PAS MATEMATIKA BLOG: November 2022

$\begin{array}{ll} 31. & 2 + 4 + 6 + 8 + \dots = . . . . . \\ A . \sum_{k = 1}^{n} 2 k \\ B . \sum_{k = 1}^{n} 2^{k} \\ C . \sum_{k = 1}^{n} 2 k - 1 \\ D . \sum_{k = 1}^{n} (2 - k) \\ E . \sum_{k = 1}^{n} k \\ Jawab : \\ Cukup Jelas bahwa \\ \begin{aligned} 2 + 4 + 6 + 8 + \dots \\ 2 (1 + 2 + 3 + 4 + \dots) & = 2 \sum_{k = 1}^{n} k = \sum_{k = 1}^{n} 2 k \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 32. & (UN 2005) \\ Seorang anak menabung di suatu bank dengan \\ selisih kenaikan tabungan antarbulan tetap \\ Pada bulan pertama sebesar Rp50.000,00, \\ bulan kedua Rp55.000,00, bulan ketiga \\ Rp60.000,00, dan demikian seterusnya . \\ Besar tabungan anak tersebut selama \\ dua tahun adalah . . . . . \\ A . Rp1.315.000,00 \\ B . Rp1.320.000,00 \\ C . Rp2.040.000,00 \\ D . Rp2.580.000,00 \\ E . Rp2.640.000,00 \\ Jawab : \\ Diketahui deret aritmetika dengan \\ \begin{aligned} ∙ a = U_{1} = Rp 50.000, 00 \\ ∙ U_{2} = Rp 55.000, 00 \\ ∙ b = U_{2} - U_{1} = Rp 5.000, 00 \\ Ditanya: Besar tabungan selama 2 tahun \\ \begin{aligned} S_{n} & = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) b) \\ Ka & rena 2 tahun = 24 bulan, maka \\ S_{24} & = \frac{24}{2} (2 \times 50.000 + (24 - 1) \times 5.000) \\ = 12 (100.000 + 115.000) = 2.580 .000 \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 33. & (UN 2006) \\ Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 meter dan \\ memantul kembali dengan ketinggian \frac{3}{4} dari \\ tinggi semula dan begitu seterusnya hingga bola \\ berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah . . . . . \\ A . 65 meter \\ B . 70 meter \\ C . 75 meter \\ D . 77 meter \\ E . 80 meter \\ Jawab : \\ Perhatikan ilustrasi gambar berikut \end{array}$ .

$. \begin{aligned} Soal terkait dengan deret geometri tak hingga \\ Yaitu : S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}, dengan | r | < 1 \\ \begin{aligned} S & = 10 + 2. \frac{3}{4} .10 + 2. \frac{3}{4} . \frac{3}{4} .10 + 2. \frac{3}{4} . \frac{3}{4} . \frac{3}{4} .10 + . . . \\ = 10 + 20. \frac{3}{4} + 20. {(\frac{3}{4})}^{2} + 20 + {(\frac{3}{4})}^{3} + . . . \\ = 10 + 20 (\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + . . .) \end{aligned} \\ adalah deret geometri tak hingga dengan \\ a = r = \frac{3}{4}, maka \\ \begin{aligned} S_{\infty} & = 10 + 20. (\frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{4}}) = 10 + 20. (\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}) \\ = 10 + 20.2 = 10 + 60 = 70 meter \end{aligned} \end{aligned}$ .

$. \begin{aligned} Alternatif Jawaban \\ Dengan rumus praktis, yaitu \\ \begin{matrix} \begin{aligned} Panjang seluruh lintasan bola \end{aligned} \\ \begin{matrix} \begin{aligned} S & = Jatuh 1 \times \frac{Jumlah perbandingan}{Selisih perbandingan} \\ = 10 \times \frac{4 + 3}{4 - 3} = 10 \times \frac{7}{1} = 70 meter \end{aligned} \end{matrix} \end{matrix} \end{aligned}$ .

$\begin{array}{ll} 34. & ^{4} \log 2 +^{4} \log 4 +^{4} \log 16 +^{4} \log 64 + . . . \\ membentuk . . . . . \\ A . deret aritmetika dengan beda^{4} \log 2 \\ B . deret geometri dengan pembanding^{4} \log 2 \\ C . deret aritmetika dengan beda 2 \\ D . deret geometri dengan pembanding 2 \\ E . bukan deret geometri maupun matematika \\ Jawab : \\ \begin{aligned} S_{n} & =^{4} \log 2 +^{4} \log 4 +^{4} \log 16 +^{4} \log 64 + . . . \\ =^{4} \log 4^{\frac{1}{2}} +^{4} \log 4^{1} +^{4} \log 4^{2} +^{4} \log 4^{3} + . . . \\ = \frac{1}{2} + 1 + 2 + 3 + . . . \\ dengan a = U_{1} = \frac{1}{2}, U_{2} = 1, & U_{3} = 2 \\ Kita perlu cek dengan ciri masing-masing \\ deret, yaitu : \\ \begin{array}{ll} Deret Aritmetika & Deret Geometri \\ \begin{aligned} 2 U_{2} = U_{1} + U_{3} \\ atau \\ 2 U_{n + 1} = U_{n} + U_{n + 2} \end{aligned} & \begin{aligned} U_{2}^{2} = U_{1} \times U_{3} \\ atau \\ U_{n + 1}^{2} = U_{n} \times U_{n + 2} \end{aligned} \\ \begin{aligned} 2. (1) \neq \frac{1}{2} + 2 \end{aligned} & \begin{aligned} (1)^{2} = \frac{1}{2} \times 2 \\ (2)^{2} \neq 1 \times 2 \end{aligned} \end{array} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 35. & Suatu modal sebesar M rupiah dibungakan dengan \\ bunga p % pertahun. Jika bunganya majmuk, maka \\ setelah n tahun modal tersebut akan menjadi . . . . \\ A . M + (p / 100)^{n} \\ B . (M + p % . M)^{n} \\ C . n M . p % \\ D . M (1 - 0, 5)^{n} \\ E . M (1 + p %)^{n} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Untuk kasus bunga majmuk di atas adalah : \\ M, M (1 + p %), M (1 + p %)^{2}, M (1 + p %)^{3}, \dots \\ adalah barisan geometri \\ M_{n} = M_{0} (1 + p %)^{n} atau M_{n} = M_{0} (1 + i)^{n} \\ dengan \\ \circ i = p % adalah persentase bunga \\ \circ n = Jangka waktu \\ \circ M_{0} = Modal yang diperbungakan \end{aligned} \end{array}$ .

Lanjutan 6 Contoh Soal Barisan dan Deret

$\begin{array}{ll} 26. & Syarat untuk deret geometri tak hingga \\ dengan suku pertama a konvergen dengan \\ jumlah 2 adalah . . . . . \\ A . - 2 < a < 0 \\ B . - 4 < a < 0 \\ C . 0 < a < 2 \\ D . 0 < a < 4 \\ E . - 4 < a < 4 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa S_{\infty} = 2, dengan \\ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \Leftrightarrow 1 - r = \frac{a}{S_{\infty}} \Leftrightarrow r = 1 - \frac{a}{S_{\infty}} \\ \Leftrightarrow - 1 < 1 - \frac{a}{S_{\infty}} < 1 \Leftrightarrow - 2 < - \frac{a}{S_{\infty}} < 0 \\ \Leftrightarrow 0 < \frac{a}{S_{\infty}} < 2 \Leftrightarrow\Leftrightarrow 0 < \frac{a}{2} < 2 \\ \Leftrightarrow 0 < a < 4 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 27. & Tiga bilangan membentuk barisan geometri \\ dengan jumlah 26 . Jika suku tengah ditambah \\ 4 , maka terbentuklah barisan aritmetika, suku \\ suku tengah dari barisan geometri tersebut . . . . . \\ A . 2 \\ B . 4 \\ C . 6 \\ D . 10 \\ E . 18 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Barisan Geometri : U_{1} + U_{2} + U_{3} = 26 \\ ∙ U_{1} + U_{3} = 26 - U_{2} \\ ∙ U_{2}^{2} = U_{1} . U_{3} \\ Barisan Aritmetika : U_{1}, U_{2} + 4, U_{3} \\ ∙ U_{1} + U_{3} = 2 (U_{2} + 4) = 2 U_{2} + 8 \\ maka \\ 26 - U_{2} = 2 U_{2} + 8 \\ \Leftrightarrow - 2 U_{2} - U_{2} = 8 - 26 \\ \Leftrightarrow - 3 U_{2} = - 18 \\ \Leftrightarrow U_{2} = \frac{- 18}{- 3} = 6 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 28. & Selish suku tengah pada barisan aritmetika \\ dengan suku pertama dan terakhir masing- \\ masing 1 dan 25 dengan barisan geometri \\ yang suku-sukunya positif dengan suku-suku \\ pertama dan terakhir juga 1 dan 25 adalah . . . . . \\ A . 5 \\ B . sekitar 7, 1 \\ C . 8 \\ D . 13 \\ E . 18 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} U_{t} = Suku tengah \\ Barisan Aritmetika (BA) : U_{t_{B A}} = \frac{1}{2} (U_{1} + U_{n}) \\ \Leftrightarrow U_{t_{B A}} = \frac{1}{2} (1 + 25) = 13 \\ Barisan Geometri (BG) : U_{t}^{2} = U_{1} . U_{n} \\ \Leftrightarrow U_{t_{B G}} = \sqrt{U_{1} . U_{n}} = \sqrt{1 \times 25} = 5 \\ (ambil nilai yang positif) \\ maka \\ U_{t_{B A}} - U_{t_{B G}} = 13 - 5 = 8 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 29. & UM UGM \\ Jumlah deret geometri tak hingga adalah 6 \\ Jika tiap suku dikuadratkan, maka jumlahnya \\ adalah 4 . Suku pertama deret ini adalah . . . . \\ A . \frac{2}{5} D . \frac{5}{6} \\ B . \frac{3}{5} C . \frac{4}{5} E . \frac{6}{5} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} DG = Deret Geometri \\ a + a r + a r^{2} + \dots = S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = 6 \\ \Leftrightarrow a = 6 (1 - r) = 6 - 6 r . . . . . . . . . . . . (1) \\ Saat dikuadratkan masing-masing sukunya \\ a^{2} + a^{2} r^{2} + a^{2} r^{4} + \dots = S_{\infty} = \frac{a^{2}}{1 - r^{2}} = 4 \\ \Leftrightarrow a^{2} = 4 (1 - r^{2}) = 4 - 4 r^{2} . . . . . . . (2) \\ Substitusi (1) ke (2), maka \end{aligned} \\ \begin{aligned} a^{2} = a^{2} \\ \Leftrightarrow (6 - 6 r)^{2} = 4 - 4 r^{2} \\ \Leftrightarrow 36 - 72 r + 36 r^{2} = 4 - 4 r^{2} \\ \Leftrightarrow 40 r^{2} - 72 r + 32 = 0 \\ \Leftrightarrow (5 r - 4) (r - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow r = \frac{4}{5} (m e m e n u h i) atau r = 1 (t i d a k) \\ Selanjutnya kita tentukan nilai a, \\ a = 6 - 6 (\frac{4}{5}) = 6 (\frac{1}{5}) = \frac{6}{5} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 30. & Soal Mat SNMPTN \\ Agar deret geometri \frac{x - 1}{x}, \frac{1}{x}, \frac{1}{x (x - 1)} \\ jumlahnya memiliki limit, maka nilai x \\ harus memenuhi . . . . \\ A . x > 0 \\ B . x < 1 \\ C . 0 < x < 1 \\ D . x > 2 \\ E . x < 0 atau x > 2 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Deret Geometri (DG) : \frac{x - 1}{x}, \frac{1}{x}, \frac{1}{x (x - 1)} \\ r = \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x - 1}{x}} = \frac{1}{x - 1} \\ Syarat DG memiliki limit (konvergen) : | r | < 1 \\ \Leftrightarrow - 1 < r < 1 \\ \Leftrightarrow - 1 < \frac{1}{x - 1} < 1 \end{aligned} \\ \begin{aligned} Selesaian 1 \\ - 1 < \frac{1}{x - 1} \Leftrightarrow \frac{1}{x - 1} + 1 > 0 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x - 1} > 0 \Leftrightarrow \frac{x}{x - 1} > 0 \\ Selesaian 2 \\ \frac{1}{x - 1} < 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x - 1} - 1 < 0 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x - 1} < 0 \Leftrightarrow \frac{- x + 2}{x - 1} < 0 \\ HP : {x < 0 atau x > 2} \end{aligned} \\ Berikut ilustrasi garis bilangannya \\ \begin{array}{ccccccccccccc} (1) & + & + & - & - & - & - & - & + & + & + & + & + \\ 0 & 1 \\ (2) & - & - & - & - & - & - & - & + & + & + & + & - \\ 1 & 2 \end{array} \end{array}$ .