Lanjutan 1 Contoh Soal dan Pembahasan Persiapan PHB Gasal Materi Fungsi Eksponensial (Kelas X)

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Bentuk sederhana dari}\\ & {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}}+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}}+{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{-{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-1}}+{\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^{-{\left(\frac{1}{5}\right)}^{-1}}\\ & \text{adalah ... .}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 3142\\ \text{b}.& 287\\ \text{c}.& 3412\\ \text{d}.& 4116\\ \text{e}.& 4096\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \begin{array}{rl}& {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}}+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}}+{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{-{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-1}}+{\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^{-{\left(\frac{1}{5}\right)}^{-1}}\\ & ={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{-2}+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{-3}+{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{-4}+{\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^{-5}\\ & =2^2+3^3+4^4+5^5\\ & =4+27+256+3125\\ & =3412\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Nilai dari}\\ & \underset{89}{\underbrace{(-7)(-7)(-7)\cdots (-7)}}-(-7{)}^{89}\\ & \text{adalah ... .}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 2\\ \text{b}.& 7\\ \text{c}.& 4\\ \text{d}.& 0\\ \text{e}.& 9\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{d}}\\ & \begin{array}{rl}& \underset{89}{\underbrace{(-7)(-7)(-7)\cdots (-7)}}-(-7{)}^{89}\\ & =(-7{)}^{89}-(-7{)}^{89}\\ & =0\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Nilai dari}{\left(\sqrt{3\times \sqrt[4]{27\times \sqrt[3]{81}}}\right)}^{{\displaystyle \frac{24}{25}}}\\ & \text{adalah ... .}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 1\\ \text{b}.& 2\\ \text{c}.& 3\\ \text{d}.& 4\\ \text{e}.& 5\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{c}}\\ & \begin{array}{rl}& {\left(\sqrt{3\times \sqrt[4]{27\times \sqrt[3]{81}}}\right)}^{{\displaystyle \frac{24}{25}}}\\ & ={(3^{\frac{1}{2}}.(3^3{)}^{\frac{1}{2.4}}.(3^4{)}^{\frac{1}{2.4.3}})}^{{\displaystyle \frac{24}{25}}}\\ & ={\left(3^{\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{4}{24}}\right)}^{{\displaystyle \frac{24}{25}}}\\ & =3^{\frac{12}{25}+\frac{9}{25}+\frac{4}{25}}\\ & =3^{\frac{25}{25}}\\ & =3\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 9.& \text{Jika}\sqrt{{27}^{2x+3}}={\displaystyle \frac{1}{3^{x-2}{.9}^{3x}},\text{maka nilai}}\\ & 8x+2\text{adalah ... .}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 0\\ \text{b}.& 2\\ \text{c}.& 4\\ \text{d}.& 8\\ \text{e}.& 12\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{a}}\\ & \mathbf{\text{Alternatif 1}}\\ & \begin{array}{rl}\sqrt{{27}^{2x+3}}& ={\displaystyle \frac{1}{3^{x-2}{.9}^{3x}}}\\ {27}^{{\displaystyle \frac{2x+3}{2}}}& =3^{-(x-2)}{.9}^{-3x}\\ 3^{3.\left({\displaystyle \frac{2x+3}{2}}\right)}& =3^{2-x}{.3}^{2(-3x)}\\ 3^{3.\left({\displaystyle \frac{2x+3}{2}}\right)}& =3^{2-x-6x}\\ 3{}^{3.\left({\displaystyle \frac{2x+3}{2}}\right)}& =3{}^{2-7x}\\ 3\frac{(2x+3)}{2}& =2-7x\\ 6x+9& =4-14x\\ 6x+14x& =4-9\\ 20x& =-5\\ & x=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ \text{maka nilai}& \\ 8x+2& =8(-{\displaystyle \frac{1}{4}})+2=-2+2=0\end{array}\\ & \mathbf{\text{Alternatif 2}}\\ & \begin{array}{rl}\sqrt{{27}^{2x+3}}& ={\displaystyle \frac{1}{3^{x-2}{.9}^{3x}}}\\ {27}^{{\displaystyle \frac{2x+3}{2}}}{.3}^{x-2}{.9}^{3x}& =1\\ 3^{3\left({\displaystyle \frac{2x+3}{2}}\right)}{.3}^{x-2}{.3}^{2(3x)}& =3^0\\ 3^{3\left({\displaystyle \frac{2x+3}{2}}\right)+x-2+6x}& =3^0\\ {\displaystyle \frac{3(2x+3)}{2}+7x-2}& =0\\ 6x+9+14x-4& =0\\ 20x+5& =0\\ 20x& =-5\\ x& =-{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ \text{Selanjutnya sama}& \\ \text{dengan langkah no.1}& \text{di atas}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 10.& \text{Penyelesaian persamaan}{3}^{2x+1}={81}^{x-2}\\ & \text{adalah ... .}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 0\\ \text{b}.& 2\\ \text{c}.& 4\\ \text{d}.& 4{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \text{e}.& 16\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{d}}\\ & \begin{array}{rl}{3}^{2x+1}& ={81}^{x-2}\\ 3^{2x+1}& =(3^4{)}^{x-2}\\ 3^{2x+1}& =3^{4x-8}\\ 2x+1& =4x-8\\ 2x-4x& =-8-1\\ -2x& =-9\\ x& ={\displaystyle \frac{-9}{-2}}\\ & =4{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\end{array}$.

Contoh Soal dan Pembahasan Persiapan PHB Gasal Materi Fungsi Eksponensial (Kelas X)

 $\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Bentuk sederhana dari}{\displaystyle \frac{a^p.a^q}{a^r}:a^{2r}\text{adalah ... .}}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& a^{p+q-3r}\\ \text{b}.& a^{p+3r-q}\\ \text{c}.& a^{p-2q+r}\\ \text{d}.& a^{p+q+r}\\ \text{e}.& a^{p-3q-r}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{a}}\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{a^p.a^q}{a^r}:a^{2r}}& ={\displaystyle \frac{a^p.a^q}{a^r.a^{2r}}}\\ & ={\displaystyle \frac{a^{p+q}}{a^{r+2r}}}\\ & ={\displaystyle \frac{a^{p+q}}{a^{3r}}}\\ & =a^{p+q-3r}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Jika}x=\sqrt[3]{5+\sqrt[3]{8}},\text{maka nilai}\\ & x^3\text{adalah ... .}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 3\\ \text{b}.& 4\\ \text{c}.& 5\\ \text{d}.& 6\\ \text{e}.& 7\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{e}}\\ & \begin{array}{rl}x& =\sqrt[3]{5+\sqrt[3]{8}}\text{dipangkatkan 3}\\ & \text{masing-masing ruas}\\ x^3& ={\left(\sqrt[3]{5+\sqrt[3]{8}}\right)}^3\\ & =5+\sqrt[3]{8}\\ & =5+\sqrt[3]{2^3}=5+2=7\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Jika}{4}^a\times 4^b=64\text{dan}{\displaystyle \frac{4^a}{4^b}=16}\\ & \text{maka nilai dari}a:b\text{adalah ... .}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 5\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{5}{4}}\\ \text{c}.& {\displaystyle \frac{1}{3}}\\ \text{d}.& 3\\ \text{e}.& {\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{a}}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\\ & \bullet 4^a\times 4^b=64\iff 4^{a+b}=4^3\iff a+b=3....(1)\\ & \bullet {\displaystyle \frac{4^a}{4^b}=16\iff 4^{a-b}=4^2\iff a-b=2...........(2)}\\ & \text{Dari persamaan}(1)\mathrm{\&}(2)\text{akan didapatkan}\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \begin{array}{lll}a+b& =& 3\\ a-b& =& 2& +\\ 2a& =& 5\\ a& =& {\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}& \begin{array}{rll}a+b& =& 3\\ a-b& =& 2& -\\ 2b& =& 1\\ b& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \text{Sehingga nilai}a:b={\displaystyle \frac{a}{b}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=5}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& (\mathbf{\text{SPMB 2003}})\\ & \text{Jika}a\ne 0,\text{maka nilai}{\displaystyle \frac{(-2a{)}^3(2a{)}^{-\frac{2}{3}}}{{\left(16a^4\right)}^{\frac{1}{3}}}\text{adalah ... .}}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& -2^{2}a\\ \text{b}.& {\displaystyle -2a}\\ \text{c}.& {\displaystyle 2a^2}\\ \text{d}.& 2^{2}a\\ \text{e}.& {\displaystyle -2a^2}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{b}}\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{(-2a{)}^3(2a{)}^{-\frac{2}{3}}}{{\left(16a^4\right)}^{\frac{1}{3}}}}& ={\displaystyle \frac{-8a^3}{(2a{)}^{\frac{2}{3}}.{\left(16a^4\right)}^{\frac{1}{3}}}}\\ & =-{\displaystyle \frac{(2a{)}^3}{(2a{)}^{\frac{2}{3}}.(2a{)}^{\frac{4}{3}}}}\\ & =-{\displaystyle \frac{(2a{)}^3}{(2a{)}^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}}}\\ & =-{\displaystyle \frac{(2a{)}^3}{(2a{)}^2}}\\ & =-(2a{)}^{3-2}\\ & =-2a\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Bentuk sederhana dari}{\displaystyle \frac{4^{n+3}-4^{n+1}}{4(4^{n-1})}}\\ & \text{adalah ... .}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& 64\\ \text{b}.& 60\\ \text{c}.& 18\\ \text{d}.& 16\\ \text{e}.& 15\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\mathbf{\text{b}}\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{4^{n+3}-4^{n+1}}{4(4^{n-1})}}& ={\displaystyle \frac{4^n{.4}^3-4^n.4}{4.{\displaystyle \frac{4^n}{4}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{4^n(64-4)}{4^n}=60}\end{array}\end{array}$.

Lanjutan 3 Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

$\text{CONTOH SOAL 27}$.

Suatu permasalahan dapat diilustrasikan dalam bentuk grafik berikut

maka nilai dari  $a+b+c$  adalah ... .

$\begin{array}{rl}\text{a}.& -2\\ \text{b}.& -1\\ \text{c}.& 0\\ \text{d}.& 1\\ \text{e}.& 2\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 27}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa untuk grafik fungsi}\\ & \text{kuadrat di atas dapat dituliskan menjadi}\\ & y=a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\\ & \text{dengan}\\ & \bullet x_1=1(\text{grafik saat memotong sumbu}-X)\\ & \bullet x_2=3,(\text{grafik saat memotong sumbu}-X)\\ & \bullet \text{grafik juga memotong sumbu}-Y\text{di}(0,4)\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{rl}y& =a(x-x_1)(x-x_2)\\ \iff 4& =a(0-1)(0-3)\\ \iff 4& =a(-1)(-3)=3a\\ \iff a& ={\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}\\ & \text{Sehingga}\\ & y={\displaystyle \frac{4}{3}(x-1)(x-3)={\displaystyle \frac{4}{3}(x^2-4x+3)}}\\ & ={\displaystyle \frac{4}{3}{x}^2-\frac{16}{3}x+4}\\ & \text{Selanjutnya kita dapatkan nilai}\\ & a={\displaystyle \frac{4}{3},b=-\frac{16}{3},\text{dan}c=4}\\ & \text{Jadi},a+b+c={\displaystyle \frac{4}{3}+(-{\displaystyle \frac{16}{3}})+4=0}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 28}$.

August De'Morgan menghabiskan seluruh usianya pada tahun 1800-an. Suatu ketika saat tahun terakhir masa hidupnya ia mengatakan, "Dulu aku berusia $X$ tahun pada tahun $X^2$". Pada tahun berapakah  ia dilahirkan ...

$\begin{array}{rl}\text{a}.& 1806\\ \text{b}.& 1822\\ \text{c}.& 1849\\ \text{d}.& 1851\\ \text{e}.& 1853\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 28}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Bilangan kuadrat sempurna yang}\\ & \text{mengandung digit 1800-an adalah}\\ & {42}^2<{43}^2<{44}^2\Rightarrow 1764<1849<1936\\ & \text{pilih saja}{43}^2=1849\\ & \text{Akibatnya, August De'Morgan berusia}\\ & \text{43 tahun pada tahun 1849, sehingga tahun}\\ & \text{lahirnya tokoh tersebut adalah}:\\ & =1849-43=1806\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 29}$.

Segitiga siku-siku OAB terbentuk dari sumbu-X, sumbu-Y, dan garis $y=8-2x$. Titik P(x,y) terletak pada garis tersebut. Jika dari titik P dibuat garis-garis tegak lurus sumbu-X dan sumbu-Y sehingga terbentuklah persegi panjang berdiagonal OP, maka koordinat P agar luas persegi panjang tersebut maksimum adalah ...

$\text{SOLUSI SOAL 29}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\\ & \text{persegi panjang tersebut luasnya}=L(x)\\ & =panjang\times lebar=x\times y=x\times (8-2x)\\ & =8x-2x^2(a=-2,b=8,c=0)\\ & \text{Agar luas maksimum, maka}\\ & x={\displaystyle \frac{-b}{2a}(x\text{sumbu simetri})}\\ & ={\displaystyle \frac{-8}{2(-2)}=2}\\ & \text{Selanjutnya kita cari}-\text{nya, yaitu}\\ & y=8-2x=8-2.2=8-4=4\\ & \text{Jadi, koordinat}P(x,y)=P(2,4)\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 30}$.

Tegangan listrik normal yang didistribusikan oleh PLN ke rumah-rumah adalah sebesar 220 volt. Akan tetapi, tegangan nyata di rumah-rumah toleransinya berbeda-beda dan paling tinggi adalah 11 volt dari normalnya.

Tentukanlah tegangan nyata yang masih ditolerans oleh PLN pada kasus di atas

$\text{SOLUSI SOAL 30}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Dari informasi di atas diketahui bahwa}\\ & |x-220|\le 11\\ & \iff -11\le x-220\le 11\\ & \iff -11+220\le x-220+220\le 11+220\\ & \iff 209\le x\le 231\\ & \text{Jadi, tegangan yang ditoleransi PLN adalah}\\ & \text{209 volt sampai 231 volt}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M. 2016. Matematika untuk Siswa SMA-MA/SMK-MAK Kelas X (Wajib). Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
2. Maulana, F. 2010. Juara Olimpiade Matematika SMA. Jakarta: WAHYUMEDIA
3. Sunardi, Waluyo, S., Sutrisno, & Subagya. 2004. Matematika IA untuk SMA Kelas I. Jakarta: BUMI AKSARA.
4. Kumpulan Soal ada pada penulis.

Kumpulan Contoh Soal dan Pembahasan Persiapan Menghadapi AN BK 2022

Berikut link yang dapat Anda gunakan untuk membantu memahami AN BK 2022

• Konsep Materi dan Contoh dan Pembahasan Numerasi Soal no. 1 - 5
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 6 - 10
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 11 - 12
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 13
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 14 - 15
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 16 - 18
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 19 - 20 
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 21 - 26
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no, 27 - 30

Kumpulan Matematika Seluruh Kelas dari Kelas X, XI, dan XII  MA/SMA/Sederajat

• Materi Matematika Wajib
• Materi Matematika Pendalaman/Peminatan

Lanjutan 2 Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

$\text{CONTOH SOAL 21}$.

$\begin{array}{l}\\ & \text{Nilai eksak dari}\sin {36}^{\circ }\text{adalah}....\\ & \begin{array}{|c|}\hline \bullet \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta \\ \bullet \cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1\\ \bullet {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1\\ \hline\end{array}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}}& & & \text{e}.& {\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\\ \text{c}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{4}}}\end{array}\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 21}$.

Perhatikanlah ilustrasi segitiga berikut ini

$.\begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa}△ABC\text{sama kaki}\\ & \text{dengan}AD=DC=CB=1,AC=x\\ & \text{Diketahui pula}CD\text{adalah garis bagi}\\ & \text{serta}ABC\text{sebangun}△BCD\\ & \text{akibatnya}:\\ & \text{perbandingan sisi yang bersesuaian}\\ & \text{akan sama},\text{maka}\\ & {\displaystyle \frac{AB}{BC}={\displaystyle \frac{BC}{AB-AD}}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}}\\ & \iff x(x-1)=1\\ & \iff x^2-x-1=0\\ & \iff x={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}}\\ & \text{akibatnya}AB=AC={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\ & \text{Selanjutnya gunakan}\text{aturan sinus}\\ & {\displaystyle \frac{AB}{\sin \mathrm{\angle }C}=\frac{BC}{\sin \mathrm{\angle }A}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{AB}{BC}=\frac{\sin \mathrm{\angle }C}{\sin \mathrm{\angle }A}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)}{1}=\frac{\sin {72}^{\circ }}{\sin {36}^{\circ }}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}={\displaystyle \frac{2\sin {36}^{\circ }\cos {36}^{\circ }}{\sin {36}^{\circ }}}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}=2\cos {36}^{\circ }}\\ & \iff \cos {36}^{\circ }=\iff {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}\\ & \text{Dari fakta di atas kita akan dengan}\\ & \text{mudah menentukan nilai sinusnya}\\ & \text{yaitu dengan menggunakan}\\ & \text{identitas trigonometri berikut}:\\ & {\sin }^2{36}^{\circ }+{\cos }^2{36}^{\circ }=1\\ & \iff {\sin }^2{36}^{\circ }=1-{\cos }^2{36}^{\circ }\\ & \iff \sin {36}^{\circ }=\sqrt{1-{\cos }^2{36}^{\circ }}\\ & \iff =\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}\right)}^2}\\ & \iff =\sqrt{1-{\displaystyle \frac{6+2\sqrt{5}}{16}}}\\ & \iff =\sqrt{{\displaystyle \frac{10-2\sqrt{5}}{16}}}\\ & \iff ={\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\end{array}$.

Untuk menjawab soal no.22,23,24, 25 dan 26 perlu diketahui bahwa

$\lfloor x\rfloor =\text{bilangan bulat terbesar}\le x$.

$\lfloor 3,14\rfloor =3,\lfloor -7,2\rfloor =-8,\lfloor 2\rfloor =2$.

$\text{CONTOH SOAL 22}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Jika}\lfloor a\rfloor \times a=68\text{dan}\lfloor b\rfloor \times b=109,\\ & \text{maka nilai dari}\lfloor a\rfloor \times \lfloor b\rfloor -\lfloor a+b\rfloor =\cdots \end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 22}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa}\\ & \lfloor a\rfloor a=68\text{dan}\lfloor b\rfloor b=109\\ & \iff {\lfloor a\rfloor }^2\le \lfloor a\rfloor a\text{dan}{\lfloor b\rfloor }^2\le \lfloor b\rfloor b\\ & \iff {\lfloor a\rfloor }^2\le 68\text{dan}{\lfloor b\rfloor }^2\le 109\\ & \iff \lfloor a\rfloor =8\text{dan}\lfloor a\rfloor =10\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \bullet \lfloor a\rfloor a=68\Rightarrow 8a=68\Rightarrow a=8,5\\ & \bullet \lfloor b\rfloor b=109\Rightarrow 10b=109\Rightarrow b=10,9\\ & \text{Sehingga nilai}\\ & \lfloor a\rfloor \times \lfloor b\rfloor -\lfloor a+b\rfloor \\ & =8\times 10-\lfloor 8,5+10,9\rfloor \\ & =80-\lfloor 19,4\rfloor \\ & =80-19\\ & =61\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 23}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Jika}a\lfloor a\rfloor =17\text{dan}b\lfloor b\rfloor =11,\text{maka}\\ & \text{nilai dari}a-b=\cdots \end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 23}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa}\\ & a\lfloor a\rfloor =17\text{dan}b\lfloor b\rfloor =11\\ & \iff {\lfloor a\rfloor }^2\le a\lfloor a\rfloor \text{dan}{\lfloor b\rfloor }^2\le b\lfloor b\rfloor \\ & \iff {\lfloor a\rfloor }^2\le 17\text{dan}{\lfloor b\rfloor }^2\le 11\\ & \iff \lfloor a\rfloor =4\text{dan}\lfloor a\rfloor =3\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \bullet a\lfloor a\rfloor =17\Rightarrow 4a=17\Rightarrow a={\displaystyle \frac{17}{4}}\\ & \bullet b\lfloor b\rfloor =11\Rightarrow 3b=11\Rightarrow b={\displaystyle \frac{11}{3}}\\ & \text{Sehingga nilai}\\ & a-b={\displaystyle \frac{17}{4}-\frac{11}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{51-44}{12}}\\ & ={\displaystyle \frac{7}{12}}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 24}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Jika}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +y=43,8\text{dan}\\ & x+y-\lfloor x\rfloor =18,4,\text{maka nilai}\\ & \text{dari}10(x+y)=\cdots \end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 24}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\\ & \bullet \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +y=43,8\text{dan}\\ & \bullet x+y-\lfloor x\rfloor =18,4\\ & \text{Sekarang misalkan untuk}\\ & \bullet a\le x<a+1\Rightarrow \lfloor x\rfloor =a\\ & \bullet b\le y\le b+1\Rightarrow \lfloor y\rfloor =b\\ & \text{Selanjutnya untuk}x\text{dan}y\\ & \text{dapat kita nyatakan dengan}\\ & \bullet x=a+m,\text{dengan}0\le m<1\\ & \bullet y=b+n,\text{dengan}0\le n<1\\ & \begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Untuk persamaan pertama}}\\ & \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +y=43,8\\ & \iff a+b+b+n=43,8\\ & \iff a+2b+n=43,8\\ & \text{didapatkan}a+2b=43,\text{dan}n=0,8\\ & \mathbf{\text{Untuk persamaan kedua}}\\ & x+y-\lfloor x\rfloor =18,4\\ & \iff a+m+b+n-a=18,4\\ & \iff b+m+n=18,4\\ & \iff b+m+0,8=18,4\\ & \iff b+m=17,6\\ & \text{didapatkan}b=17,\text{dan}m=0,6\\ & \mathbf{\text{Selanjutnya perhatikan bahwa}}\\ & a+2b=43\iff a+2.(17)=43\\ & \iff a+34=43\iff a=43-34=9\\ & \mathbf{\text{Sehingga kita akan mendapatkan nilai}}\\ & \bullet x=a+m=9+0,6=9,6\\ & \bullet y=b+n=17+0,8=17,8\\ & \text{Jadi},10(x+y)=10(9,6+17,8)=274\end{array}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 25}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Jika}\lfloor 3x+y\rfloor =12\text{dan}\lfloor x+3y\rfloor =14,\\ & \text{maka nilai}\lfloor x+y\rfloor =\cdots \end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 25}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\\ & \bullet \lfloor 3x+y\rfloor =12\iff 12\le 3x+y<13\cdots (1)\\ & \bullet \lfloor x+3y\rfloor =14\iff 14\le x+3y<15\cdots (2)\\ & \text{Jika kedua ketaksamaan dijumlahkan, maka}\\ & 26\le 4x+4y<28\iff {\displaystyle \frac{26}{4}\le x+y<{\displaystyle \frac{28}{4}}}\\ & \iff 6{\displaystyle \frac{1}{2}\le x+y<7}\\ & \text{Jadi},\lfloor x+y\rfloor =6\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 26}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Jika}\lfloor {\displaystyle \frac{3x-7}{5}}\rfloor ={\displaystyle \frac{x}{3},\text{maka untuk}x\text{bulat terkecil}=\cdots }\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 26}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\\ & \lfloor {\displaystyle \frac{3x-7}{5}}\rfloor ={\displaystyle \frac{x}{3}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{x}{3}\le {\displaystyle \frac{3x-7}{5}<{\displaystyle \frac{x}{3}+1}}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{x}{3}\le {\displaystyle \frac{3x-7}{5}-\frac{x}{3}<{\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{x}{3}+1}}}\\ & \iff 0\le {\displaystyle \frac{4x-21}{15}<1}\\ & \iff 0\le 4x-21<15\\ & \iff 0+21\le 4x-21+21<15+21\\ & \iff 21\le 4x<36\\ & \iff {\displaystyle \frac{21}{4}\le x<9}\\ & \text{Jadi},x=6\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bambang, S. 2012. Materi, Soal dan Penyelesaian Olimpiade Matematika Tingkat SMA/MA. Jakarta: BINA PRESTASI INSANI.
2. Muslimin, M.S. 2018. Kumpulan Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tahun 2007-2019 Tingkat Kota/Kabupaten. Bandung: YRAMA WIDYA.
3. Mustofa, O. 2016. Olimpiyatlarina Hazirlik 1 Temel Bilgiler-1.Ankara
4. Tim Matematika. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap I. Bandung: LPPM ITB

Lanjutan Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

$\text{CONTOH SOAL 19}$.

Sebuah kolam berbentuk seperti gambar dengan panjang sampai ujung 10. Dua orang yang pada sebuah jalur lurus yang masing-masing berada pada posisi A dan B dan berjarak 8 kaki serta diketahui besar sudut sebagaimana ilustrasi pada gambar sebesar ${60}^0$. Tentukanlah jarak terpendek titik C ke jalur lurus tersebut

$\text{SOLUSI SOAL 19}$.

Jika kita sederhanakan gambar ilustrasi di atas adalah sebagai berikut

Kita akan menentukan panjang ruas garis yang berwarna merah di atas. Selanjutnya perhatikanlah

$\begin{array}{rl}& \text{Pada soal di atas, kita diminta untuk}\\ & \text{menentukan garis merah yang selanjutnya}\\ & \text{di sebut tinggi di sini}\\ & \text{Dengan bantuan luas segitiga ABC}\\ & \text{kita mendapatkan}\\ & \begin{array}{rl}\left[ABC\right]& =\left[ABC\right]\\ {\displaystyle \frac{\text{alas}\times \text{tinggi}}{2}}& ={\displaystyle \frac{1}{2}AB.BC\sin \mathrm{\angle }B}\\ {\displaystyle \frac{\text{AB}\times \text{tinggi}}{2}}& ={\displaystyle \frac{1}{2}AB.BC\sin {60}^0}\\ \text{tinggi}& =BC\left({\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}\right)\end{array}\\ & \text{Dengan aturan cosinus kita juga akan}\\ & \text{dapatkan}\\ & \begin{array}{rl}A{C}^2& =A{B}^2+B{C}^2-2.AB.BC.\cos \mathrm{\angle }B\\ {10}^2& =8^2+B{C}^2-2.8.BC.\cos {60}^0\\ {10}^2& -8^2=B{C}^2-2.8.BC.\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\\ B{C}^2& -8BC-36=0\\ B{C}_{1,2}& ={\displaystyle \frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8{)}^2-4.(-36)}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{64+144}}{2}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{208}}{2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{8\pm 4\sqrt{13}}{2}=4\pm 2\sqrt{13}}\\ & \text{pilih nilai BC yang positif, yaitu}\\ BC& =4+2\sqrt{13}\end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \text{Tinggi}={\displaystyle \frac{1}{2}BC\sqrt{3}={\displaystyle \frac{1}{2}(4+2\sqrt{13})\sqrt{3}\text{ m}}}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 20}$.

Sebuah kolam renang akan dibangun di area tanah yang berbentuk segitiga. Selain kolam renang juga akan dibangun ruang ganti kecil (lihat gambar berikut)

Tentukan jari-jari maksimu kolam renang jika tepi kolam renang bersinggungan dengan ruang ganti

$\text{SOLUSI SOAL 20}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa}\\ & \begin{array}{rl}\left[\text{ruang ganti}\right]& =\text{luas ruang ganti, dengan}\\ s& ={\displaystyle \frac{1}{2}(a+b+c)\iff s=\frac{4+5+6}{2}={\displaystyle \frac{15}{2}}}\\ \left[\text{ruang ganti}\right]& =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{15}{2}(\frac{15}{2}-4)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-6)}}\\ & =\sqrt{\frac{15}{2}.\frac{7}{2}.\frac{5}{2}.\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}\sqrt{\frac{7}{2}.\frac{2}{2}}=\frac{15}{4}\sqrt{14}\\ \text{Selain rumus}& \text{di atas, rumus luas juga berupa}\\ \left[\text{ruang ganti}\right]& =r_a(s-a)\\ {\displaystyle \frac{15}{4}\sqrt{14}}& =r_a.{\displaystyle \frac{7}{2}\iff {\displaystyle \frac{15}{14}\sqrt{14}=r_a}}\end{array}\\ & \text{Jadi, jari-jarinya adalah}{\displaystyle \frac{15}{14}\sqrt{14}\text{m}}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika SMU Jilid 1 Kelas 1. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

• Konsep Materi dan Contoh dan Pembahasan Numerasi Soal no. 1 - 5
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 6 - 10
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 11 - 12
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 13
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 14 - 15

$\text{CONTOH SOAL 16}$.

(Di adaptasi dari soal OSN Matematika SD 2008)

Perhatikanlah Kertas yang diberi garis lurus berikut

• dengan menggambar sebuah garis lurus akan didapatkan dua daerah (lihat gambar 1 di atas)
• dengan menggambar dua garis lurus akan didapatkan paling banyak empat daerah (lihat gambar 2 di atas)
• dengan menggambar tiga garis lurus akan didapatkan paling banyak tujuh daerah (lihat gambar 3 di atas)

(a) Dengan menggambar empat garis lurus, berapa daerah paling banyak akan didapatkan?

(b) Dengan menggambar tujuh garis lurus, berapa daerah paling banyak akan didapatkan?

(c) Dengan menggambar duapuluh garis lurus, berapa daerah paling banyak akan didapatkan?

$\text{SOLUSI SOAL 16}$.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Alternatif 1}}\\ & \begin{array}{|lccccc|}\hline \text{Banyak garis}& 0& 1& 2& 3& 4\\ \text{Maksimum daerah}& 1& 2& 4& 7& 11\\ & & \begin{array}{c}\downarrow \\ U_1\end{array}& \begin{array}{c}\downarrow \\ U_2\end{array}& \begin{array}{c}\downarrow \\ U_3\end{array}& \begin{array}{c}\downarrow \\ U_4\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \mathbf{\text{Polanya adalah}}\\ & \begin{array}{rl}& \underset{2}{\underbrace{\begin{array}{cc}2& 4\end{array}}}\underset{3}{\underbrace{\begin{array}{cc}& 7\end{array}}}\underset{4}{\underbrace{\begin{array}{cc}& 11\end{array}}}\underset{\cdots }{\underbrace{\begin{array}{cc}& \cdots \end{array}}}\end{array}\\ & \text{Merupakan barisan aritmetika tingkat dua}\\ & \end{array}$.

Silahkan gunakan cara penyelesaian yang kurang lebih sama dengan yang di sini.

maka akan didapatkan rumus $U_n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}+1}$.

$\begin{array}{rl}(\text{a}).& n=4\to U_4=11\\ (\text{b}).& n=7\to U_7={\displaystyle \frac{7\times 8}{2}+1=29}\\ (\text{c}).& n=20\to U_{20}={\displaystyle \frac{20\times 21}{2}+1=211}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Alternatif 2}}\\ & \text{Untuk Barisan dengan selisih tetap atau}\\ & \text{lebih dikenal dengan barisan aritmetika secar}\\ & \text{umum dapat dituliskan untuk suku}\text{ke}-n\\ & U_n=U_1+\left(\begin{array}{c}n-1\\ 1\end{array}\right)b_1^1+\left(\begin{array}{c}n-1\\ 2\end{array}\right)b_1^2+\cdots +\left(\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right)b_1^k\\ & \text{dengan}{U}_1=\text{suku pertama}\to U_1=2\\ & b_1^1=\text{selisih tingkat 1}\to b_1^1=4-2=2\\ & b_1^2=\text{selisih tingkat 2}\to b_1^2=1\\ & \text{Untuk tingkat 2},\\ & \begin{array}{rl}{U}_n& =U_1++\left(\begin{array}{c}n-1\\ 1\end{array}\right)b_1^1+\left(\begin{array}{c}n-1\\ 2\end{array}\right)b_1^2\\ & =U_1+(n-1)b_1^1+{\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}{b}_1^2}\\ & =2+(n-1)(2)+{\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}(1)}\\ & =2+2n-2+{\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}}\\ & =2n+{\displaystyle \frac{n^2-3n+2}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{n^2+n+2}{2}={\displaystyle \frac{n^2+n}{2}+1}}\\ U_n& ={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}+1,\text{maka}}\\ U_4& ={\displaystyle \frac{4.5}{2}+1=11}\\ U_7& ={\displaystyle \frac{7.8}{2}+1=29,\text{serta}}\\ U_{20}& ={\displaystyle \frac{20.21}{2}+1=211}\end{array}\end{array}$.

Diberikan teks berikut untuk soal 17 dan 18

$\text{CONTOH SOAL 17}$.

(Di adaptasi dari soal UMPTN 1997 IPA Terpadu)

KESEIMBANGAN ENERGI PADA DAUN

Laju fotosintesis total F didefinisikan sebagai jumlah total karbohidrat yang terbentuk dalam proses fotosintesis persatuan waktu. Hasil fotosintesis neto N didefinisikan sebagai sisa karbohidrat persatuan waktu setelah respirasi memecah karbohidrat sejumlah R persatuan waktu. Kelakuan besaran-besaran tersebut terhadap suhu antara ${10}^0$ C sampai ${30}^0$ C diamati sebagaimana berikut ini.

Ketika suhu naik, F bertambah lebih cepat dari pada R (yang naik secara eksponensial), tetapi segera mencapai harga yang tetap karena keterbatasan $C{O}_2$, sehingga N mulai menurun. Jadi N terhadap suhu hampir berbentuk parabola dengan puncak sekitar ${18}^0$ C.

Suhu daun dikendalikan oleh energi yang datang dan energi yang dikeluarkan. Energi dikeluarkan dari daun melalui proses konduksi ke sekelilingnya, dengan radiasi gelombang panjang, dan melalui transpirasi yang dapat berkisar antara 25% hingga 50%.

Bila pori daunnya tertutup untuk menahan penguapan air, maka suhunya naik. Radiasi terutama terjadi pada malam hari ketika tidak berawan sehingga daunnya mendingin.

$\begin{array}{l}\\ & \text{Jika jumlah N pada suhu}{10}^{0}C\text{adalah a dan}\\ & \text{pada suhu}{30}^{0}C\text{adalah b, maka N pada suhu t}\\ & \text{sekitar}\\ & (\text{a}){\displaystyle \frac{b-a}{80}{t}^2-{\displaystyle \frac{9b-9a}{20}t+{\displaystyle \frac{13b-9a}{4}}}}\\ & (\text{b}){\displaystyle \frac{b-a}{80}{t}^2+{\displaystyle \frac{9b-9a}{20}t+{\displaystyle \frac{13b-9a}{4}}}}\\ & (\text{c}){\displaystyle \frac{a-b}{80}{t}^2-{\displaystyle \frac{9b-9a}{20}t+{\displaystyle \frac{13b-9a}{4}}}}\\ & (\text{d}){\displaystyle \frac{a-b}{80}{t}^2+{\displaystyle \frac{9b-9a}{20}t+{\displaystyle \frac{13b-9a}{4}}}}\\ & (\text{e}){\displaystyle \frac{b-a}{80}{t}^2-{\displaystyle \frac{9b-9a}{20}t-{\displaystyle \frac{13b-9a}{4}}}}\end{array}$.

$\text{PEMBAHASAN SOAL NO.17}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Diketahui fungsi berbentuk parabola dengan}\\ & f(t)=p{t}^2+qt+r.\text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{lll}& f(t)& =p{t}^2+qt+r\\ & f(10)& =100p+10q+r& =a.......(1)\\ & f(30)& =900p+30q+r& =b.......(2)& -\\ & & -800p-20q& =a-b\end{array}\\ & \text{dan puncaknya di}{t}_{puncak}=-{\displaystyle \frac{q}{2p}=18,}\\ & \iff q=-36p............(4)\\ & \text{Dari persamaan}(3)\mathrm{\&}(4)\\ & -800p-20q=a-b\\ & \iff -800p-20(-36p)=a-b\\ & \iff -800p-720q=a-b\\ & \iff -80p=a-b\\ & \iff p={\displaystyle \frac{b-a}{80},\text{maka}q={\displaystyle \frac{-9b+9a}{20}}}\\ & \text{dan}r={\displaystyle \frac{13b-9a}{4}}\\ & \text{Sehingga}\\ & f(t)={\displaystyle \frac{b-a}{80}{t}^2-{\displaystyle \frac{9b-9a}{20}t+\frac{13b-9a}{4}}}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 18}$.

$\begin{array}{l}\text{Grafik F di atas terhadap suhu berbentuk seperti}\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 18}$.

Cukup Jelas opsi yang tepat adalah C

DAFTAR PUSTAKA

1. Departemen Operasi Lembaga Pendidikan Primagama. 1997. Siap UMPTN Kelompok IPA. Yogyakarta: PT. Mitra Prima Media.
2. Sobel, M. A., Maletsky, E.M. 2004. Mengajar Matematika Sebuah Buku Sumber Alat Peraga, Aktivitas, dan Strategi untuk Guru Matematika SD, SMP, SMA. Jakarta: ERLANGGA.
3. Wibowo, S.S. 2015. Kumpulan Soal & Pembahasan Olimpiade Matematika SD Jilid 1. Bandung: YRAMA WIDYA.

Lanjutan Materi Elips

Elips

A. Definisi

Definisi 1

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik di mana jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama.

Perhatikan ilustrasi berikut

Misalkan $F_1$  dan  $F_2$ masing-masing adalah fokus dari elips sebagaimana ilustrasi gambar di atas dengan $F_1{F}_2=2c$ dan misalkan juga jumlah jarak suatu titik pada elips ke $F_1$  dan  $F_2$ sama dengan $2a$ ($2a$ tetap dan $2a>2c>0$)

Ilustrasi bantu dengan lingkaran

Buatlah lingkaran dengan pusat di $F_1$ dengan $r_1=a-c$ dan lingkaran kedua dengan pusat di $F_2$ dengan $r_1=a+c$ (atau diblaok balik), maka lingkaran di $F_2$ akan memotong lingkaran di di $F_1$ pada titik-titik yang yang memenuhi definisi elips tersebut di atas.

$\begin{array}{rl}& \text{Misalkan}{F}_1{F}_2=2c=6(c=3)\\ & \text{dan}2a=8(a=4)\\ & \text{Dengan}\\ & a-c=4-3=1\text{dan}a+c=4+3=7\\ & \text{Sehingga}\\ & \begin{array}{|cccccccc|}\hline r_1& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ r_2& 7& 6& 5& 4& 3& 2& 1\\ \hline\end{array}\end{array}$.

Hal-hal yang berkaitan dengan elips.

$\begin{array}{|lcc|}\hline \text{Sumbu Simetri (Sb)}& \text{Sb. Utama}& \text{Sb. Sekawan}\\ & A_1{A}_2& B_1{B}_2\\ \text{Titik Pusat}& O& O\\ \text{Latus rectum}& \begin{array}{rl}& \text{Garis melalui}\\ & F_1\text{dan tegak}\\ & \text{lurus sumbu}\\ & \text{utama, yaitu}\\ & L_1{L}_1^{\prime }\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Garis melalui}\\ & F_2\text{dan tegak}\\ & \text{lurus sumbu}\\ & \text{utama, yaitu}\\ & L_2{L}_2^{\prime }\end{array}\\ \text{Keterkaitan}a,b,c& \begin{array}{rl}& a^2=b^2+c^2\end{array}& a^2=b^2+c^2\\ \hline\end{array}$.

Sebagai catatan pada elips ada dua sumbu simetri, yaitu sumbu utama dan sumbu sekawan. Sumbu utama juga disebut sebagai sumbu mayor atau sumbu panjang atau sumbu transversal dan sumbu ini berpotongan dengan elips di titik $A_1$ dan $A_2$ yang selanjutnya masing-masing disebut sebagai pucak dari elips tersebut. Adapun sumbu yang satunya adalah sumbu sekawan atau sumbu minor atau sumbu pendek atau sumbu konjungsi yaitu sumbu simetri yang melalui titik tengah $F_1{F}_2$ dan tegak lurus dengan $F_1{F}_2$ serta sumbu ini berpotongan dengan elips di titik $B_1$ dan $B_2$.

Definisi 2

Elips adalah kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke titik tertentu...

B. Persamaan Elips

B. 1 Persamaan Elips berpusat di O(0,0)

$\begin{array}{|c|}\hline \begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\\ & \text{atau}\\ & b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2\end{array}\\ \hline\end{array}$.

Perhatikan gambar pertama di atas

$\begin{array}{rl}& P{F}_1+P{F}_2=2a\\ & \iff \sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=2a\\ & \iff \sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}\\ & \iff (x-c{)}^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}\\ & +(x+c{)}^2+y^2\\ & \iff x^2-2cx+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}\\ & +x^2+2cx+y^2\\ & \iff 4a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=4a^2+4cx\\ & \iff a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=a^2+cx\\ & \iff a^2((x+c{)}^2+y^2)=a^4+2a^{2}cx+c^2{x}^2\\ & \iff a^2{x}^2+2a^{2}cx+a^2{c}^2+a^2{y}^2=a^4+2a^{2}cx+c^2{x}^2\\ & \iff (a^2-c^2)x^2+a^2{y}^2=a^2(a^2-c^2)\\ & \iff b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2\\ & \iff {\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\end{array}$.

Eksentrisitas dan Persamaan direktris

Perhatikan ilustrasi berikut

Berlatih Ketaksamaan

Matematika Peminatan Kelas X

Materi dan Contoh Soal Matematika Wajib Kelas X, XI, XII Tahun 2022

 A. Kelas X (Sepuluh)

A. 1 Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dari Bentuk Linear Satu Variabel

• materi persamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 
• materi pertidaksamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , 

A. 2 Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Variabel

• materi pertidaksamaan rasional dan irasional satu variabel
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , 

A. 3 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

• materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
• lanjutan materi SPLTV
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 

A. 4 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linear-Linear

• materi sistem pertidaksamaan dua variabel linear-linear
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 

A. 5 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linear dan Kuadrat

• materi 1, materi 2, materi 3, 
• contoh Soal 1.

A. 6 Fungsi

• materi pendahuluan, domain-kodomain-range fungsi, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, 

A. 7 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

• materi fungsi komposisi dan fungsi invers
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5

A. 8 Rasio Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

• materi trigonometri awal
• perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

A. 9 Rasio Trigonometri Sudut-Sudut diberbagai Kuadran

• koordinat kartesius, koordinat kutub serta sudut-sudut di berbagai kuadran

A. 10 Aturan Sinus dan Cosinus

• aturan sinus
• aturan cosinus (bagian 1), aturan cosinus (bagian 2)
• contoh soal

B. Kelas XI (Sebelas)

B. 1 Program Linear

• materi program linear
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 

B. 2 Matriks

• materi matriks 
• lanjutan materi 1
• lanjutan materi 2
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 

B. 3 Determinan dan Invers Matriks Ordo 2x2

• materi determinan
• materi invers matriks ordo 2x2
• contoh soal 4 , contoh 5 , contoh 6 

B. 4 Transformasi Geometri

• materi
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5.

B. 5 Pola Bilangan dan Jumlah pada Barisan Aritmetika dan Geometri

• materi pola bilangan - induksi matematika
• pola bilangan dan barisan serta deret aritmetika
• pola bilangan dan barisan serta deret geometri 
• berikut contoh soal induksi matematika dan pola bilangan
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5
• materi barisan dan deret aritmetika (hitung)
• lanjutan materi barisan dan deret geometri (ukur)
• berikut contoh soalnya
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5.

B. 6 Limit Fungsi Aljabar

• materi
• contoh soal 1, contoh 2, 

B. 7 Turunan Fungsi Aljabar

• materi turunan fungsi aljabar
• bentuk umum turunan aljabar
• sifat turunan pertama dan aturan rantai
• aturan rantai pada turunan pertama dan kedua
• penggunaan turunan fungsi
• menyelesaikan masalah terkait keekstriman fungsi
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4

B. 8 Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

• materi pendahuluan
• teknik pengintegralan (dengan teknik substitusi)
• teknik pengintegralan (dengan integral parsial dan atau Tanzalin)
• penggunaan integral tak tentu
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4.

Tambahan/Pengayaan

Integral Tentu Fungsi Aljabar

• materi fungsi aljabar
• penggunaan inetgral tentu fungsi aljabar
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8.

C. Kelas XII (Dua Belas)

C. 1 Jarak dalm Ruang

• Geometri ruang
• Lanjutan materi 1, lanjutan materi 2, lanjutan materi 3, lanjutan materi 4, lanjutan materi 5.
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 

Statistika

• materi statistika, penyajian data dalam bentuk diagram.
• ukuran pemusatan data. ukuran letak data 1, ukuran letak data 2, ukuran letak data 3, interpolasi linear, ukuran penyebaran data 1, ukuran penyebaran data 2, koefisien variansi
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13

C. 3 Aturan Pencacahan

• materi pendahuluan(kombinatorial dan percobaan), kaidah pencacahan(kaidah perkalian), faktorial-permutasi-kombinasi, 
• contoh soal 1 permutasi-kombinasi, contoh 2, contoh 3, 
• materi Binomial Newton (pengayaan), fungsi pembangkit untuk kombinasi (pengayaan), 
• contoh soal 1 (kaidah pencacahan), contoh 2, contoh 3,

C. 4 Peluang Kejadian Majmuk

• materi pendahuluan (percobaan, ruang sampel, dan kejadian), peluang kejadian tunggal dan frekuensi harapan, peluang kejadian majmuk (peluang komplemen, dua kejadian saling bebas, dua kejadian tidak saling bebas), kejadian saling lepas, kejadian tidak saling lepas, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, 

Materi dan Contoh Soal Matematika Peminatan Kelas X, XI, XII Tahun 2022

 A. Kelas X (Sepuluh)

A. 1 Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritma

• materi eksponen 1, materi fungsi eksponen 2, lanjutan fungsi eksponen, lanjutan materi 2 fungsi ekponen, lanjutan materi 3 fungsi eksponen, 
• contoh soal eksponen 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10 
• materi logaritma 
• materi logaritma lanjutan
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
• materi logaritma lanjutan 2
• materi persamaan logaritma 1, persamaan 2, persamaan 3, persamaan 4, persamaan 5. aplikasi logaritma, pengayaan (operasi logaritma natural)
• contoh soal 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13.

A. 2 Vektor

• materi vektor, operasi vektor, vektor di dimensi dua, perkalian skalar dua vektor, proyeksi ortogonal suatu vektor, vektor dimensi tiga, lanjutan vektor dimensi tiga, operasi vektor berdimensi tiga, lanjutan 1 operasi vektor berdimensi tiga, lanjutan 2 operasi vektor berdimensi tiga, proyeksi orthogonal suatu vektor di dimensi tiga, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, (urutan) contoh soal 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8, contoh 9, contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13.

B. Kelas XI (Sebelas)

B. 1 Persamaan Trigonometri

• materi persamaan trigonometri, identitas trigonometri, menentukan nilai perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, relasi sudut, persamaan trigonometri sederhana.
• lanjutan materi 1 , materi 2 , materi 3
• materi baru
• persamaan tigonometri: identitas trigonometri, menentukan nilai perbandingan trigonometri, sudut-sudut berelasi, persamaan trigonometri sederhana, persamaan bentuk a sin x + b cos x=c, grafik fungsi trigonometri, 
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
• soal tengah semester gasal : contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4,

B. 2 Rumus Jumlah dan Selisih

• rumus jumlah dan selisih 1
• rumus jumlah dan selisih 2
• materi terbaru : rumus jumlah dan selisih dudut sinus, cosinus, tangen, rumus sudut rangkap/ganda, sudut paruh/tengahan, rumus perkalian sinus dan cosinus, rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus, 
• soal persiapan menghadapi semester gasal: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.

B. 3 Persamaan Lingkaran

• materi lingkaran, kedudukan titik terhadap lingkaran, kedudukan garis terhadap lingkaran, persamaan garis singgung lingkaran, hubungan dua lingkaran
• contoh soal 1, contoh  2, contoh 3, contoh 4. Contoh 5 (Hubungan Dua Lingkaran), Contoh 6, Contoh 7, Contoh 8

B. 4 Polinom

• materi pendahuluan, operasi polinom, metode Horner-Kino (materi lanjutan operasi polinom) teorema sisa dan teorema faktor, persamaan polinom
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8, contoh 9

C. Kelas XII (Duabelas)

C. 1 Limit Fungsi Trigonometri

• limit fungsi trigonometri (materi lama-perkenalan dengan limit fungsi aljabar), lanjutan materi lama, lanjutan rumus dasar limit trigonometri, 
• materi pendahuluan limit, menentukan nilai limit fungsi trigonometri, pembuktian teorema apit (identitas limit fungsi trigonometri), limit fungsi trigonometri di tak hingga,
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5,
• materi limit diketakhinggan.
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5,

C.2 Turunan Fungsi Trigonometri

• materi turunan fungsi trigonometri
• lanjutan materi 
• contoh soal  (bagaian 1)
• lanjutan materi 2 
• lanjutan materi 3
• lanjutan materi 4 (sifat-sifat turunan)
• lanjutan materi 5
• contoh soal 1 (bagain 2) , contoh 2 , contoh 3 contoh 4 , contoh 5
• lanjutan materi 6 (persamaan garis singgung kurva)-turunan pertama
• lanjutan materi 7 (fungsi naik dan fungsi turun)-turunan pertama
• lanjutan materi 8 (nilai stasioner)-turunan pertama
• lanjutan materi 9 (aplikasi nilai stasioner)-turunan pertama
• contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9
• turunan kedua fungsi trigonometri (Fungsi naik dan fungsi turun, titik belok serta selang kecekungan)
• contoh 10 , contoh 11 , contoh 12 , contoh 13

C.3 Distribusi peluang binomial

• materi distribusi binomial, distribusi peluang diskrit, 
• contoh soal 1, contoh 2, 
• distribusi peluang kontinu, Binomial Newton,
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3,

C.4 Distribusi normal

• materi disribusi normal
• materi transformasi suatu variabel random berdistribusi normal
• uji hipotesis
• contoh soal 1, contoh 2. contoh 3.