Contoh Soal 16 (Segitiga dan Ketaksamaan)

 $\begin{array}{ll}\\ 76.&\textbf{(IMO 1983)}\\ &\textrm{Jika}\: \: a,b,c\: \: \textrm{adalah panjang sisi-sisi segitiga}\\ &\textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\quad a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geq 0\\\\ &\textbf{Bukti}:\\ &\textrm{Pada sebuah segitiga dengan sisi}\: \: a,b,c\\ &\textrm{berlaku}\: \: \begin{cases} a+b>c & \Rightarrow  a>c-b\\  a+c>b & \Rightarrow  c>b-c\\  b+c>a & \Rightarrow  b>a-c \end{cases}\\ &\textrm{Sehingga untuk ketaksamaan pada soal}\\ &\color{red}a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(x-a)\\ &\geq a^{2}(a-c)(a-b)+b^{2}(b-c)(b-c)+c^{2}(c-b)(c-a)\color{red}\geq 0\\ &\textrm{Bentuk terakhir memenuhi bentuk dari}\\ &\textbf{Ketaksamaan Schur}\: \: \textrm{saat}\: \: \color{red}r=2.\\ &\textrm{Jadi},\\ &\quad a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geq 0\quad \blacksquare    \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 77.&\textrm{Misalkan}\: \: a,b,c\: \: \textrm{bilangan real positif dengan}\\ &a+b+c=2\: ,\: \textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\quad a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{Ketaksamaan Schur}\: \textrm{saat}\: \: \color{red}r=2\\ &\textrm{kita memiliki}\\ &a^{2}(a-b)(a-c)+b^{2}(b-a)(b-c)+c^{2}(c-a)(c-b)\geq 0\\ &\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)-a^{3}(b+c)-b^{3}(a+c)-c^{3}(a+b)\geq 0\\ &\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq a^{3}(b+c)+b^{3}(a+c)+c^{3}(a+b)\\ &\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})(a+b+c)-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\ &\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})+abc(a+b+c)\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})(a+b+c)\\ &\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})+abc(2)\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})(2)\\ &\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}\qquad \blacksquare \\\\ &\color{blue}\textrm{Bentuk di atas kadang dituliskan dengan bentuk}\\ &\color{blue}\textrm{berikut}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Dengan}\: \: \textbf{Ketaksamaan Schur}\: \textrm{saat}\: \: \color{red}r=2\\ &\textrm{kita memiliki}\\ &\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{2}(a-b)(a-c)\geq 0\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{4}+abc\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a-\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{3}(b+c)\geq 0\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{4}+abc\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a\geq \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{3}(b+c)\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{4}+abc\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a\geq \left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{3} \right )\left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a \right )-\left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{4} \right )\\ &\Leftrightarrow 2\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{4}+abc\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a\geq \left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{3} \right )\left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a \right )\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{4}+abc\geq \left ( \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{3} \right )\qquad \blacksquare \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 78.&\textrm{Misalkan}\: \: x,y,x\: \: \textrm{bilangan real positif dengan}\\ &\textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\quad a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+acb+c)\\&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (\textbf{Darij Grinberg})\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{ketaksamaan AM-GM}\: \: \textrm{dan}\\ &\textrm{dilanjutkan dengan}\: \: \textbf{ketaksamaan Schur}\\ &\textrm{serta menggesernya ke ruas kiri, maka}\\ &a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1- 2(ab+ac+bc)\\ &\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+3(abc)^{^{\frac{2}{3}}}+1\geq 2(ab+ac+bc)\\ &\geq \left ((a)^{^{\frac{2}{3}}}  \right )^{3}+\left ((b)^{^{\frac{2}{3}}}  \right )^{3}+\left ((c)^{^{\frac{2}{3}}}  \right )^{3}+3(abc)^{^{\frac{2}{3}}}-2(ab+ac+bc)\\ &\geq a^{.^{\frac{2}{3}}}b^{.^{\frac{2}{3}}}\left (a^{.^{\frac{2}{3}}} +b^{.^{\frac{2}{3}}} \right )+a^{.^{\frac{2}{3}}}c^{.^{\frac{2}{3}}}\left (a^{.^{\frac{2}{3}}} +c^{.^{\frac{2}{3}}} \right )\\ &\quad +b^{.^{\frac{2}{3}}}c^{.^{\frac{2}{3}}}\left (b^{.^{\frac{2}{3}}} +c^{.^{\frac{2}{3}}} \right )-2(ab+ac+bc)\\ &\geq a^{.^{\frac{2}{3}}}b^{.^{\frac{2}{3}}}\left (a^{.^{\frac{2}{3}}} +b^{.^{\frac{2}{3}}} \right )+a^{.^{\frac{2}{3}}}c^{.^{\frac{2}{3}}}\left (a^{.^{\frac{2}{3}}} +c^{.^{\frac{2}{3}}} \right )\\ &\quad +b^{.^{\frac{2}{3}}}c^{.^{\frac{2}{3}}}\left (b^{.^{\frac{2}{3}}} +c^{.^{\frac{2}{3}}} \right )-2(ab+ac+bc)\\ &= a^{.^{\frac{2}{3}}}b^{.^{\frac{2}{3}}}\left (a^{.^{\frac{2}{3}}} -b^{.^{\frac{2}{3}}} \right )^{2}+a^{.^{\frac{2}{3}}}c^{.^{\frac{2}{3}}}\left (a^{.^{\frac{2}{3}}} -c^{.^{\frac{2}{3}}} \right )^{2}\\ &\quad +b^{.^{\frac{2}{3}}}c^{.^{\frac{2}{3}}}\left (b^{.^{\frac{2}{3}}} -c^{.^{\frac{2}{3}}} \right )^{2}\geq 0\qquad \blacksquare \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 79.&(\textbf{APMO 2004})\\ &\textrm{Misalkan}\: \: x,y,x\: \: \textrm{bilangan real positif dengan}\\ &\textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\quad (x^{2}+2)(y^{2}+2)(z^{2}+2)\geq 9(xy+yz+zx)\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\textrm{Dengan menjabarkan akan didapatkan}\\ &x^{2}y^{2}z^{2}+2\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}x^{2}y^{2}+4\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}x^{2}+8\geq 9\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}xy\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\bullet \quad\color{red}2\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}x^{2}y^{2}-4\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}xy+6=2\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}(xy-1)^{2}\geq 0\\ &\bullet  \quad \color{red}\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}x^{2}\geq \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}xy\: \: \color{black}\textrm{atau}\: \: \color{red}x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+xz+yz\\ &\textrm{Kita cukup membuktikan bahwa}\\ & x^{2}y^{2}z^{2}+\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}x^{2}+2\geq 2\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}xy\\ &\Leftrightarrow  x^{2}y^{2}z^{2}+2\geq \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}xy\\ &\begin{aligned}&\textrm{Untuk}\: \: a,b,c\: \: \textrm{bilangan real positif},\\ &\textbf{Ketaksamaan Schur}\: \textrm{saat}\: \: \color{red}r=1\\ &\textrm{memberikan}\\ &\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{3}+3abc\geq \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{2}b+\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}ab^{2}\\ &\qquad\qquad\qquad =ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{Ketaksamaan AM-GM}\: \: \textrm{didapakan}\\ &\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}a^{3}+3abc\geq 2\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}(ab)^{\frac{3}{2}}\\ &\textrm{Pilih}\: \: a=x^{\frac{2}{3}},\: b=y^{\frac{2}{3}},\: c=z^{\frac{2}{3}},\: \textrm{maka didapatkan}\\ &(x^{\frac{2}{3}})^{3}+(y^{\frac{2}{3}})^{3}+(z^{\frac{2}{3}})^{3}+3(xyz)^{\frac{2}{3}}\geq 2(xy+yz+zx)\\ &\textrm{Selanjutnya kita selesaikan ini}\: ,\: x^{2}y^{2}z^{2}+2\geq \displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}xy\\ &\Leftrightarrow  x^{2}y^{2}z^{2}+2 \geq 3(xyz)^{\frac{2}{3}}\\ &\textrm{Misalkan}\: \: (xyz)^{\frac{2}{3}}=t,\: \textrm{maka}\\ &t^{3}+2\geq 3t\Leftrightarrow t^{3}-3t+2\geq 0\\ &(t-1)^{2}(t+2)\geq 0\: \: \textrm{adalah hal benar} \end{aligned}   \end{array}$.

$.\: \quad\begin{aligned}&\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\ &x^{2}y^{2}z^{2}+2\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}x^{2}y^{2}+4\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}x^{2}+8\geq 9\displaystyle \sum_{\textrm{siklik}}^{.}xy\\ &\textrm{atau dalam bentuk utuhnya, yaitu}\\ &x^{2}y^{2}z^{2}+2(x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2})+4(x^{2}+y^{2}+z^{2})+8\geq 9(xy+xz+yz)\\ &\textrm{Sekarang kira uraikan satu persatu bagian}\\ &\bullet\quad x^{2}y^{2}z^{2}+1+1\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}\geq \displaystyle \frac{9abc}{a+b+c}=\frac{9r}{p}\\ &\qquad \textrm{ingat bahwa}\: \: \textbf{jika ada}\: \: \displaystyle \frac{9r}{p}\geq 4q-p^{2}\\ &\qquad =4(xy+xz+yz)-(x+y+z)^{2}\\ &\qquad \textrm{adalah}\: \: \textbf{ketaksamaan Schur saat}\: \: \color{red}r=1\\ &\bullet \quad x^{2}y^{2}+1+x^{2}z^{2}+1+y^{2}z^{2}+1\geq 2(xy+xz+yz)\\ &\bullet\quad  x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+xz+yz\\ &\qquad \textrm{keduanya didapat dengan ketaksamaan}\: \: \textbf{AM-GM}\\&x^{2}y^{2}z^{2}+2(x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2})+4(x^{2}+y^{2}+z^{2})+8\\ &=x^{2}y^{2}z^{2}+2+2(x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}+3)+4(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\ &\geq 4(xy+xz+yz)-(x+y+z)^{2}+4(xy+xz+yz)+4(xy+xz+yz)\\ &\geq 12(xy+xz+yz)-(x+y+z)^{2}\\ &\geq 12(xy+xz+yz)-3(xy+xz+yz)\\ &=9(xy+xz+yz)\qquad \blacksquare    \end{aligned}$.

$.\: \quad\begin{aligned}&\color{blue}\textbf{Alternatif 3}\\ &(x^{2}+2)(y^{2}+2)(z^{2}+2)- 9(xy+yz+zx)\\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{ketaksamaan AM-GM}\\ &=x^{2}y^{2}z^{2}+2(x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2})\\ &\quad +4(x^{2}+y^{2}+z^{2})+8- 9(xy+xz+yz)\\ &=4(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2\left ((x^{2}y^{2}+1) +(x^{2}z^{2}+1)+(y^{2}z^{2}+1) \right )\\ &\quad +(x^{2}y^{2}z^{2}+1)+1-9(xy+xz+yz)\\ &\geq 4(x^{2}+y^{2}+z^{2})+4(xy+xz+yz)\\ &\quad +2xyz+1-9(xy+xz+yz)\\ &=(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\ &\quad +2xyz+1-5(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\ &\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}+3(xy+xz+yz)\\ &+2xyz-5(xy+xz+yz)\\ &=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz+1-2(xy+xz+yz)\geq 0\\ &\textrm{adalah benar dengan bukti ada pada}\\ &\textrm{nomor soal sebelumnya}  \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 80.&\textrm{Misalkan}\: \: x,y,x\: \: \textrm{bilangan real positif dengan}\\ &\textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\quad 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc+8\geq 5(a+b+c)\\&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (\textbf{Tran Nam Dung})\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{ketaksamaan AM-GM}\: \: \textrm{dan}\\ &\textrm{menggeser ke ruas kiri dan masing-masing}\\ &\textrm{serta mengalikan semunya dengan 6, maka}\\ &12(a^{2}+b^{2}+c^{2})+6abc+48- 30(a+b+c)\\ &= 12(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3(2abc+1)+45- 5.2.3(a+b+c)\\ &\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+9\sqrt[3]{(abc)^{2}}+45- 5\left ((a+b+c)^{2}+9  \right )\\ &=12(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\displaystyle \frac{9abc}{\sqrt[3]{abc}}-5\left ((a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(ab+ac+bc)  \right )\\ &=7(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ \displaystyle \frac{9abc}{\sqrt[3]{abc}}-10(ab+ac+bc)\\ &\geq  7(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\displaystyle \frac{27abc}{a+b+c}-10(ab+ac+bc)\\ &\begin{aligned}&\textrm{dengan}\: \: \textbf{ketaksamaan Schur},\: \: \textrm{yaitu}:\\ &p^{3}+9r\geq 4pq\Leftrightarrow \displaystyle \color{red}\frac{9r}{p}\geq 4q-p^{2}\\ &\textrm{maka ketaksamaan akan menjadi}\\ &\geq 7(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\color{blue}3(4q-p^{2})-10q\\ &\geq 7(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2q-3p^{2}\\ &=7(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(ab+ac+bc)-3(a+b+c)^{2}\\ &=7(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2q-3\left ((a^{2}+b^{2}+c^{2})+2q  \right )\\ &=4(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2q-6q\\ &=4(a^{2}+b^{2}+c^{2})-4q\\ &=4(a^{2}+b^{2}+c^{2})-4(ab+ac+bc)\\ &=4(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)\geq 0\quad \blacksquare  \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Tung, K.Y. 2013. Ayo Raih Medali Emas Olimpiade Matematika SMA. Yogyakarta: ANDI.
2. Venkatachala, B.J. 2009. Inequalities An Approach Through Problems (2nd). India: SPRINGER.
3. Vo Tranh Van..... Bat Dang Thuc Schur Va Phuong Phap Doi Bien P, Q, R.
4. Vo Quoc Ba Can. 2007. Bai Viet Ve Bat Dang Thuc Schur Va Vornicu Schur.
5. Young, B. 2009. Seri Buku Olimpiade Matematika Strategi Menyelesaikan Soal-Soal Olimpiade Matematika: Ketaksamaan (Inequality). Bandung: PAKAR RAYA.

Soal dan Pembahasan Seleksi Mandiri Madrasah (KSN-S) 2022

 $\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika}\: \: a,b\: \:  \textrm{bilangan real positif},\\ &\textrm{tunjukkan bahwa}\: \: a^{a}.b^{b}\geq a^{b}.b^{a}\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \: a^{a}.b^{b}\geq a^{b}.b^{a}\Leftrightarrow \displaystyle \frac{a^{a}.b^{b}}{a^{b}.b^{a}}\geq 1\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{a^{a-b}}{b^{a-b}}\geq 1\Leftrightarrow \left ( \displaystyle \frac{a}{b} \right )^{a-b}\geq 1\\ &\textrm{Selanjutnya akan ada dua kemungkinan}\\ &\textrm{yaitu}:\: a\geq b> 0\: \: \textrm{dan}\: \: b\geq a> 0 \end{aligned}\\ &\begin{array}{|c|l|l|}\hline \textrm{No}&\textrm{Kondisi}&\textrm{Akibat}\\\hline 1.&a\geq b> 0&\displaystyle \frac{a}{b}\geq 1\: \: \textrm{atau}\: \: a-b\geq 0\\ &&\textrm{maka}\: \:  \begin{aligned}&\left (\displaystyle \frac{a}{b}  \right )^{a-b}\geq 1 \end{aligned}\\\hline 2.&b\geq a> 0&\displaystyle \frac{a}{b}\leq  1\: \: \textrm{atau}\: \: a-b\leq  0\\ &&\textrm{maka}\: \:  \begin{aligned}&\left (\displaystyle \frac{a}{b}  \right )^{a-b}\geq 1 \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Karena keduanya memiliki hasil yang sama}\\ &\textrm{maka}\: \: a^{a}.b^{b}\geq a^{b}.b^{a}\qquad \blacksquare  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: a=\sqrt{\displaystyle \frac{b}{1-b}}\: \:  \textrm{nyatakanlah}\: \: b\: \: \textrm{dalam}\: \: a\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\\ &a=\sqrt{\displaystyle \frac{b}{1-b}}\Leftrightarrow a^{2}=\displaystyle \frac{b}{1-b}\Leftrightarrow a^{2}(1-b)=b\\ &\Leftrightarrow a^{2}-a^{2}b=b\Leftrightarrow b+a^{2}b=a^{2}\\ &\Leftrightarrow b(1-a^{2})=a^{2}\Leftrightarrow b=\color{blue}\displaystyle \frac{a^{2}}{1-a^{2}} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Sederhanakanlah bentuk}\: \: 3.4^{4}+3.4^{4}+3.4^{4}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned} &3.4^{4}+3.4^{4}+3.4^{4}=3(3.4^{4})\\ &=9\times 4^{4} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diketahui}\: \: a^{2}+b^{2}=1\: \: \textrm{dan}\: \: x^{2}+y^{2}=1\\ &\textrm{Silahkan lanjutkan proses berikut}\\ &(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})-(ax+by)^{2}=....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Bagaimana hubungan}\: \: ax+by\: \: \textrm{dengan}\: \: 1\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Mengapa}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})-(ax+by)^{2}\\ &=a^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2} +b^{2}y^{2}-a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}-2abxy\\ &=a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}-2abxy\\ &=(ay-bx)^{2}\\ &\textrm{a. Nilai}\: \: \color{red}ax+by\: \: \color{black}\textrm{selalu lebih kecil}\\ &\quad\: \textrm{atau sama dengan 1}\\ &\textrm{b. Kita memiliki}\: \: (ay-bx)^{2}\geq 0,\: \: \textrm{sehingga}\\ &\quad\Leftrightarrow \: (a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})-(ax+by)^{2}\geq 0\\ &\quad\Leftrightarrow \: \quad 1\times 1-(ax+by)^{2}\geq 0\\ &\quad\Leftrightarrow \: \quad\qquad 1-(ax+by)^{2}\geq 0\\ &\quad\Leftrightarrow \: \quad\qquad (ax+by)^{2}-1\leq  0\\ &\quad\Leftrightarrow \: \: \: \: \: \qquad\qquad (ax+by)^{2}\leq  1\qquad \blacksquare  \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Pada segi enam beraturan, berapa banyak}\\ &\textrm{segitiga yang dapat Anda temukan}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\  &\begin{aligned}&\textrm{Setiap segitiga dapat terbentuk dari 3 buah}\\ &\textrm{sebarang, sehingga banyak segitiga bila}\\ &\textrm{diketahui}\: \: n=6,\: \: r=3\: \: \textrm{adalah}:\\ &\color{red}\textrm{kombinasi 3 titik dari 6 titik yang ada}\\ &\textrm{Adapun untuk rumus kombinasinya}:\\ &C_{r}^{n}=\begin{pmatrix} n\\  r \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\\ &\textrm{dengan}\: \: n!=1\times 2\times 3\times 4\times ...\times n\\ &\textrm{maka}\\ &C_{3}^{6}=\begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{6!}{3!.3!}=\frac{6.5.4.3!}{1.2.3.3!}=\color{blue}20  \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Tentukan nilai dari bentuk}\\ &\displaystyle \frac{1^{-3}+2^{-3}+3^{-3}+4^{-3}+5^{-3}+...}{1^{-3}+3^{-3}+5^{-3}+7^{-3}+9^{-3}+...}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\  &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\\ &x=1^{-3}+2^{-3}+3^{-3}+4^{-3}+5^{-3}+...\: \: \textrm{dan}\\ &y=1^{-3}+3^{-3}+5^{-3}+7^{-3}+9^{-3}+...\\ &\textrm{Sekarang perhatikan bahwa}\\ &x=1^{-3}+2^{-3}+3^{-3}+4^{-3}+5^{-3}+...\\ &\: \: \: =(1^{-3}+3^{-3}+5^{-3}+...)\: +\: (2^{-3}+4^{-3}+6^{-3}+...)\\ &\: \: \: =(1^{-3}+3^{-3}+5^{-3}+...)\: +\: 2^{-3}(1^{-3}+2^{-3}+3^{-3}+...)\\ &\: \: \: =y+\displaystyle \frac{1}{8}x\\ &x-\displaystyle \frac{1}{8}x=y\Leftrightarrow \displaystyle \frac{7}{8}x=y\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x}{y}=\color{blue}\frac{8}{7}\\  \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Jika}\: \: 60^{a}=3\: \: \textrm{dan}\: \: 60^{b}=5\\ &\textrm{maka hasil dari}\: \: 12^{^{\left ( \displaystyle \frac{1-x-y}{2(1-b)} \right )}}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{purple}\textrm{Perhatikanlah bahwa}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&\begin{cases} 60^{a}=3 & \Rightarrow \: ^{60}\log 3=a \\ 60^{b}=5 & \Rightarrow \: ^{60}\log 5=b \end{cases} \end{aligned} \\ &\color{purple}\textrm{Selanjutnya}\\ &\color{purple}\textrm{Untuk}\: \: (1-a-b),\: \textrm{maka}\\ &\color{purple}\begin{aligned}1-a-b&=1-\: ^{60}\log 3-\: ^{60}\log 5\\ &=\: ^{60}\log 60-\: ^{60}\log 3-\: ^{60}\log 5\\ &=\: ^{60}\log \displaystyle \frac{60}{3\times 5}\\ &=\: ^{60}\log 4\\ &=\: ^{60}\log 2^{2} \end{aligned} \\ &\color{purple}\textrm{Untuk}\: \: 2(1-b),\: \textrm{maka}\\ &\color{purple}\begin{aligned}2(1-b)&=2\left ( 1-\: ^{60}\log 5 \right )\\ &=2\left ( ^{60}\log 60-\: ^{60}\log 5 \right )\\ &=2\left ( ^{60}\log \displaystyle \frac{60}{5} \right )\\ &=2\left ( ^{60}\log 12 \right )\\ &=\: ^{60}\log 12^{2} \end{aligned} \\ &\color{blue}\textrm{Untuk}\: \: \left ( \displaystyle \frac{1-x-y}{2(1-b)} \right ),\: \textrm{maka}\\ &\color{purple}\begin{aligned}\left ( \displaystyle \frac{1-x-y}{2(1-b)} \right )&=\displaystyle \frac{\: ^{60}\log 2^{2}}{\: ^{60}\log 12^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{2\: ^{60}\log 2}{2\: ^{60}\log 12}\\ &=\displaystyle \frac{\: ^{60}\log 2}{\: ^{60}\log 12}\\ &=\: ^{12}\log 2 \end{aligned}\\ &\color{purple}\textrm{Jadi},\: \: 12^{^{\left ( \displaystyle \frac{1-x-y}{2(1-b)} \right )}}=12^{^{\: ^{12}\log 2}}=2 \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Tentukan hasil dari bentuk}\\ &\sin ^{2}1^{\circ}+\sin ^{2}2^{\circ}+\sin ^{2}3^{\circ}+...+\sin ^{2}89^{\circ}+\sin ^{2}90^{\circ}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Ingat sudut-sudut yang berelasi pada trigonometri}:\\ &\color{red}\sin \left ( 90^{0}-\alpha  \right )=\cos \alpha \\ &\textrm{Ingat pula identitas trigonometri}:\\ & \color{red}\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\\ &\underline{\textrm{maka bentuk}}\\ &\sin ^{2}\color{blue}1^{\circ}\color{black}=\sin^{2} \left (\color{blue}90^{\circ}-89^{\circ}\color{black}  \right )  =\cos ^{2}89^{\circ},\\ & \textrm{dengan cara yang sama akan diperoleh}\\ &\sin ^{2}\color{blue}2^{\circ}\color{black}=\cos ^{2}88^{\circ}\\ &\sin ^{2}\color{blue}3^{\circ}\color{black}=\cos ^{2}87^{\circ}\\ &\sin ^{2}\color{blue}4^{\circ}\color{black}=\cos ^{2}86^{\circ}\\ &\qquad\qquad \vdots \\ &\sin ^{2}\color{blue}44^{\circ}\color{black}=\cos ^{2}46^{\circ}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\begin{aligned}&\sin ^{2}1^{\circ}+\sin ^{2}2^{\circ}+\sin ^{2}3^{\circ}+...+\sin ^{2}89^{\circ}+\sin ^{2}90^{\circ}\\ &=\sin ^{2}1^{\circ}+...+\sin ^{2}44^{\circ}+\sin ^{2}46^{\circ}+...+\sin ^{2}89^{\circ}\color{red}+\sin ^{2}45^{\circ}+\sin ^{2}90^{\circ}\\ &=\underset{44}{\underbrace{1+1+1+...+1}}\color{red}+\sin ^{2}45^{\circ}+\sin ^{2}90^{\circ}\\ &=44+\displaystyle \frac{1}{2}+1\\ &=\color{blue}45\displaystyle \frac{1}{2} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Tentukan sisa pembagian}\: \: x^{3}-5x^{2}+3x-4\\ &\textrm{oleh}\: \: 2x+1\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\textrm{Misalkan}\: \: f(x)=x^{3}-5x^{2}+3x-4\\ &\textrm{Sisa pembagian}\: \: f(x)\: \: \textrm{oleh}\: \: q(x)=2x+1\: \: \textrm{adalah}:\\ &\textrm{ambil}\: \: q(x)=2x+1=0\Rightarrow x=-\displaystyle \frac{1}{2},\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{penentuan sisa pembagian cukup dengan}\\ &f\left ( -\displaystyle \frac{1}{2} \right )=\left ( -\displaystyle \frac{1}{2} \right )^{3}-5\left ( -\displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}+3\left ( -\displaystyle \frac{1}{2} \right )-4\\ &\qquad\qquad =-\displaystyle \frac{1}{8}-\displaystyle \frac{5}{4}-\frac{3}{2}-4\\ &\qquad\qquad =\displaystyle \frac{-1-10-12-32}{8}=\color{red}-\displaystyle \displaystyle \frac{55}{8}\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\ &\textrm{Dengan metode Horner, yaitu}:\\ &\begin{array}{c|cccccccccc}\\ x=-\displaystyle \frac{1}{2}&1&-5&3&-4&&&\\ &&&&&&&\\ &&-\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{11}{4}&-\displaystyle \frac{23}{8}&&&+\\\hline &1&-5\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{23}{4}&\color{red}-\displaystyle \frac{55}{8}&&& \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Fungsi}\: \: f\: \: \textrm{memiliki sifat untuk tiap bilangan}\\ &\textrm{bilangan real}\: \: x\: \:  \textrm{berlaku}\: \: f(x)+f(x-1)=x^{2}\\ &\textrm{Jika}\: \: f(19)=94,\: \textrm{tentukan sisa pembagian}\\ & f(94)\: \: \textrm{oleh}\: \: 100\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\: \: f(x)=x^{2}-f(x-1),\\ &\textrm{maka}\\ &\begin{aligned}f(94)&=94^{2}-f(93)=94^{2}-\left ( 93^{2}-f(92) \right )\\ &=94^{2}-93^{2}+f(92)=94^{2}-93^{2}+(92^{2}-f(91))\\ &=94^{2}-93^{2}+92^{2}-91^{2}+f(90)\\ &=94^{2}-93^{2}+92^{2}-91^{2}+90^{2}-\cdots +20^{2}-f(19)\\ &\quad \textrm{ingat bentuk}\: \: \color{red}a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b),\: \color{black}\textrm{maka}\\ &=(94+93)+(92+91)+\cdots +400-94\\ &=\underset{4255}{\underbrace{94+93+...+22+21}}+400-94\\ &=4255+306\\ &=\color{blue}4561 \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga sisa pembagian}\: \: f(94)\: \: \textrm{oleh 100 adalah}\: \: \color{blue}61 \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Idris, M., Rusdi, I. 2015. Langkah Awal Meraih Medali Emas Olimpiade Matematika SMA. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Susyanto, N. 2012. Tutor Senior Olimpiade Matematika Lima Benua Tingkat SMP. Yogyakarta: KENDI MAS MEDIA
3. ..........Η Στήλη των Μαθηματικών, έτος 2007, τεύχη 46-94

Kumpulkan Materi Ketaksamaan

 

Kumpulan Materi Ketaksamaan

• Konsep Ketaksamaan QM-AM-GM-HM
• Materi Ketaksamaan QM-AM-GM-HM
• Materi Ketaksamaan Cauchy-Schwarz-Engel (CS-E)
• Materi Ketaksamaan Renata (Rearrangement)
• Materi Ketaksamaan Chebyshev
• Materi Ketaksamaan Holder
• Materi Ketaksamaan Schur
• Materi lanjutan Ketaksamaan Schur
• Contoh Soal 1 Ketaksamaan
• Contoh Soal 2 Ketaksamaan
• Contoh Soal 3 Ketaksamaan
• Contoh Soal 4 Ketaksamaan
• Contoh Soal 5 Ketaksamaan
• Contoh Soal 6 Ketaksamaan
• Contoh Soal 7 Ketaksamaan
• Contoh Soal 8 Ketaksamaan
• Contoh Soal 9 Ketaksamaan
• Contoh Soal 10 Ketaksamaan
• Contoh Soal 11 Ketaksamaan
• Contoh Soal 12 Ketaksamaan
• Contoh Soal 13 Ketaksamaan
• Contoh Soal 14 Ketaksamaan
• Contoh Soal 15 Ketaksamaan

Contoh 2 Soal dan Pembahasan Materi Vektor

 $\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Diketahui titik}\: \: P(n,2),\: Q(1,-2),\: n>0\\ &\textrm{dan panjang}\: \: \overline{PQ}=5,\: \: \textrm{maka nilai}\: \: n\\ & \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad 1\\ &\textrm{b}.\quad 2\\ &\textrm{c}.\quad 3\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}4\\ &\textrm{e}.\quad 5\\\\ &\textrm{Jawab}\\ &\begin{aligned}\overline{PQ}&=5\\ \sqrt{(x_{Q}-x_{P})^{2}+(y_{Q}-y_{P})^{2}}&=5\\ (x_{Q}-x_{P})^{2}+(y_{Q}-y_{P})^{2}&=25\\ (1-n)^{2}+(-2-2)^{2}&=25\\ (1-n)^{2}+16&=25\\ (1-n)^{2}-3^{2}&=0\\ (1+3-n)(1-3-n)&=0\\ \color{red}n=4\: \: \color{black}\textrm{atau}\: \: \color{red}n=-2& \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Diketahui vektor}\: \: \vec{u}=\begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{v}=\begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix}.\\ & \textrm{Nilai}\: \: \left | \vec{u}+\vec{v} \right |\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad \sqrt{28}\\ &\textrm{b}.\quad \sqrt{30}\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}\sqrt{34}\\ &\textrm{d}.\quad \sqrt{44}\\ &\textrm{e}.\quad \sqrt{50}\\\\ &\textrm{Jawab}\\ &\begin{aligned}\vec{u}+\vec{v}&=\begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 3+2\\ 4+(-1) \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}\\ \left | \vec{u}+\vec{v} \right |&=\sqrt{5^{2}+3^{2}}\\ &=\sqrt{25+9}\\ &=\color{red}\sqrt{34} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Vektor satuan}\: \: \vec{u}=\begin{pmatrix} -5\\ -12 \end{pmatrix}\: \: \textrm{adalah}.... \\ &\textrm{a}.\quad \color{red}\displaystyle -\frac{1}{13}\begin{pmatrix} 5\\ 12 \end{pmatrix}\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{1}{15}\begin{pmatrix} -5\\ -12 \end{pmatrix}\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle -\frac{1}{17}\begin{pmatrix} 5\\ 12 \end{pmatrix}\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle -\frac{1}{17}\begin{pmatrix} 5\\ 12 \end{pmatrix}\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 5\\ 12 \end{pmatrix}\\\\ &\textrm{Jawab}\\ &\begin{aligned}\vec{e}_{\vec{u}}&=\displaystyle \frac{\vec{u}}{\left | \vec{u} \right |},\quad \textrm{maka}\\ \vec{e}_{\begin{pmatrix} -5\\ -12 \end{pmatrix}}&=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} -5\\ -12 \end{pmatrix}}{\left | \begin{pmatrix} -5\\ -12 \end{pmatrix} \right |}\\ &=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} -5\\ -12 \end{pmatrix}}{\sqrt{(-5)^{2}+(-12)^{2}}}\\ &=\displaystyle \frac{-\begin{pmatrix} 5\\ 12 \end{pmatrix}}{\sqrt{169}}\\ &=\color{red}-\displaystyle \frac{1}{13}\begin{pmatrix} 5\\ 12 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Jika vektor}\: \: \vec{p}=\begin{pmatrix} 8\\ 7 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{q}=\begin{pmatrix} -3\\ 9 \end{pmatrix}\\ & \textrm{Hasil dari}\: \: \vec{p}+\vec{q}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad \begin{pmatrix} 6\\ 14 \end{pmatrix}\\ &\textrm{b}.\quad \begin{pmatrix} 6\\ 13 \end{pmatrix}\\ &\textrm{c}.\quad \begin{pmatrix} 6\\ 15 \end{pmatrix}\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}\begin{pmatrix} 5\\ 16 \end{pmatrix}\\ &\textrm{e}.\quad \begin{pmatrix} 5\\ 48 \end{pmatrix}\\\\ &\textrm{Jawab}\\ &\begin{aligned}\vec{p}+\vec{q}&=\begin{pmatrix} 8\\ 7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3\\ 9 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 8-3\\ 7+9 \end{pmatrix}\\ &=\color{red}\begin{pmatrix} 5\\ 16 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Jika vektor}\: \: \vec{p}=\begin{pmatrix} ^{2}\log 32\\ -\, ^{3}\log \displaystyle \frac{1}{81} \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{q}=\begin{pmatrix} -9\\ -21 \end{pmatrix}\\ & \textrm{Hasil dari}\: \: \vec{p}+\vec{q}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad \begin{pmatrix} 6\\ 17 \end{pmatrix}\\ &\textrm{b}.\quad \begin{pmatrix} -6\\ -17 \end{pmatrix}\\ &\textrm{c}.\quad \begin{pmatrix} 4\\ 17 \end{pmatrix}\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}\begin{pmatrix} -4\\ -17 \end{pmatrix}\\ &\textrm{e}.\quad \begin{pmatrix} 5\\ -16 \end{pmatrix}\\\\ &\textrm{Jawab}\\ &\begin{aligned}\vec{p}+\vec{q}&=\begin{pmatrix} ^{2}\log 32\\ -\, ^{3}\log \displaystyle \frac{1}{81} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -9\\ -21 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 5-9\\ 4-21 \end{pmatrix}\\ &=\color{red}\begin{pmatrix} -4\\ -17 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$

Contoh 1 Soal dan Pembahasan Materi Vektor

 $\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ .\, \quad&\textrm{maka vektor}\: \: \vec{u}\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&3\vec{i}+5\vec{j}&&&\textrm{d}.&-3\vec{i}-5\vec{j}\\ \textrm{b}.&5\vec{i}+3\vec{j}&\textrm{c}.&\color{red}-3\vec{i}+5\vec{j}&\textrm{e}.&-5\vec{i}+3\vec{j} \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\textrm{Kita perhatikan lagi gambarnya}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Vektor}\: \: \vec{u}\: \: \textrm{jika dinyatakan sebagai }\\ &\textrm{kombinasi linear adalah}\: \: \vec{u}=\color{red}-3\vec{i}+5\vec{j} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Panjang vektor}\: \: \vec{p}=\begin{pmatrix} 4\\ -8 \end{pmatrix}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \sqrt{4}\\ &\textrm{b}.\quad \sqrt{12}\\ &\textrm{b}.\quad \sqrt{20}\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}\displaystyle \sqrt{80}\\ &\textrm{e}.\quad \sqrt{100}\\\\ &\textrm{Jawab}\\ &\begin{aligned}\vec{p}&=\begin{pmatrix} 4\\ -8 \end{pmatrix},\: \: \textrm{maka besar dari vektor}\\ \vec{p}&\: \: \textrm{adalah}=\left | \vec{p} \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ &\textrm{Yaitu}\\ \left | \vec{p} \right |&=\sqrt{4^{2}+(-8)^{2}}\\ &=\sqrt{16+64}=\color{red}\sqrt{80} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Perhatikanlah gambar berikut}\\ & \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ .\quad &\textrm{Panjang vektor}\: \: \vec{h}\: \: \textrm{tersebut di atas adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad 5\\ &\textrm{b}.\quad 7\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}10\\ &\textrm{d}.\quad 12\\ &\textrm{e}.\quad 15\\\\ &\textrm{Jawab}\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\quad \vec{h}=\overline{OH}=8\vec{i}+6\vec{j}\\ \vec{h}&=\sqrt{x_{H}^{2}+y_{H}^{2}}\\ &=\sqrt{8^{2}+6^{2}}\qquad \textbf{(ingat tripel Pythagoras)}\\ &=\sqrt{10^{2}}=\color{red}10 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Vektor satuan dari}\: \: \vec{q}=3\vec{i}-4\vec{j}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{4}{5}\vec{i}-\frac{3}{5}\vec{j}\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}\displaystyle \frac{3}{5}\vec{i}-\frac{4}{5}\vec{j}\\ &\textrm{c}.\quad 3\vec{i}-4\vec{j}\\ &\textrm{d}.\quad 4\vec{i}-3\vec{j}\\ &\textrm{e}.\quad 15\vec{i}-20\vec{j}\\\\ &\textrm{Jawab}\\ &\begin{aligned}\vec{q}&=3\vec{i}-4\vec{j}\\ &\textrm{Vektor satuan dari vektor}\: \: \vec{q}\: \: \textrm{adalah}:\\ &\: \hat{e}_{_{\vec{q}}}=\displaystyle \frac{1}{\left | \vec{q} \right |}. \vec{q}\\ &\textrm{Sehingga}\\ \hat{e}_{_{\vec{q}}}&=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}.\begin{pmatrix} 3\\ -4 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3\\ -4 \end{pmatrix}\\ &\textrm{atau dalam vektor basis}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{3}{5}\vec{i}-\frac{4}{5}\vec{j} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Vektor berikut yang memiliki panjang}\\ & 29\: \: \textrm{satuan adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle 18\vec{i}-19\vec{j}\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle 19\vec{i}-20\vec{j}\\ &\textrm{c}.\quad 20\vec{i}-21\vec{j}\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}21\vec{i}-22\vec{j}\\ &\textrm{e}.\quad 22\vec{i}-23\vec{j}\\\\ &\textrm{Jawab}\\ &\begin{aligned}\textrm{Ingat}&\textrm{lah akan tigaan Pythagoras}\\ &\begin{cases} (3,4,5) &\Rightarrow 3^{2}+4^{2}=5^{2} \\ (5,12,13) & \Rightarrow 5^{2}+12^{2}=13^{2} \\ (8,15,17) &\Rightarrow \cdots \\ (20,21,29)&\Rightarrow \cdots \\ \vdots & dll \end{cases}\\ \textrm{Sehin}&\textrm{gga}\\ \textrm{yang}&\: \: \textrm{paling mungkin adalah}\: : \: \\ &=\sqrt{20^{2}+21^{2}}=\sqrt{400+441}\\ &=\sqrt{841}\\ &=\color{red}29 \end{aligned} \end{array}$

Materi dan Contoh Soal Persiapan UM Matematika Peminatan/Pendalaman Tingkat MA Tahun 2022

 A. Kelas X (Sepuluh)

A. 1 Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritma

• materi eksponen 1, materi fungsi eksponen 2, lanjutan fungsi eksponen, lanjutan materi 2 fungsi ekponen, lanjutan materi 3 fungsi eksponen, 
• contoh soal eksponen 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10 
• materi logaritma 
• materi logaritma lanjutan
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
• materi logaritma lanjutan 2
• materi persamaan logaritma 1, persamaan 2, persamaan 3, persamaan 4, persamaan 5. aplikasi logaritma, pengayaan (operasi logaritma natural)
• contoh soal 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13.

A. 2 Vektor

• materi vektor, operasi vektor, vektor di dimensi dua, perkalian skalar dua vektor, proyeksi ortogonal suatu vektor, vektor dimensi tiga, lanjutan vektor dimensi tiga, operasi vektor berdimensi tiga, lanjutan 1 operasi vektor berdimensi tiga, lanjutan 2 operasi vektor berdimensi tiga, proyeksi orthogonal suatu vektor di dimensi tiga, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, (urutan) contoh soal 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8, contoh 9, contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13.

B. Kelas XI (Sebelas)

B. 1 Persamaan Trigonometri

• materi persamaan trigonometri, identitas trigonometri, menentukan nilai perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, relasi sudut, persamaan trigonometri sederhana.
• lanjutan materi 1 , materi 2 , materi 3
• materi baru
• persamaan tigonometri: identitas trigonometri, menentukan nilai perbandingan trigonometri, sudut-sudut berelasi, persamaan trigonometri sederhana, persamaan bentuk a sin x + b cos x=c, grafik fungsi trigonometri, 
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
• soal tengah semester gasal : contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4,

B. 2 Rumus Jumlah dan Selisih

• rumus jumlah dan selisih 1
• rumus jumlah dan selisih 2
• materi terbaru : rumus jumlah dan selisih dudut sinus, cosinus, tangen, rumus sudut rangkap/ganda, sudut paruh/tengahan, rumus perkalian sinus dan cosinus, rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus, 
• soal persiapan menghadapi semester gasal: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.

B. 3 Persamaan Lingkaran

• materi lingkaran, kedudukan titik terhadap lingkaran, kedudukan garis terhadap lingkaran, hubungan dua lingkaran
• contoh soal 1, contoh  2, contoh 3, contoh 4.

B. 4 Polinom

• materi pendahuluan, operasi polinom, teorema sisa dan teorema faktor, akar-akar persamaan polinom,
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4,

C. Kelas XII (Duabelas)

C. 1 Limit Fungsi Trigonometri

• limit fungsi trigonometri (materi lama-perkenalan dengan limit fungsi aljabar), lanjutan materi lama, lanjutan rumus dasar limit trigonometri, 
• materi pendahuluan limit, menentukan nilai limit fungsi trigonometri, pembuktian teorema apit (identitas limit fungsi trigonometri), limit fungsi trigonometri di tak hingga,
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5,
• materi limit diketakhinggan.
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5,

C.2 Turunan Fungsi Trigonometri

• materi turunan fungsi trigonometri
• lanjutan materi 
• contoh soal  (bagaian 1)
• lanjutan materi 2 
• lanjutan materi 3
• lanjutan materi 4 (sifat-sifat turunan)
• lanjutan materi 5
• contoh soal 1 (bagain 2) , contoh 2 , contoh 3 contoh 4 , contoh 5
• lanjutan materi 6 (persamaan garis singgung kurva)-turunan pertama
• lanjutan materi 7 (fungsi naik dan fungsi turun)-turunan pertama
• lanjutan materi 8 (nilai stasioner)-turunan pertama
• lanjutan materi 9 (aplikasi nilai stasioner)-turunan pertama
• contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9
• turunan kedua fungsi trigonometri (Fungsi naik dan fungsi turun, titik belok serta selang kecekungan)
• contoh 10 , contoh 11 , contoh 12 , contoh 13

C.3 Distribusi peluang binomial

• materi distribusi binomial, distribusi peluang diskrit, 
• contoh soal 1, contoh 2, 
• distribusi peluang kontinu, Binomial Newton,
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3,

C.4 Distribusi normal

• materi disribusi normal
• materi transformasi suatu variabel random berdistribusi normal
• uji hipotesis
• contoh soal 1, contoh 2.

Materi dan Contoh Soal Persiapan UM Matematika Wajib Tingkat MA Tahun 2022

A. Kelas X (Sepuluh)

A. 1 Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dari Bentuk Linear Satu Variabel

• materi persamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 
• materi pertidaksamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , 

A. 2 Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Variabel

• materi pertidaksamaan rasional dan irasional satu variabel
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , 

A. 3 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

• materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
• lanjutan materi SPLTV
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 

A. 4 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linear-Linear

• materi sistem pertidaksamaan dua variabel linear-linear
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 

A. 5 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linear dan Kuadrat

• materi 1, materi 2, materi 3, 
• contoh Soal 1.

A. 6 Fungsi

• materi pendahuluan, domain-kodomain-range fungsi, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, 

A. 7 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

• materi fungsi komposisi dan fungsi invers
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5

A. 8 Rasio Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

• materi trigonometri awal
• perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

A. 9 Rasio Trigonometri Sudut-Sudut diberbagai Kuadran

• koordinat kartesius, koordinat kutub serta sudut-sudut di berbagai kuadran

A. 10 Aturan Sinus dan Cosinus

• aturan sinus
• aturan cosinus (bagian 1), aturan cosinus (bagian 2)
• contoh soal

B. Kelas XI (Sebelas)

B. 1 Program Linear

• materi program linear
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 

B. 2 Matriks

• materi matriks 
• lanjutan materi 1
• lanjutan materi 2
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 

B. 3 Determinan dan Invers Matriks Ordo 2x2

• materi determinan
• materi invers matriks ordo 2x2
• contoh soal 4 , contoh 5 , contoh 6 

B. 4 Transformasi Geometri

• materi
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5.

B. 5 Pola Bilangan dan Jumlah pada Barisan Aritmetika dan Geometri

• materi pola bilangan - induksi matematika
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5

B. 6 Limit Fungsi Aljabar

• materi
• contoh soal 1, contoh 2, 

B. 7 Turunan Fungsi Aljabar

• materi turunan fungsi aljabar
• bentuk umum turunan aljabar
• sifat turunan pertama dan aturan rantai
• aturan rantai pada turunan pertama dan kedua
• penggunaan turunan fungsi
• menyelesaikan masalah terkait keekstriman fungsi
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4

B. 8 Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

• materi pendahuluan
• teknik pengintegralan (dengan teknik substitusi)
• teknik pengintegralan (dengan integral parsial dan atau Tanzalin)
• penggunaan integral tak tentu
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4.

Tambahan/Pengayaan

Integral Tentu Fungsi Aljabar

• materi fungsi aljabar
• penggunaan inetgral tentu fungsi aljabar
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6.

C. Kelas XII (Dua Belas)

C. 1 Jarak dalm Ruang

• Geometri ruang
• Lanjutan materi 1, lanjutan materi 2, lanjutan materi 3, lanjutan materi 4, lanjutan materi 5.
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 

Statistika

• materi statistika, penyajian data dalam bentuk diagram.
• ukuran pemusatan data. ukuran letak data 1, ukuran letak data 2, ukuran letak data 3, interpolasi linear, ukuran penyebaran data 1, ukuran penyebaran data 2, koefisien variansi
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13

C. 3 Aturan Pencacahan

• materi pendahuluan(kombinatorial dan percobaan), kaidah pencacahan(kaidah perkalian), faktorial-permutasi-kombinasi, 
• contoh soal 1 permutasi-kombinasi, contoh 2, contoh 3, 
• materi Binomial Newton (pengayaan), fungsi pembangkit untuk kombinasi (pengayaan), 
• contoh soal 1 (kaidah pencacahan), contoh 2, contoh 3,

C. 4 Peluang Kejadian Majmuk

• materi pendahuluan (percobaan, ruang sampel, dan kejadian), peluang kejadian tunggal dan frekuensi harapan, peluang kejadian majmuk (peluang komplemen, dua kejadian saling bebas, dua kejadian tidak saling bebas), kejadian saling lepas, kejadian tidak saling lepas, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, 

Contoh Soal 3 Peluang Kejadian

 $\begin{array}{ll}\ 11.&\textrm{Jika kejadian}\: \: A\: \: \textrm{dan}\: \: B\: \: \textrm{adalah dua kejadian}\\ &\textrm{dengan}\: \: P(A)=\displaystyle \frac{8}{15},\: P(B)=\displaystyle \frac{7}{12},\: \: \textrm{dan}\\ &P(A| B)=\displaystyle \frac{4}{7},\: \textrm{maka nilai}\: \: P(B|A)=\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{8}{45}&&&\textrm{d}.&\color{red}\displaystyle \frac{5}{8}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{1}{3}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{3}{8}&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{7}{15} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Kejadian di atas adalah contoh}\\ &\textrm{kejadian}\: \: \textbf{tidak saling bebas (bersyarat)}.\\ &\color{red}\textrm{Diketahui bahwa}\\ &P(A)=\displaystyle \frac{8}{15},\: P(B)=\displaystyle \frac{7}{12},\: P(A|B)=\displaystyle \frac{4}{7}\\ &\color{red}\textrm{Ditanyakan nilai}\: \: P(B|A)=\: ...?\\ &\color{purple}\textrm{maka}\\ &\begin{aligned}\color{blue}P(A\cap B)&=\color{blue}P(A\cap B)\\ P(A)\times P(B|A)&=P(B)\times P(A|B)\\ P(B|A)&=\displaystyle \frac{P(B)\times P(A|B)}{P(A)}\\ &=\displaystyle \frac{\left ( \displaystyle \frac{7}{12} \right )\times \left ( \displaystyle \frac{4}{7} \right )}{\displaystyle \frac{8}{15}}\\ &=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{8}{15}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{15}{8}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{5}{8} \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$

Contoh Soal 2 Peluang Kejadian

 $\begin{array}{ll}\ 6.&\textrm{Sebuah kantong berisi 7 kelereng merah,}\\ &\textrm{5 kelereng hijau, dan 4 kelereng biru}\\ &\textrm{Diambil sebuah kelereng secara acak.}\\ &\textrm{Peluang yang terambil merah atau hijau}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{5}{16}&&&\textrm{d}.&\color{red}\displaystyle \frac{3}{4}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{7}{16}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{1}{2}&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{2}{3} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Kejadian di atas adalah contoh}\\ &\textrm{kejadian}\: \: \textbf{saling lepas}.\: \textrm{Misalkan}\\ &A=\textrm{kejadian terambil 1 kelereng merah}\\ &n(A)=C(7,1)=\begin{pmatrix} 7\\ 1 \end{pmatrix}=7\\ &B=\textrm{kejadian terambil 1 kelereng hijau}\\ &n(B)=C(5,1)=\begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}=5\\ &S=\textrm{semua dianggap identik}\\ &n(S)=C(16,1)=\begin{pmatrix} 16\\ 1 \end{pmatrix}=16\\ &\textrm{maka}\\ &P(A\cup B)=P(A)+P(B)\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{7}{16}+\frac{5}{16}=\frac{12}{16}=\color{red}\displaystyle \frac{3}{4} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\ 7.&\textrm{Dari 100 orang yang mengikuti kegiatan}\\ &\textrm{jalan santai terdapat 60 orang memakai}\\ &\textrm{topi dan 45 orang yang berkacamata.}\\ &\textrm{Peluang bahwa seorang yang dipilih dari}\\ &\textrm{kelompok orang itu memakai topi dan}\\ &\textrm{kacamata adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\color{red}\displaystyle \frac{1}{20}&&&\textrm{d}.&\displaystyle \frac{11}{20}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{2}{5}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{9}{20}&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{3}{5} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikanlah ilustrasi}\: \: \textbf{Diagram Venn}\\ &\textrm{berikut ini}\\ &\begin{array}{|ccl|}\hline \color{red}\begin{array}{|l|}\hline \textrm{S}=100\\\hline \end{array}&&\\ &\color{blue}\textrm{A}\qquad\qquad \textrm{B}&\\ &\begin{array}{|l|c|r|}\hline 60-n&n&45-n\\\hline \end{array}&\\ &&\\\hline \end{array} \\ &\begin{aligned}&\textrm{Kejadian di atas adalah contoh}\\ &\textrm{kejadian}\: \: \textbf{tidak saling lepas}.\\ &A=\textrm{kejadian terpilih seorang bertopi}\\ &n(A)=C(60,1)=\begin{pmatrix} 60\\ 1 \end{pmatrix}=60\\ &B=\textrm{kejadian terpilih seorang berkacamata}\\ &n(B)=C(45,1)=\begin{pmatrix} 45\\ 1 \end{pmatrix}=45\\ &A\cap B=\textrm{terpilih seorang bertopi dan}\\ &\qquad\qquad\textrm{berkacamata}\\ &n(A\cap B)=x\\ &S=\textrm{semua dianggap identik}\\ &n(S)=C(100,1)=\begin{pmatrix} 100\\ 1 \end{pmatrix}=100\\ &\textrm{maka}\\ &P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &\displaystyle \frac{n(A\cup B)}{n(S)}=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\displaystyle \frac{n(A\cap B)}{n(S)}\\ &\: \: \: \qquad \displaystyle \frac{100}{100}=\frac{60}{100}+\frac{45}{100}-\frac{x}{100}\\ &\: \: \: \qquad \displaystyle \frac{x}{100}=\displaystyle \frac{105}{100}-\frac{100}{100}\\ &\, \: \qquad\qquad =\color{red}\displaystyle \frac{5}{100}=\frac{1}{20} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\ 8.&\textrm{Diketahui dua buah kotak A dan B}\\ &\textrm{berisi 5 bola putih dan 3 bola merah.}\\ &\textrm{Kotak B berisi 4 bola putih dan 2 bola}\\ &\textrm{merah. Jika diambil secara acak 1 kotak,}\\ &\textrm{kemudian diambil secara acak 1 bola dari}\\ &\textrm{kotak tersebut, maka peluang terambilnya}\\ &\textrm{bola putih adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{5}{16}&&&\textrm{d}.&\displaystyle \frac{1}{2}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{1}{3}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{7}{16}&\textrm{e}.&\color{red}\displaystyle \frac{31}{48} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Kejadian di atas adalah kejadian}\\ &\textbf{saling lepas}\: \: \textrm{dari dua kejadian Q}\\ &\textrm{dan R. Misalkan}:\\ &\color{red}\textrm{Pada kotak A}\\ &Q=\textrm{Terambil 1 bola putih di kotak A}\\ &n(Q)=C(5,1)=\begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}=5\\ &S_{Q}=\textrm{Terambil 1 bola saja di kotak A}\\ &n(S_{Q})=C(8,1)=\begin{pmatrix} 8\\ 1 \end{pmatrix}=8\\ &\color{red}\textrm{Pada kotak B}\\ &R=\textrm{Terambil 1 bola putih di kotak B}\\ &n(R)=C(4,1)=\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}=4\\ &S_{R}=\textrm{Terambil 1 bola saja di kotak B}\\ &n(S_{R})=C(6,1)=\begin{pmatrix} 6\\ 1 \end{pmatrix}=6\\ &\color{red}\textrm{Karena kejadian pengambilan sebuah}\\ &\textrm{bola putih di atas adalah dari pilihan}\\ &\textrm{dua buah kotak yang ada, maka peluang}\\ &\textrm{pengambilannya adalah 1 dari 2 kotak}\\ &\textrm{peluang kejadian ini adalah}=\color{blue}\displaystyle \frac{1}{2}.\\ &\color{red}\textrm{Sehingga peluang kasus di atas adalah}:\\ &\displaystyle \frac{1}{2}P(Q\cup R)=\displaystyle \frac{1}{2}\left (P(Q)+P(R) \right )\\ &\quad\qquad\qquad =\displaystyle \frac{1}{2}\left (\displaystyle \frac{n(Q)}{n(S_{Q})}+\frac{n(R)}{n(S_{R})} \right )\\ &\quad\qquad\qquad =\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \displaystyle \frac{5}{8}+\frac{4}{6} \right )\\ &\quad\qquad\qquad =\color{red}\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \displaystyle \frac{31}{24} \right )=\displaystyle \frac{31}{48} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\ 9.&\textrm{Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola }\\ &\textrm{putih. Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5}\\ &\textrm{biru. Dari tiap-tiap kotak diambil 2 bola}\\ &\textrm{sekaligus secara acak. Peluang terambil 2}\\ &\textrm{bola merah pada kotak I dan 2 bola biru}\\ &\textrm{dari kotak II adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{1}{10}&&&\textrm{d}.&\displaystyle \frac{3}{8}\\\\ \textrm{b}.&\color{red}\displaystyle \frac{3}{28}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{4}{15}&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{57}{140} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Kejadian di atas adalah kejadian}\\ &\textbf{saling bebas}\: \: \textrm{dari dua kejadian A}\\ &\textrm{dan B. Misalkan}:\\ &\color{red}\textrm{Pada kotak I}\\ &A=\textrm{Terambil 2 bola merah di kotak I}\\ &n(A)=C(3,2)=\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}=3\\ &S=\textrm{Terambil 2 bola saja di kotak I}\\ &n(S)=C(5,2)=\begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix}=10\\ &\color{red}\textrm{Pada kotak II}\\ &B=\textrm{Terambil 2 bola biru di kotak II}\\ &n(B)=C(5,2)=\begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix}=10\\ &S=\textrm{Terambil 2 bola saja di kota II}\\ &n(S)=C(8,2)=\begin{pmatrix} 8\\ 2 \end{pmatrix}=28\\ &\color{red}\textrm{Sehingga peluang kasus di atas adalah}:\\ &\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\times P(B) \\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times \frac{n(B)}{n(S)} \\ &\: \qquad\qquad = \displaystyle \frac{3}{10}\times \frac{10}{28}\\ &\quad\qquad\qquad =\color{red}\displaystyle \frac{3}{28} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\ 10.&\textrm{Jika kejadian}\: \: A\: \: \textrm{dan}\: \: B\: \: \textrm{dapat terjadi secara}\\ &\textrm{bersamaan. Jika}\: \: P(A)=0,6,\: P(B)=0.75,\\ &\textrm{dan}\: \: P(A\cap B)=0,43,\: \textrm{maka}\: \: P(A\cup B)=\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle 0,98&&&\textrm{d}.&\color{red}\displaystyle 0,92\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle 0,96&\textrm{c}.&\displaystyle 0,94&\textrm{e}.&\displaystyle 0,91 \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Kejadian di atas adalah contoh}\\ &\textrm{kejadian}\: \: \textbf{tidak saling lepas}.\\ &\color{red}\textrm{Diketahui bahwa}\\ &P(A)=0,6,\: P(B)=0,75,\: P(A\cap B)=0,43\\ &\color{red}\textrm{Ditanyakan nilai}\: \: P(A\cup B)=\: ...?\\ &\color{purple}\textrm{maka}\\ &P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &\: \qquad\qquad =0,6+0,75-0,43\\ &\: \qquad\qquad =\color{red}0,92 \end{aligned} \end{array}$

PKKM MA Futuhiyah Jeketro 2022