Contoh Soal Polinom (Bagian 2)

 $\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\displaystyle \frac{f(x)}{x-2}=h(x)+\displaystyle \frac{3}{x-2}\\ &\textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{f(x)}{x-1}=h(x)+\displaystyle \frac{2}{x-1}\: ,\\ &\textrm{jika}\: \: \displaystyle \frac{f(x)}{(x-2)(x-1)}=h(x)+\displaystyle \frac{s(x)}{(x-2)(x-1)},\\ &\textrm{maka}\: \: s(x)=....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \color{red}x+1&&\textrm{d}.\quad 2x-1\\ \textrm{b}.\quad x+2&\textrm{c}.\quad 2x+1&\textrm{e}.\quad x-2\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\displaystyle \frac{f(x)}{x-2}=h(x)+\displaystyle \frac{3}{x-2}\\ &\Rightarrow f(x)=(x-2).h(x)+3\Rightarrow f(2)=3\\ &\displaystyle \frac{f(x)}{x-1}=h(x)+\displaystyle \frac{2}{x-1}\\ &\Rightarrow f(x)=(x-1).h(x)+2\Rightarrow f(1)=2\\ &\displaystyle \frac{f(x)}{(x-2)(x-1)}=h(x)+\displaystyle \frac{s(x)}{(x-2)(x-1)}\\ &\textrm{maka}\: \: \: f(x)=(x-2)(x-1).h(x)+s(x)\\ &f(x)=(x-2)(x-1).h(x)+px+q\\ &f(2)=2p+q=3\\ &f(1)=p+q=2,\\ &\textrm{sehingga dengan }\: \textrm{eliminasi akan diperoleh}\\ p&=1\quad \textrm{dan}\\ &q=1\\ &\textrm{Jadi},\quad px+q=\color{red}x+1 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Jika}\: \: x^{4}+2mx-n\: \: \textrm{dibagi}\: \: x^{2}-1\\ &\textrm{bersisa}\: \: 2x-1\: ,\textrm{maka nilai}\: \: m\\ &\textrm{dan}\: \: n\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad m=-1\: \: \textrm{dan}\: \: n=2\\ \textrm{b}.\quad m=1\: \: \textrm{dan}\: \: n=-2\\ \textrm{c}.\quad \color{red}m=1\: \: \textrm{dan}\: \: \color{red}n=2\\ \textrm{d}.\quad m=-1\: \: \textrm{dan}\: \: n=-2\\ \textrm{e}.\quad m=-2\: \: \textrm{dan}\: \: n=1\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{dengan Horner-Kino didapatkan} \end{array}$

$.\qquad\begin{cases} \textrm{Suku banyak}: & f(x)=x^{4}+2mx-n \\ \textrm{Pembagai}: & p(x)=(x-1)(x+1)=x^{2}-1 \\ &: 1\: \: \textrm{dari}\: -\frac{-1}{1},\: \: \textrm{sedang}\: \: 0=-\left ( \frac{0}{1} \right )\\ \textrm{Hasil bagi}:&h(x)=x^{2}+1\\ \textrm{Sisa bagi}:&s(x)=2mx+(1-n)=2x-1 \end{cases}$

$.\qquad \begin{aligned}&\textrm{Sehingga},\\ &\bullet \quad 2m=2\Rightarrow m=\color{red}1\\ &\bullet \quad 1-n=-1\Rightarrow n=\color{red}2 \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Jika}\: \: f(x)=x^{4}-kx^{2}+5\: \: \textrm{habis dibagi}\\ &(x-1)\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)\: \: \textrm{juga habis dibagi oleh}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \color{red}x+1&&\textrm{d}.\quad x+5\\ \textrm{b}.\quad 2x+1&\textrm{c}.\quad 3x+1&\textrm{e}.\quad 2x+5 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f(x)&=x^{4}-kx^{2}+5\\ f(1)&=(1)^{4}-k(1)^{2}+5\\ 0&=1-k+5\\ k&=6\\ f(x)&=x^{4}-6x^{2}+5\\ &=(x^{2}-1)(x^{2}-5)\\ &=(x-1)\color{red}(x+1)\color{black}(x^{2}-5) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Jika}\: \: x^{3}-12x+k\: \: \textrm{habis dibagi oleh}\\  &(x-2)\: \: \textrm{maka polinom tersebut juga }\\ &\textrm{akan dibagi habis oleh}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad x-1&&\textrm{d}.\quad x+2\\ \textrm{b}.\quad x-3&\textrm{c}.\quad x+1&\textrm{e}.\quad \color{red}x+4 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Misal}&\: \: f(x)=\color{blue}x^{3}-12x+k\\ \textrm{Saat}\: &f(2)=0\: \: (f(x)\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x-2))\\ f(2)&=2^{3}-12.2+k=0\Leftrightarrow k=16\\ \textrm{Sehin}&\textrm{gga}\: \: f(x)=x^{3}-12x+16\\ \textrm{Deng}&\textrm{an teorema faktor, yang mungkin}\\ \textrm{adala}&\textrm{h}\: \: 16=\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8,\pm 16\\ \textrm{Deng}&\textrm{an substitusi akan diperoleh}\\ f(-4)&=(-4)^{3}-12(-4)+16=0\\ \textrm{maka}&\: \: \color{red}x+4\: \: \color{black}\textrm{termasuk faktornya juga} \end{aligned} \end{array}$.

$.\: \qquad\begin{array}{|l|}\hline \textbf{Catatan}:\\\\ \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{x^{3}-12x+16}{(x-2)\color{red}(x+4)}\\ &=\displaystyle \frac{x^{3}-12x+16}{x^{2}+2x-8}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}x-2\qquad \color{blue}\textbf{hasil}&\color{blue}\textbf{bagi}\\ \hline x^{2}+2x-8&x^{3}-12x+16&\\ &x^{3}+2x^{2}-8x&-\\\hline &-2x^{2}-4x+16&\\ &-2x^{2}-4x+16&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \qquad f(x)&=x^{3}-12x+16\\ &=(x-2)^{2}\color{red}(x+4) \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Jika}\: \: (x-2)\: \: \textrm{adalah faktor dari}\\  &f(x)=2x^{3}+ax^{2}+7x+6,\\ &\textrm{maka akar lainnya adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad x+3&&\textrm{d}.\quad 2x-3\\ \textrm{b}.\quad \color{red}x-3&\textrm{c}.\quad x-1&\textrm{e}.\quad 2x+3 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Misal}&\: \: f(x)=\color{blue}2x^{3}+ax^{2}+7x+6\\ \textrm{Saat}\: &f(2)=0\: \: (f(x)\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x-2))\\ f(2)&=2.2^{3}+a.2^{2}+7.2+6=0\Leftrightarrow a=-9\\ \textrm{Sehin}&\textrm{gga}\: \: f(x)=2x^{3}-9x^{2}+7x+6\\ \textrm{Deng}&\textrm{an teorema faktor, yang mungkin}\\ \textrm{adala}&\textrm{h}\: \: \displaystyle \frac{6}{2}=\pm 1,\pm 2,\pm 3\\ \textrm{Deng}&\textrm{an substitusi akan diperoleh}\\ f(3)&=2(3)^{3}-9(3)+7.3+6=0\\ \textrm{maka}&\: \: \color{red}x-3\: \: \color{black}\textrm{termasuk faktornya juga} \end{aligned} \end{array}$.

$.\: \qquad\begin{array}{|l|}\hline \textbf{Catatan}:\\\\ \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{2x^{3}-9x^{2}+7x+6}{(x-2)\color{red}(x-3)}\\ &=\displaystyle \frac{2x^{3}-9x^{2}+7x+6}{x^{2}-5x+6}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}2x+1\qquad \color{blue}\textbf{hasil}&\color{blue}\textbf{bagi}\\ \hline x^{2}-5x+6&2x^{3}-9x^{2}+7x+6&\\ &2x^{3}-10x^{2}+12x&-\\\hline &\: \: \: \: \: \qquad x^{2}-5x+6&\\ &\: \: \: \: \: \qquad x^{2}-5x+6&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \qquad f(x)&=2x^{3}-9x^{2}+7x+6\\ &=\color{red}(2x+1)\color{black}(x-2)\color{red}(x-3) \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

Contoh Soal Polinom (Bagian 1)

 $\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika}\: \: g(x)=2x^{3}+x^{2}-x+1,\\ &\textrm{maka}\: \: g(1)=....\: \: \\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad -2&&\textrm{d}.\quad 2\\ \textrm{b}.\quad -1&\textrm{c}.\quad 1&\textrm{e}.\quad \color{red}3 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}g(x)&=2x^{3}+x^{2}-x+1\\ g(1)&=2(1)^{3}+(1)^{2}-(1)+1\\ &=2+1-1+1\\ &=\color{red}3 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: p(y)=5y^{4}+2r^{2}y^{3}+y^{2}+1\: \: \textrm{dan}\\ & q(y)=4y^{5}+3ry^{2}-3y-1\: \: \\ &\textrm{serta}\: \: p(-1)=q(-1),\: \: \textrm{maka nilai}\: \: r\\ & \textrm{sama dengan}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{3}{2}\: \: \textrm{dan}\: \: 3&&\textrm{d}.\quad -\displaystyle \frac{3}{2}\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle -\frac{3}{2}\: \: \textrm{dan}\: \: 3&\textrm{c}.\quad \color{red}\displaystyle \frac{3}{2}\: \: \textrm{dan}\: \: -3&\textrm{e}.\quad 3 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}p(-1)&=q(-1)\\ 5(-1)^{4}+2r^{2}(-1)^{3}+(-1)^{2}+1&=4(-1)^{5}+3r(-1)^{2}-3(-1)-1\\ 5-2r^{2}+1+1&=-4+3r+3-1\\ 9-3r-2r^{2}&=0\\ \displaystyle \frac{(-6-2r)(-3+2r)}{2}&=0,\qquad \textrm{ingat pemfaktoran}\\ (-3-r)(-3+2r)&=0\\ r=-3\quad \vee \quad r&=\displaystyle \frac{3}{2} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Diketahui}\: \: f(x)\: \: \textrm{berderajat}\: \: n.\\ &\textrm{Jika pembaginya berbentuk}\: \: \left ( ax^{2}+bx+c \right ),\\ &\textrm{dengan}\: \: a\neq 0,\: \: \textrm{maka hasil baginya berderajat}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad n-1&&\textrm{d}.\quad 3\\ \textrm{b}.\quad \color{red}n-2&\textrm{c}.\quad n-3&\textrm{e}.\quad 2 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Suku banyak (polinom)}\\ &=\textrm{pembagi}\times \textrm{hasil bagi}+\textrm{sisa}\\ &x^{n}+...=\left ( ax^{2}+bx+c \right )\times \color{red}\left ( x^{n-2}+... \right )\color{black}+\left (mx+n \right ) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Hasil bagi dan sisanya jika}\: \: \left (6x^{4}-3x^{2}+x-1 \right )\\ & \textrm{dibagi oleh}\: \: \left ( 2x-1 \right )\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \color{red}3x^{3}+\displaystyle \frac{3}{2}x^{2}-\displaystyle \frac{3}{4}x+\frac{1}{8}&\textrm{dan}&\color{red}-\displaystyle \frac{7}{8}\\ \textrm{b}.\quad 3x^{3}+3x^{2}-\displaystyle \frac{3}{4}x+1&\textrm{dan}&-7\\ \textrm{c}.\quad x^{3}+\displaystyle \frac{3}{2}x^{2}-3x+\frac{1}{8}&\textrm{dan}&\displaystyle \frac{7}{8}\\ \textrm{d}.\quad x^{3}+\displaystyle \frac{3}{2}x^{2}-\displaystyle \frac{3}{4}x+1&\textrm{dan}&\displaystyle \frac{1}{8}\\ \textrm{e}.\quad 3x^{3}+\displaystyle \frac{3}{2}x^{2}-\displaystyle \frac{3}{4}x-\frac{1}{8}&\textrm{dan}&-\displaystyle \frac{7}{8} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\begin{array}{rr|rrrrrrr} \color{blue}x=\frac{1}{2}&&6&0&-3&1&-1\\ &&&3&\frac{3}{2}&-\frac{3}{4}&\frac{1}{8}&+&\\\hline &&6&3&-\frac{3}{2}&\frac{1}{4}&\color{red}\boxed{-\frac{7}{8}} \end{array}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{cases} \textrm{Hasil bagi}: & \displaystyle \frac{6x^{3}+3x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}}{2}\\ &=\color{red}3x^{3}+\displaystyle \frac{3}{2}x^{2}-\displaystyle \frac{3}{4}x+\displaystyle \frac{1}{8} \\ & \\ \textrm{Sisa bagi}: & -\displaystyle \frac{7}{8} \end{cases} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Hasil bagi dan sisanya jika}\: \: \left (x^{4}-x^{3}-x^{2}+x-1 \right )\\ &\textrm{dibagi oleh}\: \: \left ( x-2 \right )\left ( x+1 \right )\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \color{red}x^{2}+1&\textrm{dan}&\color{red}2x+1\\ \textrm{b}.\quad x^{2}+1&\textrm{dan}&2x-1\\ \textrm{c}.\quad x^{2}-1&\textrm{dan}&2x+1\\ \textrm{d}.\quad x^{2}-1&\textrm{dan}&2x-1\\ \textrm{e}.\quad 2x^{2}-1&\textrm{dan}&x+1\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Dengan cara}\: \: \textbf{Horner-Kino}\: \: \textrm{diperoleh} \end{array}$

$.\qquad\begin{cases} \textrm{Suku banyak}: & f(x)=x^{4}-x^{3}-x^{2}+x-1 \\ \textrm{Pembagai}: & p(x)=(x-2)(x+1)=x^{2}-x-2 \\ &: 2\: \: \textrm{dari}\: -\frac{-2}{1},\: \: \textrm{sedang}\: \: 1=-\left ( \frac{-1}{1} \right )\\ \textrm{Hasil bagi}:&h(x)=x^{2}+1\\ \textrm{Sisa bagi}:&s(x)=2x+1 \end{cases}$

$\qquad\begin{aligned}&\textrm{Sehingga},\\ &x^{4}-x^{3}-x^{2}+x-1\\ &\qquad =\color{red}\left ( x^{2}-x-2 \right )\left ( x^{2}+1 \right )+2x+1 \end{aligned}$

Aljabar-Memecahkan soal terkait permasahan Perpangatan (Bagian 3)

 Pada bagian ini ada soal aljabar terkait pembuktian, tetapi kala dikerjakan apa adanya bisa membuat pusing kepala,berikut soalnya

$\begin{aligned}&\textrm{Untuk}\quad n\quad \textrm{bilangan bulat positif, buktikan bahwa}\\ &\qquad\qquad\quad 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}}\left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} +1\right)+3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}+1}-1\\ &\textrm{merupakan bilangan komposit}\end{aligned}$

Saya butuh cukup waktu mendapatkan pembuktiannya, kalau pemirsa juga demikian, berarti kita sama, pusing juga 

Ok, berikut hasil jadinya

$\begin{aligned}&\textrm{Di sini disodorkan bukti langsung, yaitu}:\\ &3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}}\left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} +1\right)+3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}+1}-1\\&=\left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} \right)^{\displaystyle 2}+3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}}+3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}}.3^{\displaystyle 1}-1=\left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} \right)^{\displaystyle 2}+4\left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} \right)-1\\ &\textrm{Perhatikan bahwa untuk}\\ &\bullet \quad n=1\Rightarrow 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle 1}}=27\Rightarrow 3.8+3,\quad \textrm{dan}\\ &\bullet \quad n=2\Rightarrow 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle 2}}=3^{\displaystyle 9}=19.683\Rightarrow 2460.8+3\\ &\qquad \vdots \\ &\textrm{Kita mendapatkan bahwa}:3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}}\equiv 3\:(mod\: 8),\: \textrm{sehingga untuk}\\ &\left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} \right)^{\displaystyle 2}+4\left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} \right)-1\equiv 3+4(3)-1\:(mod\: 8)\equiv 20\: (mod\: 8)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\equiv 4\: (mod\: 8)\\ &\textrm{Hal ini menunjukkan bahwa}\:\: \left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} \right)^{\displaystyle 2}+4\left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} \right)-1\quad \textrm{habis}\\ &\textrm{dibagi 4, dan ini artinya bilangan tersebut mempunyai faktor} \\ &\textrm{lebih dari dua buah dan hal ini juga mengartikan bahwa }\\ &\textrm{bilangan tersebut adalah bilangan komposit}\\ &\textrm{Terbukti bahwa}\\ &\qquad \left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} \right)^{\displaystyle 2}+4\left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} \right)-1\\ &\textrm{adalah bilangan komposit, untuk setiap}\:\: n\:\: \textrm{bilangan bulat positif}  \end{aligned}$.

Menemukan Konsep Sederhana Ketaksamaan QM-AM-GM-HM

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Dari gambar di atas, misalkan sebuah lingkaran yang berpusat di titik $S$  dengan titik $A$ dan $B$ pada lingkaran yang masih-masing memiliki koordinat $(a,0)$ dan $(b,0)$. Dari sani koordinat titik S adalah $\left ( \displaystyle \frac{a+b}{2},0 \right )$. Selain itu terdapat garis singgung lingkaran melalui sebuah titik di luar lingkaran tersebut sebagaimana ilustrasi gambar di atas yaitu titik $O(0,0)$.

$\begin{array}{|l|}\hline \begin{aligned}1.\quad TS&=BS=OS-OB=\left ( \displaystyle \frac{a+b}{2} \right )-b\\ &=\color{red}\displaystyle \displaystyle \frac{a-b}{2} \end{aligned}\\ \begin{aligned}2.\quad OT&=\sqrt{OS^{2}-TS^{2}}\\ &=\sqrt{\left ( \displaystyle \displaystyle \frac{a+b}{2} \right )^{2}-\left (\displaystyle \displaystyle \frac{a-b}{2}  \right )^{2}}\\ &=\color{red}\sqrt{ab} \end{aligned}\\ \begin{aligned}3.\quad TP&=...\\ &\textrm{Kita gunakan luas}\: \: \triangle OTS\\ &OS\times TP=OT\times TS\\ &TP=\displaystyle \frac{OT\times TS}{OS}=\sqrt{ab}\left ( \displaystyle \frac{a-b}{a+b} \right )\\ &\begin{aligned}4.\quad OP&=\sqrt{OT^{2}-PT^{2}}\\ &=\sqrt{\left ( \sqrt{ab} \right )^{2}-\left ( \sqrt{ab} \right )^{2}\left (\displaystyle \displaystyle \frac{a-b}{a+b}  \right )^{2}}\\ &=\sqrt{ab\left ( 1-\left (\displaystyle \frac{a-b}{a+}  \right )^{2} \right )}\\ &=\sqrt{ab\left ( \frac{4ab}{(a+b)^{2}} \right )}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{2ab}{a+b} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}5.\quad OK&=\sqrt{OS^{2}+SK^{2}}\\ &=\sqrt{\left ( \displaystyle \frac{a+b}{2} \right )^{2}+\left ( \displaystyle \frac{a-b}{2} \right )^{2}}\\ &=\color{red}\sqrt{\displaystyle \frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \end{aligned} \end{aligned} \\\hline  \end{array}$.

 Perhatikan bahwa dari ilustrasi gambar lingkaran beserta hal-hal yang terkait dengan lingkaran tersebut termasuk garis sinngungnya melalui sebuah titik di luar lingkaran, maka

$\begin{array}{|c|}\hline \begin{aligned}&\left | OB \right |< \left | OP \right |< \left | OT \right |< \left | OS \right |< \left | OK \right |< \left | OA \right |\\ &\textrm{maka}\\ &\color{red}b\color{black}< \color{red}\displaystyle \frac{2ab}{a+b}\color{black}<\color{red} \sqrt{ab}\color{black}<\color{red} \displaystyle \frac{a+b}{2}\color{black}< \color{red}\sqrt{\displaystyle \frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\color{black}< \color{red}b\\ &\textrm{Selanjutnya dapat dituliskan sebagai bentuk}\\ &\color{red}b\color{black}< \color{red}\displaystyle \frac{2}{\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\color{black}<\color{red} \sqrt{ab}\color{black}<\color{red} \displaystyle \frac{a+b}{2}\color{black}< \color{red}\sqrt{\displaystyle \frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\color{black}< \color{red}b \end{aligned}\\\hline  \end{array}$.

Bentuk akhir pada tabel terakhir di atas selanjutnya yang kita kenal dengan ketaksamaan HM-GM-AM-QM

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan diberikan}\: \: x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n}\\ & \textrm{bilangan real positif, maka hubungan }\\ &\textrm{ketaksamaan}\: \: \color{red}\textrm{QM-AM-GM-HM}\\ & \color{black}\textrm{dapat dituliskan}\\ &\begin{aligned}\bullet \quad&\textrm{QM}(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n})=\sqrt{\displaystyle \frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{n}}\\ &Quadratic\: Mean\: (\textrm{rata-rata kuadrat})\\ \bullet \quad&\textrm{AM}(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n})=\displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n}\\ &Arithmetic\: Mean\: (\textrm{rata-rata aritmetika})\\ \bullet \quad&\textrm{GM}(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n})=\sqrt[n]{x_{1}.x_{2}.x_{3}\cdots x_{n}}\\ &Geometric\: Mean\: (\textrm{rata-rata geometri})\\ \bullet \quad&\textrm{HM}(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n})=\displaystyle \frac{n}{\displaystyle \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}+\cdots +\frac{1}{x_{n}}}\\ &Harmonic\: Mean\: (\textrm{rata-rata harmoni}) \end{aligned} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika}\: \: a,b\: \: \textrm{bilangan real positif bahwa}\\ &(a+b)\left (\displaystyle \frac{1}{a} +\displaystyle \frac{1}{b} \right )\geq 4\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned}&(a+b)\left (\displaystyle \frac{1}{a} +\displaystyle \frac{1}{b} \right )\\ &= 1+\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\\ &= 2+\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{AM-GM}\\ &\geq 2+2\sqrt{\displaystyle \frac{a}{b}\times \frac{b}{a}}\\ &\geq  2+2.1=4\qquad \blacksquare  \end{aligned}\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 2}\\ &\begin{aligned}&(a+b)\left (\displaystyle \frac{1}{a} +\displaystyle \frac{1}{b} \right )\\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{AM-GM}\\ &\geq 2\sqrt{ab}\times \displaystyle \frac{2}{\sqrt{ab}}=4\qquad \blacksquare  \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: a,b,c\: \: \textrm{bilangan real, tunjukkan}\\ &\textrm{bahwa}\: \: a^{2}+b^{2}+y^{2}\geq ab+ac+bc\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\textrm{Dengan ketaksamaan}\: \: \textbf{AM-GM}\\ &\textrm{pada bilangan}\: \: a,b,c\: \: \textrm{bilangan real}\\ &\textrm{kita akan peroleh}\\  &\begin{array}{ll} a^{2}+b^{2}\geq 2ab&\\ a^{2}+c^{2}\geq 2ac&\\ b^{2}+c^{2}\geq 2bc&+\\\hline 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})&\geq 2ab+2ac+2bc\\ a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq ab+ac+bc\\ &\qquad\textbf{terbukti} \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Jika}\: \: a_{i}\geq 0\: ,\: i\in \left \{ 1,2,3,4 \right \}\\ &\textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\displaystyle \frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}\geq \sqrt[4]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\displaystyle \frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a_{1}+a_{2}}{2}+\frac{a_{3}+a_{4}}{2}}{2}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad \geq \displaystyle \frac{\sqrt{a_{1}a_{2}}+\sqrt{a_{3}a_{4}}}{2}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad \geq \sqrt{\sqrt{a_{1}a_{2}}.\sqrt{a_{3}a_{4}}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad = \sqrt[4]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}\qquad \blacksquare  \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bambang, S. 2012. Materi, Soal dan Penyelesaian Olimpiade Matematika Tingkat SMA/MA. Jakarta: BINA PRESTASI INSANI.
2. Leo Bocek.----. Nerovnosti a Nerovnice. dalam : https://olympiada.karlin.mff.cuni.cz/prednasky/bocek1.pdf

Persamaan Polinom

 $\color{blue}\textbf{1. Pencarian akar-akar persamaan polinom}$

Persamaan suku banyak/polinom  $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$  dengan  $n>1\: \: \textrm{dan}\: \: a_{n}\neq 0$  paling sedikit memiliki sebuah akar riil atau imajiner. Pada bahasan ini untuk mendapatkan akar-akar rasional perlu dilakukan cara coba-coba. Misalkan  $x=h$  kita pilih, selanjutnya tinggal kita buktikan bahwa apakah  $x=h$ apakah akar polinom tersebut atau tidak, jika $f(h)=0$, maka $x=h$ adalah termasuk akar dari polinom tersebut, tetapi jika tidak  atau  $f(h) \neq 0$, maka $x=h$ bukan akar yang diinginkan.

Beberapa petunjuk agar  $x=h$  terarah sebagai akar polinom

• Misalkan  $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$  dengan  $r$  adalah faktor dari  $a_{0}$, dan  $s$  adalah faktor dari  $a_{n}$, maka akar-akar rasional jika ada adalah  $x=h=\color{red}\displaystyle \frac{r}{s}$.
• Jika pada langkah pertama di atas ditemukan sebuah akar rasional katakanlah  $x=h_{1}$, maka tentukan hasil bagi  $f(x)$  dengan  $x=h_{1}$  ini. Misalkan hasil baginya adalah  $h_{1}(x)$  atau  $\color{blue}f(x)=(x-h_{1})h_{1}(x)$, maka langkah berikutnya carilah akar dari  $h_{1}(x)$ ini. Dan jika didapatkan akar dari  $h_{1}(x)$  adalah  $x=h_{2}$, maka tentukanlah hasil bagi  dari  $h_{1}(x)$  oleh  $x=h_{2}$, katakanlah hasilnya  $h_{2}(x)$, maka  $\color{blue}f(x)=(x-h_{1})(x-h_{2})h_{2}(x)$ demikian seterusnya.

$\color{blue}\textbf{2. Jumlah dan hasil kali akar-akar polinom}$

Untuk fungsi  derajat 2 maka berlaku seperti menentukan rumus jumlah dan selisih pada persamaan kuadrat. Tetapi untuk polinom berderajat tiga  $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$  saat  $f(x)=0$, maka berlaku

$\begin{aligned}f(x)&=\color{red}ax^{3}+bx^{2}+cx+d\: \: \color{black}\textrm{dengan}\\ &x_{1},\: x_{2},\: x_{3}\: \: \textrm{adalah akar-akarnya, maka}\\ \bullet \: \: &x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\displaystyle \frac{b}{a}\\ \bullet \: \: &x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\displaystyle \frac{c}{a}\\ \bullet \: \: &x_{1}\times x_{2}\times x_{3}=-\displaystyle \frac{d}{a}\\ \end{aligned}$

$\begin{aligned}\textrm{Unt}&\textrm{uk yang berderajat empat}\\ f(x)&=\color{red}ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\: \: \color{black}\textrm{saat}\: \: f(x)=0\\ &\textrm{dengan}\: \: \: x_{1},\: x_{2},\: x_{3},\: x_{4}\: \textrm{adalah akar-akarnya},\\ &\textrm{maka}\\ \bullet \: \: &x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\displaystyle \frac{b}{a}\\ \bullet \: \: &x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{3}+...+x_{3}x_{4}=\displaystyle \frac{c}{a}\\ \bullet \: \: &x_{1} x_{2} x_{3}+x_{1} x_{2} x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2} x_{3} x_{4}=-\displaystyle \frac{d}{a}\\ \bullet \: \: &x_{1} x_{2} x_{3}x_{4}=\displaystyle \frac{e}{a} \end{aligned}$

$\begin{aligned}&\color{blue}\textbf{Rumus Tambahan}\\ &\bullet \: \: \: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}\\ &\bullet \: \: \: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\ &\qquad =\left ( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right )^{2}-2\left ( x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3} \right )\\ &\bullet \: \: \: x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\\ &\qquad =\left ( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right )^{3}-3x_{1}x_{2}x_{3}\left ( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right ) \end{aligned}$

$\begin{aligned}&\color{blue}\textbf{Teorema Vieta berkaitan polinom}\\ &\textrm{Persamaan polinom berderajat}\: \: n\\ &\color{red}a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\\ &\textrm{dengan akar-akar}:\: \: \color{purple}x_{1},\: x_{2},\: x_{3},\: \cdots \: ,x_{n},\\ &\textrm{maka}:\\ &\bullet \quad x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}=\color{blue}-\displaystyle \frac{a_{n-1}}{a_{n}}\\ &\bullet \quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{2}x_{3}+\cdots +x_{n-1}x_{n}=\color{magenta}\displaystyle \frac{a_{n-2}}{a_{n}}\\ &\bullet \quad x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+\cdots +x_{n-2}x_{n-1}x_{n}=\color{blue}-\displaystyle \frac{a_{n-3}}{a_{n}}\\ &\qquad\qquad\qquad \vdots \\ &\bullet \quad x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n}=\color{magenta}(-1)^{n}.\displaystyle \frac{a_{0}}{a_{n}} \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika akar-akar dari polinom}\\ &x^{3}+2x^{2}-5x-6=0\: \: \textrm{adalah}\\ &x_{1},\: x_{2},\: \: \textrm{dan}\: \: x_{3},\: \textrm{tentukanlah nilai}\\ &\textrm{a}.\quad x_{1}+ x_{2}+ x_{3}\\ &\textrm{b}.\quad x_{1}x_{2}+ x_{1}x_{3}+ x_{2}x_{3}\\ &\textrm{c}.\quad x_{1}\times x_{2}\times x_{3}\\ &\textrm{d}.\quad x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ x_{3}^{2}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}:\: \: \color{red}x^{3}+2x^{2}-5x-6=0\\ &\textrm{dengan koefisien-koefisien variabelnya}\\ & a_{3}=1,\: a_{2}=2,\: a_{1}=-5,\: \: \textrm{dan}\: \: a_{0}=-6\\ &\textrm{Menurut}\: \: \textbf{Teorema Vieta},\: \textrm{maka}\\ &\textrm{a}.\quad x_{1}+ x_{2}+ x_{3}=-\displaystyle \frac{a_{2}}{a_{3}}=-\frac{2}{1}=\color{red}-2\\ &\textrm{b}.\quad x_{1}x_{2}+ x_{1}x_{3}+ x_{2}x_{3}=\displaystyle \frac{a_{1}}{a_{3}}=\displaystyle \frac{-5}{1}=\color{red}-5\\ &\textrm{c}.\quad x_{1}\times x_{2}\times x_{3}=-\displaystyle \frac{a_{0}}{a_{3}}=-\displaystyle \frac{-6}{1}=\color{red}6\\ &\textrm{d}.\quad x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ x_{3}^{2}\\ &\quad\quad =\left ( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right )^{2}-2\left ( x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3} \right )\\ &\quad\quad =(-2)^{2}-2(-5)=4+10=\color{red}14 \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui polinom}\: \: x^{3}+3x-1=0\\ &\textrm{dengan akar-akar}\: \: \alpha ,\: \beta ,\: \textrm{dan}\: \: \gamma \\ &\textrm{tentukanlah nilai}\: \: \alpha^{3} +\beta^{3} + \gamma^{3} \\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Pandang polinom}\: \: \color{red}x^{3}+3x-1=0\\ &\textrm{dengan}:\: a_{3}=1,\: a_{2}=0,\: a_{1}=3,\: a_{0}=-1\\ &\textrm{maka bentuk nilai dari akar-akarnya}\\ &\textrm{yaitu}:\\ &\bullet \quad \alpha ^{3}+3\alpha -1=0\: \: .......(1)\\ &\bullet \quad \beta ^{3}+3\beta -1=0\: \: .......(2)\\ &\bullet \quad \gamma ^{3}+3\gamma -1=0\: \: .......(3)\\ &\textrm{Ketika persamaan}\: \: (1)+(2)+(3)\: \: \textrm{maka}\\ &\Leftrightarrow \: \alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+3\left (\alpha +\beta +\gamma \right ) -3=0\\ &\Leftrightarrow \: \alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+3\left ( \displaystyle \frac{a_{2}}{a_{3}} \right )-3=0\\ &\Leftrightarrow \: \alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+3\left ( 0 \right )-3=0\\ &\Leftrightarrow \: \alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}=\color{red}3 \end{array}$

Daftar Pustaka

1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Kelas XI untuk SMA dan MA Program Studi Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Nugroho, P. A., Gunarto, D. 2013. Big Bank Soal+Bahas Matematika SMA/MA Kelas 1, 2, 3. Jakarta: WAHYUMEDIA.
3. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT.
4. Sunardi, Waluyo, S., Sutrisno, Subagya. 2005. Matematika 2 untuk SMA Kelas XI IPA. Jakarta: BUMI AKSARA.
5. Sukino, S., Intan, T. S., Santiago, Y. E. 2015. Pena Emas Olimpiade Sains Nasional Matematika untuk SMP Seri Kinomatika 1: Seleksi Tingkat Sekolah dan Seleksi Tingkat Kabupaten\Kota. Bandung: YRAMA WIDYA.
6. Sukino. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Lanjutan Materi Polinom (Teorema Faktor)

7. Teorema Faktor

Pada pembagian sebuah bilangan bahwa suatu bilangan dikatakan habis terbagi jika pembaginya adalah faktor dari bilangan tersebut. Sebagai misal 15 faktornya adalah: 1,3,5, dan 15. Dan pada bahasan materi tentang pemfaktoran pada persamaan kuadrat saat Anda duduk di kelas X sebagai misal  $x^{2}+x-6$ akan habis terbagi oleh  $x+3$  dan  $x-2$. Demikian juga  ketika  $x^{2}+2x-8$  akan habis terbagi oleh  $x+4$  dan  $x-2$. Selanjutnya pembagi-pembagi tersebut kita namakan sebagai faktor dari yang dibagi tersebut.

Untuk selanjutnya toerema faktor dinyatakan:

• Jika  $(x-h)$ adalah faktor dari  $f(x)$  jika dan hanya jika  $f(h)=0$
• Jika  $(ax+h)$  merupakan faktor dari  $f(x)$  jika dan hanya jika  $f\left ( \displaystyle \frac{-h}{a} \right )=0$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah apakah}\: \: (x-2)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-4)\\ &\textrm{apakah faktor dari}\: \: 2x^{3}+x^{2}-22x+24\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\\ &P(x)=2x^{3}+x^{2}-22x+24\\ &\bullet \quad x=2\Rightarrow P(2)=2.2^{3}+2^{2}-22.2+24=0\\ &\bullet \quad x=4\Rightarrow P(4)=2.4^{3}+4^{2}-22.4+24=80\neq 0\\ &\textrm{Jadi}, \: \: (x-4)\: \: \textrm{bukan faktor dari}\: \: P(x)\: \: \textrm{di atas} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah apakah}\: \: (x+1)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-1)\\ &\textrm{apakah faktor dari}\: \: x^{6}-x^{5}+x^{3}-1\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\\ &P(x)=x^{6}-x^{5}+x^{3}-1\\ &\bullet \quad x=-1\Rightarrow P(-1)=(-1)^{6}-(-1)^{5}+(-1)^{3}-1=0\\ &\bullet \quad x=1\Rightarrow P(1)=1^{6}-1^{5}+1^{3}-1=0\\ &\textrm{Jadi}, \: \: (x+1)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-1)\: \: \textrm{faktor dari}\: \: P(x)\: \: \textrm{di atas} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Faktorkanlah polinom}\: \: x^{3}-11x^{2}+30x-8\\ &\textrm{ke faktor rasional}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\\ &P(x)=x^{3}-11x^{2}+30x-8\\ &\textrm{Misalkan salah satu faktor polinom adalah}:(x-k)\\ &\textrm{maka}\: \: \color{red}k\: \: \color{black}\textrm{adalah faktor dari}\: \: \color{red}-8\color{black},\: \textrm{yaitu}:\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8\\ &\textrm{dengan mencoba-coba kita harapkan ketemu}\\ &\bullet \quad x=1\Rightarrow P(1)=1^{3}-11.1^{2}+30.1-8=12\neq 0\\ &\bullet \quad x=-1\Rightarrow P(-1)=(-1)^{3}-11.(-1)^{2}+30.(-1)-8\\ &\qquad\qquad =-66\neq 0\\ &\bullet \quad x=4\Rightarrow P(4)=4^{3}-11.4^{2}+30.4-8= \color{red}0\\ &\textrm{dengan metode sintetis Horner kita tampilkan}\\ &\begin{array}{l|llllll} 4&1&-11&30&-8&\\ &&\: \: \: \: 4&-28&8&+\\\hline &1&\: \: -7&2&\color{red}0 \end{array}\\ &\textrm{Jadi}, \: \: (x-4)\: \: \textrm{faktor dari}\: \: P(x)\: \: \textrm{di atas} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Jika diketahui}\: \: (x-2)\: \: \textrm{dan}\: \: (2x+1)\\&\textrm{adalah faktor dari}\: \: 2x^{3}+ax^{2}+bx-2\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: a\: \: \textrm{dan}\: \: b\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Misalkan polinom}\: \: P(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx-2\\ &\bullet \quad x=2\Rightarrow P(2)=2.2^{3}+a.2^{2}+b.2-2=0\\ &\qquad\qquad \Rightarrow P(2)=14+8a+2b=0\: \color{red}.......(1)\\ &\bullet \quad x=\displaystyle \frac{1}{2}\Rightarrow P\left (- \displaystyle \frac{1}{2} \right )=2\left (- \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{3}+a\left (- \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}+b\left (- \displaystyle \frac{1}{2} \right )-2=0\\ &\qquad\qquad \Rightarrow P\left (- \displaystyle \frac{1}{2} \right )=-\displaystyle \frac{2}{8}+\displaystyle \frac{a}{4}-\displaystyle \frac{b}{2}-2=0\\ &\qquad\qquad \Rightarrow P\left (- \displaystyle \frac{1}{2} \right )=a-2b=9\: \color{red}.........(2)\\ &\textrm{Dengan eliminasi diperoleh}\: \: a=-1\: \: \textrm{dan}\: \: b=-5\\ &\textrm{Jadi}, \: \: a=-1\: \: \textrm{dan}\: \: b=-5 \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&(\textbf{OSK 2016})\\ &\textrm{Misalkan}\: \: a\: \: \textrm{bilangan real sehingga polinom}\\ &P(x)=x^{4}+4x+a\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x-c)^{2}\\ &\textrm{untuk suatu bilangan real}\: \: c.\: \: \textrm{Nilai}\: \: a\\ &\textrm{yang memenuhi adalah}\: ....\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\textrm{Diketahui polinom}\: \: P(x)=x^{4}+4x+a\\ &\textrm{Dengan metode Horner sebanyak 2 kali}\\ &\textrm{yaitu}:\\ &\begin{array}{l|lllllll} c&1&0&0&4&\color{red}a\\ &&c&c^{2}&c^{3}&c^{4}+4c^{3}&+\\\hline c&1&c&c^{2}&c^{3}+4&\color{red}c^{4}+4c^{3}+a\\ &&c&2c^{2}&3c^{3}&\\\hline &1&2c&3c^{2}&\color{red}4c^{3}+4& \end{array}\\ &\textrm{Dari bentuk di atas diperoleh}\\ &\bullet \quad 4c^{3}+4=0\Rightarrow c=-1\\ &\bullet \quad c^{4}+4c^{3}+a=0\Rightarrow 1-4+a=0\Rightarrow \color{red}a=3\\  &\textrm{Jadi}, \: \: a=3\\\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\ &\textrm{Silahkan Anda coba sebagai latihan mandiri}  \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1. &\textrm{Buktikan bahwa}\: \: x+3\: \: \textrm{dan}\: \: x-8\: \: \textrm{adalah}\\ &\textrm{faktor dari polinom}\\ &f(x)=2x^{4}+6x^{3}-114x^{2}-454x-336  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2. &\textrm{Tentukan nilai}\: \: k,\: \: k\neq 0\: \: \textrm{agar}\: \: x+k\\ &\textrm{dan}\: \: x-k\: \: \textrm{keduanya adalah faktor dari}\\ &x^{3}-x^{2}-9x+9  \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 3. &\textrm{Bila}\: \: x^{2}-x-2\: \: \textrm{adalah faaktor dari}\\ &\textrm{sebuah  polinom}\\ &P(x)=6x^{4}-x^{3}+ax^{2}-6x+b\\ &\textrm{tentukanlah nilai}\: \: a+b  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4. &\textrm{Bila}\: \: x+1\: \: \textrm{dan}\: \: x-3\: \: \textrm{adalah faktor}\\ &\textrm{dari  polinom}\\ &P(x)=x^{4}+px^{3}+5x^{2}+5x+q\\ &\textrm{tentukanlah nilai}\: \: p\: \: \textrm{dan}\: \: q\: \: \textrm{serta}\\ &\textrm{dua faktor lainnya yang belum }\\ &\textrm{diketahui dari polinom tersebut}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&(\textbf{OSK 2019})\\ &\textrm{Kedua akar dari persamaan kuadrat}\\ &x^{2}-111x+k=0\: \: \textrm{adalah bilangan prima}\\ &\textrm{Nilai}\: \: k\: \: \textrm{adalah}\: ....  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 6.&(\textbf{OSK 2015})\\ &\textrm{Diketahui}\: \: a,b,c\: \: \textrm{adalah akar dari persamaan}\\ &x^{3}-5x-9x+10=0.\: \: \textrm{Jika polinom}\\ &P(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx-2015\: \: \textrm{memenuhi}\\ &P(a)=b+c,\: P(b)=a+c,\: P(c)=a+b,\\ &\textrm{maka nilai dari}\: \: A+B+C\: \: \textrm{adalah}\: ....  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7.&(\textbf{OSK 2014})\\ &\textrm{Semua bilangan bulat}\: \: n\: \: \textrm{sehingga}\\ &n^{4}-51n^{2}+225\: \: \textrm{merupakan bilangan}\\ &\textrm{prima adalah}\: ....  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 8. &\textrm{Diketahui bahwa salah satu dari penyelesaian}\\ &x^{4}-14n^{3}+54x^{2}-62x+13=0\: \: \textrm{adalah}\\ &2+\sqrt{3}.\: \: \textrm{Carilah tiga buah akar yang lain}  \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Muslim, M.S. 2020. Kumpulan Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kota/Kabupaten Tahun 2009-2019. Bandung: YRAMA WIDYA.
3. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
4. Tim Matematika. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap 1. Bandung: ITB

Lanjutan Materi Polinom (Teorema Sisa)

6. Teorema Sisa

Sebelumnya telah diketahui bahwa jika suatu polinom  $\textbf{P(x)}$ dibagi oleh  $\textbf{g(x)}$ dengan hasil bagi  $\textbf{h(x)}$  dan sisa pembagian berupa  $\textbf{s(x)}$, maka kondisi tersebut dapat dituliskan dengan

$P(x)=g(x)\times h(x)+s(x)$

Selanjutnya apabila  $\textbf{P(x)}$  berderajat  $\color{blue}n$  dibagi oleh  $\textbf{g(x)}$ berderajat  $\color{blue}m$, maka hasil bagi  $\textbf{h(x)}$  akan berderajat  $\color{blue}n-m$  dan sisa pembagian maksimum berderajat $\color{blue}m-1$.

Perhatikan kembali contoh soal sebelumnya yaitu:

Dari paparan di atas apabila disederhanakan, maka:

$\begin{aligned}\textrm{Jika}\: &\textrm{polinomial}\: \: P(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\\ \textrm{1}.\quad&g(x)=(x-a),\: \: s(x)=\color{red}P(a)\\ \textrm{2}.\quad&g(x)=(x+a),\: \: s(x)=\color{red}P(-a)\\ \textrm{3}.\quad&g(x)=(ax-b),\: \: s(x)=\color{red}P\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )\\ \textrm{4}.\quad&g(x)=(ax+b),\: \: s(x)=\color{red}P\left (- \displaystyle \frac{b}{a} \right )\\ \textrm{5}.\quad&g(x)=(x-a)(x-b)\\ &\quad s(x)=\displaystyle \frac{x-a}{b-a}\color{red}P(b)\color{black}+\frac{x-b}{a-b}\color{red}P(a)\\ \textrm{6}.\quad&g(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\\ &\quad s(x)=\displaystyle \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}\color{red}P(c)\\ &\: \qquad +\displaystyle \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}\color{red}P(b)\\ &\: \qquad +\displaystyle \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}\color{red}P(a) \end{aligned}$.

Sebagai bukti dari beberapa properti formula di atas adalah sebagai berikut

$\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Untuk formula no.1 di atas adalah:}\\ &\textrm{Pandang}:\: P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &\textrm{atau}\: \: \color{red}P(x)=(x-a).h(x)+s(x)\\ &\textrm{substitusikan}\: \: x-a=0\: \: \textrm{atau}\: \: x=a\\ &\textrm{maka akan diperoleh bentuk}\\ &P(a)=(a-a).h(a)+s(x)=0+s(x)\\ &\qquad\, =s(x)\\ &\textrm{Jadi},\: \: s(x)=P(a)\qquad \textrm{(terbukti)} \end{aligned}$.

$\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Dan untuk formula no.3 di atas adalah}:\\ &\textrm{Pandang}:\: P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &\textrm{atau}\: \: \color{red}P(x)=(ax-b).h(x)+s(x)\\ &\textrm{substitusikan}\: \: ax-b=0\: \: \textrm{atau}\: \: x=\displaystyle \frac{b}{a}\\ &\textrm{maka akan diperoleh bentuk}\\ &P\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )=\left (a\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )-b  \right ).h\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )+s(x)\\ &\qquad\quad\, =0+s(x)\\  &\textrm{Jadi},\: \: s(x)=P\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )\qquad \textrm{(terbukti)} \end{aligned}$.

$\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Untuk formula no.5 di atas}\\ &\textrm{Pandang}:\: P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &\textrm{anggap sisanya}\: \: s(x)=ux+v\\ &\textrm{atau}\\ &\color{red}P(x)=(x-a)(x-b).h(x)+ux+v\\ &\textrm{substitusikan}\: \: x-a=0\: \: \textrm{atau}\: \: x=a\\ &\textrm{maka akan diperoleh bentuk}\\ &P(a)=(a-a)(a-b).h(a)+ua+v\\ &\qquad\, =0+ua+v=ua+v\: .....(1)\\ &\textrm{Demikian pula}\\ &P(b)=(a-b)(b-b).h(b)+ub+v\\ &\qquad\, =0+ub+v=ub+v\: .....(2)\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{array}{rllll}\\ P(a)&=&ua+v\\ P(b)&=&ub+v&-\\\hline P(a)-P(b)&=&u(a-b)\\ \displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}&=&u\\ \textrm{atau}\\ u&=&\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b} \end{array}\\ &\textrm{dan}\\ &\begin{aligned}&P(a)=ua+v\\ &P(a)=\left ( \displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b} \right )a+v\\ &\Leftrightarrow  v=P(a)-\left ( \displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b} \right )a\\ &\Leftrightarrow  v=\displaystyle \frac{(a-b)}{(a-b)}P(a)-\left ( \displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b} \right )a\\ &\Leftrightarrow v=\displaystyle \frac{aP(a)-bP(a)-aP(a)+aP(b)}{a-b}\\ &\Leftrightarrow v=\displaystyle \frac{-bP(a)+aP(b)}{a-b} \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga},\\ &\begin{aligned}s(x)&=ux+v\\ &=\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}x+\displaystyle \frac{-bP(a)+aP(b)}{a-b}\\ &=\displaystyle \frac{P(a)x-P(b)x-bP(a)+aP(b)}{a-b}\\ &=\displaystyle \frac{(x-b)P(a)+(a-x)P(b)}{a-b}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{a-b}{x-b}P(a)+\frac{x-a}{b-a}P(b) \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi},\\ &s(x)=\displaystyle \frac{a-b}{x-b}P(a)+\frac{x-a}{b-a}P(b)\qquad \textrm{(terbukti)} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\colorbox{yellow}{Pembagi Linear}$.

$\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Tentukan sisa pembagian}\\ &1.\quad 12x^{4}-40x^{3}+27x^{2}+13x-6\\ &\qquad \textrm{jika dibagi oleh}\: \: \: x+1\\ &2.\quad 2x^{3}+4x^{2}-6x+7\: \: \textrm{jika dibagi}\\ &\qquad \textrm{oleh}\: \: \: x+1\\ &3.\quad 3x^{4}-5x^{2}+4\: \: \textrm{jika dibagi}\\ &\qquad \textrm{oleh}\: \: \: x^{2}+2\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}1.\quad &\textup{Polinom}\: \: P(x)=12x^{4}-40x^{3}+27x^{2}+13x-6\\ &\textrm{dibagi}\: \: x+1,\: \textrm{artinya}\\&P(-1)=12(-1)^{4}-40(-1)^{3}+27(-1)^{2}+13(-1)-6\\&\Leftrightarrow P(-1)=12+40+27-13-6=\color{red}60 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}2.\quad &\textup{Polinom}\: \: P(x)=2x^{3}+4x^{2}-6x+7\\ &\textrm{dibagi}\: \: x+1,\: \textrm{artinya}\\ &P\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )=2\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{3}+4\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}-6\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}+7\\&\Leftrightarrow P\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )=\color{red}5\frac{1}{4} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}3.\quad &\textup{Polinom}\: \: P(x)=3x^{4}-5x^{2}+4\\ &\textrm{dibagi}\: \: x^{2}+2,\: \textrm{gunakan bentuk sederhana}\\ &\textrm{misa}\: \: x^{2}=n=-2,\: \: \textrm{maka}\\ &P(-2)=3(-2)^{2}-5(-2)+4\\ &\Leftrightarrow P(-2)=12+10+4=\color{red}26 \end{aligned}  \end{array}$.

$\colorbox{yellow}{Pembagi Kuadrat}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan sisa pembagian suku banyak}\\ &\textrm{a}.\quad (3x^{3}-7x^{2}-11x+4)\: \: \textrm{oleh}\: \: (x^{2}-x-2)\\ &\textrm{b}.\quad (2x^{3}+5x^{2}-7x+3):(x^{2}-4)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &P(x)=g(x).h(x)+ax+b\\ &\textrm{dengan}\\ &P(x)=3x^{3}-7x^{2}-11x+4\\ &g(x)=x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)\\ &\textrm{maka}\\ &\color{red}3x^{3}-7x^{2}-11x+4\\ &=(x-2)(x+1).h(x)+\color{blue}ax+b\\ &\textrm{Selanjutnya kita substitusikan}\\ &\textrm{pembuat nol fungsi, yaitu}\\ &x=2\: \: \textrm{atau}\: \: x=-1,\: \: \textrm{maka}\\ &\bullet \: \: x=2\Rightarrow -22=0+2a+b\: ....(1)\\ &\bullet \: \: x=-1\Rightarrow 5=0-a+b\: ........(2)\\ &\color{red}\textrm{perhatikan eliminasi berikut}\\ &\begin{array}{rlllll}\\ 2a&+&b&=&-22\\ -a&+&b&=&5&-\\\hline 3a&&&=&-27\\ a&&&=&-9\\ \textrm{maka}&&b&=&-4\end{array}\\ &\textrm{Jadi, sisanya}=s(x)=\color{red}-9x-4 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Dengan cara yang semisal di atas}\\ &g(x)=x^{2}-4=(x-2)(x+2)\\ &\textrm{dengan}\: \:  s(x)=\color{blue}ax+b\\ &\textrm{maka}\\ &P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &\bullet \: \: x=2\Rightarrow 25=2a+b\: ......(1)\\ &\bullet \: \: x=-2\Rightarrow 21=-2a+b\: ....(2)\\ &\color{red}\textrm{perhatikan eliminasi berikut}\\ &\begin{array}{rlllll}\\ 2a&+&b&=&25\\ -2a&+&b&=&21&-\\\hline 4a&&&=&4\\ a&&&=&1\\ \textrm{maka}&&b&=&23\end{array}\\ &\textrm{Jadi, sisanya}=s(x)=\color{red}x+23 \end{aligned} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Tentukan sisa pembagian}\\ &1.\quad 3x^{4}-2x^{3}+27x^{2}+x-7\\ &\qquad \textrm{jika dibagi oleh}\: \: \: x-2\\ &2.\quad x^{3}+5x^{2}-3x-16\: \: \textrm{jika dibagi}\\ &\qquad \textrm{oleh}\: \: \: x+1\\ &3.\quad 3x^{4}-5x^{2}+4\: \: \textrm{jika dibagi}\\ &\qquad \textrm{oleh}\: \: \: x^{2}-2  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan sisa pembagian suku banyak}\\ &\textrm{a}.\quad (x^{3}-6x^{2}+3x-2): (x^{2}-3x+2)\\ &\textrm{b}.\quad (x^{3}+2x^{2}-4):(x^{2}-9)\\ &\textrm{c}.\quad (4x^{3}-x^{2}+7x+1):(x^{2}-x-2)\\ &\textrm{d}.\quad (2x^{4}-2x^{2}-7):(x^{2}+x-6)\\ &\textrm{e}.\quad (x^{3}+4x^{2}-x+2):(x^{2}+2x-3)\\ &\textrm{f}.\quad (4x^{3}-x^{2}+4x-1):(x^{2}+2x-15)\\ &\textrm{g}.\quad (2x^{3}-6x^{2}-5x+3):(2x^{2}-7x-4)\\ &\textrm{h}.\quad (x^{4}-x^{3}+5):(x^{2}+4) \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5. &\textrm{Polinom}\: \: f(x)=2x^{3}+px^{2}+qx-7\: \: \textrm{saat}\\ &\textrm{dibagi}\: \: x^{2}+2x-3\: \: \textrm{bersisa}\: \: -4x-1.\\ &\textrm{Nilai}\: \: p-q=\: .... \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 6.&(\textbf{SBMPTN 2015 Matematika IPA})\\ &\textrm{Sisa pembagian}\: \: Ax^{2014}+x^{2015}-B(x-2)^{2}\\ &\textrm{oleh}\: \: x^{2}-1\: \: \textrm{adalah}\: \: 5x-4.\: \: \textrm{Nilai}\: \: A+B=\: .... \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7. &\textrm{Suatu perusahaan mulai beroperasi 1 Juni 2016}\\ &\textrm{Pendapatan kotor tahunan perusahaan tersebut}\\ &\textrm{setelah}\: \: t\: \: \textrm{tahun adalah sebesar}\: \: x\: \: \textrm{juta rupiah}\\ &\textrm{dengan definisi fungsi}\: \: x\: \: \textrm{sebagai berikut}\\ &\qquad x=250.000+90.000t+3.000t^{2}\\ &\textrm{Tentukan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Berapa besar pendapatkan kotor perusahaan}\\ &\qquad \textrm{tersebut pada awal}\: \: \textrm{Juni 2021}?\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Setelah berapa tahun perusahaan tersebut}\\ &\qquad \textrm{akan memeperoleh pendapatan sebesar}\\ &\qquad 2.125\: \textrm{miliar rupiah}? \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 8. &\textrm{Suatu gelombang udara bergerak mendekati}\\ &\textrm{sebuah kota}.\: \textrm{Jika suhu}\: \: t\: \: \textrm{jam setelah tengah}\\ &\textrm{malam adalah}\: \: T\: \: \textrm{yang diformulasikan}\\ &\qquad T=0,01(400-40t+t^{2}),\: \: 0\leq t\leq 10\\ &\textrm{Tentukan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Berapa besar suhu di kota tersebut pada}\\ &\qquad \textrm{pukul}\: \: 05.00\: \: \textrm{pagi}?\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Pada pukul berapa suhu di kota tersebut}\\ &\qquad \textrm{mencapai}\: \: 15^{\circ}C? \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
3. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA

Aljabar-Memecahkan soal terkait permasahan Perpangatan (Bagian 2)

 Misal kita menemukan persoalan berikut

$\begin{aligned}&\textrm{Diberikan}\quad x+\displaystyle \frac{1}{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\: \text{maka nilai dari}\quad x^{\displaystyle 2022}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 2022}}\end{aligned}$

Jika kita langsung terungat tentang persamaan kuadrat dengan akar-akarnya, maka hal tersebut adalah hal bagus, karena setidaknya kita sudah menuju ke arah yang tepat walaupun kita belum terpikirkan jawabnya seperti apa nantinya

Kita cari pelan-pelan solusinya, yaitu

$\begin{aligned}&\textrm{Nilai}\quad x+\displaystyle \frac{1}{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\textbf{rasio emas}=\phi\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &x+\displaystyle \frac{1}{x}=\phi\Leftrightarrow x^{\displaystyle 2}-\phi x+1=0\Leftrightarrow x_{\displaystyle 1,2}=\displaystyle \frac{\phi\pm \sqrt{\phi^{\displaystyle 2}-4}}{2}\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\phi=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow \phi^{\displaystyle 2}=\displaystyle \frac{1+5+2\sqrt{5}}{4}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &x_{\displaystyle 1,2}=\displaystyle \frac{\phi\pm \sqrt{\phi^{\displaystyle 2}-4}}{2}\Leftrightarrow x_{\displaystyle 1,2}=\displaystyle \frac{\phi\pm \sqrt{\left( \displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)-4}}{2}\\ &\Leftrightarrow x_{\displaystyle 1,2}=\displaystyle \frac{\phi\pm \sqrt{\displaystyle \frac{\sqrt{5}-5}{2}}}{2}\\ &\textrm{Dari uraian di atas, kita tahu bahwa akar-akarnya tidak riil (bilangan kompleks)}\end{aligned}$.

Ok, kita lanjutkan. Langkah berikutnya ingat teorema De Moivre, terkait bilangan kompleks, yaitu:

$\begin{aligned}&x=\cos\theta+i\sin\theta,\quad \textrm{untuk}\\ &x^{\displaystyle n}=\cos n\theta+i\sin n\theta\quad \textrm{dan}\quad x^{\displaystyle -n}=\cos n\theta-i\sin n\theta\\ &\textrm{Sehingga untuk}\\ &x^{\displaystyle n}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle n}}=x^{\displaystyle n}+x^{\displaystyle -n}=\cos n\theta+i\sin n\theta+\cos n\theta-i\sin n\theta=2\cos n\theta\\ &\textrm{Selanjutya untuk}\\ &x^{\displaystyle 2022}+x^{\displaystyle -2022}=2\cos 2022\theta\\ &\textrm{Dan perlu diingat pula bahwa}:\quad x+\displaystyle \frac{1}{x}=2\cos \theta=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ &\Leftrightarrow \cos\theta=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}\Rightarrow \theta=36^{0}=\frac{\pi}{5}\: \textrm{radian}\\ &\textrm{Dari hal di atas, maka kita dapat menuliskan}\\ &x^{\displaystyle 2022}+x^{\displaystyle -2022}=2\cos 2022\theta=2\cos(2022\times 36^{0})\\ &\qquad=2\cos(72.792^{0})=2\cos(202\times 360^{0}+72^{0})=2\cos(72^{0})\\ &\qquad =2\sin 18^{0}=2\left( \displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)=\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ &\textrm{Jadi, nilai dari}\quad x^{\displaystyle 2022}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 2022}}=\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\phi-1\end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Idris, M., Rusdi, I. 2015. Langkah Awal Meraih Medali Emas Olimpiade Matematika SMA. Bandung: Yrama Widya
2. Tim ITB. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap 1. Bandung: LPPM ITB

Aljabar-Memecahkan soal terkait permasahan Perpangatan (Bagian 1)

Ada soal keliatannya sederhana, yaitu tentang pecahan, tetapi jika pecahan itu kita kaitkan dengan bilangan berpangkat, maka jadinya akan asik. Berikut contohnya

$\begin{aligned}&\text{Berapakah}\quad \displaystyle \frac{1}{3}\quad \text{dari}\quad 6^{\displaystyle 30}  \end{aligned}$.

Kita tak perlu buru-buru untuk menyelesaikannya, misal jangan langsung 6 dibagi 3 lalu urusan selesai, tetapi kita perlu lihat 6 adalah bilangan berpangkat. Jadi, kita perlu mengurai 6 yang bilangan berpangkat itu agar bisa dibagi dengan 3.

Baiknya kita uraikan sebagaimana berikut

(Uraian jawaban sengaja diurai agak panjang sambil kita melanyahkan sifat-sifat perpangkatan)

$\begin{aligned}& \displaystyle \frac{1}{3}\times 6^{\displaystyle 30}=\displaystyle \frac{1}{3}\times \left( 2\times 3 \right)^{\displaystyle 30}=\displaystyle \frac{1}{3}\times 2^{\displaystyle 30}\times 3^{\displaystyle 30}\\ &=\displaystyle \frac{1}{3}\times 3^{\displaystyle 30}\times2^{\displaystyle 30}=\displaystyle \frac{3^{\displaystyle 30}}{3^{\displaystyle 1}}\times 2^{\displaystyle 30}=3^{\displaystyle (30-1)}\times 2^{\displaystyle 30}\\ &=3^{\displaystyle 29}\times 2^{\displaystyle 30}=3^{\displaystyle 29}\times 2^{(\displaystyle 1+29)}=3^{\displaystyle 29}\times 2^{\displaystyle 1}\times 2^{\displaystyle 29}\\ &=3^{\displaystyle 29}\times 2 \times 2^{\displaystyle 29}=2\times\left( 2\times 3 \right)^{\displaystyle 29}=2\times 6^{\displaystyle 29}  \end{aligned}$

Sampai langkah tersebut kita bisa berhenti dan itu sudah cukup

Ketaksamaan Muirhead

Ketaksamaan Muirhead

Diberikan  $a=(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n})$  dan   $b=(b_{1},b_{2},b_{3},\cdots ,b_{n})$ yang merupakan barisan bilangan real, dengan barisan  $a$ lebih utama dari barisan  $b$ dan selanjutnya dituliskan dengan  $a\succ b$ disebutkan demikian jika kedua barisan di atas memenuhi 3 kondisi berikut:

$\begin{aligned}1.\quad&a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\: \: \textrm{dan}\: \: b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}\\ 2.\quad&a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{k}\\ 3.\quad&a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{k},\\ &\quad \textrm{untuk tiap}\: \: k,\: \: \textrm{dengan}\: :1\leq k\leq n\:  \end{aligned}$.

Contoh:

$\begin{aligned}1.\quad&(4,0,0)\succ (3,1,0)\\ 2.\quad&(2,2,0)\succ (2,1,1)\\ 3.\quad&(2,0,0,0)\not{\succ }(1,1,0)  \end{aligned}$.

Sebagai keterangan tambahan adalah:

• Jika  $(a)\succ (b)$, maka  $\left [ a \right ]\geq \left [ b \right ]$. Kesamaan terjadi jika dan hanya jika barisan a dan b identik atau semua sama untuk nilai $x_{i}$.
• Jika  (a) barisan bilangan real positif, $(x_{n})\succ (y_{n})$, maka  $\displaystyle \sum_{sym}^{.}a_{1}^{x_{1}}a_{2}^{x_{2}}a_{3}^{x_{3}}\cdots a_{n}^{x_{n}}\geq \displaystyle \sum_{sym}^{.}a_{1}^{y_{1}}a_{2}^{y_{2}}a_{3}^{y_{3}}\cdots a_{n}^{y_{n}}$. (untuk hal terkait symetri, silahkan klik link ini)

Lanjutan Materi Operasi Vektor di Ruang (Cross Product): Perkalian Silang Dua Vektor

$\color{blue}\textrm{C. Perkalian Silang Vektor (Pengayaan)}$.

Pada ruang dimensi tiga khususnya pada vektor akan berlaku perkalian silang (cross vektor) adalah perkalian antara dua vektor yang menghasilkan vektor tunggal. Misalkan diketahui  $\vec{u}$  dan  $\vec{v}$  adalah dua vektor sembarang dan keduanya membentuk sudut  $\theta$, maka hasil kali kedua vektor tersebut adalah sebuah vektor baru dengan dinotasiakan sebagai  $\vec{u}\times \vec{v}$. Tentunya sebagai syarat kedua vektor tersebut masing-masing tidak berupa vektor nol.

Jika  $\vec{u}\times \vec{v}=\vec{c}$ , maka

$\begin{aligned}\vec{u}&\times \vec{v}=\vec{c}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \end{vmatrix}\\ &=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\vec{i}-(x_{1}z_{2}-z_{1}x_{2})\vec{j}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\vec{k} \end{aligned}$

Lalu kalau sudah demikian berapa besarnya? dan ke mana arahnya?

Besarnya adalah  $\left | \vec{u}\times \vec{v} \right |=\left | \vec{u} \right |\left | \vec{v} \right |\sin \theta$  dan arahnya tegak lurus terhadap  $\vec{u}$  dan  $\vec{v}$.

Sebagai ilustrasi perhatikanlah gambar berikut  untuk dua buah vektor sebagai misal  $\vec{a}$  dan  $\vec{b}$.

Jika putarannya dibalik, maka akan mendapatkan hasil sebagai mana ilustrasi berikut

Sehingga perlu diingat bahwa :  $\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$.

Pada hasil kali silang dua vektor berlaku

1. tidak bersifat komutatif , karena  $\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$.
2. distributif terhadap penjumlahan : $\vec{a}\times \left (\vec{b}+\vec{c} \right )=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}$.
3. pada perkalian dengan skalar : $k\left (\vec{a}\times \vec{b} \right )=\left (k\vec{a} \right )\times \vec{b}=\vec{a}\times \left ( k\vec{b} \right )$.
4. berlaku untuk sembarang vektor : $\vec{a}\times \vec{a} =0$.
5. jika kedua vektor sejajar, maka hasil kalinya adalah = 0.
6. Nilai dari perkalian kedua vektor terbut adalah sama dengan hasil luas jajar genjang.
7. Nilai dari poin 6 jika dibagi 2 akan berupa hasil luas sebuah segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.
8. berlaku identitas Lagrange : $\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |^{2}=\left | \vec{a} \right |^{2}.\left | \vec{b} \right |^{2}-\left ( \vec{a}\: \bullet \: \vec{b} \right )^{2}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{a}=4\vec{i}+3\vec{j}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}=4\vec{i}-3\vec{k}\\ &\textrm{Tentukanlah hasil}\: \: \vec{a}\times \vec{b}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}\times \vec{a}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\vec{a}&\times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \end{vmatrix}\\ &=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\vec{i}-(x_{1}z_{2}-z_{1}x_{2})\vec{j}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\vec{k}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 4 & 3 &0 \\ 4 & 0 &-3 \end{vmatrix}\\ &=(-9-0)\vec{i}-(-12-0)\vec{j}+(0-12)\vec{k}\\ &=-9\vec{i}+12\vec{j}-12\vec{k} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\vec{b}&\times \vec{a}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 4 & 0 &-3 \\ 4 & 3 &0 \end{vmatrix}\\ &=(0-(-9))\vec{i}-(0-(-12))\vec{j}+(12-0)\vec{k}\\ &=9\vec{i}-12\vec{j}+12\vec{k} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{a}=6\vec{i}+2\vec{j}+10\vec{k}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}=4\vec{i}+\vec{j}+9\vec{k}\\ &\textrm{Tentukanlah hasil}\: \: \vec{a}\times \vec{b}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}\times \vec{a}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\vec{a}&\times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \end{vmatrix}\\ &=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\vec{i}-(x_{1}z_{2}-z_{1}x_{2})\vec{j}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\vec{k}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 6 & 2 &10 \\ 4 & 1 &9 \end{vmatrix}\\ &=(18-10)\vec{i}-(54-40)\vec{j}+(6-8)\vec{k}\\ &=8\vec{i}-14\vec{j}-2\vec{k} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\vec{b}&\times \vec{a}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 4 & 1 &9 \\ 6 & 2 &10 \end{vmatrix}\\ &=(10-18)\vec{i}-(40-54)\vec{j}+(8-6)\vec{k}\\ &=-8\vec{i}+14\vec{j}+2\vec{k} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah luas segitiga}\: \: ABC\: \: \textrm{jika}\\ &\textrm{diketahui}\: \: A(2,1,-2),\: B(0,-1,0),\: \: \textrm{dan}\\ &C(-1,2,-1)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Misalkan luas segitiga}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}\left | \vec{p}\times \vec{q} \right |,\: \: \textrm{dengan}\\ &\begin{cases} \vec{p} & =\overline{AB}=\overline{OB}-\overline{OA}=\begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\ -2\\ 2 \end{pmatrix} \\ \vec{q} & =\overline{AC}=\overline{OC}-\overline{OA}=\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \end{cases}\\ &\begin{aligned}\vec{p}&\times \vec{q}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \end{vmatrix}\\ &=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\vec{i}-(x_{1}z_{2}-z_{1}x_{2})\vec{j}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\vec{k}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ -2 & -2 &2 \\ -3 & 1 &1 \end{vmatrix}\\ &=(-2-2)\vec{i}-(-2-(-6))\vec{j}+(-2-6)\vec{k}\\ &=-4\vec{i}-4\vec{j}-8\vec{k}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\left | \vec{p}\times \vec{q} \right |=\sqrt{(-4)^{2}+(-4)^{2}+(-8)^{2}}\\ &\quad\qquad =\sqrt{16+16+64}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\\ &\textrm{Maka luas segi tiganya adalah}:\\ &\textrm{luas}\: \triangle ABC=\displaystyle \frac{1}{2}\left | \vec{p}\times \vec{q} \right |=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 4\sqrt{6} \right )=\color{red}2\sqrt{6} \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT. TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI

Lanjutan Materi Operasi Vektor di Ruang (Dot Product)

 $\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Diketahui}\: \: \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 4\\ -1\\ t \end{pmatrix},\\ & \textrm{jika}\: \: \overrightarrow{p}\: \: \textrm{tegak lurus}\: \: \overrightarrow{q},\: \: \textrm{maka tentukanlah}\\ &\textrm{nilai}\: \: t\: \: \textrm{adalah}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Karena}&\: \textrm{kedua vektor tersebut saling }\\ \textrm{tegak l}& \textrm{urus maka}\\ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}&=0\\ \begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}&\begin{pmatrix} 4\\ -1\\ t \end{pmatrix}=0\\ (-2).4&+1.(-1)+3.t=0\\ -8-1&+3t=0\\ 3t&=9\\ t&=\color{red}3 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\: \: \textrm{jika}\\ &\textrm{a}.\quad \left | \overrightarrow{a} \right |=4,\: \left | \overrightarrow{b} \right |=6,\: \: \angle \left ( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right )=60^{\circ}\\ &\textrm{b}.\quad \overrightarrow{a}=2\vec{i}+\vec{j}-5\vec{k}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}=2\vec{i}-3\vec{k}\\ &\textrm{c}.\quad \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 4\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}&=\left | \overrightarrow{a} \right |\left | \overrightarrow{b} \right |\cos \angle \left ( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right )\\ &=4.6.\cos 60^{\circ}\\ &=24.\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )\\ &=12 \end{aligned}\\ &\textrm{b}.\quad \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.2+1.0+(-5).(-3)=4+15=19\\ &\textrm{c}.\quad \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0.4+(-1).(-2)+3.1=0+2+3=5 \end{array}$

$\begin{array}{ll} 8.&\textrm{Diketahui}\: \: \left |\vec{a} \right |=10,\: \left | \vec{b} \right |=3\\ & \textrm{dan}\: \: \vec{a}\bullet \vec{b}=15\sqrt{3}\: .\: \textrm{Tentukan sudut}\\ &\textrm{yang dibentuk oleh}\: \: \vec{a}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\textrm{Dari bentuk}\\ &\begin{aligned}\vec{a}\bullet \vec{b}&=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |\cos \theta \\ \textrm{dipe}&\textrm{roleh bentuk}\\ \cos \theta &=\displaystyle \frac{\vec{a}\bullet \vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |}\\ \cos \theta &=\displaystyle \frac{15\sqrt{3}}{10.3}=\frac{15}{30}\sqrt{3}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \cos \theta&=\cos 30^{\circ}\\ \theta &=\color{red}30^{\circ}\\ \textrm{Jadi}&\: \textrm{sudut antara keduanya adalah}\: \: \color{red}30^{\circ} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Tentukanlah besar sudut antara vektor}\\ &\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 2 \end{pmatrix}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\cos \theta &=\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |\left | \overrightarrow{b} \right |}\\ &=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 2 \end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}\\ &=\displaystyle \frac{-1-2+0}{\sqrt{2}\sqrt{9}}\\ &=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}\\ &=-\cos 45^{\circ}\\ &=\cos \left ( 180^{\circ}-45^{\circ} \right )\\ \cos \theta &=\cos 135^{\circ}\\ \therefore \: \theta &=\color{red}135^{\circ} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: \left |\overrightarrow{a} \right |=\sqrt{6} ,\: \: (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=0\\ & \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=3.\: \textrm{Tentukanlah besar}\\ &\textrm{sudut antara}\: \: \overrightarrow{a}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Perhatikan}&\: \textrm{bahwa}\\ (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})&=0\\ \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-\left | \overrightarrow{b} \right |^{2}&=0\\ \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}&=\left | \overrightarrow{b} \right |^{2}\quad \Rightarrow \quad \left | \overrightarrow{a} \right |=\overrightarrow{b}=\sqrt{6}\\ \textrm{dan}\quad \overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=3\\ \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}&=3\\ 6-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}&=3\\ -\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}&=3-6=-3\\ \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}&=3\\ \left | \overrightarrow{a} \right |\left | \overrightarrow{b} \right |\cos \theta &=3\\ \cos \theta &=\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{6}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\ \cos \theta &=\cos 60^{\circ}\\ \therefore \: \: \theta &=\color{red}60^{\circ} \end{aligned} \end{array}$

$\color{blue}\textrm{Berikut dua contoh untuk sudut tidak istimewa}$.

$\begin{array}{ll} 11.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{a} =\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k},\: \: \textrm{dan}\\ & \vec{b}=3\vec{i}+4\vec{j}\: .\: \textrm{Tentukan sudut}\\ &\textrm{yang dibentuk oleh}\: \: \vec{a}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dik}&\textrm{etahui bahwa}\\ \triangleright \quad &\vec{a} =\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\\ &\left | \vec{a} \right |=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{9}=3\\ \triangleright \quad &\vec{b}=3\vec{i}+4\vec{j}=\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\\ &\left | \vec{b} \right |=\sqrt{3^{2}+4^{2}+0^{2}}=\sqrt{25}=5\\ \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned} \cos \theta &=\displaystyle \frac{\vec{a}\bullet \vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |}\\ \cos \theta &=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}}{3.5}=\frac{3+8+0}{15}=\frac{11}{15}\\ \cos \theta&=0,733\\ \theta &=\color{red}\arccos \left ( \displaystyle 0.733 \right )\\ &\quad \textrm{gunakan alat bantu tabel trigonometri}\\ &\quad \textrm{atau kalkulator scientific}\\ &=42,9^{\circ}\\ \textrm{Jadi}&\: \textrm{sudut antara keduanya adalah}\: \: 42,9^{\circ} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 12.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{p} =(1,2,2),\: \: \textrm{dan}\\ & \vec{q}=(3,-2,6)\: .\: \textrm{Tentukan sudut}\\ &\textrm{yang dibentuk oleh}\: \: \vec{p}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{q}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dik}&\textrm{etahui bahwa}\\ \triangleright \quad &\vec{p} =(1,2,2)=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\\ &\left | \vec{p} \right |=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{9}=3\\ \triangleright \quad &\vec{q}=(3,-2,6)=\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ 6 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\\ &\left | \vec{q} \right |=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}+6^{2}}=\sqrt{49}=7\\ \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned} \cos \theta &=\displaystyle \frac{\vec{p}\bullet \vec{q}}{\left | \vec{p} \right |\left | \vec{q} \right |}\\ \cos \theta &=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ 6 \end{pmatrix}}{3.7}=\frac{3-4+12}{21}=\frac{11}{21}\\ \cos \theta&=0,524\\ \theta &=\color{red}\arccos \left ( \displaystyle 0.524 \right )\\ &\quad \textrm{gunakan alat bantu tabel trigonometri}\\ &\quad \textrm{atau kalkulator scientific}\\ &=58,4^{\circ}\\ \textrm{Jadi}&\: \textrm{sudut antara keduanya adalah}\: \: 58,4^{\circ} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Diketahui vektor}\: \: \overrightarrow{a}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}\: \: \textrm{memiliki }\\ &\textrm{panjang masing-masing adalah 2 dan 3}\\ &\textrm{serta}\: \: \angle \left ( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right )=60^{\circ}.\: \textrm{Carilah nilai}\\ &\textrm{a}.\quad \left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |\\\\ &\textrm{b}.\quad \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\\ &\textrm{b}\quad \textrm{besar sudut antara}\\ &\qquad \left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )\: \: \textrm{dan}\: \: \left ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |^{2}\\ &=\left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )\left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )\\ &=\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{b}\\ &=\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cos 0^{\circ}+2\left |\overrightarrow{a} \right |\left |\overrightarrow{b} \right |\cos 60^{\circ}+\left | \overrightarrow{b} \right |^{2}\cos 0^{\circ}\\ &=2^{2}.1+2.2.3.\displaystyle \frac{1}{2}+3^{2}.1\\ &=4+6+9=19\\ &\textrm{Jadi, nilainya adalah}\: \: \left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |=\color{red}\sqrt{19} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |^{2}\\ &=\left ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )\left ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )\\ &=\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{b}\\ &=\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cos 0^{\circ}-2\left |\overrightarrow{a} \right |\left |\overrightarrow{b} \right |\cos 60^{\circ}+\left | \overrightarrow{b} \right |^{2}\cos 0^{\circ}\\ &=2^{2}.1-2.2.3.\displaystyle \frac{1}{2}+3^{2}.1\\ &=4-6+9=7\\ &\textrm{Jadi, nilainya adalah}\: \: \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |=\color{red}\sqrt{7} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{c}.\quad \textrm{Untuk menentukan nilai}&\\ \cos \angle \left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )&=\displaystyle \frac{\left (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right ).\left (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )}{\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |.\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |}\\ &=\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\overrightarrow{b}}{\sqrt{19}.\sqrt{7}}\\ &=\displaystyle \frac{2^{2}-3^{2}}{\sqrt{133}}=-\frac{5}{\sqrt{133}}\\ \angle \left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )&=\color{red}\arccos \left ( -\frac{5}{\sqrt{133}} \right ) \end{aligned} \end{array}$

$\color{blue}\textrm{Berikut contoh untuk bentuk sudutnya}$.

$\begin{array}{ll} 14.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{p} =(x,3,2),\: \: \textrm{dan}\\ & \vec{q}=(2,-6,3)\: .\: \textrm{Tentukan nilai}\: \: x\\ &\textrm{agar kedua vektor}\\ &\textrm{a}\quad \textrm{membentuk sudut lancip}\\ &\textrm{b}\quad \textrm{membentuk sudut siku-siku}\\ &\textrm{c}\quad \textrm{membentuk sudut tumpul}\\ &\textrm{d}\quad \textrm{sama panjang}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dik}&\textrm{etahui bahwa}\\ \triangleright \quad &\vec{p} =(x,3,2)=\begin{pmatrix} x\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\\ \triangleright \quad &\vec{q}=(2,-6,3)=\begin{pmatrix} 2\\ -6\\ 3 \end{pmatrix}\\ \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\vec{p}\bullet \vec{q}=\begin{pmatrix} x\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ -6\\ 3 \end{pmatrix}\\ &\quad =2x-18+6=2x-12\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned} \textrm{a}\quad&\textbf{Syarat lancip},\: \textrm{yaitu}:\: \vec{p}\bullet \vec{q}>0\\ &2x-12>0\Leftrightarrow 2x>12\Leftrightarrow x>6\\ \textrm{b}\quad&\textbf{Syarat siku-siku},\: \textrm{yaitu}:\: \vec{p}\bullet \vec{q}=0\\ &2x-12=0\Leftrightarrow 2x=12\Leftrightarrow x=6\\ \textrm{c}\quad&\textbf{Syarat tumpul},\: \textrm{yaitu}:\: \vec{p}\bullet \vec{q}<0\\ &2x-12<0\Leftrightarrow 2x<12\Leftrightarrow x<6\\ \textrm{d}\quad&\textbf{Syarat panjang kedua vektor sama}\\ & \textrm{yaitu}:\: \left |\vec{p} \right |= \left |\vec{q} \right |,\: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}&\sqrt{x^{2}+3^{2}+2^{2}}=\sqrt{2^{2}+(-6)^{2}+3^{2}}\\ &x^{2}+9+4=4+36+9\\ &x^{2}=36\\ &x=\pm \sqrt{36}=\pm 6\\ &\textrm{Jadi},\: \color{red}x=-6\: \: \color{black}\textrm{atau}\: \: \color{red}x=6 \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika Program IPA 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA.
2. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
3. Noormandiri, Sucipto, E. 2003. Buku Pelajaran Matematika SMU untuk Kelas 3 Program IPA. Jakarta: ERLANGGA.
4. Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT. TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI.

Aljabar-Memecahkan soal terkait permasahan Alphametic

 Dalam matematika khususnya soal-oal yang terkadang muncul dalam olimpiade matematika adalah jenis Alphametic, yaitu soal yang berupa huruf-huruf yang tersusun sedemikian rupa sehingga membentuk kata yang bermakna

Jadi kita diminta memecahkan angka pengganti huruf-huruf penyusun kata yang bermakna tersebut.

Berikut contohnya

$\begin{aligned}&\textrm{Jika setiap huruf yang sama menyatakan angka (digit)}\\ &\text{yang sama, tentukan nilia-nilai dari huruf berikut}\\ &\text{agar}\\ &\qquad\qquad\qquad \displaystyle \frac{APA}{INI}=0,MERKMERKMERK\cdots \\\end{aligned}$

Solusi:

Kita perlu mengurai agar jawaban bisa kita dapatkan, walau kadang membosankan

$\begin{aligned}&\displaystyle \frac{APA}{INI}=0,MERKMERKMERK\cdots \\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{APA}{INI}=\frac{MERK}{9999}\Leftrightarrow APA\times 9999=INI\times MERK\\ &\Leftrightarrow APA\times 9\times 11\times101=INI\times MERK\\ &\textrm{dari bentuk di atas, tampak bahwa}\quad A,I\neq 0\quad \textrm{dan}\\ &\qquad APA\lt INI\Rightarrow A\le I\\ &\textrm{Perhatikan sekali lagi bahwa untuk}\quad 9999=9\times11\times 101. \\ &\textrm{Sangat dimungkinkan}\quad INI\quad \textrm{kelipatan dari}\quad 101\Rightarrow N=0\\ &\textrm{Akibatnya}\quad INI=I0I=101\times I,\quad \textrm{sehingga}\\ &\displaystyle \frac{APA}{INI}\times 99\times 101=MERK\Leftrightarrow \displaystyle \frac{APA}{101\times I}\times 99\times 101=MERK\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{APA}{ I}\times 99=MERK\\ &\textrm{agar hasil pembagian oleh}\quad I\quad \textrm{bulat berupa}\quad MERK,\:\: \textrm{maka}\\ &\textrm{haruslah}\quad APA\quad \textrm{terbagi habis oleh}\quad I\end{aligned}$

Berikutnya adalah masih-cara coba-coba, ok kita lanjut

$\begin{aligned}&\textrm{Berangkat dari hasilnya berulang berupa}\quad MERK,\quad \textrm{dan membagi}\\&\textrm{habis}\quad 99,\quad \textrm{maka dimungkinkan nilai}\quad I\quad \textrm{adalah}:\quad3\quad \textrm{atau}\quad 9\\ &\textrm{Jika}\quad I=3, \quad \textrm{maka}\\ &\displaystyle \frac{APA}{ I}\times 99=MERK\Leftrightarrow \displaystyle \frac{APA}{ 3}\times 99=MERK\Leftrightarrow APA\times 33=MERK\\ &\textrm{perlu diingat bahwa}\quad \quad A\neq K.\quad \textrm{Selanjutnya}\\ &\left( A(101)+10P \right)\times 33=MERK\Leftrightarrow 3333A+330P=MERK,\\ &\textrm{maka, nilai}\quad A\ge 2,\quad (3 \quad \textrm{tak mungkin})\quad \textrm{sehingga nilai}\quad P\quad \textrm{adalah}:\\ &\bullet \:\:A=2,\: P=1\Rightarrow 6666+330=6996\neq MERK\:\: (\textrm{angka ada yang sama})\\ &\bullet \:\:A=2,\: P=2\Rightarrow 6666+660=7326\neq MERK\:\: \\ &\qquad (\textrm{angka ada yang sama, yaitu 2})\\ &\bullet \:\:A=2,\: P=3\Rightarrow 6666+990=7656\neq MERK\:\: (\textrm{angka ada yang sama})\\ &\bullet \:\:A=2,\: P=4\Rightarrow 6666+1320=7986= MERK\:\: (\textrm{semua berbeda})\\ &\textrm{Sehingga nilai}\\ &A=2,P=4,I=3,N=0\\ &\textrm{Dan pecahan yang dimaksudkan adalah}\\&\displaystyle \frac{APA}{INI}=\frac{242}{303}=0,798679867986\cdots =0,MERKMERKMERK\cdots \end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Tim ITB. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap 1. Bandung: LPPM ITB