PAS MATEMATIKA BLOG

$\begin{array}{ll} 31. & 2 + 4 + 6 + 8 + \dots = . . . . . \\ A . \sum_{k = 1}^{n} 2 k \\ B . \sum_{k = 1}^{n} 2^{k} \\ C . \sum_{k = 1}^{n} 2 k - 1 \\ D . \sum_{k = 1}^{n} (2 - k) \\ E . \sum_{k = 1}^{n} k \\ Jawab : \\ Cukup Jelas bahwa \\ \begin{aligned} 2 + 4 + 6 + 8 + \dots \\ 2 (1 + 2 + 3 + 4 + \dots) & = 2 \sum_{k = 1}^{n} k = \sum_{k = 1}^{n} 2 k \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 32. & (UN 2005) \\ Seorang anak menabung di suatu bank dengan \\ selisih kenaikan tabungan antarbulan tetap \\ Pada bulan pertama sebesar Rp50.000,00, \\ bulan kedua Rp55.000,00, bulan ketiga \\ Rp60.000,00, dan demikian seterusnya . \\ Besar tabungan anak tersebut selama \\ dua tahun adalah . . . . . \\ A . Rp1.315.000,00 \\ B . Rp1.320.000,00 \\ C . Rp2.040.000,00 \\ D . Rp2.580.000,00 \\ E . Rp2.640.000,00 \\ Jawab : \\ Diketahui deret aritmetika dengan \\ \begin{aligned} ∙ a = U_{1} = Rp 50.000, 00 \\ ∙ U_{2} = Rp 55.000, 00 \\ ∙ b = U_{2} - U_{1} = Rp 5.000, 00 \\ Ditanya: Besar tabungan selama 2 tahun \\ \begin{aligned} S_{n} & = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) b) \\ Ka & rena 2 tahun = 24 bulan, maka \\ S_{24} & = \frac{24}{2} (2 \times 50.000 + (24 - 1) \times 5.000) \\ = 12 (100.000 + 115.000) = 2.580 .000 \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 33. & (UN 2006) \\ Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 meter dan \\ memantul kembali dengan ketinggian \frac{3}{4} dari \\ tinggi semula dan begitu seterusnya hingga bola \\ berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah . . . . . \\ A . 65 meter \\ B . 70 meter \\ C . 75 meter \\ D . 77 meter \\ E . 80 meter \\ Jawab : \\ Perhatikan ilustrasi gambar berikut \end{array}$ .

$. \begin{aligned} Soal terkait dengan deret geometri tak hingga \\ Yaitu : S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}, dengan | r | < 1 \\ \begin{aligned} S & = 10 + 2. \frac{3}{4} .10 + 2. \frac{3}{4} . \frac{3}{4} .10 + 2. \frac{3}{4} . \frac{3}{4} . \frac{3}{4} .10 + . . . \\ = 10 + 20. \frac{3}{4} + 20. {(\frac{3}{4})}^{2} + 20 + {(\frac{3}{4})}^{3} + . . . \\ = 10 + 20 (\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + . . .) \end{aligned} \\ adalah deret geometri tak hingga dengan \\ a = r = \frac{3}{4}, maka \\ \begin{aligned} S_{\infty} & = 10 + 20. (\frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{4}}) = 10 + 20. (\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}) \\ = 10 + 20.2 = 10 + 60 = 70 meter \end{aligned} \end{aligned}$ .

$. \begin{aligned} Alternatif Jawaban \\ Dengan rumus praktis, yaitu \\ \begin{matrix} \begin{aligned} Panjang seluruh lintasan bola \end{aligned} \\ \begin{matrix} \begin{aligned} S & = Jatuh 1 \times \frac{Jumlah perbandingan}{Selisih perbandingan} \\ = 10 \times \frac{4 + 3}{4 - 3} = 10 \times \frac{7}{1} = 70 meter \end{aligned} \end{matrix} \end{matrix} \end{aligned}$ .

$\begin{array}{ll} 34. & ^{4} \log 2 +^{4} \log 4 +^{4} \log 16 +^{4} \log 64 + . . . \\ membentuk . . . . . \\ A . deret aritmetika dengan beda^{4} \log 2 \\ B . deret geometri dengan pembanding^{4} \log 2 \\ C . deret aritmetika dengan beda 2 \\ D . deret geometri dengan pembanding 2 \\ E . bukan deret geometri maupun matematika \\ Jawab : \\ \begin{aligned} S_{n} & =^{4} \log 2 +^{4} \log 4 +^{4} \log 16 +^{4} \log 64 + . . . \\ =^{4} \log 4^{\frac{1}{2}} +^{4} \log 4^{1} +^{4} \log 4^{2} +^{4} \log 4^{3} + . . . \\ = \frac{1}{2} + 1 + 2 + 3 + . . . \\ dengan a = U_{1} = \frac{1}{2}, U_{2} = 1, & U_{3} = 2 \\ Kita perlu cek dengan ciri masing-masing \\ deret, yaitu : \\ \begin{array}{ll} Deret Aritmetika & Deret Geometri \\ \begin{aligned} 2 U_{2} = U_{1} + U_{3} \\ atau \\ 2 U_{n + 1} = U_{n} + U_{n + 2} \end{aligned} & \begin{aligned} U_{2}^{2} = U_{1} \times U_{3} \\ atau \\ U_{n + 1}^{2} = U_{n} \times U_{n + 2} \end{aligned} \\ \begin{aligned} 2. (1) \neq \frac{1}{2} + 2 \end{aligned} & \begin{aligned} (1)^{2} = \frac{1}{2} \times 2 \\ (2)^{2} \neq 1 \times 2 \end{aligned} \end{array} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 35. & Suatu modal sebesar M rupiah dibungakan dengan \\ bunga p % pertahun. Jika bunganya majmuk, maka \\ setelah n tahun modal tersebut akan menjadi . . . . \\ A . M + (p / 100)^{n} \\ B . (M + p % . M)^{n} \\ C . n M . p % \\ D . M (1 - 0, 5)^{n} \\ E . M (1 + p %)^{n} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Untuk kasus bunga majmuk di atas adalah : \\ M, M (1 + p %), M (1 + p %)^{2}, M (1 + p %)^{3}, \dots \\ adalah barisan geometri \\ M_{n} = M_{0} (1 + p %)^{n} atau M_{n} = M_{0} (1 + i)^{n} \\ dengan \\ \circ i = p % adalah persentase bunga \\ \circ n = Jangka waktu \\ \circ M_{0} = Modal yang diperbungakan \end{aligned} \end{array}$ .

Lanjutan 6 Contoh Soal Barisan dan Deret

$\begin{array}{ll} 26. & Syarat untuk deret geometri tak hingga \\ dengan suku pertama a konvergen dengan \\ jumlah 2 adalah . . . . . \\ A . - 2 < a < 0 \\ B . - 4 < a < 0 \\ C . 0 < a < 2 \\ D . 0 < a < 4 \\ E . - 4 < a < 4 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa S_{\infty} = 2, dengan \\ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \Leftrightarrow 1 - r = \frac{a}{S_{\infty}} \Leftrightarrow r = 1 - \frac{a}{S_{\infty}} \\ \Leftrightarrow - 1 < 1 - \frac{a}{S_{\infty}} < 1 \Leftrightarrow - 2 < - \frac{a}{S_{\infty}} < 0 \\ \Leftrightarrow 0 < \frac{a}{S_{\infty}} < 2 \Leftrightarrow\Leftrightarrow 0 < \frac{a}{2} < 2 \\ \Leftrightarrow 0 < a < 4 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 27. & Tiga bilangan membentuk barisan geometri \\ dengan jumlah 26 . Jika suku tengah ditambah \\ 4 , maka terbentuklah barisan aritmetika, suku \\ suku tengah dari barisan geometri tersebut . . . . . \\ A . 2 \\ B . 4 \\ C . 6 \\ D . 10 \\ E . 18 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Barisan Geometri : U_{1} + U_{2} + U_{3} = 26 \\ ∙ U_{1} + U_{3} = 26 - U_{2} \\ ∙ U_{2}^{2} = U_{1} . U_{3} \\ Barisan Aritmetika : U_{1}, U_{2} + 4, U_{3} \\ ∙ U_{1} + U_{3} = 2 (U_{2} + 4) = 2 U_{2} + 8 \\ maka \\ 26 - U_{2} = 2 U_{2} + 8 \\ \Leftrightarrow - 2 U_{2} - U_{2} = 8 - 26 \\ \Leftrightarrow - 3 U_{2} = - 18 \\ \Leftrightarrow U_{2} = \frac{- 18}{- 3} = 6 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 28. & Selish suku tengah pada barisan aritmetika \\ dengan suku pertama dan terakhir masing- \\ masing 1 dan 25 dengan barisan geometri \\ yang suku-sukunya positif dengan suku-suku \\ pertama dan terakhir juga 1 dan 25 adalah . . . . . \\ A . 5 \\ B . sekitar 7, 1 \\ C . 8 \\ D . 13 \\ E . 18 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} U_{t} = Suku tengah \\ Barisan Aritmetika (BA) : U_{t_{B A}} = \frac{1}{2} (U_{1} + U_{n}) \\ \Leftrightarrow U_{t_{B A}} = \frac{1}{2} (1 + 25) = 13 \\ Barisan Geometri (BG) : U_{t}^{2} = U_{1} . U_{n} \\ \Leftrightarrow U_{t_{B G}} = \sqrt{U_{1} . U_{n}} = \sqrt{1 \times 25} = 5 \\ (ambil nilai yang positif) \\ maka \\ U_{t_{B A}} - U_{t_{B G}} = 13 - 5 = 8 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 29. & UM UGM \\ Jumlah deret geometri tak hingga adalah 6 \\ Jika tiap suku dikuadratkan, maka jumlahnya \\ adalah 4 . Suku pertama deret ini adalah . . . . \\ A . \frac{2}{5} D . \frac{5}{6} \\ B . \frac{3}{5} C . \frac{4}{5} E . \frac{6}{5} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} DG = Deret Geometri \\ a + a r + a r^{2} + \dots = S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = 6 \\ \Leftrightarrow a = 6 (1 - r) = 6 - 6 r . . . . . . . . . . . . (1) \\ Saat dikuadratkan masing-masing sukunya \\ a^{2} + a^{2} r^{2} + a^{2} r^{4} + \dots = S_{\infty} = \frac{a^{2}}{1 - r^{2}} = 4 \\ \Leftrightarrow a^{2} = 4 (1 - r^{2}) = 4 - 4 r^{2} . . . . . . . (2) \\ Substitusi (1) ke (2), maka \end{aligned} \\ \begin{aligned} a^{2} = a^{2} \\ \Leftrightarrow (6 - 6 r)^{2} = 4 - 4 r^{2} \\ \Leftrightarrow 36 - 72 r + 36 r^{2} = 4 - 4 r^{2} \\ \Leftrightarrow 40 r^{2} - 72 r + 32 = 0 \\ \Leftrightarrow (5 r - 4) (r - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow r = \frac{4}{5} (m e m e n u h i) atau r = 1 (t i d a k) \\ Selanjutnya kita tentukan nilai a, \\ a = 6 - 6 (\frac{4}{5}) = 6 (\frac{1}{5}) = \frac{6}{5} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 30. & Soal Mat SNMPTN \\ Agar deret geometri \frac{x - 1}{x}, \frac{1}{x}, \frac{1}{x (x - 1)} \\ jumlahnya memiliki limit, maka nilai x \\ harus memenuhi . . . . \\ A . x > 0 \\ B . x < 1 \\ C . 0 < x < 1 \\ D . x > 2 \\ E . x < 0 atau x > 2 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Deret Geometri (DG) : \frac{x - 1}{x}, \frac{1}{x}, \frac{1}{x (x - 1)} \\ r = \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x - 1}{x}} = \frac{1}{x - 1} \\ Syarat DG memiliki limit (konvergen) : | r | < 1 \\ \Leftrightarrow - 1 < r < 1 \\ \Leftrightarrow - 1 < \frac{1}{x - 1} < 1 \end{aligned} \\ \begin{aligned} Selesaian 1 \\ - 1 < \frac{1}{x - 1} \Leftrightarrow \frac{1}{x - 1} + 1 > 0 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x - 1} > 0 \Leftrightarrow \frac{x}{x - 1} > 0 \\ Selesaian 2 \\ \frac{1}{x - 1} < 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x - 1} - 1 < 0 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x - 1} < 0 \Leftrightarrow \frac{- x + 2}{x - 1} < 0 \\ HP : {x < 0 atau x > 2} \end{aligned} \\ Berikut ilustrasi garis bilangannya \\ \begin{array}{ccccccccccccc} (1) & + & + & - & - & - & - & - & + & + & + & + & + \\ 0 & 1 \\ (2) & - & - & - & - & - & - & - & + & + & + & + & - \\ 1 & 2 \end{array} \end{array}$ .

Lanjutan 5 Contoh Soal Barisan dan Deret

$\begin{array}{ll} 21. & Jika jumlah n suku pertama suatu barisan \\ adalah S_{n} = n^{3} + 2 n, maka suku keempat \\ adalah . . . . \\ A . 33 D . 63 \\ B . 39 C . 49 E . 72 \\ Jawab : \\ Diketahui jumlah dari suatu barisan bilangan \\ adalah S_{n} = n^{3} + 2 n, maka \\ \begin{aligned} U_{n} & = S_{n} - S_{n - 1} \\ U_{4} & = (4^{3} + 2 (4)) - (3^{3} + 2 (3)) \\ = (64 + 8) - (27 + 6) \\ = 72 - 33 = 39 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 22. & Dari suatu deret diketahui S_{n} = 3 n^{2} - 15 n \\ U_{n} = 0 saat n = . . . . \\ A . 1 D . 4 \\ B . 2 C . 3 E . 5 \\ Jawab : \\ Perhatikan hal yang diketahui di atas \\ \begin{aligned} U_{n} & = S_{n} - S_{n - 1} \\ 0 & = (3 n^{2} - 15 n) - (3 (n - 1)^{2} - 15 (n - 1)) \\ 0 & = 3 (n^{2} - (n - 1)^{2}) + 15 (n - 1 - n) \\ 0 & = 3 (2 n - 1) (1) + 15 (- 1) \\ 0 & = 6 n - 3 - 15 \\ 0 & = 6 n - 18 \\ 3 & = n \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 23. & Diketahui sebuah deret U_{n} = 2 a n + b + 4 \\ dan S_{n} = 3 b n^{2} + a n, maka nilai a dan \\ b adalah . . . . \\ A . 12 dan 4 \\ B . - 12 dan 4 \\ C . 12 dan - 4 \\ D . - 12 dan - 4 \\ E . - 4 dan - 12 \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa U_{n} = 2 a n + b + 4 dan \\ S_{n} = 3 b n^{2} + a n, maka \\ \begin{aligned} U_{n} = S_{n} - S_{n - 1} \\ U_{2} = S_{2} - S_{1} \\ 2 a (2) + b + 4 = (3 b {.2}^{2} + a .2) - (3 b {.1}^{2} + a .1) \\ \Leftrightarrow 4 a + b + 4 = 9 b + a \\ \Leftrightarrow 3 a - 8 b = - 4 . . . . . . . . (1) \end{aligned} \\ Dan juga \\ \begin{aligned} U_{1} = S_{1} \\ \Leftrightarrow 2 a (1) + b + 4 = 3 b {.1}^{2} + a .1 \\ \Leftrightarrow 2 a + b + 4 = 3 b + a \\ \Leftrightarrow a - 2 b = - 4 \\ \Leftrightarrow 3 a - 6 b = - 12 . . . . . . . . (2) \end{aligned} \\ \begin{aligned} Persamaan (2) disubstitusikan ke (1) \\ 3 a - 8 b = - 4 \\ \Leftrightarrow 3 a - 6 b - 2 b = 4 \\ \Leftrightarrow (- 12) - 2 b = - 4 \\ \Leftrightarrow - 2 b = - 4 + 12 = 8 \\ \Leftrightarrow b = - 4 . . . . . . . . (3) \\ Selanjutnya dikembalikan ke (1), maka \\ 3 a - 8 b = - 4 \\ \Leftrightarrow 3 a - 8 (- 4) = - 4 \\ \Leftrightarrow 3 a + 32 = - 4 \\ \Leftrightarrow 3 a = - 4 - 32 = - 36 \\ \Leftrightarrow a = - 12 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 24. & Jumlah n suku pertam sebuah barisan \\ adalah S_{n} = \frac{1}{6} (4 n^{3} - 63 n^{2} - n), suku ke - n \\ akan mempunyai nilai terkecil untuk n = . . . . \\ A . 3 D . 6 \\ B . 4 E . 7 \\ C . 5 \\ Jawab : \\ Dengan menggunakan rumus \\ U_{n} = S_{n} - S_{n - 1} dengan U_{1} = S_{1}, maka \\ akan didapatkan nilai \\ U_{1} = - 10, U_{2} = - 27, U_{3} = - 40, U_{4} = - 49 \\ U_{5} = - 54, U_{6} = - 55, U_{7} = - 52 \\ Kesemuanya membentuk barisan aritmetika \\ tingkat ke-2 . Berikut ilustrasinya \\ \begin{aligned} \underset{+ 4 + 4 + 4 + 4 + 4}{\underset{\underset{⏟}{} \underset{⏟}{} \underset{⏟}{} \underset{⏟}{} \underset{⏟}{}}{\underset{- 17 - 13 - 9 - 5 - 1 + 3}{\underset{\underset{⏟}{} \underset{⏟}{} \underset{⏟}{} \underset{⏟}{} \underset{⏟}{} \underset{⏟}{}}{- 10 - 27 - 40 - 49 - 54 - 55 - 52}}}} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 25. & Jika suku pertama dan kedua sebuah deret \\ geometri masing-masing adalah a^{- 4} dan a^{x} \\ serta suku kedelapan ialah a^{52}, maka nilai \\ x adalah . . . . \\ A . - 32 D . 8 \\ B . - 16 C . 12 E . 4 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} U_{8} = a r^{7} = U_{1} r^{7} = a^{52} \\ \Leftrightarrow U_{8} = a^{- 4} r^{7} = a^{52} \\ \Leftrightarrow r^{7} = \frac{a^{52}}{a^{- 4}} = a^{52 + 4} = a^{56} \\ \Leftrightarrow r = a^{.^{\frac{56}{7}}} = a^{8} \\ Maka nilai x - nya adalah \\ U_{2} = U_{1} r = a^{x} \\ \Leftrightarrow (a^{- 4}) (a^{8}) = a^{- 4 + 8} = a^{x} \\ \Leftrightarrow x = 4 \end{aligned} \end{array}$ .

Lanjutan 4 Contoh Soal Barisan dan Deret

$\begin{array}{ll} 16. & Carilah semua barisan bilangan yang berupa \\ barisan aritmetika dan sekaligus juga barisan \\ geometri \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Perhatikanlah bentuk barisan bilangan berikut : \\ \underset{\underset{a}{↕}}{\overset{\overset{a}{↕}}{U_{1}}}, \underset{\underset{a r}{↕}}{\overset{\overset{(a + b)}{↕}}{U_{2}}}, \underset{\underset{a r^{2}}{↕}}{\overset{\overset{(a + 2 b)}{↕}}{U_{3}}}, \underset{\underset{a r^{3}}{↕}}{\overset{\overset{(a + 3 b)}{↕}}{U_{4}}}, \underset{\underset{a r^{4}}{↕}}{\overset{\overset{(a + 4 b)}{↕}}{U_{5}}}, \dots, \underset{\underset{a r^{n - 1}}{↕}}{\overset{\overset{(a + (n - 1) b)}{↕}}{U_{n}}} \end{aligned} \\ \begin{aligned} Misalkan \\ Pada BA berlaku 2 U_{2} = U_{1} + U_{3} \\ yaitu {\begin{cases} 2 (a + b) = a + (a + 2 b), & atau \\ 2 (a r) = a + (a r^{2}) \end{cases} \\ 2 a r = a + a r^{2}, dibagi a masing-masing ruas \\ r^{2} - 2 r + 1 = 0 \\ (r^{2} - 2 r + 1) = 0 \\ (r - 1)^{2} = 0 \\ r = 1 \\ Sehingga barisannya akan menjadi \\ a, a, a, a, \dots \\ Pada BG juga berlaku U_{2}^{2} = U_{1} \times U_{3} \\ yaitu {\begin{cases} (a + b)^{2} = a \times (a + 2 b), & atau \\ (a r)^{2} = a \times (a r^{2}) \end{cases} \\ ambil saja \\ (a + b)^{2} = a \times (a + 2 b) \\ a^{2} + 2 a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b \\ b^{2} = 0 \\ b = 0 \\ dan barisannya juga sama, yaitu \\ a, a, a, a, \dots \\ Jadi, semua bilangan memenuhi a \neq 0 \\ saat r = 1 a t a u b = 0 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 17. & Pada waktu yang sama Anton mulai \\ menabung Rp 10.000 .000, 00 dan Budi \\ menabung Rp 8.000 .000, 00. Selanjutnya \\ Anton menabung Rp 100.000, 00 tiap \\ bulan dan Budi menabung Rp 150.000, 00 \\ Setelah berapa bulan tabungan keduanya \\ tepat sama . . . . \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Soal di atas adalah aplikasi dari deret \\ aritmetika \\ ∙ barisan pertama \\ u_{1} = a = 10.000 .000, b = 100.000 \\ ∙ barisan kedua \\ u_{1} = a = 8.000 .000, b = 150.000 \\ Selanjutnya adalah \\ u_{1} + (n - 1) b = u_{1}^{^{'}} + (n - 1) b^{'} \\ \Leftrightarrow 10.000 .000 + (n - 1) \times 100.000 \\ = 8.000 .000 + (n - 1) \times 150.000 \\ \Leftrightarrow (100.000 - 150.000) \times (n - 1) \\ = 8.000 .000 - 10.000 .000 \\ \Leftrightarrow - 50.000 (n - 1) = - 2.000 .000 \\ \Leftrightarrow (n - 1) = \frac{- 2.000 .000}{- 50.000} = 40 \\ n = 40 + 1 = 41 \end{aligned} \\ Jadi, tabungan keduanya akan sama setelah \\ 40 bulan \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 18. & Tentukan jumlah semua bilangan asli \\ antara 1 dan 150 yang habis dibagi 4 \\ tetapi tidak habis dibagi 7 ? \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Soal di atas adalah aplikasi dari deret \\ aritmetika \\ ∙ barisan pertama adalah bilangan asli \\ yang habis dibagi 4 \\ u_{1} = a = 4, b = 4, U_{n} = 148 \\ U_{n} = a + (n - 1) b = 4 + (n - 1) 4 = 148 \\ didapatkan nilai n = 37 \\ S_{n} = \frac{n}{2} (a + u_{n}) = \frac{37}{2} (4 + 148) = 2812 \\ ∙ barisan kedua adalah bilangan asli \\ yang habis dibagi = 4 \times 7 = 28 \\ u_{1} = a = 28, b = 28, U_{n} = 140 \\ didapatkan nilai n = 5 \\ S_{n} = \frac{n}{2} (a + u_{n}) = \frac{5}{2} (28 + 140) = 420 \end{aligned} \\ Jadi, jumlah bilangan yang dimaksud \\ adalah 2812 - 420 = 2392 \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 19. & Sebuah tali dibagi menjadi 6 bagian \\ dengan panjang membentuk suatu \\ barisan geometri. Jika panjang tali \\ terpendek adalah 3 cm dan yang \\ terpanjang 96 cm, berapakah panjang \\ tali sebelum terpotong ? \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Misalkan panjang tali yang dimaksud \\ a, a r, a r^{2}, a r^{3}, a r^{4}, a r^{5} \\ Dan diketahui juga bahwa \\ {\begin{cases} a & = 3 cm \\ a r^{5} & = 96 cm \end{cases} \\ maka \\ \begin{aligned} a r^{5} & = 96 \\ \Leftrightarrow & 3. r^{5} = 96 \\ \Leftrightarrow & r^{5} = 32 \\ \Leftrightarrow & r^{5} = 2^{5} \\ \Leftrightarrow & r = 2 \\ S_{n} & = \frac{a (r^{n} - 1)}{r - 1}, r \geq 1 \\ = \frac{3 (2^{6} - 1)}{2 - 1} = 3 \times (64 - 1) \\ = 3 \times 63 = 189 cm \end{aligned} \end{aligned} \\ Jadi, panjang talinya sebelum dipotong \\ adalah 189 cm \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 20. & Jumlah penduduk suatu kota setiap \\ 10 tahun menjadi dua kali lipat . \\ Jika menurut perhitungan pada tahun \\ 2030 nanti akan mencapai 3,2 juta jiwa \\ berapakah jumlah penduduk kota tersebut \\ pada tahun 1980 ? \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Dari soal diketahui bahwa \\ \underset{a}{\begin{array}{c} 1980 \\ ↓ \end{array}}, \underset{a r}{\begin{array}{c} 1990 \\ ↓ \end{array}}, \underset{a r^{2}}{\begin{array}{c} 2000 \\ ↓ \end{array}}, \underset{a r^{3}}{\begin{array}{c} 2010 \\ ↓ \end{array}}, \underset{a r^{4}}{\begin{array}{c} 2020 \\ ↓ \end{array}}, \underset{a r^{5}}{\begin{array}{c} 2030 \\ ↓ \end{array}} \\ ? 3, 2 juta \\ dengan \\ {\begin{cases} r & = 2 \\ n & = 6 \end{cases} \\ maka \\ \begin{aligned} U_{6} = a r^{5} & = 3.200 .000 \\ a {.2}^{5} & = 3.200 .000 \\ a .32 & = 3.200 .000 \\ a & = \frac{3.200 .000}{32} \\ = 100.000 \end{aligned} \end{aligned} \\ Jadi, jumlah penduduk pada tahun 1980 \\ sejumlah 100.000 jiwa \end{array}$ .

DAFTAR PUSTAKA

Kuntarti,Sulistiyono, Kurnianingsih, S. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA Standar Isi 2006. Jakarta: ESIS.
Mauludin, U. 2005. Matematika Program Ilmu Sosial dan Bahasa untuk SMA dan MA Kelas XII. Bandung: SARANA PANCA KARYA NUSA.

Lanjutan 3 Contoh Soal Barisan dan Deret

$\begin{array}{ll} 11. & (UN 2014) \\ Diketahui seutas kawat dipotong menjadi 5 \\ bagian dan hasil potongannya membentuk \\ deret geometri. Jika panjang kawat terpendek \\ 16 cm dan terpanjang 81 cm, maka panjang \\ kawat semula adalah . . . . cm \\ A . 121 D . 211 \\ B . 130 C . 133 E . 242 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui & {\begin{cases} a & = U_{1} = 16 \\ U_{n} & = a . r^{n - 1} \\ S_{n} & = \frac{a (r^{n} - 1)}{r - 1} \end{cases} \end{aligned} \\ \begin{aligned} \frac{U_{5}}{U_{1}} = \frac{a r^{4}}{a} & = \frac{81}{16} \\ r^{4} & = \frac{3^{4}}{2^{4}} \\ r & = \frac{3}{2}, (r > 1) \\ Sehingga, \\ S_{5} & = \frac{16 ({(\frac{3}{2})}^{5} - 1)}{\frac{3}{2} - 1} \\ = \frac{16 (\frac{3^{5} - 2^{5}}{2^{5}})}{\frac{1}{2}} \\ = 32 (\frac{243 - 32}{32}) \\ = 211 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 12. & (UMPTN 2001) \\ Diketahui sepotong kawat dengan panjang \\ 124 cm akan dipotong menjadi 5 bagian \\ dan hasil potongan kawatnya membentuk \\ barisan geometri. Jika pajang potongan \\ kawat yang terpendek adalah 4 cm, maka \\ potongan kawat yang terpanjang adalah . . . . cm \\ A . 60 D . 72 \\ B . 64 C . 68 E . 76 \\ Jawab : \\ Perhatikan hal yang diketahui di atas \\ \begin{aligned} S_{5} & = U_{1} + U_{2} + U_{3} + U_{4} + U_{5} \\ S_{5} & = a + a r + a r^{2} + a r^{3} + a r^{4} \\ 124 & = 4 + 4 r + 4 r^{2} + 4 r^{3} + 4 r^{4} \\ 31 & = 1 + r + r^{2} + r^{3} + r^{4} \\ 30 & = r + r^{2} + r^{3} + r^{4} \\ r^{4} + r^{3} + r^{2} + r - 30 = 0 \end{aligned} \\ \begin{aligned} Perhatikanlah bahwa pada polinom \\ r^{4} + r^{3} + r^{2} + r - 30 = 0 \\ faktor prima dari 30 adalah 2, 3, dan 5. \\ Dan faktor yang memenuhi adalah r = 2 \\ Sehingga, U_{5} sebagai potongan kawat terpanjang; \\ U_{5} = a r^{4} = {4.2}^{4} = 4.16 = 64 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 13. & (UMPTN 2001) \\ Diketahui rasio sebuah deret geometri tak hingga \\ adalah^{3} \log (2 x - 1) . Jika deret tersebut memiliki \\ jumlah (konvergen), maka nilai x yang memenuhi \\ adalah . . . . . \\ A . \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3} \\ B . \frac{1}{2} < x < 2 \\ C . \frac{2}{3} < x < 2 \\ D . \frac{2}{3} \leq x \leq 2 \\ E . \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{2} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Syarat konvergen adalah | r | < 1 \\ atau : - 1 < r < 1 \\ maka \\ - 1 <^{3} \log (2 x - 1) < 1 \\ \Leftrightarrow (- 1) . (^{3} \log 3) <^{3} \log (2 x - 1) < 1. (^{3} \log 3) \\ \Leftrightarrow^{3} \log 3^{- 1} <^{3} \log (2 x - 1) <^{3} \log 3^{1} \\ \Leftrightarrow 3^{- 1} < (2 x - 1) < 3 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{3} < 2 x - 1 < 3 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{3} + 1 < 2 x - 1 + 1 < 3 + 1 \\ \Leftrightarrow \frac{4}{3} < 2 x < 4 \\ \Leftrightarrow \frac{2}{3} < x < 2 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 14. & (UN 2010) \\ Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika \\ dengan beda 3. Jika suku kedua dikurangi 1, maka \\ terbentuklah deret geometri dengan jumlah 14. \\ Rasio barisan tersebut adalah ... . \\ A . 4 D . - \frac{1}{2} \\ B . 2 C . \frac{1}{2} E . - 2 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Barisan Aritmetika (BA) {\begin{cases} U_{1} & = a \\ U_{2} & = a + 3 \\ U_{3} & = a + 6 \end{cases} \\ Barisan Geometri (BG) {\begin{cases} U_{1} & = a \\ U_{2} & = a + 3 - 1 = a + 2 \\ U_{3} & = a + 6 \end{cases} \end{aligned} \\ \begin{aligned} dan untuk deret geometri (DG) \\ U_{1} + U_{2} + U_{3} = 14 \\ a + (a + 2) + (a + 6) = 14 \\ 3 a + 8 = 14 \\ 3 a = 6 \\ a = 2 \\ sehingga, \\ r = \frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{a + 2}{a} = \frac{4}{2} = 2 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 15. & (UN 2009) \\ Jumlah tiga bilangan barisan aritmetika adalah \\ 45. Jika suku kedua dikurangi 1 dan suku ketiga \\ ditambah 5, maka barisan tersebut menjadi \\ barisan geometri. Rasio barisan geometri tersebut \\ adalah . . . . \\ A . \frac{1}{2} D . 2 \\ B . \frac{3}{4} C . 1 \frac{1}{2} E . 3 \\ Jawab : Ada 2 pilihan, yaitu A dan D \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa \\ {\begin{cases} U_{1} + U_{2} + U_{3} = 45 (D A) \\ \Leftrightarrow a + (a + b) + (a + 2 b) = 45 \\ \Leftrightarrow a + b = 15 \Rightarrow a = 15 - b \\ U_{1}, (U_{2} - 1), (U_{3} + 5) (B G) \\ \Rightarrow a, (a + b - 1), (a + 2 b + 5) \\ \Rightarrow a, (14), (20 + b) \end{cases} \end{aligned} \\ \begin{aligned} Pada BG berlaku \\ 14^{2} = a . (20 + b) \\ 196 = (15 - b) (20 + b) \\ 196 = 300 - 5 b - b^{2} \\ b^{2} + 5 b - 104 = 0 \\ (b + 13) (b - 8) = 0 \\ b = - 13 atau b = 8 \\ untuk b = - 13 \Rightarrow a = 15 - (- 13) = 28 \\ {\begin{cases} B A_{1} : & 28, 15, 2 \\ B G_{1} : & 28, 14, 7 \end{cases} \\ untuk b = 8 \Rightarrow a = 15 - (8) = 7 \\ {\begin{cases} B A_{2} : & 7, 15, 23 \\ B G_{2} : & 7, 14, 28 \end{cases} \\ Jadi, rasio dari barisan geometrianya ada 2 yaitu : \\ r_{1} = \frac{1}{2}, dan r_{2} = 2 \end{aligned} \end{array}$ .

Lanjutan 2 Contoh Soal Barisan dan Deret

$\begin{array}{ll} 6. & (EBTANAS 2000) \\ Diketahui \sum_{k = 5}^{25} (2 - p k) = 0, maka nilai \\ \sum_{k = 5}^{25} p k = . . . . \\ A . 20 D . 42 \\ B . 28 C . 30 E . 112 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \sum_{k = 5}^{25} (2 - p k) = \sum_{k = 5}^{25} 2 - \sum_{k = 5}^{25} p k & = 0 \\ \sum_{k = 5 - 4}^{25 - 4} 2 - \sum_{k = 5}^{25} p k & = 0 \\ \sum_{k = 5}^{25} p k & = \sum_{k = 1}^{21} 2 \\ = 21.2 \\ = 42 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 7. & (EBTANAS 2000) \\ Nilai dari \sum_{k = 1}^{7} {(\frac{1}{2})}^{k + 1} = . . . . \\ A . \frac{127}{1024} D . \frac{127}{128} \\ B . \frac{127}{256} C . \frac{255}{512} E . \frac{255}{256} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \sum_{k = 1}^{7} {(\frac{1}{2})}^{k + 1} \\ = {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{4} + {(\frac{1}{2})}^{5} + {(\frac{1}{2})}^{6} + {(\frac{1}{2})}^{7} + {(\frac{1}{2})}^{8} \\ = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256} \\ = \frac{64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1}{256} \\ = \frac{127}{256} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 8. & (UN 2013) \\ Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku \\ ketiga adalah 4 dan suku ketujuhnya adalah 16 . \\ Jumlah 10 suku pertama dari deret tersebut \\ adalah . . . . \\ A . 115 D . 135 \\ B . 125 C . 130 E . 140 \\ Jawab : \\ Dari soal diketahui bahwa \\ \begin{aligned} U_{3} = a + 2 b & = 4 \\ U_{7} = a + 6 b & = 16_{-} \\ - - - - - - & - - \\ - 4 b & = - 12 \\ b & = 3 \\ Sehingga & didapatkan \\ nilai a = & 4 - 2 b \\ = & 4 - 2.3 \\ = & - 2 \end{aligned} \\ \begin{aligned} Maka & jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah \\ S_{n} & = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) b) \\ S_{10} & = \frac{10}{2} (2. (- 2) + (10 - 1) .3) \\ = 5 (- 4 + 27) \\ = 5 (23) \\ = 115 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 9. & (UN 2014) \\ Diketahui tempat duduk gedung pertunjukan \\ film diatur mulai dari baris depan ke belakang \\ dengan banyak banyak baris dibelakang lebih \\ 4 kursi dari baris di depannya. Jika dalam \\ gedung pertunjukan terdapat 15 baris kursi dan \\ baris terdepan ada 20 kursi, maka kapasitas \\ gedung pertunjukan tersebut adalah . . . . kursi \\ A . 1200 D . 600 \\ B . 800 C . 720 E . 300 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui & {\begin{cases} a & = U_{1} = 20 \\ b & = 4 \\ n & = 15 \\ S_{n} & = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) b) \end{cases} \end{aligned} \\ \begin{aligned} S_{n} & = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) b) \\ = \frac{15}{2} (2 (20) + (15 - 1) .4) \\ = 15 (20 + 28) \\ = 15 (48) \\ = 750 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 10. & (UN 2015) \\ Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku \\ ke-3 adalah 2 dan suku ke-8 adalah -13. Jumlah \\ 20 suku pertama dari deret tersebut adalah . . . . \\ A . - 580 D . - 410 \\ B . - 490 C . - 440 E . - 380 \\ Jawab : \\ Dari soal di atas diketahui bahwa \\ \begin{aligned} U_{3} = a + 2 b & = 2 \\ U_{8} = a + 7 b & = - 13_{-} \\ - - - - - - & - - - \\ - 5 b & = 15 \\ b & = - 3 \\ Sehingga & didapatkan \\ nilai a = & 2 - 2 b \\ = & 2 - 2. (- 3) \\ = & 8 \end{aligned} \\ \begin{aligned} Maka & jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah \\ S_{n} & = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) b) \\ S_{20} & = \frac{20}{2} (2. (8) + (20 - 1) . (- 3)) \\ = 10 (16 - 57) \\ = 10 (- 41) \\ = - 410 \end{aligned} \end{array}$ .

Contoh Soal Barisan dan Deret

$\begin{array}{ll} 1. & (EBTANAS 1999) \\ Diketahui jumlah n suku pertama deret \\ aritmetika dinyatakan sebagai S_{n} = n^{2} + 2 n \\ Beda dari deret tersebut adalah . . . . \\ a . 3 d . - 2 \\ b . 2 c . 1 e . - 3 \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa S_{n} = n^{2} + 2 n, \\ dengan {\begin{cases} S_{1} & = U_{1} = a \\ S_{2} & = U_{1} + U_{2} \\ S_{3} & = U_{1} + U_{2} + U_{3} \\ ⋮ \\ S_{n} & = U_{1} + U_{2} + U_{3} + \dots + U_{n} \end{cases} \\ \begin{aligned} Beda = b & = U_{2} - U_{1} \\ = (S_{2} - S_{1}) - S_{1} \\ = S_{2} - 2 S_{1} \\ = (2^{2} + 2. (2)) - 2 (1^{2} + 2. (1)) \\ = (4 + 4) - 2 (1 + 2) = 8 - 6 \\ = 2 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 2. & (UMPTN 1994) \\ Diketahui jumlah n suku pertama suatu \\ deret dinyatakan sebagai S_{n} = 12 n - n^{2} . \\ Suku kelima dari deret tersebut adalah . . . . \\ a . - 1 d . 3 \\ b . 1 c . - 3 e . 0 \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa S_{n} = 12 n - n^{2} \\ \begin{aligned} U_{5} & = S_{5} - S_{4} \\ = (12. (5) - (5)^{2}) - (12. (4) - (4)^{2}) \\ = (60 - 25) - (48 - 16) \\ = 3 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 3. & (EBTANAS 2000) \\ Diketahui suku tengah suatu deret \\ aritmetika adalah 32. Jika jumlah n \\ suku pertama deret itu adalah 672, \\ maka banyak suku deret itu adalah . . . . \\ a . 17 d . 23 \\ b . 19 c . 21 e . 25 \\ Jawab : \\ Diketahui \\ Suku tengah = U_{t} = \frac{U_{1} + U_{n}}{2} = 32 dan \\ \begin{aligned} S_{n} & = \frac{n}{2} (U_{1} + U_{n}) \\ = 672 \\ n (\frac{U_{1} + U_{2}}{2}) & = 672 \\ 32 n & = 672 \\ n & = 21 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 4. & (UMPTN 1997) \\ Diketahui U_{n} adalah suku ke - n \\ deret aritmetika dengan \\ U_{1} + U_{2} + U_{3} = - 9 dan U_{3} + U_{4} + U_{5} = 15 \\ Maka jumlah lima suku pertama \\ deret aritmetika tersebut adalah . . . . \\ a . 4 d . 15 \\ b . 5 c . 6 e . 24 \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa \\ \begin{aligned} U_{1} + U_{2} + U_{3} = - 9, \\ \Rightarrow a + (a + b) + (a + 2 b) = 3 a + 3 b = - 9 \\ U_{3} + U_{4} + U_{5} = 15, \\ \Rightarrow (a + 2 b) + (a + 3 b) + (a + 4 b) = 3 a + 9 b = 15_{-} \\ - - - - - - - - - - - - - - - - - \\ - 6 b = - 24 \Rightarrow b = 4 \\ a = - 7 \\ Maka \\ \begin{aligned} S_{5} & = \frac{5}{2} (U_{1} + U_{5}) \\ = \frac{5}{2} (a + a + (5 - 1) b) \\ = \frac{5}{2} (- 7 - 7 + 4.4) \\ = \frac{5}{2} (2) \\ = 5 \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 5. & (EBTANAS 1999) \\ Nilai dari \sum_{k = 1}^{100} 5 k - \sum_{k = 1}^{100} (2 k - 1) adalah . . . . \\ a . 30.900 d . 15.450 \\ b . 30.500 c . 16.250 e . 15.250 \\ Jawab : \\ Diketahi \\ \begin{aligned} \sum_{k = 1}^{100} 5 k - \sum_{k = 1}^{100} (2 k - 1) & = \sum_{k = 1}^{100} (5 k - 2 k + 1) \\ = \sum_{k = 1}^{100} (3 k + 1) \\ = 3 \sum_{k = 1}^{100} k + 1.100 \\ = 3 (\frac{100}{2} (1 + 100)) + 100 \\ = 3. (5.050) + 100 \\ = 15.150 + 100 \\ = 15.250 \end{aligned} \end{array}$ .

Lanjutan Materi Barisan dan Deret

E. Barisan Geometri

Perhatikan susunan bilangan-bilangan berikut

$\begin{array}{r} 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots \end{array}$ .

dengan rincian

$\begin{array}{r} \underset{\begin{array}{c} ↓ \\ u_{1} \end{array}}{1}, \underset{\begin{array}{c} ↓ \\ u_{2} \end{array}}{\frac{1}{2}}, \underset{\begin{array}{c} ↓ \\ u_{3} \end{array}}{\frac{1}{4}}, \underset{\begin{array}{c} ↓ \\ u_{4} \end{array}}{\frac{1}{8}}, \underset{\begin{array}{c} ↓ \\ u_{5} \end{array}}{\frac{1}{16}}, \dots \end{array}$ .

Dari pola di atas kita dapat tuliskan menjadi

$\begin{array}{r} 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}, \frac{1}{2} \times \frac{1}{8}, \dots \end{array}$ .

Dari pola yang tersusun di atas terdapat hal yang menarik yaitu:

$\begin{aligned} \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{u_{3}}{u_{2}} = \frac{u_{4}}{u_{3}} = \dots = \frac{u_{n}}{u_{n - 1}} = \frac{1}{2} \end{aligned}$ .

Selanjutnya perhatikan

$\begin{aligned} u_{1} = a = 1 \\ u_{2} = u_{1} \times \frac{1}{2} = 1 \times \frac{1}{2} \Leftrightarrow u_{2} = a . r \\ u_{3} = u_{2} \times \frac{1}{2} = 1 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 1 \times \frac{1}{4} \Leftrightarrow u_{3} = a . r^{2} \\ u_{4} = u_{3} \times \frac{1}{2} = 1 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 1 \times \frac{1}{8} \Leftrightarrow u_{4} = a . r^{3} \\ . . . = . . . \\ u_{n} = a . r^{n - 1} \end{aligned}$ .

Selanjutnya pembanding yang selalu tetap dinamakan rasio atau disingkat dengan huruf $r$ .

F. Deret Geometri

Perhatikan bahwa pada barisan suku-suku barisan geometri jika dijumlahkan akn terbentuk deret geometri atau deret ukur

Misalkan

$S_{n} = a + a r + a r^{2} + a r^{3} + a r^{4} + \dots + a r^{n - 1}$ .

Untuk mencari besar $S_{n}$ adalah dengan mensiasatinya yaitu mengalikan $r$ ke $S_{n}$ sehingga menjadi bentuk

$r S_{n} = a r + a r^{2} + a r^{3} + a r^{4} + a r^{5} + \dots + a r^{n}$ .

Selanjutnya kita kondisikan sebagai berikut

$\begin{aligned} S_{n} - r S_{n} \\ = (a + a r + a r^{2} + a r^{3} + a r^{4} + . . . + a r^{n - 2} + a r^{n - 1}) \\ - (a r + a r^{2} + a r^{3} + a r^{4} + a r^{5} + . . . + a r^{n - 1} + a r^{n}) \\ (1 - r) S_{n} = a - a r^{n} = a (1 - r^{n}) \\ S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r} \end{aligned}$ .

Sebagai rangkuman dari materi barisan dan deret geometri ini, perhatikan tabel berikut

$\begin{array}{cccc} No & Barisan Geometri & Deret Geometri (Ukur) & Syarat \\ 1 & \begin{aligned} U_{1}, U_{2}, U_{3}, U_{4}, . . . \\ Selanjutnya \\ U_{1}, U_{2}, U_{3}, \dots \\ disebut suku-suku \\ dan U_{1} = a = \\ suku pertama \end{aligned} & \begin{aligned} U_{1} + U_{2} + U_{3} + U_{4} + . . . \\ Selanjutnya \\ U_{1}, U_{2}, U_{3}, \dots \\ disebut suku-suku \\ dan U_{1} = a = \\ suku pertama \end{aligned} & \begin{aligned} Rasio = r & = \frac{U_{2}}{U_{1}} \\ = \frac{U_{3}}{U_{2}} \\ = \frac{U_{4}}{U_{3}} \\ = \dots \\ = \frac{U_{n}}{U_{(n - 1)}} \end{aligned} \\ 2 & U_{n} = a . r^{(n - 1)} & U_{n} = a . r^{(n - 1)} & \begin{aligned} U_{t} & = \sqrt{a . U_{n}} \\ = Suku tengah \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{cccc} No & \begin{aligned} Barisan \\ Geometri \end{aligned} & \begin{aligned} Deret \\ Geometri (Ukur) \end{aligned} & Syarat \\ 3 & \begin{aligned} S_{n} & = \frac{a (r^{n} - 1)}{r - 1} \\ atau \\ S_{n} & = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r} \end{aligned} & \begin{aligned} sisipan k bilangan \\ misal \\ U_{1} \dots \dots \dots U_{m} \\ ingin disisipkan k bilangan \\ Rasio baru = r^{'} = \sqrt[k + 1]{\frac{U_{m}}{U_{1}}} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{cccl} No & \begin{aligned} Barisan \\ Geometri \end{aligned} & \begin{aligned} Deret \\ Geometri (Ukur) \end{aligned} & Syarat \\ Deret tak Hingga & Deret tak Hingga & Hubungan \\ 4 & Konvergen & Divergen & suku dan jumlah \\ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}, | r | < 1 & r \leq - 1 atau r \geq 1 & \begin{aligned} U_{1} & = S_{1} = a \\ U_{n} & = S_{n} - S_{(n - 1)} \end{aligned} \end{array}$ .

$CONTOH SOAL$ .

$\begin{array}{ll} 1. & Tentukan suku ke - 12 dari barisan \\ berikut \\ 4, 1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \dots \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa \\ {\begin{cases} u_{1} & = a = 4 \\ r & = \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{u_{3}}{u_{2}} = \dots = \frac{1}{4} \end{cases} \\ Untuk mencari suku ke - 12, maka \\ \begin{aligned} u_{12} & = a . r^{(12 - 1)} = a r^{11} \\ = 4. {(\frac{1}{4})}^{11} \\ = 4^{1} {.4}^{- 11} = 4^{1 - 11} = 4^{- 10} \\ = \frac{1}{4^{10}} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 2. & Tentukan jumlah 12 suku pertama \\ dari \\ 4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{4^{10}} \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa \\ \begin{aligned} S_{n} & = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r} \\ S_{12} & = \frac{4 (1 - {(\frac{1}{4})}^{12})}{1 - \frac{1}{4}} \\ = \frac{4 (1 - {(\frac{1}{4})}^{12})}{\frac{3}{4}} \\ = \frac{16}{3} (1 - {(\frac{1}{4})}^{12}) \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 3. & Suatu deret geometri dengan jumlah \\ S_{n} = {3.2}^{n} - 1, maka suku ke - 2022 \\ dari deret tersebut adalah . . . . \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa S_{n} = {3.2}^{n} - 1, maka \\ u_{2022} = S_{2022} - S_{2021} \\ Sehingga \\ \begin{aligned} u_{2022} & = S_{2022} - S_{2021} \\ = ({3.2}^{2022} - 1) - ({3.2}^{2021} - 1) \\ = {3.2}^{2022} - {3.2}^{2021} = {3.2}^{2021} (2 - 1) \\ = {2.3}^{2021} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 4. & Diketahui deret geometri dengan \frac{u_{4}}{u_{6}} = k \\ dan u_{2} \times u_{8} = \frac{1}{k}, maka suku pertama \\ deret geometri ini adalah . . . . \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa \\ {\begin{cases} \frac{u_{4}}{u_{6}} = k \\ u_{2} \times u_{8} = \frac{1}{k} \end{cases} \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} \frac{u_{6}}{u_{4}} = \frac{a r^{5}}{a r^{3}} = r^{2} = \frac{1}{k} dan \\ u_{2} \times u_{8} \\ = a r \times a r^{7} = a^{2} r^{8} = {(a r^{4})}^{2} = \frac{1}{k} \\ \Leftrightarrow {(u_{5})}^{2} = \frac{1}{k} \Leftrightarrow u_{5} = \sqrt{\frac{1}{k}} \\ sehingga \\ u_{5} = a r^{4} = a {(r^{2})}^{2} \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{k}} = a {(\frac{1}{k})}^{2} \\ \begin{aligned} a & = k^{2} \times \sqrt{\frac{1}{k}} \\ = k \times k \times k^{- \frac{1}{2}} \\ = k \times k^{^{.^{\frac{1}{2}}}} = k \sqrt{k} \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$ .

DAFTAR PUSTAKA

Waji, J., Linggih, S., Syahrudin,Y.R. 1981. Ringkasan Materi IPA. Bandung: GANECA EXACT.

Barisan dan Deret

A. Pola Bilangan

Pola bilangan dalam kaitannya dengan matematika adalah suatu susunan bilangan dengan susunan tertentu.

Perhatikan ilustrasi berikut

Misalkan beberapa kue donat dalam disusun dan dikelompokkan berbentuk persegi sebagaimana ilustrasi berikut

Jika kita cermati susunan susunan kue donat dalam kotak terkecil ke terbesar atau begitu seterusnya pada tiap-tiap terisi sejumlah : 1, 4, 9, 16, 25. Sehingga saat kita rinci

Dapatkan Anda menentukan kelompok kotak berikutnya setelah kotak ke-5, misalnya ketak ke-6, 7, 8, dan seterusnya

Jika kue donat dalam kotak kita tabelkan akan berupa ilustrasi berikut

\begin{array}{ccc} Kelompok & Kue Donat dalam Kotak & Pola \\ K_{1} & 1 & 1 = 1 \times 1 \\ K_{2} & 4 & 4 = 2 \times 2 \\ K_{3} & 9 & 9 = 3 \times 3 \\ K_{4} & 16 & 16 = 4 \times 4 \\ K_{5} & 25 & 25 = 5 \times 5 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ K_{n} & ? & ? = n \times n \end{array}

Dengan memperhatikan pola yang ada di atas, maka akan dengan mudah kita menentukan isi kotak ke-6, yaitu berisi 6x6 = 36 buah kue donat dean demikian seterusnya.

B. Menemukan Pola Barisan dan Deret suatu Bilangan

Misalkan diberikan susunan bilangan berikut

\begin{aligned} \frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \dots, \frac{1}{9900} \end{aligned}

Andai kita tabelkan akan berupa

\begin{array}{ccc} Suku ke- & Nilai & Pola \\ U_{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} = \frac{1}{1 \times 2} \\ U_{2} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} = \frac{1}{2 \times 3} \\ U_{3} & \frac{1}{12} & \frac{1}{12} = \frac{1}{3 \times 4} \\ U_{4} & \frac{1}{20} & \frac{1}{20} = \frac{1}{4 \times 5} \\ U_{5} & \frac{1}{30} & \frac{1}{30} = \frac{1}{5 \times 6} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ U_{99} & \frac{1}{9900} & \frac{1}{9900} = \frac{1}{99 \times 100} \end{array}

Sehingga dari pola bilangan di atas kita dengan mudah menentukan urutan suku ke-n atau

U_{n}

yaitu

\frac{1}{n \times (n + 1)}

dan andai kita diminta menentukan besar suku ke-2022 adalah

\frac{1}{2022 \times 2023} = \frac{1}{4090506}

C. Barisan Aritmetika

Secara definisi barisan aritmetika adalah barisan bilangan di mana beda setiap suku dengan tepat suku setelahnya memiliki selisih tetap.

Sebagai ilustrasinya misalkan

u_{1} = a

u_{2} = a + b

, dan untuk suku ke-3 adalah

u_{3} = a + b + b = a + 2 b

, demikian seterusnya akan selalu ditambahkan

b

dan selanjutnya nilai

b

u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \dots

Perhatikan ilustrasi berikut

\begin{aligned} u_{1} = a \\ u_{2} = u_{1} + b = u_{1} + b \\ u_{3} = u_{2} + b = u_{1} + 2 b \\ u_{4} = u_{3} + b = u_{1} + 3 b \\ u_{5} = u_{4} + b = u_{1} + 4 b \\ ⋮ ⋮ \\ u_{n} = u_{(n - 1)} + b = u_{1} + (n - 1) b \end{aligned}

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Tentukan suku ke-50 dari barisan berikut \\ 5, - 2, - 9, - 16, \dots \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa \\ \begin{aligned} \underset{\begin{array}{c} ↓ \\ u_{1} \end{array}}{5}, \underset{\begin{array}{c} ↓ \\ u_{2} \end{array}}{- 2}, \underset{\begin{array}{c} ↓ \\ u_{3} \end{array}}{- 9}, \underset{\begin{array}{c} ↓ \\ u_{4} \end{array}}{- 16}, \dots, \underset{\begin{array}{c} ↓ \\ u_{n} \end{array}}{u_{1} + (n - 1) b} \end{aligned} \\ Jelas bahwa \\ \begin{aligned} b = & u_{2} - u_{1} = - 2 - 5 = - 7 \\ ma & ka \\ U_{50} & = u_{1} + (50 - 1) . (- 7) \\ = 5 + 49. (- 7) = 5 - 343 \\ = - 338 \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Jika diketahui barisan aritmetika dengan \\ suku ke - 3 = - 4 \frac{1}{2} dan suku ke - 8 = - 2 \\ Tentukan suku pertama, beda serta rumus \\ suku ke - n \\ Jawab : \\ Perhatikan tabel berikut \\ \begin{array}{cc} \begin{array}{lll} u_{3} = - 4 \frac{1}{2} = a + 2 b \\ u_{8} = - 2 = a + 7 b & - \\ - 4 \frac{1}{2} - (- 2) = - 5 b \\ - 2 \frac{1}{2} = - 5 b \\ 5 b = \frac{5}{2} \\ b = \frac{1}{2} \end{array} & \begin{aligned} u_{3} & = a + 2 b = - 4 \frac{1}{2} \\ a + 2 (\frac{1}{2}) = - 4 \frac{1}{2} \\ a + 1 = - 4 \frac{1}{2} \\ a = - 4 \frac{1}{2} - 1 \\ a = - 5 \frac{1}{2} \end{aligned} \end{array} \\ maka u_{n} = a + (n - 1) b \\ \begin{aligned} u_{n} & = - 5 \frac{1}{2} + (n - 1) . \frac{1}{2} \\ = - 5 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} n - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} n - 6 \end{aligned} \end{array}

D. Deret Aritmetika

Jika pada barisan aritmetika di atas dijumlahkan semua sukunya, maka akan terbentuklah sebuah deret hitung yang selanjutnya adalah nama lain dari deret aritmetika

\begin{aligned} S_{n} & = a + (a + b) + (a + 2 b) + (a + 3 b) + \dots \end{aligned}

dan

\begin{array}{llll} S_{n} & = a + (a + b) + (a + 2 b) + \dots + a + (n - 1) b \\ S_{n} & = a + (n - 1) b + \dots + (a + 2 b) + (a + b) + a & + \\ 2 S_{n} & = 2 a + (n - 1) b + \dots + 2 a + (n - 1) b \\ 2 S_{n} & = n (2 a + (n - 1) b) \\ S_{n} & = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) b) atau \\ S_{n} & = \frac{n}{2} (a + a + (n - 1) b) = \frac{n}{2} (u_{1} + u_{n}) \end{array}

CONTOH SOAL

Pada contoh soal no.1 di atas tentukanlah jumlah 50 suku pertema deret aritmetika tersebut

Jawab:

\begin{aligned} Dik & etahui \\ S_{50} & = 5 + (- 2) + (- 9) + (- 16) + \dots + (- 338) \\ De & ngan S_{n} = \frac{1}{2} n (u_{1} + u_{n}) \\ S_{50} & = \frac{1}{2} .50 . (5 + (- 338)) \\ = 25. (- 333) \\ = - 8325 \end{aligned}

Sebagai rangkumannya perhatikan tabel berikut terkait barisan dan deret aritmetika

\begin{array}{clll} No & Barisan Aritmetika & Deret Aritmetika (Hitung) & Syarat \\ 1 & \begin{aligned} U_{1}, U_{2}, U_{3}, U_{4}, . . . \\ Selanjutnya \\ U_{1}, U_{2}, U_{3}, \dots \\ disebut suku-suku \\ dan U_{1} = a = \\ suku pertama \end{aligned} & \begin{aligned} U_{1} + U_{2} + U_{3} + U_{4} + . . . \\ Selanjutnya \\ U_{1}, U_{2}, U_{3}, \dots \\ disebut suku-suku \\ dan U_{1} = a = \\ suku pertama \end{aligned} & \begin{aligned} Beda = b & = U_{2} - U_{1} \\ = U_{3} - U_{2} \\ = U_{4} - U_{3} \\ = \dots \\ = U_{n} - U_{(n - 1)} \end{aligned} \\ 2 & U_{n} = a + (n - 1) b & U_{n} = a + (n - 1) b & \begin{aligned} U_{t} & = \frac{U_{1} + U_{n}}{2} \\ = Suku tengah \end{aligned} \\ 3 & S_{n} = \frac{1}{2} n (a + U_{n}) & \begin{aligned} sisipan k bilangan \\ misal, \\ U_{1} \dots \dots \dots U_{m} \\ ingin disisipkan k bilangan \\ beda baru = b^{'} = \frac{U_{m} - U_{1}}{k + 1} \end{aligned} \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
Susanto, D., dkk. 2021. Matematika untuk SMA/SMK Kelas X. Klaten: MACANANJAYA CEMERLANG.