(A)& ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times n}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sebuah dadu dilempar sekali. Berapakah}\\ & \text{peluang munculnya mata dadu lebih}\\ & \text{dari 3}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Misalkan}A\text{kejadian muncul mata dadu}\\ & \text{lebih dari 3, maka}\\ & S=\{1,2,3,4,5,6\},\text{dan}\\ & A=\{4,5,6\}\\ & \text{Sehingga}\\ & P(A)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}\\ & \text{Jadi, peluang kejadian ini adalah}{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

Peluang Kejadian Majmuk (Matematika Wajib Kelas XII)

Masih ingat konsep materi peluang pada saat Amda duduk di SMP? 

$\begin{array}{rl}\text{A}.& \text{Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian}\end{array}$

Mari lakukan aktivitas berikut

$\begin{array}{|clcc|}\hline \text{No}.& \text{Percobaan}& \text{Titik}& \text{Notasi}\\ & & \text{Sampel}& \text{Himpunan}\\ 1& \text{Pelemparan sekeping}& & \\ & \text{uang logam}& \text{A},\text{G}& \{A,G\}\\ 2& \text{Pelemparan dua keping}& AA,& \\ & \text{mata uang logam}& AG,& \\ & \text{secara bersamaan}& GA,& \cdots \\ & & GG& \\ 3& \text{Pelemparan sebuah}& & \\ & \text{dadu}& \cdots & \cdots \\ 4& \text{Pelemparan dua buah}& & \\ & \text{dadu secara bersamaan}& \cdots & \cdots \\ \hline\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \text{Sebagai penjelasan istilah di atas adalah}:\\ & \mathbf{\text{Percobaan}}:\text{proses berupa tindakan yang}\\ & \text{bisa diamati atau dapat juga dikatakan}\\ & \text{suatu tindakan untuk mendapatkan hasil}\\ & \text{tertentu}\\ & \mathbf{\text{Ruang sampel}}:\text{kumpulan dari semua}\\ & \text{hasil yang mungkin dari sebuah percobaan}\\ & \mathbf{\text{Titik Sampel}}:\text{tiap hasil yang mungkin}\\ & \mathbf{\text{Kejadian}}\text{atau}\mathbf{\text{peristiwa (event)}}:\\ & \text{hasil-hasil (titik-titik sampel) tertentu}\\ & \text{dari ruang sampel}.\end{array}$

Selanjutnya ruang sampel dilambangkan dengan S dan kejadian/event dilambangkan dengan E.

$\begin{array}{rl}\text{B}.& \text{Penentuan Ruang Sampel}\end{array}$

Ada 2 macam penentuan ruang sampel, yaitu tabel dan diagram pohon

Sebagai misal pada pelemparan 3 buah uang koin sebanyak tiga kali, maka akan didapatkan ruang sampel sebagai berikut

$\begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Dengan tabel}\\ & \text{Mula-mula (pelemparan)}1\mathrm{\&}2\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline & A& G\\ A& AA& AG\\ G& GA& GG\\ \hline\end{array}\\ & \text{selanjutnya pada pelemparan ke-3}\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline & A& G\\ AA& AAA& AAG\\ AG& AGA& AGG\\ GA& GAA& GAG\\ GG& GGA& GGG\\ \hline\end{array}\\ \text{b}& \text{Dengan Diagram Pohon}\\ & \begin{array}{rl}\text{Mula}& (1)(2)(3)\mathbf{\text{Ruang sampel}}\\ \mathbf{\text{Mulai}}& \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (A,A,A)\\ G\to (A,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (A,G,A)\\ G\to (A,G,G)\end{array}\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (G,A,A)\\ G\to (G,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (G,G,A)\\ G\to (G,G,G)\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Pada percobaan pelemparan sebuah dadu},\\ & \text{tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}\\ & \text{b}.\text{titik sampel}\\ & \text{c}.\text{banyak titik sampel}\\ & \text{d}.\text{banyak kejadian muncul mata dadu 6}\\ & \text{e}.\text{banyak kejadian muncul mata dadu ganjil}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}S=\{1,2,3,4,5,6\}\\ & \text{b}.\text{titik sampel}:1,2,3,4,5\text{dan}6\\ & \text{c}.\text{banyak titik sampel}:n(S)=6\\ & \text{d}.\text{kejadian muncul mata dadu 6},E=\left\{6\right\}\\ & n(E)=1\\ & \text{e}.\text{kejadian muncul mata dadu ganjil},\\ & E=\{1,3,5\},n(E)=3\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Pada percobaan pelemparan sekeping uang}\\ & \text{logam, tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}\\ & \text{b}.\text{titik sampel}\\ & \text{c}.\text{banyak titik sampel}\\ & \text{d}.\text{banyak kejadian muncul sisi angka}\\ & \text{e}.\text{banyak kejadian muncul sisi gambar}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}S=\{A,G\}\\ & \text{b}.\text{titik sampel}:A\text{dan}G\\ & \text{c}.\text{banyak titik sampel}:n(S)=2\\ & \text{d}.\text{kejadian muncul sisi angka},E=\left\{A\right\}\\ & n(E)=1\\ & \text{e}.\text{kejadian muncul sisi gambar},E=\left\{G\right\}\\ & n(E)=1\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Pada percobaan pelemparan 2 keping uang}\\ & \text{logam, tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}\\ & \text{b}.\text{titik sampel}\\ & \text{c}.\text{banyak titik sampel}\\ & \text{d}.\text{banyak kejadian muncul 2 angka}\\ & \text{e}.\text{banyak kejadian muncul minimal}\\ & \text{sebuah sisi gambar}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}\\ & S=\{AA,AG,GA,GG\}\\ & \text{b}.\text{titik sampel}:AA,AG,GA\text{dan}GG\\ & \text{c}.\text{banyak titik sampel}:n(S)=4\\ & \text{d}.\text{kejadian muncul 2 sisi angka},E=\left\{AA\right\}\\ & n(E)=1\\ & \text{e}.\text{kejadian muncul minimal}\\ & \text{sebuah sisi gambar}E=\{AG,GA,GG\}\\ & n(E)=3\end{array}$

Lanjutan Materi Distribusi Binomial (Matematika Peminatan Kelas XII)

 $\begin{array}{rl}\text{D}.& \text{Binomial Newton}\end{array}$

 $\begin{array}{rl}\text{D. 1}.& \text{Binomial Newton}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \text{Perhatikanlah susunan bilangan berikut}\\ \\ & \begin{array}{|cl|}\hline & \\ 1=C_0^{1}1=C_1^1& (a+b{)}^1\\ & \\ 1=C_0^{2}2=C_1^{2}1=C_2^2& (a+b{)}^2\\ & \\ 1=C_0^{3}3=C_1^{3}3=C_2^{3}1=C_3^3& (a+b{)}^3\\ & \\ 1=C_0^{4}4=C_1^{4}6=C_2^{4}4=C_3^{4}1=C_4^4& (a+b{)}^4\\ ⋮& ⋮\\ dst& (a+b{)}^{\cdots }\\ & \\ ⋮& ⋮\\ & (a+b{)}^n\\ \hline\end{array}\\ \\ & \text{Susunan bilangan-bilangan di atas selanjutnya}\\ & \text{dinamakan}\mathbf{\text{Segitiga Pascal}}\\ & \end{array}$

$\begin{array}{rl}& \text{Bilangan}{C}_r^n=\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)\text{merupakan koefisien}\\ & \text{dari binomial}(a+b{)}^n\\ & \text{Selanjutnya perhatikanlah bahwa untuk}\\ & n=1,2,3,4,\cdots \text{berlaku}\\ & \begin{array}{rl}(a+b{)}^n=& C_0^n{a}^n{b}^0+C_1^n{a}^{n-1}{b}^1+C_2^n{a}^{n-2}{b}^2\\ & +C_3^n{a}^{n-3}{b}^3+\cdots +C_{n-3}^n{a}^3{b}^{n-3}\\ & +C_{n-2}^n{a}^2{b}^{n-2}+C_{n-1}^n{a}^1{b}^{n-1}+C_n^n{a}^0{b}^n\\ & ={\displaystyle \sum _{r=0}^n{C}_r^n{a}^{n-r}{b}^r}\end{array}\\ & \end{array}$

$\text{D. 2 Perluasan Binomial Newton}$

$\begin{array}{rl}& \text{Untuk bilangan real}n\text{dan bilangan}\\ & \text{non negatif}r,\text{serta}\left|A\right|<1,\text{berlaku}:\\ & (1+A{)}^n={\displaystyle \sum _{r=0}^n{C}_r^n{A}^r}\end{array}$

$\text{D. 3 Teorema Multinomial}$

Pada bentuk multinomial dengan ekspresi  $(x_1+x_2+x_3+\cdots +x_r{)}^n$  dengan n dan r bilangan bulat positif, maka koefisien dari  $x_1^{n_1}{x}_2^{n_2}{x}_3^{n_3}\cdots x_r^{n_r}$   adalah  ${\displaystyle \frac{n!}{n_1!n_2!n_3!\cdots n_r!}}$  dinotasikan dengan  $\left(\begin{array}{c}n\\ \\ n_1,n_2,n_3,\cdots ,n_r\end{array}\right)$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Misalkan untuk}n\text{bilangan bulat}\\ & \text{Positif. Tunjukklan bahwa}\\ & \text{a}.(1+x{)}^n={\displaystyle \sum _{r=0}^n{C}_r^n{x}^r={\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)x^r}}\\ & \text{b}.\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)+\cdots +\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)=2^n\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.(1+x)& {}^n\\ =& C_0^n{1}^n{x}^0+C_1^n{1}^{n-1}{x}^1+C_2^n{1}^{n-2}{x}^2\\ & +C_3^n{1}^{n-3}{x}^3+\cdots +C_{n-3}^n{1}^3{x}^{n-3}\\ & +C_{n-2}^n{1}^2{x}^{n-2}+C_{n-1}^n{1}^1{x}^{n-1}+C_n^n{1}^0{x}^n\\ =& C_0^n+C_1^{n}x+C_2^n{x}^2+C_3^n{x}^3+\cdots \\ & +C_{n-3}^n{x}^{n-3}+C_{n-2}^n{x}^{n-2}+C_{n-1}^n{x}^{n-1}\\ & +C_n^n{x}^n\\ \text{atau}& \text{dengan bentuk lain}\\ =& \left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)x^2+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)x^3\\ & +\cdots +\left(\begin{array}{c}n\\ n-3\end{array}\right)x^{n-3}+\left(\begin{array}{c}n\\ n-2\end{array}\right)x^{n-2}\\ & +\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)x^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)x^n\\ =& {\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)x^r}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{b}.(1+x)& {}^n\text{lihat jawaban poin}a,\text{saat}x=1\\ (1+1)& {}^n=\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)1+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)1^2+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)1^3\\ & +\cdots +\left(\begin{array}{c}n\\ n-3\end{array}\right)1^{n-3}+\left(\begin{array}{c}n\\ n-2\end{array}\right)1^{n-2}\\ & +\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)1^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)1^n\\ (2)& {}^n=\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)\\ & +\cdots +\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)\\ =& {\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)}\\ \text{Sehing}& \text{ga}\\ 2^n& ={\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Misalkan untuk}n\text{bilangan bulat}\\ & \text{Positif. Tunjukklan bahwa}\\ & \left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)-\cdots +(-1{)}^n\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)=0\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\\ & \text{Sebelumnya diketahui bahwa}\\ & \begin{array}{rl}& (a+b{)}^n={\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)a^{n-r}{b}^r}\\ & \text{atau}\\ & {\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)a^{n-r}{b}^r=(a+b{)}^n}\\ & ⧫\text{saat}a=b=1,\text{maka}\\ & {\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)1^{n-r}{1}^r=(1+1{)}^n}\\ & \iff {\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)=2^n...(\text{bukti no. 1.b})}\\ & ⧫\text{saat}a=1\mathrm{\&}b=-1\text{maka}\\ & {\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)1^{n-r}(-1{)}^r=(1-1{)}^n=0}\\ & \text{Sehingga}\\ & \left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)-\cdots +(-1{)}^n\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)=0◼\end{array}\end{array}$

 $\begin{array}{rl}\text{E}.& \text{Distribusi Binomial}\end{array}$

Perhatikan materi Binomial Newton di atas berkaitan dengan distribusi binomial. Misalkan suatu kejadian yang hanya memberikan dua hasil saja  $a$  dan  $b$ saja seperti melambungkan sebuah uang koin yang akan menghasilkan 2 hasil saja yang mungkin, yaitu antara sisi gambar $G$ atau muncul sisi angka $A$ atau pada contoh lainnya adalah ketika seseorang yang menunggu hasil hasil ujian yang jelas hasilnya kemungkinannya cuma dua, yaitu lulus atau tidak lulus.

Percobaan acak yang hanya memberikan 2 hasil saja disebut percobaan $Bernoulli$. Selanjujtnya percobaan Bernoulli yang dilakukan sebanyak $n$ kali dinamakan dengan  $\text{percobaan}\text{Binomial}$.

Variabel acak $X$ yanmg mana nilai-nilainya ditentukan oleh hasil dari percobaan binomial disebut sebagai  Variabel Acak Binomial. 

Berikut ciri-ciri percobaan binomial

• Percobaan dilakukan secara berulang sebanyak  $n$  kali, dengan  $n$ bilangan bulat positif
• Setiap percobaan memiliki dua macam hasil saja dan saling berkomplemen, yaitu kejadian yang diharapkan (disebut sukses) dan kejadian yang tidak diharapkan (disebut tidak sukses)
• Peluang setiap kejadian bersifat tetap untuk setiap percobaan dan jumlah peluangnya baik sukses maupun yang tidak sukses  sama dengan 1. Misalkan peluang suksesny adalah  $p$, maka peluang gagalnya adalah  $q=1-p$
• Setiap percobaan bebas $(independent)$ satu sama lainnya, artinya hasil percobaan yang satu tidak mempengaruhi percobaan yang lain.

Secara umum rumus fungsi  $\text{distribusi binomial}$ adalah:

$\begin{array}{rl}& f(x)=P(x;n;p)=C(n,x)p^x{q}^{n-x}=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x{q}^{n-x}\\ & \mathbf{\text{Keterangan}}:\\ & \bullet C(n,x)=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)=\text{koefisien bibonial}\\ & \bullet x=\text{banyak kejadian yang diharapkan},\\ & \text{dengan nilai}x=0,1,2,3,\cdots ,n\\ & \bullet p=\text{peluang kejadian yang diharapkan}\\ & \bullet q=\text{peluang kejadian yang tidak diharapkan}\end{array}$

Jika rumus dari fungsi peluang di atas dijabarkan akan menjadi berupa bentuk penjumlahan, maka

$\begin{array}{rl}F(t)& =P(X\le t)\\ & ={\displaystyle \sum _{x=0}^{x=t}\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x{q}^{n-x}}\\ & =\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)p^0{q}^{n-0}+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)+p^1{q}^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)p^2{q}^{n-2}+\cdots +\left(\begin{array}{c}n\\ t\end{array}\right)p^t{q}^{n-t}\end{array}$

Dan rumus di atas karena tidak sepenuhnya sampai  $n$ , maka akan diperoleh fungsi binomial. kumulatif.

Hasil perhitungan $f(x)=P(x;n;p)$  juga dapat dilihat dalam tabel distribusi binomial. Sebagai contohnya adalah $P(2;4;0,05)$ yang berarti  $x=2$, $n=4$,  dan  $p=0,05$ berikut tabelnya:

(Sumber: Buku Siswa Matematika Kelas XII, penulis Tasari, dkk, 2016; hal :126, PT.INTAN PARIWARA)

Sedangkan untuk mencari nilai fungsi peluang distribusi binomial kumulatif, misalkan diberikan  $F(2)=P(X\le 2)$  dari  $P(2;4;0,05)$  perhatikanlah tabel distribusi untuk distribusi peluang kumulatif dari sumber buku yang sama tetapi terdapat pada halaman berikutnya dengan melihat kolom  $p=0,05$  , lalu perhatikan baris  $x=2$  untuk  $n=2$. Berikut tabelnya

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Dari sebuah survei didapatkan bahwa}\\ & \text{1 dari 5 orang berkata bah dia telah}\\ & \text{mengunjungi dokter dalam sembarang}\\ & \text{bulan. Jika 10 orang dipilih secara acak}\\ & \text{maka peluang 3 orang telah berkunjung}\\ & \text{ke dokter pada bulan kemaren adalah}....\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& n=10,x=3,p={\displaystyle \frac{1}{5},q=\frac{4}{5}}\\ & \text{maka}\\ & P(3;10;{\displaystyle \frac{1}{5})=\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^3{\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^7}\end{array}\\ & =0,201\end{array}$

$\text{TAMBAHAN}$

$\begin{array}{rl}\text{E}.& \text{Dsitribusi Poisson}\end{array}$

Perhatikanlah rumus ditribusi binomial berikut

$\begin{array}{rl}& f(x)=P(x;n;p)\\ & =C(n,x)p^x{q}^{n-x}=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x{q}^{n-x}\end{array}$

Saat harga  $p$ sebagai lmabang sukses tersebut sangat kecil atau kecil sekali dapat juga dikatakan  $p\to 0$, dan percobaan dilakukan banyak sekali atau  $n\to \mathrm{\infty }$ , maka penggunaan formula binomial akan terasa sulit. Dan untuk tetap mendapatkan nilai seperti hasil pada perhitungan dengan rumus binomial tersebut, maka digunakan pendekatan nilai dengan menggunkan rumus Distribusi Poisson berikut:

$f(x)=P(X=x)=P(x;\lambda )={\displaystyle \frac{{\lambda }^x}{x!}.e^{-\lambda }}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Pada tiap 100 lembarkertas produksi}\\ & \text{suatu pabrikdiperkirakan terdapat 1}\\ & \text{lembar yang rusak. Tentukanlah}\\ & \text{kemungkinan mendapat selembar kertas}\\ & \text{dari 20 lembar yang diambil secara acak}\\ & \text{dari hasil produksi tersebut}!\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& n=10,x=1,p={\displaystyle \frac{1}{100},q=\frac{99}{100}}\\ & \text{maka penghitungan dengan}\\ & \text{rumus}\mathbf{\text{Distribusi Binomial}}\\ & P(1;20;{\displaystyle \frac{1}{100})=\left(\begin{array}{c}20\\ 1\end{array}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{100}}\right)}^1{\left({\displaystyle \frac{99}{100}}\right)}^{19}}\\ & =\cdots \\ \text{b}.& \text{Dengan rumus}\mathbf{\text{Distribusi poisson}}\\ & \bullet n=20\to \text{terlalu besar, dan}\\ & \bullet p={\displaystyle \frac{1}{100}\to \text{terlalu kecil, maka}}\\ & \text{dengan}\lambda =np=20\times {\displaystyle \frac{1}{100}=0,2}\\ & \text{dan}e=2,7183(\text{bilangan Euler})\\ & f(x)=P(X=x)={\displaystyle \frac{{\lambda }^x}{x!}.e^{-\lambda }}\\ & f(1)={\displaystyle \frac{(0,2{)}^1.e^{-0,2}}{1!}}\\ & =0,2\times 0,409\\ & =0,0818\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
2. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI. Bandung: SEWU.
3. Rasiman, Rahmawati, N., D. 2012. Matematika Diskrit. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press.
4. Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.
5. Tasari, Sksin, N., Miyanto, & Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: PT. INTAN PARIWARA.
6. Yuliatun. 2019. Matematika IPA Kelas XII SMA/MA Semester Genap. Solo: INDONESIA JAYA

Lanjutan Materi Distribusi Peluang Kontinu (Matematika Peminatan Kelas XII)

 $\begin{array}{rl}\text{C. 2}.& \text{Distribusi Peluang Kontinue}\end{array}$

Jika pada distribusi peluang diskrit nilai  x diperjelas lagi menjadi nilai eksak atau kontinue, maka distribusi peluangnya akan berubah menjadi distribusi peluang kontinu.

Luas seluruh daerah di dalam kurva memiliki luas 1. Luas daerah pada wilayah yang diarsi (warna kuning) yang terletak antara X=a  dan X=b dapat dinyatakan dengan :  $P(a\le X\le b)={\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}$.

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Fungsi peluang lama bicara seorang}\\ & \text{operator sebagai berikut}\\ & f(x)=\{\begin{array}{ll}kx& \text{untuk}0\le k\le 5\\ k(10-x)& \text{untuk}5\le k\le 10\\ 0& \text{untuk}x\text{yang lain}\end{array}\\ & \text{Tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{Nilai}k\\ & \text{b}.\text{Peluang operator telpon berbicara}\\ & \text{lebih dari 8 menit}\\ & \text{Peluang operator telpon berbicara}\\ & \text{2 sampai 4 menit}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Karena}f(x)\text{adalah fungsi peluang, maka}\\ & {\displaystyle {\int }_0^{5}kxdx+{\int }_5^{10}k(10-x)dx=1}\\ & \iff {\left[{\displaystyle \frac{1}{2}k{x}^2}\right]}_0^5+{[10kx-{\displaystyle \frac{1}{2}k{x}^2}]}_5^{10}=1\\ & \iff {\displaystyle \frac{1}{2}k(5^2-0^2)+(10k(10-5)-{\displaystyle \frac{1}{2}k({10}^2-5^2)})=1}\\ & \iff {\displaystyle \frac{1}{2}k(25)+10k(5)-{\displaystyle \frac{1}{2}k(100-25)=1}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{25}{2}k+50k-{\displaystyle \frac{75}{2}k=1}}\\ & \iff 50k-25k=1\\ & \iff 25k=1\\ & \iff k={\displaystyle \frac{1}{25}}\\ \text{b}.& \text{Misalkan saja}\\ & X=\text{lama operator telpon bicara}\\ & \text{Peluang operator berbicara lebih}\\ & \text{dari 8 menit}=P(X>8),\\ & P(X>8)=P(8<X\le 10)\\ & ={\displaystyle {\int }_8^{10}k(10-x)dx}\\ & ={\displaystyle {\int }_8^{10}\frac{1}{25}(10-x)dx}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{25}{[10x-{\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2}]}_8^{10}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{25}(10(10-8)-{\displaystyle \frac{1}{2}({10}^2-8^2)})}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{25}(10.(2)-{\displaystyle \frac{1}{2}(100-64)})}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{25}(20-{\displaystyle \frac{1}{2}(36)})}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{25}(20-18)}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{25}(2)=\frac{2}{25}=0,08}\\ \text{c}.& \text{Peluang operator telpon berbicara}\\ & P(2\le X\le 4)\\ & ={\displaystyle {\int }_2^{4}kxdx}\\ & ={\displaystyle {\int }_2^4{\displaystyle \frac{1}{25}xdx}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{25}{\left[{\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2}\right]}_2^4}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{25}\times \frac{1}{2}(4^2-2^2)}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{50}(16-4)}\\ & ={\displaystyle \frac{12}{50}=0,24}\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kurnia, N., dkk. 2018. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Peminatan MIPA. Bogor: YUDHISTIRA.
2. Tasari. Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.

Contoh Soal Fungsi

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Relasi berikut yang akan berupa fungsi adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& f(x)=\sqrt{x}& & & \\ \text{b}.& f(x)=1-\sqrt{x}& \\ \text{c}.& f(x)=\sqrt{x}+1& \\ \text{d}.& f(x)=\sqrt{x}-1\\ \text{e}.& f(x)=\left|x\right|\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{|clc|}\hline \text{No}& \text{Fungsi}& \text{Grafik}\\ 1.\text{a}& f(x)=y=\sqrt{x}& y^2=x\\ 1.\text{b}& f(x)=y=1-\sqrt{x}& (1-y{)}^2=x\\ 1.\text{c}& f(x)=y=1+\sqrt{x}& (y-1{)}^2=x\\ 1.\text{d}& f(x)=y=\sqrt{x}-1& (y+1{)}^2=x\\ 1.\text{e}& f(x)=y=\left|x\right|& y=\{\begin{array}{ll}x& \text{ jika}x\ge 0\\ -x& \text{ jika }x<0\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Dengan prepeta yang berbeda}\\ & \text{akan menghasilkan peta yang}\\ & \text{berbeda pula (fungsi bijektif)}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Fungsi dari himpunan A ke himpunan B }\\ & \text{berikut termasuk jenis fungsi}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ ..& \text{Relasi berikut yang akan berupa fungsi adalah}....\\ & \text{a}.\text{fungsi umum}\\ & \text{b}.\text{fungsi satu-satu, tetapi bukan fungsi pada}\\ & \text{c}.\text{fungsi pada, tetapi bukan fungsi satu-satu}\\ & \text{d}.\text{fungsi pada dan satu-satu}\\ & \text{e}.\text{tidak ada jawaban yang benar}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{|ccl|}\hline \text{No}& \text{Keterangan}& \text{Alasan}\\ 2.\text{a}& \text{Sesuai}& \text{Sesuai definisi fungsi}\\ 2.\text{b}& \text{Salah}& \begin{array}{rl}& \text{Karena bukan fungsi }\\ & \text{satu-satu(fungsi injektif)}\\ & \text{walau benar dikatakan bukan}\\ & \text{fungsi pada (fungsi surjektif)}\end{array}\\ 2.\text{c}& \text{Salah}& \begin{array}{rl}& \text{Karena bukan fungsi }\\ & \text{pada(fungsi surjektif)}\\ & \text{walau benar dikatakan bukan }\\ & \text{fungsi satu-satu (fungsi injektif)}\end{array}\\ 2.\text{d}& \text{Salah}& \begin{array}{rl}& \text{Jelas bukan fungsi pada }\\ & \text{dan satu-satu(fungsi bijektif)}\end{array}\\ 2.\text{e}& \text{Salah}& \text{Tidak sesuai}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Himpunan pasangan terurut }\\ & \text{yang ditunjukkan oleh fungsi}\\ & f:x\mapsto 2-{(x+1)}^2\\ & \text{dari domain}\{-1,0,1,2\}\text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& \{(-1,2),(0,3),(1,5),(2,7)\}\\ \text{b}.& \{(-1,2),(0,1),(1,-2),(2,-7)\}\\ \text{c}.& \{(-1,1),(0,-1),(1,-4),(2,7)\}\\ \text{d}.& \{(-1,0),(0,3),(1,-2),(2,7)\}\\ \text{e}.& \{(-1,0),(0,-4),(1,5),(2,-7)\}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}f:x& \mapsto 2-{(x+1)}^2\\ -1& \mapsto 2-{(-1+1)}^2=2-0=2& ....(-1,2)\\ 0& \mapsto 2-{(0+1)}^2=2-1=1& ....(0,1)\\ 1& \mapsto 2-{(1+1)}^2=2-4=-2& ....(1,-2)\\ 2& \mapsto 2-{(2+1)}^2=2-9=-7& ....(2,-7)\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Dari beberapa fungsi berikut yang }\\ & \text{merupakan fungsi genap adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& f(x)=x^2+\left|x\right|-1\\ \text{b}.& f(x)=x^3-\left|x\right|+x\\ \text{c}.& f(x)=x\left|x\right|+x\\ \text{d}.& f(x)=\sqrt{x-1}\\ \text{e}.& f(x)=4-2x\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \\ \text{Suatu fungsi}& \text{dinamakan fungsi genap}\\ & \text{jika}f(x)=f(-x)\\ & \end{array}\\ & \begin{array}{|cllc|}\hline \text{No}& f(x)& f(-x)& \text{Keterangan}\\ 4.\text{a}& x^2+\left|x\right|-1& x^2+\left|x\right|-1& f(x)=f(-x)\\ 4.\text{b}& x^3-\left|x\right|+x& -x^3-\left|x\right|-x& f(x)\ne f(-x)\\ 4.\text{c}& x\left|x\right|+x& -x\left|x\right|-x& f(x)\ne f(-x)\\ 4.\text{d}& \sqrt{x-1}& \sqrt{-x-1}& f(x)\ne f(-x)\\ 4.\text{e}.& 4-2x& 4+2x& f(x)\ne f(-x)\\ \hline\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Diketahui himpunan}\\ & A=\left\{x|x\text{adalah faktor prima dari}16\right\}\\ & B=\left\{x|x\text{adalah faktor dari}16\right\}\\ & \text{Banyaknya pemetaan dari}AkeB\text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 1& & & \text{d}.& 25\\ \\ \text{b}.& 2& \text{c}.& 5& \text{e}.& 32\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}A& =\left\{x|x\text{adalah faktor prima dari}16\right\}\\ & =\left\{2\right\}\Rightarrow n(A)=1\\ B& =\left\{x|x\text{adalah faktor dari}16\right\}\\ & =\{1,2,4,8,16\}\Rightarrow n(B)=5\\ \text{B}& \text{anyaknya pemetaan dari}A\text{ke}B\text{adalah}:\\ & =n(B{)}^{n(A)}\\ & =5^1\\ & =5\end{array}\end{array}$