Contoh 1 Soal dan Pembahasan Materi Peluang (Faktorial, Permutasi dan Kombinasi)

 $\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Bentuk sederhana dari}\\ & \text{a}.{\displaystyle 5!+6!+7!}\\ & \text{b}.{\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n-1)!}}\\ & \text{c}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{n!}}\\ & \text{d}.{\displaystyle \frac{(n-2)!}{(n+1)!}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& 5!+6!+7!=5!+6.5!+7.6.5!\\ & =(1+6+42).5!\\ & =49.5!=49.120=5880\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n-1)!}=\frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}}\\ & =(n+1)n=n^2+n\\ \text{c}.& {\displaystyle \frac{(n+2)!}{n!}=\frac{(n+1)(n+1)n!}{n!}}\\ & =(n+2)(n+1)\\ & =n^2+3n+2\\ \text{d}.& {\displaystyle \frac{(n-2)!}{(n+1)!}=\frac{(n-2)!}{(n+1)n(n-1)(n-2)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{(n+1)n(n-1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{n^3-n}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah nilai}n\text{yang memenuhi}\\ & \text{persamaan berikut}\\ & \text{a}.{\displaystyle \frac{n!3!}{6!(n-3)!}=\frac{33}{4}}\\ & \text{b}.{\displaystyle \frac{3}{8!}-\frac{2}{7!}+\frac{1}{6!}=\frac{5n+3}{8!}}\\ & \text{c}.{\displaystyle \frac{7!}{5!2!}:\frac{10!}{5!5!}=1:4n}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& {\displaystyle \frac{n!3!}{6!(n-3)!}=\frac{33}{4}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)\text{⧸}(n-3)!.\text{⧸}3!}{6.5.\text{⧸}4.\text{⧸}3!\text{⧸}(n-3)!}=\frac{33}{\text{⧸}4}}\\ & \iff n(n-1)(n-2)=33.6.5=11.10.9\\ & \iff n(n-1)(n-2)=11.(11-1).(11-2)\\ & \iff n=11\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{3}{8!}-\frac{2}{7!}+\frac{1}{6!}=\frac{5n+3}{8!}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{3-2.8+56}{8!}=\frac{5n+3}{8!}}\\ & \iff \frac{43}{8!}=\frac{5n+3}{8!}\\ & \iff 43=5n+3\iff 5n=40\iff n=8\\ \text{c}.& {\displaystyle \frac{7!}{5!2!}:\frac{10!}{5!5!}=1:4n}\\ & \iff 4n={\displaystyle \frac{5!2!10!}{7!5!5!}}\\ & \iff 4n={\displaystyle \frac{\text{⧸}5!2!10.9.8.\text{⧸}7!}{\text{⧸}7!5!\text{⧸}5!}}\\ & \iff n=3\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah nilai}n\text{yang memenuhi}\\ & \text{persamaan berikut}\\ & \text{a}.P(n,2)=42\\ & \text{b}.7.P(n,3)=6.P(n+1,3)\\ & \text{c}.3.P(n,4)=P(n-1,5)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& P(n,2)=42\\ & \iff {\displaystyle \frac{n!}{(n-2)!}=42}\\ & \iff {\displaystyle \frac{n!}{(n-2)!}={\displaystyle \frac{n\times (n-1)\times (n-2)!}{(n-2)!}=42}}\\ & \iff {\displaystyle n\times (n-1)=7.6=7.(7-1)}\\ & \iff n=7\\ \text{b}.& 7.P(n,3)=6.P(n+1,3)\\ & {\displaystyle \frac{7.n!}{(n-3)!}=\frac{6(n+1)!}{(n+1-3)!}}\\ & {\displaystyle \frac{7\text{⧸}n!}{(n-3)!}=\frac{6.(n+1).\text{⧸}n!}{(n-2)!}}\\ & \iff \frac{7}{\text{⧸}(n-3)!}=\frac{6n+6}{(n-1)\text{⧸}(n-3)!}\\ & \iff 7(n-2)=6n+6\\ & \iff 7n-6n=6+14\iff n=20\\ \text{c}.& 3.P(n,4)=P(n-1,5)\\ & \iff {\displaystyle \frac{3.n!}{(n-4)!}=\frac{(n-1)!}{(n-1-5)!}}\\ & \iff \frac{3.n.\text{⧸}(n-1)!}{(n-4)!}=\frac{\text{⧸}(n-1)!}{(n-6)!}\\ & \iff \frac{3n}{(n-4)(n-5).\text{⧸}(n-6)!}=\frac{1}{\text{⧸}(n-6)!}\\ & \iff 3n=(n-4)(n-5)\\ & \iff 3n=n^2-9n+20\\ & \iff n^2-12n+20=0\\ & \iff (n-2)(n-10)=0\\ & \iff n=2\text{tidak memenuhi}\text{atau}n=10\\ & \text{jadi},n=10\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Jika 10 siswa akan dipilih 4 orang untuk}\\ & \text{menjadi ketua kelas, wakil, sekretaris dan}\\ & \text{seorang bendahara, maka banyak susunan}\\ & \text{terjadi adalah}....\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Penyusunan memerlukan urutan}\\ & \text{maka perlu digunakan permutasi, yaitu}:\\ & P(n,r)={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}}\\ & \iff P(10,4)={\displaystyle \frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10!}{6!}}\\ & \iff ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times \text{⧸}6!}{\text{⧸}6!}}\\ & \iff =5040\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Jika dari kota A ke kota B terdapat 3 jalur.}\\ & \text{Dan dari kota B ke kota C terdapat 4 jalur,}\\ & \text{serta dari kota C sampai ke kota D ada 5 jalur}\\ & \text{Banyak jalan dari kota A ke kota D adalah}....\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Jalur yang ada semuanya berbeda}\\ & \text{maka perlu digunakan permutasi, yaitu}:\\ & P(n,r)={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}}\\ & \begin{array}{rl}\text{a}& \text{dari A ke B ada 3 jalur cukup pilih satu, maka}\\ & \bullet P(3,1)={\displaystyle \frac{3!}{(3-1)!}=\frac{3!}{2!}=3}\\ \text{b}& \text{dari B ke C ada 4 jalur cukup pilih satu, maka}\\ & \bullet P(4,1)={\displaystyle \frac{4!}{(4-1)!}=\frac{4!}{3!}=4}\\ \text{c}& \text{dari C ke D ada 5 jalur cukup pilih satu, maka}\\ & \bullet P(5,1)={\displaystyle \frac{5!}{(5-1)!}=\frac{5!}{4!}=5}\end{array}\\ & \text{Jadi, total jalur yang dapat di lalui dari A sampai D adalah}:\\ & P(3,1)\times P(4,1)\times P(5,1)=3\times 4\times 5=60\end{array}$

Permutasi dan Kombinasi (Lanjutan Materi Peluang)

 $\text{C. Faktorial}$

Perhatikanlah tabel berikut yang berisi perkalian bilangan terurut pada bilangan asli

$\begin{array}{|c|}\hline n!=1\times 2\times 3\times 4\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\\ \mathbf{\text{atau}}\\ n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 4\times 3\times 2\times 1\\ \text{dengan}\\ (n+1)!=(n+1)\times n!\text{untuk}n\ge 1,n\in \mathbb{N}\\ \text{serta didefinisikan bahwa}\\ 0!=1!=1\\ \text{CONTOH}\\ 0!=1\\ 1!=1\\ 2!=2\times 1=2\\ 3!=3\times 2\times 1=6\\ 4!=4\times 3\times 2\times 1=24\\ 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\\ 6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720\\ \\ ⋮\\ \\ n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 4\times 3\times 2\times 1\\ \hline\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah nilai}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.3!& \text{e}.{\displaystyle \frac{6!}{4!}}& \text{i}.{\displaystyle \frac{2!}{0!}+\frac{3!}{1!}+\frac{4!}{2!}}\\ \text{b}.5!& \text{f}.{\displaystyle \frac{10!}{6!}}& \text{j}.{\displaystyle \frac{2!}{0!}\times \frac{3!}{1!}+\frac{4!}{2!}}\\ \text{c}.0!+1!+2!+3!& \text{g}.{\displaystyle \frac{7!}{3!\times 4!}}& \text{k}.{\displaystyle \frac{3\times 4!}{3!(5!-5!)}}\\ \text{d}.(2!)!+(3!)!& \text{h}.{\displaystyle \frac{13!}{12!+12!}}& \text{l}.{\displaystyle \frac{3!+5!+7!}{4!+6!}}\end{array}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ \\ & \begin{array}{c}\\ \text{a}.3!=3.2.1=6\\ \text{b}.5!=5.4.3.2.1=120\\ \begin{array}{rl}\text{c}.0!+1!+2!+3!& =1+1+2+6\\ & =10\end{array}\\ \begin{array}{rl}\text{d}.(2!)!+(3!)!& =2!+6!\\ & =2+720\\ & =722\end{array}\\ \text{e}.{\displaystyle \frac{6!}{4!}=\frac{720}{24}=30\text{atau}{\displaystyle \frac{6!}{4!}={\displaystyle \frac{6.5.\text{⧸}4.\text{⧸}3.\text{⧸}2.\text{⧸}1}{\text{⧸}4.\text{⧸}3.\text{⧸}2.\text{⧸}1}=6.5=30}}}\\ \text{f}.{\displaystyle \frac{10!}{6!}=\frac{10.9.8.7.6.5.4.3.2.1}{6.5.4.3.2.1}=....(\text{silahkan diselesaikan sendiri})}\\ \text{g}.{\displaystyle \frac{7!}{3!\times 4!}=\frac{7.6.5.4.3.2.1}{(3.2.1)\times (4.3.2.1)}=....(\text{silahkan juga diselesaikan sendiri})}\\ ⋮\\ (\text{silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri})\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Sederhanakanlah}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.{\displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}}& \text{e}.{\displaystyle \frac{1}{n!}+\frac{n}{(n+1)!}-\frac{1}{(n-1)!}}\\ \text{b}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{(n+1)!}}& \text{f}.{\displaystyle \frac{(4n)!}{(4n+1)!}+\frac{(4n)!}{(4n-1)!}}\\ \text{c}.{\displaystyle \frac{(2n)!}{(2n+1)!}}& \text{g}.{\displaystyle \frac{1}{n}-\frac{n!}{(n-1).(n-2)!}}\\ \text{d}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{(n^2+3n+2)}}& \text{h}.1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!\end{array}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ \\ & \begin{array}{c}\\ \text{a}.{\displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n.(n-1)!}{(n-1)!}=n}\\ \text{b}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{(n+1)!}=\frac{(n+2).(n+1)!}{(n+1)!}=n+2}\\ \text{c}.{\displaystyle \frac{(2n)!}{(2n+1)!}=\frac{(2n)!}{(2n+1).(2n)!}=\frac{1}{2n+1}}\\ \text{d}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{n^2+3n+2}=\frac{(n+2)!}{(n+2).(n+1)}=\frac{(n+2).(n+1).n!}{(n+2).(n+1)}=n!}\\ ⋮\\ (\text{silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri sebagai latihan})\\ ⋮\\ \begin{array}{rl}\text{h}.& 1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!\\ & =(2-1).1!+(3-1).2!+(4-1).3!+(5-1).4!+...+(n+1-1).n!\\ & =2.1!+3.2!+4.3!+5.4!+...+(n+1).n!-1!-2!-3!-4!-...-n!\\ & =2!+3!+4!+5!+...+(n+1)!-(1!+2!+3!+4!+...+n!)\\ & =(n+1)!-1\end{array}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Sederhanakanlah bentuk penjumlahan berikut}\\ & {\displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\cdots +{\displaystyle \frac{100}{98!+99!+100!}}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ \\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikan}\text{bahwa}\\ & {\displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}=\frac{3}{1+2+6}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\times \frac{2}{2}=\frac{2}{1\times 2\times 3}=\frac{2}{3!}}\\ & \iff \frac{2}{3!}=\frac{3-1}{3!}=\frac{3}{3!}-\frac{1}{3!}=\frac{3}{2!\times 3}-\frac{1}{3!}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\\ & \text{sehingga}\\ & \frac{3}{1!+2!+3!}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\\ & {\displaystyle \frac{4}{2!+3!+4!}=\cdots =\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}}\\ & {\displaystyle \frac{5}{3!+4!+5!}=\cdots =\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}}\\ & ⋮\\ & {\displaystyle \frac{100}{98!+99!+100!}=\cdots =\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}}\\ & ---------------------------\\ & =\frac{1}{2!}-\frac{1}{100!}\end{array}\end{array}$.

$\text{D. Permutasi dan Kombinasi}$

$\begin{array}{|lll|}\hline \text{Istilah}& \text{Permutasi}& \text{Kombinasi}\\ \text{Definisi}& \begin{array}{rl}& \text{Permutasi r unsur dari n unsur adalah}\\ & \text{banyaknya kemungkinan urutan r buah}\\ & \text{unsur yang dipilih dari n unsur}\\ & \text{yang tersedia}.\text{Tiap unsur berbeda dan}\\ & r\le n\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Kombinasi r unsur dan n unsur adalah}\\ & \text{banyaknya kemungkinan tidak terurut}\\ & \text{dalam pemilihan r unsur yang diambil}\\ & \text{dari n unsur yang tersedia}.\text{Tiap unsur}\\ & \text{berbeda dan}r\le n\end{array}\\ \text{Tipe}& \text{Bentuk khusus kaidah perkalian}& \text{Bentuk khusus permutasi}\\ \text{Notasi}& {}_n{P}_r,P_n^r,\text{atau}P(n,k)& {}_n{C}_r,C_r^n,(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}),\text{atau}C(n,r)\\ \text{Rumus}& P(n,r)={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}}& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=C(n,r)={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}\\ \hline\end{array}$

Selanjutnya perhatikanlah tabel berikut

$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Permutasi}& \text{Permutasi}\\ \text{dengan unsur yang sama}& \text{Siklis}\\ \begin{array}{rl}& P(n;n_1,n_2,n_3,...,n_k)\\ & ={\displaystyle \frac{P(n,n)}{n_1!n_2!n_3!...n_k!}}\\ & ={\displaystyle \frac{n!}{n_1!n_2!n_3!...n_k!}}\end{array}& \begin{array}{rl}& \{\begin{array}{ll}\text{Siklis}& =(n-1)!\\ \\ \text{Kalung}& ={\displaystyle \frac{(n-1)!}{2}}\end{array}\end{array}\\ \hline\end{array}$

dan

$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Kombinasi}& \text{Kombinasi dalam}\\ \text{dengan pengulangan}& \text{Binom Newton}\\ \begin{array}{rl}& C(n+r-1,r)\\ & =C(n+r-1,n-1)\\ & (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{r})\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{n-1})\end{array}& \begin{array}{rl}& (x+y{)}^n\\ & =\sum _{k=o}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})x^{n-k}{y}^k\\ \\ & \text{Koefisien untuk}\\ & x^{n-k}{y}^k,\text{yaitu}\\ & \text{suku ke}-(k+1)\\ & \text{adalah}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})\end{array}\\ \hline\end{array}$

serta

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Jika di suatu kelas terdapat 4 orang akan dipilih 3 orang }\\ & \text{untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara}.\\ & \text{Tentukanlah banyak cara memilih 3 orang tersebut?}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Karena ada 4 orang, misal A, B, C, dan D yang}\\ & \text{akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi}\\ & \text{ketua, sekretaris, dan bendahara, maka kita tinggal}\\ & \text{buat permutasinya, yaitu posisi ketua dapat dipilih }\\ & \text{dengan 4 cara, sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara},\\ & \text{dan bendahara dapat dipilih dengan 2 cara. atau}\\ & P(4,3)={\displaystyle \frac{4!}{(4-3)!}=\frac{4!}{1!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{1}=24\text{cara}}\\ & \text{Berikut ilustrasinya dengan diagram pohon}\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}B& \{\begin{array}{ll}C& \to ABC\\ D& \to ABD\end{array}\\ C& \{\begin{array}{ll}B& \to ACB\\ D& \to ACD\end{array}\\ D& \{\begin{array}{ll}B& \to ADB\\ C& \to ADC\end{array}\end{array}\\ \\ B& \{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}C& \to BAC\\ D& \to BAD\end{array}\\ C& \{\begin{array}{ll}A& \to BCA\\ D& \to BCD\end{array}\\ D& \{\begin{array}{ll}A& \to BDA\\ C& \to BDC\end{array}\end{array}\\ \\ C& \{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}B& \to CAB\\ D& \to CAD\end{array}\\ B& \{\begin{array}{ll}A& \to CBA\\ D& \to CBD\end{array}\\ D& \{\begin{array}{ll}A& \to CDA\\ B& \to CDB\end{array}\end{array}\\ \\ D& \{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}B& \to DAB\\ C& \to DAC\end{array}\\ B& \{\begin{array}{ll}A& \to DBA\\ C& \to DBC\end{array}\\ C& \{\begin{array}{ll}A& \to DCA\\ B& \to DCB\end{array}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Seorang anak akan mengambil 4 buah bola dari}\\ & \text{10 warna yang berbeda. Berapakah banyak}\\ & \text{kombinasi warna yang berbeda yang diambil}\\ & \text{oleh Andi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}n=10& \text{dan}r=4\\ C(n,r)& ={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}\\ C(10,4)& ={\displaystyle \frac{10!}{4!(10-4)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{4!\times 6!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{(4\times 3\times 2\times 1)\times 6!}}\\ & =420\text{kombinasi warna bola berbeda}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih untuk}\\ & \text{3 perwakilan dari 10 anggota suatu}\\ & \text{kelompok, jika}\\ & \text{a. tanpa perlakuan khusus}\\ & \text{b. salah seorang harus terpilih}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Dengan tanpa perlakuan}\\ & \text{memilih 3 orang dari 10 orang adalah}:\\ & C(10,3)={\displaystyle \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\times 7!}=120}\\ \text{b}.& \text{Dengan perlakuan 1 orang terpilih}\\ & (\text{1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan})\\ & \text{memilih 2 orang dari 9 orang adalah}:\\ & C(9,2)={\displaystyle \frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\times 8!}=36}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku}\\ & \text{matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku}\\ & \text{ekonomi pada suatu lemari buku yang}\\ & \text{di dalamnya terdapat 10 buku matematika,}\\ & \text{11 buku fisika dan 12 buku ekonomi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Banyak}& \text{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ & =C(10,2)\times C(11,3)\times C(12,4)\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}\times \frac{11!}{3!\times 8!}\times \frac{12!}{4!\times 8!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9}{1\times 2}\times \frac{11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3\times 4}}\\ & =3675375\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Johnaes, Kastolan, & Sulasim. 2004. Kompetensi Matematika SMA Kelas 2 Semester 1 Program Ilmu Sosial KBK 2004. Jakarta: YUDHISTIRA.
2. Kartini, Suprapto, Subandi, & Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
3. Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.

Lingkaran

Aturan Pencacahan (Materi Peluang)

 $\text{A. Pendahuluan}$

$\text{A. 1 Kombinatorial}$

Dalam matematika ada cabang ilmu yang mengkhususkan mempelajari tentang pengaturan objek-objek. Cabang matematika ini selanjutnya dinamakan Kombinatorial. Hasil dari mempelajari bagian ini adalah diperoleh jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya. 

Sebagai contoh nomor plat mobil di negara X terdiri atas 4 angka diikuti dengan 2 huruf. Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat mobil yang dapat dibuat?

Sebagai contoh yang lain sandi-lewat (password) sistem komputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter sendiri boleh berupa angka atau huruf, dengan huruf besar maupun huruf kecil tidak dibedakan. Berapa banyak sandi-lewat (password) yang dapat dibuat?

$\text{A. 2 Percobaan}$

Hasil dari Kombinatorial ini diperoleh dari percobaan(experiment). Percobaan dalam pengertian di sini adalah Proses yang berupa tindakan yang dapat diamati. Sebagai misal dalam percobaan melempar sebuah dadu, maka hasil yang mungkin adalah munculnya salah satu muka dadu yang enam, yaitu: 1,2,3,4,5, dan 6. Setiap kali kita melempar dapat dipastikan salah satu muka dadu akan muncul

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Pada saat melempar sebuah koin, maka akan}\\ & \text{didapatkan 2 kemungkinan, yaitu muka}\\ & \text{gambar (G) atau muka angka (A)}\\ 2.& \text{Ketika melempar dua koin sekaligus, maka }\\ & \text{akan didapatkan kemungkinan 4 muka koin}\\ & \text{4 kemungkinan itu yaitu: AA, AG, GA, dan GG}\\ 3.& \text{Selanjutnya saat kita melempar 3 koin sekaligus}\\ & \text{maka kita akan mendapatkan 8 kemungkinan}\\ & \text{muka koin, yaitu}:\\ & \text{AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA,}\\ & \text{dan GGG}\\ 4.& \text{Contoh yang lain saat kita melempar dua buah}\\ & \text{dadu, maka kita akan mendapatkan 36 kemungkinan}\\ & \text{muka dadu}\end{array}$

Untuk uraian contoh pada no.3 dan 4 disertakan tabel berikut

$\begin{array}{|cc|}\hline \text{3}& \text{4}\\ \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{cc}A& =AAA\\ \\ G& =AAG\end{array}\\ \\ G\{\begin{array}{cc}A& =AGA\\ \\ G& =AGG\end{array}\end{array}\\ \\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{cc}A& =GAA\\ \\ G& =GAG\end{array}\\ \\ G\{\begin{array}{cc}A& =GGA\\ \\ G& =GGG\end{array}\end{array}\end{array}& \begin{array}{|ccccccc|}\hline \setminus & 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 1& (1,1)& (1,2)& (1,3)& (1,4)& (1,5)& (1,6)\\ 2& (2,1)& (2,2)& (2,3)& (2,4)& (2,5)& (2,6)\\ 3& (3,1)& (3,2)& (3,3)& (3,4)& (3,5)& (3,6)\\ 4& (4,1)& (4,2)& (4,3)& (4,4)& (4,5)& (4,6)\\ 5& (5,1)& (5,2)& (5,3)& (5,4)& (5,5)& (5,6)\\ 6& (6,1)& (6,2)& (6,3)& (6,4)& (6,5)& (6,6)\\ \hline\end{array}\\ \text{n}(\text{S})=8& \text{n}(\text{S})=36\\ \hline\end{array}$

Sebagai catatan kemungkinan-kemungkinan yang muncul dalam setaip tindakan pada 4 contoh di atas selanjutnya akan disebut sebagai titik sampel.

$\text{B. Kaidah Pencacahan}$

Dalam kombinatorial kita harus melakukan perhitungan (counting) untuk mendapatkan semua kemungkinan dari pengaturan objekgar hasilnya didaptkan valid. Dua kaidah dasar yang digunakan dalam hal ini adalah adalah kaidah perkalian (rule of product) dan kaidah penjumlahan (rule of sum). Kedua kaidah tersebut nantinya akan selalu digunakan secara terpisah atau secara gabungan tergantung kondisi yang diinginkan dalam penentuan aturan pengisian tempat.

 $\text{B. 1 Kaidah Perkalian}$

$\{\begin{array}{ll}\Rightarrow & \begin{array}{|c|}\hline \text{Kaidah Perkalian}\\ \begin{array}{rl}& \text{Jika percobaan 1 mendapat hasil}m,\\ & \text{percobaan 2 mendapatkan hasil}n,\\ & \text{maka jika percobaan 1 dan 2 dilakukan},\\ & \text{maka akan mendapatkan hasil}m\times n\\ & \text{kemungkinan}\end{array}\\ \hline\end{array}\\ \\ \\ \Rightarrow & \begin{array}{|c|}\hline \text{Kaidah Penjumlah}\\ \begin{array}{rl}& \text{Jika percobaan 1 mendapat hasil}m,\\ & \text{percobaan 2 mendapatkan hasil}n,\\ & \text{maka jika hanya}\mathbf{\text{satu percobaan}}\text{saja}\\ & \text{yang dilakukan (percobaan 1 atau percobaan 2)},\\ & \text{maka akan mendapatkan hasil}m+n\\ & \text{kemungkinan}\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sekumpulan pelajar terdiri dari 5 anak putra}\\ & \text{dan 4 anak putri. Tentukanlah jumlah cara memilih}\\ & \text{satu orang wakil siswa dan satu orang wakil siswi}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{ada 5 kemungkinan memilih seorang wakil siswa}\\ & \text{dan ada 4 kemungkinan memilih wakil siswi}.\\ & \text{Jika 2 orang wakil harus dipilih yang terdiri}\\ & \text{dari 1 siswa dan 1 siswi, maka jumlah}\\ & \text{kemungkinan perwakilan tersebut adalah yang}\\ & \text{dapat dipilih adalah 5 x 4 = 20 cara}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah ruang sampel dan banyaknya}\\ & \text{anggota untuk percobaan}\\ & \text{a}.\text{melambungkan sebuah koin sebanyak 3 kali}\\ & \text{b}.\text{melambungkan dua buah dadu sebanyak sekali}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Jika S adalah ruang sampel dan n(S) adalah}\\ & \text{banyak anggota ruang sampel, maka}\\ & \text{a}.\text{karena muka koin ada 2, maka n(S)}\\ & n(S)=2\times 2\times 2=2^3=8\\ & \text{b}.\text{karena muka dadu ada 6, maka n(S)}\\ & n(S)=6\times 6=6^2=36\\ & \text{Dan berikut ilustrasi untuk seluruh ruang}\\ & \text{sampelnya untuk kedua kasus di atas}\\ & \begin{array}{|cc|}\hline \text{a}& \text{b}\\ \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{cc}A& =AAA\\ \\ G& =AAG\end{array}\\ \\ G\{\begin{array}{cc}A& =AGA\\ \\ G& =AGG\end{array}\end{array}\\ \\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{cc}A& =GAA\\ \\ G& =GAG\end{array}\\ \\ G\{\begin{array}{cc}A& =GGA\\ \\ G& =GGG\end{array}\end{array}\end{array}& \begin{array}{|ccccccc|}\hline \setminus & 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 1& (1,1)& (1,2)& (1,3)& (1,4)& (1,5)& (1,6)\\ 2& (2,1)& (2,2)& (2,3)& (2,4)& (2,5)& (2,6)\\ 3& (3,1)& (3,2)& (3,3)& (3,4)& (3,5)& (3,6)\\ 4& (4,1)& (4,2)& (4,3)& (4,4)& (4,5)& (4,6)\\ 5& (5,1)& (5,2)& (5,3)& (5,4)& (5,5)& (5,6)\\ 6& (6,1)& (6,2)& (6,3)& (6,4)& (6,5)& (6,6)\\ \hline\end{array}\\ \text{n}(\text{S})=8& \text{n}(\text{S})=36\\ \hline\end{array}\end{array}$

Catatan :

Sebuah koin di lempar 3 kali sama dengan hasilnya untuk ruang sampel 3 buah koin dilempar sekali. Demikian juga sebuah dadu diundi 2 kali akan sama hasilnya dengan 2 buah dadi diundi sekali.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Sekumpulan pelajar terdiri dari 5 anak putra dan}\\ & \text{4 anak putri. Tentukanlah jumlah cara memilih satu}\\ & \text{orang wakil pelajar tersebut(tidak masalah putra atau putri)}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{ada 5 kemungkinan memilih seorang wakil siswa dan}\\ & \text{ada 4 kemungkinan memilih wakil siswi. Jika}\\ & \text{hanya 1 orang wakil yang harus dipilih}\\ & \text{(tidak peduli putra atau putri)},\\ & \text{maka banyak cara memilih adalah 5 + 4 = 9 cara}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Pada suatu rak baca pada suatu ruangan terdapat }\\ & \text{4 buku, 2 koran, dan 10 majalah. Tentukan banyak }\\ & \text{cara seseorang di ruangan tersebut mengambil}\\ & \text{salah satu bacaan yang ada}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{ada 4 kemungkinan memilih buku dan}\\ & \text{ada 2 kemungkinan memilih koran serta}\\ & \text{ada 10 kemungkinan memilih majalah}\\ & \text{Jika hanya 1 bacaan yang bisa dipilih},\\ & \text{maka banyak cara memilih bacaan tersebut}\\ & \text{adalah 4 + 2 + 10 = 16 cara}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Seseorang hendap bepergian dengan menggunakan}\\ & \text{kendaraanya. Ia memiliki 1 mobil, 3 sepeda motor, }\\ & \text{dan 5 sepeda. Tentukan ada berapa banyak cara }\\ & \text{seseorang itu menggunakan kendaraanya}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{hanya ada 1 kemungkinan memilih mobil dan}\\ & \text{ada 3 kemungkinan memilih sepeda motor serta}\\ & \text{ada 5 kemungkinan ia mengunakan sepeda}\\ & \text{Jika hanya 1 kendaraan saja yang dipilih},\\ & \text{maka banyak cara memilih kendaraan tersebut}\\ & \text{adalah 1 + 3 + 5 = 9 cara}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Sebuah bilangan dibentuk dari angka-angka}\\ & \text{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Jika pengulangan}\\ & \text{tidak diperbolehkan, tentukan banyaknya bilangan}\\ & \text{a}.\text{yang terdiri dari 1 angka dan kurang dari 5}\\ & \text{b}.\text{yang terdiri dari 2 angka dan kurang dari 50}\\ & \text{c}.\text{yang terdiri dari 3 angka dan kurang dari 500}\\ & \text{d}.\text{yang terdiri dari 4 angka dan kurang dari 5000}\\ & \text{e}.\text{yang terdiri dari 5 angka dan kurang dari 50000}\\ & \text{f}.\text{yang terdiri dari 6 angka dan kurang dari 500000 dan habis dibagi 5}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{a}.\text{jelas ada 4 angka yang memenuhi, yaitu: 1, 2, 3, dan 4}\\ & \text{b}.\text{2 angka misalkan AB, posisi A dapat diisi dengan 4 cara dan posisi B dapat}\\ & \text{diisi dengan 8 cara, karena setelah diisikan ke A angka tinggal 8 buah dan}\\ & \text{semuanya memiliki kesempatan yang sama untuk diisikan ke B}.\\ & \text{sehingga AB dapat diisi dengan 4 x 8 = 32 cara}.\\ & \text{c}.\text{3 angka misalkan ABC, posisi A dapat diisi dengan 4 cara, posisi B dapat}\\ & \text{diisi dengan 8 cara, dan posisi C dapat diisi dengan 7 cara}.\\ & \text{sehingga ABC dapat diisi dengan 4 x 8 x 7 = 224 cara}.\\ & \\ & \text{Untuk jawaban d, e, dan f silahkan dicoba sendiri sebagai latihan}\end{array}$.

Perhatikan gambar berikut untuk menjawab soal no. 7 dan 8

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Perhatikan gambar di atas. Jika dari kota A}\\ & \text{ke kota B terdapat 4 jalur yang dapat ditempuh}\\ & \text{dan dari kota B ke kota C terdapat 3 jalur yang}\\ & \text{ada, maka banyak jalur yang bisa dilalui seseorang }\\ & \text{dari kota A ke kota C dengan melalui kota B }?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Dari kota A ke B ada 4 jalur}\\ & \text{dari kota B ke C ada 3 jalur}\\ & \text{maka banyak jalur dari kota A ke C melalui B}\\ & \text{adalah 4 x 3 = 12 jalur}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Perhatikan soal no, 7 di atas. Jika orang tersebut}\\ & \text{pulang ke kota A dan melalui B dengan melalui}\\ & \text{jalur yang berbeda dengan saat ia pergi, maka}\\ & \text{banyak jalur yang bisa dilalui orang tersebut}\\ & \text{adalah}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Saat pergi dari kota A ke kota C melalui B}\\ & \text{dari kota A ke B ada 4 pilihan jalur (dipilih 1)}\\ & \text{dari kota B ke C ada 3 pilihan jalur (dipilih 1)}\\ & \text{maka banyak jalur dari kota A ke C melalui B}\\ & \text{adalah 4 x 3 = 12 jalur}\\ & \text{Saat pulang dari kota C ke kota A melalui B}\\ & \text{dari kota C ke B ada 2 pilihan jalur }\\ & (\text{1 jalur sudah digunakan sebelumnya saat pergi})\\ & \text{dari kota B ke A ada 3 pilihan jalur}\\ & (\text{1 jalur sudah digunakan sebelumnya saat pergi})\\ & \text{maka banyak jalur pulang dari kota C ke A melalui B}\\ & \text{adalah 2 x 3 = 6 jalur}\\ & \text{Sehingga total jalur pergi-pulang}\\ & \text{terdapat sebanyak 12 x 6 = 72 jalur berbeda}\\ & \text{yang bisa dilalui orang tersebut}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Bandung: IMFORMATIKA.

Distribusi Binomial

Lingkaran

 $\text{A. Definisi Lingkaran}$.

Secara definisi lingkaran adalah tempat kedudukam titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Selanjutnya titik tertentu disebut sebagai pusat lingkaran sedangkan jarak yang salalu sama terhadapa titik tertentu tersebut disebut sebagai jari-jari atau radius (r).

Sebagai ilustrasi berikut diberikan gambar berkaitan kedudukan titik-titik tersebut

$\text{B. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0,0) }$.

Persamaan sebuah lingkaran dengan dengan jari-jari  $r$  dan berpusat di titik pusat koordinat dapat dilustrasikan sebagai berikut

Misalkan sebuah titik  $\text{P}(x,y)$  terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di O(0,0). Dan titik ${\text{P}}^{\prime }(x,0)$ adalah proyeksi titik  P  pada sumbu-X sehingga  $△{\text{OP}}^{\prime }\text{P}$   berupa sebuah segitiga siku-siku di ${\text{P}}^{\prime }$. Dengan rumus Pythagoras kita mendapatkan

$\begin{array}{rl}& O{P}^2=(O{P}^{\prime }{)}^2+(P{P}^{\prime }{)}^2\\ & \iff r^2=x^2+y^2\\ & \iff r=\sqrt{x^2+y^2}\end{array}$

Untuk lebih memudahkan pemahaman Anda, perhatikanlah ilustrasi berikut

Sehingga dapat disimpulkan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) adalah:

$\begin{array}{|ccc|}\hline & & \\ & x^2+y^2=r^2& \\ & & \\ \hline\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukan persamaan lingkaran yang }\\ & \text{berpusat di O dan berjari-jari}{\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui pusat lingkaran di O}\\ & \text{dengan jarijari}r={\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}}\\ & \text{Persamaan lingkarannya adalah}:\\ & x^2+y^2=r^2\\ & \iff x^2+y^2={\left({\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}}\right)}^2\\ & \iff x^2+y^2={\displaystyle \frac{10}{4},\text{atau}}\\ & \iff x^2+y^2={\displaystyle \frac{5}{2}}\\ & \text{Jadi, persamaan lingkarannya}\\ & \text{adalah}{x}^2+y^2={\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran}\\ & \text{yang memenuhi persamaan}\\ & x^2+y^2=6\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui persamaan lingkaran}\\ & x^2+y^2=6\\ & \text{maka }\\ & \bullet \text{pusat lingkaran adalah O}\\ & x^2+y^2=r^2\\ & \bullet \text{dengan jari-jarinya adalah}\\ & r^2=6\Rightarrow r=\sqrt{6}\\ & \text{Jadi, pusat lingkaran di O dengan}\\ & \text{jari-jari sebesar}r=\sqrt{6}\end{array}\end{array}$.

Kumpulkan Materi Ketaksamaan

 Kumpulan Materi Ketaksamaan

• Konsep Ketaksamaan QM-AM-GM-HM
• Materi Ketaksamaan QM-AM-GM-HM
• Materi Ketaksamaan Cauchy-Schwarz-Engel (CS-E)
• Materi Ketaksamaan Renata (Rearrangement)
• Materi Ketaksamaan Chebyshev
• Materi Ketaksamaan Holder
• Materi Ketaksamaan Schur
• Materi lanjutan Ketaksamaan Schur
• Contoh Soal 1 Ketaksamaan
• Contoh Soal 2 Ketaksamaan
• Contoh Soal 3 Ketaksamaan
• Contoh Soal 4 Ketaksamaan
• Contoh Soal 5 Ketaksamaan
• Contoh Soal 6 Ketaksamaan
• Contoh Soal 7 Ketaksamaan
• Contoh Soal 8 Ketaksamaan
• Contoh Soal 9 Ketaksamaan
• Contoh Soal 10 Ketaksamaan
• Contoh Soal 11 Ketaksamaan
• Contoh Soal 12 Ketaksamaan
• Contoh Soal 13 Ketaksamaan
• Contoh Soal 14 Ketaksamaan
• Contoh Soal 15 Ketaksamaan

Materi dan Contoh Soal Matematika Wajib Kelas X, XI, XII Tahun 2023

 A. Kelas X (Sepuluh)

A. 1 Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dari Bentuk Linear Satu Variabel

• materi persamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 
• materi pertidaksamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , 

A. 2 Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Variabel

• materi pertidaksamaan rasional dan irasional satu variabel
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , 

A. 3 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

• materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
• lanjutan materi SPLTV
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 

A. 4 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linear-Linear

• materi sistem pertidaksamaan dua variabel linear-linear
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 

A. 5 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linear dan Kuadrat

• materi 1, materi 2, materi 3, 
• contoh Soal 1.

A. 6 Fungsi

• materi pendahuluan, domain-kodomain-range fungsi, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, 

A. 7 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

• materi fungsi komposisi dan fungsi invers
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5

A. 8 Rasio Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

• materi trigonometri awal
• perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

A. 9 Rasio Trigonometri Sudut-Sudut diberbagai Kuadran

• koordinat kartesius, koordinat kutub serta sudut-sudut di berbagai kuadran

A. 10 Aturan Sinus dan Cosinus

• aturan sinus
• aturan cosinus (bagian 1), aturan cosinus (bagian 2)
• contoh soal

B. Kelas XI (Sebelas)

B. 1 Program Linear

• materi program linear
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 

B. 2 Matriks

• materi matriks 
• lanjutan materi 1
• lanjutan materi 2
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 

B. 3 Determinan dan Invers Matriks Ordo 2x2

• materi determinan
• materi invers matriks ordo 2x2
• contoh soal 4 , contoh 5 , contoh 6 

B. 4 Transformasi Geometri

• materi
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5.

B. 5 Pola Bilangan dan Jumlah pada Barisan Aritmetika dan Geometri

• materi pola bilangan - induksi matematika
• pola bilangan dan barisan serta deret aritmetika
• pola bilangan dan barisan serta deret geometri 
• berikut contoh soal induksi matematika dan pola bilangan
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5
• materi barisan dan deret aritmetika (hitung)
• lanjutan materi barisan dan deret geometri (ukur)
• berikut contoh soalnya
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.
• barisan dan deret aritmetika dan geometri sekaligus
• contoh soal selingan (diselipkan soal untuk kompetisi) yang terkait barisan dan deret: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4.

B. 6 Limit Fungsi Aljabar

• materi
• contoh soal 1, contoh 2, 

B. 7 Turunan Fungsi Aljabar

• materi turunan fungsi aljabar
• bentuk umum turunan aljabar
• sifat turunan pertama dan aturan rantai
• aturan rantai pada turunan pertama dan kedua
• penggunaan turunan fungsi
• menyelesaikan masalah terkait keekstriman fungsi
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4

B. 8 Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

• materi pendahuluan
• teknik pengintegralan (dengan teknik substitusi)
• teknik pengintegralan (dengan integral parsial dan atau Tanzalin)
• penggunaan integral tak tentu
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4.

Tambahan/Pengayaan

Integral Tentu Fungsi Aljabar

• materi fungsi aljabar
• penggunaan inetgral tentu fungsi aljabar
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8.

C. Kelas XII (Dua Belas)

C. 1 Jarak dalm Ruang

• Geometri ruang
• Lanjutan materi 1, lanjutan materi 2, lanjutan materi 3, lanjutan materi 4, lanjutan materi 5.
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 

Statistika

• materi statistika, penyajian data dalam bentuk diagram.
• ukuran pemusatan data. ukuran letak data 1, ukuran letak data 2, ukuran letak data 3, interpolasi linear, ukuran penyebaran data 1, ukuran penyebaran data 2, koefisien variansi
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13

C. 3 Aturan Pencacahan

• materi pendahuluan(kombinatorial dan percobaan), kaidah pencacahan(kaidah perkalian), faktorial-permutasi-kombinasi, 
• contoh soal 1 permutasi-kombinasi, contoh 2, contoh 3, 
• materi Binomial Newton (pengayaan), fungsi pembangkit untuk kombinasi (pengayaan), 
• contoh soal 1 (kaidah pencacahan), contoh 2, contoh 3,

C. 4 Peluang Kejadian Majmuk

• materi pendahuluan (percobaan, ruang sampel, dan kejadian), peluang kejadian tunggal dan frekuensi harapan, peluang kejadian majmuk (peluang komplemen, dua kejadian saling bebas, dua kejadian tidak saling bebas), kejadian saling lepas, kejadian tidak saling lepas, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, 

Materi dan Contoh Soal Matematika Peminatan Kelas X, XI, XII Tahun 2023

 A. Kelas X (Sepuluh)

A. 1 Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritma

• materi eksponen 1, materi fungsi eksponen 2, lanjutan fungsi eksponen, lanjutan materi 2 fungsi ekponen, lanjutan materi 3 fungsi eksponen, 
• contoh soal eksponen 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10 
• materi logaritma 
• materi logaritma lanjutan
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
• materi logaritma lanjutan 2
• materi persamaan logaritma 1, persamaan 2, persamaan 3, persamaan 4, persamaan 5. aplikasi logaritma, pengayaan (operasi logaritma natural)
• contoh soal 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13.

A. 2 Vektor

• materi vektor, operasi vektor, vektor di dimensi dua, perkalian skalar dua vektor, proyeksi ortogonal suatu vektor, vektor dimensi tiga, lanjutan vektor dimensi tiga, operasi vektor berdimensi tiga, lanjutan 1 operasi vektor berdimensi tiga, lanjutan 2 operasi vektor berdimensi tiga, proyeksi orthogonal suatu vektor di dimensi tiga, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, (urutan) contoh soal 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8, contoh 9, contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13.

B. Kelas XI (Sebelas)

B. 1 Persamaan Trigonometri

• materi persamaan trigonometri, identitas trigonometri, menentukan nilai perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, relasi sudut, persamaan trigonometri sederhana.
• lanjutan materi 1 , materi 2 , materi 3
• materi baru
• persamaan tigonometri: identitas trigonometri, menentukan nilai perbandingan trigonometri, sudut-sudut berelasi, persamaan trigonometri sederhana, persamaan bentuk a sin x + b cos x=c, grafik fungsi trigonometri, 
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
• soal tengah semester gasal : contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4,

B. 2 Rumus Jumlah dan Selisih

• rumus jumlah dan selisih 1
• rumus jumlah dan selisih 2
• materi terbaru : rumus jumlah dan selisih dudut sinus, cosinus, tangen, rumus sudut rangkap/ganda, sudut paruh/tengahan, rumus perkalian sinus dan cosinus, rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus, 
• soal persiapan menghadapi semester gasal: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.

B. 3 Persamaan Lingkaran

• materi lingkaran, kedudukan titik terhadap lingkaran, kedudukan garis terhadap lingkaran, persamaan garis singgung lingkaran, hubungan dua lingkaran
• contoh soal 1, contoh  2, contoh 3, contoh 4. Contoh 5 (Hubungan Dua Lingkaran), Contoh 6, Contoh 7, Contoh 8

B. 4 Polinom

• materi pendahuluan, operasi polinom, metode Horner-Kino (materi lanjutan operasi polinom) teorema sisa dan teorema faktor, persamaan polinom
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8, contoh 9

C. Kelas XII (Duabelas)

C. 1 Limit Fungsi Trigonometri

• limit fungsi trigonometri (materi lama-perkenalan dengan limit fungsi aljabar), lanjutan materi lama, lanjutan rumus dasar limit trigonometri, 
• materi pendahuluan limit, menentukan nilai limit fungsi trigonometri, pembuktian teorema apit (identitas limit fungsi trigonometri), limit fungsi trigonometri di tak hingga,
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5,
• materi limit diketakhinggan.
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5,

C.2 Turunan Fungsi Trigonometri

• materi turunan fungsi trigonometri
• lanjutan materi 
• contoh soal  (bagaian 1)
• lanjutan materi 2 
• lanjutan materi 3
• lanjutan materi 4 (sifat-sifat turunan)
• lanjutan materi 5
• contoh soal 1 (bagain 2) , contoh 2 , contoh 3 contoh 4 , contoh 5
• lanjutan materi 6 (persamaan garis singgung kurva)-turunan pertama
• lanjutan materi 7 (fungsi naik dan fungsi turun)-turunan pertama
• lanjutan materi 8 (nilai stasioner)-turunan pertama
• lanjutan materi 9 (aplikasi nilai stasioner)-turunan pertama
• contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9
• turunan kedua fungsi trigonometri (Fungsi naik dan fungsi turun, titik belok serta selang kecekungan)
• contoh 10 , contoh 11 , contoh 12 , contoh 13

C.3 Distribusi peluang binomial

• materi distribusi binomial, distribusi peluang diskrit, 
• contoh soal 1, contoh 2, 
• distribusi peluang kontinu, Binomial Newton,
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3,

C.4 Distribusi normal

• materi distribusi normal, lanjutan 1 materi, lanjutan 2 materi
• materi distribusi student, penarikan kesimpulan (pengujian hipotesis)
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6

Lanjutan 2 Materi Barisan dan Deret (Deret Aritmetika-Geometri tak Berhingga)

Sebelum kita membahas materi seperti judul di atas, Anda dapat mengulik materi sebelumnya tentang barisan dan deret di link berikut:

• link 1 (Barisan dan Deret)
• link 2 (Barisan dan Deret)

Deret Aritmetika dan Geometri Sekaligus

Perhatikan barisan bilangan berikut

$\begin{array}{rl}& a,(a+b)r,(a+2b)r^2,(a+3b)r^3,\cdots ,(a+(n-1)b)r^{n-1}\end{array}$.

Jika deretnya berhingga maka jumlah deretnya adalah

$\begin{array}{ll}\begin{array}{rl}{S}_n& =a+(a+b)r+(a+2b)r^2+\cdots +(a+(n-1)b)r^{n-1}\\ r{S}_n& =ar+(a+b)r^2+(a+2b)r^3+\cdots +(a+(n-1)b)r^n\end{array}& -\\ \begin{array}{rl}(1-r)S_n& =a-(a+(n-1)b)r^n+{\displaystyle \frac{br(1-r^{n-1})}{(1-r)}}\\ \iff S_n& ={\displaystyle \frac{a-(a+(n-1)b)r^n}{(1-r)}+\frac{br(1-r^{n-1})}{(1-r{)}^2}}\end{array}\end{array}$.

Jika deretnya tak berhingga, maka nilai  $S_n$  bergantung pada nilai  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\text{lim}}{\displaystyle r^n}$

• Jika  $\left|r\right|<1$, maka deretnya konvergen (memiliki jumlah atau jumlahnya dapat ditentukan), yaitu : $S_{\mathrm{\infty }}={\displaystyle \frac{a}{1-r}+\frac{br}{(1-r{)}^2}}$ dengan suku awal deret geometrinya adalah 1.
• Jika  $\left|r\right|\ge 1$, maka deret tak memiliki jumlah yang pas (jumlahnya tidak dapat ditentukan)

Bukti :

untuk $\left|r\right|<1$. Diketahui bahwa  $\begin{array}{rl}{S}_n& ={\displaystyle \frac{a-(a+(n-1)b)r^n}{(1-r)}+\frac{br(1-r^{n-1})}{(1-r{)}^2}}\end{array}$. Karena harga  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\text{lim}}{\displaystyle r^n=0}$, maka jumlah deretnya adalah:

$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\text{lim}}{\displaystyle S}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\text{lim}}{\displaystyle \frac{a-(a+(n-1)b)r^n}{(1-r)}+\frac{br(1-r^{n-1})}{(1-r{)}^2}}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\text{lim}}{\displaystyle \frac{a-(a+(n-1)b)r^n}{(1-r)}+\frac{br-b{r}^n}{(1-r{)}^2}}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\text{lim}}{\displaystyle \frac{a-0}{(1-r)}+\frac{br-0}{(1-r{)}^2}}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\text{lim}}{\displaystyle \frac{a}{(1-r)}+\frac{br}{(1-r{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{a}{(1-r)}+\frac{br}{(1-r{)}^2}◼}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah jumlah nilai dari}\\ & {\displaystyle \frac{0}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\cdots }\\ \\ & \mathbf{\text{Pembahasan}}:\\ & \begin{array}{rl}& S_{\mathrm{\infty }}={\displaystyle \frac{0}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\cdots }\\ & \text{dengan}\\ & \begin{array}{|cc|}\hline \text{Bagian aritmetika}& \text{Bagian Geometri}\\ (\text{lihat bagian pembilang})& (\text{bagian pembilang-penyebut})\\ \{\begin{array}{ll}\bullet a& =U_1=0\\ \bullet b& =U_2-U_1\\ & =1-0=1\end{array}& \bullet r={\displaystyle \frac{U_2}{U_1}=\frac{\frac{1}{2}}{1}={\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ \hline\end{array}\\ & \begin{array}{rl}{S}_{\mathrm{\infty }}& ={\displaystyle \frac{a}{(1-r)}+\frac{br}{(1-r{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{0}{1-\frac{1}{2}}+\frac{1\times \frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2}{)}^2}=0+{\displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}}}\\ & =0+{\displaystyle \frac{4}{2}}\\ & =2\end{array}\\ & \text{Jadi},{\displaystyle \frac{0}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\cdots =2}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah jumlah nilai dari}\\ & {\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+\frac{9}{32}+\cdots }\\ \\ & \mathbf{\text{Pembahasan}}:\\ & \begin{array}{rl}& S_{\mathrm{\infty }}={\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+\frac{9}{32}+\cdots }\\ & \text{dengan suku awal geometri bukan 1, maka kita ubah menjadi}\\ & 2S_{\mathrm{\infty }}=1+{\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+\frac{9}{16}+\cdots }\\ & \begin{array}{|cc|}\hline \text{Bagian aritmetika}& \text{Bagian Geometri}\\ (\text{lihat bagian pembilang})& (\text{bagian pembilang-penyebut})\\ \{\begin{array}{ll}\bullet a& =U_1=1\\ \bullet b& =U_2-U_1=3-1=2\end{array}& \bullet r={\displaystyle \frac{U_2}{U_1}=\frac{\frac{1}{2}}{1}={\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ \hline\end{array}\\ & \begin{array}{rl}2S_{\mathrm{\infty }}& ={\displaystyle \frac{a}{(1-r)}+\frac{br}{(1-r{)}^2}}\\ 2S_{\mathrm{\infty }}& ={\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{2}}+\frac{2\times \frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2}{)}^2}=2+4=6}\\ S_{\mathrm{\infty }}& =3\end{array}\\ & \text{Jadi},{\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+\frac{9}{32}+\cdots =3}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah jumlah nilai dari}\\ & 2+{\displaystyle \frac{5}{2}+\frac{8}{2^2}+\frac{11}{2^3}+\frac{14}{2^4}+\frac{17}{2^5}+\cdots }\\ \\ & \mathbf{\text{Pembahasan}}:\\ & \begin{array}{rl}& S_{\mathrm{\infty }}=2+{\displaystyle \frac{5}{2}+\frac{8}{2^2}+\frac{11}{2^3}+\frac{14}{2^4}+\frac{17}{2^5}+\cdots }\\ & \text{dengan}\\ & \begin{array}{|cc|}\hline \text{Bagian aritmetika}& \text{Bagian Geometri}\\ (\text{lihat bagian pembilang})& (\text{bagian pembilang-penyebut})\\ \{\begin{array}{ll}\bullet a& =U_1=2\\ \bullet b& =U_2-U_1=5-2=3\end{array}& \bullet r={\displaystyle \frac{U_2}{U_1}=\frac{\frac{1}{2}}{1}={\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ \hline\end{array}\\ & \begin{array}{rl}{S}_{\mathrm{\infty }}& ={\displaystyle \frac{a}{(1-r)}+\frac{br}{(1-r{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{1-\frac{1}{2}}+\frac{3\times \frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2}{)}^2}=4+6=10}\end{array}\\ & \text{Jadi},2+{\displaystyle \frac{5}{2}+\frac{8}{2^2}+\frac{11}{2^3}+\frac{14}{2^4}+\frac{17}{2^5}+\cdots =10}\end{array}\end{array}$.

$\text{LATIHAN SOAL}$.

Tentukan besar jumlah dari deret berikut

$\begin{array}{rl}1.& 1+{\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{3}{9}+\frac{4}{27}+\frac{5}{81}+\frac{6}{243}+\cdots }\\ 2.& 1+{\displaystyle \frac{3}{3}+\frac{5}{9}+\frac{7}{27}+\frac{9}{81}+\frac{11}{243}+\cdots }\\ 3.& 1+{\displaystyle \frac{2}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{4}{5^3}+\frac{5}{5^4}+\frac{6}{5^5}+\cdots }\\ 4.& 1+{\displaystyle \frac{3}{7}+\frac{5}{7^2}+\frac{7}{7^3}+\frac{9}{7^4}+\frac{11}{7^5}+\cdots }\\ 5.& {\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{3}{9}+\frac{4}{27}+\frac{5}{81}+\frac{6}{243}+\frac{7}{729}+\cdots }\\ 6.& {\displaystyle \frac{3}{3}+\frac{5}{9}+\frac{7}{27}+\frac{9}{81}+\frac{11}{243}+\frac{13}{729}+\cdots }\\ 7.& {\displaystyle \frac{2}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{4}{5^3}+\frac{5}{5^4}+\frac{6}{5^5}+\frac{7}{5^6}+\cdots }\\ 8.& {\displaystyle \frac{3}{7}+\frac{5}{7^2}+\frac{7}{7^3}+\frac{9}{7^4}+\frac{11}{7^5}+\frac{13}{7^6}+\cdots }\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Thohir, A. 2013. Barisan dan Deret Materi Pendamping Olimpiade Matematika MA/SMA. Grobogan: MA Futuhiyah.

SUMBER INTERNET

https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetico-geometric_sequence