PAS MATEMATIKA BLOG

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textbf{EBTANAS SMA IPA 1990}\\ &\textrm{Titik} \quad \left( \displaystyle 2\frac{1}{2},0 \right)\quad \textrm{adalah fokus suatu parabola}\\ &\textrm{dan persamaan direktrisnya}\quad x=-2\displaystyle \frac{1}{2}.\\ &\textrm{Persamaan parabola itu adalah}\:\: \textrm{adalah}\:....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{A}.&\displaystyle y^{\displaystyle 2}=-10x\\ \textrm{B}.&\displaystyle y=-5x\\ \textrm{C}.&\displaystyle y^{\displaystyle 2}=-2\displaystyle \frac{1}{2}x\\ \textrm{D}.&\displaystyle y^{\displaystyle 2}=5x\\ \textrm{E}.&\displaystyle y^{\displaystyle 2}=10x\end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{E}\\ &\textrm{Perhatikan bahwa parabola dengan }:\\ &\textrm{F}=(p,0)=\textrm{F}\left( \displaystyle 2\frac{1}{2},0 \right),\:\:\textrm{dan direktrisnya}:\\ &x=-p\Rightarrow x=-2\displaystyle \frac{1}{2}=-\displaystyle \frac{5}{2}.\\ &\textrm{Sehingga}\quad p=\displaystyle \frac{5}{2}, \quad \textrm{maka persamaan elipsnya}:\\ &y^{\displaystyle 2}=4px\Rightarrow y^{\displaystyle 2}=4\left( \displaystyle \frac{5}{2} \right)x\Leftrightarrow y^{\displaystyle 2}=10x \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textbf{EBTANAS SMA IPA 1986}\\ &\textrm{Persamaan garis singgung lingkaran} \\ & x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}-4x+6y-12=0\quad \textrm{di titik}\\ &(5,1)\quad \textrm{adalah}\quad 3x+4y=19\\ &\qquad\qquad\qquad\textbf{sebab}\\ &\textrm{Pusat lingkaran}\quad x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}-4x+6y-12=0\\ &\textrm{adalah}\:\: (2,-3)\:\: \textrm{dan jari-jarinya 3}\\ \\ &\textrm{Pembahasan}:\quad \\ &\textrm{Persamaan lingkaran}\quad x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}+Ax+By+C=0\\ &\textrm{akan}\:\: \textrm{berpusat di}:\left( \displaystyle -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right)\:\: \textrm{dan jari-jarinya}\\ &r=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}A^{\displaystyle 2}+\frac{1}{4}B^{\displaystyle 2}-C}\\ &\textrm{Analog}\:\: x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}-4x+6y-12=0\quad \textrm{akan berpusat}\\ &\textrm{di}\quad (2,-3)\quad \textrm{dan berjari-jari}\quad r=5\\ &\textrm{Sedangkan terkait persamaan garis singgung}\\ &\textrm{Gradien antara titik} \:\:(2,-3)\:\: \textrm{dan}\:\:(5,1)\:\: \textrm{adalah}:\\ &m=\displaystyle \frac{1-(-3)}{5-2}=\frac{4}{3}.\: \textrm{Dan untuk gradien garis}\\ &\textrm{singgunggung lingkarannya adalah}:m_{1}\times m_{2}=-1.\\ &\Rightarrow \displaystyle \frac{3}{4}\times m_{2}=-1\Leftrightarrow m_{2}=\displaystyle -\frac{3}{4}\\ &\textrm{Sehingga persamaan garis singgung lingkaran}\\ &\textrm{di titik}\:\: (5,1)\:\: \textrm{adalah}:y-1=\displaystyle -\frac{3}{4}(x-5)\\ &\Leftrightarrow 4y-4=-3x+15\Leftrightarrow 3x+4y=19\\\\ &\textbf{Simpulan}:\\ &\textbf{Pernyataan benar, alasan salah} \end{array}$.

CONTOH SOAL 1 IRISAN KERUCUT

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textbf{EBTANAS SMA IPA 1989}\\ &\textrm{Dari suatu elips yang persamaannya}\\ & \displaystyle \frac{(x-5)^{\displaystyle 2}}{25}+\displaystyle \frac{(y+3)^{2}}{16}=1\\ &\textrm{dapat disimpulkan bahwa}\\ &\begin{array}{llll} \textrm{(1)}.&\textrm{Panjang sumbu mayor}=10\\ \textrm{(2)}.&\textrm{Panjang sumbu minor}=10\\ \textrm{(3)}.&\textrm{Koordinat fokusnya adalah}\:\: (8,-3)\:\: \textrm{dan}\:\: (2,-3)\\ \textrm{(4)}.&\textrm{Persamaan sumbu minornya adalah}\:\: x=-3\\ \end{array}\\\\ &\textbf{Pembahasan}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\displaystyle \frac{(x-5)^{\displaystyle 2}}{25}+\displaystyle \frac{(y+3)^{2}}{16}=1\quad \textrm{analog}\quad \displaystyle \frac{(x-p)^{\displaystyle 2}}{a^{\displaystyle 2}}+\displaystyle \frac{(y-q)^{2}}{b^{\displaystyle 2}}=1\\ &\textrm{maka}\\ &\begin{aligned}&\bullet \quad a^{\displaystyle 2}=25\Rightarrow a=5\\ &\bullet \quad b^{\displaystyle 2}=16\Rightarrow b=4\\ &\bullet \quad c^{\displaystyle 2}=a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}=25-16=9\Rightarrow c=3\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\ast \quad \textrm{Koordinat pusat}:(p,q)=(5,-3)\\ &(1) \quad \textrm{Panjang sumbu mayor}:2a=2.5=10\quad \textbf{benar}\\ &(2) \quad \textrm{Panjang sumbu minor}:2b=2.4=8\quad \textbf{salah}\\ &(3) \quad \textrm{Koordinat fokus}:(p\pm c,q)=(5\pm 3,-3).\\ &\,\:\quad\quad \textrm{Sehingga}\quad \textrm{F}_{1}(8,-3)\quad \textrm{dan}\quad \textrm{F}_{2}(2,-3)\quad \textbf{benar}\\ &(4) \quad \textrm{Persamaan sumbu minor}:x=5\quad \textbf{salah}\\ \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textbf{EBTANAS SMA IPA 1990}\\ &\textrm{Persamaan garis singgung elips}\: \quad 4x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}=4\\ &\textrm{yang sejajar dengan garis}\quad 2x-y-5=0\:\: \textrm{adalah}\:....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{A}.&\displaystyle y=-2x\pm 2\sqrt{2}\\ \textrm{B}.&\displaystyle y=\displaystyle -\frac{1}{2}x\pm 2\sqrt{2}\\ \textrm{C}.&\displaystyle y=-2x\pm 2\\ \textrm{D}.&\displaystyle y=2x\pm +2\\ \textrm{E}.&\displaystyle y=2x\pm 2\sqrt{2} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{E}\\ &\textrm{Perhatikan bahwa garis}\quad 2x-y-5=0\\ &y=2x-5\quad \textrm{analog}\quad y =mx+c\Rightarrow m=2\\ &\textrm{dan}\quad 4x^{\displaystyle 2}+y^{\displaystyle 2}=4\Rightarrow \displaystyle \frac{4x^{\displaystyle 2}}{4}+\displaystyle \frac{y^{\displaystyle 2}}{4}=1\\ &\bullet \quad a^{\displaystyle 2}=1,\quad b^{\displaystyle 2}=4,\quad \textrm{dan}\quad m=2\\ &\textrm{maka persamaan garis singgungnya}:\\ &y=mx\pm \sqrt{a^{\displaystyle 2}m^{\displaystyle 2}+b^{\displaystyle 2}}\\ &\Leftrightarrow y=2x\pm \sqrt{1^{\displaystyle 2}.2^{\displaystyle 2}+2^{\displaystyle 2}}\\ &\Leftrightarrow y=2x\pm \sqrt{8}\\ &\Leftrightarrow y=2x\pm 2\sqrt{2} \end{array}$.

HIPERBOLA-PERSAMAAN GARIS SINGGUNG (IRISAN KERUCUT)

Perhatikan tabel berikut

$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan}\\&\textrm{hiperbola}\end{aligned}&\qquad \displaystyle \frac{x^{\displaystyle 2}}{a^{\displaystyle 2}}-\displaystyle \frac{y^{\displaystyle 2}}{b^{\displaystyle 2}}=1&\qquad \displaystyle \frac{(x-h)^{\displaystyle 2}}{a^{\displaystyle 2}}-\displaystyle \frac{(y-k)^{\displaystyle 2}}{b^{\displaystyle 2}}=1\\\hline \begin{aligned}&\textrm{dengan}\\ &\textrm{gradien}\;\: m\end{aligned}&y=mx \pm \sqrt{a^{\displaystyle 2}m^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}}&y-k=m(x-h)\pm \sqrt{a^{\displaystyle 2}m^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{di titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{pada }\\ &\textrm{hiperbola} \end{aligned}&\quad\displaystyle \frac{x_{1}x}{a^{\displaystyle 2}}-\frac{y_{1}y}{b^{\displaystyle 2}}=1&\displaystyle \frac{\left( x_{1}-h \right)(x-h)}{a^{\displaystyle 2}}-\frac{\left( y_{1}-k \right)\left( y-k \right)}{b^{\displaystyle 2}}=1\\\hline \begin{aligned}&\textrm{melalui}\\ &\textrm{titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{di luar}\\ &\textrm{hiperbola}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\\end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosesnya}:\\\\ &Pertama:\\ &\textrm{cari persamaan garis}\\ &\textrm{kutubnya (polar)}\\ &\textrm{dengan rumus pada}\\ &\textrm{baris 3 kolom 2}\\ &\textrm{di tabel ini}\\\\ &Kedua:\\ &\textrm{Potongkan garis kutub}\\ &\textrm{dengan hiperbola di titik}\\ &A\left( x_{A},y_{A} \right)\: \textrm{dan di titik}\\ &B\left( x_{B},y_{B} \right)\\\\ &Ketiga:\\ &\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung yang dicari}:\\ &\displaystyle \frac{x_{A}x}{a^{\displaystyle 2}}-\frac{y_{A}y}{b^{\displaystyle 2}}=1\\ & \textrm{dan}\\ &\displaystyle \frac{x_{B}x}{a^{\displaystyle 2}}-\frac{y_{B}y}{b^{\displaystyle 2}}=1 \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosenya kurang lebih sama}\\ &\textrm{dengan proses sebelah kiri}\\ &\textrm{tersebut}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui persamaan hiperbola}\quad 9x^{\displaystyle 2}-16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\textrm{Tentukan persamaan garis singgung hiperbola}\\ &\textrm{a}\quad\textrm{yang bergradien 1}\\ &\textrm{b}\quad\textrm{yang melalui titik}\:\: \left( 4\sqrt{2},3 \right)\\ &\textrm{c}\quad\textrm{yang melalui titik (5,0)}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\quad 9x^{\displaystyle 2}-16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\displaystyle \frac{x^{\displaystyle 2}}{16}-\frac{y^{\displaystyle 2}}{9}=1\\ &\begin{aligned}&\bullet \quad a^{\displaystyle 2}=16\Longrightarrow a=4\\ &\bullet \quad b^{\displaystyle 2}=9\Longrightarrow b=3\\ &\bullet \quad c^{\displaystyle 2}=a^{\displaystyle 2}+b^{\displaystyle 2}=16+9=25\Longrightarrow c=5\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{(a)}\quad \textrm{persamaan garis singgung dengan gradien}\:\: m=1\\ &\:\qquad y=mx\pm \sqrt{a^{\displaystyle 2}m^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}}=1.x\pm \sqrt{16.1-9}\\ &\:\qquad \Leftrightarrow y=x\pm \sqrt{7}\\ &\textrm{(b)}\quad \textrm{persamaan garis singgung melalui titik}\:\: (4\sqrt{2},3)\\ &\:\quad \quad \textrm{dan cukup jelas bahwa titik}\:\: (4\sqrt{2},3)\:\: \textrm{pada hiperbola}\\ &\:\quad \quad \textrm{Sehingga kita dapat gunakan rumus berikut:}\\&\:\qquad \displaystyle \frac{x_{1}x}{16}-\displaystyle \frac{y_{1}y}{9}=1\Rightarrow \displaystyle \frac{4\sqrt{2}.x}{16}+\displaystyle \frac{3.y}{9}=1\\ &\:\qquad \Leftrightarrow 3\sqrt{2}x-4y=12\\ &\textrm{(c)}\quad \textrm{persamaan garis singgung melalui titik}\:\: (3,0)\\ &\:\quad \quad \textrm{dan cukup jelas bahwa titik (3,0) ini di luar hiperbola}\\ &\:\quad \quad \textrm{Sehingga kita dapat gunakan rumus berikut:}\\ &\:\qquad \bullet\:\: \textrm{Persamaan garis kutub(polar)}\\ &\quad\qquad\displaystyle \frac{x_{1}x}{16}-\displaystyle \frac{y_{1}y}{9}=1\Rightarrow \displaystyle \frac{3x}{16}-\displaystyle \frac{0.y}{9}=1\\ &\quad\qquad \Leftrightarrow \displaystyle \frac{3x}{16}=1\Leftrightarrow 3x=16\Leftrightarrow x=\displaystyle \frac{16}{3}\\ &\:\qquad \bullet\:\: \textrm{Perpotongan garis kutub dengan hiperbola}\\ &\quad\qquad\displaystyle x=\displaystyle \frac{16}{3}\Rightarrow 9x^{\displaystyle 2}-16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\quad\qquad \textrm{Alternatif 1}:\\&\quad\qquad 9\left( \displaystyle \frac{16}{3} \right)^{\displaystyle 2}-16y^{\displaystyle 2}=144\Rightarrow y=\pm \sqrt{7}\\ &\quad\qquad \textrm{selanjutnya didapat titik potongnya di}\\ &\quad\qquad \textrm{titik}\quad \left( \displaystyle \frac{16}{3},\sqrt{7} \right)\quad \textrm{dan}\quad \left( \displaystyle \frac{16}{3},\displaystyle -\sqrt{7} \right)\\ &\quad\qquad \textrm{sehingga kita tentukan garis singgungnya}\\ &\quad\qquad \textrm{dengan rumus}\quad \displaystyle \frac{x_{1}x}{16}-\displaystyle \frac{y_{1}y}{9}=1\\ &\quad\qquad \textrm{dan nantinya kita akan mendapatkan }\\ &\quad\qquad \textrm{ dua garis, yaitu}\\ &\quad\qquad y=\displaystyle -\frac{3\sqrt{7}}{7}(x-3)\quad\textrm{dan}\quad y=\displaystyle \frac{3\sqrt{7}}{7}(x-3)\\ &\quad\qquad \textrm{Alternatif 2}:\\ &\quad\qquad \textrm{Gunakan titik (3,0) dan substitusikan ke}\\ &\quad\qquad \textrm{garis}\quad y=m(x-p)+q\\ &\quad\qquad \textrm{Selanjutnya diserahkan ke pembaca}\\ \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Buatlah sketsa gambar dari soal nomor 1}\\ &\textrm{di atas}\\\\ &\textbf{Solusi}\\ &\textrm{Perhatikan sketsa gambar berikut} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Muklis, Rifai, R.A. 2024. Buku Interaktif Matematika XII Tingkat Lanjut. Yogyakarta: INTAN PARIWARA EDUKASI
Tim MGMP Matematika. .......... Matematika IPA Kelas XII untuk SMA dan MA. .....: KARYA PUSTAKA.

HIPERBOLA (IRISAN KERUCUT)

A. Definisi

Hiperbola adalah tempat kedudukan (lokus) titik-titik pada bidang yang memiliki selisih mutlak jarak terhadap dua titik tetap yang disebut fokus bernilai konstan

B. Persamaan hiperbola pusat O(0,0)

Perhatikan ilustrasi berikut

$\begin{aligned}&\text{Keterangan}\\ &\bullet \quad \textrm{F}_{1}\quad \textrm{dan}\quad \textrm{F}_{2}\quad \textrm{disebut fokus}\\ &\bullet \quad \textrm{A dan B disebut puncak}\\ &\bullet \quad \textrm{O disebut puncak}\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu X sebagai sumbu utama/nyata/transversal}\\ &\qquad (\textrm{sumbu yang}\quad \textrm{F}_{1}\quad \textrm{dan}\quad \textrm{F}_{2}\quad \textrm{terletak})\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu Y sebagai sumbu sekawan/imajiner}\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu mayor}=AB=2a\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu minor}=RQ=2b\\ &\bullet \quad \textrm{garis}\quad g_{1}\quad \textrm{dan}\quad g_{2}\quad \textrm{disebut garis direktris}\\ &\bullet \quad \textrm{KL dan TS disebut latus rektum, panjangnya}=\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}\\ &\bullet \quad \textrm{garis}\quad y=\pm \displaystyle \frac{b}{a}x\quad \textrm{disebut asimtot miring}\\ &\bullet \quad \textrm{di antara}:a,b,\: \textrm{dan}\: c\quad \textrm{terdapat hubungan}\quad c^{\displaystyle 2}=a^{\displaystyle 2}+b^{\displaystyle 2}\\\end{aligned}$.

$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Hiperbola}\end{aligned}&\displaystyle \frac{x^{\displaystyle 2}}{a^{\displaystyle 2}}-\displaystyle \frac{y^{\displaystyle 2}}{b^{\displaystyle 2}}=1&\displaystyle \frac{y^{\displaystyle 2}}{a^{\displaystyle 2}}-\displaystyle \frac{x^{\displaystyle 2}}{b^{\displaystyle 2}}=1\\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{kanan-kiri}&\textrm{atas-bawah}\\\hline \textrm{Fokus}&(\pm c,0)&(0,\pm c)\\\hline \textrm{Puncak}&(\pm a,0)&(0,\pm a)\\\hline \textrm{Asimtot}&y=\pm \displaystyle \frac{b}{a}x&y=\pm \displaystyle \frac{a}{b}x\\\hline \textrm{Direktris}&x=\pm \displaystyle \frac{a^{\displaystyle 2}}{c}&y=\pm \displaystyle \frac{a^{\displaystyle 2}}{c}\\\hline\begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&y=0,x=0&y=0,x=0\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}\\\hline \textrm{eksentrisitas}&\displaystyle \frac{c}{a}&\displaystyle \frac{c}{a}\\\hline\end{array}$.

C. Persamaan hiperbola pusat (h,k)

Perhatikan tabel berikut

$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Hiperbola}\end{aligned}&\displaystyle \frac{(x-h)^{\displaystyle 2}}{a^{\displaystyle 2}}-\displaystyle \frac{(y-k)^{\displaystyle 2}}{b^{\displaystyle 2}}=1&\displaystyle \frac{(y-k)^{\displaystyle 2}}{a^{\displaystyle 2}}-\displaystyle \frac{(x-h)^{\displaystyle 2}}{b^{\displaystyle 2}}=1\\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{kanan-kiri}&\textrm{atas-bawah}\\\hline \textrm{Fokus}&(h\pm c,k)&(h,k\pm c)\\\hline \textrm{Puncak}&(h\pm a,k)&(h,k\pm a)\\\hline \textrm{Asimtot}&y-k=\pm \displaystyle \frac{b}{a}(x-h)&y-k=\pm \displaystyle \frac{a}{b}(x-h)\\\hline \textrm{Direktris}&x=h\pm \displaystyle \frac{a^{\displaystyle 2}}{c}&y=k\pm \displaystyle \frac{a^{\displaystyle 2}}{c}\\\hline\begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&y=k,x=h&y=k,x=h\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}\\\hline \textrm{eksentrisitas}&\displaystyle \frac{c}{a}&\displaystyle \frac{c}{a}\\\hline\end{array}$.

$\LARGE{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan koordinat pusat, puncak, fokus, asimtot}\\ &\textrm{eksentrisitas, direktris, sb.utama, sb. sekawan,}\\ &\textrm{sb. mayor, sb. minor, dan panjang latus rektum }\\ &\textrm{dari hiperbola}\quad 9x^{\displaystyle 2}-16y^{\displaystyle 2}=144\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\quad 9x^{\displaystyle 2}-16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\displaystyle \frac{x^{\displaystyle 2}}{16}-\frac{y^{\displaystyle 2}}{9}=1\\ &\begin{aligned}&\bullet \quad a^{\displaystyle 2}=16\Longrightarrow a=4\\ &\bullet \quad b^{\displaystyle 2}=9\Longrightarrow b=3\\ &\bullet \quad c^{\displaystyle 2}=a^{\displaystyle 2}+b^{\displaystyle 2}=16+9=25\Longrightarrow c=5\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\ast \quad \textrm{koordinat pusat}:(0,0)\\ &\ast \quad \textrm{koordinat puncak}:(\pm a,0)=(\pm 4,0)\\ &\ast \quad \textrm{koordinat fokus}:(\pm c,0)=(\pm 5,0)\\ &\ast \quad \textrm{asimtot}:y=\pm \displaystyle \frac{b}{a}x\Rightarrow y=\pm \displaystyle \frac{3}{4}x\\ &\ast \quad \textrm{eksentrisitas}\quad e=\displaystyle \frac{c}{a}=\displaystyle \frac{5}{4}\\ &\ast \quad \textrm{direktris}:x=\displaystyle \pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c}=\pm \frac{16}{5}\\ &\ast \quad \textrm{sumbu utama}:y=0\\ &\ast \quad \textrm{sumbu sekawan}:x=0\\ &\ast \quad \textrm{sumbu mayor}:2a=2.4=8\\ &\ast \quad \textrm{sumbu minor}:2b=2.3=6\\ &\ast \quad \textrm{latus rektum}:\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}=\displaystyle \frac{18}{4}=\frac{9}{2}\\\end{aligned} \end{array}$.

PARABOLA-PERSAMAAN GARIS SINGGUNG (IRISAN KERUCUT)

D. Persamaan garis singgung parabola

Perhatikan tabel berikut

$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan}\\&\textrm{parabola}\end{aligned}&\qquad y^{\displaystyle 2}=4px&\qquad (y-b)^{\displaystyle 2}=4p(x-a)\\\hline \begin{aligned}&\textrm{dengan}\\ &\textrm{gradien}\;\: m\end{aligned}&y=mx +\displaystyle \frac{p}{m}&y-b=m(x-a)-\displaystyle \frac{p}{m}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{di titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{pada }\\ &\textrm{parabola} \end{aligned}&\quad\displaystyle y_{1}y=2p\left( x_{1}+x \right)&(y_{1}-b)(y-b)=2p(x_{1}-a)(x-a)\\\hline \begin{aligned}&\textrm{melalui}\\ &\textrm{titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{di luar}\\ &\textrm{parabola}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\\end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosesnya}:\\\\ &Pertama:\\ &\textrm{cari persamaan garis}\\ &\textrm{kutubnya (polar)}\\ &\textrm{dengan rumus pada}\\ &\textrm{baris 3 kolom 2}\\ &\textrm{di tabel ini}\\\\ &Kedua:\\ &\textrm{Potongkan garis kutub}\\ &\textrm{dengan parabola di titik}\\ &A\left( x_{A},y_{A} \right)\: \textrm{dan di titik}\\ &B\left( x_{B},y_{B} \right)\\\\ &Ketiga:\\ &\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung yang dicari}:\\ &y_{A}y=2p(x_{A}+x)\\ & \textrm{dan}\\ &y_{B}y=2p(x_{B}+x) \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosenya kurang lebih sama}\\ &\textrm{dengan proses sebelah kiri}\\ &\textrm{tersebut}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui persamaan parabola}\quad y^{\displaystyle 2}=8x\\ &\textrm{Tentukan persamaan garis singgung parabola}\\ &\textrm{a}\quad\textrm{yang bergradien 3}\\ &\textrm{b}\quad\textrm{yang melalui titik (2,4)}\\ &\textrm{c}\quad\textrm{yang melalui titik (2,5)}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\quad y^{\displaystyle 2}=8x\Rightarrow 4p=8\Leftrightarrow p=2\\ &\begin{aligned}&\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{(a)}\quad \textrm{persamaan garis singgung dengan gradien}\:\: m=3\\ &\:\qquad y=mx+\displaystyle \frac{p}{m}\Leftrightarrow y=3x+\displaystyle \frac{2}{3}\Leftrightarrow 3y-9x-2=0\\ &\textrm{(b)}\quad \textrm{persamaan garis singgung melalui titik}\:\: (2,4)\\ &\:\quad \quad \textrm{dan cukup jelas bahwa titik (2,4) ini pada parabola}\\ &\:\quad \quad \textrm{Sehingga kita dapat gunakan rumus berikut:}\\&\:\qquad y_{1}y=2p\left( x_{1}+x \right)\Leftrightarrow 4y=2.2(2+x)\\ &\:\qquad \Leftrightarrow 4y=8+4x\Leftrightarrow y-x-2=0\\ &\textrm{(c)}\quad \textrm{persamaan garis singgung melalui titik}\:\: (2,5)\\ &\:\quad \quad \textrm{dan cukup jelas bahwa titik (2,5) ini di luar parabola}\\ &\:\quad \quad \textrm{Sehingga kita dapat gunakan rumus berikut:}\\ &\:\qquad \bullet\:\: \textrm{Persamaan garis kutub(polar)}\\ &\quad\qquad\displaystyle y_{1}y=2p\left( x_{1}+x \right)\Leftrightarrow5y=2.2(2+x)\\ &\quad\qquad\Leftrightarrow 5y=8+4x\Leftrightarrow y=\displaystyle \frac{8+4x}{5}\\ &\:\qquad \bullet\:\: \textrm{Perpotongan garis kutub dengan parabola}\\ &\quad\qquad\displaystyle y=\displaystyle \frac{8+4x}{5}\Rightarrow y^{\displaystyle 2}=8x\\ &\quad\qquad \textrm{Alternatif 1}:\\&\quad\qquad \left( \displaystyle \frac{8+4x}{5} \right)^{\displaystyle 2}=8x\Rightarrow 64+64x+16x^{\displaystyle 2}=200x\\ &\quad\qquad \Leftrightarrow 8(2x-1)(x-8)=0\Leftrightarrow x=\displaystyle \frac{1}{2}\quad \textrm{atau}\quad x=8\\ &\quad\qquad \textrm{selanjutnya didapat titik potongnya di}\\ &\quad\qquad \textrm{titik}\quad \left( \displaystyle \frac{1}{2},2 \right)\quad \textrm{dan}\quad \left( 8,8 \right)\\ &\quad\qquad \textrm{sehingga kita tentukan garis singgungnya}\\ &\quad\qquad \textrm{dengan rumus}\quad y_{1}y=2p\left( x_{1}+x \right)\\ &\quad\qquad \textrm{dan nantinya kita akan mendapatkan }\\ &\quad\qquad \textrm{ dua garis, yaitu}\\ &\quad\qquad y=2x+1\quad\textrm{dan}\quad y=\displaystyle \frac{1}{2}x+4\\ &\quad\qquad \textrm{Alternatif 2}:\\ &\quad\qquad \textrm{Gunakan titik (2,5) dan substitusikan ke}\\ &\quad\qquad \textrm{garis}\quad y=mx+\displaystyle \frac{p}{m}\\ &\quad\qquad \textrm{Selanjutnya diserahkan ke pembaca}\\ \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Buatlah sketsa gambar dari soal nomor 1}\\ &\textrm{di atas}\\\\ &\textbf{Solusi}\\ &\textrm{Perhatikan sketsa gambar berikut} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Muklis, Rifai, R.A. 2024. Buku Interaktif Matematika XII Tingkat Lanjut. Yogyakarta: INTAN PARIWARA EDUKASI
Tim MGMP Matematika. .......... Matematika IPA Kelas XII untuk SMA dan MA. .....: KARYA PUSTAKA.

PARABOLA (IRISAN KERUCUT)

A. Definisi

Parabola adalah himpunan semua titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap dan garis tetap. Selanjutnya titik tetap disebut fokus dan garis tetap disebut direktris.

B. Persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0)

Perhatikan ilustrasi berikut

$\begin{aligned}&\text{Keterangan}\\ &\bullet \quad \textrm{F disebut fokus}\\ &\bullet \quad \textrm{g disebut garis direktris}\\ &\bullet \quad \textrm{O disebut puncak}\\ &\bullet \quad \textrm{TS disebut latus rektum (4p)}\\ &\bullet \quad \textrm{AF=AQ}\\ &\bullet \quad \textrm{Sumbu simetri sumbu X}\\\end{aligned}$.

Selanjutnya perhatikan tabel berikut.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Parabola}\end{aligned}&y^{\displaystyle 2}=4px&y^{\displaystyle 2}=-4px&x^{\displaystyle 2}=4py&x^{\displaystyle 2}=-4py \\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{ke kanan}&\textrm{ke kiri}&\textrm{ke atas}&\textrm{ke bawah}\\\hline \textrm{Fokus}&(p,0)&(-p,0)&(0,p)&(0,-p)\\\hline \textrm{Direktris}&x=-p&x=p&y=-p&y=p\\\hline \begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&y=0&y=0&x=0&x=0\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&4p&4p&4p&4p\\\hline \end{array}$.

C. Persamaan parabola yang berpuncak di (a,b)

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Parabola}\end{aligned}&(y-b)^{\displaystyle 2}=4p(x-a)&(y-b)^{\displaystyle 2}=-4p(x-a) \\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{ke kanan}&\textrm{ke kiri}\\\hline \textrm{Puncak}&(a,b)&(a,b)\\\hline \textrm{Fokus}&(a+p,b)&(a-p,b)\\\hline \textrm{Direktris}&x=a-p&x=a+p\\\hline \begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&y=b&y=b\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&4p&4p\\\hline \end{array}$.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Parabola}\end{aligned}&(x-a)^{\displaystyle 2}=4p(y-b)&(x-a)^{\displaystyle 2}=-4p(y-b) \\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{ke atas}&\textrm{ke bawah}\\\hline \textrm{Puncak}&(a,b)&(a,b)\\\hline \textrm{Fokus}&(a,b+p)&(a,b-p)\\\hline \textrm{Direktris}&y=b-p&y=b+p\\\hline \begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&x=a&x=a\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&4p&4p\\\hline \end{array}$.

$\LARGE{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui persamaan parabola}\quad y^{\displaystyle 2}=8x\\ &\textrm{Tentukan fokus, sumbu simetri, dan}\\ &\textrm{direktris parabola tersebut}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &y^{\displaystyle 2}=8x\quad \textrm{analog dengan}\quad y^{\displaystyle 2}=4px\\ &\textrm{Sehingga}\quad 4p=8\Leftrightarrow p=2,\quad \textrm{maka}\\ &\bullet \quad \textrm{fokusnya}:\quad (p,0)=(2,0)\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu simetrinya }:\quad \textrm{sumbu-X}\\ &\bullet \quad \textrm{direktrisnya}:\quad x=-p\Leftrightarrow x=-2\\ \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui persamaan parabola}\quad x^{\displaystyle 2}=-8y\\ &\textrm{Tentukan fokus, sumbu simetri, dan}\\ &\textrm{direktris parabola tersebut}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &x^{\displaystyle 2}=-8y\quad \textrm{analog dengan}\quad x^{\displaystyle 2}=-4py\\ &\textrm{Sehingga}\quad -4p=-8\Leftrightarrow p=2,\quad \textrm{maka}\\ &\bullet \quad \textrm{fokusnya}:\quad (0,-p)=(0,-2)\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu simetrinya }:\quad \textrm{sumbu-Y}\\ &\bullet \quad \textrm{direktrisnya}:\quad y=p\Leftrightarrow y=2\\ \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan persamaan parabola yang}\\ &\textrm{berpuncak di O(0,0) dan fokusnya}\\ &\textrm{di F(4,0)}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Puncak suatu parabola di O(0,0) dan}\\ &\textrm{fokusnya (4,0) berarti}\quad p=4.\\ &\bullet \quad \textrm{karena}\quad y_{fokus}=y_{puncak}=0,\quad \textrm{maka}\\ &\:\:\quad\textrm{ini menunjukkan bahwa model}\\ &\:\:\quad\textrm{parabolnya horizaontal}\\ &\bullet \quad \textrm{dan karena}\quad x_{fokus}>x_{puncak},\quad \textrm{maka}\\ &\:\:\quad\textrm{ini menunjukkan bahwa model}\\ &\:\:\quad\textrm{parabolnya terbuka ke kanan}\\ &\textrm{Sehingga persamaan parabolnya adalah}:\\ &y^{\displaystyle 2}=4px\Leftrightarrow y^{\displaystyle 2}=4.4.x\Leftrightarrow y^{\displaystyle 2}=16x \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan jarak fokus ke direktris pada }\\ &\textrm{parabola}\quad y^{2}+6y-6x+4=0\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}:y^{2}+6y-6x+4=0\\ &\Leftrightarrow y^{2}+6y=6x-4\\ &\Leftrightarrow y^{2}+2.3y+3^{\displaystyle 2}=6x-4+3^{\displaystyle 2}\\ &\Leftrightarrow (y+3)^{2}=6x+5\\ &\Leftrightarrow (y+3)^{2}=6x+\displaystyle \frac{5.6}{6}\\ &\Leftrightarrow (y+3)^{2}=6\left( x+\displaystyle \frac{5}{6} \right)\\ &\textrm{Sehingga didapatkan}\\ &4p=6\Leftrightarrow 2p=3\\ &\textrm{Karena jarak fokus ke direktris adalah}\:\: 2p\\ &\textrm{maka jaraknya adalah 3} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Tentukan koordinat puncak, fokus,}\\ &\textrm{dirktris, sumbu simetri dan panjang}\\ &\textrm{latus rektum parabola}\quad y^{2}+6y-6x+4=0\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}:y^{2}+6y-6x+4=0\\ &\Leftrightarrow (y+3)^{2}=6\left( x+\displaystyle \frac{5}{6} \right)\Rightarrow 4p=6\Leftrightarrow p=\displaystyle \frac{3}{2}\\ &\textrm{dengan}\quad a=-\displaystyle \frac{5}{6},\:b=-3,\quad \textrm{maka}\\ &\bullet \quad \textrm{puncak}:(a,b)=\left( \displaystyle -\frac{5}{6},-3 \right)\\ &\bullet \quad \textrm{fokus}:F(a+p,b)=\left( \displaystyle \left( -\frac{5}{6} \right)+\frac{3}{2},-3 \right)\\ &\:\:\qquad\qquad\quad\qquad\qquad =\left( \displaystyle \frac{2}{3},-3 \right)\\ &\bullet \quad \textrm{direktri}:x=a-p=\displaystyle \left( -\frac{5}{6} \right)-\frac{3}{2}=-\frac{7}{3}\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu simetri}:y=b\Rightarrow y=-3\\ &\bullet \quad \textrm{latus rektum}:4p=6\\ \end{array}$.

ELIPS-PERSAMAAN GARIS SINGGUNG (IRISAN KERUCUT)

Perhatikan tabel berikut terkait persamaan garis singgung pada elips

$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan}\\&\textrm{elips}\end{aligned}&\qquad\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1&\qquad\displaystyle \frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1\\\hline \begin{aligned}&\textrm{dengan}\\ &\textrm{gradien}\;\: m\end{aligned}&y=mx\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}&y-q=m(x-p)\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{di titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{pada elips}\end{aligned}&\quad\displaystyle \frac{x_{1}x}{a^{2}}+\frac{y_{1}y}{b^{2}}=1&\qquad\begin{aligned}&\displaystyle \frac{(x_{1}-p)(x-p)}{a^{2}}\\ &\qquad+ \\ &\displaystyle \frac{(y_{1}-q)(y-q)}{b^{2}}=1 \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{melalui}\\ &\textrm{titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{di luar elips}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\\end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosesnya}:\\\\ &Pertama:\\ &\textrm{cari persamaan garis}\\ &\textrm{kutubnya (polar)}\\ &\textrm{dengan rumus pada}\\ &\textrm{baris 3 kolom 2}\\ &\textrm{di tabel ini}\\\\ &Kedua:\\ &\textrm{Potongkan garis kutub}\\ &\textrm{dengan elips di titik}\\ &A\left( x_{A},y_{A} \right)\: \textrm{dan di titik}\\ &B\left( x_{B},y_{B} \right)\\\\ &Ketiga:\\ &\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung yang dicari}:\\ &\displaystyle \frac{x_{A}x}{a^{\displaystyle 2}}+\frac{y_{A}y}{b^{\displaystyle 2}}\quad \textrm{dan}\\ &\displaystyle \frac{x_{B}x}{a^{\displaystyle 2}}+\frac{y_{B}y}{b^{\displaystyle 2}} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosenya kurang lebih sama}\\ &\textrm{dengan proses sebelah kiri}\\ &\textrm{tersebut}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

Dan juga tabel berikut

$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan}\\&\textrm{elips}\end{aligned}&\qquad\displaystyle \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1&\qquad\displaystyle \frac{(x-p)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}=1\\\hline \begin{aligned}&\textrm{dengan}\\ &\textrm{gradien}\;\: m\end{aligned}&y=mx\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}m^{2}}&y-q=m(x-p)\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}m^{2}}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{di titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{pada elips}\end{aligned}&\quad\displaystyle \frac{x_{1}x}{b^{2}}+\frac{y_{1}y}{a^{2}}=1&\qquad\begin{aligned}&\displaystyle \frac{(x_{1}-p)(x-p)}{b^{2}}\\ &\qquad+ \\ &\displaystyle \frac{(y_{1}-q)(y-q)}{a^{2}}=1 \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{melalui}\\ &\textrm{titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{di luar elips}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\\end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosesnya}:\\\\ &Pertama:\\ &\textrm{cari persamaan garis}\\ &\textrm{kutubnya (polar)}\\ &\textrm{dengan rumus pada}\\ &\textrm{baris 3 kolom 2}\\ &\textrm{di tabel ini}\\\\ &Kedua:\\ &\textrm{Potongkan garis kutub}\\ &\textrm{dengan elips di titik}\\ &A\left( x_{A},y_{A} \right)\: \textrm{dan di titik}\\ &B\left( x_{B},y_{B} \right)\\\\ &Ketiga:\\ &\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung yang dicari}:\\ &\displaystyle \frac{x_{A}x}{b^{\displaystyle 2}}+\frac{y_{A}y}{a^{\displaystyle 2}}\quad \textrm{dan}\\ &\displaystyle \frac{x_{B}x}{b^{\displaystyle 2}}+\frac{y_{B}y}{a^{\displaystyle 2}} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosenya kurang lebih sama}\\ &\textrm{dengan proses sebelah kiri}\\ &\textrm{tersebut}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui persamaan elips}\quad 9x^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\textrm{Tentukan persamaan garis singgung elips}\\ &\textrm{a}\quad\textrm{yang bergradien 1}\\ &\textrm{b}\quad\textrm{yang melalui titik (4,0)}\\ &\textrm{c}\quad\textrm{yang melalui titik (5,0)}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\quad 9x^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\displaystyle \frac{x^{\displaystyle 2}}{16}+\frac{y^{\displaystyle 2}}{9}=1\\ &\begin{aligned}&\bullet \quad a^{\displaystyle 2}=16\Longrightarrow a=4\\ &\bullet \quad b^{\displaystyle 2}=9\Longrightarrow b=3\\ &\bullet \quad c^{\displaystyle 2}=a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}=16-9=7\Longrightarrow c=\sqrt{7}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{(a)}\quad \textrm{persamaan garis singgung dengan gradien}\:\: m=1\\ &\:\qquad y=mx\pm \sqrt{a^{\displaystyle 2}m^{\displaystyle 2}+b^{\displaystyle 2}}=1.x\pm \sqrt{16.1+9}\\ &\:\qquad \Leftrightarrow y=x\pm \sqrt{25}\Leftrightarrow y=x\pm 5\\ &\textrm{(b)}\quad \textrm{persamaan garis singgung melalui titik}\:\: (4,0)\\ &\:\quad \quad \textrm{dan cukup jelas bahwa titik (4,0) ini pada elips}\\ &\:\quad \quad \textrm{Sehingga kita dapat gunakan rumus berikut:}\\&\:\qquad \displaystyle \frac{x_{1}x}{16}+\displaystyle \frac{y_{1}y}{9}=1\Rightarrow \displaystyle \frac{4x}{16}+\displaystyle \frac{0.y}{9}=1\\ &\:\qquad \Leftrightarrow \displaystyle \frac{4x}{16}=1\Leftrightarrow 4x=16\Leftrightarrow x=4\\ &\textrm{(c)}\quad \textrm{persamaan garis singgung melalui titik}\:\: (5,0)\\ &\:\quad \quad \textrm{dan cukup jelas bahwa titik (5,0) ini di luar elips}\\ &\:\quad \quad \textrm{Sehingga kita dapat gunakan rumus berikut:}\\ &\:\qquad \bullet\:\: \textrm{Persamaan garis kutub(polar)}\\ &\quad\qquad\displaystyle \frac{x_{1}x}{16}+\displaystyle \frac{y_{1}y}{9}=1\Rightarrow \displaystyle \frac{5x}{16}+\displaystyle \frac{0.y}{9}=1\\ &\quad\qquad \Leftrightarrow \displaystyle \frac{5x}{16}=1\Leftrightarrow 5x=16\Leftrightarrow x=\displaystyle \frac{16}{5}\\ &\:\qquad \bullet\:\: \textrm{Perpotongan garis kutub dengan elips}\\ &\quad\qquad\displaystyle x=\displaystyle \frac{16}{5}\Rightarrow 9x^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\quad\qquad \textrm{Alternatif 1}:\\&\quad\qquad 9\left( \displaystyle \frac{16}{5} \right)^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\Rightarrow y=\pm \displaystyle \frac{9}{5}\\ &\quad\qquad \textrm{selanjutnya didapat titik potongnya di}\\ &\quad\qquad \textrm{titik}\quad \left( \displaystyle \frac{16}{5},\displaystyle \frac{9}{5} \right)\quad \textrm{dan}\quad \left( \displaystyle \frac{16}{5},\displaystyle -\frac{9}{5} \right)\\ &\quad\qquad \textrm{sehingga kita tentukan garis singgungnya}\\ &\quad\qquad \textrm{dengan rumus}\quad \displaystyle \frac{x_{1}x}{16}+\displaystyle \frac{y_{1}y}{9}=1\\ &\quad\qquad \textrm{dan nantinya kita akan mendapatkan }\\ &\quad\qquad \textrm{ dua garis, yaitu}\\ &\quad\qquad y=-x+5\quad\textrm{dan}\quad y=x-5\\ &\quad\qquad \textrm{Alternatif 2}:\\ &\quad\qquad \textrm{Gunakan titik (5,0) dan substitusikan ke}\\ &\quad\qquad \textrm{garis}\quad y=m(x-p)+q\\ &\quad\qquad \textrm{Selanjutnya diserahkan ke pembaca}\\ \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Buatlah sketsa gambar dari soal nomor 1}\\ &\textrm{di atas}\\\\ &\textbf{Solusi}\\ &\textrm{Perhatikan sketsa gambar berikut} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Muklis, Rifai, R.A. 2024. Buku Interaktif Matematika XII Tingkat Lanjut. Yogyakarta: INTAN PARIWARA EDUKASI
Tim MGMP Matematika. .......... Matematika IPA Kelas XII untuk SMA dan MA. .....: KARYA PUSTAKA.

ELIPS (IRISAN KERUCUT)

A. Definisi

Definisi 1

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik di mana jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama.

Perhatikan ilustrasi berikut

Misalkan $\color{red}F_{1}$ dan $\color{red}F_{2}$ masing-masing adalah fokus dari elips sebagaimana ilustrasi gambar di atas dengan $\color{red}F_{1}F_{2}=2c$ dan misalkan juga jumlah jarak suatu titik pada elips ke $\color{red}F_{1}$ dan $\color{red}F_{2}$ sama dengan $2a$ ($\color{red}2a$ tetap dan $\color{red}2a>2c>0$)

Ilustrasi bantu dengan lingkaran

Buatlah lingkaran dengan pusat di $\color{red}F_{1}$ dengan $\color{red}r_{1}=a-c$ dan lingkaran kedua dengan pusat di $\color{red}F_{2}$ dengan $\color{red}r_{1}=a+c$ (atau diblaok balik), maka lingkaran di $\color{red}F_{2}$ akan memotong lingkaran di di $\color{red}F_{1}$ pada titik-titik yang yang memenuhi definisi elips tersebut di atas.

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\: \: F_{1}F_{2}=2c=6\: \: (c=3)\\ &\qquad\qquad\textrm{dan}\: \: 2a=8\: \: (a=4)\\ &\textrm{Dengan}\\ &a-c=4-3=1\: \: \textrm{dan}\: \: a+c=4+3=7\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}\hline \color{red}r_{1}&1&2&3&4&5&6&7\\\hline \color{red}r_{2}&7&6&5&4&3&2&1\\\hline \end{array} \end{aligned}$.

Hal-hal yang berkaitan dengan elips.

$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \color{red}\textrm{Sumbu Simetri (Sb)}&\textrm{Sb. Utama}&\textrm{Sb. Sekawan}\\ &A_{1}A_{2}&B_{1}B_{2}\\\hline \color{red}\textrm{Titik Pusat}&O&O\\\hline \color{red}\textrm{Latus rectum}&\begin{aligned}&\textrm{Garis melalui}\\ &F_{1}\: \: \textrm{dan tegak}\\ &\textrm{lurus sumbu}\\ &\textrm{utama, yaitu}\\ &L_{1}L_{1}' \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Garis melalui}\\ &F_{2}\: \: \textrm{dan tegak}\\ &\textrm{lurus sumbu}\\ &\textrm{utama, yaitu}\\ &L_{2}L_{2}' \end{aligned}\\\hline \color{red}\textrm{Keterkaitan}\: \color{black}a,b,c&\begin{aligned}&a^{2}=b^{2}+c^{2} \end{aligned}&a^{2}=b^{2}+c^{2}\\\hline \end{array}$.

Sebagai catatan pada elips ada dua sumbu simetri, yaitu sumbu utama dan sumbu sekawan. Sumbu utama juga disebut sebagai sumbu mayor atau sumbu panjang atau sumbu transversal dan sumbu ini berpotongan dengan elips di titik $\color{red}A_{1}$ dan $\color{red}A_{2}$ yang selanjutnya masing-masing disebut sebagai pucak dari elips tersebut. Adapun sumbu yang satunya adalah sumbu sekawan atau sumbu minor atau sumbu pendek atau sumbu konjungsi yaitu sumbu simetri yang melalui titik tengah $\color{red}F_{1}F_{2}$ dan tegak lurus dengan $\color{red}F_{1}F_{2}$ serta sumbu ini berpotongan dengan elips di titik $\color{red}B_{1}$ dan $\color{red}B_{2}$.

B. Persamaan Elips

Persamaan Elips berpusat di O(0,0) dan (p,q)

$\LARGE\begin{array}{|c|}\hline \begin{aligned}&\color{red}\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\ &\qquad\textrm{atau}\\ &\color{red}b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2} \end{aligned} \\\hline \end{array}$.

Perhatikan gambar pertama di atas

$\begin{aligned}&PF_{1}+PF_{2}=2a\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2a\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\\ &\Leftrightarrow (x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +(x+c)^{2}+y^{2}\\ &\Leftrightarrow x^{2}-2cx+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad +x^{2}+2cx+y^{2}\\ &\Leftrightarrow 4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=4a^{2}+4cx\\ &\Leftrightarrow a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=a^{2}+cx\\ &\Leftrightarrow a^{2}((x+c)^{2}+y^{2})=a^{4}+2a^{2}cx+c^{2}x^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}x^{2}+2a^{2}cx+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}+2a^{2}cx+c^{2}x^{2}\\ &\Leftrightarrow (a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})\\ &\Leftrightarrow \color{red}b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\\ &\Leftrightarrow \color{red}\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \end{aligned}$.

Eksentrisitas dan Persamaan direktris

Perhatikan ilustrasi berikut

Perhatikan tabel berikut

$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \qquad\textrm{Elips}&\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1&\displaystyle \frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}=1\\\hline \textrm{Pusat}&(0,0)&(p,q)\\\hline \textrm{Puncak}&\begin{aligned}&(a,0),(-a,0),\\ &(0,b),(0,-b) \end{aligned}&\begin{aligned}&(p+a,q),(p-a,q),\\ &(p,q+b),(p,q-b) \end{aligned}\\\hline \textrm{Fokus}&\begin{aligned}&(c,0),(-c,0)\\ &\textrm{dengan}\\ &c=\sqrt{a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}} \end{aligned}&\begin{aligned}&(p+c,q)\\ &\textrm{dan} \\ &(p-c,q) \end{aligned}\\\hline \textrm{Eksentrisitas}&e=\displaystyle \frac{c}{a}&e=\displaystyle \frac{c}{a}\\\hline \textrm{Direktis}&\begin{aligned}&x=\pm \displaystyle \frac{a}{e}\\ &\textrm{atau}\\ &x=\pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c} \end{aligned}&\begin{aligned}&x=p\pm \displaystyle \frac{a}{e}\\ &\textrm{atau}\\ &x=p\pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Sumbu}\\ &\textrm{utama} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Sumbu-X}\\ &\textrm{atau}\quad y=0 \end{aligned}& y=q \\\hline \begin{aligned}&\textrm{Sumbu}\\ &\textrm{sekawan} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Sumbu-Y}\\ &\textrm{atau}\quad x=0 \end{aligned}&x=p\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Panjang}\\ &\textrm{sumbu}\\ &\textrm{utama} \end{aligned}&2a&2a\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Panjang}\\ &\textrm{sumbu}\\ &\textrm{sekawan} \end{aligned}&2b&2b\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Latus}\\ &\textrm{rectum} \end{aligned}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}\\\hline \end{array}$.

Perhatikan pula ilustrasi berikut

$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \qquad\textrm{Elips}&\displaystyle \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1&\displaystyle \frac{(x-p)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}=1\\\hline \textrm{Pusat}&(0,0)&(p,q)\\\hline \textrm{Puncak}&\begin{aligned}&(0,a),(0,-a),\\ &(b,0),(-b,0) \end{aligned}&\begin{aligned}&(p,q+a),(p,q-a),\\ &(p+b,q),(p-b,q) \end{aligned}\\\hline \textrm{Fokus}&\begin{aligned}&(0,c),(0,-c)\\ &\textrm{dengan}\\ &c=\sqrt{a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}} \end{aligned}&\begin{aligned}&(p,q+c)\\ &\textrm{dan} \\ &(p,q-c) \end{aligned}\\\hline \textrm{Eksentrisitas}&e=\displaystyle \frac{c}{a}&e=\displaystyle \frac{c}{a}\\\hline \textrm{Direktis}&\begin{aligned}&y=\pm \displaystyle \frac{a}{e}\\ &\textrm{atau}\\ &y=\pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c} \end{aligned}&\begin{aligned}&y=q\pm \displaystyle \frac{a}{e}\\ &\textrm{atau}\\ &y=q\pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Sumbu}\\ &\textrm{utama} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Sumbu-Y}\\ &\textrm{atau}\quad x=0 \end{aligned}& x=p \\\hline \begin{aligned}&\textrm{Sumbu}\\ &\textrm{sekawan} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Sumbu-X}\\ &\textrm{atau}\quad y=0 \end{aligned}&y=q\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Panjang}\\ &\textrm{sumbu}\\ &\textrm{utama} \end{aligned}&2a&2a\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Panjang}\\ &\textrm{sumbu}\\ &\textrm{sekawan} \end{aligned}&2b&2b\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Latus}\\ &\textrm{rectum} \end{aligned}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan koordinat pusat, puncak, fokus,}\\ &\textrm{sb. mayor, sb. minor, direktris, eksentrisitas}\\ &\textrm{dan panjang latus rektum dari elips}\\ &9x^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\quad 9x^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\displaystyle \frac{x^{\displaystyle 2}}{16}+\frac{y^{\displaystyle 2}}{9}=1\\ &\begin{aligned}&\bullet \quad a^{\displaystyle 2}=16\Longrightarrow a=4\\ &\bullet \quad b^{\displaystyle 2}=9\Longrightarrow b=3\\ &\bullet \quad c^{\displaystyle 2}=a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}=16-9=7\Longrightarrow c=\sqrt{7}\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\ast \quad \textrm{koordinat pusat}:(0,0)\\ &\ast \quad \textrm{koordinat puncak}:(\pm 4,0),(0,\pm 3)\\ &\ast \quad \textrm{koordinat fokus}:(\sqrt{7},0),(-\sqrt{7},0)\\ &\ast \quad \textrm{sumbu mayor}:2a=2.4=8\\ &\ast \quad \textrm{sumbu minor}:2b=2.3=6\\ &\ast \quad \textrm{direktris}:x=\displaystyle \pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c}=\frac{16}{\sqrt{7}}=\frac{16}{7}\sqrt{7}\\ &\ast \quad \textrm{eksentrisitas}:\displaystyle \frac{c}{a}=\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{1}{4}\sqrt{7}\\ &\ast \quad \textrm{latus rektum}:\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}=\displaystyle \frac{18}{4}=\frac{9}{2}\\ \end{aligned} \end{array}$.

Berikut sketsa gambarnya

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan koordinat pusat, puncak, fokus,}\\ &\textrm{sb. mayor, sb. minor, direktris, eksentrisitas}\\ &\textrm{dan panjang latus rektum dari elips}\\ &16x^{\displaystyle 2}+9y^{\displaystyle 2}=144\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\quad 16x^{\displaystyle 2}+9y^{\displaystyle 2}=144\\ &\displaystyle \frac{x^{\displaystyle 2}}{9}+\frac{y^{\displaystyle 2}}{16}=1\\ &\begin{aligned}&\bullet \quad a^{\displaystyle 2}=16\Longrightarrow a=4\\ &\bullet \quad b^{\displaystyle 2}=9\Longrightarrow b=3\\ &\bullet \quad c^{\displaystyle 2}=a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}=16-9=7\Longrightarrow c=\sqrt{7}\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\ast \quad \textrm{koordinat pusat}:(0,0)\\ &\ast \quad \textrm{koordinat puncak}:(0,\pm 4),(\pm 3,0)\\ &\ast \quad \textrm{koordinat fokus}:(0,\sqrt{7}),(0,-\sqrt{7})\\ &\ast \quad \textrm{sumbu mayor}:2a=2.4=8\\ &\ast \quad \textrm{sumbu minor}:2b=2.3=6\\ &\ast \quad \textrm{direktris}:y=\displaystyle \pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c}=\frac{16}{\sqrt{7}}=\frac{16}{7}\sqrt{7}\\ &\ast \quad \textrm{eksentrisitas}:\displaystyle \frac{c}{a}=\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{1}{4}\sqrt{7}\\ &\ast \quad \textrm{latus rektum}:\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}=\displaystyle \frac{18}{4}=\frac{9}{2}\\ \end{aligned} \end{array}$.

Berikut ilustrasi sketsa gambarnya

CONTOH SOAL 8 LINGKARAN (TERKAIT HUBUNGAN DUA LINGKARAN)

$\begin{array}{ll}\\ 36.&\textrm{Persamaan lingkaran yang menyinggung}\\ &\textrm{sumbu X serta melalui titik potong}\\ &\textrm{lingkaran}\: \: (x+1)^{2}+(y+2)^{2}=1\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}+3x+3y+4=0\: \: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-4x+2y+4=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-4x+2y-4=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}-4x-2y-4=0\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}+4x+2y+4=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+4x+2y-4=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}:\: \: L_{3}=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &\textrm{dengan}\\ &\bullet \: L_{1}=(x+1)^{2}+(y+2)^{2}=1\\ &\qquad \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+4y+4=0\\ &\bullet \: L_{2}=x^{2}+y^{2}+3x+3y+4=0\\ &\textrm{Untuk}\: \: L_{1}-L_{2}=-x+y=0\Leftrightarrow y=x\\ &\color{blue}\textrm{Dengan cara coba-coba, maka}\\ &\begin{aligned}L_{3}&=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &=x^{2}+y^{2}+2x+4y+4+p(-x+y)=0\\ &\color{blue}\textrm{Untuk}\: \: p=1\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+4y+4+(-x+y)=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+x+5y+4=0\\ &\color{blue}\textrm{Untuk}\: \: p=-1\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+4y+4-(-x+y)=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+3x+3y+4=0\\ &\color{blue}\textrm{Dan untuk}\: \: p=-2\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+4y+4-2(-x+y)=0\\ &\Leftrightarrow \color{red}x^{2}+y^{2}+4x+2y+4=0 \end{aligned} \end{aligned}\\ &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnyanya} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

Kartini, Suprapto, Subandi, dan Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
Kanginan M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU
Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.