CONTOH SOAL 10 MATRIKS DAN SPL

 $\begin{array}{l}\\ 16.&\textrm{Jika diketahui}\quad x_{0}\quad \textrm{dan}\quad y_{0}\quad \textrm{adalah selesaian}\\ &\textrm{dari sistem persamaan}\quad \begin{cases} 2x+3y & =60 \\ 3x+2y & =60 \end{cases}\\ &\textrm{dengan}\quad x_{0}=\displaystyle \frac{a}{\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}}\quad \textrm{dan}\quad y_{0}=\displaystyle \frac{b}{\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}}\:, \: \textrm{maka}\\ &\textrm{nilai}\quad a+b\quad\textrm{adalah}\:....\\&\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&-240\\ \textrm{b}.&-180\\ \textrm{c}.&-120\\ \textrm{d}.&-60\\ \textrm{e}.&0 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ &\textrm{Dengan aturan Cramer didapatkan}\\ &x_{0}=\displaystyle \frac{a}{\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 60 & 3 \\ 60 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}}=\displaystyle \frac{120-180}{4-9}=\displaystyle \frac{-60}{-5}\\ &y_{0}=\displaystyle \frac{b}{\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 2 & 60 \\ 3 & 60 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}}=\displaystyle \frac{120-180}{4-9}=\displaystyle \frac{-60}{-5}\\ &\textrm{Jadi, nilai}\quad a+b=(-60)+(-60)=-120 \end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 17.&\textrm{Sebuah garis}\quad k\quad \textrm{dinayatkan dalam bentuk}\\ &\begin{vmatrix} 1 & x &  y\\ a & 1 &  1\\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}=0.\quad \textrm{Nilai}\quad a\quad \textrm{saat garis tersebut}\\ &\textrm{melalui titik}\quad (1,1)\quad \textrm{adalah}\:....\\&\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&5\\ \textrm{b}.&4\\ \textrm{c}.&3\\ \textrm{d}.&2\\ \textrm{e}.&1 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\textrm{Dengan substitusi langsung ke garis, maka}\\ &\begin{vmatrix} 1 & x &  y\\ a & 1 &  1\\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 1 &  1\\ a & 1 &  1\\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}=3+1+2a-1-3a-1=0\\ &\Leftrightarrow 4+2a-3a-2=0\Leftrightarrow 2-a=0\Leftrightarrow a=2 \end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 18.&\textrm{Jika garis yang dinyatakan dengan bentuk}\\ &\begin{vmatrix} x & y &  1\\ 2 & 1 &  1\\ 4 & 5 & 1 \end{vmatrix}=0\quad \textrm{sejajar dengan garis yang }\\ &\textrm{dinyatakan pula dalam bentuk}\quad \begin{vmatrix} x & y &  1\\ 4 & a &  1\\ 3 & 6 & 1 \end{vmatrix}=0\\ &\textrm{maka nilai}\quad a\quad \textrm{adalah}\:....\\&\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&2\\ \textrm{b}.&4\\ \textrm{c}.&5\\ \textrm{d}.&6\\ \textrm{e}.&8 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{e}\\ &\textrm{Perhatikan bahwa untuk kedua garis tersebut adalah}\\ &\bullet \quad\begin{vmatrix} x & y &  1\\ 2 & 1 &  1\\ 4 & 5 & 1 \end{vmatrix}=0\Leftrightarrow  x+4y+10-4-2y-5x=0\\ &\Leftrightarrow -4x+2y+6=0\Leftrightarrow y=2x-3,\quad \textrm{maka},\:m_{1}=2\\ &\bullet \quad \begin{vmatrix} x & y &  1\\ 4 & a &  1\\ 3 & 6 & 1 \end{vmatrix}=0\Leftrightarrow ax+3y+24-3a-6x-4y=0\\ &\Leftrightarrow (a-6)x-y+24-3a=0\Leftrightarrow y=(a-6)x+24-3a\\ &\textrm{maka}\: m_{2}=a-6\\ &\textrm{Syarat dua garis lurus sejajar adalah}:m_{1}=m_{2}\\ &\Leftrightarrow 2=a-6 \Leftrightarrow a=8 \end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 19.&\textrm{Diketahui suatu sistem persamaan berupa}\\ &\begin{cases} x+y+2z & =4 \\ 2x-y-2z & =-1\\ 3x-2y-z&=3 \end{cases}\quad \textrm{memiliki selesaian}\\ &(x_{0},y_{0},z_{0}).\quad \textrm{Jika}\quad x_{0}=\displaystyle \frac{a}{\begin{vmatrix} 1 & 1 &  2\\ 2 & -1 &  -2\\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix}}\\&\textrm{dan}\quad z_{0}=\displaystyle \frac{b}{\begin{vmatrix} 1 & 1 &  2\\ 2 & -1 &  -2\\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix}}\\ &\textrm{maka nilai}\quad a+b\quad \textrm{adalah}\:....\\&\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&27\\ \textrm{b}.&25\\ \textrm{c}.&0\\ \textrm{d}.&-25\\ \textrm{e}.&-27 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{e}\\ &\textrm{Dengan aturan Cramer kita akan mendapatkan}\\ &x_{0}=\displaystyle \frac{a}{\begin{vmatrix} 1 & 1 &  2\\ 2 & -1 &  -2\\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix}}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 4 & 1 &  2\\ -1 & -1 &  -2\\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 &  2\\ 2 & -1 &  -2\\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix}}\\ &\quad=\displaystyle \frac{4+(-6)+4-(-6)-16-1}{1+(-6)+(-8)-(-6)-4-(-2)}\\ &\quad =\displaystyle \frac{-9}{-9}\\ &z_{0}=\displaystyle \frac{b}{\begin{vmatrix} 1 & 1 &  2\\ 2 & -1 &  -2\\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix}}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 &  4\\ 2 & -1 &  -1\\ 3 & -2 & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 &  2\\ 2 & -1 &  -2\\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix}}\\ &\quad=\displaystyle \frac{(-3)+(-3)+(-16)-(-12)-2-6}{1+(-6)+(-8)-(-6)-4-(-2)}\\ &\quad =\displaystyle \frac{-18}{-9}\\ &\textrm{maka nilai}\quad a+b=(-9)+(-18)=-27 \end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 20.&\textrm{Diketahui matriks transformasi berikut}\\ &\begin{pmatrix}\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} &  \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}\\-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} & \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{pmatrix}\\ &\textrm{Peta berupa}\quad (x',y')\quad \textrm{merupakan}\:...\textrm{terhadap}\\&\textrm{titik}\quad (x,y)\\&\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\textrm{rotasi sejauh}\quad 30^{0}\\ \textrm{b}.&\textrm{rotasi sejauh}\quad 45^{0}\\ \textrm{c}.&\textrm{rotasi sejauh}\quad -45^{0}\\ \textrm{d}.&\textrm{rotasi sejauh}\quad 60^{0}\\ \textrm{e}.&\textrm{rotasi sejauh}\quad -60^{0} \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ &\textrm{Ingat matriks rotasi dengan bentuk}\\ &\begin{pmatrix}\cos\alpha &  -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}\\ &\textrm{dengan memilih}\quad \alpha=-45^{0},\quad \textrm{maka akan sama}\\ &\textrm{dengan yang diketahui pada soal di atas} \end{array}$.

MATRIKS-PENERAPAN MATRIKS

 H. Penggunaan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear (SPL)

H.1 Tokoh yang Sangat Terkenal Terkait Penggunaan Matriks dalam SPL

Dalam mempelajari determinan dan SPL, kedua tokoh berikut akan selalu dikenang akan sumbangsihnya yang sangat luar biasa. Pertama Gabriel Cramer seorang matematikawan Swiss (1704-1752) dengan aturan Cramer dalam penggunaan determinan untuk mencari nilai variabel. Sedangkan yang kedua adalah Carl Friedrich Gauss seorang matematikawan Jerman (1777-1855) dengan eliminasi Gaussnya dalam penggunaan operasi baris pada matriks untuk menyelesaikan SPL.

H.2 Aturan Cramer untuk SPL dua variabel 

Misalkan diberikan

$\begin{aligned}&\begin{cases} a_{1}x &+&b_{1}y=c_{1} \\ a_{2}x &+&b_{2}y=c_{2} \end{cases} \end{aligned}$.

maka koefisiennya adalah:

$\begin{pmatrix} a_{1} &  b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{pmatrix}$.

Determinan utama:

$D=\begin{vmatrix} a_{1} &  b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$.

syaratnya $D\neq 0$.

Kemudian kolom x diganti dengan konstanta:

$D_{x}=\begin{vmatrix} c_{1} &  b_{1}\\ c_{2} & b_{2} \end{vmatrix}=c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}$.

dan kolom y diganti dengan konstanta:

$D_{y}=\begin{vmatrix} a_{1} &  c_{1}\\ a_{2} & c_{2} \end{vmatrix}=a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}$,

maka solusi SPLDV adalah: $x=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle x}}{D},\quad y=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle y}}{D}$.

H.3 Aturan Cramer untuk SPL tiga variabel 

Misalkan diketahui sistem persamaan berikut:

$\begin{aligned}&\begin{cases} a_{1}x &+&b_{1}y&+&c_{1}z&=&d_{1} \\ a_{2}x &+&b_{2}y&+&c_{2}z&=&d_{2}\\ a_{3}x &+&b_{3}y&+&c_{3}z&=&d_{3} \end{cases} \end{aligned}$.

Dengan cara yang sama seperti pada penyelesaian di bagian H.2 di atas dalam penyelesaian SPL tersebut dengan determinan, yaitu: $D=\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} &  c_{1}\\ a_{2} & b_{2} &  c_{2}\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}\neq 0$,  $D_{\displaystyle x}=\begin{vmatrix} d_{1} & b_{1} &  c_{1}\\ d_{2} & b_{2} &  c_{2}\\ d_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}$, $D_{\displaystyle y}=\begin{vmatrix} a_{1} & d_{1} &  c_{1}\\ a_{2} & d_{2} &  c_{2}\\ a_{3} & d_{3} & c_{3} \end{vmatrix}$, dan $D_{\displaystyle z}=\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} &  d_{1}\\ a_{2} & b_{2} &  d_{2}\\ a_{3} & b_{3} & d_{3} \end{vmatrix}$.

Selanjutnya untuk mendapatkan nilai variabel x, y, dan z adalah: $x=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle x}}{D},\quad y=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle y}}{D},\quad \textrm{dan}\quad z=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle z}}{D}$.

Sebagai catatan bahwa untuk mencarai nilai dterminan ada banyak cara, baik dari cara Sarrus, maupun ekspansi baris atau ekspansi kolom 

H.4 Metode Eliminasi Gauss untuk SPL tiga variabel 

Langkah-langkah untuk metode eliminasi Gauss adalah sebagai berikut:

• Ubahlah SPLTV menjadi matriks augmented (matriks berupa koefisien variabel yang diperluas dengan kolom konstanta
• Mengenolkan elemen di bawah pivot (elemen utama) pertama dan kedua dan usahakan dapat membentuk sperti matriks identitas ordo 3x3
• Lakukan sedikit/bebrapa langkah yang perlu agar minimal menjadi bentuk eselon baris, yaitu bentuk matriks yang susunan elemennya sudah dibuat seperti tangga, sehingga lebih mudah digunakan untuk mencari solusi SPL dengan eliminasi Gauss 

Terkait model matriks bentuk eselon baris, perhatikan 3 hal mendasar berikut

1. Semua baris yang seluruh elemennya nol berada di bagian paling bawah
2. Pada setipa baris yang tidak seluruhnya nol, elemen pertama yang bukan nol disebut pivot, posisi pivot pada baris berikutnya harus semakin ke kanan
3. Semua elemen di bawah setiap pivot harus nol.

I. Penggunaan Matriks dalam Transformasi Geometri

Lihat materi tentang transformasi ini di sini

$\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah dengan metode matriks}\\ &\textrm{(cara Cramer) SPLDV berikut}:\\ &\begin{cases} 2x-y & =7 \\ x-y & =-1 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}x&=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle x}}{D}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 7 & -1\\ -1 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{7(-1)-(-1).(-1)}{2.(-1)-(-1).1}\\ &=\displaystyle \frac{-7-1}{-2+1}=\frac{-8}{-1}=8\\ y&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 2 & 7\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{2(-1)-(7).1}{2.(-1)-(-1).1}\\ &=\displaystyle \frac{-2-7}{-2+1}=\frac{-9}{-1}=9\\ \textrm{J}&\textrm{adi}\: \: (x,y)=(8,9) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah dengan metode matriks}\\ &\textrm{(cara Cramer) SPLTV berikut}:\\ &\begin{cases} 2x+2y+3z & =14 \\ 3x-y+4z & =8\\ 5x+y+2z&=12 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}x&=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle x}}{D}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 14 & 2&3\\ 8 & -1&4\\ 12&1&2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 2&3\\ 3 & -1&4\\ 5&1&2 \end{vmatrix}}\\ x&=\displaystyle \frac{14\begin{vmatrix} -1&4\\ 1&2 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 8 & 4\\ 12 & 2 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 8 & -1\\ 12 & 1 \end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix} -1 & 4\\ 1 & 2 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 5 & 2 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 5 & 1 \end{vmatrix}} \\ &=\displaystyle \frac{14(-2-4)-2(16-48)+3(8+12)}{2(-2-4)-2(6-20)+3(3+5)}\\ &=\displaystyle \frac{14(-6)-2(-32)+3(20)}{2(-6)-2(-14)+3(8)}=\displaystyle \frac{-84+64+60}{-12+28+24}\\ &=\frac{40}{40}=1\\  \end{aligned}\\ &\begin{aligned}y&=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle y}}{D}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 2 & 14&3\\ 3 & 8&4\\ 5&12&2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 2&3\\ 3 & -1&4\\ 5&1&2 \end{vmatrix}}\\ y&=\displaystyle \frac{2\begin{vmatrix} 8&4\\ 12&2 \end{vmatrix}-14\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 5 & 2 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 3 & 8\\ 5 & 12 \end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix} -1 & 4\\ 1 & 2 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 5 & 2 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 5 & 1 \end{vmatrix}} \\ &=\displaystyle \frac{2(16-48)-14(6-20)+3(36-40)}{2(-2-4)-2(6-20)+3(3+5)}\\ &=\displaystyle \frac{2(-32)-14(-14)+3(-4)}{2(-6)-2(-14)+3(8)}=\displaystyle \frac{-64+196-12}{-12+28+24}\\ &=\frac{120}{40}=3\\  \end{aligned}\\ &\begin{aligned}z&=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle z}}{D}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 2 & 2&14\\ 3 & -1&8\\ 5&1&12 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 2&3\\ 3 & -1&4\\ 5&1&2 \end{vmatrix}}\\ z&=\displaystyle \frac{2\begin{vmatrix} -1&8\\ 1&12 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 3 & 8\\ 5 & 12 \end{vmatrix}+14\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 5 & 1 \end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix} -1 & 4\\ 1 & 2 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 5 & 2 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 5 & 1 \end{vmatrix}} \\ &=\displaystyle \frac{2(-12-8)-2(36-40)+14(3+5)}{2(-2-4)-2(6-20)+3(3+5)}\\ &=\displaystyle \frac{2(-20)-2(-4)+14(8)}{2(-6)-2(-14)+3(8)}=\displaystyle \frac{-40+8+112}{-12+28+24}\\ &=\frac{80}{40}=2\\  \textrm{J}&\textrm{adi, nilai }\: \: (x,y,y)=\left ( \displaystyle 1,3,2 \right ) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah dengan metode matriks}\\ &\textrm{(metode eliminasi Gauss) SPLTV berikut}:\\ &\begin{cases} 2x+2y+3z & =14 \\ 3x-y+4z & =8\\ 5x+y+2z&=12 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Matriks augmentednya adalah}:\\ &\left[ \begin{array}{ccc|c} 2&2&3&14\\ 3&-1&4&8\\ 5&1&2&12 \end{array} \right]\\ &\textrm{Jadikan elemen di bawah pivot pertama menjadi nol}\\ &(\textrm{gunakan baris pertama sebagai pivot})\\ &\bullet \quad R_{\displaystyle 2}\longleftarrow 2R_{\displaystyle 2}-3R_{\displaystyle 1}\\ &\bullet \quad R_{\displaystyle 3}\longleftarrow 2R_{\displaystyle 3}-5R_{\displaystyle 1}\\ &\textrm{maka}\\ &R_{\displaystyle 2}=2(3,-1,4|8)-3(2,2,3|14)=(0,-8,-1|-26)\\ &R_{\displaystyle 3}=2(5,1,2|12)-5(2,2,3|14)=(0,-8,-11|-46)\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\left[ \begin{array}{ccc|c} 2&2&3&14\\ 0&-8&-1&-26\\ 0&-8&-11&-46 \end{array} \right]\\ &\textrm{Buat elemen di bawah pivot kedua menjadi nol}\\ &\bullet \quad R_{\displaystyle 3}\longleftarrow R_{\displaystyle 3}-R_{\displaystyle 2}\\ &\textrm{maka}\\ &R_{\displaystyle 3}=(0,-8,-11|-46)-(0,-8,-1|-26)\\ &\:\:\:\quad=(0,0,-10|-20)\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\left[ \begin{array}{ccc|c} 2&2&3&14\\ 0&-8&-1&-26\\ 0&0&-10&-20 \end{array} \right]\\ &\textrm{Bentuk di atas sudah}\,\: \textbf{membentuk eselon baris}\\ &\textrm{Langkah berikutnya adalah substitusi, yaitu}\\ &\textrm{Dari baris ke tiga didapatkan}:-10z=-20\Leftrightarrow z=2\\  &\textrm{Pada baris ke dua}:-8y-z=-26\Leftrightarrow -8y-2=-26\\ &\Leftrightarrow -8y=-24\Leftrightarrow y=3\\ &\textrm{Dari baris pertama }:2x+2y+3z=14\\ &\Leftrightarrow 2x+2(3)+3(2)=14 \Leftrightarrow x=1\\ &\textrm{Jadi, penyelesaiansaiannya adalah}\\ &x=1,\quad, y=3,\quad \textrm{dan} \quad z=2\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Aprilianto, B. ..... Buku Ajar Fokus Matematika (Program IPA) untuk SMA/MA Kelas XII. Solo: CV. SINDUNATA.
2. Johanes, Kastola & Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA.
3. Kusnandar, Muharman, I., Saputra, E.S. 2017. Pendalaman Buku Teks Matematika 2A SMA Kelas XI Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.

KUMPULAN MATERI SMA/MA BAGIAN 2 (KURIKULUM KBC)

Merujuk BSKAP No.46 Tahun 2025

Matematika Wajib

$\LARGE\fbox{KELAS X}$.

Materi Eksponen

• materi 1, lanjutan materi 1, lanjutan materi 2, lanjutan materi 3, 
• contoh soal 1, soal 2, soal 3, soal 4, soal 5, soal 6, soal 7, soal 8, soal 9, soal 10, soal 11, soal 12, soal 13, soal 14, soal 15, soal 16, soal 17, soal 18, soal 19, soal 20.
• materi logaritma 
• materi logaritma lanjutan
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
• materi logaritma lanjutan 2
• materi persamaan logaritma 1, persamaan 2, persamaan 3, persamaan 4, persamaan 5. aplikasi logaritma, pengayaan (operasi logaritma natural)
• contoh soal 7 , contoh 8 , contoh 9 ,

Materi Barisan dan Deret

• materi pola bilangan - induksi matematika
• pola bilangan dan barisan serta deret aritmetika
• pola bilangan dan barisan serta deret geometri 
• berikut contoh soal induksi matematika dan pola bilangan
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5
• materi barisan dan deret aritmetika (hitung)
• lanjutan materi barisan dan deret geometri (ukur)
• berikut contoh soalnya
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.
• barisan dan deret aritmetika dan geometri sekaligus
• contoh soal selingan (diselipkan soal untuk kompetisi) yang terkait barisan dan deret: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4.

Materi Perbandingan Trigonometri

• materi trigonometri awal
• perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

• koordinat kartesius, koordinat kutub serta sudut-sudut di berbagai kuadran

• aturan sinus
• aturan cosinus (bagian 1), aturan cosinus (bagian 2)

• materi persamaan trigonometri, identitas trigonometri, menentukan nilai perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, relasi sudut, persamaan trigonometri sederhana.
• lanjutan materi 1 , materi 2 , materi 3
• persamaan tigonometri: identitas trigonometri, menentukan nilai perbandingan trigonometri, sudut-sudut berelasi, persamaan trigonometri sederhana, persamaan bentuk a sin x + b cos x=c, grafik fungsi trigonometri, 
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
• soal tengah semester gasal : contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4,

• rumus jumlah dan selisih 1
• rumus jumlah dan selisih 2
• materi terbaru : rumus jumlah dan selisih dudut sinus, cosinus, tangen, rumus sudut rangkap/ganda, sudut paruh/tengahan, rumus perkalian sinus dan cosinus, rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus, 
• soal persiapan menghadapi semester gasal: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.

Materi Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

• materi persamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 
• materi pertidaksamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , 

• materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
• lanjutan materi SPLTV
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 

• materi sistem pertidaksamaan dua variabel linear-linear
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 

Materi Persamaan dan Fungsi Kuadrat

• Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat, definit positif dan definit negatif, contoh soal PK 1, contoh PK 2, contoh PK 3, contoh PH 4, contoh soal FK 1, contoh FK 2, contoh FK 3, contoh FK 4, contoh FK 5, contoh FK 6.

Materi Representasi dan Interpretasi Data

• Statistikaa materi statistika, penyajian data dalam bentuk diagram. ukuran pemusatan data. ukuran letak data 1, ukuran letak data 2, ukuran letak data 3, interpolasi linear, ukuran penyebaran data 1, ukuran penyebaran data 2, koefisien variansi contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13

Materi Peluang

• materi pendahuluan(kombinatorial dan percobaan), kaidah pencacahan(kaidah perkalian), faktorial-permutasi-kombinasi, 
• contoh soal 1 permutasi-kombinasi, contoh 2, contoh 3, 
• materi Binomial Newton (pengayaan), fungsi pembangkit untuk kombinasi (pengayaan), 
• contoh soal 1 (kaidah pencacahan), contoh 2, contoh 3,

• materi pendahuluan (percobaan, ruang sampel, dan kejadian), peluang kejadian tunggal dan frekuensi harapan, peluang kejadian majmuk (peluang komplemen, dua kejadian saling bebas, dua kejadian tidak saling bebas), kejadian saling lepas, kejadian tidak saling lepas, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, 

$\LARGE\fbox{KELAS XI}$.

Materi Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

• materi fungsi komposisi dan fungsi invers
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5

Materi Lingkaran

• lingkaran: materi, kedudukan titik, kedudukan garis, persamaan garis singgung (pgs) lingkaran, pgs dengan gradien, hubungan dua lingkaran, contoh: soal 1, soal 2, soal 3, soal 4, soal 5, soal 6, soal 7, soal 8.

Materi Statistika

• materi statistika, penyajian data dalam bentuk diagram.
• ukuran pemusatan data. ukuran letak data 1, ukuran letak data 2, ukuran letak data 3, interpolasi linear, ukuran penyebaran data 1, ukuran penyebaran data 2, koefisien variansi
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13

$\LARGE\fbox{KELAS XII}$.

Materi Transformasi Fungsi : Translasi, Refleksi, Dilatasi, Rotasi, Kombinasi Transformasi Fungsi

• materi 1,
• contoh soal 1, soal 2, soal 3, soal 4, soal 5, soal 6

Materi Busur dan Juring Lingkaran: Busur Lingkaran, Juring Lingkaran, Hubungan Panjang Busur dan Luas Juring

• materi 1, materi 2.
• contoh soal 1, soal 2, soal 3, soal 4, soal 5.
• materi sudut pusat dan sudut keliling, segiempat tali busur, garis singgung, lingkaran dalam-luar-singgung segitiga.
• contoh soal 6, soal 7, soal 8, soal 9. soal 10, soal 11, soal 12.soal 13, soal 14.

Materi Kombinatorika: Aturan Pengisian Tempat, Permutasi, Kombinasi, Peluang

• materi pendahuluan(kombinatorial dan percobaan), kaidah pencacahan(kaidah perkalian), faktorial-permutasi-kombinasi, 
• contoh soal 1 permutasi-kombinasi, contoh 2, contoh 3, 
• materi Binomial Newton (pengayaan), fungsi pembangkit untuk kombinasi (pengayaan), 
• contoh soal 1 (kaidah pencacahan), contoh 2, contoh 3,

• materi pendahuluan (percobaan, ruang sampel, dan kejadian), peluang kejadian tunggal dan frekuensi harapan, peluang kejadian majmuk (peluang komplemen, dua kejadian saling bebas, dua kejadian tidak saling bebas), kejadian saling lepas, kejadian tidak saling lepas, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, 

Matematika Tingkat Lanjut

$\LARGE\fbox{KELAS XI}$.

Materi Matriks

• materi 1, materi 2 (jenis-jenis matriks), matriks transpose dan operasi matriks, determinan, invers ordo 2x2, invers matriks ordo 3x3, penerapan matriks.
• contoh soal 1, soal 2, soal 3, soal 4, soal 5, soal 6, soal 7, soal 8, soal 9, soal 10.

Materi Polinomial

• materi pendahuluan, operasi polinom, metode Horner-Kino (materi lanjutan operasi polinom) teorema sisa dan teorema faktor, persamaan polinom
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8, contoh 9

Materi Vektor

• materi vektor, operasi vektor, vektor di dimensi dua, perkalian skalar dua vektor, proyeksi ortogonal suatu vektor, vektor dimensi tiga, lanjutan vektor dimensi tiga, operasi vektor berdimensi tiga, lanjutan 1 operasi vektor berdimensi tiga, lanjutan 2 operasi vektor berdimensi tiga, proyeksi orthogonal suatu vektor di dimensi tiga, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, (urutan) contoh soal 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8, contoh 9, contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13.

Materi Transformasi Geometri

Materi Fungsi dan Pemodelannya

• materi 1, 
• materi pendahuluan, domain-kodomain-range fungsi, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, 

$\LARGE\fbox{KELAS XII}$.

Materi Geometri Analitik-Irisan Kerucut: Lingkaran, Elips, Parabola, Hiperbola

• materi 1, 
• lingkaran: materi, kedudukan titik, kedudukan garis, persamaan garis singgung (pgs) lingkaran, pgs dengan gradien, hubungan dua lingkaran, contoh: soal 1, soal 2, soal 3, soal 4, soal 5, soal 6, soal 7, soal 8.
• elips: materi elips, persamaan garis singgung.
• parabola: materi parabola, persamaan garis singgung.
• hiperbola: materi hiperbola, persamaan garis singgung.
• Contoh terkait elips, parabola, hiperbola: soal 1, soal 2, soal 3, soal 4, soal 5.

Materi Limit

• materi limit aljabar
• contoh soal 1, contoh 2, 

• limit fungsi trigonometri (materi lama-perkenalan dengan limit fungsi aljabar), lanjutan materi lama, lanjutan rumus dasar limit trigonometri, 
• materi pendahuluan limit, menentukan nilai limit fungsi trigonometri, pembuktian teorema apit (identitas limit fungsi trigonometri), limit fungsi trigonometri di tak hingga,
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5,
• materi limit diketakhinggan.
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5,

Materi Turunan Fungsi

• materi turunan fungsi aljabar
• bentuk umum turunan aljabar
• sifat turunan pertama dan aturan rantai
• aturan rantai pada turunan pertama dan kedua
• penggunaan turunan fungsi
• menyelesaikan masalah terkait keekstriman fungsi
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4

• materi turunan fungsi trigonometri
• lanjutan materi 
• contoh soal  (bagaian 1)
• lanjutan materi 2 
• lanjutan materi 3
• lanjutan materi 4 (sifat-sifat turunan)
• lanjutan materi 5
• contoh soal 1 (bagain 2) , contoh 2 , contoh 3 contoh 4 , contoh 5
• lanjutan materi 6 (persamaan garis singgung kurva)-turunan pertama
• lanjutan materi 7 (fungsi naik dan fungsi turun)-turunan pertama
• lanjutan materi 8 (nilai stasioner)-turunan pertama
• lanjutan materi 9 (aplikasi nilai stasioner)-turunan pertama
• contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9
• turunan kedua fungsi trigonometri (Fungsi naik dan fungsi turun, titik belok serta selang kecekungan)
• contoh 10 , contoh 11 , contoh 12 , contoh 13

Materi Integral

• materi pendahuluan
• teknik pengintegralan (dengan teknik substitusi)
• teknik pengintegralan (dengan integral parsial dan atau Tanzalin)
• penggunaan integral tak tentu
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4.

• materi integral tentu fungsi aljabar
• penggunaan inetgral tentu fungsi aljabar
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8.

Materi Analisis Data dan Peluang: Distribusi Binomial, Distribusi Normal

• materi distribusi binomial, distribusi peluang diskrit, 
• contoh soal 1, contoh 2, 
• distribusi peluang kontinu, Binomial Newton,
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3,

• materi distribusi normal, lanjutan 1 materi, lanjutan 2 materi
• materi distribusi student, penarikan kesimpulan (pengujian hipotesis)
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6

Rujukan Materi lawas (kurikulum sebelum KBC) mungkin tersedia di blog ini, silahkan cek 

• kumpulan materi 1
• kumpulan materi 2

Kumpulan MATERI KETAKSAMAAN

• Konsep Ketaksamaan QM-AM-GM-HM
• Materi Ketaksamaan QM-AM-GM-HM
• Materi Ketaksamaan Cauchy-Schwarz-Engel (CS-E)
• Materi Ketaksamaan Renata (Rearrangement)
• Materi Ketaksamaan Chebyshev
• Materi Ketaksamaan Holder
• Materi Ketaksamaan Schur
• Materi lanjutan Ketaksamaan Schur
• Contoh Soal 1 Ketaksamaan
• Contoh Soal 2 Ketaksamaan
• Contoh Soal 3 Ketaksamaan
• Contoh Soal 4 Ketaksamaan
• Contoh Soal 5 Ketaksamaan
• Contoh Soal 6 Ketaksamaan
• Contoh Soal 7 Ketaksamaan
• Contoh Soal 8 Ketaksamaan
• Contoh Soal 9 Ketaksamaan
• Contoh Soal 10 Ketaksamaan
• Contoh Soal 11 Ketaksamaan
• Contoh Soal 12 Ketaksamaan
• Contoh Soal 13 Ketaksamaan
• Contoh Soal 14 Ketaksamaan
• Contoh Soal 15 Ketaksamaan

CONTOH SOAL TRANSFORMASI FUNGSI BAGIAN 5

 $\begin{array}{ll}\\ 21.&\textrm{Jika}\: \: T_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: T_{2}=\begin{pmatrix} -2 & 5\\ -1 & 3 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka bayangan garis}\: \: x+y+1=0\\ &\textrm{oleh}\: \: T_{2}\circ T_{1}\: \: \textrm{adalah}\, ...\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad x-2y-1=0&&\\ \textrm{b}.\quad x+2y-1=0&\\ \textrm{c}.\quad x+2y+1=0&\\ \textrm{d}.\quad x-2y+1=0\\ \textrm{e}.\quad x+y-1=0 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{a}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dike}&\textrm{tahui bahwa}:\\ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=T_{2}\circ T_{1}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -2 & 5\\ -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -2+5 & -4+5\\ -1+3 & -2+3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 3x+y\\ 2x+y \end{pmatrix}\\ \textrm{Dipe}&\textrm{roleh}\\ &\begin{array}{lllllllll}\\ \quad x'&=3x+y\\ \quad y'&=2x+y\qquad\quad-\\\hline x'-y'&=x\\ \Leftrightarrow \quad x&=x'-y'\qquad ....(1)\\ \textrm{maka}\\ \qquad y&=x'-3x\\ &=x'-3(x'-y')\\ &=3y'-2x'\quad ....(2) \end{array}\\ \textrm{Sehin}&\textrm{gga}\\ x+y&+1=0\\ x'-&y'+3y'-2x'+1=0\\ -x'+&2y'+1=0\\ x'-&2y'-1=0\\ \textrm{maka}&\: \textrm{bayangan garisnya}\\ x-2&y-1=0 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 22.&\textrm{Diketahui}\: \: M\: \: \textrm{adalah pencerminan terhadap}\\ &\textrm{garis}\: \: y=-x\: \: \textrm{dan}\: \: T\: \: \textrm{adalah transformasi} \\ &\textrm{yang dinyatakan oleh matriks}\: \: \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\\ &\textrm{Koordinat bayangan titik}\: \: A(2,-8)\: \: \textrm{oleh}\\ &\textrm{transformasi}\: \: M\: \: \textrm{dilanjutkan oleh}\: \: T\: \: \textrm{adalah}\, ...\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad (-10,2)&&\\ \textrm{b}.\quad (-2,-10)&\\ \textrm{c}.\quad (10,2)&\\ \textrm{d}.\quad (-10,-2)\\ \textrm{e}.\quad (2,10) \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dike}&\textrm{tahui bahwa}:\\ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} &=T\circ M\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ -8 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0-3 & -2+0\\ 0+1 & 0+0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ -8 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -3 & -2\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ -8 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -6+16\\ 2+0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 10\\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 23.&\textrm{Jika}\: \: W\: \: \textrm{adalah transformasi oleh}\\ &\textrm{matriks}\: \: \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 1 \end{pmatrix},\: \: \textrm{maka titik mula}\\ &\textrm{dari}\: \: W'(-2,5)\: \: \textrm{adalah}\, ...\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad (-11,-2)&&\\ \textrm{b}.\quad (11,-2)&\\ \textrm{c}.\quad (-2,11)&\\ \textrm{d}.\quad (2,11)\\ \textrm{e}.\quad (12,11) \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dimi}&\textrm{salkan}:\\ A&=\begin{pmatrix} -2\\ 5 \end{pmatrix},\: \: \textrm{dan}\\ W&=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 1 \end{pmatrix},\: \: \textrm{serta}\: \: X=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ \textrm{mak}&\textrm{a}\\ &\begin{array}{|c|}\hline \begin{aligned}A&=BX\\ B^{-1}A&=B^{-1}BX\\ B^{-1}A&=I.X\\ B^{-1}A&=X\\ X&=B^{-1}A \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}&=\displaystyle \frac{1}{\begin{vmatrix} 1 &0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}}\begin{pmatrix} 1 & 0\\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\ 5 \end{pmatrix}\\ &=1.\begin{pmatrix} -2+0\\ 6+5 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -2\\ 11 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 24.&\textrm{Jika setiap titik pada grafik dengan}\\ &\textrm{dengan persamaan}\: \: y=\sqrt{x}\: \: \textrm{dicerminkan} \\ &\textrm{terhadap garis}\: \: y=x\: ,\: \textrm{maka persamaan}\\ &\textrm{grafik yang dihasilkan adalah}\, ...\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad y=x^{2}\: ,\: x\geq 0&&\\ \textrm{b}.\quad y=-\sqrt{x}\: ,\: x\geq 0&\\ \textrm{c}.\quad y=-x^{2}\: ,\: x\leq 0&\\ \textrm{d}.\quad y=\sqrt{-x}\: ,\: x\leq 0\\ \textrm{e}.\quad y=-\sqrt{-x}\: ,\: x\leq 0 \end{array}\\\\ &\quad\quad\qquad \textbf{UMB Tahun 2011 Kode 152}\\\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{a}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dike}&\textrm{tahui bahwa}:\\ y&=\sqrt{x},\: \: \textrm{atau}\: \: y^{2}=x\\ \textbf{Alt}&\textbf{ernatif 1}\\ \textrm{mak}&\textrm{a}\: \: \textrm{saat dicerminkan terhadap}\\ \textrm{gari}&\textrm{s}\: \: y=x,\: \textrm{adalah}\: \: x^{2}=y\\ \textrm{atau}&\: \: y=x^{2}.\\ \textbf{Alt}&\textbf{ernatif 2}\\ \textrm{Jika}\: &\textrm{ingin dikerjakan dengan rumus}\\ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=M_{x=y}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} y\\ x \end{pmatrix}\\ \textrm{Sela}&\textrm{njutnya hasilnya disubstitusikan}\\ \textrm{ke p}&\textrm{ersamaan}\: \: y=\sqrt{x}\Rightarrow x'=\sqrt{y'}\\ \sqrt{y'} &=x'\: \: \: \textrm{maka}\\ y'&=\left ( x' \right )^{2}\: \: \: \textrm{selanjutnya}\\ y&=x^{2} \end{aligned} \end{array}$.

Sebelum dicerminkan terhadap garis y=x

Gambar kurva/grafik setelah cerminkan terhadap garis y=x

$\begin{array}{ll}\\ 25.&\textrm{Transformasi}\: \: T\: \: \textrm{adalah pencerminan}\\ &\textrm{terhadap garis}\: \: y=\displaystyle \frac{x}{3}\: \: \textrm{dilanjutkan oleh} \\ &\textrm{pencerminan terhadap garis}\: \: y=-3x.\\ &\textrm{Matriks yang bersesuian dengan}\\ &\textrm{transformasi}\: \: T\: \: \textrm{adalah}\, ...\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}&&\\ \textrm{b}.\quad \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}&\\ \textrm{c}.\quad \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}&\\ \textrm{d}.\quad \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\\ \textrm{e}.\quad \begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{array}\\\\ &\quad\quad \textbf{SBMPTN Tahun 2013 Kode 433}\\\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dike}&\textrm{tahui bahwa}:\\ \textrm{sebu}&\textrm{ah persamaan garis lurus}\\ \textrm{dapa}&\textrm{t dituliskan dengan}:\: y=mx\\ \textrm{Dike}&\textrm{tahui pula bahwa ada 2 garis}:\\ y_{1}&=\displaystyle \frac{1}{3}x\quad \textrm{dan}\: \: \: y_{2}=-3x\\ \textrm{seba}&\textrm{gai representasi transformasi}\: \: T.\\ \textrm{Kare}&\textrm{na}\: \: m_{1}\times m_{2}=\left ( \displaystyle \frac{1}{3} \right )(-3)=-1\\ \textrm{bera}&\textrm{rti 2 garis di atas saling tegak}\\ \textrm{luru}&\textrm{s dan hal ini seperti rotasi 2}\\ \textrm{kali}\: \: &90^{\circ}\: \: \textrm{atau}\: \: 180^{\circ}\\ \textrm{Jadi},&\: T=\begin{pmatrix} \cos 180^{\circ} & -\sin 180^{\circ}\\ \sin 180^{\circ} & \cos 180^{\circ} \end{pmatrix}\\ \Leftrightarrow &\: T=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Johanes, Kastolan, Sulasim, 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Program IPA Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA.
2. Nugroho, P. A. Gunarto, D. 2013. Big Bank Soal-Bahas MAtematika SMA/MA. Jakarta: WAHYUMEDIA.
3. Santoso, N.A., Aksin, N. 2024. PR Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas 12. Yogyakarta: INTAN PARIWARA EDUKASI
4. Sharma,S.N., dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XI Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.

CONTOH SOAL TRANSFORMASI FUNGSI BAGIAN 4

 $\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Garis}\: \: 2x+y+4=0\: \: \textrm{ditranslasikan}\\ &\textrm{oleh}\: \: \begin{pmatrix} -2\\ 5 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dilanjutkan transformasi} \\ &\textrm{oleh}\: \: \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\: \: \textrm{persamaan bayangannya}\\ &\textrm{adalah}\, ...\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 2x+y+3=0&&\\ \textrm{b}.\quad 2x-3y+3=0&\\ \textrm{c}.\quad 2x+3y+3=0&\\ \textrm{d}.\quad 3x+2y+3=0\\ \textrm{e}.\quad 3x-2y+3=0 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\begin{aligned}\textrm{Diket}&\textrm{ahui bahwa}:\\ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}\: &=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x-2\\ y+5 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x''\\ y'' \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-2\\ y+5 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} x-2+2y+10\\ y+5 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} x+2y+8\\ y+5 \end{pmatrix}\\ \textrm{Diper}&\textrm{oleh}\\ &\begin{array}{lllllllll}\\ \quad x''&=x+2y+8\\ \: \: \: 2y''&=2y+10\qquad\quad-\\\hline x''-2y''&=x-2\\ \Leftrightarrow \quad x&=x''-2y''+2\: ....(1)\\ \textrm{maka}\\ \qquad y&=y''-5\quad \qquad....(2) \end{array}\\ \textrm{sehin}&\textrm{gga}\\ 2x+&y+4=0\\ 2(x''&-2y''+2)+(y''-5)+4=0\\ 2x''-&3y''+3=0\\ \textrm{maka}&\: \textrm{bayangan garisnya}\\ 2x-&3y+3=0 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{Titik A(4,-4) dicerminkan terhadap}\\ &\textrm{garis}\: \: y=x\tan 15^{\circ}\: \: \textrm{menghasilkan}\\ &\textrm{bayangan}\: \: A'(a,b)\: \: \textrm{adalah}\, ...\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \sqrt{3}&&\textrm{d}.\quad 4\sqrt{3}\\ \textrm{b}.\quad 2\sqrt{3}&\textrm{c}.\quad 3\sqrt{3}&\textrm{e}.\quad 6\sqrt{3} \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\begin{aligned}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \cos 2.15^{\circ}& \sin 2.15^{\circ}\\ \sin 2.15^{\circ} & -\cos 2.15^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4\\ -4 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \cos 30^{\circ}&\sin 30^{\circ}\\ \sin 30^{\circ}&-\cos 30^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4\\ -4 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} & \displaystyle \frac{1}{2}\\ \displaystyle \frac{1}{2} & -\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4\\ -4 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2\sqrt{3}-2\\ 2+2\sqrt{3} \end{pmatrix}\\ &\begin{cases} a &=2\sqrt{3}-2 \\ b &=2+2\sqrt{3} \end{cases}\\ \textrm{mak}&\textrm{a nilai dari}\\ a+b&=\left ( 2\sqrt{3}-2+2+2\sqrt{3} \right )\\ &=4\sqrt{3} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}-5x+8y+7=0\\ & \textrm{ditranslasikan oleh}\: \: T=\begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix}\: \: \textrm{menghasilkan}\\ &\textrm{bayangan}\: \: x^{2}+y^{2}-9x+2y+6=0.\\ & \textrm{Nilai}\: \: m+n=\, ...\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 2&&\textrm{d}.\quad 5\\ \textrm{b}.\quad 3&\qquad\textrm{c}.\quad 4\qquad&\textrm{e}.\quad 6 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dik}&\textrm{etahui sebuah lingkaran dengan persamaan}:\\ & x^{2}+y^{2}-5x+8y+7=0\\ \textrm{kar}&\textrm{ena akibat translasi, maka}\\ &\begin{cases} x & =x'-m \\ y & =y'-n \end{cases}\\ &x^{2}+y^{2}-5x+8y+7=0\\ \textrm{seh}&\textrm{ingga}\\ &\Leftrightarrow (x'-m)^{2}+(y'-n)^{2}-5(x'-m)+8(y'-n)+7=0\\ &\Leftrightarrow x'^{2}+y'^{2}-2mx'-2ny'+m^{2}+n^{2}-5x'+5m+8y'-8n+7=0\\ &\Leftrightarrow x'^{2}+y'^{2}-(2m+5)x'+(8-2n)y'+m^{2}+n^{2}+5m-8n+7=0\\ &\qquad \equiv \: x'^{2}+y'^{2}-9x'+2y'+6=0\qquad (\textbf{akhir bayangan})\\ &\begin{cases} 9 &=2m+5 \Rightarrow m=2\\ 2 & =8-2n \: \Rightarrow \, \: n=3 \end{cases}\\ \textrm{Jad}&\textrm{i , nilai}\: \: m+n=2+3=5\end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Jika titik A(-2,1) dicerminkan terhadap garis}\\ & y=-\displaystyle \frac{1}{3}x\sqrt{3}\: ,\: \textrm{maka bayangan dari}\\ &\textrm{titik A tersebut adalah}\, ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad A'\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3},-\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{3} \right )&&\\ \textrm{b}.\quad A'\left ( -1-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3},-\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{3} \right )&\\ \textrm{c}.\quad A'\left (-1-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3},\displaystyle \frac{1}{2}-\sqrt{3} \right )&\\ \textrm{d}.\quad A'\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3},\displaystyle \frac{1}{2}-\sqrt{3} \right )\\ \textrm{e}.\quad A'\left ( -1+\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3},-\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{3} \right ) \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \textrm{bahwa}:\\ y&=-\displaystyle \frac{1}{3}x\sqrt{3}=\left ( -\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3} \right )x\\ &=\left (-\tan 30^{\circ} \right )x=\tan \left ( 180^{\circ}-30^{\circ} \right )x\\ &=\tan 150^{\circ}.x\\ \textrm{maka}\: \: \theta &=150^{\circ}\quad \Rightarrow \quad 2\theta =300^{\circ}\\ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \cos 300^{\circ} & \sin 300^{\circ} \\ \sin 300^{\circ} & -\cos 300^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{1}{2} & -\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}\\ -\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} & -\displaystyle \frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -1-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \sqrt{3}-\displaystyle \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 20.&\textrm{Bayangan titik A(2,4) dicerminkan }\\ &\textrm{terhadap garis}\: \: y-x=0\: \: \textrm{dilanjutkan}\\ &\textrm{ke garis}\: \: x\sqrt{3}-3y=0\: \: \textrm{adalah}\, ...\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad A'\left ( 2+\sqrt{3},-1+2\sqrt{3} \right )&&\\ \textrm{b}.\quad A'\left ( 2+\sqrt{3},1-2\sqrt{3} \right )&\\ \textrm{c}.\quad A'\left ( 1-\sqrt{3},-2+\sqrt{3} \right )&\\ \textrm{d}.\quad A'\left ( -2+\sqrt{3},1+2\sqrt{3} \right )\\ \textrm{e}.\quad A'\left ( 2-\sqrt{3},1-2\sqrt{3} \right ) \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{a}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dike}&\textrm{tahui bahwa}:\\ &\begin{cases} x\sqrt{3}-3y=0 & \Leftrightarrow y=\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}x\\ &\Leftrightarrow y=\tan 30^{\circ}.x\\\\ x-y=0 & \Leftrightarrow y=x \end{cases}\\\\ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \cos 2.30^{\circ} & \sin 2.30^{\circ} \\ \sin 2.30^{\circ} & -\cos 2.30^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{1}{2} & \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} & -\displaystyle \frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \sqrt{3}+2\\ -1+2\sqrt{3} \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$.

CONTOH SOAL TRANSFORMASI FUNGSI BAGIAN 3

$\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Titik A(1,-2) dirotasikan sejauh}\: \: 15^{\circ}\\ & \textrm{kemudian dilanjutkan}\: \: 75^{\circ}\: \: \textrm{dengan pusat }\\ &O(0,0)\: \: \textrm{maka bayangan akhir titik A adalah}\, ...\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad (-2,1)&&\textrm{d}.\quad (2,1)\\ \textrm{b}.\quad (-1,2)&\textrm{c}.\quad (1,2)&\textrm{e}.\quad (-2,-1) \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\begin{aligned}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} \cos (\theta _{1}+\theta _{2}) & -\sin (\theta _{1}+\theta _{2})\\ \sin (\theta _{1}+\theta _{2}) & \cos (\theta _{1}+\theta _{2}) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \cos (75^{\circ}+15^{\circ})& -\sin (75^{\circ}+15^{\circ})\\ \sin (75^{\circ}+15^{\circ}) & \cos (75^{\circ}+15^{\circ}) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \cos 90^{\circ}&-\sin 90^{\circ}\\ \sin 90^{\circ}&\cos 90^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Sebuah lingkaran yang berpusat di (3,4) }\\ &\textrm{dan menyinggung sumbu-X dicerminkan}\\ &\textrm{terhadap garis}\: \: y=x\: \textrm{, maka persamaan }\\ &\textrm{akhir lingkaran yang terjadi adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-6y+9=0&&\\ \textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}+8x+6y+9=0&\\ \textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}+6x+8y+9=0&\\ \textrm{d}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-6y+16=0\\ \textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+8x+6y+16=0\end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{a}\\ &\begin{aligned}\textrm{Refleksi l}&\textrm{ingkaran yang berpusat di (3,4) }\\ \textrm{dan men}&\textrm{yinggung sumbu-X, }\\ \textrm{dengan}\: \: r&=(y)=4,\\ \textrm{maka}\: \textrm{per}&\textrm{samaan lingkarannya adalah}:\\ (x-3)^{2}+&(y-4)^{2}=4^{2}.\: \textrm{Karena}\\ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y\\ x \end{pmatrix}\\ &\begin{cases} x & =y' \\ y & =x' \end{cases}\\ \textrm{selanjutn}&\textrm{ya untuk persamaan bayangan }\\ \textrm{lingkaran} &\textrm{nya adalah}:\\ &(y'-3)^{2}+(x'-4)^{2}=4^{2},\\ & \textbf{menjadi}\\ &(y-3)^{2}+(x-4)^{2}=4^{2},\quad \textrm{atau}:\\ &x^{2}+y^{2}-8x-6y+9=0 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Jika}\: \: M_{x}\: \: \textrm{adalah pencerminan terhadap sumbu-X }\\ &\textrm{dan}\: \: M_{y=x}\: \: \textrm{adalah pencerminan terhadap garis}\\ & y=x\: ,\: \textrm{maka matriks transformasi tunggal }\\ &\textrm{yang mewakili}\: \: M_{x}\circ M_{y=x}=\, ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}&&\textrm{d}.\quad \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\\ \textrm{b}.\quad \begin{pmatrix} 0 &1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}&&\textrm{e}.\quad \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\ \textrm{c}.\quad \begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketahui}\: &\textrm{bahwa}:\\ &\begin{cases} M_{x} & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\\ M_{y=x} & =\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{cases}\\ M_{x}\circ M_{y=x}&=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0+0 & 1+0\\ 0-1 & 0+0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Diketahui vektor}\: \: \vec{x}\: \: \textrm{dirotasikan terhadap titik asal}\\ & O\: \: \textrm{sebesar}\: \: \theta >0\: \: \textrm{searah jarum jam}.\\ &\textrm{Kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis}\: \: y=0\\ & \textrm{menghasilkan vektor}\: \: \vec{y}.\\ &\textrm{Jika}\: \: \vec{y}=A.\vec{x}\: ,\: \textrm{maka matriks}\: \: A-\textrm{nya adalah}\, ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}&&\\ \textrm{b}.\quad \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}&&\\ \textrm{c}.\quad \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}&&\\ \textrm{d}.\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\\ \textrm{e}.\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bah}\textrm{wa}:\\ &\begin{cases} M_{x} & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\\ R_{-\theta } & =\begin{pmatrix} \cos (-\theta ) & -\sin (-\theta )\\ \sin (-\theta ) & \cos (-\theta ) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \end{cases}\\ &A=M_{x}\circ R_{-\theta }=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Jika garis}\: \: 3x-2y+5=0\: \: \textrm{dicerminkan }\\ &\textrm{terhadap garis}\: \: y=-x\: \: \textrm{kemudian}\\ &\textrm{didilatasikan dengan pusat (1,-2) }\\ &\textrm{dengan faktor skala 2, maka persamaan}\\ & \textrm{bayangannya adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad x-2y-10=0&&\\ \textrm{b}.\quad x+2y-10=0&\\ \textrm{c}.\quad x-6y+5=0&\\ \textrm{d}.\quad x+2y-12=0\\ \textrm{e}.\quad 2x-3y+18=0 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{e}\\ &\begin{aligned}\textrm{Proses}&\: \textrm{untuk refleksinya}\\ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 0&-1\\ -1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -y\\ -x \end{pmatrix}\\ \textrm{proses}&\: \textrm{dilatasinya}\\ \begin{pmatrix} x''\\ y'' \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x'-1\\ y'+2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2x'-2\\ 2y'+4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2x'-1\\ 2y'+2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2(-y)-1\\ 2(-x)+2 \end{pmatrix}\\ &\begin{cases} x &=-\displaystyle \frac{1}{2}(y''-2) \\ y &=-\displaystyle \frac{1}{2}(x''+1) \end{cases} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{Sehingga persam}&\textrm{aan bayangan}\\ \textrm{garisnya adalah}:&\\ 3x&-2y+5=0\\ 3\left ( -\displaystyle \frac{1}{2}(y''-2) \right )&-2\left ( -\displaystyle \frac{1}{2}(x''+1) \right )+5=0\\ -\displaystyle \frac{3}{2}y''+3 &+(x''+1)+5=0\\ 2x&-3y+6+2+10=0\\ 2x&-3y+18=0 \end{aligned} \end{array}$.