PAS MATEMATIKA BLOG: April 2022

Contoh Soal Polinom (Bagian 4)

$\begin{array}{ll} 16. & Jika (m - 2) adalah faktor dari 2 m^{3} + 3 t m + 4, \\ maka nilai t adalah . . . . \\ \begin{array}{lll} a . \frac{10}{3} & d . - \frac{3}{10} \\ b . \frac{1}{3} & c . \frac{3}{10} & e . - \frac{10}{3} \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} f (m) & = 2 m^{3} + 3 t m + 4 \\ f (2) & = 2 (2)^{3} + 3 t (2) + 4 \\ 0 & = 16 + 6 t + 4 \\ - 6 t & = 20 \\ t & = - \frac{10}{3} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 17. & (KSM MA Kab/Kota 2015)Nilai terkecil n \\ yang mengkin sehingga n . (n + 1) . (n + 2) \\ habis dibagi 24 adalah . . . . \\ \begin{matrix} a . 1 \\ b . 2 \\ c . 3 \\ d . 4 \end{matrix} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} k & = \frac{n . (n + 1) . (n + 2)}{24} \\ = \frac{n . (n + 1) . (n + 2)}{2. (2 + 1) . (2 + 2)} \\ maka n = 2 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 18. & Jika polinom f (x) dibagi oleh \\ (x - a) (x - b) dan a \neq b, maka \\ sisa pembagiannya adalah . . . . \\ \begin{array}{lllllll} a . \frac{x - a}{a - b} f (a) + \frac{x - a}{b - a} f (b) \\ b . \frac{x - a}{a - b} f (b) + \frac{x - a}{b - a} f (a) \\ c . \frac{x - b}{a - b} f (a) + \frac{x - a}{b - a} f (b) \\ d . \frac{x - b}{a - b} f (b) + \frac{x - a}{b - a} f (a) \\ e . \frac{x - a}{b - a} f (b) + \frac{x - a}{b - a} f (a) \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Misal sisa pembagiannya : s (x) = p x + q \\ Saat f (x) dibagi (x - a) (x - b) berarti \\ ∙ x = a \Rightarrow s (a) = f (a) = a p + q . . . . (1) \\ ∙ x = b \Rightarrow s (b) = f (b) = b p + q . . . . . . (2) \\ Persamaan (1) dan (2) dieliminasi \\ \begin{array}{llllllll} a p & + & q & = & f (a) \\ b p & + & q & = & f (b) & - \\ a p & - & b p & = & f (a) - f (b) \\ p & = & \frac{f (a) - f (b)}{a - b} \end{array} \\ Dari persamaan (1), \\ f (a) = a p + q \\ f (a) = a (\frac{f (a) - f (b)}{a - b}) + q \\ q = a (\frac{f (a) - f (b)}{a - b}) + f (a) \\ q = a (\frac{f (a) - f (b)}{a - b}) + f (a) (\frac{a - b}{a - b}) \\ q = \frac{- b f (a) - a f (b)}{a - b} \\ Sehingga \\ s (x) = p x + q \\ = (\frac{f (a) - f (b)}{a - b}) x + (\frac{- b f (a) - a f (b)}{a - b}) \\ = \frac{f (a) x - f (b) x - b f (a) + a f (b)}{a - b} \\ = \frac{(x - b) f (a) + (a - x) f (b)}{a - b} \\ = \frac{x - b}{a - b} f (a) + \frac{a - x}{a - b} f (b) \\ = \frac{x - b}{a - b} f (a) + \frac{x - a}{b - a} f (b) \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 19. & Diketahui f (x) dibagi oleh x - 2 bersisa 5, \\ dan dibagi x - 3 bersisa 7. Jia f (x) \\ dibagi oleh x^{2} - 5 x + 6 akan memiliki sisa . . . . \\ \begin{array}{lll} a . x - 2 & d . 2 x + 1 \\ b . 2 x - 4 & c . x + 2 & e . 2 x + 3 \end{array} \\ Jawab : \\ Alternatif 1 \\ \begin{aligned} f (x) & = (x - 2) . h (x) + 5 \\ f (x) & = (x - 3) . h (x) + 7 \\ f (x) & = (x^{2} - 5 x + 6) . H (x) + s (x) \\ f (x) & = (x - 2) (x - 3) . H (x) + p x + q \\ f (2) & = (2 - 2) (2 - 3) . H (x) + 2 p + q = 5 \\ \Rightarrow 0 + 2 p + q = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) \\ f (3) & = (3 - 2) (3 - 3) . H (x) + 3 p + q = 7 \\ \Rightarrow 0 + 3 p + q = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) \\ Dari & persamaan (1) dan (2) \\ saat & persamaan (1) dikurangi persamaan (2) \\ - p = - 2 \\ p = 2 \\ maka, q = 1 \\ Sehingga, \\ s (x) = p x + q = 2 x + 1 \end{aligned} \\ Alternatif 2 \\ \begin{aligned} f (x) dibagi (x - 2) sisa 5 \Rightarrow f (2) = 5 \\ f (x) dibagi (x - 3) sisa 7 \Rightarrow f (3) = 7 \\ maka, \\ s (x) = \frac{x - b}{a - b} f (a) + \frac{x - a}{b - a} f (b) \\ = \frac{x - 3}{2 - 3} (5) + \frac{x - 2}{3 - 2} (7) \\ = \frac{5 x - 15}{- 1} + \frac{7 x - 14}{1} \\ = 15 - 5 x + 7 x - 14 \\ = 2 x + 1 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 20. & Polinom f (x) dibagi oleh (2 x - 4) bersisa 6, \\ dibagi oleh (x + 4) bersisa 24 . \\ Dan polinom g (x) dibagi oleh (2 x - 4) bersisa 5, \\ dibagi oleh (x + 4) bersisa 2 . \\ Jika h (x) = f (x) . g (x), maka h (x) \\ dibagi (2 x^{2} + 4 x - 16) akan sisa . . . . \\ \begin{array}{lll} a . - 3 x + 24 & d . - 6 x + 36 \\ b . - 3 x + 36 & c . 6 x + 24 & e . 12 x + 3 \end{array} \\ Jawab : \\ Langkah pertama \\ \begin{aligned} f (x) & = (2 x - 4) . h (x)_{1} + 6 \\ f (x) & = (x + 4) . h (x)_{2} + 24 \\ f (x) & = (2 x - 4) (x + 4) . H_{1} (x) + p_{1} x + q_{1} \\ Gunakanlah cara sebagai mana \\ contoh soal No. 12 di atas yang \\ Alte & natif 2 \\ mak & a p_{1} x + q_{1} = - 3 x + 12 \end{aligned} \\ Langkah kedua \\ \begin{aligned} g (x) & = (2 x - 4) . h (x)_{3} + 5 \\ g (x) & = (x + 4) . h (x)_{4} + 2 \\ g (x) & = (2 x - 4) (x + 4) . H_{2} (x) + p_{2} x + q_{2} \\ Gunakanlah cara sebagai mana \\ contoh soal No. 12 di atas yang \\ Alte & natif 2 \\ mak & a p_{2} x + q_{2} = \frac{1}{2} x + 4 \end{aligned} \\ Langkah ketiga \\ \begin{aligned} h (x) = f (x) \times g (x) \\ = ((2 x - 4) (x + 4) H_{1} (x) + (- 3 x + 12)) \\ \times ((2 x - 4) (x + 4) H_{2} (x) + \frac{1}{2} x + 4) \\ maka \\ ∙ h (2) = (0 + (- 3.2 + 12)) (0 + \frac{1}{2} .2 + 4) = 6.5 = 30 \\ ∙ h (- 4) = (0 + (- 3. - 4 + 12)) (0 + \frac{1}{2} . - 4 + 4) = 24.2 = 48 \\ Dengan pembagi 2 x^{2} + x - 16, maka sisanya : s_{3} (x) = p_{3} x + q_{3} \\ saat x = 2 \Rightarrow 2 p + q = 30 \\ saat x = - 4 \Rightarrow - 4 p + q = 48 \\ selanjutnya dengan eliminasi-substitusi diperoleh p = - 3, q = 36 \\ sehingga s (x) = p x + q = - 3 x + 36 \end{aligned} \end{array}$

Contoh Soal Polinom (Bagian 3)

$\begin{array}{ll} 11. & Jika polinom 2 x^{3} + 7 x^{2} + a x - 3 \\ mempunyai faktor 2 x - 1, maka \\ faktor linear lainnya adalah . . . . \\ \begin{array}{lll} a . (x - 3) dan (x + 1) \\ b . (x + 3) dan (x + 1) \\ c . (x + 3) dan (x - 1) \\ d . (x - 3) dan (x - 1) \\ e . (x + 2) dan (x - 6) \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{matrix} \begin{aligned} Perhatikan uraian berikut \\ \frac{2 x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 3}{(2 x - 1)} \end{aligned} \\ \begin{array}{llll} pembagi & x^{2} + 4 x + 3 hasil & bagi \\ 2 x - 1 & 2 x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 3 \\ 2 x^{3} - x^{2} & - \\ 8 x^{2} + 2 x - 3 \\ 8 x^{2} - 4 x & - \\ 6 x - 3 \\ 6 x - 3 & - \\ Sisa & 0 & (habis) \end{array} \\ \begin{aligned} ∴ f (x) & = 2 x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 3 \\ = (2 x - 1) (x^{2} + 4 x + 3) \\ = (2 x - 1) (x + 1) (x + 3) \end{aligned} \end{matrix} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 12. & Diketahui g (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x + 6 \\ h (x) = x^{2} + x - 6 adalah faktor dari \\ g (x), Nilai a yang memenuhi adalah . . . . \\ \begin{array}{lll} a . - 3 & d . 2 \\ b . - 1 & c . 1 & e . 5 \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui g (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x + 6 \\ dengan pembagi h (x) = x^{2} + x - 6 \\ \Leftrightarrow h (x) = (x + 3) (x - 2) \\ Hal ini artinya \\ g (- 3) = 2 (- 3)^{3} + a (- 3)^{2} + b (- 3) + 6 \\ = - 54 + 9 a - 3 b + 6 = 0 . . . . (1) \\ g (2) = 2 (2)^{3} + a (2)^{2} + b (2) + 6 \\ = 16 + 4 a + 2 b + 6 = 0 . . . . . . . . . . (2) \\ Dengan mengeliminasi persamaan \\ (1) dengan persamaan (2), maka \end{aligned} \\ \begin{array}{llllll} g (- 3) & = & 9 a - 3 b & = & 48 \\ g (2) & = & 4 a + 2 b & = & - 22 \\ (x 2) & 18 a - 6 b & = & 96 \\ (x 3) & 12 a + 6 b & = & - 66 & + \\ 6 a & = & 30 \\ a & = & 5 \end{array} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 13. & Jika f (x) = (x - 1) (x + 1) (x - 2) \\ maka berikut yang bukan faktor \\ f (- x) adalah . . . . \\ \begin{array}{lll} a . (x - 1) & d . (x + 2) \\ b . (x + 1) & c . (x - 2) & e . (1 - x) \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui f (x) = (x - 1) (x + 1) (x - 2) \\ \Leftrightarrow f (- x) = (- x - 1) (- x + 1) (- x - 2) \\ \Leftrightarrow f (- x) = (x + 1) (- x + 1) (x + 2) \\ atau \\ \Leftrightarrow f (- x) = (- x - 1) (x - 1) (x + 2) \\ atau \\ \Leftrightarrow f (- x) = (x + 1) (x - 1) (- x - 2) \\ Perhatikan bahwa faktor \\ (x - 2) tidak akan pernah ada \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 14. & Jika n merupakan bilangan bulat \\ positif, pernyataan berikut ini \\ yang benar adalah . . . . \\ \begin{array}{lll} a . x^{n} + 1 habis dibagi (x + 1) \\ b . x^{n} + 1 habis dibagi (x - 1) \\ c . x^{n} - 1 habis dibagi (x + 1) \\ d . x^{n} - 1 habis dibagi (x - 1) \\ e . x^{n} + 1 habis dibagi (x + 2) \end{array} \\ Jawab : \\ Alternatif 1 \\ \begin{aligned} Perhatikan bahwa \\ ∙ x^{n} + 1 = (x + 1) (x^{n - 1} + 1) - x (x^{n - 2} + 1) \\ ∙ x^{n} - 1 = (x - 1) (x^{n - 1} + x^{n - 2} + \dots + x + 1) \end{aligned} \\ Alternatif 2 \\ \begin{aligned} \begin{array}{ccl} Polinom & Pembagi & Hasil dengan n positif \\ x^{n} + 1 & x + 1 & f (- 1) = (- 1)^{n} + 1 = . . . . \\ x^{n} + 1 & x - 1 & f (1) = (1)^{n} + 1 = 2 \\ x^{n} - 1 & x + 1 & f (- 1) = (- 1)^{n} - 1 = - 2 \\ x^{n} - 1 & x - 1 & f (1) = (1)^{n} - 1 = 0 \\ x^{n} + 1 & x + 2 & f (- 2) = (- 2)^{n} + 1 \neq 0 \end{array} \\ Sebagai catatan bahwa saat \frac{x^{n} + 1}{x + 1} = . . . . \\ ∙ ketika n = ganjil, maka \frac{x^{n} + 1}{x + 1} = 0, tetapi \\ ∙ ketika n = genap, maka \frac{x^{n} + 1}{x + 1} \neq 0 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 15. & Jika salah satu akar dari polinom \\ x^{3} + 4 x^{2} + x - 6 = 0 adalah x = 1, \\ maka akar-akar yang lain adalah . . . . \\ \begin{array}{lll} a . 2 dan 3 \\ b . - 3 dan 2 \\ c . - 2 dan 3 \\ d . - 3 dan - 2 \\ e . 1 dan \frac{3}{2} \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{matrix} \begin{aligned} Perhatikan uraian berikut \\ \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{(x - 1)} \end{aligned} \\ \begin{array}{llll} pembagi & x^{2} + 5 x + 6 hasil & bagi \\ x - 1 & x^{3} + 4 x^{2} + x - 6 \\ x^{3} - x^{2} & - \\ 5 x^{2} + x - 6 \\ 5 x^{2} - 5 x & - \\ 6 x - 6 \\ 6 x - 6 & - \\ Sisa & 0 & (habis) \end{array} \\ \begin{aligned} ∴ f (x) & = x^{3} + 4 x^{2} + x - 6 \\ = (x - 1) (x^{2} + 5 x + 6) \\ = (x - 1) (x + 2) (x + 3) \end{aligned} \end{matrix} \end{array}$

Contoh Soal Polinom (Bagian 2)

$\begin{array}{ll} 6. & Diketahui bahwa \\ \frac{f (x)}{x - 2} = h (x) + \frac{3}{x - 2} \\ dan \frac{f (x)}{x - 1} = h (x) + \frac{2}{x - 1}, \\ jika \frac{f (x)}{(x - 2) (x - 1)} = h (x) + \frac{s (x)}{(x - 2) (x - 1)}, \\ maka s (x) = . . . . \\ \begin{array}{lll} a . x + 1 & d . 2 x - 1 \\ b . x + 2 & c . 2 x + 1 & e . x - 2 \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \frac{f (x)}{x - 2} = h (x) + \frac{3}{x - 2} \\ \Rightarrow f (x) = (x - 2) . h (x) + 3 \Rightarrow f (2) = 3 \\ \frac{f (x)}{x - 1} = h (x) + \frac{2}{x - 1} \\ \Rightarrow f (x) = (x - 1) . h (x) + 2 \Rightarrow f (1) = 2 \\ \frac{f (x)}{(x - 2) (x - 1)} = h (x) + \frac{s (x)}{(x - 2) (x - 1)} \\ maka f (x) = (x - 2) (x - 1) . h (x) + s (x) \\ f (x) = (x - 2) (x - 1) . h (x) + p x + q \\ f (2) = 2 p + q = 3 \\ f (1) = p + q = 2, \\ sehingga dengan eliminasi akan diperoleh \\ p & = 1 dan \\ q = 1 \\ Jadi, p x + q = x + 1 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 7. & Jika x^{4} + 2 m x - n dibagi x^{2} - 1 \\ bersisa 2 x - 1, maka nilai m \\ dan n adalah . . . . \\ \begin{array}{lll} a . m = - 1 dan n = 2 \\ b . m = 1 dan n = - 2 \\ c . m = 1 dan n = 2 \\ d . m = - 1 dan n = - 2 \\ e . m = - 2 dan n = 1 \end{array} \\ Jawab : \\ dengan Horner-Kino didapatkan \end{array}$

. {\begin{cases} Suku banyak : & f (x) = x^{4} + 2 m x - n \\ Pembagai : & p (x) = (x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1 \\ : 1 dari - \frac{- 1}{1}, sedang 0 = - (\frac{0}{1}) \\ Hasil bagi : & h (x) = x^{2} + 1 \\ Sisa bagi : & s (x) = 2 m x + (1 - n) = 2 x - 1 \end{cases}

. \begin{aligned} Sehingga, \\ ∙ 2 m = 2 \Rightarrow m = 1 \\ ∙ 1 - n = - 1 \Rightarrow n = 2 \end{aligned}

\begin{array}{ll} 8. & Jika f (x) = x^{4} - k x^{2} + 5 habis dibagi \\ (x - 1) maka f (x) juga habis dibagi oleh . . . . \\ \begin{array}{lll} a . x + 1 & d . x + 5 \\ b . 2 x + 1 & c . 3 x + 1 & e . 2 x + 5 \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} f (x) & = x^{4} - k x^{2} + 5 \\ f (1) & = (1)^{4} - k (1)^{2} + 5 \\ 0 & = 1 - k + 5 \\ k & = 6 \\ f (x) & = x^{4} - 6 x^{2} + 5 \\ = (x^{2} - 1) (x^{2} - 5) \\ = (x - 1) (x + 1) (x^{2} - 5) \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 9. & Jika x^{3} - 12 x + k habis dibagi oleh \\ (x - 2) maka polinom tersebut juga \\ akan dibagi habis oleh . . . . \\ \begin{array}{lll} a . x - 1 & d . x + 2 \\ b . x - 3 & c . x + 1 & e . x + 4 \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Misal & f (x) = x^{3} - 12 x + k \\ Saat & f (2) = 0 (f (x) habis dibagi (x - 2)) \\ f (2) & = 2^{3} - 12.2 + k = 0 \Leftrightarrow k = 16 \\ Sehin & gga f (x) = x^{3} - 12 x + 16 \\ Deng & an teorema faktor, yang mungkin \\ adala & h 16 = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16 \\ Deng & an substitusi akan diperoleh \\ f (- 4) & = (- 4)^{3} - 12 (- 4) + 16 = 0 \\ maka & x + 4 termasuk faktornya juga \end{aligned} \end{array}

. \begin{array}{l} Catatan : \\ \begin{aligned} Perhatikan uraian berikut \\ \frac{x^{3} - 12 x + 16}{(x - 2) (x + 4)} \\ = \frac{x^{3} - 12 x + 16}{x^{2} + 2 x - 8} \end{aligned} \\ \begin{array}{llll} pembagi & x - 2 hasil & bagi \\ x^{2} + 2 x - 8 & x^{3} - 12 x + 16 \\ x^{3} + 2 x^{2} - 8 x & - \\ - 2 x^{2} - 4 x + 16 \\ - 2 x^{2} - 4 x + 16 & - \\ Sisa & 0 & (habis) \end{array} \\ \begin{aligned} ∴ f (x) & = x^{3} - 12 x + 16 \\ = (x - 2)^{2} (x + 4) \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 10. & Jika (x - 2) adalah faktor dari \\ f (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + 7 x + 6, \\ maka akar lainnya adalah . . . . \\ \begin{array}{lll} a . x + 3 & d . 2 x - 3 \\ b . x - 3 & c . x - 1 & e . 2 x + 3 \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Misal & f (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + 7 x + 6 \\ Saat & f (2) = 0 (f (x) habis dibagi (x - 2)) \\ f (2) & = {2.2}^{3} + a {.2}^{2} + 7.2 + 6 = 0 \Leftrightarrow a = - 9 \\ Sehin & gga f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 7 x + 6 \\ Deng & an teorema faktor, yang mungkin \\ adala & h \frac{6}{2} = \pm 1, \pm 2, \pm 3 \\ Deng & an substitusi akan diperoleh \\ f (3) & = 2 (3)^{3} - 9 (3) + 7.3 + 6 = 0 \\ maka & x - 3 termasuk faktornya juga \end{aligned} \end{array}

. \begin{array}{l} Catatan : \\ \begin{aligned} Perhatikan uraian berikut \\ \frac{2 x^{3} - 9 x^{2} + 7 x + 6}{(x - 2) (x - 3)} \\ = \frac{2 x^{3} - 9 x^{2} + 7 x + 6}{x^{2} - 5 x + 6} \end{aligned} \\ \begin{array}{llll} pembagi & 2 x + 1 hasil & bagi \\ x^{2} - 5 x + 6 & 2 x^{3} - 9 x^{2} + 7 x + 6 \\ 2 x^{3} - 10 x^{2} + 12 x & - \\ x^{2} - 5 x + 6 \\ x^{2} - 5 x + 6 & - \\ Sisa & 0 & (habis) \end{array} \\ \begin{aligned} ∴ f (x) & = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 7 x + 6 \\ = (2 x + 1) (x - 2) (x - 3) \end{aligned} \end{array}

Contoh Soal Polinom (Bagian 1)

$\begin{array}{ll} 1. & Jika g (x) = 2 x^{3} + x^{2} - x + 1, \\ maka g (1) = . . . . \\ \begin{array}{lll} a . - 2 & d . 2 \\ b . - 1 & c . 1 & e . 3 \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} g (x) & = 2 x^{3} + x^{2} - x + 1 \\ g (1) & = 2 (1)^{3} + (1)^{2} - (1) + 1 \\ = 2 + 1 - 1 + 1 \\ = 3 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 2. & Jika p (y) = 5 y^{4} + 2 r^{2} y^{3} + y^{2} + 1 dan \\ q (y) = 4 y^{5} + 3 r y^{2} - 3 y - 1 \\ serta p (- 1) = q (- 1), maka nilai r \\ sama dengan . . . . \\ \begin{array}{lll} a . \frac{3}{2} dan 3 & d . - \frac{3}{2} \\ b . - \frac{3}{2} dan 3 & c . \frac{3}{2} dan - 3 & e . 3 \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} p (- 1) & = q (- 1) \\ 5 (- 1)^{4} + 2 r^{2} (- 1)^{3} + (- 1)^{2} + 1 & = 4 (- 1)^{5} + 3 r (- 1)^{2} - 3 (- 1) - 1 \\ 5 - 2 r^{2} + 1 + 1 & = - 4 + 3 r + 3 - 1 \\ 9 - 3 r - 2 r^{2} & = 0 \\ \frac{(- 6 - 2 r) (- 3 + 2 r)}{2} & = 0, ingat pemfaktoran \\ (- 3 - r) (- 3 + 2 r) & = 0 \\ r = - 3 \lor r & = \frac{3}{2} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 3. & Diketahui f (x) berderajat n . \\ Jika pembaginya berbentuk (a x^{2} + b x + c), \\ dengan a \neq 0, maka hasil baginya berderajat . . . . \\ \begin{array}{lll} a . n - 1 & d . 3 \\ b . n - 2 & c . n - 3 & e . 2 \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Suku banyak (polinom) \\ = pembagi \times hasil bagi + sisa \\ x^{n} + . . . = (a x^{2} + b x + c) \times (x^{n - 2} + . . .) + (m x + n) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 4. & Hasil bagi dan sisanya jika (6 x^{4} - 3 x^{2} + x - 1) \\ dibagi oleh (2 x - 1) adalah . . . . \\ \begin{array}{lll} a . 3 x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{3}{4} x + \frac{1}{8} & dan & - \frac{7}{8} \\ b . 3 x^{3} + 3 x^{2} - \frac{3}{4} x + 1 & dan & - 7 \\ c . x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 3 x + \frac{1}{8} & dan & \frac{7}{8} \\ d . x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{3}{4} x + 1 & dan & \frac{1}{8} \\ e . 3 x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{3}{4} x - \frac{1}{8} & dan & - \frac{7}{8} \end{array} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \begin{array}{rrrrrrrrr} x = \frac{1}{2} & 6 & 0 & - 3 & 1 & - 1 \\ 3 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{4} & \frac{1}{8} & + \\ 6 & 3 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{4} & - \frac{7}{8} \end{array} \\ Selanjutnya \\ {\begin{cases} Hasil bagi : & \frac{6 x^{3} + 3 x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{1}{4}}{2} \\ = 3 x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{3}{4} x + \frac{1}{8} \\ Sisa bagi : & - \frac{7}{8} \end{cases} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 5. & Hasil bagi dan sisanya jika (x^{4} - x^{3} - x^{2} + x - 1) \\ dibagi oleh (x - 2) (x + 1) adalah . . . . \\ \begin{array}{lll} a . x^{2} + 1 & dan & 2 x + 1 \\ b . x^{2} + 1 & dan & 2 x - 1 \\ c . x^{2} - 1 & dan & 2 x + 1 \\ d . x^{2} - 1 & dan & 2 x - 1 \\ e . 2 x^{2} - 1 & dan & x + 1 \end{array} \\ Jawab : \\ Dengan cara Horner-Kino diperoleh \end{array}$

. {\begin{cases} Suku banyak : & f (x) = x^{4} - x^{3} - x^{2} + x - 1 \\ Pembagai : & p (x) = (x - 2) (x + 1) = x^{2} - x - 2 \\ : 2 dari - \frac{- 2}{1}, sedang 1 = - (\frac{- 1}{1}) \\ Hasil bagi : & h (x) = x^{2} + 1 \\ Sisa bagi : & s (x) = 2 x + 1 \end{cases}

$\begin{aligned} Sehingga, \\ x^{4} - x^{3} - x^{2} + x - 1 \\ = (x^{2} - x - 2) (x^{2} + 1) + 2 x + 1 \end{aligned}$

Menemukan Konsep Sederhana Ketaksamaan QM-AM-GM-HM

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Dari gambar di atas, misalkan sebuah lingkaran yang berpusat di titik

S

dengan titik

A

dan

B

pada lingkaran yang masih-masing memiliki koordinat

(a, 0)

dan

(b, 0)

. Dari sani koordinat titik S adalah

(\frac{a + b}{2}, 0)

. Selain itu terdapat garis singgung lingkaran melalui sebuah titik di luar lingkaran tersebut sebagaimana ilustrasi gambar di atas yaitu titik

O (0, 0)

\begin{array}{l} \begin{aligned} 1. T S & = B S = O S - O B = (\frac{a + b}{2}) - b \\ = \frac{a - b}{2} \end{aligned} \\ \begin{aligned} 2. O T & = \sqrt{O S^{2} - T S^{2}} \\ = \sqrt{{(\frac{a + b}{2})}^{2} - {(\frac{a - b}{2})}^{2}} \\ = \sqrt{a b} \end{aligned} \\ \begin{aligned} 3. T P & = . . . \\ Kita gunakan luas △ O T S \\ O S \times T P = O T \times T S \\ T P = \frac{O T \times T S}{O S} = \sqrt{a b} (\frac{a - b}{a + b}) \\ \begin{aligned} 4. O P & = \sqrt{O T^{2} - P T^{2}} \\ = \sqrt{{(\sqrt{a b})}^{2} - {(\sqrt{a b})}^{2} {(\frac{a - b}{a + b})}^{2}} \\ = \sqrt{a b (1 - {(\frac{a - b}{a +})}^{2})} \\ = \sqrt{a b (\frac{4 a b}{(a + b)^{2}})} \\ = \frac{2 a b}{a + b} \end{aligned} \\ \begin{aligned} 5. O K & = \sqrt{O S^{2} + S K^{2}} \\ = \sqrt{{(\frac{a + b}{2})}^{2} + {(\frac{a - b}{2})}^{2}} \\ = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \end{aligned} \end{aligned} \end{array}

Perhatikan bahwa dari ilustrasi gambar lingkaran beserta hal-hal yang terkait dengan lingkaran tersebut termasuk garis sinngungnya melalui sebuah titik di luar lingkaran, maka

\begin{matrix} \begin{aligned} | O B | < | O P | < | O T | < | O S | < | O K | < | O A | \\ maka \\ b < \frac{2 a b}{a + b} < \sqrt{a b} < \frac{a + b}{2} < \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} < b \\ Selanjutnya dapat dituliskan sebagai bentuk \\ b < \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} < \sqrt{a b} < \frac{a + b}{2} < \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} < b \end{aligned} \end{matrix}

Bentuk akhir pada tabel terakhir di atas selanjutnya yang kita kenal dengan ketaksamaan HM-GM-AM-QM

\begin{aligned} Misalkan diberikan x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n} \\ bilangan real positif, maka hubungan \\ ketaksamaan QM-AM-GM-HM \\ dapat dituliskan \\ \begin{aligned} ∙ & QM (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}) = \sqrt{\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{n}} \\ Q u a d r a t i c M e a n (rata-rata kuadrat) \\ ∙ & AM (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}) = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{n}}{n} \\ A r i t h m e t i c M e a n (rata-rata aritmetika) \\ ∙ & GM (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}) = \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . x_{3} \dots x_{n}} \\ G e o m e t r i c M e a n (rata-rata geometri) \\ ∙ & HM (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}) = \frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} + \dots + \frac{1}{x_{n}}} \\ H a r m o n i c M e a n (rata-rata harmoni) \end{aligned} \end{aligned}

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Jika a, b bilangan real positif bahwa \\ (a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4 \\ Bukti \\ Alternatif 1 \\ \begin{aligned} (a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \\ = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 \\ = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \\ Dengan AM-GM \\ \geq 2 + 2 \sqrt{\frac{a}{b} \times \frac{b}{a}} \\ \geq 2 + 2.1 = 4 ◼ \end{aligned} \\ Alternatif 2 \\ \begin{aligned} (a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \\ Dengan AM-GM \\ \geq 2 \sqrt{a b} \times \frac{2}{\sqrt{a b}} = 4 ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Jika a, b, c bilangan real, tunjukkan \\ bahwa a^{2} + b^{2} + y^{2} \geq a b + a c + b c \\ Bukti \\ Dengan ketaksamaan AM-GM \\ pada bilangan a, b, c bilangan real \\ kita akan peroleh \\ \begin{array}{ll} a^{2} + b^{2} \geq 2 a b \\ a^{2} + c^{2} \geq 2 a c \\ b^{2} + c^{2} \geq 2 b c & + \\ 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) & \geq 2 a b + 2 a c + 2 b c \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} & \geq a b + a c + b c \\ terbukti \end{array} \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Jika a_{i} \geq 0, i \in {1, 2, 3, 4} \\ tunjukkan bahwa \\ \frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}}{4} \geq \sqrt[4]{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}} \\ Bukti \\ \frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}}{4} = \frac{\frac{a_{1} + a_{2}}{2} + \frac{a_{3} + a_{4}}{2}}{2} \\ \geq \frac{\sqrt{a_{1} a_{2}} + \sqrt{a_{3} a_{4}}}{2} \\ \geq \sqrt{\sqrt{a_{1} a_{2}} . \sqrt{a_{3} a_{4}}} \\ = \sqrt[4]{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}} ◼ \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Bambang, S. 2012. Materi, Soal dan Penyelesaian Olimpiade Matematika Tingkat SMA/MA. Jakarta: BINA PRESTASI INSANI.
Leo Bocek.----. Nerovnosti a Nerovnice. dalam : https://olympiada.karlin.mff.cuni.cz/prednasky/bocek1.pdf

Persamaan Polinom

$1. Pencarian akar-akar persamaan polinom$

Persamaan suku banyak/polinom $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0$ dengan $n > 1 dan a_{n} \neq 0$ paling sedikit memiliki sebuah akar riil atau imajiner. Pada bahasan ini untuk mendapatkan akar-akar rasional perlu dilakukan cara coba-coba. Misalkan $x = h$ kita pilih, selanjutnya tinggal kita buktikan bahwa apakah $x = h$ apakah akar polinom tersebut atau tidak, jika $f (h) = 0$ , maka $x = h$ adalah termasuk akar dari polinom tersebut, tetapi jika tidak atau $f (h) \neq 0$ , maka $x = h$ bukan akar yang diinginkan.

Beberapa petunjuk agar $x = h$ terarah sebagai akar polinom

Misalkan $f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ dengan $r$ adalah faktor dari $a_{0}$ , dan $s$ adalah faktor dari $a_{n}$ , maka akar-akar rasional jika ada adalah $x = h = \frac{r}{s}$ .
Jika pada langkah pertama di atas ditemukan sebuah akar rasional katakanlah $x = h_{1}$ , maka tentukan hasil bagi $f (x)$ dengan $x = h_{1}$ ini. Misalkan hasil baginya adalah $h_{1} (x)$ atau $f (x) = (x - h_{1}) h_{1} (x)$ , maka langkah berikutnya carilah akar dari $h_{1} (x)$ ini. Dan jika didapatkan akar dari $h_{1} (x)$ adalah $x = h_{2}$ , maka tentukanlah hasil bagi dari $h_{1} (x)$ oleh $x = h_{2}$ , katakanlah hasilnya $h_{2} (x)$ , maka $f (x) = (x - h_{1}) (x - h_{2}) h_{2} (x)$ demikian seterusnya.

$2. Jumlah dan hasil kali akar-akar polinom$

Untuk fungsi derajat 2 maka berlaku seperti menentukan rumus jumlah dan selisih pada persamaan kuadrat. Tetapi untuk polinom berderajat tiga $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ saat $f (x) = 0$ , maka berlaku

$\begin{aligned} f (x) & = a x^{3} + b x^{2} + c x + d dengan \\ x_{1}, x_{2}, x_{3} adalah akar-akarnya, maka \\ ∙ & x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a} \\ ∙ & x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{c}{a} \\ ∙ & x_{1} \times x_{2} \times x_{3} = - \frac{d}{a} \end{aligned}$

$\begin{aligned} Unt & uk yang berderajat empat \\ f (x) & = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e saat f (x) = 0 \\ dengan x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} adalah akar-akarnya, \\ maka \\ ∙ & x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = - \frac{b}{a} \\ ∙ & x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{1} x_{3} + . . . + x_{3} x_{4} = \frac{c}{a} \\ ∙ & x_{1} x_{2} x_{3} + x_{1} x_{2} x_{4} + x_{1} x_{3} x_{4} + x_{2} x_{3} x_{4} = - \frac{d}{a} \\ ∙ & x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = \frac{e}{a} \end{aligned}$

$\begin{aligned} Rumus Tambahan \\ ∙ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} \\ ∙ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} \\ = {(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2} - 2 (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}) \\ ∙ x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} \\ = {(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} x_{3} (x_{1} + x_{2} + x_{3}) \end{aligned}$

$\begin{aligned} Teorema Vieta berkaitan polinom \\ Persamaan polinom berderajat n \\ a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0 \\ dengan akar-akar : x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}, \\ maka : \\ ∙ x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{n} = - \frac{a_{n - 1}}{a_{n}} \\ ∙ x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + \dots + x_{2} x_{3} + \dots + x_{n - 1} x_{n} = \frac{a_{n - 2}}{a_{n}} \\ ∙ x_{1} x_{2} x_{3} + x_{1} x_{2} x_{4} + \dots + x_{n - 2} x_{n - 1} x_{n} = - \frac{a_{n - 3}}{a_{n}} \\ ⋮ \\ ∙ x_{1} x_{2} x_{3} \dots x_{n} = (- 1)^{n} . \frac{a_{0}}{a_{n}} \end{aligned}$

$CONTOH SOAL$

$\begin{array}{ll} 1. & Jika akar-akar dari polinom \\ x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 = 0 adalah \\ x_{1}, x_{2}, dan x_{3}, tentukanlah nilai \\ a . x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ b . x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} \\ c . x_{1} \times x_{2} \times x_{3} \\ d . x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa : x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 = 0 \\ dengan koefisien-koefisien variabelnya \\ a_{3} = 1, a_{2} = 2, a_{1} = - 5, dan a_{0} = - 6 \\ Menurut Teorema Vieta, maka \\ a . x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{a_{2}}{a_{3}} = - \frac{2}{1} = - 2 \\ b . x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{a_{1}}{a_{3}} = \frac{- 5}{1} = - 5 \\ c . x_{1} \times x_{2} \times x_{3} = - \frac{a_{0}}{a_{3}} = - \frac{- 6}{1} = 6 \\ d . x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} \\ = {(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2} - 2 (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}) \\ = (- 2)^{2} - 2 (- 5) = 4 + 10 = 14 \end{array}$

$\begin{array}{ll} 2. & Diketahui polinom x^{3} + 3 x - 1 = 0 \\ dengan akar-akar α, β, dan γ \\ tentukanlah nilai α^{3} + β^{3} + γ^{3} \\ Jawab : \\ Pandang polinom x^{3} + 3 x - 1 = 0 \\ dengan : a_{3} = 1, a_{2} = 0, a_{1} = 3, a_{0} = - 1 \\ maka bentuk nilai dari akar-akarnya \\ yaitu : \\ ∙ α^{3} + 3 α - 1 = 0 . . . . . . . (1) \\ ∙ β^{3} + 3 β - 1 = 0 . . . . . . . (2) \\ ∙ γ^{3} + 3 γ - 1 = 0 . . . . . . . (3) \\ Ketika persamaan (1) + (2) + (3) maka \\ \Leftrightarrow α^{3} + β^{3} + γ^{3} + 3 (α + β + γ) - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow α^{3} + β^{3} + γ^{3} + 3 (\frac{a_{2}}{a_{3}}) - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow α^{3} + β^{3} + γ^{3} + 3 (0) - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow α^{3} + β^{3} + γ^{3} = 3 \end{array}$

Daftar Pustaka

Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Kelas XI untuk SMA dan MA Program Studi Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
Nugroho, P. A., Gunarto, D. 2013. Big Bank Soal+Bahas Matematika SMA/MA Kelas 1, 2, 3. Jakarta: WAHYUMEDIA.
Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT.
Sunardi, Waluyo, S., Sutrisno, Subagya. 2005. Matematika 2 untuk SMA Kelas XI IPA. Jakarta: BUMI AKSARA.
Sukino, S., Intan, T. S., Santiago, Y. E. 2015. Pena Emas Olimpiade Sains Nasional Matematika untuk SMP Seri Kinomatika 1: Seleksi Tingkat Sekolah dan Seleksi Tingkat Kabupaten\Kota. Bandung: YRAMA WIDYA.
Sukino. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Lanjutan Materi Polinom (Teorema Faktor)

7. Teorema Faktor

Pada pembagian sebuah bilangan bahwa suatu bilangan dikatakan habis terbagi jika pembaginya adalah faktor dari bilangan tersebut. Sebagai misal 15 faktornya adalah: 1,3,5, dan 15. Dan pada bahasan materi tentang pemfaktoran pada persamaan kuadrat saat Anda duduk di kelas X sebagai misal $x^{2} + x - 6$ akan habis terbagi oleh $x + 3$ dan $x - 2$ . Demikian juga ketika $x^{2} + 2 x - 8$ akan habis terbagi oleh $x + 4$ dan $x - 2$ . Selanjutnya pembagi-pembagi tersebut kita namakan sebagai faktor dari yang dibagi tersebut.

Untuk selanjutnya toerema faktor dinyatakan:

Jika $(x - h)$ adalah faktor dari $f (x)$ jika dan hanya jika $f (h) = 0$
Jika $(a x + h)$ merupakan faktor dari $f (x)$ jika dan hanya jika $f (\frac{- h}{a}) = 0$ .

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Tentukanlah apakah (x - 2) dan (x - 4) \\ apakah faktor dari 2 x^{3} + x^{2} - 22 x + 24 \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa \\ P (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 22 x + 24 \\ ∙ x = 2 \Rightarrow P (2) = {2.2}^{3} + 2^{2} - 22.2 + 24 = 0 \\ ∙ x = 4 \Rightarrow P (4) = {2.4}^{3} + 4^{2} - 22.4 + 24 = 80 \neq 0 \\ Jadi, (x - 4) bukan faktor dari P (x) di atas \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Tentukanlah apakah (x + 1) dan (x - 1) \\ apakah faktor dari x^{6} - x^{5} + x^{3} - 1 \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa \\ P (x) = x^{6} - x^{5} + x^{3} - 1 \\ ∙ x = - 1 \Rightarrow P (- 1) = (- 1)^{6} - (- 1)^{5} + (- 1)^{3} - 1 = 0 \\ ∙ x = 1 \Rightarrow P (1) = 1^{6} - 1^{5} + 1^{3} - 1 = 0 \\ Jadi, (x + 1) dan (x - 1) faktor dari P (x) di atas \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Faktorkanlah polinom x^{3} - 11 x^{2} + 30 x - 8 \\ ke faktor rasional \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa \\ P (x) = x^{3} - 11 x^{2} + 30 x - 8 \\ Misalkan salah satu faktor polinom adalah : (x - k) \\ maka k adalah faktor dari - 8, yaitu : \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \\ dengan mencoba-coba kita harapkan ketemu \\ ∙ x = 1 \Rightarrow P (1) = 1^{3} - {11.1}^{2} + 30.1 - 8 = 12 \neq 0 \\ ∙ x = - 1 \Rightarrow P (- 1) = (- 1)^{3} - 11. (- 1)^{2} + 30. (- 1) - 8 \\ = - 66 \neq 0 \\ ∙ x = 4 \Rightarrow P (4) = 4^{3} - {11.4}^{2} + 30.4 - 8 = 0 \\ dengan metode sintetis Horner kita tampilkan \\ \begin{array}{lllllll} 4 & 1 & - 11 & 30 & - 8 \\ 4 & - 28 & 8 & + \\ 1 & - 7 & 2 & 0 \end{array} \\ Jadi, (x - 4) faktor dari P (x) di atas \end{array}

\begin{array}{ll} 4. & Jika diketahui (x - 2) dan (2 x + 1) \\ adalah faktor dari 2 x^{3} + a x^{2} + b x - 2 \\ Tentukanlah nilai a dan b \\ Jawab : \\ Misalkan polinom P (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x - 2 \\ ∙ x = 2 \Rightarrow P (2) = {2.2}^{3} + a {.2}^{2} + b .2 - 2 = 0 \\ \Rightarrow P (2) = 14 + 8 a + 2 b = 0 . . . . . . . (1) \\ ∙ x = \frac{1}{2} \Rightarrow P (- \frac{1}{2}) = 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + a {(- \frac{1}{2})}^{2} + b (- \frac{1}{2}) - 2 = 0 \\ \Rightarrow P (- \frac{1}{2}) = - \frac{2}{8} + \frac{a}{4} - \frac{b}{2} - 2 = 0 \\ \Rightarrow P (- \frac{1}{2}) = a - 2 b = 9 . . . . . . . . . (2) \\ Dengan eliminasi diperoleh a = - 1 dan b = - 5 \\ Jadi, a = - 1 dan b = - 5 \end{array}

\begin{array}{ll} 5. & (OSK 2016) \\ Misalkan a bilangan real sehingga polinom \\ P (x) = x^{4} + 4 x + a habis dibagi (x - c)^{2} \\ untuk suatu bilangan real c . Nilai a \\ yang memenuhi adalah . . . . \\ Jawab : \\ Alternatif 1 \\ Diketahui polinom P (x) = x^{4} + 4 x + a \\ Dengan metode Horner sebanyak 2 kali \\ yaitu : \\ \begin{array}{llllllll} c & 1 & 0 & 0 & 4 & a \\ c & c^{2} & c^{3} & c^{4} + 4 c^{3} & + \\ c & 1 & c & c^{2} & c^{3} + 4 & c^{4} + 4 c^{3} + a \\ c & 2 c^{2} & 3 c^{3} \\ 1 & 2 c & 3 c^{2} & 4 c^{3} + 4 \end{array} \\ Dari bentuk di atas diperoleh \\ ∙ 4 c^{3} + 4 = 0 \Rightarrow c = - 1 \\ ∙ c^{4} + 4 c^{3} + a = 0 \Rightarrow 1 - 4 + a = 0 \Rightarrow a = 3 \\ Jadi, a = 3 \\ Alternatif 2 \\ Silahkan Anda coba sebagai latihan mandiri \end{array}

LATIHAN SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Buktikan bahwa x + 3 dan x - 8 adalah \\ faktor dari polinom \\ f (x) = 2 x^{4} + 6 x^{3} - 114 x^{2} - 454 x - 336 \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Tentukan nilai k, k \neq 0 agar x + k \\ dan x - k keduanya adalah faktor dari \\ x^{3} - x^{2} - 9 x + 9 \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Bila x^{2} - x - 2 adalah faaktor dari \\ sebuah  polinom \\ P (x) = 6 x^{4} - x^{3} + a x^{2} - 6 x + b \\ tentukanlah nilai a + b \end{array}

\begin{array}{ll} 4. & Bila x + 1 dan x - 3 adalah faktor \\ dari  polinom \\ P (x) = x^{4} + p x^{3} + 5 x^{2} + 5 x + q \\ tentukanlah nilai p dan q serta \\ dua faktor lainnya yang belum \\ diketahui dari polinom tersebut \end{array}

\begin{array}{ll} 5. & (OSK 2019) \\ Kedua akar dari persamaan kuadrat \\ x^{2} - 111 x + k = 0 adalah bilangan prima \\ Nilai k adalah . . . . \end{array}

\begin{array}{ll} 6. & (OSK 2015) \\ Diketahui a, b, c adalah akar dari persamaan \\ x^{3} - 5 x - 9 x + 10 = 0. Jika polinom \\ P (x) = A x^{3} + B x^{2} + C x - 2015 memenuhi \\ P (a) = b + c, P (b) = a + c, P (c) = a + b, \\ maka nilai dari A + B + C adalah . . . . \end{array}

\begin{array}{ll} 7. & (OSK 2014) \\ Semua bilangan bulat n sehingga \\ n^{4} - 51 n^{2} + 225 merupakan bilangan \\ prima adalah . . . . \end{array}

\begin{array}{ll} 8. & Diketahui bahwa salah satu dari penyelesaian \\ x^{4} - 14 n^{3} + 54 x^{2} - 62 x + 13 = 0 adalah \\ 2 + \sqrt{3} . Carilah tiga buah akar yang lain \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
Muslim, M.S. 2020. Kumpulan Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kota/Kabupaten Tahun 2009-2019. Bandung: YRAMA WIDYA.
Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
Tim Matematika. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap 1. Bandung: ITB

Lanjutan Materi Polinom (Teorema Sisa)

6. Teorema Sisa

Sebelumnya telah diketahui bahwa jika suatu polinom $P(x)$ dibagi oleh $g(x)$ dengan hasil bagi $h(x)$ dan sisa pembagian berupa $s(x)$ , maka kondisi tersebut dapat dituliskan dengan

$P (x) = g (x) \times h (x) + s (x)$

Selanjutnya apabila $P(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $g(x)$ berderajat $m$ , maka hasil bagi $h(x)$ akan berderajat $n - m$ dan sisa pembagian maksimum berderajat $m - 1$ .

Perhatikan kembali contoh soal sebelumnya yaitu:

Dari paparan di atas apabila disederhanakan, maka:

$\begin{aligned} Jika & polinomial P (x) dibagi oleh \\ 1 . & g (x) = (x - a), s (x) = P (a) \\ 2 . & g (x) = (x + a), s (x) = P (- a) \\ 3 . & g (x) = (a x - b), s (x) = P (\frac{b}{a}) \\ 4 . & g (x) = (a x + b), s (x) = P (- \frac{b}{a}) \\ 5 . & g (x) = (x - a) (x - b) \\ s (x) = \frac{x - a}{b - a} P (b) + \frac{x - b}{a - b} P (a) \\ 6 . & g (x) = (x - a) (x - b) (x - c) \\ s (x) = \frac{(x - a) (x - b)}{(c - a) (c - b)} P (c) \\ + \frac{(x - a) (x - c)}{(b - a) (b - c)} P (b) \\ + \frac{(x - b) (x - c)}{(a - b) (a - c)} P (a) \end{aligned}$ .

Sebagai bukti dari beberapa properti formula di atas adalah sebagai berikut

$\begin{aligned} Untuk formula no.1 di atas adalah: \\ Pandang : P (x) = g (x) . h (x) + s (x) \\ atau P (x) = (x - a) . h (x) + s (x) \\ substitusikan x - a = 0 atau x = a \\ maka akan diperoleh bentuk \\ P (a) = (a - a) . h (a) + s (x) = 0 + s (x) \\ = s (x) \\ Jadi, s (x) = P (a) (terbukti) \end{aligned}$ .

$\begin{aligned} Dan untuk formula no.3 di atas adalah : \\ Pandang : P (x) = g (x) . h (x) + s (x) \\ atau P (x) = (a x - b) . h (x) + s (x) \\ substitusikan a x - b = 0 atau x = \frac{b}{a} \\ maka akan diperoleh bentuk \\ P (\frac{b}{a}) = (a (\frac{b}{a}) - b) . h (\frac{b}{a}) + s (x) \\ = 0 + s (x) \\ Jadi, s (x) = P (\frac{b}{a}) (terbukti) \end{aligned}$ .

$\begin{aligned} Untuk formula no.5 di atas \\ Pandang : P (x) = g (x) . h (x) + s (x) \\ anggap sisanya s (x) = u x + v \\ atau \\ P (x) = (x - a) (x - b) . h (x) + u x + v \\ substitusikan x - a = 0 atau x = a \\ maka akan diperoleh bentuk \\ P (a) = (a - a) (a - b) . h (a) + u a + v \\ = 0 + u a + v = u a + v . . . . . (1) \\ Demikian pula \\ P (b) = (a - b) (b - b) . h (b) + u b + v \\ = 0 + u b + v = u b + v . . . . . (2) \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} P (a) & = & u a + v \\ P (b) & = & u b + v & - \\ P (a) - P (b) & = & u (a - b) \\ \frac{P (a) - P (b)}{a - b} & = & u \\ atau \\ u & = & \frac{P (a) - P (b)}{a - b} \end{aligned} \\ dan \\ \begin{aligned} P (a) = u a + v \\ P (a) = (\frac{P (a) - P (b)}{a - b}) a + v \\ \Leftrightarrow v = P (a) - (\frac{P (a) - P (b)}{a - b}) a \\ \Leftrightarrow v = \frac{(a - b)}{(a - b)} P (a) - (\frac{P (a) - P (b)}{a - b}) a \\ \Leftrightarrow v = \frac{a P (a) - b P (a) - a P (a) + a P (b)}{a - b} \\ \Leftrightarrow v = \frac{- b P (a) + a P (b)}{a - b} \end{aligned} \\ Sehingga, \\ \begin{aligned} s (x) & = u x + v \\ = \frac{P (a) - P (b)}{a - b} x + \frac{- b P (a) + a P (b)}{a - b} \\ = \frac{P (a) x - P (b) x - b P (a) + a P (b)}{a - b} \\ = \frac{(x - b) P (a) + (a - x) P (b)}{a - b} \\ = \frac{a - b}{x - b} P (a) + \frac{x - a}{b - a} P (b) \end{aligned} \\ Jadi, \\ s (x) = \frac{a - b}{x - b} P (a) + \frac{x - a}{b - a} P (b) (terbukti) \end{aligned}$ .

$CONTOH SOAL$ .

$Pembagi Linear$ .

$\begin{array}{ll} Tentukan sisa pembagian \\ 1. 12 x^{4} - 40 x^{3} + 27 x^{2} + 13 x - 6 \\ jika dibagi oleh x + 1 \\ 2. 2 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x + 7 jika dibagi \\ oleh x + 1 \\ 3. 3 x^{4} - 5 x^{2} + 4 jika dibagi \\ oleh x^{2} + 2 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} 1. & Polinom P (x) = 12 x^{4} - 40 x^{3} + 27 x^{2} + 13 x - 6 \\ dibagi x + 1, artinya \\ P (- 1) = 12 (- 1)^{4} - 40 (- 1)^{3} + 27 (- 1)^{2} + 13 (- 1) - 6 \\ \Leftrightarrow P (- 1) = 12 + 40 + 27 - 13 - 6 = 60 \end{aligned} \\ \begin{aligned} 2. & Polinom P (x) = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x + 7 \\ dibagi x + 1, artinya \\ P (\frac{1}{2}) = 2 {(\frac{1}{2})}^{3} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 7 \\ \Leftrightarrow P (\frac{1}{2}) = 5 \frac{1}{4} \end{aligned} \\ \begin{aligned} 3. & Polinom P (x) = 3 x^{4} - 5 x^{2} + 4 \\ dibagi x^{2} + 2, gunakan bentuk sederhana \\ misa x^{2} = n = - 2, maka \\ P (- 2) = 3 (- 2)^{2} - 5 (- 2) + 4 \\ \Leftrightarrow P (- 2) = 12 + 10 + 4 = 26 \end{aligned} \end{array}$ .

$Pembagi Kuadrat$ .

$\begin{array}{ll} 4. & Tentukan sisa pembagian suku banyak \\ a . (3 x^{3} - 7 x^{2} - 11 x + 4) oleh (x^{2} - x - 2) \\ b . (2 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x + 3) : (x^{2} - 4) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & P (x) = g (x) . h (x) + s (x) \\ P (x) = g (x) . h (x) + a x + b \\ dengan \\ P (x) = 3 x^{3} - 7 x^{2} - 11 x + 4 \\ g (x) = x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1) \\ maka \\ 3 x^{3} - 7 x^{2} - 11 x + 4 \\ = (x - 2) (x + 1) . h (x) + a x + b \\ Selanjutnya kita substitusikan \\ pembuat nol fungsi, yaitu \\ x = 2 atau x = - 1, maka \\ ∙ x = 2 \Rightarrow - 22 = 0 + 2 a + b . . . . (1) \\ ∙ x = - 1 \Rightarrow 5 = 0 - a + b . . . . . . . . (2) \\ perhatikan eliminasi berikut \\ \begin{aligned} 2 a & + & b & = & - 22 \\ - a & + & b & = & 5 & - \\ 3 a & = & - 27 \\ a & = & - 9 \\ maka & b & = & - 4 \end{aligned} \\ Jadi, sisanya = s (x) = - 9 x - 4 \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . & Dengan cara yang semisal di atas \\ g (x) = x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2) \\ dengan s (x) = a x + b \\ maka \\ P (x) = g (x) . h (x) + s (x) \\ ∙ x = 2 \Rightarrow 25 = 2 a + b . . . . . . (1) \\ ∙ x = - 2 \Rightarrow 21 = - 2 a + b . . . . (2) \\ perhatikan eliminasi berikut \\ \begin{aligned} 2 a & + & b & = & 25 \\ - 2 a & + & b & = & 21 & - \\ 4 a & = & 4 \\ a & = & 1 \\ maka & b & = & 23 \end{aligned} \\ Jadi, sisanya = s (x) = x + 23 \end{aligned} \end{array}$ .

$LATIHAN SOAL$ .

$\begin{array}{ll} Tentukan sisa pembagian \\ 1. 3 x^{4} - 2 x^{3} + 27 x^{2} + x - 7 \\ jika dibagi oleh x - 2 \\ 2. x^{3} + 5 x^{2} - 3 x - 16 jika dibagi \\ oleh x + 1 \\ 3. 3 x^{4} - 5 x^{2} + 4 jika dibagi \\ oleh x^{2} - 2 \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 4. & Tentukan sisa pembagian suku banyak \\ a . (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x - 2) : (x^{2} - 3 x + 2) \\ b . (x^{3} + 2 x^{2} - 4) : (x^{2} - 9) \\ c . (4 x^{3} - x^{2} + 7 x + 1) : (x^{2} - x - 2) \\ d . (2 x^{4} - 2 x^{2} - 7) : (x^{2} + x - 6) \\ e . (x^{3} + 4 x^{2} - x + 2) : (x^{2} + 2 x - 3) \\ f . (4 x^{3} - x^{2} + 4 x - 1) : (x^{2} + 2 x - 15) \\ g . (2 x^{3} - 6 x^{2} - 5 x + 3) : (2 x^{2} - 7 x - 4) \\ h . (x^{4} - x^{3} + 5) : (x^{2} + 4) \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 5. & Polinom f (x) = 2 x^{3} + p x^{2} + q x - 7 saat \\ dibagi x^{2} + 2 x - 3 bersisa - 4 x - 1. \\ Nilai p - q = . . . . \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 6. & (SBMPTN 2015 Matematika IPA) \\ Sisa pembagian A x^{2014} + x^{2015} - B (x - 2)^{2} \\ oleh x^{2} - 1 adalah 5 x - 4. Nilai A + B = . . . . \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 7. & Suatu perusahaan mulai beroperasi 1 Juni 2016 \\ Pendapatan kotor tahunan perusahaan tersebut \\ setelah t tahun adalah sebesar x juta rupiah \\ dengan definisi fungsi x sebagai berikut \\ x = 250.000 + 90.000 t + 3.000 t^{2} \\ Tentukan \\ a . Berapa besar pendapatkan kotor perusahaan \\ tersebut pada awal Juni 2021 ? \\ b . Setelah berapa tahun perusahaan tersebut \\ akan memeperoleh pendapatan sebesar \\ 2.125 miliar rupiah ? \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 8. & Suatu gelombang udara bergerak mendekati \\ sebuah kota . Jika suhu t jam setelah tengah \\ malam adalah T yang diformulasikan \\ T = 0, 01 (400 - 40 t + t^{2}), 0 \leq t \leq 10 \\ Tentukan \\ a . Berapa besar suhu di kota tersebut pada \\ pukul 05.00 pagi ? \\ b . Pada pukul berapa suhu di kota tersebut \\ mencapai 15^{\circ} C ? \end{array}$ .

DAFTAR PUSTAKA

Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA

Ketaksamaan Muirhead

Ketaksamaan Muirhead

Diberikan $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n})$ dan $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n})$ yang merupakan barisan bilangan real, dengan barisan $a$ lebih utama dari barisan $b$ dan selanjutnya dituliskan dengan $a ≻ b$ disebutkan demikian jika kedua barisan di atas memenuhi 3 kondisi berikut:

$\begin{aligned} 1. & a_{1} \geq a_{2} \geq \dots \geq a_{n} dan b_{1} \geq b_{2} \geq \dots \geq b_{n} \\ 2. & a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{k} \\ 3. & a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{k}, \\ untuk tiap k, dengan : 1 \leq k \leq n \end{aligned}$ .

Contoh:

$\begin{aligned} 1. & (4, 0, 0) ≻ (3, 1, 0) \\ 2. & (2, 2, 0) ≻ (2, 1, 1) \\ 3. & (2, 0, 0, 0) ⧸ ≻ (1, 1, 0) \end{aligned}$ .

Sebagai keterangan tambahan adalah:

Jika $(a) ≻ (b)$ , maka $[a] \geq [b]$ . Kesamaan terjadi jika dan hanya jika barisan a dan b identik atau semua sama untuk nilai $x_{i}$ .
Jika (a) barisan bilangan real positif, $(x_{n}) ≻ (y_{n})$ , maka $\sum_{s y m}^{.} a_{1}^{x_{1}} a_{2}^{x_{2}} a_{3}^{x_{3}} \dots a_{n}^{x_{n}} \geq \sum_{s y m}^{.} a_{1}^{y_{1}} a_{2}^{y_{2}} a_{3}^{y_{3}} \dots a_{n}^{y_{n}}$ . (untuk hal terkait symetri, silahkan klik link ini)

Lanjutan Materi Operasi Vektor di Ruang (Cross Product): Perkalian Silang Dua Vektor

$C. Perkalian Silang Vektor (Pengayaan)$ .

Pada ruang dimensi tiga khususnya pada vektor akan berlaku perkalian silang (cross vektor) adalah perkalian antara dua vektor yang menghasilkan vektor tunggal. Misalkan diketahui $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah dua vektor sembarang dan keduanya membentuk sudut $θ$ , maka hasil kali kedua vektor tersebut adalah sebuah vektor baru dengan dinotasiakan sebagai $\vec{u} \times \vec{v}$ . Tentunya sebagai syarat kedua vektor tersebut masing-masing tidak berupa vektor nol.

Jika $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{c}$ , maka

$\begin{aligned} \vec{u} & \times \vec{v} = \vec{c} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} | \\ = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{i} - (x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2}) \vec{j} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{k} \end{aligned}$

Lalu kalau sudah demikian berapa besarnya? dan ke mana arahnya?

Besarnya adalah $| \vec{u} \times \vec{v} | = | \vec{u} | | \vec{v} | \sin θ$ dan arahnya tegak lurus terhadap $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ .

Sebagai ilustrasi perhatikanlah gambar berikut untuk dua buah vektor sebagai misal $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ .

Jika putarannya dibalik, maka akan mendapatkan hasil sebagai mana ilustrasi berikut

Sehingga perlu diingat bahwa :

\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}

Pada hasil kali silang dua vektor berlaku

tidak bersifat komutatif , karena $\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$ .
distributif terhadap penjumlahan : $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ .
pada perkalian dengan skalar : $k (\vec{a} \times \vec{b}) = (k \vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k \vec{b})$ .
berlaku untuk sembarang vektor : $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ .
jika kedua vektor sejajar, maka hasil kalinya adalah = 0.
Nilai dari perkalian kedua vektor terbut adalah sama dengan hasil luas jajar genjang.
Nilai dari poin 6 jika dibagi 2 akan berupa hasil luas sebuah segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.
berlaku identitas Lagrange : ${| \vec{a} \times \vec{b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} . {| \vec{b} |}^{2} - {(\vec{a} ∙ \vec{b})}^{2}$ .

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Diketahui \vec{a} = 4 \vec{i} + 3 \vec{j} dan \vec{b} = 4 \vec{i} - 3 \vec{k} \\ Tentukanlah hasil \vec{a} \times \vec{b} dan \vec{b} \times \vec{a} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \vec{a} & \times \vec{b} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} | \\ = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{i} - (x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2}) \vec{j} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{k} \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & - 3 \end{array} | \\ = (- 9 - 0) \vec{i} - (- 12 - 0) \vec{j} + (0 - 12) \vec{k} \\ = - 9 \vec{i} + 12 \vec{j} - 12 \vec{k} \end{aligned} \\ \begin{aligned} \vec{b} & \times \vec{a} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 0 & - 3 \\ 4 & 3 & 0 \end{array} | \\ = (0 - (- 9)) \vec{i} - (0 - (- 12)) \vec{j} + (12 - 0) \vec{k} \\ = 9 \vec{i} - 12 \vec{j} + 12 \vec{k} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Diketahui \vec{a} = 6 \vec{i} + 2 \vec{j} + 10 \vec{k} dan \vec{b} = 4 \vec{i} + \vec{j} + 9 \vec{k} \\ Tentukanlah hasil \vec{a} \times \vec{b} dan \vec{b} \times \vec{a} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \vec{a} & \times \vec{b} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} | \\ = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{i} - (x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2}) \vec{j} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{k} \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 6 & 2 & 10 \\ 4 & 1 & 9 \end{array} | \\ = (18 - 10) \vec{i} - (54 - 40) \vec{j} + (6 - 8) \vec{k} \\ = 8 \vec{i} - 14 \vec{j} - 2 \vec{k} \end{aligned} \\ \begin{aligned} \vec{b} & \times \vec{a} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 1 & 9 \\ 6 & 2 & 10 \end{array} | \\ = (10 - 18) \vec{i} - (40 - 54) \vec{j} + (8 - 6) \vec{k} \\ = - 8 \vec{i} + 14 \vec{j} + 2 \vec{k} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Tentukanlah luas segitiga A B C jika \\ diketahui A (2, 1, - 2), B (0, - 1, 0), dan \\ C (- 1, 2, - 1) \\ Jawab : \\ Misalkan luas segitiga \frac{1}{2} | \vec{p} \times \vec{q} |, dengan \\ {\begin{cases} \vec{p} & = \overset{―}{A B} = \overset{―}{O B} - \overset{―}{O A} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) \\ \vec{q} & = \overset{―}{A C} = \overset{―}{O C} - \overset{―}{O A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \end{cases} \\ \begin{aligned} \vec{p} & \times \vec{q} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} | \\ = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{i} - (x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2}) \vec{j} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{k} \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ - 2 & - 2 & 2 \\ - 3 & 1 & 1 \end{array} | \\ = (- 2 - 2) \vec{i} - (- 2 - (- 6)) \vec{j} + (- 2 - 6) \vec{k} \\ = - 4 \vec{i} - 4 \vec{j} - 8 \vec{k} \\ Sehingga \\ | \vec{p} \times \vec{q} | = \sqrt{(- 4)^{2} + (- 4)^{2} + (- 8)^{2}} \\ = \sqrt{16 + 16 + 64} = \sqrt{96} = 4 \sqrt{6} \\ Maka luas segi tiganya adalah : \\ luas △ A B C = \frac{1}{2} | \vec{p} \times \vec{q} | = \frac{1}{2} (4 \sqrt{6}) = 2 \sqrt{6} \end{aligned} \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT. TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI

Lanjutan Materi Operasi Vektor di Ruang (Dot Product)

$\begin{array}{ll} 6. & Diketahui \vec{a} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ t \end{array}), \\ jika \vec{p} tegak lurus \vec{q}, maka tentukanlah \\ nilai t adalah \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Karena & kedua vektor tersebut saling \\ tegak l & urus maka \\ \vec{a} . \vec{b} & = 0 \\ (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) & (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ t \end{array}) = 0 \\ (- 2) .4 & + 1. (- 1) + 3. t = 0 \\ - 8 - 1 & + 3 t = 0 \\ 3 t & = 9 \\ t & = 3 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 7. & Tentukanlah nilai \vec{a} . \vec{b} jika \\ a . | \vec{a} | = 4, | \vec{b} | = 6, ∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 60^{\circ} \\ b . \vec{a} = 2 \vec{i} + \vec{j} - 5 \vec{k} dan \vec{b} = 2 \vec{i} - 3 \vec{k} \\ c . \vec{a} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . \vec{a} . \vec{b} & = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos ∠ (\vec{a}, \vec{b}) \\ = 4.6 . \cos 60^{\circ} \\ = 24. (\frac{1}{2}) \\ = 12 \end{aligned} \\ b . \vec{a} . \vec{b} = 2.2 + 1.0 + (- 5) . (- 3) = 4 + 15 = 19 \\ c . \vec{a} . \vec{b} = 0.4 + (- 1) . (- 2) + 3.1 = 0 + 2 + 3 = 5 \end{array}$

$\begin{array}{ll} 8. & Diketahui | \vec{a} | = 10, | \vec{b} | = 3 \\ dan \vec{a} ∙ \vec{b} = 15 \sqrt{3} . Tentukan sudut \\ yang dibentuk oleh \vec{a} dan \vec{b} \\ Jawab \\ Dari bentuk \\ \begin{aligned} \vec{a} ∙ \vec{b} & = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ \\ dipe & roleh bentuk \\ \cos θ & = \frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} \\ \cos θ & = \frac{15 \sqrt{3}}{10.3} = \frac{15}{30} \sqrt{3} = \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \cos θ & = \cos 30^{\circ} \\ θ & = 30^{\circ} \\ Jadi & sudut antara keduanya adalah 30^{\circ} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 9. & Tentukanlah besar sudut antara vektor \\ \vec{a} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \cos θ & = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} \\ = \frac{(\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})}{\sqrt{(- 1)^{2} + 1^{2}} \sqrt{1^{2} + (- 2)^{2} + 2^{2}}} \\ = \frac{- 1 - 2 + 0}{\sqrt{2} \sqrt{9}} \\ = - \frac{1}{\sqrt{2}} = - \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ = - \cos 45^{\circ} \\ = \cos (180^{\circ} - 45^{\circ}) \\ \cos θ & = \cos 135^{\circ} \\ ∴ θ & = 135^{\circ} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 10. & Diketahui bahwa | \vec{a} | = \sqrt{6}, (\vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} + \vec{b}) = 0 \\ dan \vec{a} (\vec{a} - \vec{b}) = 3. Tentukanlah besar \\ sudut antara \vec{a} dan \vec{b} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Perhatikan & bahwa \\ (\vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} + \vec{b}) & = 0 \\ {| \vec{a} |}^{2} - {| \vec{b} |}^{2} & = 0 \\ {| \vec{a} |}^{2} & = {| \vec{b} |}^{2} \Rightarrow | \vec{a} | = \vec{b} = \sqrt{6} \\ dan \vec{a} (\vec{a} - \vec{b}) & = 3 \\ {| \vec{a} |}^{2} - \vec{a} \vec{b} & = 3 \\ 6 - \vec{a} \vec{b} & = 3 \\ - \vec{a} \vec{b} & = 3 - 6 = - 3 \\ \vec{a} \vec{b} & = 3 \\ | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ & = 3 \\ \cos θ & = \frac{3}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\ \cos θ & = \cos 60^{\circ} \\ ∴ θ & = 60^{\circ} \end{aligned} \end{array}$

$Berikut dua contoh untuk sudut tidak istimewa$ .

$\begin{array}{ll} 11. & Diketahui \vec{a} = \vec{i} + 2 \vec{j} + 2 \vec{k}, dan \\ \vec{b} = 3 \vec{i} + 4 \vec{j} . Tentukan sudut \\ yang dibentuk oleh \vec{a} dan \vec{b} \\ Jawab \\ \begin{aligned} Dik & etahui bahwa \\ ▹ & \vec{a} = \vec{i} + 2 \vec{j} + 2 \vec{k} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) dan \\ | \vec{a} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3 \\ ▹ & \vec{b} = 3 \vec{i} + 4 \vec{j} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array}) dan \\ | \vec{b} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5 \end{aligned} \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} \cos θ & = \frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} \\ \cos θ & = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array})}{3.5} = \frac{3 + 8 + 0}{15} = \frac{11}{15} \\ \cos θ & = 0, 733 \\ θ & = \arccos (0.733) \\ gunakan alat bantu tabel trigonometri \\ atau kalkulator scientific \\ = 42, 9^{\circ} \\ Jadi & sudut antara keduanya adalah 42, 9^{\circ} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 12. & Diketahui \vec{p} = (1, 2, 2), dan \\ \vec{q} = (3, - 2, 6) . Tentukan sudut \\ yang dibentuk oleh \vec{p} dan \vec{q} \\ Jawab \\ \begin{aligned} Dik & etahui bahwa \\ ▹ & \vec{p} = (1, 2, 2) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) dan \\ | \vec{p} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3 \\ ▹ & \vec{q} = (3, - 2, 6) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 6 \end{array}) dan \\ | \vec{q} | = \sqrt{3^{2} + (- 2)^{2} + 6^{2}} = \sqrt{49} = 7 \end{aligned} \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} \cos θ & = \frac{\vec{p} ∙ \vec{q}}{| \vec{p} | | \vec{q} |} \\ \cos θ & = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 6 \end{array})}{3.7} = \frac{3 - 4 + 12}{21} = \frac{11}{21} \\ \cos θ & = 0, 524 \\ θ & = \arccos (0.524) \\ gunakan alat bantu tabel trigonometri \\ atau kalkulator scientific \\ = 58, 4^{\circ} \\ Jadi & sudut antara keduanya adalah 58, 4^{\circ} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 13. & Diketahui vektor \vec{a} dan \vec{b} memiliki \\ panjang masing-masing adalah 2 dan 3 \\ serta ∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 60^{\circ} . Carilah nilai \\ a . | \vec{a} + \vec{b} | \\ b . | \vec{a} - \vec{b} | \\ b besar sudut antara \\ (\vec{a} + \vec{b}) dan (\vec{a} - \vec{b}) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & {| \vec{a} + \vec{b} |}^{2} \\ = (\vec{a} + \vec{b}) (\vec{a} + \vec{b}) \\ = \vec{a} \vec{a} + 2 \vec{a} \vec{b} + \vec{b} \vec{b} \\ = {| \vec{a} |}^{2} \cos 0^{\circ} + 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 60^{\circ} + {| \vec{b} |}^{2} \cos 0^{\circ} \\ = 2^{2} .1 + 2.2 .3 . \frac{1}{2} + 3^{2} .1 \\ = 4 + 6 + 9 = 19 \\ Jadi, nilainya adalah | \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{19} \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . & {| \vec{a} - \vec{b} |}^{2} \\ = (\vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} - \vec{b}) \\ = \vec{a} \vec{a} - 2 \vec{a} \vec{b} + \vec{b} \vec{b} \\ = {| \vec{a} |}^{2} \cos 0^{\circ} - 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 60^{\circ} + {| \vec{b} |}^{2} \cos 0^{\circ} \\ = 2^{2} .1 - 2.2 .3 . \frac{1}{2} + 3^{2} .1 \\ = 4 - 6 + 9 = 7 \\ Jadi, nilainya adalah | \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{7} \end{aligned} \\ \begin{aligned} c . Untuk menentukan nilai \\ \cos ∠ (\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}) & = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) . (\vec{a} - \vec{b})}{| \vec{a} + \vec{b} | . | \vec{a} - \vec{b} |} \\ = \frac{\vec{a} \vec{a} - \vec{a} \vec{b} + \vec{b} \vec{a} - \vec{b} \vec{b}}{\sqrt{19} . \sqrt{7}} \\ = \frac{2^{2} - 3^{2}}{\sqrt{133}} = - \frac{5}{\sqrt{133}} \\ ∠ (\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}) & = \arccos (- \frac{5}{\sqrt{133}}) \end{aligned} \end{array}$

$Berikut contoh untuk bentuk sudutnya$ .

$\begin{array}{ll} 14. & Diketahui \vec{p} = (x, 3, 2), dan \\ \vec{q} = (2, - 6, 3) . Tentukan nilai x \\ agar kedua vektor \\ a membentuk sudut lancip \\ b membentuk sudut siku-siku \\ c membentuk sudut tumpul \\ d sama panjang \\ Jawab \\ \begin{aligned} Dik & etahui bahwa \\ ▹ & \vec{p} = (x, 3, 2) = (\begin{array}{c} x \\ 3 \\ 2 \end{array}) dan \\ ▹ & \vec{q} = (2, - 6, 3) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 6 \\ 3 \end{array}) \end{aligned} \\ Selanjutnya \\ \vec{p} ∙ \vec{q} = (\begin{array}{c} x \\ 3 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 2 \\ - 6 \\ 3 \end{array}) \\ = 2 x - 18 + 6 = 2 x - 12 \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} a & Syarat lancip, yaitu : \vec{p} ∙ \vec{q} > 0 \\ 2 x - 12 > 0 \Leftrightarrow 2 x > 12 \Leftrightarrow x > 6 \\ b & Syarat siku-siku, yaitu : \vec{p} ∙ \vec{q} = 0 \\ 2 x - 12 = 0 \Leftrightarrow 2 x = 12 \Leftrightarrow x = 6 \\ c & Syarat tumpul, yaitu : \vec{p} ∙ \vec{q} < 0 \\ 2 x - 12 < 0 \Leftrightarrow 2 x < 12 \Leftrightarrow x < 6 \\ d & Syarat panjang kedua vektor sama \\ yaitu : | \vec{p} | = | \vec{q} |, maka \\ \begin{aligned} \sqrt{x^{2} + 3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{2^{2} + (- 6)^{2} + 3^{2}} \\ x^{2} + 9 + 4 = 4 + 36 + 9 \\ x^{2} = 36 \\ x = \pm \sqrt{36} = \pm 6 \\ Jadi, x = - 6 atau x = 6 \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika Program IPA 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA.
Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
Noormandiri, Sucipto, E. 2003. Buku Pelajaran Matematika SMU untuk Kelas 3 Program IPA. Jakarta: ERLANGGA.
Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT. TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI.