PAS MATEMATIKA BLOG

$\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Nama}&\textbf{R}^{3}\\\hline \textrm{Vektor Satuan}&\textrm{Ruang (Bidang XYZ)}\\\hline \hat{e}_{\bar{a}}=\displaystyle \frac{\bar{a}}{\left | \bar{a} \right |}&\begin{cases} i= &\textrm{vektor satuan} \\ &\textrm{yang searah sumbu X}\\ j= &\textrm{Vektor satuan}\\ &\textrm{yang searah sumbu Y}\\ k=&\textrm{Vektor satuan}\\ &\textrm{searah sumbu Z} \end{cases} \\\hline \textrm{Vektor nol}&\overrightarrow{O}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\\\hline \textrm{Vektor posisi}&\overrightarrow{OP}=\vec{p}=\begin{pmatrix} p_{1}\\ p_{2}\\ p_{3} \end{pmatrix}=p_{1}\bar{i}+p_{2}\bar{j}+p_{3}\bar{j}\\\hline \textrm{Besar Vektor}&\overrightarrow{OP}=\sqrt{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}\\\hline \end{array}$

$\color{blue}\textrm{B. Operasi Vektor}$

$\color{blue}\textrm{1. Sifat-Sifat Aljabar Vektor}$

$\begin{array}{|l|l|l|}\hline 1.&\textrm{Komutatif penjumlahan}&\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\\\hline 2.&\textrm{Asosiatif penjumlahan}&\left ( \vec{a}+\vec{b} \right )+\vec{c}=\vec{a}+\left ( \vec{b}+\vec{c} \right )\\\hline 3.&\textrm{Elemen Identitas}&\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}\\\hline 4.&\textrm{Invers Penjumlahan}&\vec{a}+\left ( -\vec{a} \right )=\left ( -\vec{a} \right )+\vec{a}=\vec{0}\\\hline 5.&\textrm{Perkalian dengan skalar}&k\left ( l\vec{a} \right )=\left ( kl \right )\vec{a}\\ &&k\left ( \vec{a}+ \vec{b} \right )=k\vec{a}+k\vec{b}\\ &&k\left ( \vec{a}- \vec{b} \right )=k\vec{a}-k\vec{b}\\\hline 6.&\begin{aligned}&\textrm{Jika A, B, dan C segaris }\\ &\color{blue}\textrm{(Kolinear)} \end{aligned}&\begin{cases} \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB} \\ dll \end{cases}\\\hline \end{array}$.

$\begin{array}{|c|c|}\hline \color{blue}\textrm{Vektor}&\color{blue}\textrm{Contoh}\\\hline \vec{z}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}&\begin{aligned}&\textrm{diketahui}\: \: \vec{p}=\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k}\\ &\textrm{maka pangjang vektor}\: \: \vec{p}\: \: \textrm{adalah}\\ &\left | \vec{p} \right |=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}\\ &\quad\: \: =\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3 \end{aligned}\\\hline &\begin{aligned}&\textrm{Vektor satuan dari}\: \: \vec{p}\: \: \textrm{adalah}\\ &\vec{e}_{\vec{p}}=\frac{\vec{p}}{\left | \vec{p} \right |}=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 2 \end{pmatrix}}{3}\\ &=\displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 2 \end{pmatrix}=\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui vektor-vektor}\: \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -4 \end{pmatrix}\\ &\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} -3\\ -5\\ 2 \end{pmatrix},\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{c}=\begin{pmatrix} 7\\ 0\\ 4 \end{pmatrix},\\ & \textrm{tentukanlah hasil dari}\\ &\textrm{a}.\quad \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\\ &\textrm{b}.\quad 6\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\\ &\textrm{c}.\quad 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{3}{4}\overrightarrow{b}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}\quad&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3\\ -5\\ 2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2+(-3)\\ 1+(-5)\\ (-4)+2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2-3\\ 1-5\\ -4+2 \end{pmatrix}=\color{red}\begin{pmatrix} -1\\ -4\\ -2 \end{pmatrix}\\ \textrm{b}.\quad&6\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=6\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -4 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} -3\\ -5\\ 2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 18-6\\ 6-10\\ -24+4 \end{pmatrix}=\color{red}\begin{pmatrix} 12\\ -4\\ -20 \end{pmatrix}\\ \textrm{c}.\quad&2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\\ &2\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3\\ -5\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 7\\ 0\\ 4 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 4+3+7\\ 2+5+0\\ -8-2+4 \end{pmatrix}=\color{red}\begin{pmatrix} 17\\ 7\\ -6 \end{pmatrix}\\ \textrm{d}.\quad&\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{3}{4}\overrightarrow{b}=\cdots \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui vektor-vektor}\: \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -4 \end{pmatrix}\\ &\textrm{tentukanlah}\: \: \left | \overrightarrow{a} \right |\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\left | \overrightarrow{a} \right |&=\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-4)^{2}}\\ &=\sqrt{4+1+16}\\ &=\color{red}\sqrt{21} \end{aligned} \end{array}$

$\color{blue}\textrm{2. Perkalian Skalar Dua Vektor}$

Konsep perkalian skalar dua buah vektor di ruang sama persis dengan konsep di bidang, yaitu:

$\color{red}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left | \overrightarrow{a} \right |\left | \overrightarrow{b} \right |\cos \theta$.

Misalkan diketahui

$\color{red}\begin{aligned}&\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{pmatrix}, \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix},\: \: \color{black}\textrm{maka}\\ & \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =\color{black}\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix}\\ &\qquad\quad =\color{black}a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: t\: \: \textrm{jika}\\ & \overrightarrow{p}=3\bar{i}+t\bar{j}+\bar{k}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{p}=13\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{p}=13\\ &\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{p}=\left | \overrightarrow{p} \right |\left | \overrightarrow{p} \right |\cos 0^{\circ}=13,\\ &\qquad\qquad \color{blue}\textrm{ingat bahwa}\: \: \angle \left ( \overrightarrow{p},\overrightarrow{p} \right )=0^{\circ}\\ &\qquad\qquad \color{blue}\textrm{dan nilai}\: \: \cos 0^{\circ}=1,\\ & \color{black}\textrm{maka}\\ &\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{p}=\left | \overrightarrow{p} \right |^{2}.1=13\Leftrightarrow \left | \overrightarrow{p} \right |^{2}=13\\ &\Leftrightarrow \left (\sqrt{3^{2}+t^{2}+1^{2}} \right )^{2}=13\\ &\Leftrightarrow 3^{2}+t^{2}+1^{2}=13\\ &\Leftrightarrow 9+t^{2}+1=13\\ &\Leftrightarrow t^{2}=13-9-1=10\\ &\Leftrightarrow t^{2}=3\\ &\Leftrightarrow t=\color{red}\pm \sqrt{3} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Diketahui}\: \: \overrightarrow{p}=\begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{q}=\begin{pmatrix} 4\\ -1\\ t \end{pmatrix}\\ &\textrm{Jika}\: \: \overrightarrow{p}\: \: \textrm{tegak lurus}\: \: \overrightarrow{q}\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{tentukanlah nilai}\: \: t\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\overrightarrow{p}=\begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{q}=\begin{pmatrix} 4\\ -1\\ t \end{pmatrix}\\ &\textrm{dengan}\: \: \overrightarrow{p}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{q}\: \: \textrm{tegak lurus}\\ &\textrm{artinya}\: \: \color{blue}\angle \left ( \overrightarrow{p},\overrightarrow{q} \right )=90^{\circ}.\: \color{black}\textrm{Sehingga}\\ &\textrm{nilai}\: \: \color{blue}\cos 90^{\circ}=0\\ &\textrm{maka}\\ &\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=\left | \overrightarrow{p} \right |\left | \overrightarrow{q} \right |\cos \theta \\ &\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=\left | \overrightarrow{p} \right |\left | \overrightarrow{q} \right |\cdot 0=0\\ &\Leftrightarrow \: \begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4\\ -1\\ t \end{pmatrix}=0\\ &\Leftrightarrow \: (-2)(4)+(1)(-1)+(3)(t)=0\\ &\Leftrightarrow \: -8-1+3t=0\\ &\Leftrightarrow \: 3t=9\\ &\Leftrightarrow \: t=\color{red}3 \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Persektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT TIGA SERANGKAI MANDIRI.

Polinom

$\color{blue}\textrm{A. Pendahuluan}$

Polinom disebut juga suku banyak. Polinom atau suku banyak adalah suatu bentuk variabel yang berpangkat/berderajat.

Secara definisi suku banyak (polinomial) dalam $x$ berderajat $n$ adalah:

Suatu bentuk

$\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}$

dengan $n$ bilangan cacah serta $a_{0},\: a_{1},\: a_{2},\: ...,\: a_{n}$ koefisien dari suku $x$ dan $a_{n}\neq 0$ dengan $a_{0}$ sebagai suku tetap (konstan)nya.

Selanjutnya perhatikanlah tabel berikut!

$\color{red}\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}a_{n}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{n}\\ a_{n-1}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{n-1}\\ a_{n-2}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{n-2}\\ \vdots &\\ a_{2}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{2}\\ a_{1}&\: \: \textrm{adalah koefisien dari} \: \: x^{1}\\ a_{0}&\: \: \textrm{adalah konstanta} \\ &(\textrm{suku tetap}) \end{aligned}&\begin{aligned}a_{n}\: &\: \neq 0\\ n:&\: \: \textrm{bilangan cacah},\\ :&\: \: \textrm{adalah derajat (pangkat)} \\ &\: \: \textrm{tertinggi dalam suku} \\ &\: \: \textrm{banyak tersebut}&\\ &\\ &\\ &\end{aligned}\\\hline \end{array}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 1}$

$\begin{aligned}1.\quad&\textrm{Polinom}\: \: \color{red}2x^{3}-6x^{2}+2020\: \: \color{black}\textrm{dapat dinyatakan}\\ &\textrm{dengan}\: \: \: \color{blue}2x^{3}-6x^{2}+0x^{1}+2020x^{0}\\ &\textrm{Polinom tersebut memiliki suku tetap}\: \: 2020\\ 2.\quad&\textrm{Polinom}\: \: \color{red}5x^{4}-8x^{3}+6x-2021 \: \: \color{black}\textrm{dapat dinyatakan}\\ &\textrm{dengan}\: \: \: \color{blue}5x^{4}-8x^{3}+0x^{2}+6x^{1}-2021x^{0}\\ &\textrm{Polinom tersebut memiliki suku tetap}\: \: -2021\\ 3.\quad&\textrm{Polinom}\: \: \color{red}x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-2\sqrt{x}+1 \: \: \color{black}\textrm{tidak dapat}\\ &\textrm{dinamakan polinom, sebab ada variabel dari}\: \: \: \color{blue}x\\ &\textrm{yang berderajat bukan bilangan cacah}\\ 4.\quad&\textrm{Sedangkan polinom}\: \: \color{red}5-x+(2-x)(1+x+x^{2})\\ &\textrm{adalah bentuk polinom, karena dapat dinayatakan}\\ &\textrm{dengan}\: \: \: \color{blue}-x^{3}+x^{2}+7 \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{B. Nilai Polinom}$

Polinom atau suku banyak yang berderajat $\color{red}n$ yang selanjutnya dinyatakan dengan

$f(x)=\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{1}x^{1}+a_{0}$

Berkaitan dengan kebutuhan penentuan nilai ini, dapat ditentukan dengan dua cara:

$\textbf{a. Substitusi}$

$\begin{aligned}&\textrm{Nilai suku banyak}\: \: \color{red}f(x)\: \: \textrm{berderajat}\\ &n\: \: \textrm{saat}\: \: \color{red}x = k\: \: \color{black}\textrm{adalah}\: \: \color{blue}f(k).\\ &\textrm{Jika}\: \: f(k)=0\: \: \textrm{maka}\: \: x = k\: \: \textrm{akar dari}\: \: f(x),\\ &\textrm{dan}\: \: (x-k)\: \: \textrm{faktor dari}\: \: f(x)\\ &\end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 2}$

Jika suatu polinom dinyatakan dengan $f(x)$, maka nilai polinom itu untuk $x=3$ adalah $f(3)$.

Misalkan diketahui

$\begin{aligned}1.\quad f(x)&=x^{3}-1\\ \textrm{mak}&\textrm{a}\\ f(1)&=1^{3}-1=1-1=0\\ f(3)&=3^{3}-1=27-1=26\\ f(-4)&=(-4)^{2}-1=-64-1=-65 \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui}\: \: h(x)=2x^{3}+5x^{2}-12x-6\\ &\textrm{Tentukanlah nilai untuk}\: \: h(-2),\: h(-1),\\ &h(0),\: h(1),\: \: \textrm{dan}\: \: h(2)\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|c|l|}\hline \color{red}x=k&\color{red}h(k)&\qquad\qquad\qquad\qquad\color{red}\textrm{Nilai}\\\hline x=-2&h(-2)&\begin{aligned}h(-2)&=2(-2)^{3}+5(-2)^{2}-12(-2)-6\\ &=-16+20+24-6\\ &=22 \end{aligned}\\\hline x=-1&h(-1)&\begin{aligned}h(-1)&=2(-1)^{3}+5(-1)^{2}-12(-1)-6\\ &=-2+5+12-6\\ &=9 \end{aligned}\\\hline x=0&h(0)&\begin{aligned}h(0)&=2(0)^{3}+5(0)^{2}-12(0)-6\\ &=-6 \end{aligned}\\\hline x=1&h(1)&\begin{aligned}h(1)&=2(1)^{3}+5(1)^{2}-12(1)-6\\ &=2+5-12-6\\ &=-11 \end{aligned}\\\hline x=2&h(2)&\begin{aligned}h(2)&=2(2)^{3}+5(2)^{2}-12(2)-6\\ &=16+20-24-6\\ &=6 \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Diketahui}\: \: p(x)=x-2019\\ &\textrm{dan}\: \: q(x)=x^{2019}+1.\: \textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{nilai untuk}\: \: p\left ( q(2) \right )\: \: \textrm{dan}\: \: q\left ( p(2) \right )\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Yang dibahas yang bagian}\: \: p\left ( q(2) \right )\\ &q(2)=2^{2019}+1,\: \textrm{maka nilai}\\ &\begin{aligned}p\left ( q(2) \right )&=\left ( 2^{2019}+1 \right )-2019\\ &=2^{2019}-2018 \end{aligned}\\\\ &\textrm{Untuk yang}\: \: q\left ( p(2) \right )\: \: \textrm{adalah}\\ &p(2)=\cdots , \: \textrm{maka nilai}\\ &\begin{aligned}q\left ( p(2) \right )&=\because \cdots ^{2019}+1\\ &=\cdots \end{aligned} \end{array}$

$\textbf{b. Horner/Sintetik}$

Nilai suatu polinom dapat ditentukan dengan pembagian sintesis Horner

Misalkan:

$\begin{aligned}f(x)&=\color{blue}ax^{3}+bx^{2}+cx+d\: \: \color{black}\textrm{saat akan dibagi}\\ &\color{red}x=h,\: \: \color{black}\textrm{maka pembagian Horner itu}:\\ & \end{aligned}$

Perhatikan bahwa proses ke bawah adalah berup proses penjumlahan.

Proses di atas akan sama saat kita mensubstitusikan $\color{red}x=h$ ke dalam $\color{red}f(x)$, yaitu:

$\begin{aligned}f(x)&=\color{blue}ax^{3}+bx^{2}+cx+d\: \: \textrm{saat}\\ &\color{red}x=h,\: \: \color{black}\textrm{maka}\\ f(\color{red}h\color{black})&=a\color{red}h^{3}\color{black}+b\color{red}h^{2}\color{black}+c\color{red}h\color{black}+d\\ &\\ &\textbf{Cukup JELAS bukan}? \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 3}$

$\begin{array}{l}\\ \textrm{Tentukanlah nilai dari}\: \: f(4)\: \: \textrm{jika}\\ \textrm{diketahui}\: \: f(x)=x^{3}-x-5\\ \textrm{Jawab}:\\ \begin{aligned}(1).\quad&\textrm{Cara substitusi langsung}\\ &f(x)=x^{3}-x-5\\ &f(4)=\color{red}4^{3}-4-5\\ &\qquad=\color{red}64-9=\color{blue}55\\ (2).\quad&\textrm{Cara Horner}\\ &\textrm{Karena}\: \: f(x)=x^{3}-x-5\\ &\textrm{dan koefisiennya yang akan}\\ &\textrm{adalah}:\\ & a_{3}=1,\: a_{2}=0,\: a_{1}=-1,\: \&\: a_{0}=-5\\ &\textbf{maka bagan pembagian Hornernya}\\ &\begin{array}{ll|llllllllll}\\ &\color{red}x=4&1&\color{blue}0&\color{magenta}-1&-5&\\ &&&&&&\\ &&&\color{blue}4&\color{magenta}16&60&+\\\hline &&1&\color{blue}4&\color{magenta}15&55 \end{array} \end{aligned} \end{array}$

PAS MATEMATIKA BLOG

KUMPULAN MATERI SMA/MA KELAS X/FASE E (Bagian 2) Tahun 2024

KUMPULAN MATERI SMA/MA KELAS X/FASE E (Bagian 1)

KUMPULAN MATERI MATEMATIKA PEMINATAN untuk MA Kurtilas Revisi 2018

KUMPULAN MATERI MATEMATIKA WAJIB untuk MA Kurtilas Revisi 2018

Lanjutan Materi Polinom

Lanjutan Vektor di Ruang

Vektor di Ruang

Polinom