Lanjutan (Barisan & Deret)

$\begin{array}{l}\\ 5.& \mathbf{\text{(Lomba Matematika Nasional}}\\ & \mathbf{\text{HIMATIKA UGM 2006)}}\\ & \text{Jika bilangan}\\ & A={\displaystyle \frac{1}{1+1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+3}+\cdots +\frac{1}{1+100}}\\ & B={\displaystyle \frac{1}{1+1}+\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}}+\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{3}}}+\cdots +\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{100}}}}\\ & \text{maka}A+B\text{sama dengan}....\\ & \text{A}.202\text{D}.100\\ & \text{B}.200\text{C}.101\text{E}.99\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan bahwa}\\ & \begin{array}{l}\\ \begin{array}{rl}A& ={\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{101}}\\ B& ={\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots +\frac{100}{101}}\end{array}& \\ & +\\ \\ A+B=\underset{100}{\underbrace{1+1+1+\cdots +1}}& =100\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 6.& \mathbf{\text{(OSN tk. Kota/Kab 2002)}}\\ & \text{Misalkan}\\ & a={\displaystyle \frac{1^2}{1}+\frac{2^2}{3}+\frac{3^2}{5}+\cdots +\frac{{1001}^2}{2001}}\\ \\ & b={\displaystyle \frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{5}+\frac{3^2}{7}+\cdots +\frac{{1001}^2}{2003}}\\ & \text{Tentukanlah bilangan bulat yang}\\ & \text{nilainya paling dekat ke}a-b\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan bahwa}\\ & \begin{array}{rl}a-b& =\left({\displaystyle \frac{1^2}{1}+\frac{2^2}{3}+\frac{3^2}{5}+\cdots +\frac{{1001}^2}{2001}}\right)\\ & -\left({\displaystyle \frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{5}+\frac{3^2}{7}+\cdots +\frac{{1001}^2}{2003}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{1^2}{1}+\left({\displaystyle \frac{2^2}{3}-{\displaystyle \frac{1^2}{3}}}\right)+\left({\displaystyle \frac{3^2}{5}-{\displaystyle \frac{2^2}{5}}}\right)}\\ & +\left({\displaystyle \frac{4^2}{7}-{\displaystyle \frac{3^2}{7}}}\right)+\cdots +\left({\displaystyle \frac{{1001}^2}{2001}-{\displaystyle \frac{{1000}^2}{2001}}}\right)\\ & -{\displaystyle \frac{{1001}^2}{2003}}\\ & =\underset{1001}{\underbrace{1+1+1+\cdots +1}}-{\displaystyle \frac{{1001}^2}{2003}}\\ & =1001-{\displaystyle \frac{{1001}^2}{2003}=1001\left({\displaystyle \frac{2003-1001}{2003}}\right)}\\ & ={\displaystyle \frac{1001\times 1002}{2003}>{\displaystyle \frac{1001}{2}=500,5}}\end{array}\\ & \text{Jadi bilangan bulat yang paling dekat}\\ & \text{ke}a-b\text{adalah}501\end{array}$.

 $\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Misalkan}\\ & a_n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2},\text{tentukanlah jumlah}}\\ & \text{dari}{\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_{2023}}}\\ \\ & \mathbf{\text{Pembahasan}}:\\ & \begin{array}{rl}{a}_n& ={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2},\text{maka}}\\ {\displaystyle \frac{1}{a_n}}& ={\displaystyle \frac{2}{n(n+1)}}\\ & =2\left({\displaystyle \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}\right)\\ & \text{lihat pembahasan no.3 di atas}\\ & \end{array}\\ & \begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_{2023}}}\\ & =2((1-{\displaystyle \frac{1}{2}})+\left({\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\right)+\cdots +\left({\displaystyle \frac{1}{2022}-\frac{1}{2023}}\right))\\ & =2(1-{\displaystyle \frac{1}{2023}})\\ & =2\left({\displaystyle \frac{2022}{2023}}\right)={\displaystyle \frac{4044}{2023}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Misalkan}n\text{adalah bilangan asli}\\ & \text{dan}\left\{a_n\right\}\text{adalah barisan bilangan real}\\ & \text{dengan}{a}_n={\displaystyle \frac{2^n}{2^{2n+1}-2^{n+1}-2^n+1}}\\ \\ & \text{Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan}\\ & \text{asli}n,\text{berlaku}{a}_1+a_2+\cdots +a_n<1\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}:\\ & \begin{array}{rl}{a}_n& ={\displaystyle \frac{2^n}{2^{2n+1}-2^{n+1}-2^n+1}}\\ & ={\displaystyle \frac{2^n}{(2^{n+1}-1)(2^n-1)}}\\ & =\left({\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}-1}-\frac{1}{2^n-1}}\right)\\ a_1& ={\displaystyle \frac{1}{2^1-1}-\frac{1}{2^2-1}=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}}\\ a_2& ={\displaystyle \frac{1}{2^2-1}-\frac{1}{2^3-1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{7}}\\ a_3& ={\displaystyle \frac{1}{2^3-1}-\frac{1}{2^4-1}=\frac{1}{7}-\frac{1}{15}}\\ & ⋮⋮\\ a_n& ={\displaystyle \frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1}+}\\ a_1& +a_2+a_3+\cdots +a_n\\ & =1-{\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}-1}<1◼}\end{array}\end{array}$.

Selingan (Barisan & Deret)

Lanjutan contoh soal dan pembahasannya terkait barisan dan deret

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Hasil kali bilangan bentuk berikut}\\ & (1-{\displaystyle \frac{1}{4}})(1-{\displaystyle \frac{1}{5}})(1-{\displaystyle \frac{1}{6}})\cdots (1-{\displaystyle \frac{1}{100}})\\ & \text{adalah}....\\ & \text{A}.{\displaystyle \frac{1}{100}\text{D}.{\displaystyle \frac{4}{100}}}\\ \\ & \text{B}.{\displaystyle \frac{2}{100}\text{C}.{\displaystyle \frac{3}{100}\text{E}.{\displaystyle \frac{5}{100}}}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan bahwa}\\ & \begin{array}{rl}& (1-{\displaystyle \frac{1}{4}})(1-{\displaystyle \frac{1}{5}})(1-{\displaystyle \frac{1}{6}})\cdots (1-{\displaystyle \frac{1}{100}})\\ & =\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)\cdots \left({\displaystyle \frac{99}{100}}\right)\\ & =\left({\displaystyle \frac{3}{\text{⧸}4}}\right)\left({\displaystyle \frac{\text{⧸}4}{\text{⧸}5}}\right)\left({\displaystyle \frac{\text{⧸}5}{\text{⧸}6}}\right)\cdots \left({\displaystyle \frac{\text{⧸}99}{100}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{3}{100}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Hasil kali bilangan bentuk berikut}\\ & (1-{\displaystyle \frac{2}{3}})(1-{\displaystyle \frac{2}{5}})(1-{\displaystyle \frac{2}{7}})\cdots (1-{\displaystyle \frac{2}{2023}})\\ & \text{adalah}....\\ & \text{A}.{\displaystyle \frac{1}{2023}\text{D}.{\displaystyle \frac{4}{2023}}}\\ \\ & \text{B}.{\displaystyle \frac{2}{2023}\text{C}.{\displaystyle \frac{3}{2023}\text{E}.{\displaystyle \frac{5}{2023}}}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Dengan cara pembahasan pada no.1 di atas, maka}\\ & \begin{array}{rl}& (1-{\displaystyle \frac{2}{3}})(1-{\displaystyle \frac{2}{5}})(1-{\displaystyle \frac{2}{7}})\cdots (1-{\displaystyle \frac{2}{2023}})\\ & =\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)\left({\displaystyle \frac{5}{7}}\right)\cdots \left({\displaystyle \frac{2021}{2023}}\right)\\ & =\left({\displaystyle \frac{1}{\text{⧸}3}}\right)\left({\displaystyle \frac{\text{⧸}3}{\text{⧸}5}}\right)\left({\displaystyle \frac{\text{⧸}5}{\text{⧸}7}}\right)\cdots \left({\displaystyle \frac{\text{⧸}2021}{2023}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2023}}\end{array}\end{array}$.

 $\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Bentuk sederhana dari}\\ & {\displaystyle \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{2022\times 2023}}\\ \\ & \mathbf{\text{Pembahasan}}:\\ & \begin{array}{rl}& =(1-{\displaystyle \frac{1}{2}})+\left({\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\right)+\left({\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{4}}\right)+\\ & +\cdots +\left({\displaystyle \frac{1}{2022}-\frac{1}{2023}}\right)\\ & =1-{\displaystyle \frac{1}{2023}}\\ & ={\displaystyle \frac{2022}{2023}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{|c|}\hline \begin{array}{rl}\mathbf{\text{Seb}}& \mathbf{\text{agai pengingat kita}}\\ \bullet & 1+2+3+\cdots +n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\\ \bullet & 1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2\\ \bullet & 1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\\ \bullet & 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3={\left({\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\right)}^2\\ \bullet & 1+{\displaystyle \frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots +\frac{1}{1+2+3+\cdots +n}={\displaystyle \frac{2n}{n+1}}}\\ \bullet & {\displaystyle \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}={\displaystyle \frac{n}{n+1}}}\\ \bullet & {\displaystyle \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)(n+2)}={\displaystyle \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}}}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Bentuk sederhana dari}\\ & {\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{2023}-\sqrt{2022}}}\\ \\ & \mathbf{\text{Pembahasan}}:\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}}}& =\frac{1}{1+\sqrt{2}}\times \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}}{1^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}}{-1}=\sqrt{2}-1}\\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}& =\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}=\sqrt{3}-\sqrt{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}}& =\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}\times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{4}{)}^2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1}=\sqrt{4}-\sqrt{3}}\\ & ⋮\end{array}\\ & \text{Sehingga}\\ & \begin{array}{rl}& =\text{⧸}\sqrt{2}-1+\text{⧸}\sqrt{3}-\text{⧸}\sqrt{2}+\text{⧸}\sqrt{4}-\text{⧸}\sqrt{3}+\cdots +\sqrt{2023}-\text{⧸}\sqrt{2022}\\ & =\sqrt{2023}-1\end{array}\end{array}$

Contoh Soal Persiapan Menghadapi Semester Gasal Tahun 2022 untuk Kelas XII MA/SMA/MAK Matematika Wajib (K13 Revisi)

  MATEMATIKA WAJIB

Kelas XII

1. Bangun ruang / dimensi tiga

2. Statistika

Contoh soal dan pembahasan materi terkait di atas lebih dari 85 soal disertai dengan pembahasannya, berikut linknya 

Dimensi tiga

no. 1 sampai dengan 10

no. 11 sampai dengan 20

no. 21 sampai dengan 30

Statistika

no. 1 sampai dengan 5

no. 6 sampai dengan 10

no. 11 sampai dengan 15

no. 16 sampai dengan 20

no. 21 sampai dengan 25

no. 26 sampai dengan 30

no. 31 sampai dengan 35

no. 36

no. 37 sampai dengan 40

no. 41 sampai dengan 45

no. 46 sampai dengan 50

no. 51 sampai dengan 55

no. 56 sampai dengan 59

Contoh Soal Persiapan Menghadapi Semester Gasal Tahun 2022 untuk Kelas XI MA/SMA/MAK Matematika Wajib (K13 Revisi)

 MATEMATIKA WAJIB

Kelas XI

1. Induksi matematika dan pola bilangan

2. Program linear

3. Matrik dan operasi matriks

4. Transformasi geometri

Contoh soal dan pembahasan materi terkait di atas ada sebanyak 100 contoh soal diserati dengan pembahasannya, berikut link soal yang dimaksud

no. 1 sampai dengan 10

no. 11 sampai dengan 20

no. 21 sampai dengan 30

no. 31 sampai dengan 40

no. 41 sampai dengan 50

no. 51 sampai dengan 60

no. 61 sampai dengan 70

no. 71 sampai dengan 80

no. 81 sampai dengan 90

no. 91 sampai dengan 100

Tambahan contoh soal khusus pola bilangan dan barisan serta deret aritmetika dan geometri

no. 1 sampai dengan 5

no. 6 sampai dengan 10

no. 11 sampai dengan 15

no. 16 sampai dengan 20

no. 21 sampai dengan 25

no. 26 sampai dengan 30

no. 31 sampai dengan 35

Tambahan contoh soal khusus transformasi geometri

no. 1 sampai dengan 5

no. 6 sampai dengan 10

no. 11 sampai dengan 15

no. 16 sampai dengan 20

no. 20 sampai dengan 22

Contoh Soal Persiapan Menghadapi Semester Gasal Tahun 2022 untuk Kelas X MA/SMA/MAK Matematika Wajib (K13 Revisi)

MATEMATIKA WAJIB

Kelas X

1. Persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak

2. Pertidaksamaan rasional dan irasional

3. Sistem persamaan linear tiga variabel dan sistem pertidaksamaan dua variabel

Contoh soal dan pembahasan materi terkait di atas ada sebanyak 110 soal disertai dengan pembahasannya, berikut link soalnya

no. 1 sampai dengan 10

no. 11 sampai dengan 15

no. 16 sampai dengan 25

no. 26 sampai dengan 35

no. 36 sampai dengan 45

no. 46 sampai dengan 55

no. 56 sampai dengan 65

no. 66 sampai dengan 75

no. 76 sampai dengan 85

no. 86 sampai dengan 95

no. 96 sampai dengan 105

no. 106 sampai dengan 110

Contoh Soal Persiapan Menghadapi Semester Gasal Tahun 2022 untuk Kelas X MA/SMA/MAK (K13 Revisi)

 MATEMATIKA PEMINATAN

Kelas X

1. Fungsi eksponen

2. Fungsi logaritma

Contoh soal dan pembahasan fungsi eksponen dan fungsi logaritma

no. 1 sampai dengan 10

no. 11 sampai dengan 20

no. 21 sampai dengan 30

no. 31 sampai dengan 40

no. 41 sampai dengan 51

no. 52 sampai dengan 60

no. 61 sampai dengan 70

no. 71 sampai dengan 84

no. 85 sampai dengan 92

no. 93 sampai dengan 101

no. 102 sampai dengan 109

no. 110 sampai dengan 120

Contoh Soal Persiapan Menghadapi Semester Gasal Tahun 2022 untuk Kelas XI MA/SMA/MAK

 MATEMATIKA PEMINATAN

Kelas XI

1. Persamaan trigonometri

2. Rumus jumlah dan selisih pada trigonometri

Contoh soal dan pembahasan Persamaan dan rumus jumlah dan selisih trigonometri

no. 1 sampai dengan 10

no. 11 sampai dengan 20

no. 21 sampai dengan 30

no. 31 sampai dengan 40

no. 41 sampai dengan 50

no. 51 sampai dengan 60

no. 61 sampai dengan 70

no. 71 sampai dengan 80

no. 81 sampai dengan 90

no. 91 sampai dengan 100

no. 101 sampai dengan 110

Contoh Soal Persiapan Menghadapi Semester Gasal Tahun 2022 untuk Kelas XII MA/SMA/MAK

 MATEMATIKA PEMINATAN

Kelas XII

1. Limit fungsi trigonometri

2. Turunan fungsi trigonometri

Contoh soal dan pembahasan limit dan turunan fungsi trigonometri

no. 1 sampai dengan 10

no. 11 sampai dengan 20

no. 21 sampai dengan 30

no. 31 sampai dengan 40

no. 41 sampai dengan 50

no. 51 sampai dengan 60

no. 61 sampai dengan 70

no. 71 sampai dengan 80

no. 81 sampai dengan 90

no. 91 sampai dengan 100

Contoh Soal Persiapan Menghadapi Semester Gasal Tahun 2022

MATEMATIKA PEMINATAN

Kelas X

1. Fungsi eksponen

2. Fungsi logaritma

Lihat di sini lebih dari 100 contoh soal dan pembahasan

Kelas XI

1. Persamaan trigonometri

2. Rumus jumlah dan selisih pada trigonometri

Lihat di sini lebih dari 100 contoh soal dan pembahasan

Kelas XII

1. Limit fungsi trigonometri

2. Turunan fungsi trigonometri

Lihat di sini lebih dari 90 contoh soal dan pembahasan

Vektor dan Operasi Vektor

Lanjutan 7 Contoh Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret

 $\begin{array}{l}\\ 31.& 2+4+6+8+\cdots =.....\\ & \text{A}.{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}2k}\\ & \text{B}.{\displaystyle \sum _{k=1}^n{2}^k}\\ & \text{C}.{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}2k-1}\\ & \text{D}.{\displaystyle \sum _{k=1}^n(2-k)}\\ & \text{E}.{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Cukup Jelas bahwa}\\ & \begin{array}{rl}2+4+6+8+\cdots & \\ 2(1+2+3+4+\cdots )& =2{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \sum _{k=1}^{n}2k}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 32.& \mathbf{\text{(UN 2005)}}\\ & \text{Seorang anak menabung di suatu bank dengan}\\ & \text{selisih kenaikan tabungan antarbulan tetap}\\ & \text{Pada bulan pertama sebesar Rp50.000,00},\\ & \text{bulan kedua Rp55.000,00, bulan ketiga}\\ & \text{Rp60.000,00, dan demikian seterusnya}.\\ & \text{Besar tabungan anak tersebut selama }\\ & \text{dua tahun adalah}.....\\ & \text{A}.\text{Rp1.315.000,00}\\ & \text{B}.\text{Rp1.320.000,00}\\ & \text{C}.\text{Rp2.040.000,00}\\ & \text{D}.\text{Rp2.580.000,00}\\ & \text{E}.\text{Rp2.640.000,00}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui deret aritmetika dengan}\\ & \begin{array}{rl}& \bullet a=U_1=\text{Rp}50.000,00\\ & \bullet U_2=\text{Rp}55.000,00\\ & \bullet b=U_2-U_1=\text{Rp}5.000,00\\ & \text{Ditanya: Besar tabungan selama 2 tahun}\\ & \begin{array}{rl}{S}_n& ={\displaystyle \frac{n}{2}(2a+(n-1)b)}\\ \text{Ka}& \text{rena 2 tahun = 24 bulan, maka}\\ S_{24}& ={\displaystyle \frac{24}{2}(2\times 50.000+(24-1)\times 5.000)}\\ & =12(100.000+115.000)=2.580.000\end{array}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 33.& \mathbf{\text{(UN 2006)}}\\ & \text{Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 meter dan}\\ & \text{memantul kembali dengan ketinggian}{\displaystyle \frac{3}{4}\text{dari}}\\ & \text{tinggi semula dan begitu seterusnya hingga bola}\\ & \text{berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah}.....\\ & \text{A}.65\text{meter}\\ & \text{B}.70\text{meter}\\ & \text{C}.75\text{meter}\\ & \text{D}.77\text{meter}\\ & \text{E}.80\text{meter}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan ilustrasi gambar berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Soal terkait dengan deret geometri tak hingga}\\ & \text{Yaitu}:S_{\mathrm{\infty }}={\displaystyle \frac{a}{1-r},\text{dengan}\left|r\right|<1}\\ & \begin{array}{rl}S& =10+2.{\displaystyle \frac{3}{4}.10+2.\frac{3}{4}.\frac{3}{4}.10+2.\frac{3}{4}.\frac{3}{4}.\frac{3}{4}.10+...}\\ & =10+20.{\displaystyle \frac{3}{4}+20.{\left(\frac{3}{4}\right)}^2+20+{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^3+...}\\ & =10+20\left({\displaystyle \frac{3}{4}+\frac{9}{16}+\frac{27}{64}+...}\right)\end{array}\\ & \text{adalah deret geometri tak hingga dengan}\\ & a=r={\displaystyle \frac{3}{4},\text{maka}}\\ & \begin{array}{rl}{S}_{\mathrm{\infty }}& =10+20.\left({\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}}{1-{\displaystyle \frac{3}{4}}}}\right)=10+20.\left({\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}\right)\\ & =10+20.2=10+60=70\text{meter}\end{array}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Alternatif Jawaban}}\\ & \text{Dengan rumus praktis, yaitu}\\ & \begin{array}{|c|}\hline \\ \begin{array}{rl}& \text{Panjang seluruh lintasan bola}\\ & \end{array}\\ \begin{array}{|c|}\hline \\ \begin{array}{rl}S& =\text{Jatuh 1}\times {\displaystyle \frac{\text{Jumlah perbandingan}}{\text{Selisih perbandingan}}}\\ & =10\times {\displaystyle \frac{4+3}{4-3}=10\times {\displaystyle \frac{7}{1}=70\text{meter}}}\\ \end{array}\\ \hline\end{array}\\ \\ \hline\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 34.& {}^4\log 2+{}^4\log 4+{}^4\log 16{+}^4\log 64+...\\ & \text{membentuk}.....\\ & \text{A}.\text{deret aritmetika dengan beda}{}^4\log 2\\ & \text{B}.\text{deret geometri dengan pembanding}{}^4\log 2\\ & \text{C}.\text{deret aritmetika dengan beda 2}\\ & \text{D}.\text{deret geometri dengan pembanding 2}\\ & \text{E}.\text{bukan deret geometri maupun matematika}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}{S}_n& ={}^4\log 2+{}^4\log 4+{}^4\log 16{+}^4\log 64+...\\ & ={}^4\log 4^{\frac{1}{2}}+{}^4\log 4^1+{}^4\log 4^2{+}^4\log 4^3+...\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}+1+2+3+...}\\ & \text{dengan}a=U_1={\displaystyle \frac{1}{2},U_2=1,\mathrm{\&}{U}_3=2}\\ & \text{Kita perlu cek dengan ciri masing-masing}\\ & \text{deret, yaitu}:\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \text{Deret Aritmetika}& \text{Deret Geometri}\\ \begin{array}{rl}& 2U_2=U_1+U_3\\ & \text{atau}\\ & 2U_{n+1}=U_n+U_{n+2}\end{array}& \begin{array}{rl}& U_2^2=U_1\times U_3\\ & \text{atau}\\ & U_{n+1}^2=U_n\times U_{n+2}\end{array}\\ \begin{array}{rl}& 2.(1)\ne {\displaystyle \frac{1}{2}+2}\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& (1{)}^2={\displaystyle \frac{1}{2}\times 2}\\ & (2{)}^2\ne 1\times 2\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 35.& \text{Suatu modal sebesar}M\text{rupiah dibungakan dengan}\\ & \text{bunga}p\mathrm{\%}\text{pertahun. Jika bunganya majmuk, maka}\\ & \text{setelah}n\text{tahun modal tersebut akan menjadi}....\\ & \text{A}.M+(p/100{)}^n\\ & \text{B}.(M+p\mathrm{\%}.M{)}^n\\ & \text{C}.nM.p\mathrm{\%}\\ & \text{D}.M(1-0,5{)}^n\\ & \text{E}.M(1+p\mathrm{\%}{)}^n\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Untuk kasus bunga majmuk di atas adalah}:\\ & M,M(1+p\mathrm{\%}),M(1+p\mathrm{\%}{)}^2,M(1+p\mathrm{\%}{)}^3,\cdots \\ & \text{adalah barisan geometri}\\ & M_n=M_0(1+p\mathrm{\%}{)}^n\text{atau}{M}_n=M_0(1+i{)}^n\\ & \text{dengan}\\ & \circ i=p\mathrm{\%}\text{adalah persentase bunga}\\ & \circ n=\text{Jangka waktu}\\ & \circ M_0=\text{Modal yang diperbungakan}\end{array}\end{array}$.

Lanjutan 6 Contoh Soal Barisan dan Deret

$\begin{array}{l}\\ 26.& \text{Syarat untuk deret geometri tak hingga }\\ & \text{dengan suku pertama}a\text{konvergen dengan }\\ & \text{jumlah 2 adalah}.....\\ & \text{A}.-2<a<0\\ & \text{B}.-4<a<0\\ & \text{C}.0<a<2\\ & \text{D}.0<a<4\\ & \text{E}.-4<a<4\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}{S}_{\mathrm{\infty }}=2,\text{dengan}\\ & S_{\mathrm{\infty }}={\displaystyle \frac{a}{1-r}\iff 1-r={\displaystyle \frac{a}{S_{\mathrm{\infty }}}\iff r=1-{\displaystyle \frac{a}{S_{\mathrm{\infty }}}}}}\\ & \iff -1<1-{\displaystyle \frac{a}{S_{\mathrm{\infty }}}<1\iff -2<-{\displaystyle \frac{a}{S_{\mathrm{\infty }}}<0}}\\ & \iff 0<{\displaystyle \frac{a}{S_{\mathrm{\infty }}}<2\iff \iff 0<{\displaystyle \frac{a}{2}<2}}\\ & \iff 0<a<4\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 27.& \text{Tiga bilangan membentuk barisan geometri}\\ & \text{dengan jumlah}26.\text{Jika suku tengah ditambah}\\ & \text{4 , maka terbentuklah barisan aritmetika, suku}\\ & \text{suku tengah dari barisan geometri tersebut}.....\\ & \text{A}.2\\ & \text{B}.4\\ & \text{C}.6\\ & \text{D}.10\\ & \text{E}.18\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Barisan Geometri}:U_1+U_2+U_3=26\\ & \bullet U_1+U_3=26-U_2\\ & \bullet U_2^2=U_1.U_3\\ & \text{Barisan Aritmetika}:U_1,U_2+4,U_3\\ & \bullet U_1+U_3=2(U_2+4)=2U_2+8\\ & \text{maka}\\ & 26-U_2=2U_2+8\\ & \iff -2U_2-U_2=8-26\\ & \iff -3U_2=-18\\ & \iff U_2={\displaystyle \frac{-18}{-3}=6}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 28.& \text{Selish suku tengah pada barisan aritmetika}\\ & \text{dengan suku pertama dan terakhir masing-}\\ & \text{masing 1 dan 25 dengan barisan geometri}\\ & \text{yang suku-sukunya positif dengan suku-suku}\\ & \text{pertama dan terakhir juga 1 dan 25 adalah}.....\\ & \text{A}.5\\ & \text{B}.\text{sekitar}7,1\\ & \text{C}.8\\ & \text{D}.13\\ & \text{E}.18\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& U_t=\text{Suku tengah}\\ & \text{Barisan Aritmetika (BA)}:U_{t_{BA}}={\displaystyle \frac{1}{2}(U_1+U_n)}\\ & \iff U_{t_{BA}}={\displaystyle \frac{1}{2}(1+25)=13}\\ & \text{Barisan Geometri (BG)}:U_t^2=U_1.U_n\\ & \iff U_{t_{BG}}=\sqrt{U_1.U_n}=\sqrt{1\times 25}=5\\ & (\text{ambil nilai yang positif})\\ & \text{maka}\\ & U_{t_{BA}}-U_{t_{BG}}=13-5=8\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 29.& \mathbf{\text{UM UGM}}\\ & \text{Jumlah deret geometri tak hingga adalah 6}\\ & \text{Jika tiap suku dikuadratkan, maka jumlahnya}\\ & \text{adalah}4.\text{Suku pertama deret ini adalah}....\\ & \text{A}.{\displaystyle \frac{2}{5}\text{D}.{\displaystyle \frac{5}{6}}}\\ & \text{B}.{\displaystyle \frac{3}{5}\text{C}.{\displaystyle \frac{4}{5}\text{E}.{\displaystyle \frac{6}{5}}}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{DG}=\text{Deret Geometri}\\ & a+ar+a{r}^2+\cdots =S_{\mathrm{\infty }}={\displaystyle \frac{a}{1-r}=6}\\ & \iff a=6(1-r)=6-6r............(1)\\ & \text{Saat dikuadratkan masing-masing sukunya}\\ & a^2+a^2{r}^2+a^2{r}^4+\cdots =S_{\mathrm{\infty }}={\displaystyle \frac{a^2}{1-r^2}=4}\\ & \iff a^2=4(1-r^2)=4-4r^2.......(2)\\ & \text{Substitusi (1) ke (2), maka}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& a^2=a^2\\ & \iff (6-6r{)}^2=4-4r^2\\ & \iff 36-72r+36r^2=4-4r^2\\ & \iff 40r^2-72r+32=0\\ & \iff (5r-4)(r-1)=0\\ & \iff r={\displaystyle \frac{4}{5}(memenuhi)\mathbf{\text{atau}}r=1(tidak)}\\ & \text{Selanjutnya kita tentukan nilai}a,\\ & a=6-6\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)=6\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)={\displaystyle \frac{6}{5}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 30.& \mathbf{\text{Soal Mat SNMPTN}}\\ & \text{Agar deret geometri}{\displaystyle \frac{x-1}{x},\frac{1}{x},\frac{1}{x(x-1)}}\\ & \text{jumlahnya memiliki limit, maka nilai}x\\ & \text{harus memenuhi}....\\ & \text{A}.x>0\\ & \text{B}.x<1\\ & \text{C}.0<x<1\\ & \text{D}.x>2\\ & \text{E}.x<0\text{atau}x>2\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Deret Geometri (DG)}:{\displaystyle \frac{x-1}{x},\frac{1}{x},\frac{1}{x(x-1)}}\\ & r={\displaystyle \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x-1}{x}}={\displaystyle \frac{1}{x-1}}}\\ & \text{Syarat DG memiliki limit (konvergen)}:\left|r\right|<1\\ & \iff -1<r<1\\ & \iff -1<{\displaystyle \frac{1}{x-1}<1}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Selesaian 1}\\ & -1<{\displaystyle \frac{1}{x-1}\iff {\displaystyle \frac{1}{x-1}+1>0}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{x-1}{x-1}>0\iff \frac{x}{x-1}>0}\\ & \text{Selesaian 2}\\ & {\displaystyle \frac{1}{x-1}<1\iff {\displaystyle \frac{1}{x-1}-1<0}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{1}{x-1}-\frac{x-1}{x-1}<0\iff \frac{-x+2}{x-1}<0}\\ & \\ & \text{HP}:\{x<0\text{atau}x>2\}\end{array}\\ & \mathbf{\text{Berikut ilustrasi garis bilangannya}}\\ & \begin{array}{c}\\ (1)& +& +& -& -& -& -& -& +& +& +& +& +\\ & & 0& & & & & 1& & & & \\ \\ (2)& -& -& -& -& -& -& -& +& +& +& +& -\\ & & & & & & & 1& & & & 2& \\ \end{array}\end{array}$.

Lanjutan 5 Contoh Soal Barisan dan Deret

$\begin{array}{l}\\ 21.& \text{Jika jumlah}n\text{suku pertama suatu barisan}\\ & \text{adalah}{S}_n=n^3+2n,\text{maka suku keempat}\\ & \text{adalah}....\\ & \text{A}.33\text{D}.63\\ & \text{B}.39\text{C}.49\text{E}.72\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui jumlah dari suatu barisan bilangan}\\ & \text{adalah}{S}_n=n^3+2n,\text{maka}\\ & \begin{array}{rl}{U}_n& =S_n-S_{n-1}\\ U_4& =(4^3+2(4))-(3^3+2(3))\\ & =(64+8)-(27+6)\\ & =72-33=39\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 22.& \text{Dari suatu deret diketahui}{S}_n=3n^2-15n\\ & U_n=0\text{saat}n=....\\ & \text{A}.1\text{D}.4\\ & \text{B}.2\text{C}.3\text{E}.5\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan hal yang diketahui di atas}\\ & \begin{array}{rl}{U}_n& =S_n-S_{n-1}\\ 0& =(3n^2-15n)-(3(n-1{)}^2-15(n-1))\\ 0& =3(n^2-(n-1{)}^2)+15(n-1-n)\\ 0& =3(2n-1)(1)+15(-1)\\ 0& =6n-3-15\\ 0& =6n-18\\ 3& =n\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 23.& \text{Diketahui sebuah deret}{U}_n=2an+b+4\\ & \text{dan}{S}_n=3b{n}^2+an,\text{maka nilai}a\text{dan}\\ & b\text{adalah}....\\ & \text{A}.12\text{dan}4\\ & \text{B}.-12\text{dan}4\\ & \text{C}.12\text{dan}-4\\ & \text{D}.-12\text{dan}-4\\ & \text{E}.-4\text{dan}-12\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa}{U}_n=2an+b+4\text{dan}\\ & S_n=3b{n}^2+an,\text{maka}\\ & \begin{array}{rl}& U_n=S_n-S_{n-1}\\ & U_2=S_2-S_1\\ & 2a(2)+b+4=(3b{.2}^2+a.2)-(3b{.1}^2+a.1)\\ & \iff 4a+b+4=9b+a\\ & \iff 3a-8b=-4........(1)\end{array}\\ & \text{Dan juga}\\ & \begin{array}{rl}& U_1=S_1\\ & \iff 2a(1)+b+4=3b{.1}^2+a.1\\ & \iff 2a+b+4=3b+a\\ & \iff a-2b=-4\\ & \iff 3a-6b=-12........(2)\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Persamaan (2) disubstitusikan ke (1)}\\ & 3a-8b=-4\\ & \iff 3a-6b-2b=4\\ & \iff (-12)-2b=-4\\ & \iff -2b=-4+12=8\\ & \iff b=-4........(3)\\ & \text{Selanjutnya dikembalikan ke (1), maka}\\ & 3a-8b=-4\\ & \iff 3a-8(-4)=-4\\ & \iff 3a+32=-4\\ & \iff 3a=-4-32=-36\\ & \iff a=-12\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 24.& \text{Jumlah}n\text{suku pertam sebuah barisan}\\ & \text{adalah}{S}_n={\displaystyle \frac{1}{6}(4n^3-63n^2-n),\text{suku ke}-n}\\ & \text{akan mempunyai nilai terkecil untuk}n=....\\ & \text{A}.3\text{D}.6\\ & \text{B}.4\text{E}.7\\ & \text{C}.5\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Dengan menggunakan rumus}\\ & U_n=S_n-S_{n-1}\text{dengan}{U}_1=S_1,\text{maka}\\ & \text{akan didapatkan nilai}\\ & U_1=-10,U_2=-27,U_3=-40,U_4=-49\\ & U_5=-54,U_6=-55,U_7=-52\\ & \text{Kesemuanya membentuk barisan aritmetika}\\ & \text{tingkat ke-2}.\text{Berikut ilustrasinya}\\ & \begin{array}{rl}& \underset{+4+4+4+4+4}{\underset{\underbrace{}\underbrace{}\underbrace{}\underbrace{}\underbrace{}}{\underset{-17-13-9-5-1+3}{\underset{\underbrace{}\underbrace{}\underbrace{}\underbrace{}\underbrace{}\underbrace{}}{-10-27-40-49-54-55-52}}}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 25.& \text{Jika suku pertama dan kedua sebuah deret}\\ & \text{geometri masing-masing adalah}{a}^{-4}\text{dan}{a}^x\\ & \text{serta suku kedelapan ialah}{a}^{52},\text{maka nilai}\\ & x\text{adalah}....\\ & \text{A}.-32\text{D}.8\\ & \text{B}.-16\text{C}.12\text{E}.4\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& U_8=a{r}^7=U_1{r}^7=a^{52}\\ & \iff U_8=a^{-4}{r}^7=a^{52}\\ & \iff r^7={\displaystyle \frac{a^{52}}{a^{-4}}=a^{52+4}=a^{56}}\\ & \iff r=a^{{.}^{\frac{56}{7}}}=a^8\\ & \text{Maka nilai}x-\text{nya adalah}\\ & U_2=U_{1}r=a^x\\ & \iff (a^{-4})(a^8)=a^{-4+8}=a^x\\ & \iff x=4\end{array}\end{array}$.