Lanjutan 4 Contoh Soal Barisan dan Deret

 16.Carilah semua barisan bilangan yang berupa barisan aritmetika dan sekaligus juga barisan geometriJawab:Perhatikanlah bentuk barisan bilangan berikut:U1aa,U2(a+b)ar,U3(a+2b)ar2,U4(a+3b)ar3,U5(a+4b)ar4,,Un(a+(n1)b)arn1MisalkanPada BA berlaku2U2=U1+U3yaitu{2(a+b)=a+(a+2b),atau2(ar)=a+(ar2)2ar=a+ar2,dibagi a masing-masing ruasr22r+1=0(r22r+1)=0(r1)2=0r=1Sehingga barisannya akan menjadia,a,a,a,Pada BG juga berlakuU22=U1×U3yaitu{(a+b)2=a×(a+2b),atau(ar)2=a×(ar2)ambil saja(a+b)2=a×(a+2b)a2+2ab+b2=a2+2abb2=0b=0dan barisannya juga sama, yaitua,a,a,a,Jadi, semua bilangan memenuhia0saatr=1ataub=0.

17.Pada waktu yang sama Anton mulai menabung Rp10.000.000,00dan Budi menabungRp8.000.000,00.SelanjutnyaAnton menabung Rp100.000,00tiapbulan dan Budi menabung Rp150.000,00Setelah berapa bulan tabungan keduanyatepat sama....Jawab:Soal di atas adalah aplikasi dari deretaritmetikabarisan pertamau1=a=10.000.000,b=100.000barisan keduau1=a=8.000.000,b=150.000Selanjutnya adalahu1+(n1)b=u1+(n1)b10.000.000+(n1)×100.000=8.000.000+(n1)×150.000(100.000150.000)×(n1)=8.000.00010.000.00050.000(n1)=2.000.000(n1)=2.000.00050.000=40n=40+1=41Jadi, tabungan keduanya akan sama setelah40 bulan.

18.Tentukan jumlah semua bilangan asliantara 1 dan 150 yang habis dibagi 4tetapi tidak habis dibagi 7?Jawab:Soal di atas adalah aplikasi dari deretaritmetikabarisan pertama adalah bilangan asliyang habis dibagi 4u1=a=4,b=4,Un=148Un=a+(n1)b=4+(n1)4=148didapatkan nilain=37Sn=n2(a+un)=372(4+148)=2812barisan kedua adalah bilangan asliyang habis dibagi=4×7=28u1=a=28,b=28,Un=140didapatkan nilain=5Sn=n2(a+un)=52(28+140)=420Jadi, jumlah bilangan yang dimaksudadalah2812420=2392.

19.Sebuah tali dibagi menjadi 6 bagiandengan panjang membentuk suatubarisan geometri. Jika panjang taliterpendek adalah 3 cm dan yangterpanjang 96 cm, berapakah panjangtali sebelum terpotong?Jawab:Misalkan panjang tali yang dimaksuda,ar,ar2,ar3,ar4,ar5Dan diketahui juga bahwa{a=3 cmar5=96 cmmakaar5=963.r5=96r5=32r5=25r=2Sn=a(rn1)r1,r1=3(261)21=3×(641)=3×63=189cmJadi, panjang talinya sebelum dipotongadalah189 cm.

20.Jumlah penduduk suatu kota setiap 10 tahun menjadi dua kali lipat.Jika menurut perhitungan pada tahun2030 nanti akan mencapai 3,2 juta jiwaberapakah jumlah penduduk kota tersebutpada tahun 1980?Jawab:Dari soal diketahui bahwa1980a,1990ar,2000ar2,2010ar3,2020ar4,2030ar5?3,2jutadengan{r=2n=6makaU6=ar5=3.200.000a.25=3.200.000a.32=3.200.000a=3.200.00032=100.000Jadi, jumlah penduduk pada tahun 1980sejumlah100.000 jiwa.

DAFTAR PUSTAKA

  1. Kuntarti,Sulistiyono, Kurnianingsih, S. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA Standar Isi 2006. Jakarta: ESIS.
  2. Mauludin, U. 2005. Matematika Program Ilmu Sosial dan Bahasa untuk SMA dan MA Kelas XII. Bandung: SARANA PANCA KARYA NUSA.

Lanjutan 3 Contoh Soal Barisan dan Deret

 11.(UN 2014)Diketahui seutas kawat dipotong menjadi 5 bagian dan hasil potongannya membentuk deret geometri. Jika panjang kawat terpendek16 cm dan terpanjang 81 cm, maka panjang kawat semula adalah....cmA.121D.211B.130C.133E.242Jawab:Diketahui{a=U1=16Un=a.rn1Sn=a(rn1)r1U5U1=ar4a=8116r4=3424r=32,(r>1)Sehingga,S5=16((32)51)321=16(352525)12=32(2433232)=211.

12.(UMPTN 2001)Diketahui sepotong kawat dengan panjang 124 cm akan dipotong menjadi 5 bagian dan hasil potongan kawatnya membentuk barisan geometri. Jika pajang potongan kawat yang terpendek adalah 4 cm, makapotongan kawat yang terpanjang adalah....cmA.60D.72B.64C.68E.76Jawab:Perhatikan hal yang diketahui di atasS5=U1+U2+U3+U4+U5S5=a+ar+ar2+ar3+ar4124=4+4r+4r2+4r3+4r431=1+r+r2+r3+r430=r+r2+r3+r4r4+r3+r2+r30=0Perhatikanlah bahwa pada polinomr4+r3+r2+r30=0faktor prima dari 30 adalah 2, 3, dan 5.Dan faktor yang memenuhi adalah r = 2Sehingga,U5sebagai potongan kawat terpanjang;U5=ar4=4.24=4.16=64.

13.(UMPTN 2001)Diketahui rasio sebuah deret geometri tak hingga adalah3log(2x1).Jika deret tersebut memiliki jumlah (konvergen), maka nilaixyang memenuhi adalah.....A.12<x<23B.12<x<2C.23<x<2D.23x2E.12x32Jawab:Syaratkonvergen adalah|r|<1atau:1<r<1maka1<3log(2x1)<1(1).(3log3)<3log(2x1)<1.(3log3)3log31<3log(2x1)<3log3131<(2x1)<313<2x1<313+1<2x1+1<3+143<2x<423<x<2.

14.(UN 2010)Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan beda 3. Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah deret geometri dengan jumlah 14.Rasio barisan tersebut adalah ... .A.4D.12B.2C.12E.2Jawab:Barisan Aritmetika (BA){U1=aU2=a+3U3=a+6Barisan Geometri (BG){U1=aU2=a+31=a+2U3=a+6dan untuk deret geometri (DG)U1+U2+U3=14a+(a+2)+(a+6)=143a+8=143a=6a=2sehingga,r=U2U1=a+2a=42=2.

15.(UN 2009)Jumlah tiga bilangan barisan aritmetika adalah45. Jika suku kedua dikurangi 1 dan suku ketigaditambah 5, maka barisan tersebut menjadi barisan geometri. Rasio barisan geometri tersebutadalah....A.12D.2B.34C.112E.3Jawab:Ada 2 pilihan, yaitu A dan DDiketahui bahwa{U1+U2+U3=45(DA)a+(a+b)+(a+2b)=45a+b=15a=15bU1,(U21),(U3+5)(BG)a,(a+b1),(a+2b+5)a,(14),(20+b)Pada BG berlaku142=a.(20+b)196=(15b)(20+b)196=3005bb2b2+5b104=0(b+13)(b8)=0b=13ataub=8untukb=13a=15(13)=28{BA1:28,15,2BG1:28,14,7untukb=8a=15(8)=7{BA2:7,15,23BG2:7,14,28Jadi, rasio dari barisan geometrianya ada 2 yaitu:r1=12,danr2=2.

Lanjutan 2 Contoh Soal Barisan dan Deret

6.(EBTANAS 2000)Diketahuik=525(2pk)=0,maka nilaik=525pk=....A.20D.42B.28C.30E.112Jawab:k=525(2pk)=k=5252k=525pk=0k=542542k=525pk=0k=525pk=k=1212=21.2=42.

7.(EBTANAS 2000)Nilai darik=17(12)k+1=....A.1271024D.127128B.127256C.255512E.255256Jawab:k=17(12)k+1=(12)2+(12)3+(12)4+(12)5+(12)6+(12)7+(12)8=14+18+116+132+164+1128+1256=64+32+16+8+4+2+1256=127256.

8.(UN 2013)Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ketiga  adalah 4 dan suku ketujuhnya adalah 16.Jumlah 10 suku pertama dari deret tersebut adalah....A.115D.135B.125C.130E.140Jawab:Dari soal diketahui bahwaU3=a+2b=4U7=a+6b=164b=12b=3Sehinggadidapatkannilaia=42b=42.3=2Makajumlah 10 suku pertama deret tersebut adalahSn=n2(2a+(n1)b)S10=102(2.(2)+(101).3)=5(4+27)=5(23)=115.

9.(UN 2014)Diketahui tempat duduk gedung pertunjukanfilm diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak banyak baris dibelakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Jika dalam gedung pertunjukan terdapat 15 baris kursi danbaris terdepan ada 20 kursi, maka kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah....kursiA.1200D.600B.800C.720E.300Jawab:Diketahui{a=U1=20b=4n=15Sn=n2(2a+(n1)b)Sn=n2(2a+(n1)b)=152(2(20)+(151).4)=15(20+28)=15(48)=750.

10.(UN 2015)Diketahui suatu barisan aritmetika dengan sukuke-3 adalah 2 dan suku ke-8 adalah -13. Jumlah20 suku pertama dari deret tersebut adalah....A.580D.410B.490C.440E.380Jawab:Dari soal di atas diketahui bahwaU3=a+2b=2U8=a+7b=135b=15b=3Sehinggadidapatkannilaia=22b=22.(3)=8Makajumlah 20 suku pertama deret tersebut adalahSn=n2(2a+(n1)b)S20=202(2.(8)+(201).(3))=10(1657)=10(41)=410.

Contoh Soal Barisan dan Deret

 1.(EBTANAS 1999)Diketahui jumlah n suku pertama deretaritmetika dinyatakan sebagaiSn=n2+2nBeda dari deret tersebut adalah....a.3d.2b.2c.1e.3Jawab:Diketahui bahwaSn=n2+2n,dengan{S1=U1=aS2=U1+U2S3=U1+U2+U3Sn=U1+U2+U3++UnBeda=b=U2U1=(S2S1)S1=S22S1=(22+2.(2))2(12+2.(1))=(4+4)2(1+2)=86=2.

2.(UMPTN 1994)Diketahui jumlah n suku pertama suatuderet dinyatakan sebagaiSn=12nn2.Suku kelima dari deret tersebut adalah....a.1d.3b.1c.3e.0Jawab:Diketahui bahwaSn=12nn2U5=S5S4=(12.(5)(5)2)(12.(4)(4)2)=(6025)(4816)=3.

3.(EBTANAS 2000)Diketahui suku tengah suatu deret aritmetika adalah 32. Jika jumlah nsuku pertama deret itu adalah 672, maka banyak suku deret itu adalah....a.17d.23b.19c.21e.25Jawab:DiketahuiSuku tengah=Ut=U1+Un2=32danSn=n2(U1+Un)=672n(U1+U22)=67232n=672n=21.

4.(UMPTN 1997)DiketahuiUnadalah suku ke - n deret aritmetika denganU1+U2+U3=9danU3+U4+U5=15Maka jumlah lima suku pertamaderet aritmetika tersebut adalah....a.4d.15b.5c.6e.24Jawab:Diketahui bahwaU1+U2+U3=9,a+(a+b)+(a+2b)=3a+3b=9U3+U4+U5=15,(a+2b)+(a+3b)+(a+4b)=3a+9b=156b=24b=4a=7MakaS5=52(U1+U5)=52(a+a+(51)b)=52(77+4.4)=52(2)=5.

5.(EBTANAS 1999)Nilai darik=11005kk=1100(2k1)adalah....a.30.900d.15.450b.30.500c.16.250e.15.250Jawab:Diketahik=11005kk=1100(2k1)=k=1100(5k2k+1)=k=1100(3k+1)=3k=1100k+1.100=3(1002(1+100))+100=3.(5.050)+100=15.150+100=15.250.

Lanjutan Materi Barisan dan Deret

 E. Barisan Geometri

Perhatikan susunan bilangan-bilangan berikut 

1,12,14,18,116,.

dengan rincian

1u1,12u2,14u3,18u4,116u5,.

Dari pola di atas kita dapat tuliskan menjadi

1,12,12×12,12×14,12×18,.

Dari pola yang tersusun di atas terdapat hal yang menarik yaitu:

u2u1=u3u2=u4u3==unun1=12.

Selanjutnya perhatikan

u1=a=1u2=u1×12=1×12u2=a.ru3=u2×12=1×12×12=1×14u3=a.r2u4=u3×12=1×12×12×12=1×18u4=a.r3...=...un=a.rn1.

Selanjutnya pembanding yang selalu tetap dinamakan rasio atau disingkat dengan huruf  r.

F. Deret Geometri

Perhatikan bahwa pada barisan suku-suku barisan geometri jika dijumlahkan akn terbentuk deret geometri atau deret ukur

Misalkan

Sn=a+ar+ar2+ar3+ar4++arn1.

Untuk mencari besar Sn adalah dengan mensiasatinya yaitu mengalikan  r  ke  Sn sehingga menjadi bentuk

rSn=ar+ar2+ar3+ar4+ar5++arn.

Selanjutnya kita kondisikan sebagai berikut

SnrSn=(a+ar+ar2+ar3+ar4+...+arn2+arn1)(ar+ar2+ar3+ar4+ar5+...+arn1+arn)(1r)Sn=aarn=a(1rn)Sn=a(1rn)1r.

Sebagai rangkuman dari materi barisan dan deret geometri ini, perhatikan tabel berikut

NoBarisan GeometriDeret Geometri (Ukur)Syarat1U1,U2,U3,U4,...SelanjutnyaU1,U2,U3,disebut suku-sukudanU1=a=suku pertamaU1+U2+U3+U4+...SelanjutnyaU1,U2,U3,disebut suku-sukudanU1=a=suku pertamaRasio=r=U2U1=U3U2=U4U3==UnU(n1)2Un=a.r(n1)Un=a.r(n1)Ut=a.Un=Suku tengah.

NoBarisanGeometriDeret Geometri (Ukur)Syarat3Sn=a(rn1)r1atauSn=a(1rn)1rsisipankbilanganmisalU1Umingin disisipkankbilanganRasio baru=r=UmU1k+1.

NoBarisanGeometriDeret Geometri (Ukur)SyaratDeret tak HinggaDeret tak HinggaHubungan4KonvergenDivergensuku dan jumlahS=a1r,|r|<1r1ataur1U1=S1=aUn=SnS(n1).

CONTOH SOAL.

1.Tentukan suku ke12dari barisanberikut4,1,14,116,Jawab:Diketahui bahwa{u1=a=4r=u2u1=u3u2==14Untuk mencari suku ke12,makau12=a.r(121)=ar11=4.(14)11=41.411=4111=410=1410.

2.Tentukan jumlah 12 suku pertamadari4+1+14+116++1410Jawab:Diketahui bahwaSn=a(1rn)1rS12=4(1(14)12)114=4(1(14)12)34=163(1(14)12).

3.Suatu deret geometri dengan jumlahSn=3.2n1,maka suku ke2022dari deret tersebut adalah....Jawab:Diketahui bahwaSn=3.2n1,makau2022=S2022S2021Sehinggau2022=S2022S2021=(3.220221)(3.220211)=3.220223.22021=3.22021(21)=2.32021.

4.Diketahui deret geometri denganu4u6=kdanu2×u8=1k,maka suku pertamaderet geometri ini adalah....Jawab:Diketahui bahwa{u4u6=ku2×u8=1kSelanjutnyau6u4=ar5ar3=r2=1kdanu2×u8=ar×ar7=a2r8=(ar4)2=1k(u5)2=1ku5=1ksehinggau5=ar4=a(r2)21k=a(1k)2a=k2×1k=k×k×k12=k×k.12=kk.

DAFTAR PUSTAKA

  1. Waji, J., Linggih, S., Syahrudin,Y.R. 1981. Ringkasan Materi IPA. Bandung: GANECA EXACT.






Barisan dan Deret

 A. Pola Bilangan

Pola bilangan dalam kaitannya dengan matematika adalah suatu susunan bilangan dengan susunan tertentu.

Perhatikan ilustrasi berikut

Misalkan beberapa kue donat dalam disusun dan dikelompokkan berbentuk persegi sebagaimana ilustrasi berikut 

Jika kita cermati susunan susunan kue donat dalam kotak terkecil ke terbesar atau begitu seterusnya pada tiap-tiap terisi sejumlah : 1, 4, 9, 16, 25. Sehingga saat kita rinci 

Dapatkan Anda menentukan kelompok kotak berikutnya setelah kotak ke-5, misalnya ketak ke-6, 7, 8, dan seterusnya
Jika kue donat dalam kotak kita tabelkan akan berupa ilustrasi berikut
KelompokKue Donat dalam KotakPolaK111=1×1K244=2×2K399=3×3K41616=4×4K52525=5×5Kn??=n×n.
Dengan memperhatikan pola yang ada di atas, maka akan dengan mudah kita menentukan isi kotak ke-6, yaitu berisi 6x6 = 36 buah kue donat dean demikian seterusnya.

B. Menemukan Pola Barisan dan Deret suatu Bilangan

Misalkan diberikan susunan bilangan berikut
12,16,112,120,130,,19900.
Andai kita tabelkan akan berupa
Suku ke-NilaiPolaU11212=11×2U21616=12×3U3112112=13×4U4120120=14×5U5130130=15×6U991990019900=199×100.
Sehingga dari pola bilangan di atas kita dengan mudah menentukan urutan suku ke-n atau  Un  yaitu 1n×(n+1) dan andai kita diminta menentukan besar suku ke-2022 adalah 12022×2023=14090506.

C. Barisan Aritmetika

Secara definisi barisan aritmetika adalah barisan bilangan di mana beda setiap suku dengan tepat suku setelahnya memiliki selisih tetap.
Sebagai ilustrasinya misalkan u1=au2=a+b, dan untuk suku ke-3 adalah u3=a+b+b=a+2b, demikian seterusnya akan selalu ditambahkan b dan selanjutnya nilai b=u2u1=u3u2=u4u3=.

Perhatikan ilustrasi berikut
u1=au2=u1+b=u1+bu3=u2+b=u1+2bu4=u3+b=u1+3bu5=u4+b=u1+4bun=u(n1)+b=u1+(n1)b.

CONTOH SOAL.

1.Tentukan suku ke-50 dari barisan berikut5,2,9,16,Jawab:Diketahui bahwa5u1,2u2,9u3,16u4,,u1+(n1)bunJelas bahwab=u2u1=25=7makaU50=u1+(501).(7)=5+49.(7)=5343=338.

2.Jika diketahui barisan aritmetika dengansuku ke3=412dan suku ke8=2Tentukan suku pertama, beda serta rumussuku kenJawab:Perhatikan tabel berikutu3=412=a+2bu8=2=a+7b412(2)=5b212=5b5b=52b=12u3=a+2b=412a+2(12)=412a+1=412a=4121a=512makaun=a+(n1)bun=512+(n1).12=512+12n12=12n6.

D. Deret Aritmetika

Jika pada barisan aritmetika di atas dijumlahkan semua sukunya, maka akan terbentuklah sebuah deret hitung yang selanjutnya adalah nama lain dari deret aritmetika
Sn=a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+.
dan
Sn=a+(a+b)+(a+2b)++a+(n1)bSn=a+(n1)b++(a+2b)+(a+b)+a+2Sn=2a+(n1)b++2a+(n1)b2Sn=n(2a+(n1)b)Sn=n2(2a+(n1)b)atauSn=n2(a+a+(n1)b)=n2(u1+un).

CONTOH SOAL.

Pada contoh soal no.1 di atas tentukanlah jumlah 50 suku pertema deret aritmetika tersebut

Jawab:
DiketahuiS50=5+(2)+(9)+(16)++(338)DenganSn=12n(u1+un)S50=12.50.(5+(338))=25.(333)=8325.

Sebagai rangkumannya perhatikan tabel berikut terkait barisan dan deret aritmetika
NoBarisan AritmetikaDeret Aritmetika (Hitung)Syarat1U1,U2,U3,U4,...SelanjutnyaU1,U2,U3,disebut suku-sukudanU1=a=suku pertamaU1+U2+U3+U4+...SelanjutnyaU1,U2,U3,disebut suku-sukudanU1=a=suku pertamaBeda=b=U2U1=U3U2=U4U3==UnU(n1)2Un=a+(n1)bUn=a+(n1)bUt=U1+Un2=Suku tengah3Sn=12n(a+Un)sisipankbilanganmisal,U1Umingin disisipkankbilanganbeda baru=b=UmU1k+1

DAFTAR PUSTAKA
  1. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
  2. Susanto, D., dkk. 2021. Matematika untuk SMA/SMK Kelas X. Klaten: MACANANJAYA CEMERLANG.







Lanjutan 1 Contoh Soal dan Pembahasan Persiapan PHB Gasal Materi Fungsi Eksponensial (Kelas X)

6.Bentuk sederhana dari(12)(12)1+(13)(13)1+(14)(14)1+(15)(15)1adalah ... .a.3142b.287c.3412d.4116e.4096Jawab:c(12)(12)1+(13)(13)1+(14)(14)1+(15)(15)1=(12)2+(13)3+(14)4+(15)5=22+33+44+55=4+27+256+3125=3412.

7.Nilai dari(7)(7)(7)(7)89(7)89adalah ... .a.2b.7c.4d.0e.9Jawab:d(7)(7)(7)(7)89(7)89=(7)89(7)89=0.

8.Nilai dari(3×27×8134)2425adalah ... .a.1b.2c.3d.4e.5Jawab:c(3×27×8134)2425=(312.(33)12.4.(34)12.4.3)2425=(312+38+424)2425=31225+925+425=32525=3.

9.Jika272x+3=13x2.93x,maka nilai8x+2adalah ... .a.0b.2c.4d.8e.12Jawab:aAlternatif 1272x+3=13x2.93x272x+32=3(x2).93x33.(2x+32)=32x.32(3x)33.(2x+32)=32x6x33.(2x+32)=327x3(2x+3)2=27x6x+9=414x6x+14x=4920x=5x=14maka nilai8x+2=8(14)+2=2+2=0Alternatif 2272x+3=13x2.93x272x+32.3x2.93x=133(2x+32).3x2.32(3x)=3033(2x+32)+x2+6x=303(2x+3)2+7x2=06x+9+14x4=020x+5=020x=5x=14Selanjutnya samadengan langkah no.1di atas.

10.Penyelesaian persamaan32x+1=81x2adalah ... .a.0b.2c.4d.412e.16Jawab:d32x+1=81x232x+1=(34)x232x+1=34x82x+1=4x82x4x=812x=9x=92=412.

Contoh Soal dan Pembahasan Persiapan PHB Gasal Materi Fungsi Eksponensial (Kelas X)

 1.Bentuk sederhana dariap.aqar:a2radalah ... .a.ap+q3rb.ap+3rqc.ap2q+rd.ap+q+re.ap3qrJawab:aap.aqar:a2r=ap.aqar.a2r=ap+qar+2r=ap+qa3r=ap+q3r.

2.Jikax=5+833,maka nilaix3adalah ... .a.3b.4c.5d.6e.7Jawab:ex=5+833dipangkatkan 3masing-masing ruasx3=(5+833)3=5+83=5+233=5+2=7.

3.Jika4a×4b=64dan4a4b=16maka nilai daria:badalah ... .a.5b.54c.13d.3e.34Jawab:aDiketahui4a×4b=644a+b=43a+b=3....(1)4a4b=164ab=42ab=2...........(2)Dari persamaan(1)&(2)akan didapatkana+b=3ab=2+2a=5a=52a+b=3ab=22b=1b=12Sehingga nilaia:b=ab=5212=5.

4.(SPMB 2003)Jikaa0,maka nilai(2a)3(2a)23(16a4)13adalah ... .a.22ab.2ac.2a2d.22ae.2a2Jawab:b(2a)3(2a)23(16a4)13=8a3(2a)23.(16a4)13=(2a)3(2a)23.(2a)43=(2a)3(2a)23+43=(2a)3(2a)2=(2a)32=2a.

5.Bentuk sederhana dari4n+34n+14(4n1)adalah ... .a.64b.60c.18d.16e.15Jawab:b4n+34n+14(4n1)=4n.434n.44.4n4=4n(644)4n=60.


Lanjutan 3 Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

CONTOH SOAL 27.

Suatu permasalahan dapat diilustrasikan dalam bentuk grafik berikut

maka nilai dari  a+b+c  adalah ... .

a.2b.1c.0d.1e.2.

SOLUSI SOAL 27.
Perhatikan bahwa untuk grafik fungsikuadrat di atas dapat dituliskan menjadiy=ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)denganx1=1(grafik saat memotong sumbuX)x2=3,(grafik saat memotong sumbuX)grafik juga memotong sumbuYdi(0,4)Selanjutnyay=a(xx1)(xx2)4=a(01)(03)4=a(1)(3)=3aa=43Sehinggay=43(x1)(x3)=43(x24x+3)=43x2163x+4Selanjutnya kita dapatkan nilaia=43,b=163,danc=4Jadi,a+b+c=43+(163)+4=0.

CONTOH SOAL 28.

August De'Morgan menghabiskan seluruh usianya pada tahun 1800-an. Suatu ketika saat tahun terakhir masa hidupnya ia mengatakan, "Dulu aku berusia X tahun pada tahun X2". Pada tahun berapakah  ia dilahirkan ...
a.1806b.1822c.1849d.1851e.1853.

SOLUSI SOAL 28.
Bilangan kuadrat sempurna yangmengandung digit 1800-an adalah422<432<4421764<1849<1936pilih saja432=1849Akibatnya, August De'Morgan berusia43 tahun pada tahun 1849, sehingga tahunlahirnya tokoh tersebut adalah:=184943=1806.

CONTOH SOAL 29.
Segitiga siku-siku OAB terbentuk dari sumbu-X, sumbu-Y, dan garis y=82x. Titik P(x,y) terletak pada garis tersebut. Jika dari titik P dibuat garis-garis tegak lurus sumbu-X dan sumbu-Y sehingga terbentuklah persegi panjang berdiagonal OP, maka koordinat P agar luas persegi panjang tersebut maksimum adalah ...
SOLUSI SOAL 29.
Diketahui bahwapersegi panjang tersebut luasnya=L(x)=panjang×lebar=x×y=x×(82x)=8x2x2(a=2,b=8,c=0)Agar luas maksimum, makax=b2a(xsumbu simetri)=82(2)=2Selanjutnya kita carinya, yaituy=82x=82.2=84=4Jadi, koordinatP(x,y)=P(2,4).

CONTOH SOAL 30.
Tegangan listrik normal yang didistribusikan oleh PLN ke rumah-rumah adalah sebesar 220 volt. Akan tetapi, tegangan nyata di rumah-rumah toleransinya berbeda-beda dan paling tinggi adalah 11 volt dari normalnya.
Tentukanlah tegangan nyata yang masih ditolerans oleh PLN pada kasus di atas

SOLUSI SOAL 30.
Dari informasi di atas diketahui bahwa|x220|1111x2201111+220x220+22011+220209x231Jadi, tegangan yang ditoleransi PLN adalah209 volt sampai 231 volt.


DAFTAR PUSTAKA
  1. Kanginan, M. 2016. Matematika untuk Siswa SMA-MA/SMK-MAK Kelas X (Wajib). Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
  2. Maulana, F. 2010. Juara Olimpiade Matematika SMA. Jakarta: WAHYUMEDIA
  3. Sunardi, Waluyo, S., Sutrisno, & Subagya. 2004. Matematika IA untuk SMA Kelas I. Jakarta: BUMI AKSARA.
  4. Kumpulan Soal ada pada penulis.
















Kumpulan Contoh Soal dan Pembahasan Persiapan Menghadapi AN BK 2022

Berikut link yang dapat Anda gunakan untuk membantu memahami AN BK 2022


Kumpulan Matematika Seluruh Kelas dari Kelas X, XI, dan XII  MA/SMA/Sederajat

Lanjutan 2 Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

CONTOH SOAL 21.

Nilai eksak darisin36adalah....sin2θ=2sinθcosθcos2θ=2cos2θ1sin2θ+cos2θ=1a.1410+25d.514b.141025e.512c.5+14.

SOLUSI SOAL 21.

Perhatikanlah ilustrasi segitiga berikut ini

.Perhatikan bahwaABCsama kakidenganAD=DC=CB=1,AC=xDiketahui pulaCDadalah garis bagisertaABCsebangunBCDakibatnya:perbandingan sisi yang bersesuaianakan sama,makaABBC=BCABADx1=1x1x(x1)=1x2x1=0x=1±52akibatnyaAB=AC=1+52Selanjutnya gunakanaturan sinusABsinC=BCsinAABBC=sinCsinA(1+52)1=sin72sin361+52=2sin36cos36sin361+52=2cos36cos36=⇔1+54Dari fakta di atas kita akan denganmudah menentukan nilai sinusnyayaitu dengan menggunakanidentitas trigonometri berikut:sin236+cos236=1sin236=1cos236sin36=1cos236=1(1+54)2=16+2516=102516=141025.

Untuk menjawab soal no.22,23,24, 25 dan 26 perlu diketahui bahwa
x=bilangan bulat terbesarx.
3,14=3,7,2=8,2=2.

CONTOH SOAL 22.

Jikaa×a=68danb×b=109,maka nilai daria×ba+b=.

SOLUSI SOAL 22.
Perhatikan bahwaaa=68danbb=109a2aadanb2bba268danb2109a=8dana=10Selanjutnyaaa=688a=68a=8,5bb=10910b=109b=10,9Sehingga nilaia×ba+b=8×108,5+10,9=8019,4=8019=61.

CONTOH SOAL 23.

Jikaaa=17danbb=11,makanilai dariab=.

SOLUSI SOAL 23.

Perhatikan bahwaaa=17danbb=11a2aadanb2bba217danb211a=4dana=3Selanjutnyaaa=174a=17a=174bb=113b=11b=113Sehingga nilaiab=174113=514412=712.

CONTOH SOAL 24.

Jikax+y+y=43,8danx+yx=18,4,maka nilaidari10(x+y)=.

SOLUSI SOAL 24.
Diketahui bahwax+y+y=43,8danx+yx=18,4Sekarang misalkan untukax<a+1x=abyb+1y=bSelanjutnya untukxdanydapat kita nyatakan denganx=a+m,dengan0m<1y=b+n,dengan0n<1Untuk persamaan pertamax+y+y=43,8a+b+b+n=43,8a+2b+n=43,8didapatkana+2b=43,dann=0,8Untuk persamaan keduax+yx=18,4a+m+b+na=18,4b+m+n=18,4b+m+0,8=18,4b+m=17,6didapatkanb=17,danm=0,6Selanjutnya perhatikan bahwaa+2b=43a+2.(17)=43a+34=43a=4334=9Sehingga kita akan mendapatkan nilaix=a+m=9+0,6=9,6y=b+n=17+0,8=17,8Jadi,10(x+y)=10(9,6+17,8)=274.

CONTOH SOAL 25.

Jika3x+y=12danx+3y=14,maka nilaix+y=.

SOLUSI SOAL 25.
Diketahui bahwa3x+y=12123x+y<13(1)x+3y=1414x+3y<15(2)Jika kedua ketaksamaan dijumlahkan, maka264x+4y<28264x+y<284612x+y<7Jadi,x+y=6.

CONTOH SOAL 26.

Jika3x75=x3,maka untukxbulat terkecil=.

SOLUSI SOAL 26.
Diketahui bahwa3x75=x3x33x75<x3+1x3x33x75x3<x3x3+104x2115<104x21<150+214x21+21<15+21214x<36214x<9Jadi,x=6.


DAFTAR PUSTAKA
  1. Bambang, S. 2012. Materi, Soal dan Penyelesaian Olimpiade Matematika Tingkat SMA/MA. Jakarta: BINA PRESTASI INSANI.
  2. Muslimin, M.S. 2018. Kumpulan Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tahun 2007-2019 Tingkat Kota/Kabupaten. Bandung: YRAMA WIDYA.
  3. Mustofa, O. 2016. Olimpiyatlarina Hazirlik 1 Temel Bilgiler-1.Ankara
  4. Tim Matematika. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap I. Bandung: LPPM ITB








Lanjutan Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

CONTOH SOAL 19.

Sebuah kolam berbentuk seperti gambar dengan panjang sampai ujung 10. Dua orang yang pada sebuah jalur lurus yang masing-masing berada pada posisi A dan B dan berjarak 8 kaki serta diketahui besar sudut sebagaimana ilustrasi pada gambar sebesar 600. Tentukanlah jarak terpendek titik C ke jalur lurus tersebut


SOLUSI SOAL 19.

Jika kita sederhanakan gambar ilustrasi di atas adalah sebagai berikut


Kita akan menentukan panjang ruas garis yang berwarna merah di atas. Selanjutnya perhatikanlah
Pada soal di atas, kita diminta untukmenentukan garis merah yang selanjutnyadi sebut tinggi di siniDengan bantuan luas segitiga ABCkita mendapatkan[ABC]=[ABC]alas×tinggi2=12AB.BCsinBAB×tinggi2=12AB.BCsin600tinggi=BC(123)Dengan aturan cosinus kita juga akandapatkanAC2=AB2+BC22.AB.BC.cosB102=82+BC22.8.BC.cos60010282=BC22.8.BC.(12)BC28BC36=0BC1,2=(8)±(8)24.(36)2=8±64+1442=8±2082=8±4132=4±213pilih nilai BC yang positif, yaituBC=4+213SelanjutnyaTinggi=12BC3=12(4+213)3 m.

CONTOH SOAL 20.

Sebuah kolam renang akan dibangun di area tanah yang berbentuk segitiga. Selain kolam renang juga akan dibangun ruang ganti kecil (lihat gambar berikut)
Tentukan jari-jari maksimu kolam renang jika tepi kolam renang bersinggungan dengan ruang ganti

SOLUSI SOAL 20.
Perhatikan bahwa[ruang ganti]=luas ruang ganti, dengans=12(a+b+c)s=4+5+62=152[ruang ganti]=s(sa)(sb)(sc)=152(1524)(1525)(1526)=152.72.52.32=15272.22=15414Selain rumusdi atas, rumus luas juga berupa[ruang ganti]=ra(sa)15414=ra.72151414=raJadi, jari-jarinya adalah151414m.


DAFTAR PUSTAKA
  1. Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika SMU Jilid 1 Kelas 1. Jakarta: ERLANGGA.





Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022


CONTOH SOAL 16.

(Di adaptasi dari soal OSN Matematika SD 2008)

Perhatikanlah Kertas yang diberi garis lurus berikut

  • dengan menggambar sebuah garis lurus akan didapatkan dua daerah (lihat gambar 1 di atas)
  • dengan menggambar dua garis lurus akan didapatkan paling banyak empat daerah (lihat gambar 2 di atas)
  • dengan menggambar tiga garis lurus akan didapatkan paling banyak tujuh daerah (lihat gambar 3 di atas)
(a) Dengan menggambar empat garis lurus, berapa daerah paling banyak akan didapatkan?
(b) Dengan menggambar tujuh garis lurus, berapa daerah paling banyak akan didapatkan?
(c) Dengan menggambar duapuluh garis lurus, berapa daerah paling banyak akan didapatkan?

SOLUSI SOAL 16.
Alternatif 1Banyak garis01234Maksimum daerah124711U1U2U3U4Polanya adalah24273114Merupakan barisan aritmetika tingkat dua.
Silahkan gunakan cara penyelesaian yang kurang lebih sama dengan yang di sini.
maka akan didapatkan rumus Un=n(n+1)2+1.
(a).n=4U4=11(b).n=7U7=7×82+1=29(c).n=20U20=20×212+1=211.

Alternatif 2Untuk Barisan dengan selisih tetap ataulebih dikenal dengan barisan aritmetika secarumum dapat dituliskan untuk sukukenUn=U1+(n11)b11+(n12)b12++(n1k)b1kdenganU1=suku pertamaU1=2b11=selisih tingkat 1b11=42=2b12=selisih tingkat 2b12=1Untuk tingkat 2,Un=U1++(n11)b11+(n12)b12=U1+(n1)b11+(n1)(n2)2b12=2+(n1)(2)+(n1)(n2)2(1)=2+2n2+(n1)(n2)2=2n+n23n+22=n2+n+22=n2+n2+1Un=n(n+1)2+1,makaU4=4.52+1=11U7=7.82+1=29,sertaU20=20.212+1=211.

Diberikan teks berikut untuk soal 17 dan 18

CONTOH SOAL 17.

(Di adaptasi dari soal UMPTN 1997 IPA Terpadu)

KESEIMBANGAN ENERGI PADA DAUN

Laju fotosintesis total F didefinisikan sebagai jumlah total karbohidrat yang terbentuk dalam proses fotosintesis persatuan waktu. Hasil fotosintesis neto N didefinisikan sebagai sisa karbohidrat persatuan waktu setelah respirasi memecah karbohidrat sejumlah R persatuan waktu. Kelakuan besaran-besaran tersebut terhadap suhu antara 100 C sampai 300 C diamati sebagaimana berikut ini.
Ketika suhu naik, F bertambah lebih cepat dari pada R (yang naik secara eksponensial), tetapi segera mencapai harga yang tetap karena keterbatasan CO2, sehingga N mulai menurun. Jadi N terhadap suhu hampir berbentuk parabola dengan puncak sekitar 180 C.
Suhu daun dikendalikan oleh energi yang datang dan energi yang dikeluarkan. Energi dikeluarkan dari daun melalui proses konduksi ke sekelilingnya, dengan radiasi gelombang panjang, dan melalui transpirasi yang dapat berkisar antara 25% hingga 50%.
Bila pori daunnya tertutup untuk menahan penguapan air, maka suhunya naik. Radiasi terutama terjadi pada malam hari ketika tidak berawan sehingga daunnya mendingin.
Jika jumlah N pada suhu100Cadalah a danpada suhu300Cadalah b, maka N pada suhu tsekitar(a)ba80t29b9a20t+13b9a4(b)ba80t2+9b9a20t+13b9a4(c)ab80t29b9a20t+13b9a4(d)ab80t2+9b9a20t+13b9a4(e)ba80t29b9a20t13b9a4.

PEMBAHASAN SOAL NO.17.
Diketahui fungsi berbentuk parabola denganf(t)=pt2+qt+r.Selanjutnyaf(t)=pt2+qt+rf(10)=100p+10q+r=a.......(1)f(30)=900p+30q+r=b.......(2)800p20q=abdan puncaknya ditpuncak=q2p=18,q=36p............(4)Dari persamaan(3)&(4)800p20q=ab800p20(36p)=ab800p720q=ab80p=abp=ba80,makaq=9b+9a20danr=13b9a4Sehinggaf(t)=ba80t29b9a20t+13b9a4.

CONTOH SOAL 18.
Grafik F di atas terhadap suhu berbentuk seperti.




SOLUSI SOAL 18.
Cukup Jelas opsi yang tepat adalah C


DAFTAR PUSTAKA
  1. Departemen Operasi Lembaga Pendidikan Primagama. 1997. Siap UMPTN Kelompok IPA. Yogyakarta: PT. Mitra Prima Media.
  2. Sobel, M. A., Maletsky, E.M. 2004. Mengajar Matematika Sebuah Buku Sumber Alat Peraga, Aktivitas, dan Strategi untuk Guru Matematika SD, SMP, SMA. Jakarta: ERLANGGA.
  3. Wibowo, S.S. 2015. Kumpulan Soal & Pembahasan Olimpiade Matematika SD Jilid 1. Bandung: YRAMA WIDYA.