Lanjutan 5 Contoh Soal Barisan dan Deret

$\begin{array}{l}\\ 21.& \text{Jika jumlah}n\text{suku pertama suatu barisan}\\ & \text{adalah}{S}_n=n^3+2n,\text{maka suku keempat}\\ & \text{adalah}....\\ & \text{A}.33\text{D}.63\\ & \text{B}.39\text{C}.49\text{E}.72\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui jumlah dari suatu barisan bilangan}\\ & \text{adalah}{S}_n=n^3+2n,\text{maka}\\ & \begin{array}{rl}{U}_n& =S_n-S_{n-1}\\ U_4& =(4^3+2(4))-(3^3+2(3))\\ & =(64+8)-(27+6)\\ & =72-33=39\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 22.& \text{Dari suatu deret diketahui}{S}_n=3n^2-15n\\ & U_n=0\text{saat}n=....\\ & \text{A}.1\text{D}.4\\ & \text{B}.2\text{C}.3\text{E}.5\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan hal yang diketahui di atas}\\ & \begin{array}{rl}{U}_n& =S_n-S_{n-1}\\ 0& =(3n^2-15n)-(3(n-1{)}^2-15(n-1))\\ 0& =3(n^2-(n-1{)}^2)+15(n-1-n)\\ 0& =3(2n-1)(1)+15(-1)\\ 0& =6n-3-15\\ 0& =6n-18\\ 3& =n\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 23.& \text{Diketahui sebuah deret}{U}_n=2an+b+4\\ & \text{dan}{S}_n=3b{n}^2+an,\text{maka nilai}a\text{dan}\\ & b\text{adalah}....\\ & \text{A}.12\text{dan}4\\ & \text{B}.-12\text{dan}4\\ & \text{C}.12\text{dan}-4\\ & \text{D}.-12\text{dan}-4\\ & \text{E}.-4\text{dan}-12\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa}{U}_n=2an+b+4\text{dan}\\ & S_n=3b{n}^2+an,\text{maka}\\ & \begin{array}{rl}& U_n=S_n-S_{n-1}\\ & U_2=S_2-S_1\\ & 2a(2)+b+4=(3b{.2}^2+a.2)-(3b{.1}^2+a.1)\\ & \iff 4a+b+4=9b+a\\ & \iff 3a-8b=-4........(1)\end{array}\\ & \text{Dan juga}\\ & \begin{array}{rl}& U_1=S_1\\ & \iff 2a(1)+b+4=3b{.1}^2+a.1\\ & \iff 2a+b+4=3b+a\\ & \iff a-2b=-4\\ & \iff 3a-6b=-12........(2)\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Persamaan (2) disubstitusikan ke (1)}\\ & 3a-8b=-4\\ & \iff 3a-6b-2b=4\\ & \iff (-12)-2b=-4\\ & \iff -2b=-4+12=8\\ & \iff b=-4........(3)\\ & \text{Selanjutnya dikembalikan ke (1), maka}\\ & 3a-8b=-4\\ & \iff 3a-8(-4)=-4\\ & \iff 3a+32=-4\\ & \iff 3a=-4-32=-36\\ & \iff a=-12\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 24.& \text{Jumlah}n\text{suku pertam sebuah barisan}\\ & \text{adalah}{S}_n={\displaystyle \frac{1}{6}(4n^3-63n^2-n),\text{suku ke}-n}\\ & \text{akan mempunyai nilai terkecil untuk}n=....\\ & \text{A}.3\text{D}.6\\ & \text{B}.4\text{E}.7\\ & \text{C}.5\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Dengan menggunakan rumus}\\ & U_n=S_n-S_{n-1}\text{dengan}{U}_1=S_1,\text{maka}\\ & \text{akan didapatkan nilai}\\ & U_1=-10,U_2=-27,U_3=-40,U_4=-49\\ & U_5=-54,U_6=-55,U_7=-52\\ & \text{Kesemuanya membentuk barisan aritmetika}\\ & \text{tingkat ke-2}.\text{Berikut ilustrasinya}\\ & \begin{array}{rl}& \underset{+4+4+4+4+4}{\underset{\underbrace{}\underbrace{}\underbrace{}\underbrace{}\underbrace{}}{\underset{-17-13-9-5-1+3}{\underset{\underbrace{}\underbrace{}\underbrace{}\underbrace{}\underbrace{}\underbrace{}}{-10-27-40-49-54-55-52}}}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 25.& \text{Jika suku pertama dan kedua sebuah deret}\\ & \text{geometri masing-masing adalah}{a}^{-4}\text{dan}{a}^x\\ & \text{serta suku kedelapan ialah}{a}^{52},\text{maka nilai}\\ & x\text{adalah}....\\ & \text{A}.-32\text{D}.8\\ & \text{B}.-16\text{C}.12\text{E}.4\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& U_8=a{r}^7=U_1{r}^7=a^{52}\\ & \iff U_8=a^{-4}{r}^7=a^{52}\\ & \iff r^7={\displaystyle \frac{a^{52}}{a^{-4}}=a^{52+4}=a^{56}}\\ & \iff r=a^{{.}^{\frac{56}{7}}}=a^8\\ & \text{Maka nilai}x-\text{nya adalah}\\ & U_2=U_{1}r=a^x\\ & \iff (a^{-4})(a^8)=a^{-4+8}=a^x\\ & \iff x=4\end{array}\end{array}$.

Lanjutan 4 Contoh Soal Barisan dan Deret

 $\begin{array}{l}\\ 16.& \text{Carilah semua barisan bilangan yang berupa }\\ & \text{barisan aritmetika dan sekaligus juga barisan }\\ & \text{geometri}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikanlah bentuk barisan bilangan berikut}:\\ & \underset{\underset{{\displaystyle a}}{\updownarrow }}{\stackrel{\stackrel{{\displaystyle a}}{\updownarrow }}{U_1}},\underset{\underset{{\displaystyle ar}}{\updownarrow }}{\stackrel{\stackrel{{\displaystyle (a+b)}}{\updownarrow }}{U_2}},\underset{\underset{{\displaystyle a{r}^2}}{\updownarrow }}{\stackrel{\stackrel{{\displaystyle (a+2b)}}{\updownarrow }}{U_3}},\underset{\underset{{\displaystyle a{r}^3}}{\updownarrow }}{\stackrel{\stackrel{{\displaystyle (a+3b)}}{\updownarrow }}{U_4}},\underset{\underset{{\displaystyle a{r}^4}}{\updownarrow }}{\stackrel{\stackrel{{\displaystyle (a+4b)}}{\updownarrow }}{U_5}},\cdots ,\underset{\underset{{\displaystyle a{r}^{n-1}}}{\updownarrow }}{\stackrel{\stackrel{{\displaystyle (a+(n-1)b)}}{\updownarrow }}{U_n}}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misalkan}\\ & \text{Pada BA berlaku}2U_2=U_1+U_3\\ & \text{yaitu}\{\begin{array}{ll}2(a+b)=a+(a+2b),& \text{atau}\\ 2(ar)=a+(a{r}^2)\end{array}\\ & 2ar=a+a{r}^2,\text{dibagi a masing-masing ruas}\\ & r^2-2r+1=0\\ & (r^2-2r+1)=0\\ & (r-1{)}^2=0\\ & r=1\\ & \text{Sehingga barisannya akan menjadi}\\ & a,a,a,a,\cdots \\ & \text{Pada BG juga berlaku}{U}_2^2=U_1\times U_3\\ & \text{yaitu}\{\begin{array}{ll}(a+b{)}^2=a\times (a+2b),& \text{atau}\\ (ar{)}^2=a\times (a{r}^2)\end{array}\\ & \text{ambil saja}\\ & (a+b{)}^2=a\times (a+2b)\\ & a^2+2ab+b^2=a^2+2ab\\ & b^2=0\\ & b=0\\ & \text{dan barisannya juga sama, yaitu}\\ & a,a,a,a,\cdots \\ & \text{Jadi, semua bilangan memenuhi}a\ne 0\\ & \text{saat}r=1ataub=0\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 17.& \text{Pada waktu yang sama Anton mulai }\\ & \text{menabung Rp}10.000.000,00\text{dan Budi }\\ & \text{menabung}\text{Rp}8.000.000,00.\text{Selanjutnya}\\ & \text{Anton menabung Rp}100.000,00\text{tiap}\\ & \text{bulan dan Budi menabung Rp}150.000,00\\ & \text{Setelah berapa bulan tabungan keduanya}\\ & \text{tepat sama}....\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Soal di atas adalah aplikasi dari deret}\\ & \text{aritmetika}\\ & \bullet \text{barisan pertama}\\ & u_1=a=10.000.000,b=100.000\\ & \bullet \text{barisan kedua}\\ & u_1=a=8.000.000,b=150.000\\ & \text{Selanjutnya adalah}\\ & u_1+(n-1)b=u_1^{{}^{\prime }}+(n-1)b^{\prime }\\ & \iff 10.000.000+(n-1)\times 100.000\\ & =8.000.000+(n-1)\times 150.000\\ & \iff (100.000-150.000)\times (n-1)\\ & =8.000.000-10.000.000\\ & \iff -50.000(n-1)=-2.000.000\\ & \iff (n-1)={\displaystyle \frac{-2.000.000}{-50.000}=40}\\ & n=40+1=41\end{array}\\ & \text{Jadi, tabungan keduanya akan sama setelah}\\ & \text{40 bulan}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 18.& \text{Tentukan jumlah semua bilangan asli}\\ & \text{antara 1 dan 150 yang habis dibagi 4}\\ & \text{tetapi tidak habis dibagi 7}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Soal di atas adalah aplikasi dari deret}\\ & \text{aritmetika}\\ & \bullet \text{barisan pertama adalah bilangan asli}\\ & \text{yang habis dibagi 4}\\ & u_1=a=4,b=4,U_n=148\\ & U_n=a+(n-1)b=4+(n-1)4=148\\ & \text{didapatkan nilai}n=37\\ & S_n={\displaystyle \frac{n}{2}(a+u_n)=\frac{37}{2}(4+148)=2812}\\ & \bullet \text{barisan kedua adalah bilangan asli}\\ & \text{yang habis dibagi}=4\times 7=28\\ & u_1=a=28,b=28,U_n=140\\ & \text{didapatkan nilai}n=5\\ & S_n={\displaystyle \frac{n}{2}(a+u_n)=\frac{5}{2}(28+140)=420}\end{array}\\ & \text{Jadi, jumlah bilangan yang dimaksud}\\ & \text{adalah}\text{2812}-420=2392\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 19.& \text{Sebuah tali dibagi menjadi 6 bagian}\\ & \text{dengan panjang membentuk suatu}\\ & \text{barisan geometri. Jika panjang tali}\\ & \text{terpendek adalah 3 cm dan yang}\\ & \text{terpanjang 96 cm, berapakah panjang}\\ & \text{tali sebelum terpotong}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misalkan panjang tali yang dimaksud}\\ & a,ar,a{r}^2,a{r}^3,a{r}^4,a{r}^5\\ & \text{Dan diketahui juga bahwa}\\ & \{\begin{array}{ll}a& =\text{3 cm}\\ a{r}^5& =\text{96 cm}\end{array}\\ & \text{maka}\\ & \begin{array}{rl}a{r}^5& =96\\ \iff & 3.r^5=96\\ \iff & r^5=32\\ \iff & r^5=2^5\\ \iff & r=2\\ S_n& ={\displaystyle \frac{a(r^n-1)}{r-1},r\ge 1}\\ & ={\displaystyle \frac{3(2^6-1)}{2-1}=3\times (64-1)}\\ & =3\times 63=189\text{cm}\end{array}\end{array}\\ & \text{Jadi, panjang talinya sebelum dipotong}\\ & \text{adalah}\text{189 cm}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 20.& \text{Jumlah penduduk suatu kota setiap }\\ & \text{10 tahun menjadi dua kali lipat}.\\ & \text{Jika menurut perhitungan pada tahun}\\ & \text{2030 nanti akan mencapai 3,2 juta jiwa}\\ & \text{berapakah jumlah penduduk kota tersebut}\\ & \text{pada tahun 1980}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Dari soal diketahui bahwa}\\ & \underset{a}{\begin{array}{c}1980\\ \downarrow \end{array}},\underset{ar}{\begin{array}{c}1990\\ \downarrow \end{array}},\underset{a{r}^2}{\begin{array}{c}2000\\ \downarrow \end{array}},\underset{a{r}^3}{\begin{array}{c}2010\\ \downarrow \end{array}},\underset{a{r}^4}{\begin{array}{c}2020\\ \downarrow \end{array}},\underset{a{r}^5}{\begin{array}{c}2030\\ \downarrow \end{array}}\\ & ?3,2\text{juta}\\ & \text{dengan}\\ & \{\begin{array}{ll}r& =2\\ n& =6\end{array}\\ & \text{maka}\\ & \begin{array}{rlr}{U}_6=a{r}^5& =3.200.000& \\ a{.2}^5& =3.200.000\\ a.32& =3.200.000\\ a& ={\displaystyle \frac{3.200.000}{32}}\\ & =100.000\end{array}\end{array}\\ & \text{Jadi, jumlah penduduk pada tahun 1980}\\ & \text{sejumlah}\text{100.000 jiwa}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kuntarti,Sulistiyono, Kurnianingsih, S. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA Standar Isi 2006. Jakarta: ESIS.
2. Mauludin, U. 2005. Matematika Program Ilmu Sosial dan Bahasa untuk SMA dan MA Kelas XII. Bandung: SARANA PANCA KARYA NUSA.

Lanjutan 3 Contoh Soal Barisan dan Deret

 $\begin{array}{l}\\ 11.& (\mathbf{\text{UN 2014}})\\ & \text{Diketahui seutas kawat dipotong menjadi 5 }\\ & \text{bagian dan hasil potongannya membentuk }\\ & \text{deret geometri. Jika panjang kawat terpendek}\\ & \text{16 cm dan terpanjang 81 cm, maka panjang }\\ & \text{kawat semula adalah}....\text{cm}\\ & \text{A}.121\text{D}.211\\ & \text{B}.130\text{C}.133\text{E}.242\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Diketahui}& \{\begin{array}{ll}a& =U_1=16\\ U_n& =a.r^{n-1}\\ S_n& ={\displaystyle \frac{a(r^n-1)}{r-1}}\end{array}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{U_5}{U_1}=\frac{a{r}^4}{a}}& ={\displaystyle \frac{81}{16}}\\ r^4& ={\displaystyle \frac{3^4}{2^4}}\\ r& ={\displaystyle \frac{3}{2},(r>1)}\\ \text{Sehingga},& \\ S_5& ={\displaystyle \frac{16({\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^5-1)}{{\displaystyle \frac{3}{2}-1}}}\\ & ={\displaystyle \frac{16\left(\frac{3^5-2^5}{2^5}\right)}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}\\ & ={\displaystyle 32\left(\frac{243-32}{32}\right)}\\ & =211\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 12.& (\mathbf{\text{UMPTN 2001}})\\ & \text{Diketahui sepotong kawat dengan panjang }\\ & \text{124 cm akan dipotong menjadi 5 bagian }\\ & \text{dan hasil potongan kawatnya membentuk }\\ & \text{barisan geometri. Jika pajang potongan }\\ & \text{kawat yang terpendek adalah 4 cm, maka}\\ & \text{potongan kawat yang terpanjang adalah}....\text{cm}\\ & \text{A}.60\text{D}.72\\ & \text{B}.64\text{C}.68\text{E}.76\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan hal yang diketahui di atas}\\ & \begin{array}{rl}{S}_5& =U_1+U_2+U_3+U_4+U_5\\ S_5& =a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4\\ 124& =4+4r+4r^2+4r^3+4r^4\\ 31& =1+r+r^2+r^3+r^4\\ 30& =r+r^2+r^3+r^4\\ & r^4+r^3+r^2+r-30=0\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikanlah bahwa pada polinom}\\ & r^4+r^3+r^2+r-30=0\\ & \text{faktor prima dari 30 adalah 2, 3, dan 5.}\\ & \text{Dan faktor yang memenuhi adalah r = 2}\\ & \text{Sehingga},U_5\text{sebagai potongan kawat terpanjang;}\\ & U_5=a{r}^4={4.2}^4=4.16=64\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 13.& (\mathbf{\text{UMPTN 2001}})\\ & \text{Diketahui rasio sebuah deret geometri tak hingga }\\ & \text{adalah}{}^3\log (2x-1).\text{Jika deret tersebut memiliki }\\ & \text{jumlah (konvergen), maka nilai}x\text{yang memenuhi }\\ & \text{adalah}.....\\ & \text{A}.{\displaystyle \frac{1}{2}<x<\frac{2}{3}}\\ \\ & \text{B}.{\displaystyle \frac{1}{2}<x<2}\\ \\ & \text{C}.{\displaystyle \frac{2}{3}<x<2}\\ \\ & \text{D}.{\displaystyle \frac{2}{3}\le x\le 2}\\ \\ & \text{E}.{\displaystyle \frac{1}{2}\le x\le \frac{3}{2}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Syarat}\mathbf{\text{konvergen adalah}}\left|r\right|<1\\ & \text{atau}:-1<r<1\\ & \text{maka}\\ & -1{<}^3\log (2x-1)<1\\ & \iff (-1).({}^3\log 3)<{}^3\log (2x-1)<1.({}^3\log 3)\\ & \iff {}^3\log 3^{-1}<{}^3\log (2x-1)<{}^3\log 3^1\\ & \iff 3^{-1}<(2x-1)<3\\ & \iff {\displaystyle \frac{1}{3}<2x-1<3}\\ & \iff {\displaystyle \frac{1}{3}+1<2x-1+1<3+1}\\ & \iff {\displaystyle \frac{4}{3}<2x<4}\\ & \iff {\displaystyle \frac{2}{3}<x<2}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 14.& (\mathbf{\text{UN 2010}})\\ & \text{Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika }\\ & \text{dengan beda 3. Jika suku kedua dikurangi 1, maka }\\ & \text{terbentuklah deret geometri dengan jumlah 14.}\\ & \text{Rasio barisan tersebut adalah ... .}\\ & \text{A}.4\text{D}.{\displaystyle -\frac{1}{2}}\\ & \text{B}.2\text{C}.{\displaystyle \frac{1}{2}\text{E}.-2}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Barisan Aritmetika (BA)}\{\begin{array}{ll}{U}_1& =a\\ U_2& =a+3\\ U_3& =a+6\end{array}\\ & \text{Barisan Geometri (BG)}\{\begin{array}{ll}{U}_1& =a\\ U_2& =a+3-1=a+2\\ U_3& =a+6\end{array}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{dan untuk deret geometri (DG)}\\ & U_1+U_2+U_3=14\\ & a+(a+2)+(a+6)=14\\ & 3a+8=14\\ & 3a=6\\ & a=2\\ & \text{sehingga},\\ & r={\displaystyle \frac{U_2}{U_1}=\frac{a+2}{a}=\frac{4}{2}=2}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 15.& (\mathbf{\text{UN 2009}})\\ & \text{Jumlah tiga bilangan barisan aritmetika adalah}\\ & \text{45. Jika suku kedua dikurangi 1 dan suku ketiga}\\ & \text{ditambah 5, maka barisan tersebut menjadi }\\ & \text{barisan geometri. Rasio barisan geometri tersebut}\\ & \text{adalah}....\\ & \text{A}.{\displaystyle \frac{1}{2}\text{D}.2}\\ \\ & \text{B}.{\displaystyle \frac{3}{4}\text{C}.1{\displaystyle \frac{1}{2}\text{E}.3}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\mathbf{\text{Ada 2 pilihan, yaitu A dan D}}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\\ & \{\begin{array}{l}{U}_1+U_2+U_3=45(DA)\\ \iff a+(a+b)+(a+2b)=45\\ \iff a+b=15\Rightarrow a=15-b\\ U_1,(U_2-1),(U_3+5)(BG)\\ \Rightarrow a,(a+b-1),(a+2b+5)\\ \Rightarrow a,(14),(20+b)\end{array}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Pada BG berlaku}\\ & {14}^2=a.(20+b)\\ & 196=(15-b)(20+b)\\ & 196=300-5b-b^2\\ & b^2+5b-104=0\\ & (b+13)(b-8)=0\\ & b=-13\text{atau}b=8\\ & \text{untuk}b=-13\Rightarrow a=15-(-13)=28\\ & \{\begin{array}{ll}B{A}_1:& 28,15,2\\ B{G}_1:& 28,14,7\end{array}\\ & \text{untuk}b=8\Rightarrow a=15-(8)=7\\ & \{\begin{array}{ll}B{A}_2:& 7,15,23\\ B{G}_2:& 7,14,28\end{array}\\ & \text{Jadi, rasio dari barisan geometrianya ada 2 yaitu}:\\ & r_1={\displaystyle \frac{1}{2},\text{dan}{r}_2=2}\end{array}\end{array}$.

Lanjutan 2 Contoh Soal Barisan dan Deret

$\begin{array}{l}\\ 6.& (\mathbf{\text{EBTANAS 2000}})\\ & \text{Diketahui}{\displaystyle \sum _{k=5}^{25}(2-pk)=0,\text{maka nilai}}\\ & \sum _{k=5}^{25}pk=....\\ & \text{A}.20\text{D}.42\\ & \text{B}.28\text{C}.30\text{E}.112\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=5}^{25}(2-pk)={\displaystyle \sum _{k=5}^{25}2-\sum _{k=5}^{25}pk}}& =0\\ {\displaystyle \sum _{k=5-4}^{25-4}2-\sum _{k=5}^{25}pk}& =0\\ {\displaystyle \sum _{k=5}^{25}pk}& ={\displaystyle \sum _{k=1}^{21}2}\\ & =21.2\\ & =42\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 7.& (\mathbf{\text{EBTANAS 2000}})\\ & \text{Nilai dari}{\displaystyle \sum _{k=1}^7{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{k+1}=....}\\ & \text{A}.{\displaystyle \frac{127}{1024}\text{D}.{\displaystyle \frac{127}{128}}}\\ \\ & \text{B}.{\displaystyle \frac{127}{256}\text{C}.{\displaystyle \frac{255}{512}\text{E}.{\displaystyle \frac{255}{256}}}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& {\displaystyle \sum _{k=1}^7{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{k+1}}\\ & ={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+{\left(\frac{1}{2}\right)}^4+{\left(\frac{1}{2}\right)}^5+{\left(\frac{1}{2}\right)}^6+{\left(\frac{1}{2}\right)}^7+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^8\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{256}}\\ & ={\displaystyle \frac{64+32+16+8+4+2+1}{256}}\\ & ={\displaystyle \frac{127}{256}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 8.& (\mathbf{\text{UN 2013}})\\ & \text{Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku }\\ & \text{ketiga adalah 4 dan suku ketujuhnya adalah 16}.\\ & \text{Jumlah 10 suku pertama dari deret tersebut }\\ & \text{adalah}....\\ & \text{A}.115\text{D}.135\\ & \text{B}.125\text{C}.130\text{E}.{\displaystyle 140}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Dari soal diketahui bahwa}\\ & \begin{array}{rl}{U}_3=a+2b& =4\\ U_7=a+6b& =16{}_{-}\\ ------& --\\ -4b& =-12\\ b& =3\\ \text{Sehingga}& \text{didapatkan}\\ \text{nilai}a=& 4-2b\\ =& 4-2.3\\ =& -2\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{Maka}& \text{jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah}\\ S_n& ={\displaystyle \frac{n}{2}(2a+(n-1)b)}\\ S_{10}& ={\displaystyle \frac{10}{2}(2.(-2)+(10-1).3)}\\ & =5(-4+27)\\ & =5(23)\\ & =115\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 9.& (\mathbf{\text{UN 2014}})\\ & \text{Diketahui tempat duduk gedung pertunjukan}\\ & \text{film diatur mulai dari baris depan ke belakang }\\ & \text{dengan banyak banyak baris dibelakang lebih }\\ & \text{4 kursi dari baris di depannya. Jika dalam }\\ & \text{gedung pertunjukan terdapat 15 baris kursi dan}\\ & \text{baris terdepan ada 20 kursi, maka kapasitas }\\ & \text{gedung pertunjukan tersebut adalah}....\text{kursi}\\ & \text{A}.1200\text{D}.600\\ & \text{B}.800\text{C}.720\text{E}.300\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Diketahui}& \{\begin{array}{ll}a& =U_1=20\\ b& =4\\ n& =15\\ S_n& ={\displaystyle \frac{n}{2}(2a+(n-1)b)}\end{array}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}{S}_n& ={\displaystyle \frac{n}{2}(2a+(n-1)b)}\\ & ={\displaystyle \frac{15}{2}(2(20)+(15-1).4)}\\ & =15(20+28)\\ & =15(48)\\ & =750\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 10.& (\mathbf{\text{UN 2015}})\\ & \text{Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku}\\ & \text{ke-3 adalah 2 dan suku ke-8 adalah -13. Jumlah}\\ & \text{20 suku pertama dari deret tersebut adalah}....\\ & \text{A}.-580\text{D}.-410\\ & \text{B}.-490\text{C}.-440\text{E}.-380\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Dari soal di atas diketahui bahwa}\\ & \begin{array}{rl}{U}_3=a+2b& =2\\ U_8=a+7b& =-13{}_{-}\\ ------& ---\\ -5b& =15\\ b& =-3\\ \text{Sehingga}& \text{didapatkan}\\ \text{nilai}a=& 2-2b\\ =& 2-2.(-3)\\ =& 8\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{Maka}& \text{jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah}\\ S_n& ={\displaystyle \frac{n}{2}(2a+(n-1)b)}\\ S_{20}& ={\displaystyle \frac{20}{2}(2.(8)+(20-1).(-3))}\\ & =10(16-57)\\ & =10(-41)\\ & =-410\end{array}\end{array}$.

Contoh Soal Barisan dan Deret

 $\begin{array}{l}\\ 1.& (\mathbf{\text{EBTANAS 1999}})\\ & \text{Diketahui jumlah n suku pertama deret}\\ & \text{aritmetika dinyatakan sebagai}{S}_n=n^2+2n\\ & \text{Beda dari deret tersebut adalah}....\\ & \text{a}.3\text{d}.-2\\ & \text{b}.2\text{c}.1\text{e}.-3\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa}{S}_n=n^2+2n,\\ & \text{dengan}\{\begin{array}{ll}{S}_1& =U_1=a\\ S_2& =U_1+U_2\\ S_3& =U_1+U_2+U_3\\ & ⋮\\ S_n& =U_1+U_2+U_3+\cdots +U_n\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{Beda}=b& =U_2-U_1\\ & =(S_2-S_1)-S_1\\ & =S_2-2S_1\\ & =(2^2+2.(2))-2(1^2+2.(1))\\ & =(4+4)-2(1+2)=8-6\\ & =2\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& (\mathbf{\text{UMPTN 1994}})\\ & \text{Diketahui jumlah n suku pertama suatu}\\ & \text{deret dinyatakan sebagai}{S}_n=12n-n^2.\\ & \text{Suku kelima dari deret tersebut adalah}....\\ & \text{a}.-1\text{d}.3\\ & \text{b}.1\text{c}.-3\text{e}.0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa}{S}_n=12n-n^2\\ & \begin{array}{rl}{U}_5& =S_5-S_4\\ & =(12.(5)-(5{)}^2)-(12.(4)-(4{)}^2)\\ & =(60-25)-(48-16)\\ & =3\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& (\mathbf{\text{EBTANAS 2000}})\\ & \text{Diketahui suku tengah suatu deret }\\ & \text{aritmetika adalah 32. Jika jumlah n}\\ & \text{suku pertama deret itu adalah 672, }\\ & \text{maka banyak suku deret itu adalah}....\\ & \text{a}.17\text{d}.23\\ & \text{b}.19\text{c}.21\text{e}.25\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui}\\ & \text{Suku tengah}=U_t={\displaystyle \frac{U_1+U_n}{2}=32\text{dan}}\\ & \begin{array}{rl}{S}_n& ={\displaystyle \frac{n}{2}(U_1+U_n)}\\ & =672\\ n\left({\displaystyle \frac{U_1+U_2}{2}}\right)& =672\\ 32n& =672\\ n& =21\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& (\mathbf{\text{UMPTN 1997}})\\ & \text{Diketahui}{U}_n\text{adalah suku ke - n }\\ & \text{deret aritmetika dengan}\\ & U_1+U_2+U_3=-9\text{dan}{U}_3+U_4+U_5=15\\ & \text{Maka jumlah lima suku pertama}\\ & \text{deret aritmetika tersebut adalah}....\\ & \text{a}.4\text{d}.15\\ & \text{b}.5\text{c}.6\text{e}.24\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa}\\ & \begin{array}{rl}& U_1+U_2+U_3=-9,\\ & \Rightarrow a+(a+b)+(a+2b)=3a+3b=-9\\ & U_3+U_4+U_5=15,\\ & \Rightarrow (a+2b)+(a+3b)+(a+4b)=3a+9b=15{}_{-}\\ & -----------------\\ & -6b=-24\Rightarrow b=4\\ & a=-7\\ & \text{Maka}\\ & \begin{array}{rl}{S}_5& ={\displaystyle \frac{5}{2}(U_1+U_5)}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{2}(a+a+(5-1)b)}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{2}(-7-7+4.4)}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{2}(2)}\\ & =5\end{array}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& (\mathbf{\text{EBTANAS 1999}})\\ & \text{Nilai dari}{\displaystyle \sum _{k=1}^{100}5k-\sum _{k=1}^{100}(2k-1)\text{adalah}....}\\ & \text{a}.30.900\text{d}.15.450\\ & \text{b}.30.500\text{c}.16.250\text{e}.15.250\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahi}\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{100}5k-\sum _{k=1}^{100}(2k-1)}& =\sum _{k=1}^{100}(5k-2k+1)\\ & ={\displaystyle \sum _{k=1}^{100}(3k+1)}\\ & =3{\displaystyle \sum _{k=1}^{100}k+1.100}\\ & =3\left({\displaystyle \frac{100}{2}(1+100)}\right)+100\\ & =3.(5.050)+100\\ & =15.150+100\\ & =15.250\end{array}\end{array}$.

Lanjutan Materi Barisan dan Deret

 E. Barisan Geometri

Perhatikan susunan bilangan-bilangan berikut 

$\begin{array}{r}1,{\displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\cdots }\end{array}$.

dengan rincian

$\begin{array}{r}\underset{\begin{array}{c}\downarrow \\ u_1\end{array}}{1},\underset{\begin{array}{c}\downarrow \\ u_2\end{array}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}},\underset{\begin{array}{c}\downarrow \\ u_3\end{array}}{{\displaystyle \frac{1}{4}}},\underset{\begin{array}{c}\downarrow \\ u_4\end{array}}{{\displaystyle \frac{1}{8}}},\underset{\begin{array}{c}\downarrow \\ u_5\end{array}}{{\displaystyle \frac{1}{16}}},\cdots \end{array}$.

Dari pola di atas kita dapat tuliskan menjadi

$\begin{array}{r}1,{\displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{2}\times \frac{1}{4},\frac{1}{2}\times \frac{1}{8},\cdots }\end{array}$.

Dari pola yang tersusun di atas terdapat hal yang menarik yaitu:

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3}=\cdots =\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{1}{2}}\end{array}$.

Selanjutnya perhatikan

$\begin{array}{rl}& u_1=a=1\\ & u_2=u_1\times {\displaystyle \frac{1}{2}=1\times {\displaystyle \frac{1}{2}\iff u_2=a.r}}\\ & u_3=u_2\times {\displaystyle \frac{1}{2}=1\times {\displaystyle \frac{1}{2}\times {\displaystyle \frac{1}{2}=1\times {\displaystyle \frac{1}{4}\iff u_3=a.r^2}}}}\\ & u_4=u_3\times {\displaystyle \frac{1}{2}=1\times {\displaystyle \frac{1}{2}\times {\displaystyle \frac{1}{2}\times {\displaystyle \frac{1}{2}=1\times {\displaystyle \frac{1}{8}\iff u_4=a.r^3}}}}}\\ & ...=...\\ & u_n=a.r^{n-1}\end{array}$.

Selanjutnya pembanding yang selalu tetap dinamakan rasio atau disingkat dengan huruf  $r$.

F. Deret Geometri

Perhatikan bahwa pada barisan suku-suku barisan geometri jika dijumlahkan akn terbentuk deret geometri atau deret ukur

Misalkan

$S_n=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\cdots +a{r}^{n-1}$.

Untuk mencari besar $S_n$ adalah dengan mensiasatinya yaitu mengalikan  $r$  ke  $S_n$ sehingga menjadi bentuk

$r{S}_n=ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+a{r}^5+\cdots +a{r}^n$.

Selanjutnya kita kondisikan sebagai berikut

$\begin{array}{rl}& S_n-r{S}_n\\ & =(a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+...+a{r}^{n-2}+a{r}^{n-1})\\ & -(ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+a{r}^5+...+a{r}^{n-1}+a{r}^n)\\ & (1-r)S_n=a-a{r}^n=a(1-r^n)\\ & S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\end{array}$.

Sebagai rangkuman dari materi barisan dan deret geometri ini, perhatikan tabel berikut

$\begin{array}{|cccc|}\hline \text{No}& \text{Barisan Geometri}& \text{Deret Geometri (Ukur)}& \text{Syarat}\\ 1& \begin{array}{rl}& U_1,U_2,U_3,U_4,...\\ & \\ & \text{Selanjutnya}\\ & U_1,U_2,U_3,\cdots \\ & \text{disebut suku-suku}\\ & \text{dan}{U}_1=a=\\ & \text{suku pertama}\end{array}& \begin{array}{rl}& U_1+U_2+U_3+U_4+...\\ & \\ & \text{Selanjutnya}\\ & U_1,U_2,U_3,\cdots \\ & \text{disebut suku-suku}\\ & \text{dan}{U}_1=a=\\ & \text{suku pertama}\end{array}& \begin{array}{rl}\text{Rasio}=r& ={\displaystyle \frac{U_2}{U_1}}\\ & ={\displaystyle \frac{U_3}{U_2}}\\ & ={\displaystyle \frac{U_4}{U_3}}\\ & =\cdots \\ & ={\displaystyle \frac{U_n}{U_{(n-1)}}}\end{array}\\ 2& U_n=a.r^{(n-1)}& U_n=a.r^{(n-1)}& \begin{array}{rl}{U}_t& ={\displaystyle \sqrt{a.U_n}}\\ & =\text{Suku tengah}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

$\begin{array}{|cccc|}\hline \text{No}& \begin{array}{rl}& \text{Barisan}\\ & \text{Geometri}\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Deret }\\ & \text{Geometri (Ukur)}\end{array}& \text{Syarat}\\ 3& & \begin{array}{rl}{S}_n& ={\displaystyle \frac{a(r^n-1)}{r-1}}\\ & \mathbf{\text{atau}}\\ S_n& ={\displaystyle \frac{a(1-r^n)}{1-r}}\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{sisipan}k\text{bilangan}\\ & \text{misal}\\ & U_1\cdots \cdots \cdots U_m\\ & \text{ingin disisipkan}k\text{bilangan}\\ & \text{Rasio baru}=r^{\prime }={\displaystyle \sqrt[k+1]{{\displaystyle \frac{U_m}{U_1}}}}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

$\begin{array}{|cccl|}\hline \text{No}& \begin{array}{rl}& \text{Barisan}\\ & \text{Geometri}\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Deret }\\ & \text{Geometri (Ukur)}\end{array}& \text{Syarat}\\ & \text{Deret tak Hingga}& \text{Deret tak Hingga}& \text{Hubungan}\\ 4& \text{Konvergen}& \text{Divergen}& \text{suku dan jumlah}\\ & S_{\mathrm{\infty }}={\displaystyle \frac{a}{1-r},\left|r\right|<1}& r\le -1\text{atau}r\ge 1& \begin{array}{rl}{U}_1& =S_1=a\\ U_n& =S_n-S_{(n-1)}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukan suku ke}-12\text{dari barisan}\\ & \text{berikut}\\ & 4,1,{\displaystyle \frac{1}{4},\frac{1}{16},\cdots }\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa}\\ & \{\begin{array}{ll}{u}_1& =a=4\\ r& ={\displaystyle \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\cdots =\frac{1}{4}}\end{array}\\ & \text{Untuk mencari suku ke}-12,\text{maka}\\ & \begin{array}{rl}{u}_{12}& =a.r^{(12-1)}=a{r}^{11}\\ & =4.{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{11}\\ & =4^1{.4}^{-11}=4^{1-11}=4^{-10}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4^{10}}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukan jumlah 12 suku pertama}\\ & \text{dari}\\ & 4+1+{\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{4^{10}}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa}\\ & \begin{array}{rl}{S}_n& ={\displaystyle \frac{a(1-r^n)}{1-r}}\\ S_{12}& ={\displaystyle \frac{4(1-{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{12})}{1-{\displaystyle \frac{1}{4}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{4(1-{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{12})}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{16}{3}(1-{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{12})}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Suatu deret geometri dengan jumlah}\\ & S_n={3.2}^n-1,\text{maka suku ke}-2022\\ & \text{dari deret tersebut adalah}....\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa}{S}_n={3.2}^n-1,\text{maka}\\ & u_{2022}=S_{2022}-S_{2021}\\ & \text{Sehingga}\\ & \begin{array}{rl}{u}_{2022}& =S_{2022}-S_{2021}\\ & =({3.2}^{2022}-1)-({3.2}^{2021}-1)\\ & ={3.2}^{2022}-{3.2}^{2021}={3.2}^{2021}(2-1)\\ & ={2.3}^{2021}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Diketahui deret geometri dengan}{\displaystyle \frac{u_4}{u_6}=k}\\ & \text{dan}{u}_2\times u_8={\displaystyle \frac{1}{k},\text{maka suku pertama}}\\ & \text{deret geometri ini adalah}....\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa}\\ & \{\begin{array}{ll}& {\displaystyle \frac{u_4}{u_6}=k}\\ & u_2\times u_8={\displaystyle \frac{1}{k}}\end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{u_6}{u_4}=\frac{a{r}^5}{a{r}^3}=r^2=\frac{1}{k}\text{dan}}\\ & u_2\times u_8\\ & =ar\times a{r}^7=a^2{r}^8={\left(a{r}^4\right)}^2=\frac{1}{k}\\ & \iff {\left(u_5\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{k}\iff u_5=\sqrt{\frac{1}{k}}}\\ & \text{sehingga}\\ & u_5=a{r}^4=a{\left(r^2\right)}^2\iff \sqrt{\frac{1}{k}}=a{\left(\frac{1}{k}\right)}^2\\ & \begin{array}{rl}a& =k^2\times \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{k}}}\\ & =k\times k\times k^{-\frac{1}{2}}\\ & =k\times k^{{}^{{.}^{\frac{1}{2}}}}=k\sqrt{k}\end{array}\end{array}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Waji, J., Linggih, S., Syahrudin,Y.R. 1981. Ringkasan Materi IPA. Bandung: GANECA EXACT.

Barisan dan Deret

 A. Pola Bilangan

Pola bilangan dalam kaitannya dengan matematika adalah suatu susunan bilangan dengan susunan tertentu.

Perhatikan ilustrasi berikut

Misalkan beberapa kue donat dalam disusun dan dikelompokkan berbentuk persegi sebagaimana ilustrasi berikut 

Jika kita cermati susunan susunan kue donat dalam kotak terkecil ke terbesar atau begitu seterusnya pada tiap-tiap terisi sejumlah : 1, 4, 9, 16, 25. Sehingga saat kita rinci 

Dapatkan Anda menentukan kelompok kotak berikutnya setelah kotak ke-5, misalnya ketak ke-6, 7, 8, dan seterusnya

Jika kue donat dalam kotak kita tabelkan akan berupa ilustrasi berikut

$\begin{array}{|ccc|}\hline \text{Kelompok}& \text{Kue Donat dalam Kotak}& \text{Pola}\\ K_1& 1& 1=1\times 1\\ K_2& 4& 4=2\times 2\\ K_3& 9& 9=3\times 3\\ K_4& 16& 16=4\times 4\\ K_5& 25& 25=5\times 5\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ K_{\text{n}}& ?& ?=\text{n}\times \text{n}\\ \hline\end{array}$.

Dengan memperhatikan pola yang ada di atas, maka akan dengan mudah kita menentukan isi kotak ke-6, yaitu berisi 6x6 = 36 buah kue donat dean demikian seterusnya.

B. Menemukan Pola Barisan dan Deret suatu Bilangan

Misalkan diberikan susunan bilangan berikut

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{1}{12},\frac{1}{20},\frac{1}{30},\cdots ,\frac{1}{9900}}\end{array}$.

Andai kita tabelkan akan berupa

$\begin{array}{|ccc|}\hline \text{Suku ke-}& \text{Nilai}& \text{Pola}\\ U_1& {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1}{1\times 2}}\\ U_2& {\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{1}{6}=\frac{1}{2\times 3}}\\ U_3& {\displaystyle \frac{1}{12}}& {\displaystyle \frac{1}{12}={\displaystyle \frac{1}{3\times 4}}}\\ U_4& {\displaystyle \frac{1}{20}}& {\displaystyle \frac{1}{20}=\frac{1}{4\times 5}}\\ U_5& {\displaystyle \frac{1}{30}}& {\displaystyle \frac{1}{30}=\frac{1}{5\times 6}}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ U_{\text{99}}& {\displaystyle \frac{1}{9900}}& {\displaystyle \frac{1}{9900}={\displaystyle \frac{1}{99\times 100}}}\\ \hline\end{array}$.

Sehingga dari pola bilangan di atas kita dengan mudah menentukan urutan suku ke-n atau  $U_n$  yaitu ${\displaystyle \frac{1}{n\times (n+1)}}$ dan andai kita diminta menentukan besar suku ke-2022 adalah ${\displaystyle \frac{1}{2022\times 2023}=\frac{1}{4090506}}$.

C. Barisan Aritmetika

Secara definisi barisan aritmetika adalah barisan bilangan di mana beda setiap suku dengan tepat suku setelahnya memiliki selisih tetap.

Sebagai ilustrasinya misalkan $u_1=a$, $u_2=a+b$, dan untuk suku ke-3 adalah $u_3=a+b+b=a+2b$, demikian seterusnya akan selalu ditambahkan $b$ dan selanjutnya nilai $b$=$u_2-u_1=u_3-u_2=u_4-u_3=\cdots$.

Perhatikan ilustrasi berikut

$\begin{array}{rl}& u_1=a\\ & u_2=u_1+b=u_1+b\\ & u_3=u_2+b=u_1+2b\\ & u_4=u_3+b=u_1+3b\\ & u_5=u_4+b=u_1+4b\\ & ⋮⋮\\ & u_n=u_{(n-1)}+b=u_1+(n-1)b\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukan suku ke-50 dari barisan berikut}\\ & 5,-2,-9,-16,\cdots \\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa}\\ & \begin{array}{rl}& \underset{\begin{array}{c}\downarrow \\ u_1\end{array}}{5},\underset{\begin{array}{c}\downarrow \\ u_2\end{array}}{-2},\underset{\begin{array}{c}\downarrow \\ u_3\end{array}}{-9},\underset{\begin{array}{c}\downarrow \\ u_4\end{array}}{-16},\cdots ,\underset{\begin{array}{c}\downarrow \\ u_n\end{array}}{u_1+(n-1)b}\end{array}\\ & \text{Jelas bahwa}\\ & \begin{array}{rl}b=& u_2-u_1=-2-5=-7\\ \text{ma}& \text{ka}\\ U_{50}& =u_1+(50-1).(-7)\\ & =5+49.(-7)=5-343\\ & =-338\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Jika diketahui barisan aritmetika dengan}\\ & \text{suku ke}-3=-4{\displaystyle \frac{1}{2}\text{dan suku ke}-8=-2}\\ & \text{Tentukan suku pertama, beda serta rumus}\\ & \text{suku ke}-n\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan tabel berikut}\\ & \begin{array}{|cc|}\hline \begin{array}{lll}& u_3=-4{\displaystyle \frac{1}{2}=a+2b}& \\ & u_8=-2=a+7b& -\\ & -4{\displaystyle \frac{1}{2}-(-2)=-5b}\\ & -2{\displaystyle \frac{1}{2}=-5b}\\ & 5b={\displaystyle \frac{5}{2}}\\ & b={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}& \begin{array}{rl}{u}_3& =a+2b=-4{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & a+2\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-4{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & a+1=-4{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & a=-4{\displaystyle \frac{1}{2}-1}\\ & a=-5{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \text{maka}{u}_n=a+(n-1)b\\ & \begin{array}{rl}{u}_n& =-5{\displaystyle \frac{1}{2}+(n-1).{\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ & =-5{\displaystyle \frac{1}{2}+{\displaystyle \frac{1}{2}n-\frac{1}{2}={\displaystyle \frac{1}{2}n-6}}}\end{array}\end{array}$.

D. Deret Aritmetika

Jika pada barisan aritmetika di atas dijumlahkan semua sukunya, maka akan terbentuklah sebuah deret hitung yang selanjutnya adalah nama lain dari deret aritmetika

$\begin{array}{rl}{S}_n& =a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+\cdots \end{array}$.

dan

$\begin{array}{ll}{S}_n& =a+(a+b)+(a+2b)+\cdots +a+(n-1)b\\ S_n& =a+(n-1)b+\cdots +(a+2b)+(a+b)+a& +\\ 2S_n& =2a+(n-1)b+\cdots +2a+(n-1)b\\ 2S_n& =n(2a+(n-1)b)\\ S_n& ={\displaystyle \frac{n}{2}(2a+(n-1)b)\mathbf{\text{atau}}}\\ S_n& ={\displaystyle \frac{n}{2}(a+a+(n-1)b)=\frac{n}{2}(u_1+u_n)}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

Pada contoh soal no.1 di atas tentukanlah jumlah 50 suku pertema deret aritmetika tersebut

Jawab:

$\begin{array}{rl}\text{Dik}& \text{etahui}\\ S_{50}& =5+(-2)+(-9)+(-16)+\cdots +(-338)\\ \text{De}& \text{ngan}{S}_n={\displaystyle \frac{1}{2}n(u_1+u_n)}\\ S_{50}& ={\displaystyle \frac{1}{2}.50.(5+(-338))}\\ & =25.(-333)\\ & =-8325\end{array}$.

Sebagai rangkumannya perhatikan tabel berikut terkait barisan dan deret aritmetika

$\begin{array}{|clll|}\hline \text{No}& \text{Barisan Aritmetika}& \text{Deret Aritmetika (Hitung)}& \text{Syarat}\\ 1& \begin{array}{rl}& U_1,U_2,U_3,U_4,...\\ & \\ & \text{Selanjutnya}\\ & U_1,U_2,U_3,\cdots \\ & \text{disebut suku-suku}\\ & \text{dan}{U}_1=a=\\ & \text{suku pertama}\end{array}& \begin{array}{rl}& U_1+U_2+U_3+U_4+...\\ & \\ & \text{Selanjutnya}\\ & U_1,U_2,U_3,\cdots \\ & \text{disebut suku-suku}\\ & \text{dan}{U}_1=a=\\ & \text{suku pertama}\end{array}& \begin{array}{rl}\text{Beda}=b& =U_2-U_1\\ & =U_3-U_2\\ & =U_4-U_3\\ & =\cdots \\ & =U_n-U_{(n-1)}\\ & \\ & \end{array}\\ 2& U_n=a+(n-1)b& U_n=a+(n-1)b& \begin{array}{rl}{U}_t& ={\displaystyle \frac{U_1+U_n}{2}}\\ & =\text{Suku tengah}\end{array}\\ 3& & S_n={\displaystyle \frac{1}{2}n(a+U_n)}& \begin{array}{rl}& \text{sisipan}k\text{bilangan}\\ & \text{misal},\\ & U_1\cdots \cdots \cdots U_m\\ & \text{ingin disisipkan}k\text{bilangan}\\ & \text{beda baru}=b^{\prime }={\displaystyle \frac{U_m-U_1}{k+1}}\end{array}\\ \hline\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
2. Susanto, D., dkk. 2021. Matematika untuk SMA/SMK Kelas X. Klaten: MACANANJAYA CEMERLANG.

Lanjutan 1 Contoh Soal dan Pembahasan Persiapan PHB Gasal Materi Fungsi Eksponensial (Kelas X)

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Bentuk sederhana dari}\\ & {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}}+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}}+{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{-{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-1}}+{\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^{-{\left(\frac{1}{5}\right)}^{-1}}\\ & \text{adalah ... .}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 3142\\ \text{b}.& 287\\ \text{c}.& 3412\\ \text{d}.& 4116\\ \text{e}.& 4096\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \begin{array}{rl}& {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}}+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}}+{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{-{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-1}}+{\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^{-{\left(\frac{1}{5}\right)}^{-1}}\\ & ={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{-2}+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{-3}+{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{-4}+{\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^{-5}\\ & =2^2+3^3+4^4+5^5\\ & =4+27+256+3125\\ & =3412\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Nilai dari}\\ & \underset{89}{\underbrace{(-7)(-7)(-7)\cdots (-7)}}-(-7{)}^{89}\\ & \text{adalah ... .}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 2\\ \text{b}.& 7\\ \text{c}.& 4\\ \text{d}.& 0\\ \text{e}.& 9\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{d}}\\ & \begin{array}{rl}& \underset{89}{\underbrace{(-7)(-7)(-7)\cdots (-7)}}-(-7{)}^{89}\\ & =(-7{)}^{89}-(-7{)}^{89}\\ & =0\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Nilai dari}{\left(\sqrt{3\times \sqrt[4]{27\times \sqrt[3]{81}}}\right)}^{{\displaystyle \frac{24}{25}}}\\ & \text{adalah ... .}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 1\\ \text{b}.& 2\\ \text{c}.& 3\\ \text{d}.& 4\\ \text{e}.& 5\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \begin{array}{rl}& {\left(\sqrt{3\times \sqrt[4]{27\times \sqrt[3]{81}}}\right)}^{{\displaystyle \frac{24}{25}}}\\ & ={(3^{\frac{1}{2}}.(3^3{)}^{\frac{1}{2.4}}.(3^4{)}^{\frac{1}{2.4.3}})}^{{\displaystyle \frac{24}{25}}}\\ & ={\left(3^{\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{4}{24}}\right)}^{{\displaystyle \frac{24}{25}}}\\ & =3^{\frac{12}{25}+\frac{9}{25}+\frac{4}{25}}\\ & =3^{\frac{25}{25}}\\ & =3\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 9.& \text{Jika}\sqrt{{27}^{2x+3}}={\displaystyle \frac{1}{3^{x-2}{.9}^{3x}},\text{maka nilai}}\\ & 8x+2\text{adalah ... .}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 0\\ \text{b}.& 2\\ \text{c}.& 4\\ \text{d}.& 8\\ \text{e}.& 12\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{a}}\\ & \mathbf{\text{Alternatif 1}}\\ & \begin{array}{rl}\sqrt{{27}^{2x+3}}& ={\displaystyle \frac{1}{3^{x-2}{.9}^{3x}}}\\ {27}^{{\displaystyle \frac{2x+3}{2}}}& =3^{-(x-2)}{.9}^{-3x}\\ 3^{3.\left({\displaystyle \frac{2x+3}{2}}\right)}& =3^{2-x}{.3}^{2(-3x)}\\ 3^{3.\left({\displaystyle \frac{2x+3}{2}}\right)}& =3^{2-x-6x}\\ 3{}^{3.\left({\displaystyle \frac{2x+3}{2}}\right)}& =3{}^{2-7x}\\ 3\frac{(2x+3)}{2}& =2-7x\\ 6x+9& =4-14x\\ 6x+14x& =4-9\\ 20x& =-5\\ & x=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ \text{maka nilai}& \\ 8x+2& =8(-{\displaystyle \frac{1}{4}})+2=-2+2=0\end{array}\\ & \mathbf{\text{Alternatif 2}}\\ & \begin{array}{rl}\sqrt{{27}^{2x+3}}& ={\displaystyle \frac{1}{3^{x-2}{.9}^{3x}}}\\ {27}^{{\displaystyle \frac{2x+3}{2}}}{.3}^{x-2}{.9}^{3x}& =1\\ 3^{3\left({\displaystyle \frac{2x+3}{2}}\right)}{.3}^{x-2}{.3}^{2(3x)}& =3^0\\ 3^{3\left({\displaystyle \frac{2x+3}{2}}\right)+x-2+6x}& =3^0\\ {\displaystyle \frac{3(2x+3)}{2}+7x-2}& =0\\ 6x+9+14x-4& =0\\ 20x+5& =0\\ 20x& =-5\\ x& =-{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ \text{Selanjutnya sama}& \\ \text{dengan langkah no.1}& \text{di atas}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 10.& \text{Penyelesaian persamaan}{3}^{2x+1}={81}^{x-2}\\ & \text{adalah ... .}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 0\\ \text{b}.& 2\\ \text{c}.& 4\\ \text{d}.& 4{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \text{e}.& 16\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{d}}\\ & \begin{array}{rl}{3}^{2x+1}& ={81}^{x-2}\\ 3^{2x+1}& =(3^4{)}^{x-2}\\ 3^{2x+1}& =3^{4x-8}\\ 2x+1& =4x-8\\ 2x-4x& =-8-1\\ -2x& =-9\\ x& ={\displaystyle \frac{-9}{-2}}\\ & =4{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\end{array}$.

Contoh Soal dan Pembahasan Persiapan PHB Gasal Materi Fungsi Eksponensial (Kelas X)

 $\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Bentuk sederhana dari}{\displaystyle \frac{a^p.a^q}{a^r}:a^{2r}\text{adalah ... .}}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& a^{p+q-3r}\\ \text{b}.& a^{p+3r-q}\\ \text{c}.& a^{p-2q+r}\\ \text{d}.& a^{p+q+r}\\ \text{e}.& a^{p-3q-r}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{a}}\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{a^p.a^q}{a^r}:a^{2r}}& ={\displaystyle \frac{a^p.a^q}{a^r.a^{2r}}}\\ & ={\displaystyle \frac{a^{p+q}}{a^{r+2r}}}\\ & ={\displaystyle \frac{a^{p+q}}{a^{3r}}}\\ & =a^{p+q-3r}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Jika}x=\sqrt[3]{5+\sqrt[3]{8}},\text{maka nilai}\\ & x^3\text{adalah ... .}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 3\\ \text{b}.& 4\\ \text{c}.& 5\\ \text{d}.& 6\\ \text{e}.& 7\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{e}}\\ & \begin{array}{rl}x& =\sqrt[3]{5+\sqrt[3]{8}}\text{dipangkatkan 3}\\ & \text{masing-masing ruas}\\ x^3& ={\left(\sqrt[3]{5+\sqrt[3]{8}}\right)}^3\\ & =5+\sqrt[3]{8}\\ & =5+\sqrt[3]{2^3}=5+2=7\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Jika}{4}^a\times 4^b=64\text{dan}{\displaystyle \frac{4^a}{4^b}=16}\\ & \text{maka nilai dari}a:b\text{adalah ... .}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 5\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{5}{4}}\\ \text{c}.& {\displaystyle \frac{1}{3}}\\ \text{d}.& 3\\ \text{e}.& {\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{a}}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\\ & \bullet 4^a\times 4^b=64\iff 4^{a+b}=4^3\iff a+b=3....(1)\\ & \bullet {\displaystyle \frac{4^a}{4^b}=16\iff 4^{a-b}=4^2\iff a-b=2...........(2)}\\ & \text{Dari persamaan}(1)\mathrm{\&}(2)\text{akan didapatkan}\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \begin{array}{lll}a+b& =& 3\\ a-b& =& 2& +\\ 2a& =& 5\\ a& =& {\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}& \begin{array}{rll}a+b& =& 3\\ a-b& =& 2& -\\ 2b& =& 1\\ b& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \text{Sehingga nilai}a:b={\displaystyle \frac{a}{b}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=5}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& (\mathbf{\text{SPMB 2003}})\\ & \text{Jika}a\ne 0,\text{maka nilai}{\displaystyle \frac{(-2a{)}^3(2a{)}^{-\frac{2}{3}}}{{\left(16a^4\right)}^{\frac{1}{3}}}\text{adalah ... .}}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& -2^{2}a\\ \text{b}.& {\displaystyle -2a}\\ \text{c}.& {\displaystyle 2a^2}\\ \text{d}.& 2^{2}a\\ \text{e}.& {\displaystyle -2a^2}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{b}}\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{(-2a{)}^3(2a{)}^{-\frac{2}{3}}}{{\left(16a^4\right)}^{\frac{1}{3}}}}& ={\displaystyle \frac{-8a^3}{(2a{)}^{\frac{2}{3}}.{\left(16a^4\right)}^{\frac{1}{3}}}}\\ & =-{\displaystyle \frac{(2a{)}^3}{(2a{)}^{\frac{2}{3}}.(2a{)}^{\frac{4}{3}}}}\\ & =-{\displaystyle \frac{(2a{)}^3}{(2a{)}^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}}}\\ & =-{\displaystyle \frac{(2a{)}^3}{(2a{)}^2}}\\ & =-(2a{)}^{3-2}\\ & =-2a\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Bentuk sederhana dari}{\displaystyle \frac{4^{n+3}-4^{n+1}}{4(4^{n-1})}}\\ & \text{adalah ... .}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 64\\ \text{b}.& 60\\ \text{c}.& 18\\ \text{d}.& 16\\ \text{e}.& 15\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{b}}\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{4^{n+3}-4^{n+1}}{4(4^{n-1})}}& ={\displaystyle \frac{4^n{.4}^3-4^n.4}{4.{\displaystyle \frac{4^n}{4}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{4^n(64-4)}{4^n}=60}\end{array}\end{array}$.

Lanjutan 3 Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

$\text{CONTOH SOAL 27}$.

Suatu permasalahan dapat diilustrasikan dalam bentuk grafik berikut

maka nilai dari  $a+b+c$  adalah ... .

$\begin{array}{rl}\text{a}.& -2\\ \text{b}.& -1\\ \text{c}.& 0\\ \text{d}.& 1\\ \text{e}.& 2\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 27}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa untuk grafik fungsi}\\ & \text{kuadrat di atas dapat dituliskan menjadi}\\ & y=a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\\ & \text{dengan}\\ & \bullet x_1=1(\text{grafik saat memotong sumbu}-X)\\ & \bullet x_2=3,(\text{grafik saat memotong sumbu}-X)\\ & \bullet \text{grafik juga memotong sumbu}-Y\text{di}(0,4)\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{rl}y& =a(x-x_1)(x-x_2)\\ \iff 4& =a(0-1)(0-3)\\ \iff 4& =a(-1)(-3)=3a\\ \iff a& ={\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}\\ & \text{Sehingga}\\ & y={\displaystyle \frac{4}{3}(x-1)(x-3)={\displaystyle \frac{4}{3}(x^2-4x+3)}}\\ & ={\displaystyle \frac{4}{3}{x}^2-\frac{16}{3}x+4}\\ & \text{Selanjutnya kita dapatkan nilai}\\ & a={\displaystyle \frac{4}{3},b=-\frac{16}{3},\text{dan}c=4}\\ & \text{Jadi},a+b+c={\displaystyle \frac{4}{3}+(-{\displaystyle \frac{16}{3}})+4=0}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 28}$.

August De'Morgan menghabiskan seluruh usianya pada tahun 1800-an. Suatu ketika saat tahun terakhir masa hidupnya ia mengatakan, "Dulu aku berusia $X$ tahun pada tahun $X^2$". Pada tahun berapakah  ia dilahirkan ...

$\begin{array}{rl}\text{a}.& 1806\\ \text{b}.& 1822\\ \text{c}.& 1849\\ \text{d}.& 1851\\ \text{e}.& 1853\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 28}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Bilangan kuadrat sempurna yang}\\ & \text{mengandung digit 1800-an adalah}\\ & {42}^2<{43}^2<{44}^2\Rightarrow 1764<1849<1936\\ & \text{pilih saja}{43}^2=1849\\ & \text{Akibatnya, August De'Morgan berusia}\\ & \text{43 tahun pada tahun 1849, sehingga tahun}\\ & \text{lahirnya tokoh tersebut adalah}:\\ & =1849-43=1806\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 29}$.

Segitiga siku-siku OAB terbentuk dari sumbu-X, sumbu-Y, dan garis $y=8-2x$. Titik P(x,y) terletak pada garis tersebut. Jika dari titik P dibuat garis-garis tegak lurus sumbu-X dan sumbu-Y sehingga terbentuklah persegi panjang berdiagonal OP, maka koordinat P agar luas persegi panjang tersebut maksimum adalah ...

$\text{SOLUSI SOAL 29}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\\ & \text{persegi panjang tersebut luasnya}=L(x)\\ & =panjang\times lebar=x\times y=x\times (8-2x)\\ & =8x-2x^2(a=-2,b=8,c=0)\\ & \text{Agar luas maksimum, maka}\\ & x={\displaystyle \frac{-b}{2a}(x\text{sumbu simetri})}\\ & ={\displaystyle \frac{-8}{2(-2)}=2}\\ & \text{Selanjutnya kita cari}-\text{nya, yaitu}\\ & y=8-2x=8-2.2=8-4=4\\ & \text{Jadi, koordinat}P(x,y)=P(2,4)\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 30}$.

Tegangan listrik normal yang didistribusikan oleh PLN ke rumah-rumah adalah sebesar 220 volt. Akan tetapi, tegangan nyata di rumah-rumah toleransinya berbeda-beda dan paling tinggi adalah 11 volt dari normalnya.

Tentukanlah tegangan nyata yang masih ditolerans oleh PLN pada kasus di atas

$\text{SOLUSI SOAL 30}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Dari informasi di atas diketahui bahwa}\\ & |x-220|\le 11\\ & \iff -11\le x-220\le 11\\ & \iff -11+220\le x-220+220\le 11+220\\ & \iff 209\le x\le 231\\ & \text{Jadi, tegangan yang ditoleransi PLN adalah}\\ & \text{209 volt sampai 231 volt}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M. 2016. Matematika untuk Siswa SMA-MA/SMK-MAK Kelas X (Wajib). Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
2. Maulana, F. 2010. Juara Olimpiade Matematika SMA. Jakarta: WAHYUMEDIA
3. Sunardi, Waluyo, S., Sutrisno, & Subagya. 2004. Matematika IA untuk SMA Kelas I. Jakarta: BUMI AKSARA.
4. Kumpulan Soal ada pada penulis.

Kumpulan Contoh Soal dan Pembahasan Persiapan Menghadapi AN BK 2022

Berikut link yang dapat Anda gunakan untuk membantu memahami AN BK 2022

• Konsep Materi dan Contoh dan Pembahasan Numerasi Soal no. 1 - 5
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 6 - 10
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 11 - 12
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 13
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 14 - 15
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 16 - 18
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 19 - 20 
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 21 - 26
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no, 27 - 30

Kumpulan Matematika Seluruh Kelas dari Kelas X, XI, dan XII  MA/SMA/Sederajat

• Materi Matematika Wajib
• Materi Matematika Pendalaman/Peminatan

Lanjutan 2 Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

$\text{CONTOH SOAL 21}$.

$\begin{array}{l}\\ & \text{Nilai eksak dari}\sin {36}^{\circ }\text{adalah}....\\ & \begin{array}{|c|}\hline \bullet \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta \\ \bullet \cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1\\ \bullet {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1\\ \hline\end{array}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}}& & & \text{e}.& {\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\\ \text{c}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{4}}}\end{array}\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 21}$.

Perhatikanlah ilustrasi segitiga berikut ini

$.\begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa}△ABC\text{sama kaki}\\ & \text{dengan}AD=DC=CB=1,AC=x\\ & \text{Diketahui pula}CD\text{adalah garis bagi}\\ & \text{serta}ABC\text{sebangun}△BCD\\ & \text{akibatnya}:\\ & \text{perbandingan sisi yang bersesuaian}\\ & \text{akan sama},\text{maka}\\ & {\displaystyle \frac{AB}{BC}={\displaystyle \frac{BC}{AB-AD}}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}}\\ & \iff x(x-1)=1\\ & \iff x^2-x-1=0\\ & \iff x={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}}\\ & \text{akibatnya}AB=AC={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\ & \text{Selanjutnya gunakan}\text{aturan sinus}\\ & {\displaystyle \frac{AB}{\sin \mathrm{\angle }C}=\frac{BC}{\sin \mathrm{\angle }A}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{AB}{BC}=\frac{\sin \mathrm{\angle }C}{\sin \mathrm{\angle }A}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)}{1}=\frac{\sin {72}^{\circ }}{\sin {36}^{\circ }}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}={\displaystyle \frac{2\sin {36}^{\circ }\cos {36}^{\circ }}{\sin {36}^{\circ }}}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}=2\cos {36}^{\circ }}\\ & \iff \cos {36}^{\circ }=\iff {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}\\ & \text{Dari fakta di atas kita akan dengan}\\ & \text{mudah menentukan nilai sinusnya}\\ & \text{yaitu dengan menggunakan}\\ & \text{identitas trigonometri berikut}:\\ & {\sin }^2{36}^{\circ }+{\cos }^2{36}^{\circ }=1\\ & \iff {\sin }^2{36}^{\circ }=1-{\cos }^2{36}^{\circ }\\ & \iff \sin {36}^{\circ }=\sqrt{1-{\cos }^2{36}^{\circ }}\\ & \iff =\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}\right)}^2}\\ & \iff =\sqrt{1-{\displaystyle \frac{6+2\sqrt{5}}{16}}}\\ & \iff =\sqrt{{\displaystyle \frac{10-2\sqrt{5}}{16}}}\\ & \iff ={\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\end{array}$.

Untuk menjawab soal no.22,23,24, 25 dan 26 perlu diketahui bahwa

$\lfloor x\rfloor =\text{bilangan bulat terbesar}\le x$.

$\lfloor 3,14\rfloor =3,\lfloor -7,2\rfloor =-8,\lfloor 2\rfloor =2$.

$\text{CONTOH SOAL 22}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Jika}\lfloor a\rfloor \times a=68\text{dan}\lfloor b\rfloor \times b=109,\\ & \text{maka nilai dari}\lfloor a\rfloor \times \lfloor b\rfloor -\lfloor a+b\rfloor =\cdots \end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 22}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa}\\ & \lfloor a\rfloor a=68\text{dan}\lfloor b\rfloor b=109\\ & \iff {\lfloor a\rfloor }^2\le \lfloor a\rfloor a\text{dan}{\lfloor b\rfloor }^2\le \lfloor b\rfloor b\\ & \iff {\lfloor a\rfloor }^2\le 68\text{dan}{\lfloor b\rfloor }^2\le 109\\ & \iff \lfloor a\rfloor =8\text{dan}\lfloor a\rfloor =10\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \bullet \lfloor a\rfloor a=68\Rightarrow 8a=68\Rightarrow a=8,5\\ & \bullet \lfloor b\rfloor b=109\Rightarrow 10b=109\Rightarrow b=10,9\\ & \text{Sehingga nilai}\\ & \lfloor a\rfloor \times \lfloor b\rfloor -\lfloor a+b\rfloor \\ & =8\times 10-\lfloor 8,5+10,9\rfloor \\ & =80-\lfloor 19,4\rfloor \\ & =80-19\\ & =61\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 23}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Jika}a\lfloor a\rfloor =17\text{dan}b\lfloor b\rfloor =11,\text{maka}\\ & \text{nilai dari}a-b=\cdots \end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 23}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa}\\ & a\lfloor a\rfloor =17\text{dan}b\lfloor b\rfloor =11\\ & \iff {\lfloor a\rfloor }^2\le a\lfloor a\rfloor \text{dan}{\lfloor b\rfloor }^2\le b\lfloor b\rfloor \\ & \iff {\lfloor a\rfloor }^2\le 17\text{dan}{\lfloor b\rfloor }^2\le 11\\ & \iff \lfloor a\rfloor =4\text{dan}\lfloor a\rfloor =3\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \bullet a\lfloor a\rfloor =17\Rightarrow 4a=17\Rightarrow a={\displaystyle \frac{17}{4}}\\ & \bullet b\lfloor b\rfloor =11\Rightarrow 3b=11\Rightarrow b={\displaystyle \frac{11}{3}}\\ & \text{Sehingga nilai}\\ & a-b={\displaystyle \frac{17}{4}-\frac{11}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{51-44}{12}}\\ & ={\displaystyle \frac{7}{12}}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 24}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Jika}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +y=43,8\text{dan}\\ & x+y-\lfloor x\rfloor =18,4,\text{maka nilai}\\ & \text{dari}10(x+y)=\cdots \end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 24}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\\ & \bullet \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +y=43,8\text{dan}\\ & \bullet x+y-\lfloor x\rfloor =18,4\\ & \text{Sekarang misalkan untuk}\\ & \bullet a\le x<a+1\Rightarrow \lfloor x\rfloor =a\\ & \bullet b\le y\le b+1\Rightarrow \lfloor y\rfloor =b\\ & \text{Selanjutnya untuk}x\text{dan}y\\ & \text{dapat kita nyatakan dengan}\\ & \bullet x=a+m,\text{dengan}0\le m<1\\ & \bullet y=b+n,\text{dengan}0\le n<1\\ & \begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Untuk persamaan pertama}}\\ & \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +y=43,8\\ & \iff a+b+b+n=43,8\\ & \iff a+2b+n=43,8\\ & \text{didapatkan}a+2b=43,\text{dan}n=0,8\\ & \mathbf{\text{Untuk persamaan kedua}}\\ & x+y-\lfloor x\rfloor =18,4\\ & \iff a+m+b+n-a=18,4\\ & \iff b+m+n=18,4\\ & \iff b+m+0,8=18,4\\ & \iff b+m=17,6\\ & \text{didapatkan}b=17,\text{dan}m=0,6\\ & \mathbf{\text{Selanjutnya perhatikan bahwa}}\\ & a+2b=43\iff a+2.(17)=43\\ & \iff a+34=43\iff a=43-34=9\\ & \mathbf{\text{Sehingga kita akan mendapatkan nilai}}\\ & \bullet x=a+m=9+0,6=9,6\\ & \bullet y=b+n=17+0,8=17,8\\ & \text{Jadi},10(x+y)=10(9,6+17,8)=274\end{array}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 25}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Jika}\lfloor 3x+y\rfloor =12\text{dan}\lfloor x+3y\rfloor =14,\\ & \text{maka nilai}\lfloor x+y\rfloor =\cdots \end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 25}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\\ & \bullet \lfloor 3x+y\rfloor =12\iff 12\le 3x+y<13\cdots (1)\\ & \bullet \lfloor x+3y\rfloor =14\iff 14\le x+3y<15\cdots (2)\\ & \text{Jika kedua ketaksamaan dijumlahkan, maka}\\ & 26\le 4x+4y<28\iff {\displaystyle \frac{26}{4}\le x+y<{\displaystyle \frac{28}{4}}}\\ & \iff 6{\displaystyle \frac{1}{2}\le x+y<7}\\ & \text{Jadi},\lfloor x+y\rfloor =6\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 26}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Jika}\lfloor {\displaystyle \frac{3x-7}{5}}\rfloor ={\displaystyle \frac{x}{3},\text{maka untuk}x\text{bulat terkecil}=\cdots }\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 26}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\\ & \lfloor {\displaystyle \frac{3x-7}{5}}\rfloor ={\displaystyle \frac{x}{3}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{x}{3}\le {\displaystyle \frac{3x-7}{5}<{\displaystyle \frac{x}{3}+1}}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{x}{3}\le {\displaystyle \frac{3x-7}{5}-\frac{x}{3}<{\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{x}{3}+1}}}\\ & \iff 0\le {\displaystyle \frac{4x-21}{15}<1}\\ & \iff 0\le 4x-21<15\\ & \iff 0+21\le 4x-21+21<15+21\\ & \iff 21\le 4x<36\\ & \iff {\displaystyle \frac{21}{4}\le x<9}\\ & \text{Jadi},x=6\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bambang, S. 2012. Materi, Soal dan Penyelesaian Olimpiade Matematika Tingkat SMA/MA. Jakarta: BINA PRESTASI INSANI.
2. Muslimin, M.S. 2018. Kumpulan Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tahun 2007-2019 Tingkat Kota/Kabupaten. Bandung: YRAMA WIDYA.
3. Mustofa, O. 2016. Olimpiyatlarina Hazirlik 1 Temel Bilgiler-1.Ankara
4. Tim Matematika. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap I. Bandung: LPPM ITB

Lanjutan Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

$\text{CONTOH SOAL 19}$.

Sebuah kolam berbentuk seperti gambar dengan panjang sampai ujung 10. Dua orang yang pada sebuah jalur lurus yang masing-masing berada pada posisi A dan B dan berjarak 8 kaki serta diketahui besar sudut sebagaimana ilustrasi pada gambar sebesar ${60}^0$. Tentukanlah jarak terpendek titik C ke jalur lurus tersebut

$\text{SOLUSI SOAL 19}$.

Jika kita sederhanakan gambar ilustrasi di atas adalah sebagai berikut

Kita akan menentukan panjang ruas garis yang berwarna merah di atas. Selanjutnya perhatikanlah

$\begin{array}{rl}& \text{Pada soal di atas, kita diminta untuk}\\ & \text{menentukan garis merah yang selanjutnya}\\ & \text{di sebut tinggi di sini}\\ & \text{Dengan bantuan luas segitiga ABC}\\ & \text{kita mendapatkan}\\ & \begin{array}{rl}\left[ABC\right]& =\left[ABC\right]\\ {\displaystyle \frac{\text{alas}\times \text{tinggi}}{2}}& ={\displaystyle \frac{1}{2}AB.BC\sin \mathrm{\angle }B}\\ {\displaystyle \frac{\text{AB}\times \text{tinggi}}{2}}& ={\displaystyle \frac{1}{2}AB.BC\sin {60}^0}\\ \text{tinggi}& =BC\left({\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}\right)\end{array}\\ & \text{Dengan aturan cosinus kita juga akan}\\ & \text{dapatkan}\\ & \begin{array}{rl}A{C}^2& =A{B}^2+B{C}^2-2.AB.BC.\cos \mathrm{\angle }B\\ {10}^2& =8^2+B{C}^2-2.8.BC.\cos {60}^0\\ {10}^2& -8^2=B{C}^2-2.8.BC.\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\\ B{C}^2& -8BC-36=0\\ B{C}_{1,2}& ={\displaystyle \frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8{)}^2-4.(-36)}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{64+144}}{2}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{208}}{2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{8\pm 4\sqrt{13}}{2}=4\pm 2\sqrt{13}}\\ & \text{pilih nilai BC yang positif, yaitu}\\ BC& =4+2\sqrt{13}\end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \text{Tinggi}={\displaystyle \frac{1}{2}BC\sqrt{3}={\displaystyle \frac{1}{2}(4+2\sqrt{13})\sqrt{3}\text{ m}}}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 20}$.

Sebuah kolam renang akan dibangun di area tanah yang berbentuk segitiga. Selain kolam renang juga akan dibangun ruang ganti kecil (lihat gambar berikut)

Tentukan jari-jari maksimu kolam renang jika tepi kolam renang bersinggungan dengan ruang ganti

$\text{SOLUSI SOAL 20}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa}\\ & \begin{array}{rl}\left[\text{ruang ganti}\right]& =\text{luas ruang ganti, dengan}\\ s& ={\displaystyle \frac{1}{2}(a+b+c)\iff s=\frac{4+5+6}{2}={\displaystyle \frac{15}{2}}}\\ \left[\text{ruang ganti}\right]& =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{15}{2}(\frac{15}{2}-4)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-6)}}\\ & =\sqrt{\frac{15}{2}.\frac{7}{2}.\frac{5}{2}.\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}\sqrt{\frac{7}{2}.\frac{2}{2}}=\frac{15}{4}\sqrt{14}\\ \text{Selain rumus}& \text{di atas, rumus luas juga berupa}\\ \left[\text{ruang ganti}\right]& =r_a(s-a)\\ {\displaystyle \frac{15}{4}\sqrt{14}}& =r_a.{\displaystyle \frac{7}{2}\iff {\displaystyle \frac{15}{14}\sqrt{14}=r_a}}\end{array}\\ & \text{Jadi, jari-jarinya adalah}{\displaystyle \frac{15}{14}\sqrt{14}\text{m}}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika SMU Jilid 1 Kelas 1. Jakarta: ERLANGGA.