Hubungan Dua Lingkaran (Lanjutan)

 Hubungan Dua Buah Lingkaran

Coba perhatikan ilustrasi beberapa lingkaran berikut

Sebagai penjelasan dari kondisi di atas adalah:

$\begin{array}{|ccl|}\hline \mathbf{\text{Kedudukan}}& \mathbf{\text{Ilustrasi}}& \mathbf{\text{Keterangan}}\\ \left|L_1{L}_2\right|>r_1+r_2& \mathbf{\text{Gambar 1}}& \begin{array}{rl}& \text{kedua lingkaran tidak berpotongan}\\ & \text{dan tidak pula bersinggungan}\\ & \text{dan saling lepas}\end{array}\\ \left|L_1{L}_2\right|=0& \mathbf{\text{Gambar 5}}& \text{Dikarenakan sepusat}\\ \left|L_1{L}_2\right|\le r_1+r_2& \mathbf{\text{Gambar 6}}& \text{Terletak di dalam lingkaran}{L}_1\\ \left|L_1{L}_2\right|=r_1+r_2& \mathbf{\text{Gambar 2}}& \begin{array}{rl}& \text{kedua lingkaran tidak berpotongan}\\ & \text{tetapi bersinggungan di luar}\end{array}\\ \left|L_1{L}_2\right|=r_1-r_2& \mathbf{\text{Gambar 3}}& \begin{array}{rl}& \text{kedua lingkaran tidak berpotongan}\\ & \text{tetapi bersinggungan di dalam}\end{array}\\ \{\begin{array}{l}\left|L_1{L}_2\right|>r_1-r_2\\ \left|L_1{L}_2\right|<r_1+r_2\end{array}& \mathbf{\text{Gambar 4}}& \begin{array}{rl}& \text{kedua lingkaran berpotongan}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Kuasa}}\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \text{Lingkaran}& \text{Posisi sebuah titik terhadap lingkaran}\\ \begin{array}{rl}& \text{Titik dua}\\ & \text{lingkaran}\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Tempat kedudukan titik-titik yang memiliki}\\ & \text{kuasa yang sama terhadap dua lingkaran}\end{array}\\ \begin{array}{rl}& \text{Garis tiga}\\ & \text{lingkaran}\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Tempat kedudukan titik yang memiliki}\\ & \text{kuasa yang sama terhadap tiga buah lingkaran}\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Berkas Lingkaran}}\\ & \begin{array}{|lll|}\hline \text{Istilah}& \text{Posisi}& \text{Keterangan}\\ \begin{array}{rl}& \text{Berkas}\\ & \text{Lingkaran}\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Pada garis}\\ & \text{busur}\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Sejumlah lingkaran yang dapat }\\ & \text{dibuat melalui titik-titik potong }\\ & \text{kedua lingakaran itu}\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Tali Busur Sekutu}}\\ & \begin{array}{|lll|}\hline \text{Istilah}& \text{Posisi}& \text{Keterangan}\\ \begin{array}{rl}& \text{Tali Busur}\\ & \text{Sekutu}\\ & \\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Kedua}\\ & \text{lingkaran}\\ & \text{yang}\\ & \text{berpotongan}\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Ruas garis yang menghubungkan }\\ & \text{titik-titik potong irisan irisan }\\ & \text{kedua lingkaran tersebut}\\ & \end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \bullet \text{Persamaan Tali Busur Sekutunya adalah}:L_1-L_2=0\\ & \bullet \text{Persamaan yang melalui titik potong dan lingkaran (berkas)}\\ & \text{itu adalah}:L_3=L_1+p(L_1-L_2),\text{atau}{L}_3=L_1+p{L}_2\\ & \text{dengan}p\text{adalah suatu parameter (suatu patokan nilai)}\\ & \bullet \text{Luas daerah irisan}:({\theta }_1{r}_1^2+{\theta }_2{r}_2^2)-{\displaystyle \frac{1}{2}(r_1^2\sin {\theta }_1+r_2^2\sin {\theta }_2)}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah kedudukan untuk dua buah lingkaran}\\ & L_1\equiv x^2+y^2-2x-4y+1=0\\ & \text{dan}{L}_2\equiv x^2+y^2-4x-2y-1=0.\\ & \text{Jika kedua lingkaran tersebut bersinggungan}\\ & \text{atau berpotongan, tentukanlah titik singgung atau potongnya}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{|cc|}\hline L_1& L_2\\ x^2+y^2-2x-4y+1=0& x^2+y^2-4x-2y-1=0\\ \{\begin{array}{ll}{P}_1& :(-{\displaystyle \frac{1}{2}(-2),-\frac{1}{2}(-4)})=(1,2)\\ r& =\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}((-2{)}^2+(-4^2))-1}}\\ & =2\end{array}& \{\begin{array}{ll}{P}_2& :(-{\displaystyle \frac{1}{2}(-4),-\frac{1}{2}(-2)})=(2,1)\\ r& =\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}((-4{)}^2+(-2^2))-(-1)}}\\ & =\sqrt{6}\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{Jarak ke}& \text{dua pusat lingkarannya adalah}{P}_1{P}_2\text{yaitu}:\\ P_1{P}_2& =\sqrt{(2-1{)}^2+(1-2{)}^2}\\ & =\sqrt{2}\\ \text{Karena n}& \text{ilai}{P}_1{P}_2=\sqrt{2}\text{dan nilai}{P}_1+P_2=2+\sqrt{6},\\ \text{sehingga}& P_1{P}_2<P_1+P_2\text{maka kedua lingkaran }\\ \text{itu berpo}& \text{tongan}\end{array}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}{x}^2+y^2-2x-4y+1& =0..................(1)\\ x^2+y^2-4x-2y-1& =0..................(2)\\ ----------& ---{}^{-}\\ 2x-2y+2& =0\\ y& =x+1........................(3)\\ \text{persamaan}(3)\to (1)& \\ x^2+(x+1{)}^2-2x-& 4(x+1)+1=0\\ x^2+x^2+2x+1-2x& -4x-4+1=0\\ 2x^2-4x-2& =0\iff x^2-2x-1=0\\ x_{1,2}& ={\displaystyle \frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2{)}^2-4.1(-1)}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{8}}{2}={\displaystyle \frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}\{\begin{array}{ll}{x}_1& =1+\sqrt{2}.........(4)\mathbf{\text{atau}}\\ x_2& =1-\sqrt{2}.........(5)\end{array}}}\\ \text{persamaan}(4)\to (3)& ,y_1=1+\sqrt{2}+1=2+\sqrt{2}\\ \text{persamaan}(5)\to (3)& ,y_1=1-\sqrt{2}+1=2-\sqrt{2}\\ \text{Sehingga titik poton}& \text{gnya ada 2 yaitu}:\\ & \{\begin{array}{l}(1+\sqrt{2},2+\sqrt{2})\text{dan}\\ (1-\sqrt{2},2-\sqrt{2})\end{array}& \\ \text{Berikut ilustrasinya}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2& \text{Dari contoh soal no.1, tentukanlah persamaan lingkaran }\\ & \text{yang melalui titik potong kedua lingkaran itu serta }\\ & \text{melalui titik pusat koordinat}O(0,0)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Pada jawaban soal no.1 didapatkan persamaan }\\ & \mathbf{\text{tali busur}}:L_1-L_2\equiv x-y+1=0\\ & \text{Sehingga persamaan }\\ & \mathbf{\text{berkas lingkaran}}\text{nya adalah}:L_3=L_1+p(L_1-L_2)=0\\ & \iff L_3=(x^2+y^2-2x-4y+1)+p(x-y+1)=0\\ & \text{Karena melalui titik asal}O(0,0),\text{maka}\\ & \iff (0+0-0-0+1)+p(0-0+1)=0\iff p=-1\\ & \text{Selanjutnya persamaan berkas lingkarannya akan menjadi}\\ & L_3\equiv x^2+y^2-2x-4y+1-(x-y+1)=0\\ & \text{Jadi},L_3\equiv x^2+y^2-3x-3y=0\\ \\ & \text{Dan gambar berikut sebagai ilustrasinya}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3& \text{Diketahuin dua buah lingkaran}\\ & L_1\equiv x^2+y^2-15y+32=0\text{dan}\\ & L_2\equiv x^2+y^2-18x+2y+32=0\\ & \text{Tunjukkan bahwa kedua lingkaran}\\ & \text{bersinggungan di luar dan tentukan}\\ & \text{titik singgungnya}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Akan ditunjukkan kedua lingkaran saling}\\ & \text{bersinggungan di luar, yaitu:}\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \text{Lingakaran}& \text{Pusat/r}\\ L_1\equiv x^2+y^2-15y+32=0& \{\begin{array}{ll}{P}_1& =(0,8)\\ r_1& =4\sqrt{2}\end{array}\\ L_2\equiv x^2+y^2-18x+2y+32=0& \{\begin{array}{ll}{P}_2& =(9,-1)\\ r_2& =5\sqrt{2}\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \text{Hitungan jarak kedua pusat}& \text{Sebagai bandingan}\\ \begin{array}{rl}& \text{Pusat 1 lingkaran}{P}_1=(0,8)\\ & \text{Pusat 2 lingkaran}{P}_2=(9,-1)\\ & \text{maka jarak}{P}_1{P}_2\text{adalah}\\ & =\sqrt{(9-0{)}^2+(-1-8{)}^2}\\ & =\sqrt{9^2+9^2}=\sqrt{2\times 9^2}=9\sqrt{2}\end{array}& \begin{array}{rl}{P}_1{P}_2& =r_1+r_2\\ & =4\sqrt{2}+5\sqrt{2}\\ & =9\sqrt{2}\\ & \\ & \end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \text{Adapun koordinat titik singgungnya}:\\ & \begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)& ={\displaystyle \frac{5\left(\begin{array}{c}0\\ 8\end{array}\right)+4\left(\begin{array}{c}9\\ -1\end{array}\right)}{5+4}={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}5\times 0+4\times 9\\ 5\times 8+4\times (-1)\end{array}\right)}{9}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}36\\ 36\end{array}\right)}{9}=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)}\end{array}\\ & \text{Sehingga koordinat titik potongnya adalah}:(4,4)\\ & \mathbf{\text{Sebagai gambaran perhatikan ilustrasi berikut}}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
3. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU
4. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m (Lanjutan)

 D. Garis Singgung dengan Gradien m

Perhatikan ilustrasi berikut

Jika ada 2 garis yang saling sejajar dan keduanya atau salah satunya menyinggung lingkaran dengan kondisi garis singgungnya hanya diketahui garadiennya saja tanpa diketahui persamaannya, maka bagaimana kita menentukan persamaanya garis singgung tersebut? 

Coba perhatikan lagi ilustrasi gambar di atas dengan tambahan beberapa keterangan

 

Berikut uraiannya

$\begin{array}{rl}& \text{Misalkan diketahui}\\ & \bullet \text{Persamaan lingkarannya}:x^2+y^2=r^2\\ & \bullet \text{Persamaan garisnya}:y=mx+c\\ & \text{Jika kita substitusikan persamaan garis}\\ & \text{ke persamaan lingkaran, maka hasilnya}\\ & x^2+(mx+c{)}^2=r^2\\ & \iff x^2+m^2{x}^2+2mcx+c^2-r^2=0\\ & \iff (1+m^2)x^2+2mck+c^2-r^2=0\\ & \text{Syarat garis menyinggung lingkaran},D=0\\ & D=b^2-4ac=0\\ & \iff (2mc{)}^2-4(1+m^2)(c^2-r^2)=0\\ & \iff 4m^2{c}^2-4(c^2+m^2{c}^2-r^2-m^2{r}^2)=0\\ & \iff m^2{c}^2-c^2-m^2{c}^2+r^2+m^2{r}^2=0\\ & \iff c^2=r^2+m^2{r}^2=r^2(1+m^2)\\ & \iff c=\pm r\sqrt{1+m^2}\\ & \text{Sehingga persamaan garis singgungnya}\\ & \text{berubah menjadi bentuk}\\ & y=mx+c\\ & \iff y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}\end{array}$.

Catatan:

Untuk lingkaran berpusat di (a,b), maka persamaan garis singgungnya adalah:

$(y-b)=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^2}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukan persamaan garis singgung}\\ & \text{lingkaran yang bergradien}m={\displaystyle \frac{3}{4}\text{dan}}\\ & \text{persamaan lingkaran singgungnya}\\ & x^2+y^2=25\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui lingkaran}\{\begin{array}{ll}{x}^2+y^2& =25\\ r& =5\end{array}\\ & \text{maka persamaan garis singgung lingkarannya}\\ & y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}\\ & \iff y={\displaystyle \frac{3}{4}x\pm 5\sqrt{1+{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{3}{4}x\pm 5\sqrt{1+{\displaystyle \frac{9}{16}}}}}\\ & \iff y={\displaystyle \frac{3}{4}x\pm 5\sqrt{{\displaystyle \frac{25}{16}}}={\displaystyle \frac{3}{4}x\pm {\displaystyle \frac{25}{4}}}}\\ & \iff 4y=3x\pm 25\\ & \iff 3x-4y\pm 25=0\\ & \text{Jadi, persamaan garis singgungnya adalah}\\ & 3x-4y+25=0\text{dan}3x-4y-25=0\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukan persamaan garis singgung}\\ & \text{lingkaran yang bergradien}-{\displaystyle \frac{4}{3}\text{dengan}}\\ & \text{persamaan lingkaran singgungnya}\\ & (x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui lingkaran}\{\begin{array}{ll}(x-1{)}^2+(y-2{)}^2& =25\\ r& =5\end{array}\\ & \text{Persamaan garis singgungnya adalah}:\\ & y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^2}\\ & \iff y-2=-{\displaystyle \frac{4}{3}(x-1)\pm 5\sqrt{1+{(-{\displaystyle \frac{4}{3}})}^2}}\\ & \iff y-2=-{\displaystyle \frac{4}{3}(x-1)\pm 5\sqrt{1+{\displaystyle \frac{16}{9}}}}\\ & \iff y-2=-{\displaystyle \frac{4}{3}(x-1)\pm 5\sqrt{{\displaystyle \frac{25}{9}}}}\\ & \iff y-2=-{\displaystyle \frac{4}{3}(x-1)\pm {\displaystyle \frac{25}{3}}}\\ & \iff 3y-6=-4x+4\pm 25\\ & \iff 4x+3y-10\pm 25=0\\ & \text{Jadi, persamaan garis singgungnya adalah}\\ & 4x+3y+15=0\text{dan}4x+3y-35=0\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukan persamaan garis singgung yang}\\ & \text{sejajar dengan garis}y=2x+5\text{pada}\\ & \text{lingkaran}{x}^2+y^2=16\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui lingkaran L}:x^2+y^2=16\\ & \text{dengan pusat}(0,0)\text{dan}r=\sqrt{16}=4\\ & \text{Sedangkan garis singgung yang sejajar }\\ & \text{dengan}y=2x+5\text{mempunyai gradien}2,\\ & \text{yaitu sama dengan gradien garis}y=2x+5\\ & \text{Persamaan garis singgung bergradien}m\\ & y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}\\ & \iff y=2x\pm 4\sqrt{1+2^2}\\ & \iff y=2x\pm 4\sqrt{5}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Tentukan persamaan garis singgung yang}\\ & \text{tegak lurus dengan garis}x+2y-4=0\\ & \text{pada lingkaran}(x-4{)}^2+(y-2{)}^2=25\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui garis}x+2y-4=0\text{dengan gradien}\\ & 2y=-x+4\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{1}{2}x+2\Rightarrow m_1=-{\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ & \text{tegak lurus dengan garis yang menyinggung}\\ & \text{lingkaran. Misalkan garis singgung yang }\\ & \text{menyinggung lingkaran tersebut adalah}\\ & \text{bergradien}{m}_2,\text{maka syarat dua garis}\\ & \text{berpotongan saling tegak lurus adalah}\\ & m_1\times m_2=-1\iff m_2=-{\displaystyle \frac{1}{m_1}=-{\displaystyle \frac{1}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}}}\\ & \iff m_2=2.\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Dan diketahui pula lingkaran}\\ & (x-4{)}^2+(y-2{)}^2=25\\ & \text{pusatnya}(4,2),\text{dan}r=5\\ & \text{maka PGSL-nya ini adalah}\\ & y=m_2(x-a)+b\pm r\sqrt{1+m_2^2}\\ & =2(x-4)+2\pm 5\sqrt{1+2^2}\\ & =2x-8+2\pm 5\sqrt{1+4}\\ & =2x-6\pm 5\sqrt{5}\end{array}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
3. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran (Lanjutan)

 A. Pendahuluan

Kita sebelumnya telah membahasas kedudukan suatu lingkaran terhadap suatu garis. Terkait dengan garis singgung lingkaran suatu lingkaran dapat memiliki sekian banyak garis singgung dan tentunya lebih dari satu garis singgung jika ingin dibuat. Garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Masih ingat kembali kedudukan suatu garis terhadap lingkaran saat nilai  $D=b^2-4ac=0$, dari sanalah akhir dari penyelesaian masalah yang terkait dengan ini. 

B. Garis Singgung Melalui Sebuah Titik pada Lingkaran

Misalkan suatu titik $P(x_1,y_1)$ terdapat pada (keliling) lingkaran $x^2+y^2=r^2$, maka berakibat akan memiliki gradien dari garis OP berupa $m_{\text{P}}={\displaystyle \frac{y_1}{x_1}}$.

Perhatikan dua ilustrasi berikut

Ilustrasi berikutnya menjadi seperti berikut

Perhatikan tiga ilustrasi di atas, jika titik P adalah titik sinngung lingkaran $x^2+y^2=r^2$, maka gradien garis singgung lingkarannya, misal kita namakan $m_l$ adalah $m_l=-{\displaystyle \frac{x_1}{y_1}}$, sehingga persamaan garis singgungnya yang melalui titik P tersebut dan bergradien $m_l=-{\displaystyle \frac{x_1}{y_1}}$ adalah:

$\begin{array}{rl}y-y_1& =-{\displaystyle \frac{x_1}{y_1}(x-x_1)}\\ \iff y_{1}y-& y_1^2=-x_{1}x+x_1^2\\ \iff x_{1}x+& y_{1}y=x_1^2+y_1^2\\ \iff x_{1}x+& y_{1}y=r^2\\ \\ \text{Jadi, per}& \text{samaan garis singgungnya adalah}:\\ & \boxed{{\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^2}}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah persamaan lingkaran yang }\\ & \text{berpusat di pangkal koordinat dan}\\ & \text{menyinggung}k\equiv 2x+y-5=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan ilustrasi berikut}\end{array}$.

menjadi

$.\begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\text{bahwa titik}O\text{ke garis}k\text{adalah}\\ & r=OA={\displaystyle \left|\frac{a{x}_1+b{y}_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|}\\ & ={\displaystyle \left|\frac{2(0)+(0)-5}{\sqrt{2^2+1^2}}\right|}\\ & ={\displaystyle \left|\frac{-5}{\sqrt{5}}\right|}\\ & =|-\sqrt{5}|\\ & =-(-\sqrt{5})=\sqrt{5}\\ & \text{(ingat, nilai mutlak bilangan negatif adalah bilngan positif)}\\ & \text{Sehingga persamaan lingkarannya adalah}:\\ & L\equiv x^2+y^2=r^2\iff x^2+y^2=5\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah persamaan lingkaran yang }\\ & \text{berpusat di}A(2,-1)\text{dan menginggung}\\ & \text{garis}4y+3x-12=0\text{di titik}P\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan ilustrasi berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Sehingga}\\ & r=AP=\left|\frac{3(2)+4(1)-12}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|\\ & =\left|\frac{-10}{5}\right|=|-2|=2\\ & \text{Sehingga persamaan lingkarannya adalah}\\ & L\equiv (x-2{)}^2+(y+1{)}^2=4\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran}\\ & x^2+y^2=169\text{dan melalui titik}Q(5,-12)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Alternatif 1}\\ & \text{Diketahui}L\equiv x^2+y^2=169\text{atau}\\ & L\equiv x^2+y^2-169=0\text{dan}Q(5,-12)\\ & \text{kuasa titik A (posisi titik Q) adalah}:\\ & =5^2+(-12{)}^2-169=0\\ & \text{Sehingga titik Q pada lingkaran dengan}\\ & \text{persamaan}\\ & x_{1}x+y_{1}y=r^2\Rightarrow 5x-12y=169\\ & \begin{array}{rl}& \text{Alternatif 2}\\ & \text{Persamaan lingkaran}\\ & L\equiv x^2+y^2=169...................(1)\\ & \text{Persamaan garis singgung}g\text{melalui}\\ & Q(5,-12)\text{adalah}:\\ & g\equiv y+12=m(x-5)\\ & \iff y=mx-5m-12....(2)\\ & \text{Dari persamaan (1) dan (2)}\\ & x^2+(mx-5m-12{)}^2=169\\ & \iff x^2+m^2{x}^2+25m^2+144-10m^2-24mx+120m=169\\ & \iff (1+m^2)x^2-(10m^2+24m)x+25m^2+120m-25=0\\ & \text{Syarat menyinggung}D=b^2-4ac=0\\ & (10m^2+24m{)}^2-4(1+m^2)(25m^2+120m-25)=0\\ & \iff 144m^2-120m+25=0\\ & \iff (12m-5{)}^2=0\\ & \iff m={\displaystyle \frac{5}{12}.......(3)}\\ & \text{Jika (1) disebstitusikan ke (2), maka}\\ & y+12={\displaystyle \frac{5}{12}(x-5)}\\ & \iff y={\displaystyle \frac{5}{12}x-\frac{169}{12}\text{atau}}\\ & \iff 5x-12y=169\end{array}\end{array}$.

$.\text{Berikut ilustrasi lingkaran dan garis singgungnya}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Tentukan persamaan garis singgung di}\\ & \text{titik}R(-2,-4)\text{pada lingkaran}\\ & (x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Kita cek sebentar posisi/kedudukan titik}R\\ & K_R=K_{(-2,-4)}\equiv (-2-2{)}^2+(-4+1{)}^2-25\\ & \equiv 16+9-25=0\\ & \text{Sehingga posisi titik}R\text{pada keliling lingkaran}\\ & \text{Alternatif 1}\\ & (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2\\ & \text{maka}\\ & (x_1-2)(x-2)+(y_1+1)(y+1)=25\\ & \text{Untuk titik}R(-2,-4),\text{maka garis singgungnya}\\ & (-2-2)(x-2)+(-4+1)(x+1)=25\\ & \iff (-4)(x-2)+(-3)(x+1)=25\\ & \iff -4x+8-3x-3=25\\ & \iff 4x+3y+20=0\\ & \text{Jadi, garis singgungnya adalah}:4x+3y+20=0\\ & \begin{array}{rl}& \text{Alternatif 2}\\ & (x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25\\ & \iff x^2-4x+4+y^2+2y+1=25\\ & \iff x^2+y^2-4x+2y-20=0\\ & \text{Selanjutnya untuk garis sinngung}\\ & \text{lingkaran di titik}R(-2,-4)\text{adalah}:\\ & x_{1}x+y_{1}y+{\displaystyle \frac{1}{2}A(x_1+x)+{\displaystyle \frac{1}{2}B(y_1+y)+C=0}}\\ & \iff (-2)x+(-4)y-2(-2+x)+(-4+y)-20=0\\ & \iff -2x-4y+4-2x-4+y-20=0\\ & \iff -4x-3y-20=0\\ & \iff 4x+3y+20=0\\ & \text{Jadi, garis singgungnya adalah}:4x+3y+20=0\end{array}\end{array}$.

C. Garis Singgung Melalui Sebuah Titik di Luar Lingkaran

Perhatikan ilustrasi berikut

Titik $\text{T}(x_1,y_1)$ berada di luar lingkaran $L$. Garis  ${\text{g}}_1$  dan  ${\text{g}}_2$ melalui T dan menyinggung lingkaran L di titik Q dan R.

Ada dua alternatif minimal untuk mencari persamaan garis dinggung ${\text{g}}_1$  dan  ${\text{g}}_2$ pada lingkaran L.

1. menentukan gradien garis ${\text{g}}_1$  dan  ${\text{g}}_2$, kemudian menentukan garis singgungnya
2. menentukan titik singgung Q dan R dengan cara menentukan garis kutub dati titik T, kemudian menentukan perpotongan dengan lingkaran L. Sealanjutnya menentukan persamaan garis singgung di titik Q dan R.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran}\\ & x^2+y^2=25\text{dan melalui titik}P(7,0)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui persamaan lingkaran}\\ & x^2+y^2=25\\ & \text{Kedudukan titik}\text{T}(7,0):7^2+0^2=49>25\\ & \text{Sehingga T berada di luar lingkaran L}\\ & \mathbf{\text{Cara 1}}\\ & \text{Persamaan garis singgung lingkaran (PGSL)}\\ & \text{melalui titik T}(7,0)\text{adalah}:\\ & \begin{array}{rl}y& =m(x-x_1)+y_1\\ & =m(x-7)+0=mx-7m\end{array}\\ & \text{Selanjutnya hasil di atas kita substitusikan}\\ & \text{lingkaran L, yaitu}:\\ & x^2+(mx-7m{)}^2=25\\ & \iff x^2+m^2{x}^2-14m^{2}x+49m^2-25=0\\ & (1+m^2)x^2-14m^{2}x+49m^2-25=0\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Selanjutnya, syarat menyinggung},\text{D}=b^2-4ac=0\\ & (-14m^2{)}^2-4.(m^2+1)(49m^2-25)=0\text{(dibagi 4)}\\ & \iff 49m^4-(49m^4-25m^2+49m^2-25)=0\\ & \iff 24m^2-25=0\iff m^2={\displaystyle \frac{25}{24}\iff m=\pm {\displaystyle \frac{5}{12}\sqrt{6}}}\\ & \text{Sehingga persa}\text{maan garis singgungnya}\\ & y_1={\displaystyle \frac{5}{12}x\sqrt{6}-{\displaystyle \frac{35}{12}\sqrt{6}\text{dan}}}\\ & y_2=-{\displaystyle \frac{5}{12}x\sqrt{6}+{\displaystyle \frac{35}{12}\sqrt{6}}}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Cara 2}}\\ & \text{Persmaan garis kutubnya dari titik T}(7,0)\\ & x_{1}x+y_{1}y=25\iff 7x=25\iff x={\displaystyle \frac{25}{7}}\\ & \text{Hasilnya kita substitusikan ke persamaan }\\ & \text{lingkaran L, yaitu}:x^2+y^2=25\\ & \iff {\left({\displaystyle \frac{25}{7}}\right)}^2+y^2=5^2\iff y^2=5^2-{\left({\displaystyle \frac{25}{7}}\right)}^2\\ & \iff y=\pm \sqrt{(5+{\displaystyle \frac{25}{7}})(5-{\displaystyle \frac{25}{7}})}\\ & \iff y=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{60}{7}\times \frac{10}{7}}}=\pm {\displaystyle \frac{10}{7}\sqrt{6}}\\ & \iff \{\begin{array}{c}{y}_1={\displaystyle \frac{10}{7}\sqrt{6}}\\ y_2=-{\displaystyle \frac{10}{7}\sqrt{6}}\end{array}\\ & \text{Sehingga diperoleh titik singgungnya yaitu}:\\ & \left({\displaystyle \frac{25}{7},\frac{10}{7}\sqrt{6}}\right)\text{dan}\left({\displaystyle \frac{25}{7},-\frac{10}{7}\sqrt{6}}\right)\\ & \text{dan garis singgungnya adalah}:\\ & {\displaystyle \frac{25}{7}x+\frac{10}{7}y\sqrt{6}=25\text{dan}{\displaystyle \frac{25}{7}x-\frac{10}{7}y\sqrt{6}=25}}\\ & \text{atau}\\ & {\displaystyle \frac{5}{7}x+\frac{2}{7}y\sqrt{6}=5\text{dan}{\displaystyle \frac{5}{7}x-\frac{2}{7}y\sqrt{6}=5}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{5}{7}x+\frac{2}{7}y\sqrt{6}=5\text{dan}{\displaystyle \frac{5}{7}x-\frac{2}{7}y\sqrt{6}=5}}\\ & \iff {\displaystyle 5x+2y\sqrt{6}=35\text{dan}{\displaystyle 5x-2y\sqrt{6}=35}}\\ & \iff 2y\sqrt{6}=-5x+35\text{dan}2y\sqrt{6}=5x-35\\ & \iff y={\displaystyle \frac{-5x+35}{2\sqrt{6}}\text{dan}y={\displaystyle \frac{5x-35}{2\sqrt{6}}}}\\ & \iff y={\displaystyle \frac{-5x+35}{2\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}\text{dan}y={\displaystyle \frac{5x-35}{2\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}}}\\ & \iff y={\displaystyle \frac{-5x\sqrt{6}+35\sqrt{6}}{12}\text{dan}y={\displaystyle \frac{5x\sqrt{6}-35\sqrt{6}}{12}}}\\ & \iff y=-{\displaystyle \frac{5}{12}x\sqrt{6}+{\displaystyle \frac{35}{12}\sqrt{6}\text{atau}y={\displaystyle \frac{5}{12}x\sqrt{6}-{\displaystyle \frac{35}{12}\sqrt{6}}}}}\end{array}\end{array}$.

Berikut ilustrasi gambarnya

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran}\\ & x^2+y^2=12\text{dan melalui titik}P(0,4)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui persamaan lingkaran}\\ & x^2+y^2=12\\ & \text{Persamaan garis kutub lingkaran}\\ & \text{melalui titik}(x_1,y_1)\text{adalah}:\\ & \begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =12\\ xx+yy& =12\\ x_{1}x+y_{1}y& =12\\ \text{garis ini melalui}& \text{titik}\\ P(0,4)& ,\text{maka}\\ x_1.0+y_1.4& =12\\ y_1& =3......(1)\end{array}\\ & \text{Karena titik}(x_1,y_1)\text{pada lingkaran}\\ & \text{maka},\\ & x_1^2+y_1^2=12......(2)\\ & \text{Selanjutnya dari persamaan}(1)\mathrm{\&}(2)\\ & \text{akan diperoleh}\\ & \begin{array}{rl}& x_1^2+y_1^2=12\\ y_1=3\Rightarrow & x_1^2+(3{)}^2=12\\ \iff & x_1^2+9=12\\ \iff & x_1^2=3\\ \iff & x_1=\pm \sqrt{3}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Sehingga persa}\text{maan garis singgungnya}\\ & (x_{1}x+y_{1}y=12)\text{adalah}:\\ & \{\begin{array}{ll}\text{di titik}& (x_1,y_1)=(\sqrt{3},3)\Rightarrow \sqrt{3}x+3y=12\\ \text{di titik}& (x_1,y_1)=(-\sqrt{3},3)\Rightarrow -\sqrt{3}x+3y=12\end{array}\\ & \end{array}\end{array}\end{array}$

Berikut ilustrasi gambarnya

DAFTAR PUSTAKA

1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
3. Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika SMA Kelas 2. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
4. Wirodikromo, S. 2007. Matematika Jilid 2 IPA untuk Kelas XI. Jakarta: ERLANGGA.

Kedudukan Garis terhadap Lingkaran (Lanjutan)

 $\text{E. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran }$.

Posisi garis terhadap lingkaran tergantung nilai Diskriminan (D) hasil substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran.

$\{\begin{array}{ll}\bullet & \text{memotong lingkaran di dua titik}(D>0)\\ & \text{ada garis dan titik polar}\\ \bullet & \text{menyinggung lingkaran}(D=0)\\ \bullet & \text{tidak memotong ataupun menyinggung}(D<0)\end{array}$.

Berikut Ilustrasi gambarnya

$\text{F. Jarak Garis ke Pusat Lingkaran}$.

$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Jarak titik}M(p,q)\text{terhadap pusat}& \\ \text{lingkaran}N(a,b)& \left|MN\right|=r\\ r=\left|{\displaystyle \frac{Ap+Bq+C}{\sqrt{A^2+B^2}}}\right|& \\ \hline\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah nilai}p\text{supaya lingkaran}\\ & x^2+y^2-px-10y+4=0\\ & \text{a}.\text{menyinggung sumbu x}\\ & \text{b}.\text{memotong sumbu x di dua titik}\\ & \text{c}.\text{tidak memotong dan tidak menyinggung }\\ & \text{sumbu x}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{r}\\ & \text{Persamaan lingkaran}:\\ & x^2+y^2-px-10y+4=0\\ & \text{saat menyinggung}\text{sumbu x},\text{maka}y=0\\ & \text{adalah gar}\text{is yang sejajar sumbu x, maka}\\ & y=0\Rightarrow x^2+y^2-px-10y+4=0\\ & \iff x^2+0^2-px-0+4=0\\ & \iff x^2-px+4\end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline \text{Menyinggung}& \text{memotong}& \text{Tidak keduanya}\\ \begin{array}{rl}D& =b^2-4ac=0\\ & \iff p^2-4.1.4=0\\ & \iff p^2=16\\ & \iff p=\pm 4\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}D& >0\\ & \iff b^2-4ac>0\\ & \iff p^2-16>0\\ & \iff (p+4)(p-4)>0\\ & \therefore p<-4\text{atau}p>4\end{array}& \begin{array}{rl}D& <0\\ & \iff b^2-4ac<0\\ & \iff p^2-16<0\\ & \iff (p+4)(p-4)<0\\ & \therefore -4<p<4\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah nilai}a\text{supaya lingkaran}\\ & x^2+y^2=1\text{dan garis}y=ax+2\\ & \text{a}.\text{bersinggungan}\\ & \text{b}.\text{berpotongan}\\ & \text{c}.\text{tidak berpotongan maupun bersinggungan}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Di sini yang kita bahas adalah yang poin b, }\\ & \text{yaitu untuk}y=ax+2,\text{maka}\\ & x^2+y^2=1\\ & x^2+(ax+2{)}^2=1\\ & x^2+a^2{x}^2+4ax+4=1\\ & (1+a^2)x^2+4ax+3=0\\ & \text{syarat berpotongan}D=b^2-4ac\ge 0\\ & (\text{artinya bersinggungan sekaligus berpotongan di 2 titik})\\ & (4a{)}^2-4(1+a^2)(3)\ge 0\\ & 16a^2-12a^2-12\ge 0\\ & 4a^2-12\ge 0\\ & a^2-3\ge 0\\ & (a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})\ge 0\\ & \therefore a\le -\sqrt{3}\text{atau}a\ge \sqrt{3}\end{array}\end{array}$.

Kedudukan Titik terhadap Lingkaran (Lanjutan)

 $\text{D. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran }$.

Kedudukan sebuah titik terhadap sebuah lingkaran yang berpusat di O(0,0) memiliki 3 kemungkinan, yaitu:

• jika titik A(x,y) di dalam lingkaran, maka berlaku  $x^2+y^2<r^2$.
• jika titik A(x,y) pada lingkaran, maka berlaku  $x^2+y^2=r^2$, dan
• jika titik A(x,y) di luar lingkaran, maka berlaku  $x^2+y^2>r^2$.

Demikian juga kedudukan sebuah titik terhadap sebuah lingkaran yang berpusat di $(a,b)$ memiliki 3 kemungkinan, yaitu:

• jika titik A(x,y) di dalam lingkaran, maka berlaku $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2<r^2$  atau  $x^2+y^2+Ax+By+C<0$.
• jika titik A(x,y) pada lingkaran, maka berlaku $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$  atau  $x^2+y^2+Ax+By+C=0$.
• jika titik A(x,y) di luar lingkaran, maka berlaku $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2>r^2$  atau  $x^2+y^2+Ax+By+C>0$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sebuah lingkaran yang berpusat pada }\\ & \text{pangkal koordinat}\\ & \text{a}.\text{Tentukanlah persamaan lingkaran }\\ & \text{yang berjari-jari 5}\\ & \text{b}.\text{Gambarlah lingkaran (pada soal a.) }\\ & \text{pada kertas grafiks}\\ & \text{c}.\text{Lukislah titik-titik dari},\\ & A(2,3),B(4,3),\text{dan}C(3,6).\\ & \text{d}.\text{Nyatakan kedudukan titik-titik}\\ & A,B,\text{dan}C\text{terhadap lingkaran. }\\ & \text{Di dalam, pada, atau}\\ & \text{beradakah di luar lingkaran}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikanlah ilustrasi berikut}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Diketahui}r=5\\ & \begin{array}{rl}& x^2+y^2=5^2\\ & \updownarrow \\ & x^2+y^2=25\\ & \text{atau}\\ & L\equiv \{(x,y)|x^2+y^2=25\}\end{array}\\ \text{b}.& \text{Lihat gambar di atas}\\ \text{c}.& \text{Lihat juga gambar di atas}\\ \text{d}.& \text{Dari gambar jelas bahwa}:\\ & \begin{array}{c}\bullet \text{Titik}A(2,3)\text{berada di dalam lingkaran}\\ \text{atau}:(2{)}^2+(3{)}^2=4+9=13<25\\ \bullet \text{Titik}A(4,3)\text{berada pada lingkaran}\\ \text{atau}:(4{)}^2+(3{)}^2=16+9=25=25\\ \bullet \text{Titik}A(3,6)\text{berada di luar lingkaran}\\ \text{atau}:(3{)}^2+(6{)}^2=9+36=45>25\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah persamaan lingkaran}\\ & \text{yang berpusat di pangkal koordinat}\\ & \text{dan melalui titik}P(5,-3)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Diketahui}& \text{pusat lingkaran di pangkal }\\ \text{koordinat}& O(0,0)\text{serta lingkaran}\\ \text{yang mela}& \text{lui titik}P(5,-3),\text{maka}\\ r& =\sqrt{(x_p-0{)}^2+(y_p-0{)}^2}\\ & =\sqrt{5^2+(-3{)}^2}\\ & =\sqrt{25+9}\\ & =\sqrt{34}\\ \text{Sehingga }& ,\text{persamaan lingkarannya adalah}\\ L& \equiv x^2+y^2=r^2\iff x^2+y^2=34\end{array}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika SMA Kelas 2. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
3. Wirodikromo, S. 2007. Matematika Jilid 2 IPA untuk Kelas XI. Jakarta: ERLANGGA.

Lingkaran

 $\text{A. Definisi Lingkaran}$.

Secara definisi lingkaran adalah tempat kedudukam titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Selanjutnya titik tertentu disebut sebagai pusat lingkaran sedangkan jarak yang salalu sama terhadapa titik tertentu tersebut disebut sebagai jari-jari atau radius (r).

Sebagai ilustrasi berikut diberikan gambar berkaitan kedudukan titik-titik tersebut

$\text{B. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0,0) }$.

Persamaan sebuah lingkaran dengan dengan jari-jari  $r$  dan berpusat di titik pusat koordinat dapat dilustrasikan sebagai berikut

Misalkan sebuah titik  $\text{P}(x,y)$  terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di O(0,0). Dan titik ${\text{P}}^{\prime }(x,0)$ adalah proyeksi titik  P  pada sumbu-X sehingga  $△{\text{OP}}^{\prime }\text{P}$   berupa sebuah segitiga siku-siku di ${\text{P}}^{\prime }$. Dengan rumus Pythagoras kita mendapatkan

$\begin{array}{rl}& O{P}^2=(O{P}^{\prime }{)}^2+(P{P}^{\prime }{)}^2\\ & \iff r^2=x^2+y^2\\ & \iff r=\sqrt{x^2+y^2}\end{array}$

Untuk lebih memudahkan pemahaman Anda, perhatikanlah ilustrasi berikut

Sehingga dapat disimpulkan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) adalah:

$\begin{array}{|ccc|}\hline & & \\ & x^2+y^2=r^2& \\ & & \\ \hline\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukan persamaan lingkaran yang }\\ & \text{berpusat di O dan berjari-jari}{\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui pusat lingkaran di O}\\ & \text{dengan jarijari}r={\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}}\\ & \text{Persamaan lingkarannya adalah}:\\ & x^2+y^2=r^2\\ & \iff x^2+y^2={\left({\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}}\right)}^2\\ & \iff x^2+y^2={\displaystyle \frac{10}{4},\text{atau}}\\ & \iff x^2+y^2={\displaystyle \frac{5}{2}}\\ & \text{Jadi, persamaan lingkarannya}\\ & \text{adalah}{x}^2+y^2={\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran}\\ & \text{yang memenuhi persamaan}\\ & x^2+y^2=6\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui persamaan lingkaran}\\ & x^2+y^2=6\\ & \text{maka }\\ & \bullet \text{pusat lingkaran adalah O}\\ & x^2+y^2=r^2\\ & \bullet \text{dengan jari-jarinya adalah}\\ & r^2=6\Rightarrow r=\sqrt{6}\\ & \text{Jadi, pusat lingkaran di O dengan}\\ & \text{jari-jari sebesar}r=\sqrt{6}\end{array}\end{array}$.

$\text{C. Persamaan Lingkaran Berpusat di (a,b)}$.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Pada ilustrasi gambar di atas ditunjukkan sebuah lingkaran berpusat di $N(a,b)$ dengan jari-jari  $r$, misalkan kita ambil sebuah titik $P(x,y)$ pada keliling lingkaran, maka $NP=r$.

$\begin{array}{rl}& \sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}=r^2\\ & (x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2\\ & \text{persamaan di atas adalah}\mathbf{\text{Bentuk Umum}}\\ & \text{dari}\mathbf{\text{Persamaan Lingkaran}}\text{yang}\\ & \text{berpusat di}(a,b)\end{array}$

Selanjutnya perhatikanlah rangkuman berikut

$\begin{array}{|lcc|}\hline \text{Lingkaran}& x^2+y^2=r^2& (x-p{)}^2+(y-q{)}^2=r^2\\ \text{Pusat}& (0,0)& (p,q)\\ \text{Jari-jari}& r& r\\ \begin{array}{rl}& \text{Pesamaan garis}\\ & \text{singgung melalui}\\ & \text{titik}(x_1,y_1)\\ & \text{pada lingkaran}\end{array}& x_{1}x+y_{1}y=r^2& \begin{array}{rl}& (x_1-p)(x-p)\\ & +(y_1-q)(y-q)=r^2\end{array}\\ \begin{array}{rl}& \text{Persamaan garis}\\ & \text{singgung dengan}\\ & \text{gradien}m\end{array}& \begin{array}{rl}& y=mx\\ & \pm r\sqrt{m^2+1}\end{array}& \begin{array}{rl}& (y-q)=m(x-a)\\ & \pm r\sqrt{m^2+1}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

Kusus untuk yang pusat  $(a,b)$ adalah:

$\begin{array}{|lc|}\hline \text{Lingkaran}& x^2+y^2+Ax+By+C=0\\ \text{Pusat}& (-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)\\ \text{Jari-jari}& r=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}(A^2+B^2)-C}}\\ \begin{array}{rl}& \text{Pesamaan garis}\\ & \text{singgung melalui}\\ & \text{titik}(x_1,y_1)\\ & \text{pada lingkaran}\end{array}& \begin{array}{rl}& x_{1}x+y_{1}y\\ & +{\displaystyle \frac{A}{2}(x_1+x)}\\ & +{\displaystyle \frac{B}{2}(y_1+y)+C=0}\end{array}\\ \begin{array}{rl}& \text{Persamaan garis}\\ & \text{singgung dengan}\\ & \text{gradien}m\end{array}& \begin{array}{rl}& y+\frac{1}{2}B=m(x+\frac{1}{2}A)\\ & \pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}(A^2+B^2)-C}}.\sqrt{m^2+1}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukan persamaan lingkaran yang }\\ & \text{berpusat di (0,-2) dan berjari-jari}5\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui pusat lingkaran berpusat}\\ & \text{di}(0,-2)\text{dan berjari-jari}r=5\\ & \text{Persamaan lingkarannya adalah}:\\ & (x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2\\ & \iff (x-0{)}^2+(y-(-2){)}^2={\left(5\right)}^2\\ & \iff x^2+(y+2{)}^2=25,\text{atau}\\ & \iff x^2+y^2+4y+4=25\\ & \text{Jadi, persamaan lingkarannya}\\ & \text{adalah}{x}^2+y^2+4y-21=0\end{array}\end{array}$,

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukan persamaan lingkaran}\\ & \text{yang berpusat di titik}M(1,3)\\ & \text{dan melalui titik}N(-2,5)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui jari-jari lingkaran}\\ & r=MN=\sqrt{(x_M-x_N{)}^2+({)}^2}\\ & \iff =\sqrt{(-2-1{)}^2+(5-3{)}^2}\\ & \iff =\sqrt{(-3{)}^2+2^2}\\ & \iff =\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\\ & \text{maka}\\ & \text{persamaan lingkarannya adalah}\\ & (x-1{)}^2+(y-3{)}^2=r^2\\ & \iff (x-1{)}^2+(y-3{)}^2={\left(\sqrt{13}\right)}^2\\ & \iff (x-1{)}^2+(y-3{)}^2=13\\ & \text{Jadi, jari-jari lingkarannya}\\ & \text{adalah}\sqrt{13}.\text{Dan persamaan}\\ & \text{lingkarannya adalah}:(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=13\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah pusat dan jari-jari lingkaran berikut?}\\ & \text{a}.L\equiv (x+1{)}^2+(y+2{)}^2=9\\ & \text{b}.L\equiv (x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9\\ & \text{c}.L\equiv (x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9\\ & \text{d}.L\equiv (x-1{)}^2+(y-2{)}^2=9\\ & \text{e}.L\equiv (x+3{)}^2+(y-3{)}^2=9\\ & \text{f}.L\equiv (x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25\\ & \text{g}.L\equiv (x-1{)}^2+y^2=27\\ & \text{h}.L\equiv x^2+(y-1{)}^2=27\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & L\equiv (x+1{)}^2+(y+2{)}^2=9,\text{pusat di}(-1,-2)\\ & \text{dan jari-jarinya adalah}\sqrt{9}=3\\ & \text{Selanjutnya, perhatikantabel berikut}\\ & \begin{array}{|clcl|}\hline 3.\text{a}& \{\begin{array}{c}\text{Pusat}:(-1,2)\\ \text{Jar-jari}:\sqrt{9}=3\end{array}& 3.\text{b}& \{\begin{array}{c}\text{Pusat}:(-1,-2)\\ \text{Jar-jari}:\sqrt{9}=3\end{array}\\ 3.\text{c}& \{\begin{array}{c}\text{Pusat}:(1,-2)\\ \text{Jar-jari}:\sqrt{9}=3\end{array}& 3.\text{d}& \{\begin{array}{c}\text{Pusat}:(1,2)\\ \text{Jar-jari}:\sqrt{9}=3\end{array}\\ 3.\text{e}& \{\begin{array}{c}\text{Pusat}:(-3,3)\\ \text{Jar-jari}:\sqrt{9}=3\end{array}& 3.\text{f}& \{\begin{array}{c}\text{Pusat}:(1,2)\\ \text{Jar-jari}:\sqrt{25}=5\end{array}\\ 3.\text{g}& \{\begin{array}{c}\text{Pusat}:(1,0)\\ \text{Jar-jari}:\sqrt{27}=3\sqrt{3}\end{array}& 3.\text{h}& \{\begin{array}{c}\text{Pusat}:(0,1)\\ \text{Jar-jari}:\sqrt{27}=3\sqrt{3}\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Tentukanlah pusat dan jari-jari dari }\\ & \text{persamaan lingkaran}\\ & L\equiv 2x^2+2y^2-2x+6y-3=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Persamaan lingkaran}\\ & L\equiv 2x^2+2y^2-2x+6y-3=0\\ & \iff x^2+y^2-x+3y-{\displaystyle \frac{3}{2}=0\{\begin{array}{ll}A& =-1\\ B& =3\\ C& =-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}}\\ & \text{maka}\{\begin{array}{ll}\text{Pusat}& =(-{\displaystyle \frac{-1}{2},-\frac{3}{2}})=\left({\displaystyle \frac{1}{2},-\frac{3}{2}}\right)\\ \text{Jari-jari}& =r=\sqrt{{\displaystyle \frac{(-1{)}^2}{4}+\frac{3^2}{4}-(-\frac{3}{2})}}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{9}{4}+\frac{6}{4}}}=\sqrt{4}=2\end{array}\\ & \text{Jadi, lingkaran}2x^2+2y^2-2x+6y-3=0\\ & \text{berpusat di}\left({\displaystyle \frac{1}{2},-\frac{3}{2}}\right)\text{dan berjari-jari}2\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Diketahui persamaan lingkaran}\\ & L\equiv 2x^2+2y^2-4x+3py-30=0\\ & \text{dan melalui titik}(-2,1).\text{Tentukanlah }\\ & \text{persamaan lingkaran baru yang}\\ & \text{kosentris(sepusat) dan panjang jari-jarinya}\\ & \text{dua kali panjang jari-jari lingkaran semula?}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui persamaan lingkaran}\\ & 2x^2+2y^2-4x+3py-30=0,\text{melalui}\\ & (-2,1),\text{maka}\\ & \begin{array}{rl}& \text{kita tentukan harga}p\text{dulu, yaitu}:\\ & 2(-2{)}^2+2(1{)}^2-4(-2)+3p(1)-30=0\\ & \iff 8+2+8+3p-30=0\\ & \iff 3p=12\\ & \iff p=4\end{array}\\ & \text{Akibatnya persamaan lingkaran menjadi}\\ & \begin{array}{rl}& 2x^2+2y^2-4x+12y-30=0\\ & \iff x^2+y^2-2x+6y-15=0\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \{\begin{array}{l}\text{Pusat}:\\ (-{\displaystyle \frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B})\\ =(-{\displaystyle \frac{1}{2}.(-2),-\frac{1}{2},6})\\ =(1,-3)\\ \\ \text{Jari-jari }:\\ \begin{array}{rl}r& =\sqrt{{(-\frac{1}{2}A)}^2+(-\frac{1}{2}B)-C}\\ & =\sqrt{1^2+(-3{)}^2-(-15)}\\ & =\sqrt{1+9+15}=5\end{array}\end{array}\\ & \end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Persamaan}\text{lingkaran baru }\\ & \text{dengan pusat}(1,-3)\text{dan jari-jari}\\ & r_{\text{baru}}=2r=2.5=10\\ & (x-1{)}^2+(y+3{)}^2=(10{)}^2\\ & \iff x^2-2x+1+y^2+6x+9=100\\ & \iff x^2+y^2-2x+6y-90=0\end{array}\end{array}\end{array}$

Berikut ilustrasi gambarnya

Irisan Kerucut

A. Pendahuluan

Irisan Kerucut yang dimasud di sini adalah bangun-bangun geometri yang diperoleh dengan cara mengiris sebuah kerucut tegak berselimut ganda dengan sebuah bidang datar dengan arah pengirisan tertentu. Garis potong antara bidang datar dan kerucut tegak tersebut akan menyebabkan beberapa kemungkinan, di antaranya:

• lingkaran, jika kerucut dipotong oleh bidang datar tegak lurus dengan sumbu kerucut dan tidak melalui titik puncak kerucut atau dapat juga dengan kondisi dipotong oleh bidang datar dan sejajar dengan bidang alas
• elips, jika kerucut dipotong pada bidang miringdari garis pelukis sampai garis pelukislainnya, atau dapat juga dikatakan dengan kondisi di mana kerucut dipotong oleh bidang datar membentuk sudut lancip terhadap sumbu dan tidak melalui puncak kerucut
• parabola, jika bidang datar membentuk sejajar dengan garis pelukis kerucut dan tidak melalui puncak kerucut
• hiperbola, jika bidang datar sejajar dengan sumbu kerucut dan tidak melalui titik nol

Kerucut tegak ganda

Kerucut dipotong oleh bidang datar sejajar alas kerucut, penampang irisannya berupa lingaran

penampang irisannya berupa elips

Penampang irisannya berupa parabola

Penampang irisannya berupa hiperbola

$\begin{array}{rl}& \text{Eksentrisitas}\\ & e={\displaystyle \frac{PF}{PL}}\\ & \begin{array}{|cccc|}\hline \text{Lingkaran}& \text{Elips}& \text{Parabola}& \text{Hiperbola}\\ (\text{Circle})& (\text{Ellips})& (\text{Parabola})& (\text{Hyperbola})\\ e=0& e<1& e=1& e>1\\ \hline\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kurnia, N, dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XI Peminatan MIPA. Jakarta: YUDHISTIRA

Rangkuman Materi dan Contoh Soal Pelajaran Matematika Kelas X Fase E Tahun 2024

Kelas X 

Kurikulum Merdeka

Fase E Kelas X

Semester Gasal

Eksponen dan Logaritma

• materi eksponen 1, materi fungsi eksponen 2, lanjutan fungsi eksponen, lanjutan materi 2 fungsi ekponen, lanjutan materi 3 fungsi eksponen, Persamaan eksponen.
• contoh soal eksponen 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10 
• materi logaritma 
• materi logaritma lanjutan
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
• materi logaritma lanjutan 2
• materi persamaan logaritma 1, persamaan 2, persamaan 3, persamaan 4, persamaan 5. aplikasi logaritma, pengayaan (operasi logaritma natural)
• contoh soal 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13

Barisan dan Deret

(pilih  materi yang Anda butuhkan saja)

• materi pola bilangan - induksi matematika
• pola bilangan dan barisan serta deret aritmetika
• pola bilangan dan barisan serta deret geometri 
• berikut contoh soal induksi matematika dan pola bilangan
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5
• materi barisan dan deret aritmetika (hitung)
• lanjutan materi barisan dan deret geometri (ukur)
• berikut contoh soalnya
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.
• barisan dan deret aritmetika dan geometri sekaligus
• contoh soal selingan (diselipkan soal untuk kompetisi) yang terkait barisan dan deret: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4

Trigonometri

• materi trigonometri awal
• perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

• koordinat kartesius, koordinat kutub serta sudut-sudut di berbagai kuadran

• aturan sinus
• aturan cosinus (bagian 1), aturan cosinus (bagian 2)
• contoh soal

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

• materi persamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 
• materi pertidaksamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , 

• materi pertidaksamaan rasional dan irasional satu variabel
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , 

• materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
• lanjutan materi SPLTV
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 

Semester Genap

• Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat, contoh soal PK 1, contoh PK 2, contoh PK 3, contoh PH 4, contoh soal FK 1, contoh FK 2, contoh FK 3, contoh FK 4, contoh FK 5, contoh FK 6.
• Statistikaa materi statistika, penyajian data dalam bentuk diagram. ukuran pemusatan data. ukuran letak data 1, ukuran letak data 2, ukuran letak data 3, interpolasi linear, ukuran penyebaran data 1, ukuran penyebaran data 2, koefisien variansi contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13
• Aturan Pencacahan dan Peluang

• Aturan Pencacahan

  • materi pendahuluan(kombinatorial dan percobaan), kaidah pencacahan(kaidah perkalian), faktorial-permutasi-kombinasi, 
  • contoh soal 1 permutasi-kombinasi, contoh 2, contoh 3, 
  • materi Binomial Newton (pengayaan), fungsi pembangkit untuk kombinasi (pengayaan), 
  • contoh soal 1 (kaidah pencacahan), contoh 2, contoh 3,

  Peluang Kejadian Majmuk

  • materi pendahuluan (percobaan, ruang sampel, dan kejadian), peluang kejadian tunggal dan frekuensi harapan, peluang kejadian majmuk (peluang komplemen, dua kejadian saling bebas, dua kejadian tidak saling bebas), kejadian saling lepas, kejadian tidak saling lepas, 
  • contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, 

Kelas XI dan Kelas XII 

Matematika Wajib

Matematika Peminatan