Lanjutan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (Matematika Wajib Kelas X)

 $\text{2. Metode determinan Matriks}$

Perhatikan kemabil bentuk SPLDV dan SPLTV berikut:

$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$ 

dan

$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\end{array}$

Metode determinat matriks adalah penyelesaian nilai tidap variabel dengan menggunakan determinan berikut:

Misalkan saja diberikan:

$\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}ax+by& =p\\ cx+dy& =q\end{array}\\ \\ & \text{dan}\\ \\ & \begin{array}{rl}ax+by+cz& =r\\ dx+ey+fz& =s\\ gx+hy+iz& =t\end{array}\end{array}$

maka penyelesaian dengan model matriks adalah:

$\begin{array}{|ccc|}\hline \text{Metode}& \mathbf{\text{SPLDV}}& \mathbf{\text{SPLTV}}\\ \text{Determinan}& \begin{array}{rl}x& ={\displaystyle \frac{\left|\begin{array}{cc}p& b\\ q& d\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}}\\ & \text{dan}\\ y& ={\displaystyle \frac{\left|\begin{array}{cc}a& p\\ c& q\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}}\\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array}& \begin{array}{rl}x& ={\displaystyle \frac{\left|\begin{array}{ccc}r& b& c\\ s& e& f\\ t& h& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}}\\ & \text{dan}\\ y& ={\displaystyle \frac{\left|\begin{array}{ccc}a& r& c\\ d& s& f\\ g& t& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}}\\ & \text{serta}\\ z& ={\displaystyle \frac{\left|\begin{array}{ccc}a& b& r\\ d& e& s\\ g& h& t\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}}\end{array}\\ \hline\end{array}$

Sebagai catatan:

$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc\\ & \text{dan}\\ & \left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|=a\left|\begin{array}{cc}e& f\\ h& i\end{array}\right|-b\left|\begin{array}{cc}d& f\\ g& i\end{array}\right|+c\left|\begin{array}{cc}d& e\\ g& h\end{array}\right|\end{array}$

$\boxed{\text{CONTOH SOAL}}$

Mari kita buka lagi contoh sebelumnya dengan soal yang sama di SINI

dan kearang penyelesaian dari soal tersebut akan diselesaikan dengan cara determinan matriks (cara Cramer sesuai nama penemunya) berikut:

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah dengan metode matriks}\\ & \text{(cara Cramer) SPLDV berikut}:\\ & \{\begin{array}{ll}2x-y& =7\\ x-y& =-1\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}x& ={\displaystyle \frac{\left|\begin{array}{cc}7& -1\\ -1& -1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& -1\end{array}\right|}=\frac{7(-1)-(-1).(-1)}{2.(-1)-(-1).1}}\\ & ={\displaystyle \frac{-7-1}{-2+1}=\frac{-8}{-1}=8}\\ y& ={\displaystyle \frac{\left|\begin{array}{cc}2& 7\\ 1& -1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& -1\end{array}\right|}=\frac{2(-1)-(7).1}{2.(-1)-(-1).1}}\\ & ={\displaystyle \frac{-2-7}{-2+1}=\frac{-9}{-1}=9}\\ \text{J}& \text{adi}(x,y)=(8,9)\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah dengan metode matriks}\\ & \text{(cara Cramer) SPLTV berikut}:\\ & \{\begin{array}{ll}2x-y+z& =-4\\ 2x-y-2z& =-3\\ x+3y-z& =0\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}x& ={\displaystyle \frac{\left|\begin{array}{ccc}-4& -1& 1\\ -3& -1& -2\\ 0& 3& -1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 2& -1& -2\\ 1& 3& -1\end{array}\right|}}\\ x& ={\displaystyle \frac{-4\left|\begin{array}{cc}-1& -2\\ 3& -1\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{cc}-3& -2\\ 0& -1\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{cc}-3& -1\\ 0& 3\end{array}\right|}{2\left|\begin{array}{cc}-1& -2\\ 3& -1\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& -1\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 3\end{array}\right|}}\\ & ={\displaystyle \frac{-4(1+6)+1(3-0)+1(-9-0)}{2(1+6)+1(-2+2)+1(6+1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{-28+3-9}{14+0+7}}\\ & =\frac{-34}{21}\\ y& =....\\ z& =....\\ \text{J}& \text{adi}(x,y,y)=(-{\displaystyle \frac{34}{21},\frac{3}{7},-\frac{1}{3}})\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Johanes, Kastola & Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (Matematika Wajib Kelas X)

$\text{A. Sistem Persamaan Linear}$

Sistem persamaan linear adalah adalah kumpulan dari beberapa persamaan linear di mana koefisien-koefisien persamaannya berupa bilangan real dan anatar variabel saling ada keterkaitan

$\text{1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel}$

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel yang selanjutnya disingkat dengan SPLDV memiliki bentuk umum sebagai berikut:

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}\end{array}$

Keterangan:

• $x,y\text{adalah variabel}$.
• $a_1,a_2\text{koefisien}x$
• $b_1,b_2\text{koefisien}y$.
• $c_1,c_2\text{adalah konstanta}$.
• $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,\text{dan}{c}_2\text{adalah bilangan riil}$.

$\text{2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel}$

$\begin{array}{l}\\ \underset{―}{\mathbf{\text{Bentuk Umum}}}& :\\ & \{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_3\end{array}\\ \\ \mathbf{\text{Keterangan}}& \bullet a_1,a_2,a_3,\\ & b_1,b_2,b_3,\\ & c_1,c_2,c_3,\\ & d_1,d_2,d_3\\ & \text{semuanya adalah bilangan real}\end{array}$

$\text{B. Penyelesaian Sistem persamaan Linear}$

Menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan linear baik yang terdiri dari dua variabel ataupun tiga variabel adalah menentukan pasangan koordinat yang memenuhi sistem persamaan tersebut di bilangan riil. Adapun cara menyelesaikan sistem persamaan linear ini

• Metode Substitusi
• Metode Eliminasi
• Metode Eliminasi-Substitusi 
• Metode Determinan Matrik
• Metode Invers Matrik (Matrik Persegi minimal ordo 2x2)

$\text{1. Metode Eliminasi-Substitusi}$

Adapun langkah-langkah dalam penyelesaian model tipe ini (Metode Substitusi dan Metode Eliminasi mengikuti karena prosesnya terangkum di langkah gabungan ini) adalah:

• buatlah dua buah kelompok persamaan yang memungkinkan dapat disederhanakan (kalau bisa ambil yang termudah dan sederhana menurut Anda)
• Salah satu variabel dihilangkan dengan cara menyamakan koefisien variabel yang bersangkutan kemudian mengeliminasikan dengan persamaan linear yang dipilih pada langkat pertama tadi.
• Nilai variabel yang didapatkan disubstitusikan ke dalam salah satu persamaan pada langkah pertama tadi juga.
• Jika diperlukan lagi, prinsipnya kembali pada poin pertama tadi

$\boxed{\text{CONTOH SOAL}}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah penyelesaian SPLDV dari}\\ & \{\begin{array}{l}2x-y=7\\ x-y=-1\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Mis}& \text{alkan}\\ & \{\begin{array}{ll}2x-y=7& .....(1)\\ x-y=-1& .....(2)\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{dari persamaan}(2)\text{didapatkan}\\ & x=y-1.\text{Bentuk ini kemudian}\\ & \text{kita substitusikan ke}\\ & \text{persamaan}(1).\end{array}\\ & \begin{array}{rl}2x-y& =7\\ 2(y-1)-y& =7\\ 2y-2-y& =7\\ y& =9.....(3)\\ \text{Selanjutnya}& \text{nilainya kita}\\ \text{substitusikan ke}& \text{persamaan}(2)\\ x& =y-1\\ x& =9-1\\ x& =8\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Sehingga},\\ & \{\begin{array}{l}x=8\\ y=9\end{array}\\ & \text{Jadi, HP}=\{(8,9)\}\end{array}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah penyelesaian SPLDV dari}\\ & \{\begin{array}{l}2x-y+z=-4\\ 2x-y-2z=-3\\ x+3y-z=0\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Per}& \text{hatikan misal}\\ & \{\begin{array}{l}2x-y+z=-4..........(1)\\ 2x-y-2z=-3........(2)\\ x+3y-z=0.............(3)\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{dari persamaan}(2)\text{didapatkan}\\ & 2x-y=2z-3.\text{Bentuk ini}\\ & \text{kita substitusikan ke}\\ & \text{persamaan}(1).\end{array}\\ & \begin{array}{rl}2x-y+z& =-4\\ (2z-3)+z& =-4\\ 3z& =-1\\ z& =-\frac{1}{3}.....(4)\\ \text{Selanjutnya}& \text{nilai tersebut kita}\\ \text{substitusikan ke}& \text{pers.}(2)\text{dan}(3)\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Selanjutnya}\\ & \{\begin{array}{l}6x-3y=-11.....(2)\\ x+3y=-\frac{1}{3}.....(3)\end{array}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{dengan cara seperti}\\ & \text{poin 1.a kita akan}\\ & \text{mendapatkan nilai}\\ x& =-\frac{34}{21}\text{dan}\\ y& =\frac{3}{7}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Sehingga},\\ & \{\begin{array}{l}x=-\frac{34}{21}\\ y=\frac{3}{7}\\ z=-\frac{1}{3}\end{array}\\ & \text{HP}=\left\{(-\frac{34}{21},\frac{3}{7},-\frac{1}{3})\right\}\end{array}\end{array}\end{array}$

SUMBER BELAJAR MATEMATIKA Tingkat SMA/MA atau Sederajat

Matematika wajib kelas X revisi 2017 .pdf

Matematika wajib kelas XI revisi 2017. pdf

Contoh Soal Turunan Fungsi Trigonomometri (Bagian 1)

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sebuah partikel bergerak menurut}f(t)=3\sin {\displaystyle \frac{1}{6}t}\\ & \text{(dalam cm)}.\text{Posisi partikel saat}t=5\pi \text{detik adalah}\\ & ....\text{cm}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& -{\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{3}}\\ \text{b}.& -{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ \text{c}.& {\displaystyle \frac{3}{2}}\\ \text{d}.& {\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{2}}\\ \text{e}.& {\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{3}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \begin{array}{rl}f(t)& =3\sin {\displaystyle \frac{1}{6}t}\\ \text{posi}& \text{si benda saat}t=5\pi \text{detik adalah}:\\ f(5\pi )& =3\sin {\displaystyle \frac{1}{6}(5\pi )}\\ & =3\sin {\displaystyle \frac{5}{6}\pi }\\ & =3\sin {150}^{\circ }\\ & =3\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Sebuah objek bergerak melingkar mengikuti rumus}\\ & f(t)=-2\sin t\text{pada waktu}t.\text{Fungsi kecepatan}\\ & \text{dari benda tersebut adalah}....\text{cm}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& -2\cos 2t\\ \text{b}.& -2\cos t\\ \text{c}.& -\cos 2t\\ \text{d}.& \cos t\\ \text{e}.& 2\cos t\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{b}}\\ & \begin{array}{rl}f(t)& =-2\sin t\\ \text{fun}& \text{gsi kecepatannya adalah}:\\ v(t)& =f^{\prime }(t)=-2\cos t\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Kedudukan sebuah partikel yang bergerak}\\ & \text{mengikuti model}f(t)=\cos 5t\text{(dalam cm)}\\ & \text{pada saat}t=\pi \text{detik adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& \text{1 cm di bawah sumbu horizontal}\\ \text{b}.& \text{1 cm di atas sumbu horizontal}\\ \text{c}.& \text{5 cm di bawah sumbu horizontal}\\ \text{d}.& \text{5 cm di atas sumbu horizontal}\\ \text{e}.& \text{tepat pada sumbu horizontal}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{a}}\\ & \begin{array}{rl}f(t)& =\cos 5t\\ \text{kedu}& \text{dukannya adalah}:\\ f\left(\pi \right)& =\cos 5(\pi )\\ & =\cos \pi \\ & =-1\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Kedudukan sebuah partikel yang bergerak}\\ & \text{mengikuti rumus}f(t)=2\sin t+\cos {\displaystyle \frac{1}{2}t}\\ & \text{Selang waktu berikut yang menunjukkan}\\ & \text{posisi partikel di bawah sumbu X dan}\\ & \text{bergerak naik adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 0<t<{\displaystyle \frac{1}{2}\pi }\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{1}{2}\pi <t<\pi }\\ \text{c}.& {\displaystyle \frac{1}{2}\pi <t<{\displaystyle \frac{3}{2}\pi }}\\ \text{d}.& \pi <t<{\displaystyle \frac{3}{2}\pi }\\ \text{e}.& {\displaystyle \frac{3}{2}\pi <t<2\pi }\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{d}}\\ & \begin{array}{rl}f(t)& =2\sin t+\cos {\displaystyle \frac{1}{2}t}\\ \text{kedu}& \text{dukannya adalah}:\end{array}\end{array}$

Lanjutan Materi Turunan Fungsi Trigonometri (Matematika Peminatan Kelas XII)

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Diketahui suatu gelombang bergerak teratur}\\ & \text{sebagaimana gambar berikut}\end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ & \text{Gelombang tersebut pada waktu}t\text{detik mengikuti}\\ & \text{rumus}y=f(t)=2\sin {\displaystyle \frac{1}{2}\pi t.\text{Dan diketahui pula cepat}}\\ & \text{rambat gelomnya dapat dinyatakan dalam}\\ & v_t=\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{f(t+h)-f(t)}{h}\text{dengan}h\ne 0,\text{tentukanlah}:}\\ & \text{a}.\text{posisi gelombang pada ketika}t=1,5\text{detik}\\ & \text{b}.\text{rumus cepat rambat gelombang pada saat}t\\ & \text{c}.\text{cepat rambat gelombang saat}t=2{\displaystyle \frac{1}{2}\text{detik}}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& \text{Posisi gelombang saat}t=1,5={\displaystyle \frac{3}{2}\text{detik}}\\ & f(1,5)=2\sin {\displaystyle \frac{1}{2}\pi \left(\frac{3}{2}\right)}\\ & f(1,5)=2\sin {\displaystyle \frac{3}{4}\pi =2\sin {135}^{\circ }=2\left({\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}}\\ \text{b}.& \text{Cepat rambat gelombang saat}t\text{detik}\\ & v_t=\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{f(t+h)-f(t)}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{2\sin {\displaystyle \frac{1}{2}\pi (t+h)-2\sin {\displaystyle \frac{1}{2}\pi t}}}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{2.2\cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}t+\frac{1}{4}h}\right).\sin {\displaystyle \frac{1}{4}\pi h}}{h}}\\ & =4\times {\displaystyle \frac{1}{4}\pi \times \cos {\displaystyle \frac{1}{2}\pi t}}\\ & =\pi \cos {\displaystyle \frac{1}{2}\pi t}\\ \text{c}.& \text{Cepat rambat saat}t=2{\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{5}{2}\text{detik}}\\ & v_t=\pi \cos {\displaystyle \frac{1}{2}\pi t}\\ & =\pi \cos {\displaystyle \frac{1}{2}\pi \left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}\\ & =\pi \cos {\displaystyle \frac{5}{4}\pi }\\ & =\pi (-{\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}})\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{2}\pi \sqrt{2}}\end{array}\end{array}$

Turunan Fungsi Trigonometri (Matematika Peminatan Kelas XII)

 $\mathbf{\text{A. Pendahuluan}}$

Konsep turunan fungsi pada awalnya digunakan dalam bidang kususnya Matematika dan fisika, dalam hal hal ini kita berikan contohnya adalah laju perubahan kecepatan.

Coba perhatikanlah, misal pada kasus gerak jatuh bebas suatu benda yang dinyaatakan dengan  $h={\displaystyle \frac{1}{2}g{t}^2}$  dengan  $h$  adalah tinggi benda dengan percepatan grafitasinya adalah  $g=10m/s^2$ dan  $t$  adalah waktu tempuh.

Misalkan suatu benda jatuh dari ketinggian 125 meter dari permukaan tanah dengan percepatan grafitasinya adalah $g=10m/s^2$, maka waktu yang dibutuhkan benda tersebut untuk sampai ke tanah adalah:

$\begin{array}{rl}h& ={\displaystyle \frac{1}{2}g{t}^2}\\ 125& =\frac{1}{2}(10)t^2\\ 25& =t^2\\ 5& =t\end{array}$

Dari kejadian di atas dapat kita dapatkan kecepatan rata-ratanya yaitu: perubahan tinggi dibagi perubahan waktu terjadinya, atau misal dituliskan

$△v={\displaystyle \frac{△y}{△t}={\displaystyle \frac{y_n-y_1}{t_n-t_1}}}$

Sehingga kecepatan rata-ratanya adalah :  ${\displaystyle \frac{125}{5}=25m/s^2}$

Misalkan $f(t)$ untuk fungsi yang menujukkan posisi benda yang terjatuh dalam  $t$ dengan $f(t)=5t^2$, maka kecepatan rata-ratanya kita dapat menghitungnya untuk beberapa selang termasuk kita dapat menghitung kecepatan sesaatnya.

Coba perhatikanlah tabel berikut:

$\begin{array}{|ll|}\hline \{\begin{array}{ll}f(4)& ={5.4}^2=80\\ f(3)& ={5.3}^2=45\end{array}& \begin{array}{rl}△v& ={\displaystyle \frac{80-45}{4-3}}\\ & ={\displaystyle \frac{35}{1}=35}\end{array}\\ \{\begin{array}{ll}f(3,5)& =5.(3,5{)}^2=61,25\\ f(3)& ={5.3}^2=45\end{array}& \begin{array}{rl}△v& ={\displaystyle \frac{61,25-45}{3,5-3}}\\ & ={\displaystyle \frac{16,25}{0,5}=32,5}\end{array}\\ \{\begin{array}{ll}f(3,25)& =5.(3,25{)}^2=\\ f(3)& ={5.3}^2=45\end{array}& \begin{array}{rl}△v& ={\displaystyle \frac{52,8125-45}{3,25-3}}\\ & ={\displaystyle \frac{7,8125}{0,25}=31,25}\end{array}\\ \{\begin{array}{ll}f(3,1)& =5.(3,1{)}^2=48,05\\ f(3)& ={5.3}^2=45\end{array}& \begin{array}{rl}△v& ={\displaystyle \frac{48,05-45}{3,1-3}}\\ & ={\displaystyle \frac{3,05}{0,1}=30,5}\end{array}\\ \{\begin{array}{ll}f(3,1)& =5.(3,01{)}^2=45,3005\\ f(3)& ={5.3}^2=45\end{array}& \begin{array}{rl}△v& ={\displaystyle \frac{45,3005-45}{3,01-3}}\\ & ={\displaystyle \frac{0,3005}{0,01}=30,05}\end{array}\\ \hline\end{array}$

Dari ilsutrasi tabel di atas jika selisih waktu diperkecil terus menerus sampai mendekati nol, maka kecepatan sesaatnya akan mendekati nilai 30.

Sehingga kecepatan ketika $t=3$ ditentukan sebagai laju perubahan jarak terhadap waktu yang dibutuhkan dapat dituliskan dengan:

$\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$

Selanjutnya jika benda jatuh yang memenuhi kasus di atas, jika dihitung dengan pendekatan ini saat  $t=3$  adalah:

$\begin{array}{rl}\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{f(t+h)-f(t)}{h}}& =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{5(t+h{)}^2-5t^2}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{5(t^2+2th+h^2)-5t^2}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{5t^2+10th+5h^2-5t^2}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{10th+5h^2}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}10t+5h\\ & =10t\end{array}$

Dari saat  $t=3$  kecepatan sesaatnya adalah $10t=10(3)=30m/s^2$.

Secara matematis, perubahan laju terhadap suatu fungsi di  $x=a$ selanjutnya dinotasikan dengan $f^{\prime }(x)$ dan didefiniskan dengan:

$\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}}$

Bentuk di atas dinamakan dengan derivatif atau turunan pertama pada fungsi  $f(x)$  dan dinotasikan dengan  $f^{\prime }(x)$ dan proses pencarian derivatif ini dinamakan differensial.

$\boxed{\text{CONTOH SOAL}}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah kecepatan jika diketahui}f(t)=\sin t\\ & \text{saat}t\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}{f}^{\prime }(t)=v(t)& =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{f(t+h)-f(t)}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{\sin (t+h)-\sin t}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{2\cos {\displaystyle \frac{1}{2}(2t+h)\sin {\displaystyle \frac{1}{2}h}}}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}2\cos {\displaystyle \frac{1}{2}(2t+h).{\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{1}{2}h}}{h}}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle 2\cos {\displaystyle \frac{1}{2}(2t+h)\times {\displaystyle \frac{1}{2}}}}\\ & =2\cos {\displaystyle \frac{1}{2}(2t+0)\times {\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ & =\cos {\displaystyle \frac{1}{2}(2t)}\\ & =\cos t\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Diketahui sebuah bola bergerak melingkar beraturan}\\ & \text{dengan persamaan}f(t)=2\sin 2t.\text{Tentukanlah}\\ & \text{kecepatan bola saat}t={\displaystyle \frac{1}{12}\pi }\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}v(t)& =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{f(t+h)-f(t)}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{4\sin 2(t+h)-2\sin 2t}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{4\cos {\displaystyle \frac{1}{2}(4t+2h)\sin {\displaystyle \frac{1}{2}(2h)}}}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}4\cos {\displaystyle \frac{1}{2}(4t+2h)\times \underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{\sin h}{h}}}\\ & =4\cos {\displaystyle \frac{1}{2}(4t)}\\ & =4\cos 2t\\ v\left({\displaystyle \frac{1}{12}\pi }\right)& =4\cos 2\left({\displaystyle \frac{1}{12}\pi }\right)\\ & =4\cos {\displaystyle \frac{1}{6}\pi }\\ & =4\left({\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}\right)\\ & =2\sqrt{3}\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Noormandiri, B. K. 2004. Matematika SMA Jilid $2^A$ Berdasarkan Kurikulum 2004. Jakarta: ERLANGGA.
2. Noormandiri, B. K. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh Soal 5 Program Linear (Matematika Wajib Kelas XI)

 $\begin{array}{l}\\ 21.& \text{Jika daerah yang diarsir pada daerah penyelesaian}\\ & \text{untuk program linear dengan fungsi sasaran}\\ & f(x,y)=x-y,\text{maka nilai maksimum}f(x,y)\\ & \text{adalah}...\\ & \end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ \text{a}.& f(3,1)\\ \text{b}.& f(4,1)\\ \text{c}.& f(2,{\displaystyle \frac{5}{3}})\\ \text{d}.& f(3,2)\\ \text{e}.& f(4,{\displaystyle \frac{5}{2}})\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Jawab}:\mathbf{\text{a}}\\ & \text{Diketahui fungsi objektif}:f(x,y)=x-y\\ & \text{dan kendala-kendalanya}\\ & \{\begin{array}{ll}x-y& \le 2\\ x-2y& \ge -2\\ x\ge 2& \\ y\ge 0& \end{array}\\ & \text{Dan garis dari kendala-kendala di atas adalah}:\end{array}$

Contoh Soal 4 Program Linear (Matematika Wajib Kelas XI)

 $\begin{array}{l}\\ 16.& \text{Pada pertidaksamaan}\\ & 2y\ge x;y\le 2x;2y+x\le 20;x+y\ge 9\\ & \text{Nilai maksimum untuk}3y-x\text{dicapai saat}....\\ \end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ \text{a}.& \text{P}\\ \text{b}.& \text{Q}\\ \text{c}.& \text{R}\\ \text{d}.& \text{S}\\ \text{e}.& \text{T}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \text{Dengan membuat garis(selidik)}:f(x,y)=3y-x\\ & \text{digeser dari bawah ke atas, maka akan didapatkan}\\ & \text{titik sudut(verteks) yang diinginkan}\\ & \end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 17.& \text{Nilai minimum dari}-2x+4y+6\\ & \text{untuk}x\text{dan}y\text{yang memenuhi}\\ & \{\begin{array}{ll}2x+y-20& \le 0\\ 2x-y+10& \ge 0\\ x+y-5& \ge 0\\ x-2y-5& \le 0\\ x\ge 0& \\ y\ge 0& \end{array}\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& -14\\ \text{b}.& -11\\ \text{c}.& -9\\ \text{d}.& -6\\ \text{e}.& -4\end{array}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Jawab}:\mathbf{\text{e}}\\ & \text{Diketahui fungsi objektif}:f(x,y)=-2x+4y+6\\ & \text{dan kendala-kendalanya}\\ & \{\begin{array}{ll}2x+y-20& \le 0\\ 2x-y+10& \ge 0\\ x+y-5& \ge 0\\ x-2y-5& \le 0\\ x\ge 0& \\ y\ge 0& \end{array}\\ & \text{maka daerah penyelesaiannya adalah}:\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Dan persamaan garisnya adalah}\\ & \{\begin{array}{ll}{\text{L}}_1\equiv & 2x+y=20\\ {\text{L}}_2\equiv & 2x-y=-10\\ {\text{L}}_3\equiv & x+y=5\\ {\text{L}}_4\equiv & x-2y=5\end{array}\\ & \text{Perpotongan untuk garis}{\text{L}}_1\mathrm{\&}{\text{L}}_2\\ & \text{akan didapatkan titik C}\left({\displaystyle \frac{5}{2},15}\right)\\ & \text{Perpotongan untuk garis}{\text{L}}_1\mathrm{\&}{\text{L}}_4\\ & \text{akan didapatkan titik B}\left({\displaystyle 9,2}\right)\end{array}$

$.\begin{array}{|l|}\hline \begin{array}{rl}\text{untuk}& \text{mendapatkan titik potong}\\ \text{garis}:& {\text{L}}_1\mathrm{\&}{\text{L}}_2\text{adalah sebagai berikut}:\\ & \{\begin{array}{ll}2x+y& =20\\ 2x-y& =-10\end{array}\\ & -------{.}^{-}\\ & 2y=30\\ & y=15\Rightarrow x={\displaystyle \frac{5}{2}}\\ \text{Sehing}& \text{ga didapatkan titik}\left({\displaystyle \frac{5}{2},15}\right)\end{array}\\ \begin{array}{rl}\text{untuk}& \text{mendapatkan titik potong}\\ \text{garis}:& {\text{L}}_1\mathrm{\&}{\text{L}}_4\text{adalah sebagai berikut}:\\ & \{\begin{array}{ll}2x+y& =20\\ x-2y& =5\end{array}\\ & \{\begin{array}{ll}4x+2y& =40\\ x-2y& =5\end{array}\\ & -------{.}^{+}\\ & 5x=45\\ & x=9\Rightarrow y=2\\ \text{Sehing}& \text{ga didapatkan titik}(9,2)\end{array}\\ \hline\end{array}$

$.\text{Selanjutnya}$

$.\begin{array}{|ccc|}\hline \text{Verteks}& \text{Nilai}:& \text{Keterangan}\\ & -2x+4y+6& \\ \text{A}(5,0)& -2(5)+4.0+6=-4& \text{Minimum}\\ \text{B}(9,2)& -2(9)+4.2+6=-4& \text{Minimum}\\ \text{C}\left({\displaystyle \frac{5}{2},15}\right)& -2\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)+4.15+6=61& \text{Maksimum}\\ \text{D}(0,10)& -2.0+4.10+6=46& \\ \text{E}(0,5)& -2.0+4.5+6=26& \\ \hline\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 18.& \text{Nilai minimum}f(x,y)=3+4x-5y\\ & \text{untuk}x\text{dan}y\text{yang memenuhi}\\ & \{\begin{array}{ll}-x+y& \le 1\\ x+2y& \ge 5\\ 2x+y& \le 10\end{array}\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& -19\\ \text{b}.& -6\\ \text{c}.& -5\\ \text{d}.& -3\\ \text{e}.& 23\end{array}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \text{Diketahui fungsi objektif}:f(x,y)=3+4x-5y\\ & \text{dan kendala-kendalanya}\\ & \{\begin{array}{ll}-x+y& \le 1\\ x+2y& \ge 5\\ 2x+y& \le 10\end{array}\\ & \text{maka daerah penyelesaiannya adalah}:\end{array}$

$.\begin{array}{|ccc|}\hline \text{Verteks}& \text{Nilai}:& \text{Keterangan}\\ & 3+4x-5y& \\ \text{A}(1,2)& 3+4.1-5.2=-3& \\ \text{B}(3,4)& 3+4.3-5.4=-5& \text{Minimum}\\ \text{C}(5,0)& 3+4.5-5.0=23& \text{Maksimum}\\ \hline\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 19.& \text{Fungsi}f(x,y)=10x+15y\\ & \text{untuk}x\text{dan}y\text{yang memenuhi}\\ & \{\begin{array}{ll}x& \ge 0\\ y& \ge 0\\ x& \le 800\\ x& +y\le 1000\end{array}\\ & \text{mempunyai nilai maksimum}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 9.000\\ \text{b}.& 11.000\\ \text{c}.& 13.000\\ \text{d}.& 15.000\\ \text{e}.& 16.000\end{array}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \text{Diketahui fungsi objektif}:f(x,y)=10x+15y\\ & \text{dan kendala-kendalanya}\\ & \{\begin{array}{ll}x& \ge 0\\ y& \ge 0\\ x& \le 800\\ x& +y\le 1000\end{array}\\ & \text{maka daerah penyelesaiannya adalah}:\end{array}$

$.\begin{array}{|ccc|}\hline \text{Verteks}& \text{Nilai}:& \text{Keterangan}\\ & f(x,y)=10x+15y& \\ \text{A}(800,0)& 800.10+0=8000& \text{Minimum}\\ \text{B}(800,200)& 800.10+15.200=11.000& \\ \text{C}(400,600)& 10.400+15.600=13.000& \text{Maksimum}\\ \text{D}(0,600)& 3+0+15.600=9.000& \\ \hline\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 20.& \text{Nilai maksimum fungsi sasaran}\\ & f(x,y)=4x+5y\\ & \text{untuk}x\text{dan}y\text{yang memenuhi}\\ & \{\begin{array}{ll}x& \ge 0\\ y& \ge 0\\ (& 2x+y-4)(2x+3y-6)\le 0\end{array}\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 11\\ \text{b}.& 12\\ \text{c}.& 16\\ \text{d}.& 20\\ \text{e}.& 24\end{array}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Jawab}:\mathbf{\text{d}}\\ & \text{Diketahui fungsi objektif}:f(x,y)=4x+5y\\ & \text{dan kendala-kendalanya}\\ & \{\begin{array}{ll}x& \ge 0\\ y& \ge 0\\ (& 2x+y-4)(2x+3y-6)\le 0\end{array}\\ & \text{maka daerah penyelesaiannya adalah}:\end{array}$

$.\begin{array}{rl}\text{untuk}& \text{mendapatkan titik potongnya}\\ & \{\begin{array}{ll}2x+y& =4\\ 2x+3y& =6\end{array}\\ & -------{.}^{-}\\ & -2y=-2\\ & y=1\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3}{2}}\\ \text{sehing}& \text{ga akan didapatkan}\\ \text{titik p}& \text{otongnya adalah}:\left({\displaystyle \frac{3}{2},1}\right)\\ \text{Selanj}& \text{utnya, kita dapat menentukan}\\ \text{nilai}& \text{maksimunya dengan bantuan tabel berikut}\end{array}$

$.\begin{array}{|ccc|}\hline \text{Verteks}& \text{Nilai}:& \text{Keterangan}\\ & f(x,y)=4x+5y& \\ (2,0)& 4.2+0=8& \text{Minimum}\\ (3,0)& 4.3+0=12& \\ \left({\displaystyle \frac{3}{2},1}\right)& 4.\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)+5.1=11& \\ (0,2)& 0+52=10& \\ (0,4)& 0+5.4=20& \text{Maksimum}\\ \hline\end{array}$

Contoh Soal 3 Program Linear (Matematika Wajib Kelas XI)

 $\begin{array}{l}\\ 11.& \text{Pada gambar berikut ini, pertidaksamaan}\\ & \text{yang memenuhi adalah}\\ \end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ \text{a}.& 2x+y-4\le 0,2x+3y-6\ge 0,x\ge 0,y\ge 0\\ \text{b}.& 2x+y-4\ge 0,2x+3y-6\le 0,x\ge 0,y\ge 0\\ \text{c}.& 2x+y-4\le 0,2x+3y-6\le 0,x\ge 0,y\ge 0\\ \text{d}.& (2x+y-4)(2x+3y-6)\le 0,x\ge 0,y\ge 0\\ \text{e}.& (2x+y-4)(2x+3y-6)\ge 0,x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Jawab}:\mathbf{\text{d}}\\ & \text{Misalkan titik potong kedua garis adalah M}\\ & \text{Persamaan garisnya sebelah kiri M}:\\ & (1)4x+2y-8=0\\ & \text{kendala}:2x+y-4\le 0\\ & (2)2x+3y=6\\ & \text{kendala}:2x+3y-6\ge 0\\ & (3)y=0,\text{kendala}:y\ge 0\\ & (4)x=0,\text{kendala}:x\ge 0\\ & \text{Persamaan garisnya sebelah kanan M}:\\ & (5)4x+2y-8=0\\ & \text{kendala}:2x+y-4\ge 0\\ & (6)2x+3y=6\\ & \text{kendala}:2x+3y-6\le 0\\ & (7)y=0,\text{kendala}:y\ge 0\\ & (8)x=0,\text{kendala}:x\ge 0\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 12.& \text{Pada gambar berikut ini, pertidaksamaan}\\ & \text{yang memenuhi adalah}\\ \end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ \text{a}.& 2x-y-4\le 0,x-y-3\le 0,x\ge 0,y\ge 0\\ \text{b}.& 2x-y-4\ge 0,x-y-3\ge 0,x\ge 0,y\le 0\\ \text{c}.& 2x-y-4\le 0,x-y-3\ge 0,x\ge 0,y\le 0\\ \text{d}.& (2x-y-4)(x-y-3)\ge 0,x\ge 0,y\le 0\\ \text{e}.& (2x-y-4)(x-y-3)\le 0,x\ge 0,y\le 0\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Jawab}:\mathbf{\text{d}}\\ & \text{Misalkan titik potong kedua garis adalah M}\\ & \text{Persamaan garisnya di atas M dan model}\\ & \text{matematikanya adalah sebagai berikut}:\\ & (1)-3x+3y=-9\\ & \text{garisnya menjadi}:-3x+3y+9=0\\ & \text{maka}:-x+y+3=0\\ & \text{kendala}:-x+y+3\ge 0,\text{atau}\\ & \text{kendala}:x-y-3\le 0\\ & (2)-4x+2y=-8\\ & \text{garisnya menjadi}:-4x+2y+8=0\\ & \text{maka}:-2x+y+4=0\\ & \text{kendala}:-2x+y+4\ge 0,\text{atau}\\ & \text{kendala}:2x-y-4\le 0\\ & (3)y=0,\text{kendala}:y\ge 0\\ & (4)x=0,\text{kendala}:x\ge 0\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 13.& \text{Seorang penjual hewan kurban memiliki}\\ & \text{15 kandang ternak untuk memelihara sapi}\\ & \text{dan kambing. Setiap kandang hanya berisi}\\ & \text{kambing saja atau sapi saja. Setiap kandang}\\ & \text{dapat menampung sapi sebanyak 20 ekor}\\ & \text{atau kambing sebanyak 38 ekor. Penjual}\\ & \text{hewan kurban tersebut menaksir biaya}\\ & \text{perawatan yang dikeluarkan untuk setiap}\\ & \text{kandang sapi setiap bulannya sebesar}\\ & Rp500.000,00\text{dan kambing}Rp300.000,00.\\ & \text{Sementara itu, jumlah hewan yang}\\ & \text{direncanakan tidak lebih dari 300 ekor}.\\ & \text{Jika banyak kandang yang berisi sapi}\\ & \text{disebut}x\text{dan banyak kandang yang berisi}\\ & \text{kambing disebut}y,\text{sistem pertidaksamaan}\\ & \text{yang harus dipenuhi oleh}x\text{dan}y\text{serta}\\ & \text{fungsi objektif untuk meminimumkan biaya}\\ & \text{perawatan hewan kurban adalah}....\end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ \text{a}.& x\ge 0,y\ge 0,20x+38y\le 15,x+y\le 300\\ & \text{minimum}f(x,y)=500.000x+300.000y\\ \text{b}.& x\ge 0,y\ge 0,38x+20y\le 15,x+y\le 300\\ & \text{minimum}f(x,y)=500.000x+300.000y\\ \text{c}.& x\ge 0,y\ge 0,28x+30y\le 300,x+y\le 15\\ & \text{minimum}f(x,y)=500.000x+300.000y\\ \text{d}.& x\ge 0,y\ge 0,38x+20y\le 300,x+y\le 15\\ & \text{minimum}f(x,y)=500.000x+300.000y\\ \text{e}.& x\ge 0,y\ge 0,20x+38y\le 300,x+y\le 15\\ & \text{minimum}f(x,y)=500.000x+300.000y\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Jawab}:\mathbf{\text{e}}\\ & \text{Misalkan titik potong kedua garis adalah M}\\ & \text{Misalkan sapi}=x,\text{kambing}=y,\text{maka}\\ & (1)\text{Sapi}+\text{Kambing}=15\text{ekor}\\ & \text{persamaan garisnya}:\\ & x+y=15,\text{dan}\\ & \text{kendalanya}:x+y\le 15\\ & (2)\text{Daya tampung kandang}\\ & \text{persamaan garisnya}:\\ & 20x+38y=300\\ & \text{kendala}:20x+38y\le 300\\ & (3)y=0,\text{kendala}:y\ge 0\\ & (4)x=0,\text{kendala}:x\ge 0\\ & (5)\text{Fungsi optimumnya adalah}:\\ & f(x,y)=500.000x+300.000y\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 14.& \text{Suatu perusahaan bangunan merencanakan}\\ & \text{pembangunan paling banyak 150 unit rumah}\\ & \text{untuk disewakan kepada 500 orang. Ada dua}\\ & \text{jenis rumah, yaitu rumah jenis A dengan}\\ & \text{kapasitas 4 orang yang akan disewakan dengan}\\ & \text{harga}Rp2.000.000,00\text{per tahun dan rumah}\\ & \text{jenis B dengan kapasitas 6 orang yang disewakan}\\ & Rp2.500.000,00\text{per tahun. Jika rumah jenis}\\ & \text{A dibuat sebanyak}x\text{unit dan jenis B sebanyak}\\ & y\text{unit},\mathbf{\text{model matematika}}\text{dari masalah tersebut}\\ & \text{adalah}....\end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ \text{a}.& x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 100,4x+6y\le 500\\ \text{b}.& x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 150,4x+6y\le 500\\ \text{c}.& x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 200,4x+6y\le 250\\ \text{d}.& x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 200,6x+4y\le 250\\ \text{e}.& x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 500,6x+4y\le 250\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Jawab}:\mathbf{\text{b}}\\ & \text{Model matematikanya adalah}:\\ & \text{Misalkan rumah jenis A}=x,\text{jenis B}=y,\text{maka}\\ & (1)\text{Jenis A}+\text{Jenis B}=150\text{unit}\\ & \text{persamaan garisnya}:\\ & x+y=150,\text{dan}\\ & \text{kendalanya}:x+y\le 150\\ & (2)\text{Kapasitas atau daya tampung}\\ & \text{Rumah jenis A muat 4 orang dan jenis B}\\ & \text{6 orang sedangkan targetnya 500 orang, maka}\\ & \text{persamaan garisnya}:\\ & 4x+6y=500\\ & \text{kendala}:4x+6y\le 500\\ & (3)y=0,\text{kendala}:y\ge 0\\ & (4)x=0,\text{kendala}:x\ge 0\\ & (5)\text{Fungsi optimumnya adalah}:\\ & f(x,y)=2.000.000x+2.500.000y\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 15.& \text{Pedagang teh mempunyai lemari yang hanya}\\ & \text{cukup ditempati 40 boks teh. Teh A dibeli}\\ & \text{dengan harga}Rp6.000,00\text{setiap boks dan teh B}\\ & \text{dibeli dengan harga}Rp8.000,00\text{setiap boks}\\ & \text{Jika pedang tersebut mempunyai modal sebesar}\\ & Rp300.000,00\text{untuk membeli}x\text{boks teh A dan}\\ & y\text{boks teh B, maka sistem pertidaksamaan dari}\\ & \text{permasalahan tersebut adalah}....\end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ \text{a}.& 3x+4y\ge 150,x+y\ge 40,x\ge 0,y\ge 0\\ \text{b}.& 3x+4y\le 150,x+y\le 40,x\ge 0,y\ge 0\\ \text{c}.& 3x+4y\ge 150,x+y\le 40,x\ge 0,y\ge 0\\ \text{d}.& 6x+8y\le 300,x+y\ge 40,x\ge 0,y\ge 0\\ \text{e}.& 8x+4y\le 300,x+y\le 40,x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Jawab}:\mathbf{\text{b}}\\ & \text{Pembahasan diserahkan kepada pembaca}\end{array}$

Contoh Soal 2 Program Linear (Matematika Wajib Kelas XI)

 $\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Pada gambar berikut ini, yang merupakan}\\ & \text{himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan}\\ \\ & \{\begin{array}{ll}-x+2y& \le 2\\ 4x+3y& \le 12\\ x\ge 0& \\ y\ge 0& \end{array}\\ \\ & \text{adalah}....\end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& \text{I}\\ \text{b}.& \text{II}\\ \text{c}.& \text{III}\\ \text{d}.& \text{I}\text{dan}\text{IV}\\ \text{e}.& \text{II}\text{dan}\text{II}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{a}}\\ & \text{Pembahasan diserahkan kepada pembaca}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Pada gambar berikut ini, yang merupakan}\\ & \text{himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan}\\ \\ & \{\begin{array}{ll}5x+y& \ge 10\\ 2x+y& \le 8\\ y\ge 2& \end{array}\\ \\ & \text{adalah}....\end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& \text{I}\\ \text{b}.& \text{II}\\ \text{c}.& \text{III}\\ \text{d}.& \text{IV}\\ \text{e}.& \text{V}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \text{Pembahasan diserahkan kepada pembaca}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Pada gambar berikut ini, yang merupakan}\\ & \text{himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan}\\ \\ & \{\begin{array}{ll}x+y& \ge 4\\ x+2y& \le 6\\ y\ge 1& \end{array}\\ \\ & \text{adalah}....\end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& \text{I}\\ \text{b}.& \text{II}\\ \text{c}.& \text{III}\\ \text{d}.& \text{IV}\\ \text{e}.& \text{V}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \text{Pembahasan juga diserahkan kepada pembaca}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 9.& (\text{SPMB 2003})\\ & \text{Daerah yang diarsir pada ilustrasi gambar berikut}\\ & \text{adalah himpunan semua}(x,y)\text{yang memenuhi}\end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ \text{a}.& 2x+y\le 30,3x+4y\le 60,x\ge 0,y\ge 0\\ \text{b}.& 2x+y\ge 30,3x+4y\ge 60,x\ge 0,y\ge 0\\ \text{c}.& x+2y\ge 30,3x+4y\ge 60,x\ge 0,y\ge 0\\ \text{d}.& x+2y\le 30,4x+3y\le 60,x\ge 0,y\ge 0\\ \text{e}.& 2x+y\ge 30,4x+3y\le 60,x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Jawab}:\mathbf{\text{a}}\\ & \text{Persamaan garisnya adalah}:\\ & (1)15x+20y=300\\ & \text{kendala}:3x+4y\le 60\\ & (2)30x+15y=450\\ & \text{kendala}:2x+y\le 30\\ & (3)y=0,\text{kendala}:y\ge 0\\ & (4)x=0,\text{kendala}:x\ge 0\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 10.& (\text{SPMB 2004})\\ & \text{Daerah yang diarsir pada ilustrasi gambar berikut}\\ & \text{adalah himpunan penyelesaian yang dipenuhi oleh}\end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ \text{a}.& 6x+5y-30\le 0,x+6y-6\le 0,x-y\le 0\\ \text{b}.& 6x+5y-30\ge 0,x+6y-6\le 0,x-y\le 0\\ \text{c}.& 6+5y-30\le 0,x+6y-6\ge 0,x-y\ge 0\\ \text{d}.& 6x+5y-30\le 0,x+6y-6\ge 0,x-y\le 0\\ \text{e}.& 6x+5y-30\ge 0,x+6y-6\ge 0,x-y\ge 0\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \text{Perhatikan bahwa kendala-kendalanya}:\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline \begin{array}{rl}6x+5y& =6\times 5\\ 6x+5y& =30\end{array}& \begin{array}{rl}x+6y& =1\times 6\\ x+6y& =6\end{array}& \begin{array}{rl}x& =y\end{array}\\ \mathbf{\text{Sebelah kiri}}& \mathbf{\text{Sebelah kanan}}& \\ \begin{array}{rl}6x+5y& \le 30\\ 6x+5y-30& \le 0\end{array}& \begin{array}{rl}x+6y& \ge 6\\ x+6y-6& \ge 0\end{array}& \begin{array}{rl}x& \ge y\\ x-y& \ge 0\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$

Contoh Soal 1 Program Linear (Matematika Wajib Kelas XI)

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Daerah yang diarsir berikut adalah himpunan}\\ & \text{penyelesaian pertidaksamaan dari}....\end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& y\ge 0,x-2y\ge -2,3x+4y\le 12\\ \text{b}.& y\ge 0,x-2y\ge -2,3x+4y\ge 12\\ \text{c}.& y\ge 0,-2x+y\ge -2,4x+3y\le 12\\ \text{d}.& x\ge 0,-2x+y\le -2,4x+3y\ge 12\\ \text{e}.& x\ge 0,x-2y\le -2,3x+4y\le 12\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{a}}\\ & \text{Cukup jelas. Anda bisa mengecek dengan titik uji}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Daerah yang diarsir berikut adalah himpunan}\\ & \text{penyelesaian pertidaksamaan dari}....\end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& x\ge 0,4x+y\ge 4,x+y\le 2\\ \text{b}.& x\ge 0,4x+y\le 4,x+y\ge 2\\ \text{c}.& x\ge 0,4x+y>4,x+y<2\\ \text{d}.& x\ge 0,x+4y>4,x+y<2\\ \text{e}.& x\ge 0,x+4y\le 4,x+y\ge 2\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{b}}\\ & \text{Cukup jelas}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Pada gambar berikut ini, yang merupakan}\\ & \text{himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan}\\ \\ & \{\begin{array}{ll}2x+y& \le 24\\ x+2y& \ge 12\\ x-y& \ge -2\end{array}\\ \\ & \text{adalah}....\\ & \end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& \text{I}\\ \text{b}.& \text{II}\\ \text{c}.& \text{III}\\ \text{d}.& \text{IV}\\ \text{e}.& \text{V}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \text{Pembahasan diserahkan kepada pembaca}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Pada gambar berikut ini, yang merupakan}\\ & \text{himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan}\\ \\ & \{\begin{array}{ll}x+2y& \ge 6\\ 4x+5y& \le 20\\ 2x+y& \ge 6\end{array}\\ \\ & \text{adalah}....\end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& \text{I}\\ \text{b}.& \text{II}\\ \text{c}.& \text{III}\\ \text{d}.& \text{IV}\\ \text{e}.& \text{V}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{b}}\\ & \text{Pembahasan diserahkan kepada pembaca}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Pada gambar berikut ini, yang merupakan}\\ & \text{himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan}\\ \\ & \{\begin{array}{ll}2x+y& \ge 4\\ x+y& \ge 3\\ x-4y& \ge 4\end{array}\\ \\ & \text{adalah}....\end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& \text{I}\\ \text{b}.& \text{II}\\ \text{c}.& \text{III}\\ \text{d}.& \text{IV}\\ \text{e}.& \text{V}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \text{Pembahasan diserahkan kepada pembaca}\end{array}$

Program Linear Dua Variabel (Matematika Wajib Kelas XI)

$\text{A. Pendahuluan}$

Untuk menguasai materi ini, materi prasyarat yang harus pembaca kuasai adalah materi tentang persamaan linier dua variabel dan tentunya materi pertidaksamaan linear satu variabel. Materi program linear ini banyak digunakan dalam bidang ekonomi khususnya masalah optimasi.

$\text{B. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel}$

Sebelumnya perhatikanlah ilustrasi berikut

Bentuk umum yang akan digunakan dalam bahasan ini adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{ll}ax+by& \ge m\\ ax+by& >m\\ cx+dy& \le n\\ cx+dy& <n\end{array}\\ \\ & \text{dengan}\\ & a,b,c,d,m,n\text{bilangan riil}\\ & \text{serta}\\ & x,y\text{keduanya adalah peubah bebas/variabel}\end{array}$

Sebagai misal 

Untuk membantu menentukan pertidaksamaan linear dua variabel di atas tentunya penting juga membuat persamaan garis lurus (linear) sebagai prasyarat untuk membuat pertidaksaan yang dimaksud, yaitu:

$\begin{array}{rl}& \text{Persamaan garis di atas adalah}:\\ & ax+by=ab\end{array}$

dan jika garisnya berbentuk berikut:

$\begin{array}{rl}& \text{maka persamaan garisnya adalah}:\\ & (1)ax-by=0,\text{atau}\\ & (2)y=(\tan \alpha )x\end{array}$

dan jika garisnya berupa ilustrasi berikut

$\begin{array}{rl}& \text{maka persamaan gradien dan garisnya adalah}:\\ & (1)m={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\text{dan}}\\ & (2)y=m(x-x_1)+y_1\end{array}$

Dalam program linear terdapat dua hal yang harus diperhatikan yang berkaitan dalam penyelesaian dari masalah optimasi nantinya, yaitu kendala-kendala berupa pertidaksamaan linear dua variabel yang menjadi bahasan utama dan fungsi objektif sebagai fungsi sasarannya untuk mendapatkan dan menentukan mana yang nantinya dinyatakan suatu vektek (titik pojok) sebagai titik maksimum atau minimum.

$\text{C. Nilai Optimum Fungsi Objektif}$

Bentuk umum dari fungsi objektif ini adalah

$\boxed{{\displaystyle f(x,y)=ax+by}}$

Fungsi optimum ini akan menunjukkan keoptimumnya mana kala titik-titik pojok disubstitusikan pada fungsi ini sehingga akan didapatkan nilai maksimum atau minimunya. 

Untuk mendapatkan nilai optimum dari fungsi objektif ini dapat digunakan salah satu metode berikut

• metode uji titik pojok
• metode garis selidik

$\text{D. Langkah Penyelesaian Program Linear}$

$\begin{array}{rl}(1)& \text{Membuat model matematika}.\\ & \text{Memodelkan soal ke dalam bahasa matematika}\\ (2)& \text{Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear}\\ & \text{(dua variabel) dan mengarsir daerah yang}\\ & \text{memenuhi pertidaksamaan yang diinginkan}\\ (3)& \text{Menentukan titik-titik sudut (verteks / titik ekstrem )}\\ (4)& \text{Menentukan penyelesaian Optimasi dari fungsi objektif tersebut}\\ & \text{(kadang disebut sebagai fungsi sasaran / tujuan)}f(x,y)=ax+by\\ & \text{baik dengan metode uji titik sudut (Verteks / titik ekstrem)}\\ & \text{atau garis selidik}.\end{array}$

$\boxed{\text{CONTOH SOAL}}$

$\begin{array}{l}\\ & \text{Tentukanlah nilai minimum fungsi objektif}\\ & f(x,y)=3x+5y.\text{Jika diketahui}\\ & \text{kendala-kendalanya adalah sebagai berikut}:\\ & \{\begin{array}{ll}2x+y& \ge 8\\ 2x+3y& \ge 12\\ x\ge 0& \\ y\ge 0& \end{array}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}\\ & \text{Mula-mula kita tentukan wilayah kendalanya, yaitu}:\\ & \text{kendala 1}:2x+y\ge 8,\text{maka garisnya}:2x+y=8\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline x& 0& 4\\ y& 8& 0\\ (x,y)& (0,8)& (4,0)\\ \hline\end{array}\\ & \text{kendala 2}:2x+3y\ge 12,\text{garisnya}:2x+3y=12\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline x& 0& 6\\ y& 4& 0\\ (x,y)& (0,4)& (6,0)\\ \hline\end{array}\\ & \text{kendala 3}:x\ge 0,\text{garisnya}:x=0\\ & \text{yang diarsir wilayah dari sumbu Y ke kanan}\\ & \text{kendala y}:y\ge 0,\text{garisnya}:y=0\\ & \text{yang diarsir wilayah dari sumbu X ke atas}\\ & \text{Dan titik potong kedua garis di atas, yaitu}:\\ & \begin{array}{|cc|}\hline 2x+y=8& 2x+3y=12\\ \text{di eliminasi}& \text{substitusi}\\ \begin{array}{c}2x+y=8\\ 2x+3y=12\\ -------\\ -2y=-4\\ y=2\end{array}& \begin{array}{rl}& 2x+y=8\\ & 2x+(2)=8\\ & 2x=8-2\\ & x=4-1=3\end{array}\\ \begin{array}{rl}& \text{Jadi}\\ & \text{titik potongnya}\\ & \text{potongnya adalah}\end{array}& (3,2)\\ \hline\end{array}\\ & \text{Langkah berikutnya menentukan vertek dan}\\ & \text{menggambar kedalam koordinat Kartesius, yaitu}:\end{array}$

$\begin{array}{rl}.& \text{Langkah berikutnya menentukan}\\ & \text{nilai minimumnya, yaitu}:\end{array}$

$\begin{array}{|ccl|}\hline \text{Titik pojok/vertek}& f(x,y)=3x+5y& \text{Keterangan}\\ (6,0)& 3.6+0=18& \text{Minimum}\\ (3,2)& 3.3+5.2=19& \\ (0,8)& 0+5.8=40& \\ \hline\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Muis, A. 2009. Perang Siasat Matematika Dasar. Bantul: KREASI WACANA
2. Tim VisiMath. 2009. 5000Plus Soal Matematika. Jakarta: Cerdas Interaktif

Contoh Soal 5 Induksi Matematika (Matematika Wajib Kelas XI)

$\begin{array}{l}\\ 21.& \text{Diketahui bahwa}S(n)\text{adalah formula dari}\\ & 3+6+12+24+...+\left({3.2}^{n-1}\right)=3.(2^n-1)\\ & \text{Jika}S(n)\text{benar, untuk}n=k+1,\text{maka}\\ & \text{ruas kiri persamaan tersebut dapat dituliskan}\\ & \text{dengan}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 3+6+12+24+...+{3.2}^{k+1}\\ \text{b}.& 3+6+12+24+...+{3.2}^{k-1}\\ \text{c}.& 3+6+12+24+...+{3.2}^{k-1}+{3.2}^k\\ \text{d}.& 3+6+12+24+...+{3.2}^{k-1}+{3.2}^{k+1}\\ \text{e}.& 3+6+12+24+...+{3.2}^k+{3.2}^{k+1}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \begin{array}{rl}& 3+6+12+24+...+{3.2}^{n-1}=3.(2^n-1)\\ & 3+6+12+24+...+{3.2}^{k-1}+{3.2}^k=3.(2^{k+1}-1)\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Budhi, W.S. 2018. Bupena Matematika SMA/MA Kelas XI Kelompok Wajib. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh Soal 4 Induksi Matematika (Matematika Wajib Kelas XI)

$\begin{array}{l}\\ 16.& \text{Diketahui}1+5+9+...+(4n-1)=2n^2-n\\ & \text{dengan}n\text{bilangan asli}.\text{Jika}m<k\text{dengan}\\ & m,k\text{bilangan asli juga},\text{maka}\\ & (4m-3)+(4m+1)+...+(4k-3)=....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& (k-m)(2k+2m-2)\\ \text{b}.& (k-m+1)(2k+2m-3)\\ \text{c}.& (k-m+1)(2k-2m+1)\\ \text{d}.& (k-m+1)(2k^2+2m^2-3)\\ \text{e}.& (k-m{)}^2(2k-2m+4)\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{b}}\\ & \begin{array}{rl}& 1+5+9+...+(4m-3)+(4m+1)+...+(4k-3)\\ & =\underset{2k^2-k}{\underbrace{1+5+...+(4k-3)}}-\underset{2(m-1{)}^2-(m-1)}{\underbrace{1+5+...+(4(m-1)-3)}}\\ & =2k^2-k-(2(m-1{)}^2-(m-1))\\ & =2k^2-k-2(m-1{)}^2+(m-1)\\ & =2k^2-k-2(m^2-2m+1)+m-1\\ & =2k^2-k-2m^2+4m-2+m-1\\ & =2k^2-k-2m^2+5m-3\\ & =(k-m+1)(2k+2m-3)\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 17.& \text{Diketahui}{2}^1+2^2+2^3+...+2^n=2^{n+1}-2\\ & \text{dengan}n\text{bilangan asli}.\text{Jika}k\text{bilangan asli},\\ & \text{maka}{2}^2+2^3+2^4+...+2^k+2^{k+1}=....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& (k-m)(2k+2m-2)\\ \text{b}.& (k-m+1)(2k+2m-3)\\ \text{c}.& (k-m+1)(2k-2m+1)\\ \text{d}.& (k-m+1)(2k^2+2m^2-3)\\ \text{e}.& (k-m{)}^2(2k-2m+4)\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{d}}\\ & \begin{array}{rl}& 2^2+2^3+2^4+...+2^k+2^{k+1}\\ & =2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^k+2^{k+1}-2^1\\ & =\underset{2^{k+1+1}-2}{\underbrace{2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^k+2^{k+1}}}-2^1\\ & =2^{k+2}-2-2\\ & =2^{k+2}-4\\ & =2^k{.2}^2-4\\ & =2^k\times 4-4\\ & =4(2^k-1)\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 18.& \text{Diketahui bahwa}S(n)\text{adalah formula dari}\\ & 2+5+10+17+...+(n^2+1)={\displaystyle \frac{1}{6}(n+1)(2n^2+n+6)}\\ & \text{Jika}S(n)\text{benar, untuk}n=k,\text{maka}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 2+5+10+17+...+(k^2+1)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{6}(k+1)(2k^2+k+6)}\\ \text{b}.& 2+5+10+17+...+(n^2+1)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{6}(k+1)(2k^2+k+6)}\\ \text{c}.& 2+5+10+17+...+(k^2+2)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{6}(k+2)(2k^2+5k+9)}\\ \text{d}.& (k^2+1)={\displaystyle \frac{1}{6}(k+1)(2k^2+k+6)}\\ \text{e}.& (n^2+2)={\displaystyle \frac{1}{6}(n+1)(2n^2+5n+9)}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{a}}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Cukup jelas}\\ & \text{Tinggal mensubstitusikan dari}\\ & \text{tiap}n\text{diganti}k\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 19.& \text{Diketahui bahwa}S(n)\text{adalah formula dari}\\ & 12+17+22+...+(5n+7)={\displaystyle \frac{1}{2}(n+1)(5n+14)}\\ & \text{Jika}S(n)\text{benar, untuk}n=k,\text{maka benar}\\ & \text{untuk}n=k+1.\text{Pernyataan ini dapat}\\ & \text{dinyatakan dengan}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 12+17+22+...+(5k+7)={\displaystyle \frac{1}{2}(k+1)(5k+14)}\\ \text{b}.& 12+17+22+...+(5k+7)={\displaystyle \frac{1}{2}(k+1)(5k+19)}\\ \text{c}.& 12+17+22+...+(5k+12)={\displaystyle \frac{1}{2}(k+1)(5k+19)}\\ \text{d}.& 12+17+22+...+(5k+12)={\displaystyle \frac{1}{2}(k+2)(5k+14)}\\ \text{e}.& 12+17+22+...+(5k+12)={\displaystyle \frac{1}{2}(k+2)(5k+19)}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{e}}\\ & \begin{array}{rl}& 12+17+22+...+(5k+7)={\displaystyle \frac{1}{2}(k+1)(5k+14)}\\ & 12+17+22+...+(5(k+1)+7)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}((k+1)+1)(5(k+1)+14)}\\ & 12+17+22+...+(5k+12)={\displaystyle \frac{1}{2}(k+2)(5k+19)}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 20.& \text{Diketahui bahwa}S(n)\text{adalah formula dari}\\ & 4+5+6+7+...+(n+3)<5n^2\\ & \text{Jika}S(n)\text{benar, untuk}n=k+1,\text{maka}\\ & \text{pernyataan ini dapat ditulis dengan}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 4+5+6+...+(k+4)<5k^2\\ \text{b}.& 4+5+6+...+(k+3)<5k^2\\ \text{c}.& 4+5+6+...+(k+3)<5(k+1{)}^2\\ \text{d}.& 4+5+6+...+(k+4)<5(k^2+2k+1)\\ \text{e}.& 4+5+6+...+(k+4)<5(k+1)(k-1)\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{d}}\\ & \begin{array}{rl}& 4+5+6+...+(n+3)<5n^2\\ & \text{Saat}n=k+1,\text{maka}\\ & 4+5+6+...+((k+1)+3)<5(k+1{)}^2\\ & =4+5+6+...+(k+4)<5(k^2+2k+1)\end{array}\end{array}$

Contoh Soal 3 Induksi Matematika (Matematika Wajib Kelas XI)

 $\begin{array}{l}\\ 11.& \text{Perhatikanlah pernyataan-pernyataan berikut}\\ & (1){\displaystyle \sum _{i=1}^5(5i+2)=4{\displaystyle \sum _{i=1}^{5}i+10}}\\ & (2){\displaystyle \sum _{i=1}^5(5i^2-i)=5{\displaystyle \sum _{i=1}^5{i}^2-\sum _{i=1}^{5}i}}\\ & (3){\displaystyle \sum _{i=1}^5(3i-4)=3{\displaystyle \sum _{i=1}^5{i}^2-4}}\\ & (4){\displaystyle \sum _{i=1}^5(i+7i^2)={\displaystyle \sum _{i=1}^{5}i-7\sum _{i=1}^{5}i}}\\ & \text{Pernyataan yang tepat ditunjukkan oleh}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& (1)\text{dan}(2)\\ \text{b}.& (1)\text{dan}(3)\\ \text{c}.& (1)\text{dan}(4)\\ \text{d}.& (2)\text{dan}(3)\\ \text{e}.& (2)\text{dan}(4)\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{a}}\\ & \begin{array}{rl}(1)& {\displaystyle \sum _{i=1}^5(5i+2)=4{\displaystyle \sum _{i=1}^{5}i+\sum _{i=1}^{5}2}}\\ & =4{\displaystyle \sum _{i=1}^{5}i+5\times 2}\\ & =4{\displaystyle \sum _{i=1}^{5}i+10}\\ (2)& {\displaystyle \sum _{i=1}^5(5i^2-i)=5{\displaystyle \sum _{i=1}^5{i}^2-\sum _{i=1}^{5}i}}\\ (3)& {\displaystyle \sum _{i=1}^5(3i-4)=3{\displaystyle \sum _{i=1}^5{i}^2-\sum _{i=1}^{5}4}}\\ & =3{\displaystyle \sum _{i=1}^5{i}^2-5\times 4}\\ & =3{\displaystyle \sum _{i=1}^5{i}^2-20}\\ (4)& {\displaystyle \sum _{i=1}^5(i+7i^2)={\displaystyle \sum _{i=1}^{5}i+7\sum _{i=1}^{5}i}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 12.& \text{Hasil dari}{\displaystyle \sum _{i=1}^4{i}^2+\sum _{i=5}^6{i}^2}\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 86}\\ \text{b}.& {\displaystyle 91}\\ \text{c}.& {\displaystyle 95}\\ \text{d}.& {\displaystyle 101}\\ \text{e}.& {\displaystyle 105}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{b}}\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{i=1}^4{i}^2+\sum _{i=5}^6{i}^2}& ={\displaystyle \sum _{i=1}^6{i}^2}\\ & =1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2\\ & =1+4+9+16+25+36\\ & =91\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 13.& \text{Hasil dari}{\displaystyle \sum _{i=2}^5(4i^2-2i)\text{adalah}....}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 144}\\ \text{b}.& {\displaystyle 148}\\ \text{c}.& {\displaystyle 154}\\ \text{d}.& {\displaystyle 164}\\ \text{e}.& {\displaystyle 188}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{e}}\\ & \begin{array}{rl}& {\displaystyle \sum _{i=2}^5(4i^2-2i)}\\ & =({4.2}^2-2.2)+({4.3}^2-2.3)+({4.4}^2-2.4)+({4.5}^2-2.5)\\ & =12+30+56+90\\ & =188\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 14.& \text{Bentuk}{11}^n-1\text{dengan}n\text{bilangan asli}\\ & \text{akan habis dibagi oleh}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 7}\\ \text{b}.& {\displaystyle 9}\\ \text{c}.& {\displaystyle 10}\\ \text{d}.& {\displaystyle 11}\\ \text{e}.& {\displaystyle 13}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \begin{array}{rl}\text{Bentuk}& {11}^n-1\\ \text{untuk}& n=1\\ & ={11}^1-1\\ & =10\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 15.& \text{Rumus yang tepat untuk pola}12,13,14,15,...\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle U_n=n+9}\\ \text{b}.& {\displaystyle U_n=n+10}\\ \text{c}.& {\displaystyle U_n=n+11}\\ \text{d}.& {\displaystyle U_n=2n+10}\\ \text{e}.& {\displaystyle U_n=2n+11}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \begin{array}{rl}\text{Bentuk}& 12,13,14,15,...\\ \text{untuk}& U_n=pn+q\\ 12& =p+q\\ 13& =2p+q\\ \text{akan}& \text{didapatkan}\\ & \{\begin{array}{ll}p& =1\\ q& =11\end{array}\\ \text{Sehing}& \text{ga}\\ U_n& =n+11\end{array}\end{array}$

Contoh Soal 2 Induksi Matematika (Matematika Wajib Kelas XI)

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Dengan Induksi Matematika untuk}n\in \mathbb{N}\\ & \text{dapat dibuktikan juga bahwa}{7}^n-2^n\\ & \text{akan habis dibagi oleh}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 2\\ \text{b}.& 3\\ \text{c}.& 4\\ \text{d}.& 5\\ \text{e}.& 6\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{d}}\\ & \begin{array}{rl}P(n)& =7^n-2^n\\ P(1)& =7^1-2^1\\ & =7-2=5\\ & \text{adalah bilangan yang habis dibagi 5}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Diketahui bahwa}P(n)\text{rumus dari}\\ & 3+6+9+\cdots +3n={\displaystyle \frac{3}{2}n(n+1)}\\ & \text{maka langkah pertama dengan induksi matematika}\\ & \text{dalam pembuktian rumus tersebut adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& P(n)\text{benar untuk}n=-1\\ \text{b}.& P(n)\text{benar untuk}n=1\\ \text{c}.& P(n)\text{benar untuk}n\text{bilangan bulat}\\ \text{d}.& P(n)\text{benar untuk}n\text{bilangan rasional}\\ \text{d}.& P(n)\text{benar untuk}n\text{bilangan real}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{b}}\\ & \begin{array}{rl}\text{Langkah}& \text{awal yang harus ditunjukkan adalah}\\ n=1& \text{atau}P(1)\text{harus benar, yaitu}:\\ P(1)& =3.1(\mathit{\text{ruas kiri}})={\displaystyle \frac{3}{2}.1.(1+1)(\mathit{\text{ruas kanan}})=3}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Bila kita hendak membuktikan}{\displaystyle \sum _{i=1}^n={\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)}}\\ & \text{dengan induksi matematika}\\ & \text{maka untuk langkah}n=k+1\\ & \text{bentuk yang harus ditunjukkan adalah}...\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 1+2+3+\cdots +n={\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)}\\ \text{b}.& 1+2+3+\cdots +k={\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)}\\ \text{c}.& 1+2+3+\cdots +k={\displaystyle \frac{1}{2}k(k+2)}\\ \text{d}.& 1+2+3+\cdots +k+(k+1)={\displaystyle \frac{1}{2}(k+1)(k+2)}\\ \text{e}.& 1+2+3+\cdots +k+(k+1)={\displaystyle \frac{1}{2}(k+2)(k+3)}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{d}}\\ & \begin{array}{rl}P(n)& =1+2+3+\cdots +n={\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)}\\ P(k)& =1+2+3+\cdots +k={\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)}\\ P(k+1)& =1+2+3+\cdots +k+(k+1)\\ & =\underset{{\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)}}{\underbrace{1+2+3+\cdots +k}}+(k+1)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}k(k+1)+(k+1)=(k+1)\left({\displaystyle \frac{1}{2}k+1}\right)}\\ & =(k+1){\displaystyle \frac{1}{2}(k+2)}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}(k+1)(k+2)}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 9.& \text{Jika}P(n)={\displaystyle \frac{n-1}{n+3},\text{maka}P(k+1)}\\ & \text{dinyatakan dengan}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{k-1}{k+3}}\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{k-1}{k+4}}\\ \text{c}.& {\displaystyle \frac{k}{k+4}}\\ \text{d}.& {\displaystyle \frac{k+1}{k+4}}\\ \text{e}.& {\displaystyle \frac{k+1}{k+5}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \begin{array}{rl}P(n)=& {\displaystyle \frac{n-1}{n+3}}\\ P(k+1)& ={\displaystyle \frac{k+1-1}{k+1+3}}\\ & ={\displaystyle \frac{k}{k+4}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 10.& \text{Jika}P(n)={\displaystyle \frac{n^2+1}{4},\text{maka}}\\ & \text{pernyataan untuk}P(k+1)\text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{k^2+2k+1}{4}}\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{k^2+2k+2}{4}}\\ \text{c}.& {\displaystyle \frac{k^2+2k+2}{5}}\\ \text{d}.& {\displaystyle \frac{k^2+2k+3}{5}}\\ \text{e}.& {\displaystyle \frac{k^2+2k+3}{4}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{b}}\\ & \begin{array}{rl}P(n)& ={\displaystyle \frac{n^2+1}{4}}\\ P(k+1)& ={\displaystyle \frac{(k+1{)}^2+1}{4}}\\ & ={\displaystyle \frac{k^2+2k+2}{4}}\end{array}\end{array}$

Contoh Soal 1 Induksi Matematika (Matematika Wajib Kelas XI)

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Hasil dari}{\displaystyle \sum _{i=1}^{6}16i\text{adalah}....}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 306\\ \text{b}.& 314\\ \text{c}.& 326\\ \text{d}.& 336\\ \text{e}.& 402\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{d}}\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{i=1}^{6}16i}& =16.1+16.2+16.3+16.4+16.5+16.6\\ & =16+32+48+64+80+96\\ & =336\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Hasil dari}{\displaystyle \sum _{i=2}^9{i}^2\text{adalah}....}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 274\\ \text{b}.& 278\\ \text{c}.& 280\\ \text{d}.& 284\\ \text{e}.& 286\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{d}}\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{i=2}^9{i}^2}& =2^2+3^2+4^2+5^2+..+9^2\\ & =4+9+16+25+...+81\\ & =284\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Poa bilangan}12,14,16,18,20,...,(2n+10).\\ & \text{Nilai suku ke-100 adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 180\\ \text{b}.& 194\\ \text{c}.& 198\\ \text{d}.& 208\\ \text{e}.& 210\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{e}}\\ & \begin{array}{rl}{U}_n& =2n+10\\ U_{100}& =2\times 100+10\\ & =210\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Diketahui bahwa jika}\\ & 31+39+47+\cdots +8n+23=4n^2+27n\\ & \text{dengan}k,n\in \mathbb{N}\text{maka}\\ & 31+39+47+\cdots +8n+23+8k+31=....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 4k^2+27k\\ \text{b}.& 4k^2+35k\\ \text{c}.& 4k^2+35k+31\\ \text{d}.& 4k^2+35k+1\\ \text{e}.& 4k^2+35k+54\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \begin{array}{rl}& \underset{4k^2+27k}{\underbrace{31+39+47+\cdots +8k+23}}+8k+31\\ & =4k^2+27k+8k+31\\ & =4k^2+35k+31\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Dengan Induksi Matematika untuk}n\in \mathbb{N}\\ & \text{dapat dibuktikan bahwa}n(n+1)(n+2)\\ & \text{akan habis dibagi oleh}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 4\\ \text{b}.& 5\\ \text{c}.& 6\\ \text{d}.& 7\\ \text{e}.& 8\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \begin{array}{rl}P(n)& =n(n+1)(n+2)\\ P(1)& =1(1+1)(1+2)=1.2.3\\ & \text{adalah bilangan yang habis dibagi 6}\end{array}\end{array}$