Contoh Soal Polinom (Bagian 4)

$\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Jika}\: \: (m-2)\: \: \textrm{adalah faktor dari}\: \: 2m^{3}+3tm+4,\\ &\textrm{maka nilai}\: \: t\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{10}{3}&&\textrm{d}.\quad -\displaystyle \frac{3}{10}\\\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{1}{3}&\textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{3}{10}&\textrm{e}.\quad \color{red}-\displaystyle \frac{10}{3} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f(m)&=2m^{3}+3tm+4\\ f(2)&=2(2)^{3}+3t(2)+4\\ 0&=16+6t+4\\ -6t&=20\\ t&=\color{red}-\displaystyle \frac{10}{3} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{(KSM MA Kab/Kota 2015)Nilai terkecil}\: \: n\\ & \textrm{yang mengkin sehingga}\: \: n.(n+1).(n+2)\\\ & \textrm{habis dibagi 24 adalah}....\\ &\begin{array}{l}\\ \textrm{a}.\quad 1\\ \textrm{b}.\quad \color{red}2\\ \textrm{c}.\quad 3\\ \textrm{d}.\quad 4 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}k&=\displaystyle \frac{n.(n+1).(n+2)}{24}\\ &=\displaystyle \frac{n.(n+1).(n+2)}{2.(2+1).(2+2)}\\ &\textrm{maka}\: \: n=\color{red}2 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Jika polinom}\: \: f(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\\ &(x-a)(x-b)\: \: \textrm{dan}\: \: a\neq b\: ,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{sisa pembagiannya adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lllllll}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \displaystyle \frac{x-a}{a-b}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)\\\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \displaystyle \frac{x-a}{a-b}f(b)+\frac{x-a}{b-a}f(a)\\\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \displaystyle \color{red}\frac{x-b}{a-b}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)\\\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \displaystyle \frac{x-b}{a-b}f(b)+\frac{x-a}{b-a}f(a)\\\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \displaystyle \frac{x-a}{b-a}f(b)+\frac{x-a}{b-a}f(a)\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misal sisa pembagiannya}:\: \color{red}s(x)=px+q\\ &\textrm{Saat}\: \: f(x)\: \: \textrm{dibagi}\: \: (x-a)(x-b)\: \: \textrm{berarti}\\ &\bullet \quad x=a\Rightarrow s(a)=f(a)=ap+q\: ....(1)\\ &\bullet \quad x=b\Rightarrow s(b)=f(b)=bp+q\: ......(2)\\ &\textrm{Persamaan}\: \: (1)\: \: \textrm{dan}\: \: (2)\: \: \textrm{dieliminasi}\\ &\color{blue}\begin{array}{llllllll}\\ ap&+&q&=&f(a)\\ bp&+&q&=&f(b)&-\\\hline ap&-&bp&=&f(a)-f(b)\\ &&p&=&\color{purple}\displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b}& \end{array}\\ &\textrm{Dari persamaan}\: \: (1),\\ &f(a)=ap+q\\ &f(a)=a\left ( \displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \right )+q\\ &q=a\left ( \displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \right )+f(a)\\ &q=a\left ( \displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \right )+f(a)\left ( \displaystyle \frac{a-b}{a-b} \right )\\ &q=\displaystyle \frac{-bf(a)-af(b)}{a-b}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &s(x)=px+q\\ &\qquad =\left ( \displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \right )x+\left ( \displaystyle \frac{-bf(a)-af(b)}{a-b} \right )\\ &\qquad =\displaystyle \frac{f(a)x-f(b)x-bf(a)+af(b)}{a-b}\\ &\qquad =\displaystyle \frac{(x-b)f(a)+(a-x)f(b)}{a-b}\\ &\qquad =\displaystyle \frac{x-b}{a-b}f(a)+\frac{a-x}{a-b}f(b)\\ &\qquad =\color{red}\displaystyle \frac{x-b}{a-b}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Diketahui}\: \: f(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\: \: x-2\: \: \textrm{bersisa 5},\\ &\textrm{dan dibagi}\: \: x-3\: \: \textrm{bersisa 7. Jia}\: \: f(x)\: \: \\ &\textrm{dibagi oleh}\: \: x^{2}-5x+6\: \: \textrm{akan memiliki sisa}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle x-2&&\textrm{d}.\quad \color{red}\displaystyle 2x+1\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle 2x-4&\textrm{c}.\quad \displaystyle x+2&\textrm{e}.\quad 2x+3 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned}f(x)&=(x-2).h(x)+5\\ f(x)&=(x-3).h(x)+7\\ f(x)&=(x^{2}-5x+6).H(x)+s(x)\\ f(x)&=(x-2)(x-3).H(x)+px+q\\ f(2)&=(2-2)(2-3).H(x)+2p+q=5\\ &\Rightarrow \color{blue}0+2p+q=5\: \color{black}.................(1)\\ f(3)&=(3-2)(3-3).H(x)+3p+q=7\\ &\Rightarrow \color{blue}0+3p+q=7\: \color{black}.................(2)\\ \textrm{Dari}&\: \textrm{persamaan}\: \: (1)\: \: \textrm{dan}\: \: (2)\\ \color{red}\textrm{saat}\: &\color{red}\textrm{persamaan (1) dikurangi persamaan (2)}\\ &\qquad -p=-2\\ &\qquad\: \: \: \: \: \: p=2\\ &\textrm{maka}, \: \: \: q=1\\ &\textrm{Sehingga},\: \: \\ &s(x)=px+q=\color{red}2x+1\end{aligned}\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\ &\begin{aligned}&f(x)\: \: \textrm{dibagi}\: \: (x-2)\: \: \textrm{sisa}\: \: 5\: \Rightarrow f(2)=5\\ &f(x)\: \: \textrm{dibagi}\: \: (x-3)\: \: \textrm{sisa}\: \: 7\: \Rightarrow f(3)=7\\ &\textrm{maka},\\ &s(x)=\color{red}\displaystyle \frac{x-b}{a-b}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)\\ &\qquad =\color{red}\displaystyle \frac{x-3}{2-3}\color{black}(5)\color{red}+\frac{x-2}{3-2}\color{black}(7)\\ &\qquad =\displaystyle \frac{5x-15}{-1}+\frac{7x-14}{1}\\ &\qquad =15-5x+7x-14\\ &\qquad =\color{red}2x+1 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 20.&\textrm{Polinom}\: \: f(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\: \: (2x-4)\: \: \textrm{bersisa 6},\\ &\textrm{dibagi oleh}\: \: (x+4)\: \: \textrm{bersisa 24}.\\ &\textrm{Dan polinom}\: \: g(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\: \: (2x-4)\: \: \textrm{bersisa 5},\\ & \textrm{dibagi oleh}\: \: (x+4)\: \: \textrm{bersisa 2}.\\ &\textrm{Jika}\: \: h(x)=f(x).g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: h(x)\\ &\textrm{dibagi}\: \: (2x^{2}+4x-16)\: \: \textrm{akan sisa}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad -3x+24&&\textrm{d}.\quad -6x+36\\ \textrm{b}.\quad \color{red}-3x+36&\textrm{c}.\quad 6x+24&\textrm{e}.\quad 12x+3 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\textrm{Langkah pertama}\\ &\begin{aligned}f(x)&=(2x-4).h(x)_{1}+6\\ f(x)&=(x+4).h(x)_{2}+24\\ f(x)&=(2x-4)(x+4).H_{1}(x)+p_{1}x+q_{1}\\ &\textrm{Gunakanlah cara sebagai mana}\\ &\textrm{contoh soal No. 12 di atas yang}\\ \color{magenta}\textrm{Alte}&\color{magenta}\textrm{natif 2}\\ \textrm{mak}&\textrm{a}\quad p_{1}x+q_{1}=-3x+12 \end{aligned} \\ &\color{blue}\textrm{Langkah kedua}\\ &\begin{aligned}g(x)&=(2x-4).h(x)_{3}+5\\ g(x)&=(x+4).h(x)_{4}+2\\ g(x)&=(2x-4)(x+4).H_{2}(x)+p_{2}x+q_{2}\\ &\textrm{Gunakanlah cara sebagai mana}\\ &\textrm{contoh soal No. 12 di atas yang}\\ \color{magenta}\textrm{Alte}&\color{magenta}\textrm{natif 2}\\ \textrm{mak}&\textrm{a}\quad p_{2}x+q_{2}=\displaystyle \frac{1}{2}x+4 \end{aligned} \\ &\color{blue}\textrm{Langkah ketiga}\\ &\begin{aligned}&h(x)=\color{red}f(x)\times g(x)\\ &=\left ( (2x-4)(x+4)H_{1}(x)+(-3x+12) \right )\\ &\qquad\qquad\qquad \times \left ( (2x-4)(x+4)H_{2}(x)+\displaystyle \frac{1}{2}x+4 \right )\\ &\textrm{maka}\\ &\bullet \quad h(2)=\left ( 0+(-3.2+12) \right )\left ( 0+\displaystyle \frac{1}{2}.2+4 \right )=6.5=30\\ &\bullet \quad h(-4)=\left ( 0+(-3.-4+12) \right )\left ( 0+\displaystyle \frac{1}{2}.-4+4 \right )=24.2=48\\ &\textrm{Dengan pembagi}\: \: 2x^{2}+x-16,\: \textrm{maka sisanya}:\: s_{3}(x)=p_{3}x+q_{3}\\ &\textrm{saat}\: \: x=2\qquad \Rightarrow 2p+q=30\\ &\textrm{saat}\: \: x=-4\: \: \Rightarrow -4p+q=48\\ &\textrm{selanjutnya dengan eliminasi-substitusi diperoleh}\: \: p=-3,\: q=36\\ &\textrm{sehingga}\: \: s(x)=px+q=\color{red}-3x+36 \end{aligned} \end{array}$

Contoh Soal Polinom (Bagian 3)

$\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Jika polinom}\: \: 2x^{3}+7x^{2}+ax-3\\  &\textrm{mempunyai faktor}\: \: 2x-1,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{faktor linear lainnya adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad (x-3)\: \: \textrm{dan}\: \: (x+1)&&\\ \textrm{b}.\quad  \color{red}(x+3)\: \: \textrm{dan}\: \: (x+1)&&\\ \textrm{c}.\quad  (x+3)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-1)\\ \textrm{d}.\quad  (x-3)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-1)\\ \textrm{e}.\quad  (x+2)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-6) \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|}\hline  \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{2x^{3}+7x^{2}+2x-3}{(2x-1)}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}x^{2}+4x+3\quad \color{blue}\textbf{hasil}&\color{blue}\textbf{bagi}\\ \hline \quad 2x-1&2x^{3}+7x^{2}+2x-3&\\ &2x^{3}-x^{2}&-\\\hline &\: \: \:   \qquad 8x^{2}+2x-3&\\ &\: \: \:  \qquad 8x^{2}-4x&- \\\hline &\: \: \qquad\qquad\quad 6x-3\\ &\: \: \qquad\qquad\quad 6x-3&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \qquad f(x)&=2x^{3}+7x^{2}+2x-3\\ &=(2x-1)(x^{2}+4x+3)\\ &=(2x-1)\color{red}(x+1)(x+3) \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Diketahui}\: \: g(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx+6\\  &h(x)=x^{2}+x-6\: \: \textrm{adalah faktor dari}\\ &g(x)\: ,\: \textrm{Nilai}\: \: a\: \: \textrm{yang memenuhi adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad -3&&\textrm{d}.\quad 2\\ \textrm{b}.\quad  -1&\textrm{c}.\quad  1&\textrm{e}.\quad \color{red}5 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \: g(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx+6\\ &\textrm{dengan pembagi}\: \: h(x)=x^{2}+x-6\\ &\Leftrightarrow \: \: h(x)=(x+3)(x-2)\\ &\textrm{Hal ini artinya}\\ &g(-3)=2(-3)^{3}+a(-3)^{2}+b(-3)+6\\ &\: \: \: \qquad =-54+9a-3b+6=0\: ....(1)\\ &g(2)=2(2)^{3}+a(2)^{2}+b(2)+6\\ &\: \: \: \: \quad =16+4a+2b+6=0\: ..........(2)\\ &\textrm{Dengan mengeliminasi persamaan}\\ &(1)\: \: \textrm{dengan persamaan}\: \: (2),\: \textrm{maka}\\ & \end{aligned}\\ &\begin{array}{llllll} g(-3)&=&9a-3b&=&48\\ g(2)&=&4a+2b&=&-22&\\\hline (x2)&&18a-6b&=&96\\ (x3)&&12a+6b&=&-66&+\\\hline &&6a&=&30\\ &&\quad\qquad a&=&5 \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Jika}\: \: f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)\\ &\textrm{maka berikut yang bukan faktor}\\ &f(-x)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad (x-1)&&\textrm{d}.\quad (x+2)\\ \textrm{b}.\quad  (x+1)&\textrm{c}.\quad  \color{red}(x-2)&\textrm{e}.\quad (1-x) \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \: f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)\\ &\Leftrightarrow f(-x)=(-x-1)(-x+1)(-x-2)\\ &\Leftrightarrow f(-x)=(x+1)(-x+1)(x+2)\\ &\textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow f(-x)=(-x-1)(x-1)(x+2)\\ &\textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow f(-x)=(x+1)(x-1)(-x-2)\\ &\textrm{Perhatikan bahwa faktor}\\ &(x-2)\: \: \textrm{tidak akan pernah ada} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Jika}\: \: n\: \: \textrm{merupakan bilangan bulat }\\ &\textrm{positif, pernyataan berikut ini}\\ &\textrm{yang benar adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad x^{n}+1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x+1)&&\\ \textrm{b}.\quad  x^{n}+1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x-1)&&\\ \textrm{c}.\quad  x^{n}-1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x+1)\\ \textrm{d}.\quad  \color{red}x^{n}-1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x-1)\\ \textrm{e}.\quad  x^{n}+1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x+2) \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\bullet \quad x^{n}+1=(x+1)(x^{n-1}+1)-x(x^{n-2}+1)\\ &\bullet \quad x^{n}-1=\color{red}(x-1)\color{black}(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1) \end{aligned}\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 2}\\ &\begin{aligned}&\begin{array}{|c|c|l|}\hline \textrm{Polinom}&\textrm{Pembagi}&\textrm{Hasil dengan}\: \: n\: \: \textrm{positif}\\\hline x^{n}+1&x+1&f(-1)=(-1)^{n}+1=....\\\hline x^{n}+1&x-1&f(1)=(1)^{n}+1=2\\\hline x^{n}-1&x+1&f(-1)=(-1)^{n}-1=-2\\\hline x^{n}-1&\color{red}x-1&\color{red}f(1)=(1)^{n}-1=0\\\hline x^{n}+1&x+2&f(-2)=(-2)^{n}+1\neq 0\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Sebagai catatan bahwa saat}\: \: \: \displaystyle \frac{x^{n}+1}{x+1}=....\\ &\bullet \quad\textrm{ketika}\: \: n=\textrm{ganjil, maka}\: \displaystyle \frac{x^{n}+1}{x+1}=0,\: \textrm{tetapi}\\ &\bullet \quad \textrm{ketika}\: \: n=\textrm{genap, maka}\: \displaystyle \frac{x^{n}+1}{x+1}\neq 0 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Jika salah satu akar dari polinom}\\ &\: \: x^{3}+4x^{2}+x-6=0\: \: \textrm{adalah}\: \: x=1,\\  &\textrm{maka akar-akar yang lain adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 2\: \: \textrm{dan}\: \: 3&&\\ \textrm{b}.\quad  -3\: \: \textrm{dan}\: \: 2&&\\ \textrm{c}.\quad  -2\: \: \textrm{dan}\: \: 3\\ \textrm{d}.\quad  \color{red}-3\: \: \textrm{dan}\: \: -2\\ \textrm{e}.\quad  1\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{3}{2} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|}\hline  \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{x^{3}+4x^{2}+x-6}{(x-1)}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}x^{2}+5x+6\quad \color{blue}\textbf{hasil}&\color{blue}\textbf{bagi}\\ \hline \quad x-1&x^{3}+4x^{2}+x-6&\\ &x^{3}-x^{2}&-\\\hline &\: \: \:   \qquad 5x^{2}+x-6&\\ &\: \: \:  \qquad 5x^{2}-5x&- \\\hline &\: \: \qquad\qquad\quad 6x-6\\ &\: \: \qquad\qquad\quad 6x-6&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \qquad f(x)&=x^{3}+4x^{2}+x-6\\ &=(x-1)(x^{2}+5x+6)\\ &=(x-1)\color{red}(x+2)(x+3) \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$

Contoh Soal Polinom (Bagian 2)

 $\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\displaystyle \frac{f(x)}{x-2}=h(x)+\displaystyle \frac{3}{x-2}\\ &\textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{f(x)}{x-1}=h(x)+\displaystyle \frac{2}{x-1}\: ,\\ &\textrm{jika}\: \: \displaystyle \frac{f(x)}{(x-2)(x-1)}=h(x)+\displaystyle \frac{s(x)}{(x-2)(x-1)},\\ &\textrm{maka}\: \: s(x)=....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \color{red}x+1&&\textrm{d}.\quad 2x-1\\ \textrm{b}.\quad x+2&\textrm{c}.\quad 2x+1&\textrm{e}.\quad x-2\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\displaystyle \frac{f(x)}{x-2}=h(x)+\displaystyle \frac{3}{x-2}\\ &\Rightarrow f(x)=(x-2).h(x)+3\Rightarrow f(2)=3\\ &\displaystyle \frac{f(x)}{x-1}=h(x)+\displaystyle \frac{2}{x-1}\\ &\Rightarrow f(x)=(x-1).h(x)+2\Rightarrow f(1)=2\\ &\displaystyle \frac{f(x)}{(x-2)(x-1)}=h(x)+\displaystyle \frac{s(x)}{(x-2)(x-1)}\\ &\textrm{maka}\: \: \: f(x)=(x-2)(x-1).h(x)+s(x)\\ &f(x)=(x-2)(x-1).h(x)+px+q\\ &f(2)=2p+q=3\\ &f(1)=p+q=2,\\ &\textrm{sehingga dengan }\: \textrm{eliminasi akan diperoleh}\\ p&=1\quad \textrm{dan}\\ &q=1\\ &\textrm{Jadi},\quad px+q=\color{red}x+1 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Jika}\: \: x^{4}+2mx-n\: \: \textrm{dibagi}\: \: x^{2}-1\\ &\textrm{bersisa}\: \: 2x-1\: ,\textrm{maka nilai}\: \: m\\ &\textrm{dan}\: \: n\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad m=-1\: \: \textrm{dan}\: \: n=2\\ \textrm{b}.\quad m=1\: \: \textrm{dan}\: \: n=-2\\ \textrm{c}.\quad \color{red}m=1\: \: \textrm{dan}\: \: \color{red}n=2\\ \textrm{d}.\quad m=-1\: \: \textrm{dan}\: \: n=-2\\ \textrm{e}.\quad m=-2\: \: \textrm{dan}\: \: n=1\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{dengan Horner-Kino didapatkan} \end{array}$

$.\qquad\begin{cases} \textrm{Suku banyak}: & f(x)=x^{4}+2mx-n \\ \textrm{Pembagai}: & p(x)=(x-1)(x+1)=x^{2}-1 \\ &: 1\: \: \textrm{dari}\: -\frac{-1}{1},\: \: \textrm{sedang}\: \: 0=-\left ( \frac{0}{1} \right )\\ \textrm{Hasil bagi}:&h(x)=x^{2}+1\\ \textrm{Sisa bagi}:&s(x)=2mx+(1-n)=2x-1 \end{cases}$

$.\qquad \begin{aligned}&\textrm{Sehingga},\\ &\bullet \quad 2m=2\Rightarrow m=\color{red}1\\ &\bullet \quad 1-n=-1\Rightarrow n=\color{red}2 \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Jika}\: \: f(x)=x^{4}-kx^{2}+5\: \: \textrm{habis dibagi}\\ &(x-1)\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)\: \: \textrm{juga habis dibagi oleh}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \color{red}x+1&&\textrm{d}.\quad x+5\\ \textrm{b}.\quad 2x+1&\textrm{c}.\quad 3x+1&\textrm{e}.\quad 2x+5 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f(x)&=x^{4}-kx^{2}+5\\ f(1)&=(1)^{4}-k(1)^{2}+5\\ 0&=1-k+5\\ k&=6\\ f(x)&=x^{4}-6x^{2}+5\\ &=(x^{2}-1)(x^{2}-5)\\ &=(x-1)\color{red}(x+1)\color{black}(x^{2}-5) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Jika}\: \: x^{3}-12x+k\: \: \textrm{habis dibagi oleh}\\  &(x-2)\: \: \textrm{maka polinom tersebut juga }\\ &\textrm{akan dibagi habis oleh}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad x-1&&\textrm{d}.\quad x+2\\ \textrm{b}.\quad x-3&\textrm{c}.\quad x+1&\textrm{e}.\quad \color{red}x+4 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Misal}&\: \: f(x)=\color{blue}x^{3}-12x+k\\ \textrm{Saat}\: &f(2)=0\: \: (f(x)\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x-2))\\ f(2)&=2^{3}-12.2+k=0\Leftrightarrow k=16\\ \textrm{Sehin}&\textrm{gga}\: \: f(x)=x^{3}-12x+16\\ \textrm{Deng}&\textrm{an teorema faktor, yang mungkin}\\ \textrm{adala}&\textrm{h}\: \: 16=\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8,\pm 16\\ \textrm{Deng}&\textrm{an substitusi akan diperoleh}\\ f(-4)&=(-4)^{3}-12(-4)+16=0\\ \textrm{maka}&\: \: \color{red}x+4\: \: \color{black}\textrm{termasuk faktornya juga} \end{aligned} \end{array}$.

$.\: \qquad\begin{array}{|l|}\hline \textbf{Catatan}:\\\\ \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{x^{3}-12x+16}{(x-2)\color{red}(x+4)}\\ &=\displaystyle \frac{x^{3}-12x+16}{x^{2}+2x-8}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}x-2\qquad \color{blue}\textbf{hasil}&\color{blue}\textbf{bagi}\\ \hline x^{2}+2x-8&x^{3}-12x+16&\\ &x^{3}+2x^{2}-8x&-\\\hline &-2x^{2}-4x+16&\\ &-2x^{2}-4x+16&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \qquad f(x)&=x^{3}-12x+16\\ &=(x-2)^{2}\color{red}(x+4) \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Jika}\: \: (x-2)\: \: \textrm{adalah faktor dari}\\  &f(x)=2x^{3}+ax^{2}+7x+6,\\ &\textrm{maka akar lainnya adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad x+3&&\textrm{d}.\quad 2x-3\\ \textrm{b}.\quad \color{red}x-3&\textrm{c}.\quad x-1&\textrm{e}.\quad 2x+3 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Misal}&\: \: f(x)=\color{blue}2x^{3}+ax^{2}+7x+6\\ \textrm{Saat}\: &f(2)=0\: \: (f(x)\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x-2))\\ f(2)&=2.2^{3}+a.2^{2}+7.2+6=0\Leftrightarrow a=-9\\ \textrm{Sehin}&\textrm{gga}\: \: f(x)=2x^{3}-9x^{2}+7x+6\\ \textrm{Deng}&\textrm{an teorema faktor, yang mungkin}\\ \textrm{adala}&\textrm{h}\: \: \displaystyle \frac{6}{2}=\pm 1,\pm 2,\pm 3\\ \textrm{Deng}&\textrm{an substitusi akan diperoleh}\\ f(3)&=2(3)^{3}-9(3)+7.3+6=0\\ \textrm{maka}&\: \: \color{red}x-3\: \: \color{black}\textrm{termasuk faktornya juga} \end{aligned} \end{array}$.

$.\: \qquad\begin{array}{|l|}\hline \textbf{Catatan}:\\\\ \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{2x^{3}-9x^{2}+7x+6}{(x-2)\color{red}(x-3)}\\ &=\displaystyle \frac{2x^{3}-9x^{2}+7x+6}{x^{2}-5x+6}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}2x+1\qquad \color{blue}\textbf{hasil}&\color{blue}\textbf{bagi}\\ \hline x^{2}-5x+6&2x^{3}-9x^{2}+7x+6&\\ &2x^{3}-10x^{2}+12x&-\\\hline &\: \: \: \: \: \qquad x^{2}-5x+6&\\ &\: \: \: \: \: \qquad x^{2}-5x+6&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \qquad f(x)&=2x^{3}-9x^{2}+7x+6\\ &=\color{red}(2x+1)\color{black}(x-2)\color{red}(x-3) \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

Contoh Soal Polinom (Bagian 1)

 $\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika}\: \: g(x)=2x^{3}+x^{2}-x+1,\\ &\textrm{maka}\: \: g(1)=....\: \: \\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad -2&&\textrm{d}.\quad 2\\ \textrm{b}.\quad -1&\textrm{c}.\quad 1&\textrm{e}.\quad \color{red}3 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}g(x)&=2x^{3}+x^{2}-x+1\\ g(1)&=2(1)^{3}+(1)^{2}-(1)+1\\ &=2+1-1+1\\ &=\color{red}3 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: p(y)=5y^{4}+2r^{2}y^{3}+y^{2}+1\: \: \textrm{dan}\\ & q(y)=4y^{5}+3ry^{2}-3y-1\: \: \\ &\textrm{serta}\: \: p(-1)=q(-1),\: \: \textrm{maka nilai}\: \: r\\ & \textrm{sama dengan}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{3}{2}\: \: \textrm{dan}\: \: 3&&\textrm{d}.\quad -\displaystyle \frac{3}{2}\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle -\frac{3}{2}\: \: \textrm{dan}\: \: 3&\textrm{c}.\quad \color{red}\displaystyle \frac{3}{2}\: \: \textrm{dan}\: \: -3&\textrm{e}.\quad 3 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}p(-1)&=q(-1)\\ 5(-1)^{4}+2r^{2}(-1)^{3}+(-1)^{2}+1&=4(-1)^{5}+3r(-1)^{2}-3(-1)-1\\ 5-2r^{2}+1+1&=-4+3r+3-1\\ 9-3r-2r^{2}&=0\\ \displaystyle \frac{(-6-2r)(-3+2r)}{2}&=0,\qquad \textrm{ingat pemfaktoran}\\ (-3-r)(-3+2r)&=0\\ r=-3\quad \vee \quad r&=\displaystyle \frac{3}{2} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Diketahui}\: \: f(x)\: \: \textrm{berderajat}\: \: n.\\ &\textrm{Jika pembaginya berbentuk}\: \: \left ( ax^{2}+bx+c \right ),\\ &\textrm{dengan}\: \: a\neq 0,\: \: \textrm{maka hasil baginya berderajat}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad n-1&&\textrm{d}.\quad 3\\ \textrm{b}.\quad \color{red}n-2&\textrm{c}.\quad n-3&\textrm{e}.\quad 2 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Suku banyak (polinom)}\\ &=\textrm{pembagi}\times \textrm{hasil bagi}+\textrm{sisa}\\ &x^{n}+...=\left ( ax^{2}+bx+c \right )\times \color{red}\left ( x^{n-2}+... \right )\color{black}+\left (mx+n \right ) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Hasil bagi dan sisanya jika}\: \: \left (6x^{4}-3x^{2}+x-1 \right )\\ & \textrm{dibagi oleh}\: \: \left ( 2x-1 \right )\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \color{red}3x^{3}+\displaystyle \frac{3}{2}x^{2}-\displaystyle \frac{3}{4}x+\frac{1}{8}&\textrm{dan}&\color{red}-\displaystyle \frac{7}{8}\\ \textrm{b}.\quad 3x^{3}+3x^{2}-\displaystyle \frac{3}{4}x+1&\textrm{dan}&-7\\ \textrm{c}.\quad x^{3}+\displaystyle \frac{3}{2}x^{2}-3x+\frac{1}{8}&\textrm{dan}&\displaystyle \frac{7}{8}\\ \textrm{d}.\quad x^{3}+\displaystyle \frac{3}{2}x^{2}-\displaystyle \frac{3}{4}x+1&\textrm{dan}&\displaystyle \frac{1}{8}\\ \textrm{e}.\quad 3x^{3}+\displaystyle \frac{3}{2}x^{2}-\displaystyle \frac{3}{4}x-\frac{1}{8}&\textrm{dan}&-\displaystyle \frac{7}{8} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\begin{array}{rr|rrrrrrr} \color{blue}x=\frac{1}{2}&&6&0&-3&1&-1\\ &&&3&\frac{3}{2}&-\frac{3}{4}&\frac{1}{8}&+&\\\hline &&6&3&-\frac{3}{2}&\frac{1}{4}&\color{red}\boxed{-\frac{7}{8}} \end{array}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{cases} \textrm{Hasil bagi}: & \displaystyle \frac{6x^{3}+3x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}}{2}\\ &=\color{red}3x^{3}+\displaystyle \frac{3}{2}x^{2}-\displaystyle \frac{3}{4}x+\displaystyle \frac{1}{8} \\ & \\ \textrm{Sisa bagi}: & -\displaystyle \frac{7}{8} \end{cases} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Hasil bagi dan sisanya jika}\: \: \left (x^{4}-x^{3}-x^{2}+x-1 \right )\\ &\textrm{dibagi oleh}\: \: \left ( x-2 \right )\left ( x+1 \right )\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \color{red}x^{2}+1&\textrm{dan}&\color{red}2x+1\\ \textrm{b}.\quad x^{2}+1&\textrm{dan}&2x-1\\ \textrm{c}.\quad x^{2}-1&\textrm{dan}&2x+1\\ \textrm{d}.\quad x^{2}-1&\textrm{dan}&2x-1\\ \textrm{e}.\quad 2x^{2}-1&\textrm{dan}&x+1\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Dengan cara}\: \: \textbf{Horner-Kino}\: \: \textrm{diperoleh} \end{array}$

$.\qquad\begin{cases} \textrm{Suku banyak}: & f(x)=x^{4}-x^{3}-x^{2}+x-1 \\ \textrm{Pembagai}: & p(x)=(x-2)(x+1)=x^{2}-x-2 \\ &: 2\: \: \textrm{dari}\: -\frac{-2}{1},\: \: \textrm{sedang}\: \: 1=-\left ( \frac{-1}{1} \right )\\ \textrm{Hasil bagi}:&h(x)=x^{2}+1\\ \textrm{Sisa bagi}:&s(x)=2x+1 \end{cases}$

$\qquad\begin{aligned}&\textrm{Sehingga},\\ &x^{4}-x^{3}-x^{2}+x-1\\ &\qquad =\color{red}\left ( x^{2}-x-2 \right )\left ( x^{2}+1 \right )+2x+1 \end{aligned}$

Menemukan Konsep Sederhana Ketaksamaan QM-AM-GM-HM

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Dari gambar di atas, misalkan sebuah lingkaran yang berpusat di titik $S$  dengan titik $A$ dan $B$ pada lingkaran yang masih-masing memiliki koordinat $(a,0)$ dan $(b,0)$. Dari sani koordinat titik S adalah $\left ( \displaystyle \frac{a+b}{2},0 \right )$. Selain itu terdapat garis singgung lingkaran melalui sebuah titik di luar lingkaran tersebut sebagaimana ilustrasi gambar di atas yaitu titik $O(0,0)$.

$\begin{array}{|l|}\hline \begin{aligned}1.\quad TS&=BS=OS-OB=\left ( \displaystyle \frac{a+b}{2} \right )-b\\ &=\color{red}\displaystyle \displaystyle \frac{a-b}{2} \end{aligned}\\ \begin{aligned}2.\quad OT&=\sqrt{OS^{2}-TS^{2}}\\ &=\sqrt{\left ( \displaystyle \displaystyle \frac{a+b}{2} \right )^{2}-\left (\displaystyle \displaystyle \frac{a-b}{2}  \right )^{2}}\\ &=\color{red}\sqrt{ab} \end{aligned}\\ \begin{aligned}3.\quad TP&=...\\ &\textrm{Kita gunakan luas}\: \: \triangle OTS\\ &OS\times TP=OT\times TS\\ &TP=\displaystyle \frac{OT\times TS}{OS}=\sqrt{ab}\left ( \displaystyle \frac{a-b}{a+b} \right )\\ &\begin{aligned}4.\quad OP&=\sqrt{OT^{2}-PT^{2}}\\ &=\sqrt{\left ( \sqrt{ab} \right )^{2}-\left ( \sqrt{ab} \right )^{2}\left (\displaystyle \displaystyle \frac{a-b}{a+b}  \right )^{2}}\\ &=\sqrt{ab\left ( 1-\left (\displaystyle \frac{a-b}{a+}  \right )^{2} \right )}\\ &=\sqrt{ab\left ( \frac{4ab}{(a+b)^{2}} \right )}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{2ab}{a+b} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}5.\quad OK&=\sqrt{OS^{2}+SK^{2}}\\ &=\sqrt{\left ( \displaystyle \frac{a+b}{2} \right )^{2}+\left ( \displaystyle \frac{a-b}{2} \right )^{2}}\\ &=\color{red}\sqrt{\displaystyle \frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \end{aligned} \end{aligned} \\\hline  \end{array}$.

 Perhatikan bahwa dari ilustrasi gambar lingkaran beserta hal-hal yang terkait dengan lingkaran tersebut termasuk garis sinngungnya melalui sebuah titik di luar lingkaran, maka

$\begin{array}{|c|}\hline \begin{aligned}&\left | OB \right |< \left | OP \right |< \left | OT \right |< \left | OS \right |< \left | OK \right |< \left | OA \right |\\ &\textrm{maka}\\ &\color{red}b\color{black}< \color{red}\displaystyle \frac{2ab}{a+b}\color{black}<\color{red} \sqrt{ab}\color{black}<\color{red} \displaystyle \frac{a+b}{2}\color{black}< \color{red}\sqrt{\displaystyle \frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\color{black}< \color{red}b\\ &\textrm{Selanjutnya dapat dituliskan sebagai bentuk}\\ &\color{red}b\color{black}< \color{red}\displaystyle \frac{2}{\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\color{black}<\color{red} \sqrt{ab}\color{black}<\color{red} \displaystyle \frac{a+b}{2}\color{black}< \color{red}\sqrt{\displaystyle \frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\color{black}< \color{red}b \end{aligned}\\\hline  \end{array}$.

Bentuk akhir pada tabel terakhir di atas selanjutnya yang kita kenal dengan ketaksamaan HM-GM-AM-QM

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan diberikan}\: \: x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n}\\ & \textrm{bilangan real positif, maka hubungan }\\ &\textrm{ketaksamaan}\: \: \color{red}\textrm{QM-AM-GM-HM}\\ & \color{black}\textrm{dapat dituliskan}\\ &\begin{aligned}\bullet \quad&\textrm{QM}(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n})=\sqrt{\displaystyle \frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{n}}\\ &Quadratic\: Mean\: (\textrm{rata-rata kuadrat})\\ \bullet \quad&\textrm{AM}(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n})=\displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n}\\ &Arithmetic\: Mean\: (\textrm{rata-rata aritmetika})\\ \bullet \quad&\textrm{GM}(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n})=\sqrt[n]{x_{1}.x_{2}.x_{3}\cdots x_{n}}\\ &Geometric\: Mean\: (\textrm{rata-rata geometri})\\ \bullet \quad&\textrm{HM}(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n})=\displaystyle \frac{n}{\displaystyle \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}+\cdots +\frac{1}{x_{n}}}\\ &Harmonic\: Mean\: (\textrm{rata-rata harmoni}) \end{aligned} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika}\: \: a,b\: \: \textrm{bilangan real positif bahwa}\\ &(a+b)\left (\displaystyle \frac{1}{a} +\displaystyle \frac{1}{b} \right )\geq 4\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned}&(a+b)\left (\displaystyle \frac{1}{a} +\displaystyle \frac{1}{b} \right )\\ &= 1+\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\\ &= 2+\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{AM-GM}\\ &\geq 2+2\sqrt{\displaystyle \frac{a}{b}\times \frac{b}{a}}\\ &\geq  2+2.1=4\qquad \blacksquare  \end{aligned}\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 2}\\ &\begin{aligned}&(a+b)\left (\displaystyle \frac{1}{a} +\displaystyle \frac{1}{b} \right )\\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{AM-GM}\\ &\geq 2\sqrt{ab}\times \displaystyle \frac{2}{\sqrt{ab}}=4\qquad \blacksquare  \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: a,b,c\: \: \textrm{bilangan real, tunjukkan}\\ &\textrm{bahwa}\: \: a^{2}+b^{2}+y^{2}\geq ab+ac+bc\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\textrm{Dengan ketaksamaan}\: \: \textbf{AM-GM}\\ &\textrm{pada bilangan}\: \: a,b,c\: \: \textrm{bilangan real}\\ &\textrm{kita akan peroleh}\\  &\begin{array}{ll} a^{2}+b^{2}\geq 2ab&\\ a^{2}+c^{2}\geq 2ac&\\ b^{2}+c^{2}\geq 2bc&+\\\hline 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})&\geq 2ab+2ac+2bc\\ a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq ab+ac+bc\\ &\qquad\textbf{terbukti} \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Jika}\: \: a_{i}\geq 0\: ,\: i\in \left \{ 1,2,3,4 \right \}\\ &\textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\displaystyle \frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}\geq \sqrt[4]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\displaystyle \frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a_{1}+a_{2}}{2}+\frac{a_{3}+a_{4}}{2}}{2}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad \geq \displaystyle \frac{\sqrt{a_{1}a_{2}}+\sqrt{a_{3}a_{4}}}{2}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad \geq \sqrt{\sqrt{a_{1}a_{2}}.\sqrt{a_{3}a_{4}}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad = \sqrt[4]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}\qquad \blacksquare  \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bambang, S. 2012. Materi, Soal dan Penyelesaian Olimpiade Matematika Tingkat SMA/MA. Jakarta: BINA PRESTASI INSANI.
2. Leo Bocek.----. Nerovnosti a Nerovnice. dalam : https://olympiada.karlin.mff.cuni.cz/prednasky/bocek1.pdf

Persamaan Polinom

 $\color{blue}\textbf{1. Pencarian akar-akar persamaan polinom}$

Persamaan suku banyak/polinom  $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$  dengan  $n>1\: \: \textrm{dan}\: \: a_{n}\neq 0$  paling sedikit memiliki sebuah akar riil atau imajiner. Pada bahasan ini untuk mendapatkan akar-akar rasional perlu dilakukan cara coba-coba. Misalkan  $x=h$  kita pilih, selanjutnya tinggal kita buktikan bahwa apakah  $x=h$ apakah akar polinom tersebut atau tidak, jika $f(h)=0$, maka $x=h$ adalah termasuk akar dari polinom tersebut, tetapi jika tidak  atau  $f(h) \neq 0$, maka $x=h$ bukan akar yang diinginkan.

Beberapa petunjuk agar  $x=h$  terarah sebagai akar polinom

• Misalkan  $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$  dengan  $r$  adalah faktor dari  $a_{0}$, dan  $s$  adalah faktor dari  $a_{n}$, maka akar-akar rasional jika ada adalah  $x=h=\color{red}\displaystyle \frac{r}{s}$.
• Jika pada langkah pertama di atas ditemukan sebuah akar rasional katakanlah  $x=h_{1}$, maka tentukan hasil bagi  $f(x)$  dengan  $x=h_{1}$  ini. Misalkan hasil baginya adalah  $h_{1}(x)$  atau  $\color{blue}f(x)=(x-h_{1})h_{1}(x)$, maka langkah berikutnya carilah akar dari  $h_{1}(x)$ ini. Dan jika didapatkan akar dari  $h_{1}(x)$  adalah  $x=h_{2}$, maka tentukanlah hasil bagi  dari  $h_{1}(x)$  oleh  $x=h_{2}$, katakanlah hasilnya  $h_{2}(x)$, maka  $\color{blue}f(x)=(x-h_{1})(x-h_{2})h_{2}(x)$ demikian seterusnya.

$\color{blue}\textbf{2. Jumlah dan hasil kali akar-akar polinom}$

Untuk fungsi  derajat 2 maka berlaku seperti menentukan rumus jumlah dan selisih pada persamaan kuadrat. Tetapi untuk polinom berderajat tiga  $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$  saat  $f(x)=0$, maka berlaku

$\begin{aligned}f(x)&=\color{red}ax^{3}+bx^{2}+cx+d\: \: \color{black}\textrm{dengan}\\ &x_{1},\: x_{2},\: x_{3}\: \: \textrm{adalah akar-akarnya, maka}\\ \bullet \: \: &x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\displaystyle \frac{b}{a}\\ \bullet \: \: &x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\displaystyle \frac{c}{a}\\ \bullet \: \: &x_{1}\times x_{2}\times x_{3}=-\displaystyle \frac{d}{a}\\ \end{aligned}$

$\begin{aligned}\textrm{Unt}&\textrm{uk yang berderajat empat}\\ f(x)&=\color{red}ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\: \: \color{black}\textrm{saat}\: \: f(x)=0\\ &\textrm{dengan}\: \: \: x_{1},\: x_{2},\: x_{3},\: x_{4}\: \textrm{adalah akar-akarnya},\\ &\textrm{maka}\\ \bullet \: \: &x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\displaystyle \frac{b}{a}\\ \bullet \: \: &x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{3}+...+x_{3}x_{4}=\displaystyle \frac{c}{a}\\ \bullet \: \: &x_{1} x_{2} x_{3}+x_{1} x_{2} x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2} x_{3} x_{4}=-\displaystyle \frac{d}{a}\\ \bullet \: \: &x_{1} x_{2} x_{3}x_{4}=\displaystyle \frac{e}{a} \end{aligned}$

$\begin{aligned}&\color{blue}\textbf{Rumus Tambahan}\\ &\bullet \: \: \: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}\\ &\bullet \: \: \: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\ &\qquad =\left ( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right )^{2}-2\left ( x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3} \right )\\ &\bullet \: \: \: x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\\ &\qquad =\left ( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right )^{3}-3x_{1}x_{2}x_{3}\left ( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right ) \end{aligned}$

$\begin{aligned}&\color{blue}\textbf{Teorema Vieta berkaitan polinom}\\ &\textrm{Persamaan polinom berderajat}\: \: n\\ &\color{red}a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\\ &\textrm{dengan akar-akar}:\: \: \color{purple}x_{1},\: x_{2},\: x_{3},\: \cdots \: ,x_{n},\\ &\textrm{maka}:\\ &\bullet \quad x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}=\color{blue}-\displaystyle \frac{a_{n-1}}{a_{n}}\\ &\bullet \quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{2}x_{3}+\cdots +x_{n-1}x_{n}=\color{magenta}\displaystyle \frac{a_{n-2}}{a_{n}}\\ &\bullet \quad x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+\cdots +x_{n-2}x_{n-1}x_{n}=\color{blue}-\displaystyle \frac{a_{n-3}}{a_{n}}\\ &\qquad\qquad\qquad \vdots \\ &\bullet \quad x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n}=\color{magenta}(-1)^{n}.\displaystyle \frac{a_{0}}{a_{n}} \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika akar-akar dari polinom}\\ &x^{3}+2x^{2}-5x-6=0\: \: \textrm{adalah}\\ &x_{1},\: x_{2},\: \: \textrm{dan}\: \: x_{3},\: \textrm{tentukanlah nilai}\\ &\textrm{a}.\quad x_{1}+ x_{2}+ x_{3}\\ &\textrm{b}.\quad x_{1}x_{2}+ x_{1}x_{3}+ x_{2}x_{3}\\ &\textrm{c}.\quad x_{1}\times x_{2}\times x_{3}\\ &\textrm{d}.\quad x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ x_{3}^{2}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}:\: \: \color{red}x^{3}+2x^{2}-5x-6=0\\ &\textrm{dengan koefisien-koefisien variabelnya}\\ & a_{3}=1,\: a_{2}=2,\: a_{1}=-5,\: \: \textrm{dan}\: \: a_{0}=-6\\ &\textrm{Menurut}\: \: \textbf{Teorema Vieta},\: \textrm{maka}\\ &\textrm{a}.\quad x_{1}+ x_{2}+ x_{3}=-\displaystyle \frac{a_{2}}{a_{3}}=-\frac{2}{1}=\color{red}-2\\ &\textrm{b}.\quad x_{1}x_{2}+ x_{1}x_{3}+ x_{2}x_{3}=\displaystyle \frac{a_{1}}{a_{3}}=\displaystyle \frac{-5}{1}=\color{red}-5\\ &\textrm{c}.\quad x_{1}\times x_{2}\times x_{3}=-\displaystyle \frac{a_{0}}{a_{3}}=-\displaystyle \frac{-6}{1}=\color{red}6\\ &\textrm{d}.\quad x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ x_{3}^{2}\\ &\quad\quad =\left ( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right )^{2}-2\left ( x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3} \right )\\ &\quad\quad =(-2)^{2}-2(-5)=4+10=\color{red}14 \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui polinom}\: \: x^{3}+3x-1=0\\ &\textrm{dengan akar-akar}\: \: \alpha ,\: \beta ,\: \textrm{dan}\: \: \gamma \\ &\textrm{tentukanlah nilai}\: \: \alpha^{3} +\beta^{3} + \gamma^{3} \\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Pandang polinom}\: \: \color{red}x^{3}+3x-1=0\\ &\textrm{dengan}:\: a_{3}=1,\: a_{2}=0,\: a_{1}=3,\: a_{0}=-1\\ &\textrm{maka bentuk nilai dari akar-akarnya}\\ &\textrm{yaitu}:\\ &\bullet \quad \alpha ^{3}+3\alpha -1=0\: \: .......(1)\\ &\bullet \quad \beta ^{3}+3\beta -1=0\: \: .......(2)\\ &\bullet \quad \gamma ^{3}+3\gamma -1=0\: \: .......(3)\\ &\textrm{Ketika persamaan}\: \: (1)+(2)+(3)\: \: \textrm{maka}\\ &\Leftrightarrow \: \alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+3\left (\alpha +\beta +\gamma \right ) -3=0\\ &\Leftrightarrow \: \alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+3\left ( \displaystyle \frac{a_{2}}{a_{3}} \right )-3=0\\ &\Leftrightarrow \: \alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+3\left ( 0 \right )-3=0\\ &\Leftrightarrow \: \alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}=\color{red}3 \end{array}$

Daftar Pustaka

1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Kelas XI untuk SMA dan MA Program Studi Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Nugroho, P. A., Gunarto, D. 2013. Big Bank Soal+Bahas Matematika SMA/MA Kelas 1, 2, 3. Jakarta: WAHYUMEDIA.
3. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT.
4. Sunardi, Waluyo, S., Sutrisno, Subagya. 2005. Matematika 2 untuk SMA Kelas XI IPA. Jakarta: BUMI AKSARA.
5. Sukino, S., Intan, T. S., Santiago, Y. E. 2015. Pena Emas Olimpiade Sains Nasional Matematika untuk SMP Seri Kinomatika 1: Seleksi Tingkat Sekolah dan Seleksi Tingkat Kabupaten\Kota. Bandung: YRAMA WIDYA.
6. Sukino. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Lanjutan Materi Polinom (Teorema Faktor)

7. Teorema Faktor

Pada pembagian sebuah bilangan bahwa suatu bilangan dikatakan habis terbagi jika pembaginya adalah faktor dari bilangan tersebut. Sebagai misal 15 faktornya adalah: 1,3,5, dan 15. Dan pada bahasan materi tentang pemfaktoran pada persamaan kuadrat saat Anda duduk di kelas X sebagai misal  $x^{2}+x-6$ akan habis terbagi oleh  $x+3$  dan  $x-2$. Demikian juga  ketika  $x^{2}+2x-8$  akan habis terbagi oleh  $x+4$  dan  $x-2$. Selanjutnya pembagi-pembagi tersebut kita namakan sebagai faktor dari yang dibagi tersebut.

Untuk selanjutnya toerema faktor dinyatakan:

• Jika  $(x-h)$ adalah faktor dari  $f(x)$  jika dan hanya jika  $f(h)=0$
• Jika  $(ax+h)$  merupakan faktor dari  $f(x)$  jika dan hanya jika  $f\left ( \displaystyle \frac{-h}{a} \right )=0$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah apakah}\: \: (x-2)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-4)\\ &\textrm{apakah faktor dari}\: \: 2x^{3}+x^{2}-22x+24\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\\ &P(x)=2x^{3}+x^{2}-22x+24\\ &\bullet \quad x=2\Rightarrow P(2)=2.2^{3}+2^{2}-22.2+24=0\\ &\bullet \quad x=4\Rightarrow P(4)=2.4^{3}+4^{2}-22.4+24=80\neq 0\\ &\textrm{Jadi}, \: \: (x-4)\: \: \textrm{bukan faktor dari}\: \: P(x)\: \: \textrm{di atas} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah apakah}\: \: (x+1)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-1)\\ &\textrm{apakah faktor dari}\: \: x^{6}-x^{5}+x^{3}-1\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\\ &P(x)=x^{6}-x^{5}+x^{3}-1\\ &\bullet \quad x=-1\Rightarrow P(-1)=(-1)^{6}-(-1)^{5}+(-1)^{3}-1=0\\ &\bullet \quad x=1\Rightarrow P(1)=1^{6}-1^{5}+1^{3}-1=0\\ &\textrm{Jadi}, \: \: (x+1)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-1)\: \: \textrm{faktor dari}\: \: P(x)\: \: \textrm{di atas} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Faktorkanlah polinom}\: \: x^{3}-11x^{2}+30x-8\\ &\textrm{ke faktor rasional}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\\ &P(x)=x^{3}-11x^{2}+30x-8\\ &\textrm{Misalkan salah satu faktor polinom adalah}:(x-k)\\ &\textrm{maka}\: \: \color{red}k\: \: \color{black}\textrm{adalah faktor dari}\: \: \color{red}-8\color{black},\: \textrm{yaitu}:\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8\\ &\textrm{dengan mencoba-coba kita harapkan ketemu}\\ &\bullet \quad x=1\Rightarrow P(1)=1^{3}-11.1^{2}+30.1-8=12\neq 0\\ &\bullet \quad x=-1\Rightarrow P(-1)=(-1)^{3}-11.(-1)^{2}+30.(-1)-8\\ &\qquad\qquad =-66\neq 0\\ &\bullet \quad x=4\Rightarrow P(4)=4^{3}-11.4^{2}+30.4-8= \color{red}0\\ &\textrm{dengan metode sintetis Horner kita tampilkan}\\ &\begin{array}{l|llllll} 4&1&-11&30&-8&\\ &&\: \: \: \: 4&-28&8&+\\\hline &1&\: \: -7&2&\color{red}0 \end{array}\\ &\textrm{Jadi}, \: \: (x-4)\: \: \textrm{faktor dari}\: \: P(x)\: \: \textrm{di atas} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Jika diketahui}\: \: (x-2)\: \: \textrm{dan}\: \: (2x+1)\\&\textrm{adalah faktor dari}\: \: 2x^{3}+ax^{2}+bx-2\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: a\: \: \textrm{dan}\: \: b\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Misalkan polinom}\: \: P(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx-2\\ &\bullet \quad x=2\Rightarrow P(2)=2.2^{3}+a.2^{2}+b.2-2=0\\ &\qquad\qquad \Rightarrow P(2)=14+8a+2b=0\: \color{red}.......(1)\\ &\bullet \quad x=\displaystyle \frac{1}{2}\Rightarrow P\left (- \displaystyle \frac{1}{2} \right )=2\left (- \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{3}+a\left (- \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}+b\left (- \displaystyle \frac{1}{2} \right )-2=0\\ &\qquad\qquad \Rightarrow P\left (- \displaystyle \frac{1}{2} \right )=-\displaystyle \frac{2}{8}+\displaystyle \frac{a}{4}-\displaystyle \frac{b}{2}-2=0\\ &\qquad\qquad \Rightarrow P\left (- \displaystyle \frac{1}{2} \right )=a-2b=9\: \color{red}.........(2)\\ &\textrm{Dengan eliminasi diperoleh}\: \: a=-1\: \: \textrm{dan}\: \: b=-5\\ &\textrm{Jadi}, \: \: a=-1\: \: \textrm{dan}\: \: b=-5 \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&(\textbf{OSK 2016})\\ &\textrm{Misalkan}\: \: a\: \: \textrm{bilangan real sehingga polinom}\\ &P(x)=x^{4}+4x+a\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x-c)^{2}\\ &\textrm{untuk suatu bilangan real}\: \: c.\: \: \textrm{Nilai}\: \: a\\ &\textrm{yang memenuhi adalah}\: ....\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\textrm{Diketahui polinom}\: \: P(x)=x^{4}+4x+a\\ &\textrm{Dengan metode Horner sebanyak 2 kali}\\ &\textrm{yaitu}:\\ &\begin{array}{l|lllllll} c&1&0&0&4&\color{red}a\\ &&c&c^{2}&c^{3}&c^{4}+4c^{3}&+\\\hline c&1&c&c^{2}&c^{3}+4&\color{red}c^{4}+4c^{3}+a\\ &&c&2c^{2}&3c^{3}&\\\hline &1&2c&3c^{2}&\color{red}4c^{3}+4& \end{array}\\ &\textrm{Dari bentuk di atas diperoleh}\\ &\bullet \quad 4c^{3}+4=0\Rightarrow c=-1\\ &\bullet \quad c^{4}+4c^{3}+a=0\Rightarrow 1-4+a=0\Rightarrow \color{red}a=3\\  &\textrm{Jadi}, \: \: a=3\\\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\ &\textrm{Silahkan Anda coba sebagai latihan mandiri}  \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1. &\textrm{Buktikan bahwa}\: \: x+3\: \: \textrm{dan}\: \: x-8\: \: \textrm{adalah}\\ &\textrm{faktor dari polinom}\\ &f(x)=2x^{4}+6x^{3}-114x^{2}-454x-336  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2. &\textrm{Tentukan nilai}\: \: k,\: \: k\neq 0\: \: \textrm{agar}\: \: x+k\\ &\textrm{dan}\: \: x-k\: \: \textrm{keduanya adalah faktor dari}\\ &x^{3}-x^{2}-9x+9  \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 3. &\textrm{Bila}\: \: x^{2}-x-2\: \: \textrm{adalah faaktor dari}\\ &\textrm{sebuah  polinom}\\ &P(x)=6x^{4}-x^{3}+ax^{2}-6x+b\\ &\textrm{tentukanlah nilai}\: \: a+b  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4. &\textrm{Bila}\: \: x+1\: \: \textrm{dan}\: \: x-3\: \: \textrm{adalah faktor}\\ &\textrm{dari  polinom}\\ &P(x)=x^{4}+px^{3}+5x^{2}+5x+q\\ &\textrm{tentukanlah nilai}\: \: p\: \: \textrm{dan}\: \: q\: \: \textrm{serta}\\ &\textrm{dua faktor lainnya yang belum }\\ &\textrm{diketahui dari polinom tersebut}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&(\textbf{OSK 2019})\\ &\textrm{Kedua akar dari persamaan kuadrat}\\ &x^{2}-111x+k=0\: \: \textrm{adalah bilangan prima}\\ &\textrm{Nilai}\: \: k\: \: \textrm{adalah}\: ....  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 6.&(\textbf{OSK 2015})\\ &\textrm{Diketahui}\: \: a,b,c\: \: \textrm{adalah akar dari persamaan}\\ &x^{3}-5x-9x+10=0.\: \: \textrm{Jika polinom}\\ &P(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx-2015\: \: \textrm{memenuhi}\\ &P(a)=b+c,\: P(b)=a+c,\: P(c)=a+b,\\ &\textrm{maka nilai dari}\: \: A+B+C\: \: \textrm{adalah}\: ....  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7.&(\textbf{OSK 2014})\\ &\textrm{Semua bilangan bulat}\: \: n\: \: \textrm{sehingga}\\ &n^{4}-51n^{2}+225\: \: \textrm{merupakan bilangan}\\ &\textrm{prima adalah}\: ....  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 8. &\textrm{Diketahui bahwa salah satu dari penyelesaian}\\ &x^{4}-14n^{3}+54x^{2}-62x+13=0\: \: \textrm{adalah}\\ &2+\sqrt{3}.\: \: \textrm{Carilah tiga buah akar yang lain}  \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Muslim, M.S. 2020. Kumpulan Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kota/Kabupaten Tahun 2009-2019. Bandung: YRAMA WIDYA.
3. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
4. Tim Matematika. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap 1. Bandung: ITB

Lanjutan Materi Polinom (Teorema Sisa)

6. Teorema Sisa

Sebelumnya telah diketahui bahwa jika suatu polinom  $\textbf{P(x)}$ dibagi oleh  $\textbf{g(x)}$ dengan hasil bagi  $\textbf{h(x)}$  dan sisa pembagian berupa  $\textbf{s(x)}$, maka kondisi tersebut dapat dituliskan dengan

$P(x)=g(x)\times h(x)+s(x)$

Selanjutnya apabila  $\textbf{P(x)}$  berderajat  $\color{blue}n$  dibagi oleh  $\textbf{g(x)}$ berderajat  $\color{blue}m$, maka hasil bagi  $\textbf{h(x)}$  akan berderajat  $\color{blue}n-m$  dan sisa pembagian maksimum berderajat $\color{blue}m-1$.

Perhatikan kembali contoh soal sebelumnya yaitu:

Dari paparan di atas apabila disederhanakan, maka:

$\begin{aligned}\textrm{Jika}\: &\textrm{polinomial}\: \: P(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\\ \textrm{1}.\quad&g(x)=(x-a),\: \: s(x)=\color{red}P(a)\\ \textrm{2}.\quad&g(x)=(x+a),\: \: s(x)=\color{red}P(-a)\\ \textrm{3}.\quad&g(x)=(ax-b),\: \: s(x)=\color{red}P\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )\\ \textrm{4}.\quad&g(x)=(ax+b),\: \: s(x)=\color{red}P\left (- \displaystyle \frac{b}{a} \right )\\ \textrm{5}.\quad&g(x)=(x-a)(x-b)\\ &\quad s(x)=\displaystyle \frac{x-a}{b-a}\color{red}P(b)\color{black}+\frac{x-b}{a-b}\color{red}P(a)\\ \textrm{6}.\quad&g(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\\ &\quad s(x)=\displaystyle \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}\color{red}P(c)\\ &\: \qquad +\displaystyle \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}\color{red}P(b)\\ &\: \qquad +\displaystyle \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}\color{red}P(a) \end{aligned}$.

Sebagai bukti dari beberapa properti formula di atas adalah sebagai berikut

$\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Untuk formula no.1 di atas adalah:}\\ &\textrm{Pandang}:\: P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &\textrm{atau}\: \: \color{red}P(x)=(x-a).h(x)+s(x)\\ &\textrm{substitusikan}\: \: x-a=0\: \: \textrm{atau}\: \: x=a\\ &\textrm{maka akan diperoleh bentuk}\\ &P(a)=(a-a).h(a)+s(x)=0+s(x)\\ &\qquad\, =s(x)\\ &\textrm{Jadi},\: \: s(x)=P(a)\qquad \textrm{(terbukti)} \end{aligned}$.

$\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Dan untuk formula no.3 di atas adalah}:\\ &\textrm{Pandang}:\: P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &\textrm{atau}\: \: \color{red}P(x)=(ax-b).h(x)+s(x)\\ &\textrm{substitusikan}\: \: ax-b=0\: \: \textrm{atau}\: \: x=\displaystyle \frac{b}{a}\\ &\textrm{maka akan diperoleh bentuk}\\ &P\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )=\left (a\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )-b  \right ).h\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )+s(x)\\ &\qquad\quad\, =0+s(x)\\  &\textrm{Jadi},\: \: s(x)=P\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )\qquad \textrm{(terbukti)} \end{aligned}$.

$\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Untuk formula no.5 di atas}\\ &\textrm{Pandang}:\: P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &\textrm{anggap sisanya}\: \: s(x)=ux+v\\ &\textrm{atau}\\ &\color{red}P(x)=(x-a)(x-b).h(x)+ux+v\\ &\textrm{substitusikan}\: \: x-a=0\: \: \textrm{atau}\: \: x=a\\ &\textrm{maka akan diperoleh bentuk}\\ &P(a)=(a-a)(a-b).h(a)+ua+v\\ &\qquad\, =0+ua+v=ua+v\: .....(1)\\ &\textrm{Demikian pula}\\ &P(b)=(a-b)(b-b).h(b)+ub+v\\ &\qquad\, =0+ub+v=ub+v\: .....(2)\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{array}{rllll}\\ P(a)&=&ua+v\\ P(b)&=&ub+v&-\\\hline P(a)-P(b)&=&u(a-b)\\ \displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}&=&u\\ \textrm{atau}\\ u&=&\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b} \end{array}\\ &\textrm{dan}\\ &\begin{aligned}&P(a)=ua+v\\ &P(a)=\left ( \displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b} \right )a+v\\ &\Leftrightarrow  v=P(a)-\left ( \displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b} \right )a\\ &\Leftrightarrow  v=\displaystyle \frac{(a-b)}{(a-b)}P(a)-\left ( \displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b} \right )a\\ &\Leftrightarrow v=\displaystyle \frac{aP(a)-bP(a)-aP(a)+aP(b)}{a-b}\\ &\Leftrightarrow v=\displaystyle \frac{-bP(a)+aP(b)}{a-b} \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga},\\ &\begin{aligned}s(x)&=ux+v\\ &=\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}x+\displaystyle \frac{-bP(a)+aP(b)}{a-b}\\ &=\displaystyle \frac{P(a)x-P(b)x-bP(a)+aP(b)}{a-b}\\ &=\displaystyle \frac{(x-b)P(a)+(a-x)P(b)}{a-b}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{a-b}{x-b}P(a)+\frac{x-a}{b-a}P(b) \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi},\\ &s(x)=\displaystyle \frac{a-b}{x-b}P(a)+\frac{x-a}{b-a}P(b)\qquad \textrm{(terbukti)} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\colorbox{yellow}{Pembagi Linear}$.

$\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Tentukan sisa pembagian}\\ &1.\quad 12x^{4}-40x^{3}+27x^{2}+13x-6\\ &\qquad \textrm{jika dibagi oleh}\: \: \: x+1\\ &2.\quad 2x^{3}+4x^{2}-6x+7\: \: \textrm{jika dibagi}\\ &\qquad \textrm{oleh}\: \: \: x+1\\ &3.\quad 3x^{4}-5x^{2}+4\: \: \textrm{jika dibagi}\\ &\qquad \textrm{oleh}\: \: \: x^{2}+2\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}1.\quad &\textup{Polinom}\: \: P(x)=12x^{4}-40x^{3}+27x^{2}+13x-6\\ &\textrm{dibagi}\: \: x+1,\: \textrm{artinya}\\&P(-1)=12(-1)^{4}-40(-1)^{3}+27(-1)^{2}+13(-1)-6\\&\Leftrightarrow P(-1)=12+40+27-13-6=\color{red}60 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}2.\quad &\textup{Polinom}\: \: P(x)=2x^{3}+4x^{2}-6x+7\\ &\textrm{dibagi}\: \: x+1,\: \textrm{artinya}\\ &P\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )=2\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{3}+4\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}-6\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}+7\\&\Leftrightarrow P\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )=\color{red}5\frac{1}{4} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}3.\quad &\textup{Polinom}\: \: P(x)=3x^{4}-5x^{2}+4\\ &\textrm{dibagi}\: \: x^{2}+2,\: \textrm{gunakan bentuk sederhana}\\ &\textrm{misa}\: \: x^{2}=n=-2,\: \: \textrm{maka}\\ &P(-2)=3(-2)^{2}-5(-2)+4\\ &\Leftrightarrow P(-2)=12+10+4=\color{red}26 \end{aligned}  \end{array}$.

$\colorbox{yellow}{Pembagi Kuadrat}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan sisa pembagian suku banyak}\\ &\textrm{a}.\quad (3x^{3}-7x^{2}-11x+4)\: \: \textrm{oleh}\: \: (x^{2}-x-2)\\ &\textrm{b}.\quad (2x^{3}+5x^{2}-7x+3):(x^{2}-4)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &P(x)=g(x).h(x)+ax+b\\ &\textrm{dengan}\\ &P(x)=3x^{3}-7x^{2}-11x+4\\ &g(x)=x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)\\ &\textrm{maka}\\ &\color{red}3x^{3}-7x^{2}-11x+4\\ &=(x-2)(x+1).h(x)+\color{blue}ax+b\\ &\textrm{Selanjutnya kita substitusikan}\\ &\textrm{pembuat nol fungsi, yaitu}\\ &x=2\: \: \textrm{atau}\: \: x=-1,\: \: \textrm{maka}\\ &\bullet \: \: x=2\Rightarrow -22=0+2a+b\: ....(1)\\ &\bullet \: \: x=-1\Rightarrow 5=0-a+b\: ........(2)\\ &\color{red}\textrm{perhatikan eliminasi berikut}\\ &\begin{array}{rlllll}\\ 2a&+&b&=&-22\\ -a&+&b&=&5&-\\\hline 3a&&&=&-27\\ a&&&=&-9\\ \textrm{maka}&&b&=&-4\end{array}\\ &\textrm{Jadi, sisanya}=s(x)=\color{red}-9x-4 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Dengan cara yang semisal di atas}\\ &g(x)=x^{2}-4=(x-2)(x+2)\\ &\textrm{dengan}\: \:  s(x)=\color{blue}ax+b\\ &\textrm{maka}\\ &P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &\bullet \: \: x=2\Rightarrow 25=2a+b\: ......(1)\\ &\bullet \: \: x=-2\Rightarrow 21=-2a+b\: ....(2)\\ &\color{red}\textrm{perhatikan eliminasi berikut}\\ &\begin{array}{rlllll}\\ 2a&+&b&=&25\\ -2a&+&b&=&21&-\\\hline 4a&&&=&4\\ a&&&=&1\\ \textrm{maka}&&b&=&23\end{array}\\ &\textrm{Jadi, sisanya}=s(x)=\color{red}x+23 \end{aligned} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Tentukan sisa pembagian}\\ &1.\quad 3x^{4}-2x^{3}+27x^{2}+x-7\\ &\qquad \textrm{jika dibagi oleh}\: \: \: x-2\\ &2.\quad x^{3}+5x^{2}-3x-16\: \: \textrm{jika dibagi}\\ &\qquad \textrm{oleh}\: \: \: x+1\\ &3.\quad 3x^{4}-5x^{2}+4\: \: \textrm{jika dibagi}\\ &\qquad \textrm{oleh}\: \: \: x^{2}-2  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan sisa pembagian suku banyak}\\ &\textrm{a}.\quad (x^{3}-6x^{2}+3x-2): (x^{2}-3x+2)\\ &\textrm{b}.\quad (x^{3}+2x^{2}-4):(x^{2}-9)\\ &\textrm{c}.\quad (4x^{3}-x^{2}+7x+1):(x^{2}-x-2)\\ &\textrm{d}.\quad (2x^{4}-2x^{2}-7):(x^{2}+x-6)\\ &\textrm{e}.\quad (x^{3}+4x^{2}-x+2):(x^{2}+2x-3)\\ &\textrm{f}.\quad (4x^{3}-x^{2}+4x-1):(x^{2}+2x-15)\\ &\textrm{g}.\quad (2x^{3}-6x^{2}-5x+3):(2x^{2}-7x-4)\\ &\textrm{h}.\quad (x^{4}-x^{3}+5):(x^{2}+4) \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5. &\textrm{Polinom}\: \: f(x)=2x^{3}+px^{2}+qx-7\: \: \textrm{saat}\\ &\textrm{dibagi}\: \: x^{2}+2x-3\: \: \textrm{bersisa}\: \: -4x-1.\\ &\textrm{Nilai}\: \: p-q=\: .... \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 6.&(\textbf{SBMPTN 2015 Matematika IPA})\\ &\textrm{Sisa pembagian}\: \: Ax^{2014}+x^{2015}-B(x-2)^{2}\\ &\textrm{oleh}\: \: x^{2}-1\: \: \textrm{adalah}\: \: 5x-4.\: \: \textrm{Nilai}\: \: A+B=\: .... \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7. &\textrm{Suatu perusahaan mulai beroperasi 1 Juni 2016}\\ &\textrm{Pendapatan kotor tahunan perusahaan tersebut}\\ &\textrm{setelah}\: \: t\: \: \textrm{tahun adalah sebesar}\: \: x\: \: \textrm{juta rupiah}\\ &\textrm{dengan definisi fungsi}\: \: x\: \: \textrm{sebagai berikut}\\ &\qquad x=250.000+90.000t+3.000t^{2}\\ &\textrm{Tentukan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Berapa besar pendapatkan kotor perusahaan}\\ &\qquad \textrm{tersebut pada awal}\: \: \textrm{Juni 2021}?\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Setelah berapa tahun perusahaan tersebut}\\ &\qquad \textrm{akan memeperoleh pendapatan sebesar}\\ &\qquad 2.125\: \textrm{miliar rupiah}? \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 8. &\textrm{Suatu gelombang udara bergerak mendekati}\\ &\textrm{sebuah kota}.\: \textrm{Jika suhu}\: \: t\: \: \textrm{jam setelah tengah}\\ &\textrm{malam adalah}\: \: T\: \: \textrm{yang diformulasikan}\\ &\qquad T=0,01(400-40t+t^{2}),\: \: 0\leq t\leq 10\\ &\textrm{Tentukan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Berapa besar suhu di kota tersebut pada}\\ &\qquad \textrm{pukul}\: \: 05.00\: \: \textrm{pagi}?\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Pada pukul berapa suhu di kota tersebut}\\ &\qquad \textrm{mencapai}\: \: 15^{\circ}C? \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
3. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA

Ketaksamaan Muirhead

Ketaksamaan Muirhead

Diberikan  $a=(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n})$  dan   $b=(b_{1},b_{2},b_{3},\cdots ,b_{n})$ yang merupakan barisan bilangan real, dengan barisan  $a$ lebih utama dari barisan  $b$ dan selanjutnya dituliskan dengan  $a\succ b$ disebutkan demikian jika kedua barisan di atas memenuhi 3 kondisi berikut:

$\begin{aligned}1.\quad&a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\: \: \textrm{dan}\: \: b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}\\ 2.\quad&a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{k}\\ 3.\quad&a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{k},\\ &\quad \textrm{untuk tiap}\: \: k,\: \: \textrm{dengan}\: :1\leq k\leq n\:  \end{aligned}$.

Contoh:

$\begin{aligned}1.\quad&(4,0,0)\succ (3,1,0)\\ 2.\quad&(2,2,0)\succ (2,1,1)\\ 3.\quad&(2,0,0,0)\not{\succ }(1,1,0)  \end{aligned}$.

Sebagai keterangan tambahan adalah:

• Jika  $(a)\succ (b)$, maka  $\left [ a \right ]\geq \left [ b \right ]$. Kesamaan terjadi jika dan hanya jika barisan a dan b identik atau semua sama untuk nilai $x_{i}$.
• Jika  (a) barisan bilangan real positif, $(x_{n})\succ (y_{n})$, maka  $\displaystyle \sum_{sym}^{.}a_{1}^{x_{1}}a_{2}^{x_{2}}a_{3}^{x_{3}}\cdots a_{n}^{x_{n}}\geq \displaystyle \sum_{sym}^{.}a_{1}^{y_{1}}a_{2}^{y_{2}}a_{3}^{y_{3}}\cdots a_{n}^{y_{n}}$. (untuk hal terkait symetri, silahkan klik link ini)

Lanjutan Materi Operasi Vektor di Ruang (Cross Product): Perkalian Silang Dua Vektor

$\color{blue}\textrm{C. Perkalian Silang Vektor (Pengayaan)}$.

Pada ruang dimensi tiga khususnya pada vektor akan berlaku perkalian silang (cross vektor) adalah perkalian antara dua vektor yang menghasilkan vektor tunggal. Misalkan diketahui  $\vec{u}$  dan  $\vec{v}$  adalah dua vektor sembarang dan keduanya membentuk sudut  $\theta$, maka hasil kali kedua vektor tersebut adalah sebuah vektor baru dengan dinotasiakan sebagai  $\vec{u}\times \vec{v}$. Tentunya sebagai syarat kedua vektor tersebut masing-masing tidak berupa vektor nol.

Jika  $\vec{u}\times \vec{v}=\vec{c}$ , maka

$\begin{aligned}\vec{u}&\times \vec{v}=\vec{c}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \end{vmatrix}\\ &=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\vec{i}-(x_{1}z_{2}-z_{1}x_{2})\vec{j}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\vec{k} \end{aligned}$

Lalu kalau sudah demikian berapa besarnya? dan ke mana arahnya?

Besarnya adalah  $\left | \vec{u}\times \vec{v} \right |=\left | \vec{u} \right |\left | \vec{v} \right |\sin \theta$  dan arahnya tegak lurus terhadap  $\vec{u}$  dan  $\vec{v}$.

Sebagai ilustrasi perhatikanlah gambar berikut  untuk dua buah vektor sebagai misal  $\vec{a}$  dan  $\vec{b}$.

Jika putarannya dibalik, maka akan mendapatkan hasil sebagai mana ilustrasi berikut

Sehingga perlu diingat bahwa :  $\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$.

Pada hasil kali silang dua vektor berlaku

1. tidak bersifat komutatif , karena  $\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$.
2. distributif terhadap penjumlahan : $\vec{a}\times \left (\vec{b}+\vec{c} \right )=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}$.
3. pada perkalian dengan skalar : $k\left (\vec{a}\times \vec{b} \right )=\left (k\vec{a} \right )\times \vec{b}=\vec{a}\times \left ( k\vec{b} \right )$.
4. berlaku untuk sembarang vektor : $\vec{a}\times \vec{a} =0$.
5. jika kedua vektor sejajar, maka hasil kalinya adalah = 0.
6. Nilai dari perkalian kedua vektor terbut adalah sama dengan hasil luas jajar genjang.
7. Nilai dari poin 6 jika dibagi 2 akan berupa hasil luas sebuah segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.
8. berlaku identitas Lagrange : $\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |^{2}=\left | \vec{a} \right |^{2}.\left | \vec{b} \right |^{2}-\left ( \vec{a}\: \bullet \: \vec{b} \right )^{2}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{a}=4\vec{i}+3\vec{j}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}=4\vec{i}-3\vec{k}\\ &\textrm{Tentukanlah hasil}\: \: \vec{a}\times \vec{b}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}\times \vec{a}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\vec{a}&\times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \end{vmatrix}\\ &=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\vec{i}-(x_{1}z_{2}-z_{1}x_{2})\vec{j}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\vec{k}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 4 & 3 &0 \\ 4 & 0 &-3 \end{vmatrix}\\ &=(-9-0)\vec{i}-(-12-0)\vec{j}+(0-12)\vec{k}\\ &=-9\vec{i}+12\vec{j}-12\vec{k} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\vec{b}&\times \vec{a}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 4 & 0 &-3 \\ 4 & 3 &0 \end{vmatrix}\\ &=(0-(-9))\vec{i}-(0-(-12))\vec{j}+(12-0)\vec{k}\\ &=9\vec{i}-12\vec{j}+12\vec{k} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{a}=6\vec{i}+2\vec{j}+10\vec{k}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}=4\vec{i}+\vec{j}+9\vec{k}\\ &\textrm{Tentukanlah hasil}\: \: \vec{a}\times \vec{b}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}\times \vec{a}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\vec{a}&\times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \end{vmatrix}\\ &=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\vec{i}-(x_{1}z_{2}-z_{1}x_{2})\vec{j}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\vec{k}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 6 & 2 &10 \\ 4 & 1 &9 \end{vmatrix}\\ &=(18-10)\vec{i}-(54-40)\vec{j}+(6-8)\vec{k}\\ &=8\vec{i}-14\vec{j}-2\vec{k} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\vec{b}&\times \vec{a}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 4 & 1 &9 \\ 6 & 2 &10 \end{vmatrix}\\ &=(10-18)\vec{i}-(40-54)\vec{j}+(8-6)\vec{k}\\ &=-8\vec{i}+14\vec{j}+2\vec{k} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah luas segitiga}\: \: ABC\: \: \textrm{jika}\\ &\textrm{diketahui}\: \: A(2,1,-2),\: B(0,-1,0),\: \: \textrm{dan}\\ &C(-1,2,-1)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Misalkan luas segitiga}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}\left | \vec{p}\times \vec{q} \right |,\: \: \textrm{dengan}\\ &\begin{cases} \vec{p} & =\overline{AB}=\overline{OB}-\overline{OA}=\begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\ -2\\ 2 \end{pmatrix} \\ \vec{q} & =\overline{AC}=\overline{OC}-\overline{OA}=\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \end{cases}\\ &\begin{aligned}\vec{p}&\times \vec{q}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \end{vmatrix}\\ &=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\vec{i}-(x_{1}z_{2}-z_{1}x_{2})\vec{j}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\vec{k}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ -2 & -2 &2 \\ -3 & 1 &1 \end{vmatrix}\\ &=(-2-2)\vec{i}-(-2-(-6))\vec{j}+(-2-6)\vec{k}\\ &=-4\vec{i}-4\vec{j}-8\vec{k}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\left | \vec{p}\times \vec{q} \right |=\sqrt{(-4)^{2}+(-4)^{2}+(-8)^{2}}\\ &\quad\qquad =\sqrt{16+16+64}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\\ &\textrm{Maka luas segi tiganya adalah}:\\ &\textrm{luas}\: \triangle ABC=\displaystyle \frac{1}{2}\left | \vec{p}\times \vec{q} \right |=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 4\sqrt{6} \right )=\color{red}2\sqrt{6} \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT. TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI

Lanjutan Materi Operasi Vektor di Ruang (Dot Product)

 $\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Diketahui}\: \: \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 4\\ -1\\ t \end{pmatrix},\\ & \textrm{jika}\: \: \overrightarrow{p}\: \: \textrm{tegak lurus}\: \: \overrightarrow{q},\: \: \textrm{maka tentukanlah}\\ &\textrm{nilai}\: \: t\: \: \textrm{adalah}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Karena}&\: \textrm{kedua vektor tersebut saling }\\ \textrm{tegak l}& \textrm{urus maka}\\ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}&=0\\ \begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}&\begin{pmatrix} 4\\ -1\\ t \end{pmatrix}=0\\ (-2).4&+1.(-1)+3.t=0\\ -8-1&+3t=0\\ 3t&=9\\ t&=\color{red}3 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\: \: \textrm{jika}\\ &\textrm{a}.\quad \left | \overrightarrow{a} \right |=4,\: \left | \overrightarrow{b} \right |=6,\: \: \angle \left ( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right )=60^{\circ}\\ &\textrm{b}.\quad \overrightarrow{a}=2\vec{i}+\vec{j}-5\vec{k}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}=2\vec{i}-3\vec{k}\\ &\textrm{c}.\quad \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 4\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}&=\left | \overrightarrow{a} \right |\left | \overrightarrow{b} \right |\cos \angle \left ( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right )\\ &=4.6.\cos 60^{\circ}\\ &=24.\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )\\ &=12 \end{aligned}\\ &\textrm{b}.\quad \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.2+1.0+(-5).(-3)=4+15=19\\ &\textrm{c}.\quad \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0.4+(-1).(-2)+3.1=0+2+3=5 \end{array}$

$\begin{array}{ll} 8.&\textrm{Diketahui}\: \: \left |\vec{a} \right |=10,\: \left | \vec{b} \right |=3\\ & \textrm{dan}\: \: \vec{a}\bullet \vec{b}=15\sqrt{3}\: .\: \textrm{Tentukan sudut}\\ &\textrm{yang dibentuk oleh}\: \: \vec{a}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\textrm{Dari bentuk}\\ &\begin{aligned}\vec{a}\bullet \vec{b}&=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |\cos \theta \\ \textrm{dipe}&\textrm{roleh bentuk}\\ \cos \theta &=\displaystyle \frac{\vec{a}\bullet \vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |}\\ \cos \theta &=\displaystyle \frac{15\sqrt{3}}{10.3}=\frac{15}{30}\sqrt{3}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \cos \theta&=\cos 30^{\circ}\\ \theta &=\color{red}30^{\circ}\\ \textrm{Jadi}&\: \textrm{sudut antara keduanya adalah}\: \: \color{red}30^{\circ} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Tentukanlah besar sudut antara vektor}\\ &\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 2 \end{pmatrix}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\cos \theta &=\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |\left | \overrightarrow{b} \right |}\\ &=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 2 \end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}\\ &=\displaystyle \frac{-1-2+0}{\sqrt{2}\sqrt{9}}\\ &=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}\\ &=-\cos 45^{\circ}\\ &=\cos \left ( 180^{\circ}-45^{\circ} \right )\\ \cos \theta &=\cos 135^{\circ}\\ \therefore \: \theta &=\color{red}135^{\circ} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: \left |\overrightarrow{a} \right |=\sqrt{6} ,\: \: (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=0\\ & \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=3.\: \textrm{Tentukanlah besar}\\ &\textrm{sudut antara}\: \: \overrightarrow{a}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Perhatikan}&\: \textrm{bahwa}\\ (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})&=0\\ \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-\left | \overrightarrow{b} \right |^{2}&=0\\ \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}&=\left | \overrightarrow{b} \right |^{2}\quad \Rightarrow \quad \left | \overrightarrow{a} \right |=\overrightarrow{b}=\sqrt{6}\\ \textrm{dan}\quad \overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=3\\ \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}&=3\\ 6-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}&=3\\ -\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}&=3-6=-3\\ \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}&=3\\ \left | \overrightarrow{a} \right |\left | \overrightarrow{b} \right |\cos \theta &=3\\ \cos \theta &=\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{6}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\ \cos \theta &=\cos 60^{\circ}\\ \therefore \: \: \theta &=\color{red}60^{\circ} \end{aligned} \end{array}$

$\color{blue}\textrm{Berikut dua contoh untuk sudut tidak istimewa}$.

$\begin{array}{ll} 11.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{a} =\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k},\: \: \textrm{dan}\\ & \vec{b}=3\vec{i}+4\vec{j}\: .\: \textrm{Tentukan sudut}\\ &\textrm{yang dibentuk oleh}\: \: \vec{a}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dik}&\textrm{etahui bahwa}\\ \triangleright \quad &\vec{a} =\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\\ &\left | \vec{a} \right |=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{9}=3\\ \triangleright \quad &\vec{b}=3\vec{i}+4\vec{j}=\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\\ &\left | \vec{b} \right |=\sqrt{3^{2}+4^{2}+0^{2}}=\sqrt{25}=5\\ \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned} \cos \theta &=\displaystyle \frac{\vec{a}\bullet \vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |}\\ \cos \theta &=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}}{3.5}=\frac{3+8+0}{15}=\frac{11}{15}\\ \cos \theta&=0,733\\ \theta &=\color{red}\arccos \left ( \displaystyle 0.733 \right )\\ &\quad \textrm{gunakan alat bantu tabel trigonometri}\\ &\quad \textrm{atau kalkulator scientific}\\ &=42,9^{\circ}\\ \textrm{Jadi}&\: \textrm{sudut antara keduanya adalah}\: \: 42,9^{\circ} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 12.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{p} =(1,2,2),\: \: \textrm{dan}\\ & \vec{q}=(3,-2,6)\: .\: \textrm{Tentukan sudut}\\ &\textrm{yang dibentuk oleh}\: \: \vec{p}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{q}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dik}&\textrm{etahui bahwa}\\ \triangleright \quad &\vec{p} =(1,2,2)=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\\ &\left | \vec{p} \right |=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{9}=3\\ \triangleright \quad &\vec{q}=(3,-2,6)=\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ 6 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\\ &\left | \vec{q} \right |=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}+6^{2}}=\sqrt{49}=7\\ \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned} \cos \theta &=\displaystyle \frac{\vec{p}\bullet \vec{q}}{\left | \vec{p} \right |\left | \vec{q} \right |}\\ \cos \theta &=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ 6 \end{pmatrix}}{3.7}=\frac{3-4+12}{21}=\frac{11}{21}\\ \cos \theta&=0,524\\ \theta &=\color{red}\arccos \left ( \displaystyle 0.524 \right )\\ &\quad \textrm{gunakan alat bantu tabel trigonometri}\\ &\quad \textrm{atau kalkulator scientific}\\ &=58,4^{\circ}\\ \textrm{Jadi}&\: \textrm{sudut antara keduanya adalah}\: \: 58,4^{\circ} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Diketahui vektor}\: \: \overrightarrow{a}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}\: \: \textrm{memiliki }\\ &\textrm{panjang masing-masing adalah 2 dan 3}\\ &\textrm{serta}\: \: \angle \left ( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right )=60^{\circ}.\: \textrm{Carilah nilai}\\ &\textrm{a}.\quad \left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |\\\\ &\textrm{b}.\quad \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\\ &\textrm{b}\quad \textrm{besar sudut antara}\\ &\qquad \left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )\: \: \textrm{dan}\: \: \left ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |^{2}\\ &=\left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )\left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )\\ &=\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{b}\\ &=\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cos 0^{\circ}+2\left |\overrightarrow{a} \right |\left |\overrightarrow{b} \right |\cos 60^{\circ}+\left | \overrightarrow{b} \right |^{2}\cos 0^{\circ}\\ &=2^{2}.1+2.2.3.\displaystyle \frac{1}{2}+3^{2}.1\\ &=4+6+9=19\\ &\textrm{Jadi, nilainya adalah}\: \: \left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |=\color{red}\sqrt{19} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |^{2}\\ &=\left ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )\left ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )\\ &=\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{b}\\ &=\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cos 0^{\circ}-2\left |\overrightarrow{a} \right |\left |\overrightarrow{b} \right |\cos 60^{\circ}+\left | \overrightarrow{b} \right |^{2}\cos 0^{\circ}\\ &=2^{2}.1-2.2.3.\displaystyle \frac{1}{2}+3^{2}.1\\ &=4-6+9=7\\ &\textrm{Jadi, nilainya adalah}\: \: \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |=\color{red}\sqrt{7} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{c}.\quad \textrm{Untuk menentukan nilai}&\\ \cos \angle \left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )&=\displaystyle \frac{\left (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right ).\left (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )}{\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |.\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |}\\ &=\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\overrightarrow{b}}{\sqrt{19}.\sqrt{7}}\\ &=\displaystyle \frac{2^{2}-3^{2}}{\sqrt{133}}=-\frac{5}{\sqrt{133}}\\ \angle \left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )&=\color{red}\arccos \left ( -\frac{5}{\sqrt{133}} \right ) \end{aligned} \end{array}$

$\color{blue}\textrm{Berikut contoh untuk bentuk sudutnya}$.

$\begin{array}{ll} 14.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{p} =(x,3,2),\: \: \textrm{dan}\\ & \vec{q}=(2,-6,3)\: .\: \textrm{Tentukan nilai}\: \: x\\ &\textrm{agar kedua vektor}\\ &\textrm{a}\quad \textrm{membentuk sudut lancip}\\ &\textrm{b}\quad \textrm{membentuk sudut siku-siku}\\ &\textrm{c}\quad \textrm{membentuk sudut tumpul}\\ &\textrm{d}\quad \textrm{sama panjang}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dik}&\textrm{etahui bahwa}\\ \triangleright \quad &\vec{p} =(x,3,2)=\begin{pmatrix} x\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\\ \triangleright \quad &\vec{q}=(2,-6,3)=\begin{pmatrix} 2\\ -6\\ 3 \end{pmatrix}\\ \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\vec{p}\bullet \vec{q}=\begin{pmatrix} x\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ -6\\ 3 \end{pmatrix}\\ &\quad =2x-18+6=2x-12\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned} \textrm{a}\quad&\textbf{Syarat lancip},\: \textrm{yaitu}:\: \vec{p}\bullet \vec{q}>0\\ &2x-12>0\Leftrightarrow 2x>12\Leftrightarrow x>6\\ \textrm{b}\quad&\textbf{Syarat siku-siku},\: \textrm{yaitu}:\: \vec{p}\bullet \vec{q}=0\\ &2x-12=0\Leftrightarrow 2x=12\Leftrightarrow x=6\\ \textrm{c}\quad&\textbf{Syarat tumpul},\: \textrm{yaitu}:\: \vec{p}\bullet \vec{q}<0\\ &2x-12<0\Leftrightarrow 2x<12\Leftrightarrow x<6\\ \textrm{d}\quad&\textbf{Syarat panjang kedua vektor sama}\\ & \textrm{yaitu}:\: \left |\vec{p} \right |= \left |\vec{q} \right |,\: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}&\sqrt{x^{2}+3^{2}+2^{2}}=\sqrt{2^{2}+(-6)^{2}+3^{2}}\\ &x^{2}+9+4=4+36+9\\ &x^{2}=36\\ &x=\pm \sqrt{36}=\pm 6\\ &\textrm{Jadi},\: \color{red}x=-6\: \: \color{black}\textrm{atau}\: \: \color{red}x=6 \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika Program IPA 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA.
2. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
3. Noormandiri, Sucipto, E. 2003. Buku Pelajaran Matematika SMU untuk Kelas 3 Program IPA. Jakarta: ERLANGGA.
4. Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT. TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI.

Metode Horner-Kino (Lanjutan Materi Operasi Polinom)

 TAMBAHAN

Pembagian Horner - Kino

Perhatikanlah bagan berikut

Sebagai tambahan penjelasan dari bagan di atas adalah

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Dengan metode Horner, tentukanlah}\\ & \textrm{nilai suku banyak berikut ini}!\\ &\textrm{a})\quad 4x^{4}-7x^{3}+8x^{2}-2x+3\: \: \: \textrm{jika}\: \: x=2\\ &\textrm{b})\quad 2x^{5}+3x^{3}-x+1\: \: \: \textrm{jika}\: \: x=-3\\ &\textrm{c})\quad 2x^{3}+x^{2}-2x+3\: \: \: \textrm{jika}\: \: x=\displaystyle \frac{1}{3}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\\ &f(x)=\color{red}4x^{4}-7x^{3}+8x^{2}-2x+3\\ &\textbf{Cara biasa (Substitusi)}\\ &\begin{aligned}f(2)&=4(2)^{4}-7(2)^{3}+8(2)^{2}-2(2)+3\\ &=64-56+32-4+3\\ &=39\\ \textrm{Seba}&\textrm{gai catatan bahwa}:\\ &\: \textrm{Polinom}\: \: f(x)\: \: \textrm{tersebut di atas }\\ &\textrm{jika dibagi}\: (x-2)\: \textrm{bersisa 39} \end{aligned}\\ &\textbf{Cara Horner}\\ & \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Hitunglah nilai}\: \: a,\: b,\: c,\: \: \textrm{dan}\: \: d,\: \: \textrm{jika}\\ &\textrm{a})\quad -3x+4\equiv a(x-7)-b(2x-3)\\ &\textrm{b})\quad a(x-1)^{2}-b(x+4)\equiv 2x^{2}-5x-7\\ &\textrm{c})\quad 3x^{2}+2x-5\equiv (ax+1)(x+b)-c(x+1)+2(ab-c)\\ &\textrm{d})\quad x^{4}-8x^{3}+15x-20\equiv x^{4}+ax^{3}+(a+b)x^{2}+(2b-c)x+d\\ &\textrm{e})\quad \displaystyle \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+3}\equiv \displaystyle \frac{8}{x^{2}+2x-3}\\ &\textrm{f})\quad \displaystyle \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-4}\equiv \displaystyle \frac{3}{x-1}+\frac{20}{x-4}+\frac{x+17}{x^{2}-5x+4}\\ &\textrm{g})\quad \displaystyle \frac{5x-4}{x^{2}-1}\equiv \displaystyle \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}-\frac{3}{x^{2}-1}\\ &\textrm{h})\quad \displaystyle \frac{2x^{2}+x+2}{x^{3}-1}\equiv \displaystyle \frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^{2}+x+1}\\ &\textrm{i})\quad \displaystyle \frac{3x^{2}+2x-5}{x^{2}+5x+6}\equiv \displaystyle \frac{a(x-3)}{x+3}+\frac{b(x-5)}{x+2}+\frac{4c}{(x+2)(x+3)}\\ &\textrm{j})\quad x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\: \: \textrm{dengan akar-akar}\: \: x_{1}=x_{2}=-1\: \: \textrm{dan}\: \: x_{3}=-3\\ &\textrm{k})\quad x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\: \: \textrm{dengan akar-akar}\: \: 1,\: 2,\: \: \textrm{dan}\: \: 3 \end{array}$

$.\: \qquad\begin{aligned}\color{blue}\textrm{Yang diba}&\color{blue}\textrm{has hanya no. 6 d}\\ x^{4}-8x^{3}+&15x-20\\ \equiv \color{red}x^{4}\color{black}+a\color{red}x^{3}&+(a+b)\color{red}x^{2}\color{black}+(2b-c)\color{red}x\color{black}+d\\ \textrm{koefisien}\: \: \color{red}x^{4}&:\: \: 1=1\\ \textrm{koefisien}\: \: \color{red}x^{3}&:\: \: -8=a,\: \: \textrm{maka}\: \: a=-8\\ \textrm{koefisien}\: \: \color{red}x^{2}&:\: \: 0=a+b,\: \: \textrm{maka}\: \: b=-a=-(-8)=8\\ \textrm{koefisien}\: \: \color{red}x^{1}&:\: \: 15=2b-c,\: \: \textrm{maka}\: \: c=2b-15=2(8)-15=1\\ \textrm{koefisien}\: \: \color{red}x^{0}&:\: \: -20=d,\: \: \textrm{maka}\: \: d=-20\\ \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah hasil bagi dan sisanya}!\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a})\quad (3x^{3}-2x^{2}+x-4):(x-1)&\textrm{k})\quad (x^{7}+3x^{5}+1):(x^{2}-1)\\ \textrm{b})\quad (2x^{4}-3x^{3}+x^{2}-5x+3):(x-2)&\textrm{l})\quad (x^{4}-3x^{3}-5x^{2}+x-6):(x^{2}-x-2)\\ \textrm{c})\quad (3-x+4x^{2}-x^{3}):(x-3)&\textrm{m})\quad (2x^{4}-3x^{2}-x+2):(x^{2}-2x+1)\\ \textrm{d})\quad (x^{4}-x^{2}+11):(x+4)&\textrm{n})\quad (3x^{6}+4x^{4}-2x-1):(x-1)(x^{2}-4)\\ \textrm{e})\quad (x^{3}-10x+9):(x+5)&\textrm{o})\quad (x^{4}-4x^{3}+2x^{2}-x+1):(2x+1)(x^{2}-3x+2)\\ \textrm{f})\quad (2x^{3}-5x^{2}-11x+8):(3x+1)&\textrm{p})\quad (x^{7}-7x^{4}+3x):(x^{3}-4x)\\ \textrm{g})\quad (5x^{3}+11x^{2}+7x-4):(5x+1)&\textrm{q})\quad (2x^{3}+x^{2}-4x+5):(x^{2}+x+1)\\ \textrm{h})\quad (2x^{3}+5x^{2}-4x+5):(2x+3)&\textrm{r})\quad (2x^{4}+x^{3}-3x+6):(x^{2}+x+2)\\ \textrm{i})\quad (2x^{3}+7x^{2}-5x+4):(2x-1)&\textrm{s})\quad (x^{4}-3x^{2}+7x-4):(x^{2}-2x-1)\\ \textrm{j})\quad (6x^{3}-x^{2}+3):(2x-3)&\textrm{t})\quad (3x^{3}+4x-8):(3x^{2}+x+2) \end{array} \end{array}$

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Untuk pembahasan no. 3 i} \end{aligned}$

$.\qquad\begin{aligned}&\begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Pembagi}&\begin{aligned}&\textrm{Sisa}\\ &s(x)=\displaystyle \frac{7}{2} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&2x-1=2(x-\frac{1}{2}) \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Hasil bagi}\\ &\displaystyle \frac{h(x)}{2}=\frac{2x^{2}+8x-1}{2}=x^{2}+4x-\frac{1}{2}\ \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{aligned}$

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Dan untuk pembahasan no. 3 m} \end{aligned}$

$.\qquad\begin{array}{|l|l|}\hline \textrm{Pembagi}&\begin{aligned}&\textrm{Sisa}\\ &s_{2}(x-p)+s_{1}\\ &1(x-1)+0=x-1 \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}(x-p)(x-q)&=(x-1)(x-1)\\ &=(x-1)^{2} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Hasil bagi}\\ &2x^{2}+4x+3 \end{aligned}\\\hline \end{array}$

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Coba bandingkan dengan cara Horner-Kino berikut} \end{aligned}$

$.\qquad\begin{cases} \textrm{Suku banyak}: & f(x)=2x^{4}-3x^{2}-x+2 \\ \textrm{Pembagai}: & p(x)=x^{2}-2x+1 \\ &: -1\: \: \textrm{dari}\: -\frac{1}{1},\: \: \textrm{sedang}\: \: 2=-\left ( \frac{-2}{1} \right )\\ \textrm{Hasil bagi}:&h(x)=2x^{2}+4x+3\\ \textrm{Sisa bagi}:&s(x)=x-1 \end{cases}$.

$.\qquad \textrm{Sehingga},\\\\ 2x^{4}-3x^{2}-x+2=\color{red}\left ( x^{2}-2x+1 \right )\left ( 2x^{2}+4x+3 \right )+x-1$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Jika diketahui akar-akar persamaan}\: \: x^{2}+4x-5=0\\ &\textrm{juga akar-akar untuk persamaan}\: \: 2x^{3}+9x^{2}-6x-5=0,\\ &\textrm{maka akar ketiga untuk persamaan yang kedua adalah}\: ...\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ \end{array}$

$.\qquad \begin{cases} \textrm{Suku banyak}: & f(x)=2x^{3}+9x^{2}-6x-5 \\ \textrm{Pembagai}: & p(x)=x^{2}+4x-5 \\ &: 5\: \: \textrm{dari}\: -\left (\frac{-5}{1} \right ),\: \: \textrm{sedang}\: \: -4=\left ( \frac{4}{1} \right )\\ \textrm{Hasil bagi}:&h(x)=2x+1\\ \textrm{Sisa bagi}:&s(x)=0 \end{cases}$

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Sehingga}\\ &2x^{3}+9x^{2}-6x-5=\left ( x^{2}+4x-5 \right )\left ( 2x+1 \right )\\ &\textrm{Jadi, akar yang lain (yang ketiga) adalah}\\ & (2x+1)\Rightarrow x=\color{red}-\displaystyle \frac{1}{2} \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{LATIHAN SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah hasil bagi dan sisanya}!\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a})\quad (x^{7}+3x^{5}+1):(x^{2}-1)\\ \textrm{b})\quad (x^{4}-3x^{3}-5x^{2}+x-6):(x^{2}-x-2)\\ \textrm{c})\quad (2x^{3}+x^{2}-4x+5):(x^{2}+x+1)\\ \textrm{d})\quad (2x^{4}+x^{3}-3x+6):(x^{2}+x+2)\\ \textrm{e})\quad (x^{4}-3x^{2}+7x-4):(x^{2}-2x-1)\\ \textrm{f})\quad (3x^{3}+4x-8):(3x^{2}+x+2) \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: a\: \: \textrm{dan}\: \: b\: \: \textrm{bilangan bulat yang menyebabkan}\\ & x^{2}-x-1\: \: \textrm{merupakan faktor dari}\: \: ax^{3}+bx^{2}+1,\\ &\textrm{maka harga}\: \: b\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllll}\\ \textrm{a}.&-2&&&\textrm{d}.&1\\ \textrm{b}.&-1&\textrm{c}.&0&\textrm{e}.&2 \end{array}\\ &\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\qquad (\textrm{AHSME 1988})\end{array}$.

$\color{blue}\textrm{Pembagian Istimewa}$

Aturan pembagian istimewa adalah

$\begin{aligned}1.\quad &\displaystyle \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}=x^{n-1}a^{0}+x^{n-2}a^{1}+\cdots +x^{1}a^{n-2}+x^{0}a^{n-1}\\ &\qquad =\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x^{n-k}a^{k-1}\\ &\textrm{dengan suku ke}-k\: \: \textrm{hasil bagi}=\color{red}x^{n-k}a^{k-1}\\ 2.\quad&\displaystyle \frac{x^{2n}-a^{2n}}{x+a}=x^{2n-1}a^{0}-x^{2n-2}a^{1}+\cdots +x^{1}a^{2n-2}-x^{0}a^{2n-1}\\ &\qquad =\displaystyle \sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}x^{2n-k}a^{k-1}\\ &\textrm{dengan suku ke}-k\: \: \textrm{hasil bagi}=\color{red}(-1)^{k+1}x^{2n-k}a^{k-1}\\ 3.\quad&\displaystyle \frac{x^{2n+1}+a^{2n+1}}{x+a}=x^{2n}a^{0}-x^{2n-1}a^{1}+\cdots -x^{1}a^{2n-1}+x^{0}a^{2n}\\ &\qquad =\displaystyle \sum_{k=1}^{2n+1}(-1)^{k+1}x^{2n+1-k}a^{k-1}\\ &\textrm{dengan suku ke}-k\: \: \textrm{hasil bagi}=\color{red}(-1)^{k+1}x^{2n+1-k}a^{k-1} \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah hasil bagi polinom}\\ &\textrm{untuk tiap pembagian istimewa berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \left ( x^{3}-a^{3} \right ):(x-a)\\ &\textrm{b}.\quad \left ( x^{4}-a^{4} \right ):(x+a)\\ &\textrm{c}.\quad \left ( x^{5}+a^{5} \right ):(x+a)\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{\left ( x^{3}-a^{3} \right )}{(x-a)}=x^{2}+xa+a^{2}\: \: ....(\textrm{rumus}\: 1)\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{\left ( x^{4}-a^{4} \right )}{(x+a)}=x^{3}-x^{2}a+xa^{2}-a^{3}\: \: ....(\textrm{rumus}\: 2)\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{\left ( x^{5}+a^{5} \right )}{(x+a)}=x^{4}-x^{3}a+x^{2}a^{2}-xa^{3}+a^{4}\: \: ....(\textrm{rumus}\: 3) \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah hasil bagi polinom}\\ &\textrm{untuk tiap pembagian istimewa berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \left ( m^{8}-n^{8} \right ):(m+n)\\ &\textrm{b}.\quad \left ( x^{10}-y^{10} \right ):(x+y)\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{\left ( m^{8}-n^{8} \right )}{(m+n)}=m^{7}-m^{6}n+m^{5}n^{2}-\cdots +mn^{6}-n^{7}\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{\left ( x^{10}-y^{10} \right )}{(x+y)}=x^{9}-x^{8}y+x^{7}y^{2}-\cdots +xy^{8}-y^{9}\\ \end{array}$