Lanjutan Materi Elips

Elips

A. Definisi

Definisi 1

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik di mana jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama.

Perhatikan ilustrasi berikut

Misalkan $F_1$  dan  $F_2$ masing-masing adalah fokus dari elips sebagaimana ilustrasi gambar di atas dengan $F_1{F}_2=2c$ dan misalkan juga jumlah jarak suatu titik pada elips ke $F_1$  dan  $F_2$ sama dengan $2a$ ($2a$ tetap dan $2a>2c>0$)

Ilustrasi bantu dengan lingkaran

Buatlah lingkaran dengan pusat di $F_1$ dengan $r_1=a-c$ dan lingkaran kedua dengan pusat di $F_2$ dengan $r_1=a+c$ (atau diblaok balik), maka lingkaran di $F_2$ akan memotong lingkaran di di $F_1$ pada titik-titik yang yang memenuhi definisi elips tersebut di atas.

$\begin{array}{rl}& \text{Misalkan}{F}_1{F}_2=2c=6(c=3)\\ & \text{dan}2a=8(a=4)\\ & \text{Dengan}\\ & a-c=4-3=1\text{dan}a+c=4+3=7\\ & \text{Sehingga}\\ & \begin{array}{|cccccccc|}\hline r_1& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ r_2& 7& 6& 5& 4& 3& 2& 1\\ \hline\end{array}\end{array}$.

Hal-hal yang berkaitan dengan elips.

$\begin{array}{|lcc|}\hline \text{Sumbu Simetri (Sb)}& \text{Sb. Utama}& \text{Sb. Sekawan}\\ & A_1{A}_2& B_1{B}_2\\ \text{Titik Pusat}& O& O\\ \text{Latus rectum}& \begin{array}{rl}& \text{Garis melalui}\\ & F_1\text{dan tegak}\\ & \text{lurus sumbu}\\ & \text{utama, yaitu}\\ & L_1{L}_1^{\prime }\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Garis melalui}\\ & F_2\text{dan tegak}\\ & \text{lurus sumbu}\\ & \text{utama, yaitu}\\ & L_2{L}_2^{\prime }\end{array}\\ \text{Keterkaitan}a,b,c& \begin{array}{rl}& a^2=b^2+c^2\end{array}& a^2=b^2+c^2\\ \hline\end{array}$.

Sebagai catatan pada elips ada dua sumbu simetri, yaitu sumbu utama dan sumbu sekawan. Sumbu utama juga disebut sebagai sumbu mayor atau sumbu panjang atau sumbu transversal dan sumbu ini berpotongan dengan elips di titik $A_1$ dan $A_2$ yang selanjutnya masing-masing disebut sebagai pucak dari elips tersebut. Adapun sumbu yang satunya adalah sumbu sekawan atau sumbu minor atau sumbu pendek atau sumbu konjungsi yaitu sumbu simetri yang melalui titik tengah $F_1{F}_2$ dan tegak lurus dengan $F_1{F}_2$ serta sumbu ini berpotongan dengan elips di titik $B_1$ dan $B_2$.

Definisi 2

Elips adalah kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke titik tertentu...

B. Persamaan Elips

B. 1 Persamaan Elips berpusat di O(0,0)

$\begin{array}{|c|}\hline \begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\\ & \text{atau}\\ & b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2\end{array}\\ \hline\end{array}$.

Perhatikan gambar pertama di atas

$\begin{array}{rl}& P{F}_1+P{F}_2=2a\\ & \iff \sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=2a\\ & \iff \sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}\\ & \iff (x-c{)}^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}\\ & +(x+c{)}^2+y^2\\ & \iff x^2-2cx+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}\\ & +x^2+2cx+y^2\\ & \iff 4a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=4a^2+4cx\\ & \iff a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=a^2+cx\\ & \iff a^2((x+c{)}^2+y^2)=a^4+2a^{2}cx+c^2{x}^2\\ & \iff a^2{x}^2+2a^{2}cx+a^2{c}^2+a^2{y}^2=a^4+2a^{2}cx+c^2{x}^2\\ & \iff (a^2-c^2)x^2+a^2{y}^2=a^2(a^2-c^2)\\ & \iff b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2\\ & \iff {\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\end{array}$.

Eksentrisitas dan Persamaan direktris

Perhatikan ilustrasi berikut

Berlatih Ketaksamaan

Matematika Peminatan Kelas X

Materi dan Contoh Soal Matematika Wajib Kelas X, XI, XII Tahun 2022

 A. Kelas X (Sepuluh)

A. 1 Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dari Bentuk Linear Satu Variabel

• materi persamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 
• materi pertidaksamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , 

A. 2 Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Variabel

• materi pertidaksamaan rasional dan irasional satu variabel
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , 

A. 3 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

• materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
• lanjutan materi SPLTV
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 

A. 4 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linear-Linear

• materi sistem pertidaksamaan dua variabel linear-linear
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 

A. 5 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linear dan Kuadrat

• materi 1, materi 2, materi 3, 
• contoh Soal 1.

A. 6 Fungsi

• materi pendahuluan, domain-kodomain-range fungsi, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, 

A. 7 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

• materi fungsi komposisi dan fungsi invers
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5

A. 8 Rasio Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

• materi trigonometri awal
• perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

A. 9 Rasio Trigonometri Sudut-Sudut diberbagai Kuadran

• koordinat kartesius, koordinat kutub serta sudut-sudut di berbagai kuadran

A. 10 Aturan Sinus dan Cosinus

• aturan sinus
• aturan cosinus (bagian 1), aturan cosinus (bagian 2)
• contoh soal

B. Kelas XI (Sebelas)

B. 1 Program Linear

• materi program linear
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 

B. 2 Matriks

• materi matriks 
• lanjutan materi 1
• lanjutan materi 2
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 

B. 3 Determinan dan Invers Matriks Ordo 2x2

• materi determinan
• materi invers matriks ordo 2x2
• contoh soal 4 , contoh 5 , contoh 6 

B. 4 Transformasi Geometri

• materi
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5.

B. 5 Pola Bilangan dan Jumlah pada Barisan Aritmetika dan Geometri

• materi pola bilangan - induksi matematika
• pola bilangan dan barisan serta deret aritmetika
• pola bilangan dan barisan serta deret geometri 
• berikut contoh soal induksi matematika dan pola bilangan
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5
• materi barisan dan deret aritmetika (hitung)
• lanjutan materi barisan dan deret geometri (ukur)
• berikut contoh soalnya
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5.

B. 6 Limit Fungsi Aljabar

• materi
• contoh soal 1, contoh 2, 

B. 7 Turunan Fungsi Aljabar

• materi turunan fungsi aljabar
• bentuk umum turunan aljabar
• sifat turunan pertama dan aturan rantai
• aturan rantai pada turunan pertama dan kedua
• penggunaan turunan fungsi
• menyelesaikan masalah terkait keekstriman fungsi
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4

B. 8 Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

• materi pendahuluan
• teknik pengintegralan (dengan teknik substitusi)
• teknik pengintegralan (dengan integral parsial dan atau Tanzalin)
• penggunaan integral tak tentu
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4.

Tambahan/Pengayaan

Integral Tentu Fungsi Aljabar

• materi fungsi aljabar
• penggunaan inetgral tentu fungsi aljabar
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8.

C. Kelas XII (Dua Belas)

C. 1 Jarak dalm Ruang

• Geometri ruang
• Lanjutan materi 1, lanjutan materi 2, lanjutan materi 3, lanjutan materi 4, lanjutan materi 5.
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 

Statistika

• materi statistika, penyajian data dalam bentuk diagram.
• ukuran pemusatan data. ukuran letak data 1, ukuran letak data 2, ukuran letak data 3, interpolasi linear, ukuran penyebaran data 1, ukuran penyebaran data 2, koefisien variansi
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13

C. 3 Aturan Pencacahan

• materi pendahuluan(kombinatorial dan percobaan), kaidah pencacahan(kaidah perkalian), faktorial-permutasi-kombinasi, 
• contoh soal 1 permutasi-kombinasi, contoh 2, contoh 3, 
• materi Binomial Newton (pengayaan), fungsi pembangkit untuk kombinasi (pengayaan), 
• contoh soal 1 (kaidah pencacahan), contoh 2, contoh 3,

C. 4 Peluang Kejadian Majmuk

• materi pendahuluan (percobaan, ruang sampel, dan kejadian), peluang kejadian tunggal dan frekuensi harapan, peluang kejadian majmuk (peluang komplemen, dua kejadian saling bebas, dua kejadian tidak saling bebas), kejadian saling lepas, kejadian tidak saling lepas, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, 

Materi dan Contoh Soal Matematika Peminatan Kelas X, XI, XII Tahun 2022

 A. Kelas X (Sepuluh)

A. 1 Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritma

• materi eksponen 1, materi fungsi eksponen 2, lanjutan fungsi eksponen, lanjutan materi 2 fungsi ekponen, lanjutan materi 3 fungsi eksponen, 
• contoh soal eksponen 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10 
• materi logaritma 
• materi logaritma lanjutan
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
• materi logaritma lanjutan 2
• materi persamaan logaritma 1, persamaan 2, persamaan 3, persamaan 4, persamaan 5. aplikasi logaritma, pengayaan (operasi logaritma natural)
• contoh soal 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13.

A. 2 Vektor

• materi vektor, operasi vektor, vektor di dimensi dua, perkalian skalar dua vektor, proyeksi ortogonal suatu vektor, vektor dimensi tiga, lanjutan vektor dimensi tiga, operasi vektor berdimensi tiga, lanjutan 1 operasi vektor berdimensi tiga, lanjutan 2 operasi vektor berdimensi tiga, proyeksi orthogonal suatu vektor di dimensi tiga, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, (urutan) contoh soal 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8, contoh 9, contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13.

B. Kelas XI (Sebelas)

B. 1 Persamaan Trigonometri

• materi persamaan trigonometri, identitas trigonometri, menentukan nilai perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, relasi sudut, persamaan trigonometri sederhana.
• lanjutan materi 1 , materi 2 , materi 3
• materi baru
• persamaan tigonometri: identitas trigonometri, menentukan nilai perbandingan trigonometri, sudut-sudut berelasi, persamaan trigonometri sederhana, persamaan bentuk a sin x + b cos x=c, grafik fungsi trigonometri, 
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
• soal tengah semester gasal : contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4,

B. 2 Rumus Jumlah dan Selisih

• rumus jumlah dan selisih 1
• rumus jumlah dan selisih 2
• materi terbaru : rumus jumlah dan selisih dudut sinus, cosinus, tangen, rumus sudut rangkap/ganda, sudut paruh/tengahan, rumus perkalian sinus dan cosinus, rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus, 
• soal persiapan menghadapi semester gasal: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.

B. 3 Persamaan Lingkaran

• materi lingkaran, kedudukan titik terhadap lingkaran, kedudukan garis terhadap lingkaran, persamaan garis singgung lingkaran, hubungan dua lingkaran
• contoh soal 1, contoh  2, contoh 3, contoh 4. Contoh 5 (Hubungan Dua Lingkaran), Contoh 6, Contoh 7, Contoh 8

B. 4 Polinom

• materi pendahuluan, operasi polinom, metode Horner-Kino (materi lanjutan operasi polinom) teorema sisa dan teorema faktor, persamaan polinom
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8, contoh 9

C. Kelas XII (Duabelas)

C. 1 Limit Fungsi Trigonometri

• limit fungsi trigonometri (materi lama-perkenalan dengan limit fungsi aljabar), lanjutan materi lama, lanjutan rumus dasar limit trigonometri, 
• materi pendahuluan limit, menentukan nilai limit fungsi trigonometri, pembuktian teorema apit (identitas limit fungsi trigonometri), limit fungsi trigonometri di tak hingga,
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5,
• materi limit diketakhinggan.
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5,

C.2 Turunan Fungsi Trigonometri

• materi turunan fungsi trigonometri
• lanjutan materi 
• contoh soal  (bagaian 1)
• lanjutan materi 2 
• lanjutan materi 3
• lanjutan materi 4 (sifat-sifat turunan)
• lanjutan materi 5
• contoh soal 1 (bagain 2) , contoh 2 , contoh 3 contoh 4 , contoh 5
• lanjutan materi 6 (persamaan garis singgung kurva)-turunan pertama
• lanjutan materi 7 (fungsi naik dan fungsi turun)-turunan pertama
• lanjutan materi 8 (nilai stasioner)-turunan pertama
• lanjutan materi 9 (aplikasi nilai stasioner)-turunan pertama
• contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9
• turunan kedua fungsi trigonometri (Fungsi naik dan fungsi turun, titik belok serta selang kecekungan)
• contoh 10 , contoh 11 , contoh 12 , contoh 13

C.3 Distribusi peluang binomial

• materi distribusi binomial, distribusi peluang diskrit, 
• contoh soal 1, contoh 2, 
• distribusi peluang kontinu, Binomial Newton,
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3,

C.4 Distribusi normal

• materi disribusi normal
• materi transformasi suatu variabel random berdistribusi normal
• uji hipotesis
• contoh soal 1, contoh 2. contoh 3.

Persiapan Memasuki Tahun Ajaran Baru - Mapel Matematika 2022