Persamaan Kuadrat (Kelas X/Fase E Semester 2)

  Semester Genap

• Persamaan dan Fungsi Kuadrat
• Statistika
• Aturan Pencacahan dan Peluang

A. Persamaan dan Fungsi Kuadrat

A. 1  Bentuk umum persamaan kuadrat

$\begin{array}{rl}& {\mathbf{ax}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{bx}\mathbf{+}\mathbf{c}\mathbf{=}\mathbf{0}\\ & \text{dengan}a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0\end{array}$.

Adapun cara penyelesaian persamaan kuadrat, jika $x_{1}dan{x}_2$ sebagai akar-akarya adalah:

$\begin{array}{|lll|}\hline \mathbf{\text{Pemfaktoran}}& \text{Melengkapkan}& \mathbf{\text{Rumus ABC}}\\ & \mathbf{\text{kuadrat sempurna}}& \\ (1)& (2)& (3)\\ \begin{array}{rl}& a{x}^2+bx+c=0\\ & (x-x_1)(x-x_2)=0\\ & \text{Jika koefisien}{x}^2\\ & \text{lebih dari 1, maka}\\ & \text{ubahlah ke bentuk}\\ & {\displaystyle \frac{1}{a}(ax-x_1)(ax-x_2)}\\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& a{x}^2+bx+c=0\\ & x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0}\\ & x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}}\\ & \mathbf{\text{selanjutnya}}\\ & x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2}\\ & =-{\displaystyle \frac{c}{a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2}\\ & {(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2\\ & ={\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a^2}}\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Dari bentuk 2, kita}\\ & \text{akan mendapatkan}\\ & {(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2\\ & ={\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\ & x-{\displaystyle \frac{b}{2a}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a^2}}}}\\ & x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}}\\ & x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\ & \\ & \end{array}\\ \hline\end{array}$.

A. 2.  Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Pada kondisi ini, akar-akar dari persamaan kuadrat tergantung pada nilai di bawah tanda akar yang selanjutnya dikenal dengan nilai Diskriminan yang selanjutnya disingkat dengan huruf D, dengan nilai $D=b^2-4ac$.

$\begin{array}{|ccl|}\hline \text{No}& \text{Jenis nilai}\mathbf{\text{D}}& \text{Penjelasan nilai}\mathbf{\text{D}}\\ 1& \mathbf{\text{D}}>0& \text{Persamaan kuadrat mempunyai dua akar }\\ & & \text{riil dan}\text{berbeda}\\ 2& \mathbf{\text{D}}=0& \text{Persamaan kuadrat mempunyai dua akar }\\ & & \text{riil dan}\mathit{\text{sama}}\\ 3& \mathbf{\text{D}}<0& \text{Persamaan kuadrat mempunyai dua akar }\\ & & \text{tidak riil dan}\text{berbeda}\\ \hline\end{array}$.

A. 3  Jumlah dan Hasil Kali serta Selisih Akar-Akar Persamaan Kuadrat

$\begin{array}{|ccl|}\hline \text{No}& \text{Kondisi akar-akar}{x}_1\mathrm{\&}{x}_2& \text{Dari posisi}a{x}^2+bx+c=0\\ 1& x_1+x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}& \text{akar-akarnya tidak harus}{x}_1\mathrm{\&}{x}_2\\ & & \text{terkadang dituliskan dengan}\alpha \text{dan}\beta \\ 2& x_1\times x_2={\displaystyle \frac{c}{a}}& \text{Baik rumus jumlah maupun hasil kali}\\ & & \text{Anda juga dapat melihat dari jenis akarnya}\\ 3& x_1-x_2=\left|{\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{a}}\right|& \text{Ingat nilai}D=b^2-4ac\\ \hline\end{array}$.

A. 4.  Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Persamaan kuadrat dengan akar-akar $x_{1}dan{x}_2$  dapat disusun dengan rumus:

$x^2-(x_1+x_2)x+x_1\times x_2=0$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukan kar-akar dari persamaan kuadrat}\\ & (\text{a})x^2-2x-8=0\\ & (\text{b})2x^2-3x-5=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{|cc|}\hline (\mathbf{\text{a}})& (\mathbf{\text{b}})\\ \begin{array}{rl}& x^2-2x-8=0\\ & \iff (x-4)(x+2)=0\\ & \iff x-4=0\text{atau}x+2=0\\ & \iff x=4\text{atau}x=-2\\ & \\ & \\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& 2x^2-3x-5=0\\ & \iff {\displaystyle \frac{(2x-5)(2x+2)}{2}=0}\\ & \iff (2x-5)(x+1)=0\\ & \iff 2x-5=0\text{atau}x+1=0\\ & \iff 2x=5\text{atau}x=-1\\ & \iff x={\displaystyle \frac{5}{2}\text{atau}x=-1}\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Penyelesaian terkecil dari persamaan kuadrat}\\ & (x-{\displaystyle \frac{3}{4}})(x-{\displaystyle \frac{3}{4}})+(x-{\displaystyle \frac{3}{4}})(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)(x-{\displaystyle \frac{3}{4}})+\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})=0\\ & \iff \left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)(x-{\displaystyle \frac{3}{4}+x-\frac{1}{2}})=0\\ & \iff \left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)(2x-{\displaystyle \frac{5}{4}})=0\\ & \iff x-{\displaystyle \frac{3}{4}=0\text{atau}2x-\frac{5}{4}=0}\\ & \iff x={\displaystyle \frac{3}{4}\text{atau}2x=\frac{5}{4}}\\ & \iff x={\displaystyle \frac{6}{8}\text{atau}x=\frac{5}{8}}\end{array}\\ & \text{Jadi, nilai terkecilnya adalah}{\displaystyle \frac{5}{8}}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Jika persamaan}2x^2-3x-14=0\text{mempunyai}\\ & \text{akar-akar}{x}_1\text{dan}{x}_2\text{dengan}{x}_1>x_2,\text{maka}\\ & 2x_1+3x_2\text{adalah}....\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa PK}:2x^2-3x-14=0\\ & \begin{array}{rl}& 2x^2-3x-14=0\iff {\displaystyle \frac{(2x-7)(2x+4)}{2}=0}\\ & \iff (2x-7)(x+2)=0\\ & \iff 2x-7=0\text{atau}x+2=0\\ & x={\displaystyle \frac{7}{2}\text{atau}x=-2}\\ & \text{Karena nilai dari}{x}_1>x_2,\text{maka}\\ & x_1={\displaystyle \frac{7}{2}\text{dan}{x}_2=-2}\end{array}\\ & \text{Sehingga nilai}2x_1+3x_2=2{\displaystyle \frac{7}{2}+3(-2)=7-6=1}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Diketahu}i\alpha \text{dan}\beta \text{adalah akar-akar dari }\\ & \text{persamaan kuadrat}{x}^2-x-2=0,\\ & \text{tentukanlah nilai untuk}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.\alpha +\beta \text{dan}\alpha \beta & \text{e}.{\alpha }^2+{\beta }^2\\ \text{b}.{(\alpha -\beta )}^2& \text{f}.{\alpha }^2-{\beta }^2\\ \text{c}.{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }}& \text{g}.{\displaystyle \frac{1}{\beta -2}+\frac{1}{\alpha -2}}\\ \text{d}.{\displaystyle \frac{1}{\beta }+\frac{1}{\alpha }}& \text{h}.{\displaystyle \frac{\alpha }{{\beta }^2}+\frac{\beta }{{\alpha }^2}}\end{array}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Diketahui}& \text{bahwa}\\ & x^2-x-2=0\{\begin{array}{c}\alpha \\ \\ \beta \end{array}\text{dan}\{\begin{array}{c}a=1\\ b=-1\\ c=-2\end{array}\\ & \end{array}\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \begin{array}{rl}\text{a}.& \alpha +\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{(-1)}{1}=1\\ & \alpha \beta =\frac{c}{a}=\frac{(-2)}{1}=-2\end{array}& \begin{array}{rl}\text{e}.{\alpha }^2+{\beta }^2& ={(\alpha +\beta )}^2-2\alpha \beta \\ & =1^2-2(-2)\\ & =1+4=5\end{array}\\ \begin{array}{rl}\text{b}.{(\alpha -\beta )}^2& =\frac{D}{a^2}\\ & =\frac{b^2-4ac}{a^2}\\ & =\frac{(-1{)}^2-4.(1).(-2)}{(1{)}^2}\\ & =1+8=9\end{array}& \begin{array}{rl}\text{f}.{\alpha }^2-{\beta }^2& =(\alpha +\beta )(\alpha -\beta )\\ & =(1).(9)=9\\ & \\ & \\ & \end{array}\\ \begin{array}{rl}\text{c}.{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }}& =\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{\alpha \beta }\\ & ={\displaystyle \frac{5}{-2}}\\ & =-\frac{5}{2}\\ & \\ & \\ & \end{array}& \begin{array}{rl}\text{g}.{\displaystyle \frac{1}{\beta -2}+\frac{1}{\alpha -2}}& =\frac{(\alpha -2)+(\beta -2)}{(\alpha -2).(\beta -2)}\\ & ={\displaystyle \frac{\alpha +\beta -4}{\alpha \beta -2(\alpha +\beta )+4}}\\ & ={\displaystyle \frac{(-1)-4}{(-2)-2(-1)+4}}\\ & ={\displaystyle \frac{-5}{-2+2+4}}\\ & =-\frac{5}{4}\end{array}\\ \begin{array}{rl}\text{d}.{\displaystyle \frac{1}{\beta }+\frac{1}{\alpha }}& =\frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta }\\ & ={\displaystyle \frac{(-1)}{(-2)}}\\ & =\frac{1}{2}\end{array}& \begin{array}{rl}\text{h}.{\displaystyle \frac{\alpha }{{\beta }^2}+\frac{\beta }{{\alpha }^2}}& =\frac{{\alpha }^3+{\beta }^3}{(\alpha \beta {)}^2}\\ & ={\displaystyle \frac{(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )}{(\alpha \beta {)}^2}}\\ & =....\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Diketahu}ip\text{dan}q\text{adalah akar-akar dari persamaan kuadrat}\\ & x^2+2x-5=0,\text{tentukanlah nilai untuk}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.p^2+q^2& \text{e}.(p-3{)}^2+(q-3{)}^2\\ \text{b}.{\displaystyle \frac{p}{q}+\frac{q}{p}}& \text{f}.p^{2}q+p{q}^2\\ \text{c}.p^3+q^3& \text{g}.(p+q{)}^2-(p-q{)}^2\\ \text{d}.p^3-q^3& \text{h}.(p^3+q^3)-(p^3-q^3)\end{array}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Diketahui}& \text{bahwa}\\ & x^2+2x-5=0\{\begin{array}{c}p\\ \\ q\end{array}\text{dan}\{\begin{array}{c}a=1\\ b=2\\ c=-5\end{array}\\ & \end{array}\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \begin{array}{rl}\text{a}.p^2+q^2& =(p+q{)}^2-2pq\\ & =(-\frac{b}{a}{)}^2-2\left(\frac{c}{a}\right)\\ & ={(-\frac{2}{1})}^2-2\left(\frac{(-5)}{1}\right)\\ & =4+10\\ & =14\end{array}& \begin{array}{rl}\text{e}.& (p-3{)}^2+(q-3{)}^2\\ & =p^2-6p+9+q^2-6q+9\\ & =p^2+q^2-6(p+q)+18\\ & =14-6(-2)+18\\ & =14+12+18\\ & =44\end{array}\\ \begin{array}{rl}\text{b}.{\displaystyle \frac{p}{q}+\frac{q}{p}}& =\frac{p^2+q^2}{pq}\\ & ={\displaystyle \frac{14}{-5}}\\ & =-\frac{14}{5}\end{array}& \begin{array}{rl}\text{f}.p^{2}q+p{q}^2& =pq(p+q)\\ & =(-5)(-2)\\ & =10\\ & \\ & \end{array}\\ \begin{array}{rl}\text{c}.p^3+q^3& =(p+q{)}^3-3pq(p+q)\\ & ={(-\frac{b}{a})}^3-3\left(\frac{c}{a}\right)(-\frac{b}{a})\\ & ={(-\frac{2}{1})}^3-3\left(\frac{(-5)}{1}\right)(-\frac{2}{1})\\ & =-8-30\\ & =-38\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}\text{d}.p^3& -q^3\\ & =(p-q{)}^3+3pq(p-q)\\ & ={\left(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\right)}^{{}^3}+3\left(\frac{c}{a}\right)\left(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\right)\\ & ={\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2^2-4.1.(-5)}}{1}}\right)}^3+3\left(\frac{-5}{1}\right)....\\ & =....\\ & \end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.x^2-2=0& \text{f}.2p^2-5p-12=0\\ \text{b}.x^2+3x-1=0& \text{g}.3q^2-11q+10=0\\ \text{c}.x^2+2x-3=0& \text{h}.4x^2+11x+6=0\\ \text{d}.x^2+5x-6=0& \text{i}.5z^2-z-4=0\\ \text{e}.x^2-7x-8=0& \text{j}.6x^2+17x+7=0\end{array}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \begin{array}{rl}\text{a}.x^2& -2=0\\ & \{\begin{array}{ll}a& =1\\ b& =0\\ c& =-2\end{array}\\ x_{1,2}& ={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\ x_{1,2}& ={\displaystyle \frac{0\pm \sqrt{0^2-4.1.(-2)}}{2.1}}\\ & ={\displaystyle \frac{\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{\pm \sqrt{4.2}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{\pm 2\sqrt{2}}{2}}\\ & =\pm \sqrt{2}\\ x_1& =\sqrt{2}\text{atau}{x}_2=-\sqrt{2}\end{array}& \begin{array}{rl}\text{i}.5z^2& -z-4=0\\ & \{\begin{array}{ll}a& =5\\ b& =-1\\ c& =-4\end{array}\\ z_{1,2}& ={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\ z_{1,2}& ={\displaystyle \frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4.5.(-4)}}{2.5}}\\ & ={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+80}}{10}=\frac{1\pm \sqrt{81}}{10}}\\ & ={\displaystyle \frac{1\pm 9}{10}}\\ z_1& ={\displaystyle \frac{1+9}{10}=1\text{atau}{z}_2=\frac{1-9}{10}=\frac{-8}{10}=-\frac{4}{5}}\\ & \end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Tunjukkan bahwa untuk}m\in \text{rasional},\text{maka kedua akar persamaan}\\ & \text{a}.x^2+(m+2)x+2m=0,\text{adalah rasional juga}\\ & \text{b}.2x^2+(m+4)x+(m-1)=0,\text{selalu memiliki dua akar real yang berlainan}\\ & \text{c}.x^2+(m+4)x-2m^2-m+3=0,\text{selalu memiliki dua akar real dan rasional}\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}:\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline x^2+(m+2)x+2m=0& 2x^2+(m+4)x+(m-1)=0& x^2+(m+4)x-2m^2-m+3=0\\ \begin{array}{rl}a& =1,b=(m+2),c=2m\end{array}& \begin{array}{rl}a& =2,b=m+4,c=m-1\end{array}& \begin{array}{rl}a& =1,b=m+4,c=-2m^2-m+3\end{array}\\ \begin{array}{rl}D& =(m+2{)}^2-4.1.(2m)\\ & =m^2+4m+4-8m\\ & =m^2-4m+4\\ & =(m-2{)}^2\end{array}& \begin{array}{rl}D& =(m+4{)}^2-4.2.(m-1)\\ & =m^2+8m+16-8m+8\\ & =m^2+24\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}D& =(m+4{)}^2-4.1.(-2m^2-m+3)\\ & =m^2+8m+16+8m^2+4m-12\\ & =9m^2+12m+4\\ & =(3m+2{)}^2\end{array}\\ \begin{array}{rl}& \text{2 akar rasional}\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{2 akar real dan berbeda}\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{2 akar rasional}\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Carilah nilai}x\text{yang memenuhi persamaan}\\ & {\displaystyle \frac{1}{x^2-10x-29}+\frac{1}{x^2-10x-45}-\frac{2}{x^2-10x-69}=0}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{x^2-10x-29}+\frac{1}{x^2-10x-45}}& =\frac{2}{x^2-10x-69}\\ {\displaystyle \frac{1}{(x^2-10x-37)+8}+\frac{1}{(x^2-10x-37)-8}}& =\frac{2}{(x^2-10x-37)-32}\\ \text{Misalkan}{x}^2-10x-37=p,\text{maka}& \\ {\displaystyle \frac{1}{p+8}+\frac{1}{p-8}}& =\frac{2}{p-32}\\ {\displaystyle \frac{p-8+p+8}{(p+8)(p-8)}}& =\frac{2}{p-32}\\ {\displaystyle \frac{2p}{(p+8)(p-8)}}& =\frac{2}{p-32}\\ {\displaystyle \frac{p}{p^2-64}}& =\frac{1}{p-32}\\ p^2-32p& =p^2-64\\ p& ={\displaystyle \frac{-64}{-32}}\\ p& =2,\\ \text{kita kembali ke bentuk semula}& \\ x^2-10x-37& =2\\ x^2-10x-39& =0\\ (x-13)(x+3)& =0\\ x=13\text{atau}x=-3& \end{array}\\ & \text{Jadi},x=13\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 9.& \text{Diketahui akar-akar persamaan kuadrat}\\ & x^2+x-3=0\text{adalah}\alpha \text{dan}\beta .\text{Tentukanlah nilai dari}\\ & {\alpha }^3-4{\beta }^2+19\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\\ & \begin{array}{|lll|}\hline x^2+x-3=0& \begin{array}{rl}{\alpha }^2+\alpha -3& =0\\ & \\ \iff {\alpha }^2& =3-\alpha .....(1)\end{array}& \begin{array}{rl}{\beta }^2+\beta -3& =0\\ & \\ \iff {\beta }^2& =3-\beta .....(2)\end{array}\\ \{\begin{array}{c}\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{-b}{a}=-1}\\ \alpha \beta ={\displaystyle \frac{c}{a}=-3}\end{array}& \begin{array}{rl}{\alpha }^3+{\alpha }^2-3\alpha & =0\\ & \\ \iff {\alpha }^3& =3\alpha -{\alpha }^2.....(3)\end{array}& \begin{array}{rl}{\beta }^3+{\beta }^2-3\beta & =0\\ & \\ \iff {\beta }^3& =3\beta -{\beta }^2.....(4)\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \\ & \begin{array}{rl}{\alpha }^3-4{\beta }^2+19& =(3\alpha -{\alpha }^2)-4(3-\beta )+19,\text{perhatikan persamaan}(3)\text{dan}(2)\\ & =3\alpha -(3-\alpha )-12+4\beta +19\\ & =4\alpha +4\beta -3+7\\ & =4(\alpha +\beta )+4\\ & =4(-1)+4\\ & =0\end{array}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 10.& \text{Akar real terbesar untuk persamaan}\\ & {\displaystyle \frac{3}{x-3}+\frac{5}{x-5}+\frac{17}{x-17}+\frac{19}{x-19}=x^2-11x-4}\\ & \text{adalah}p+\sqrt{q+\sqrt{r}},\text{dengan}p,q,\text{dan}r\\ & \text{adalah bilangan-bilangan asli}.\text{Carilah hasil}p+q+r\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{3}{x-3}+\frac{5}{x-5}+\frac{17}{x-17}+\frac{19}{x-19}}& =x^2-11x-4\\ \frac{3}{x-3}+1+\frac{5}{x-5}+1+\frac{17}{x-17}+1+\frac{19}{x-19}+1& =x^2-11x\\ \frac{3+(x-3)}{x-3}+\frac{5+(x-5)}{x-5}+\frac{17+(x-17)}{x-17}+\frac{19+(x-19)}{x-19}& =x^2-11x\\ \frac{x}{x-3}+\frac{x}{x-5}+\frac{x}{x-17}+\frac{x}{x-19}& =x^2-11x\\ \frac{x(x-19)+x(x-3)}{(x-3)(x-19)}+\frac{x(x-17)+x(x-5)}{(x-5)(x-17)}& =x^2-11x\\ \frac{2x^2-22x}{x^2-22x+57}+\frac{2x^2-22}{x^2-22x+85}& =x^2-11x\\ (x^2-11x)(\frac{2}{x^2-22x+57}+\frac{2}{x^2-22x+85})& =x^2-11x,\text{misal}t=x^2-22x\\ (\frac{2}{t+57}+\frac{2}{t+85})& =\frac{x^2-11x}{x^2-11x}=1\\ 2(t+85)+2(t+57)& =(t+57)(t+85)\\ 2t+170+2t+114& =t^2+142t+4845\\ 0& =t^2+138t+4731\\ t^2+138t+4731& =0\{\begin{array}{c}a=1\\ b=138\\ c=4731\end{array}\\ t_{1,2}& ={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\ t_{1,2}& ={\displaystyle \frac{-138\pm \sqrt{{138}^2-4.1.4731}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{-138\pm \sqrt{19044-18924}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{-138\pm \sqrt{120}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{-138\pm 2\sqrt{30}}{2}}\\ & =-69\pm \sqrt{30}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{Selanjutnya}& \\ t_{1,2}& =-69\pm \sqrt{30}\\ x^2-22x& =-69\pm \sqrt{30}\\ x^2-22x+69\pm \sqrt{30}& =0\\ x^2-22x+69+\sqrt{30}& =0\text{atau}{x}^2-22x+69-\sqrt{30}\\ & \\ \text{dengan cara yang}& \text{semisal diatas}\\ & \\ x_{1,2}={\displaystyle \frac{22\pm \sqrt{{22}^2-4(69+\sqrt{30})}}{2}}& \text{atau}{x}_{3,4}={\displaystyle \frac{22\pm \sqrt{{22}^2-4(69-\sqrt{30})}}{2}}\\ x_{1,2}={\displaystyle \frac{22\pm \sqrt{484-276-4\sqrt{30}}}{2}}& \text{atau}{x}_{3,4}={\displaystyle \frac{22\pm \sqrt{484-276+4\sqrt{30}}}{2}}\\ x_{1,2}={\displaystyle \frac{22\pm \sqrt{208-4\sqrt{30}}}{2}}& \text{atau}{x}_{3,4}={\displaystyle \frac{22\pm \sqrt{208+4\sqrt{30}}}{2}}\\ x_{1,2}={\displaystyle \frac{22\pm 2\sqrt{52-\sqrt{30}}}{2}}& \text{atau}{x}_{3,4}={\displaystyle \frac{22\pm 2\sqrt{52+\sqrt{30}}}{2}}\\ x_{1,2}=11\pm \sqrt{52-\sqrt{30}}& \text{atau}{x}_{3,4}=11\pm \sqrt{52+\sqrt{30}}\\ & \\ \text{Maka},& \\ \{\begin{array}{c}{x}_1=11+\sqrt{52-\sqrt{30}}\\ \\ x_2=11-\sqrt{52-\sqrt{30}}\end{array}& \text{atau}\{\begin{array}{c}{x}_3=11+\sqrt{52+\sqrt{30}}\\ \\ x_4=11-\sqrt{52+\sqrt{30}}\end{array}\end{array}\\ \\ \\ & \begin{array}{rl}\text{Selanjutnya nilai}& \text{yang paling pas sesuai soal adalah}{x}_3=11+\sqrt{52+\sqrt{30}}=p+\sqrt{q+\sqrt{r}}\\ \text{Sehingga nilai}& p+q+r=11+52+30=93\end{array}\end{array}$

Sumber Referensi:

1. Budhi, Wono S. 2014. Bupena Matematika Kelompok Wajib untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta: ERLANGGA.
2. Idris, M., Rusdi, 1. 2015. Langkah Awal Meraih Medali Emas Olimpiade Matematika SMA. Bandung: YRAMA WIDYA. 
3. Kurnianingsih, Sri, Kuntarti & Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas X Semester 1. Jakarta: ESIS.
4. Marwanta, dkk. 2013. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: YUDISTIRA.
5. Sobirin. 2005. Kompas Matematika: Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika SMA Kelas 1. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.

KUMPULAN MATERI SMA/MA KELAS X/FASE E (Bagian 2) Tahun 2024

 Kelas X 

Kurikulum Merdeka

Fase E Kelas X

Semester Gasal

Eksponen dan Logaritma

• materi eksponen 1, materi fungsi eksponen 2, lanjutan fungsi eksponen, lanjutan materi 2 fungsi ekponen, lanjutan materi 3 fungsi eksponen, Persamaan eksponen.
• contoh soal eksponen 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10 
• materi logaritma 
• materi logaritma lanjutan
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
• materi logaritma lanjutan 2
• materi persamaan logaritma 1, persamaan 2, persamaan 3, persamaan 4, persamaan 5. aplikasi logaritma, pengayaan (operasi logaritma natural)
• contoh soal 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13

Barisan dan Deret

(pilih  materi yang Anda butuhkan saja)

• materi pola bilangan - induksi matematika
• pola bilangan dan barisan serta deret aritmetika
• pola bilangan dan barisan serta deret geometri 
• berikut contoh soal induksi matematika dan pola bilangan
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5
• materi barisan dan deret aritmetika (hitung)
• lanjutan materi barisan dan deret geometri (ukur)
• berikut contoh soalnya
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.
• barisan dan deret aritmetika dan geometri sekaligus
• contoh soal selingan (diselipkan soal untuk kompetisi) yang terkait barisan dan deret: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4

Trigonometri

• materi trigonometri awal
• perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

• koordinat kartesius, koordinat kutub serta sudut-sudut di berbagai kuadran

• aturan sinus
• aturan cosinus (bagian 1), aturan cosinus (bagian 2)
• contoh soal

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

• materi persamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 
• materi pertidaksamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , 

• materi pertidaksamaan rasional dan irasional satu variabel
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , 

• materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
• lanjutan materi SPLTV
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 

Semester Genap

• Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat, contoh soal PK 1, contoh PK 2, contoh PK 3, contoh PH 4, contoh soal FK 1, contoh FK 2, contoh FK 3, contoh FK 4, contoh FK 5, contoh FK 6.
• Statistikaa materi statistika, penyajian data dalam bentuk diagram. ukuran pemusatan data. ukuran letak data 1, ukuran letak data 2, ukuran letak data 3, interpolasi linear, ukuran penyebaran data 1, ukuran penyebaran data 2, koefisien variansi contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13
• Aturan Pencacahan dan Peluang

• Aturan Pencacahan

  • materi pendahuluan(kombinatorial dan percobaan), kaidah pencacahan(kaidah perkalian), faktorial-permutasi-kombinasi, 
  • contoh soal 1 permutasi-kombinasi, contoh 2, contoh 3, 
  • materi Binomial Newton (pengayaan), fungsi pembangkit untuk kombinasi (pengayaan), 
  • contoh soal 1 (kaidah pencacahan), contoh 2, contoh 3,

  Peluang Kejadian Majmuk

  • materi pendahuluan (percobaan, ruang sampel, dan kejadian), peluang kejadian tunggal dan frekuensi harapan, peluang kejadian majmuk (peluang komplemen, dua kejadian saling bebas, dua kejadian tidak saling bebas), kejadian saling lepas, kejadian tidak saling lepas, 
  • contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, 

Kelas XI dan Kelas XII 

Matematika Wajib

Matematika Peminatan

KUMPULAN MATERI SMA/MA KELAS X/FASE E (Bagian 1)

 Kelas X 

Kurikulum Merdeka

Fase E Kelas X

Semester Gasal

Eksponen dan Logaritma

• materi eksponen 1, materi fungsi eksponen 2, lanjutan fungsi eksponen, lanjutan materi 2 fungsi ekponen, lanjutan materi 3 fungsi eksponen, Persamaan eksponen.
• contoh soal eksponen 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10 
• materi logaritma 
• materi logaritma lanjutan
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
• materi logaritma lanjutan 2
• materi persamaan logaritma 1, persamaan 2, persamaan 3, persamaan 4, persamaan 5. aplikasi logaritma, pengayaan (operasi logaritma natural)
• contoh soal 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13

Barisan dan Deret

(pilih  materi yang Anda butuhkan saja)

• materi pola bilangan - induksi matematika
• pola bilangan dan barisan serta deret aritmetika
• pola bilangan dan barisan serta deret geometri 
• berikut contoh soal induksi matematika dan pola bilangan
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5
• materi barisan dan deret aritmetika (hitung)
• lanjutan materi barisan dan deret geometri (ukur)
• berikut contoh soalnya
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.
• barisan dan deret aritmetika dan geometri sekaligus
• contoh soal selingan (diselipkan soal untuk kompetisi) yang terkait barisan dan deret: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4

Trigonometri

• materi trigonometri awal
• perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

• koordinat kartesius, koordinat kutub serta sudut-sudut di berbagai kuadran

• aturan sinus
• aturan cosinus (bagian 1), aturan cosinus (bagian 2)
• contoh soal

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

• materi persamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 
• materi pertidaksamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , 

• materi pertidaksamaan rasional dan irasional satu variabel
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , 

• materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
• lanjutan materi SPLTV
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 

Semester Genap

• Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat, contoh soal
• Statistika
• Aturan Pencacahan dan Peluang

Kelas XI dan Kelas XII 

Matematika Wajib

Matematika Peminatan

KUMPULAN MATERI MATEMATIKA PEMINATAN untuk MA Kurtilas Revisi 2018

 A. Kelas X (Sepuluh)

A. 1 Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritma

• materi eksponen 1, materi fungsi eksponen 2, lanjutan fungsi eksponen, lanjutan materi 2 fungsi ekponen, lanjutan materi 3 fungsi eksponen, Persamaan eksponen.
• contoh soal eksponen 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10 
• materi logaritma 
• materi logaritma lanjutan
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
• materi logaritma lanjutan 2
• materi persamaan logaritma 1, persamaan 2, persamaan 3, persamaan 4, persamaan 5. aplikasi logaritma, pengayaan (operasi logaritma natural)
• contoh soal 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13.

A. 2 Vektor

• materi vektor, operasi vektor, vektor di dimensi dua, perkalian skalar dua vektor, proyeksi ortogonal suatu vektor, vektor dimensi tiga, lanjutan vektor dimensi tiga, operasi vektor berdimensi tiga, lanjutan 1 operasi vektor berdimensi tiga, lanjutan 2 operasi vektor berdimensi tiga, proyeksi orthogonal suatu vektor di dimensi tiga, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, (urutan) contoh soal 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8, contoh 9, contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13.

B. Kelas XI (Sebelas)

B. 1 Persamaan Trigonometri

• materi persamaan trigonometri, identitas trigonometri, menentukan nilai perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, relasi sudut, persamaan trigonometri sederhana.
• lanjutan materi 1 , materi 2 , materi 3
• materi baru
• persamaan tigonometri: identitas trigonometri, menentukan nilai perbandingan trigonometri, sudut-sudut berelasi, persamaan trigonometri sederhana, persamaan bentuk a sin x + b cos x=c, grafik fungsi trigonometri, 
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
• soal tengah semester gasal : contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4,

B. 2 Rumus Jumlah dan Selisih

• rumus jumlah dan selisih 1
• rumus jumlah dan selisih 2
• materi terbaru : rumus jumlah dan selisih dudut sinus, cosinus, tangen, rumus sudut rangkap/ganda, sudut paruh/tengahan, rumus perkalian sinus dan cosinus, rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus, 
• soal persiapan menghadapi semester gasal: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.

B. 3 Persamaan Lingkaran

• materi lingkaran, kedudukan titik terhadap lingkaran, kedudukan garis terhadap lingkaran, persamaan garis singgung lingkaran, atau Persamaan Garis singgung Lingkaran (Lengkap), Persamaan Garis Singgung dengan gradien m, Persamaan Garis Singgung melalui sebuah titik di luar lingkaran, hubungan dua lingkaran
• contoh soal 1, contoh  2, contoh 3, contoh 4. Contoh 5 (Hubungan Dua Lingkaran), Contoh 6, Contoh 7, Contoh 8

B. 4 Polinom

• materi pendahuluan, operasi polinom, metode Horner-Kino (materi lanjutan operasi polinom) teorema sisa dan teorema faktor, persamaan polinom
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8, contoh 9

C. Kelas XII (Duabelas)

C. 1 Limit Fungsi Trigonometri

• limit fungsi trigonometri (materi lama-perkenalan dengan limit fungsi aljabar), lanjutan materi lama, lanjutan rumus dasar limit trigonometri, 
• materi pendahuluan limit, menentukan nilai limit fungsi trigonometri, pembuktian teorema apit (identitas limit fungsi trigonometri), limit fungsi trigonometri di tak hingga,
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5,
• materi limit diketakhinggan.
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5,

C.2 Turunan Fungsi Trigonometri

• materi turunan fungsi trigonometri
• lanjutan materi 
• contoh soal  (bagaian 1)
• lanjutan materi 2 
• lanjutan materi 3
• lanjutan materi 4 (sifat-sifat turunan)
• lanjutan materi 5
• contoh soal 1 (bagain 2) , contoh 2 , contoh 3 contoh 4 , contoh 5
• lanjutan materi 6 (persamaan garis singgung kurva)-turunan pertama
• lanjutan materi 7 (fungsi naik dan fungsi turun)-turunan pertama
• lanjutan materi 8 (nilai stasioner)-turunan pertama
• lanjutan materi 9 (aplikasi nilai stasioner)-turunan pertama
• contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9
• turunan kedua fungsi trigonometri (Fungsi naik dan fungsi turun, titik belok serta selang kecekungan)
• contoh 10 , contoh 11 , contoh 12 , contoh 13

C.3 Distribusi peluang binomial

• materi distribusi binomial, distribusi peluang diskrit, 
• contoh soal 1, contoh 2, 
• distribusi peluang kontinu, Binomial Newton,
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3,

C.4 Distribusi normal

• materi distribusi normal, lanjutan 1 materi, lanjutan 2 materi
• materi distribusi student, penarikan kesimpulan (pengujian hipotesis)
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6

KUMPULAN MATERI MATEMATIKA WAJIB untuk MA Kurtilas Revisi 2018

 A. Kelas X (Sepuluh)

A. 1 Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dari Bentuk Linear Satu Variabel

• materi persamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 
• materi pertidaksamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , 

A. 2 Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Variabel

• materi pertidaksamaan rasional dan irasional satu variabel
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , 

A. 3 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

• materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
• lanjutan materi SPLTV
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 

A. 4 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linear-Linear

• materi sistem pertidaksamaan dua variabel linear-linear
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 

A. 5 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linear dan Kuadrat

• materi 1, materi 2, materi 3, 
• contoh Soal 1.

A. 6 Fungsi

• materi pendahuluan, domain-kodomain-range fungsi, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, 

A. 7 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

• materi fungsi komposisi dan fungsi invers
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5

A. 8 Rasio Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

• materi trigonometri awal
• perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

A. 9 Rasio Trigonometri Sudut-Sudut diberbagai Kuadran

• koordinat kartesius, koordinat kutub serta sudut-sudut di berbagai kuadran

A. 10 Aturan Sinus dan Cosinus

• aturan sinus
• aturan cosinus (bagian 1), aturan cosinus (bagian 2)
• contoh soal

B. Kelas XI (Sebelas)

B. 1 Program Linear

• materi program linear
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 

B. 2 Matriks

• materi matriks 
• lanjutan materi 1
• lanjutan materi 2
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 

B. 3 Determinan dan Invers Matriks Ordo 2x2

• materi determinan
• materi invers matriks ordo 2x2
• contoh soal 4 , contoh 5 , contoh 6 

B. 4 Transformasi Geometri

• materi
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5.

B. 5 Pola Bilangan dan Jumlah pada Barisan Aritmetika dan Geometri

• materi pola bilangan - induksi matematika
• pola bilangan dan barisan serta deret aritmetika
• pola bilangan dan barisan serta deret geometri 
• berikut contoh soal induksi matematika dan pola bilangan
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5
• materi barisan dan deret aritmetika (hitung)
• lanjutan materi barisan dan deret geometri (ukur)
• berikut contoh soalnya
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.
• barisan dan deret aritmetika dan geometri sekaligus
• contoh soal selingan (diselipkan soal untuk kompetisi) yang terkait barisan dan deret: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4.

B. 6 Limit Fungsi Aljabar

• materi
• contoh soal 1, contoh 2, 

B. 7 Turunan Fungsi Aljabar

• materi turunan fungsi aljabar
• bentuk umum turunan aljabar
• sifat turunan pertama dan aturan rantai
• aturan rantai pada turunan pertama dan kedua
• penggunaan turunan fungsi
• menyelesaikan masalah terkait keekstriman fungsi
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4

B. 8 Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

• materi pendahuluan
• teknik pengintegralan (dengan teknik substitusi)
• teknik pengintegralan (dengan integral parsial dan atau Tanzalin)
• penggunaan integral tak tentu
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4.

Tambahan/Pengayaan

Integral Tentu Fungsi Aljabar

• materi fungsi aljabar
• penggunaan inetgral tentu fungsi aljabar
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8.

C. Kelas XII (Dua Belas)

C. 1 Jarak dalm Ruang

• Geometri ruang
• Lanjutan materi 1, lanjutan materi 2, lanjutan materi 3, lanjutan materi 4, lanjutan materi 5.
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 

Statistika

• materi statistika, penyajian data dalam bentuk diagram.
• ukuran pemusatan data. ukuran letak data 1, ukuran letak data 2, ukuran letak data 3, interpolasi linear, ukuran penyebaran data 1, ukuran penyebaran data 2, koefisien variansi
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13

C. 3 Aturan Pencacahan

• materi pendahuluan(kombinatorial dan percobaan), kaidah pencacahan(kaidah perkalian), faktorial-permutasi-kombinasi, 
• contoh soal 1 permutasi-kombinasi, contoh 2, contoh 3, 
• materi Binomial Newton (pengayaan), fungsi pembangkit untuk kombinasi (pengayaan), 
• contoh soal 1 (kaidah pencacahan), contoh 2, contoh 3,

C. 4 Peluang Kejadian Majmuk

• materi pendahuluan (percobaan, ruang sampel, dan kejadian), peluang kejadian tunggal dan frekuensi harapan, peluang kejadian majmuk (peluang komplemen, dua kejadian saling bebas, dua kejadian tidak saling bebas), kejadian saling lepas, kejadian tidak saling lepas, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3,