PAS MATEMATIKA BLOG

$\begin{array}{|c|l|l|}\hline \textbf{No}&\textbf{Jenis Operasi}&\qquad\qquad\qquad\textbf{Keterangan}\\\hline 1.&\textrm{Penjumlahan}&\begin{aligned}&\textrm{Jumlahkan dua bilangan kompleks}\\ &\textrm{dengan cara bagian riil dan tidak riil}\\ &\textrm{(khayal murni) dilakukan secara}\\ &\textrm{terpisah}\\ &\textbf{Misalkan}\\ &\textrm{z}_{1}=a+ib,\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{z}_{2}=c+id,\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{z}_{1}+\textrm{z}_{2}=(a+c)+(b+d)i \end{aligned}\\\hline 2.&\textrm{Pengurangan}&\begin{aligned}&\textrm{Pengurangan dua bilangan kompleks}\\ &\textrm{dengan cara bagian riil dan tidak riil}\\ &\textrm{(khayal murni) dilakukan secara}\\ &\textrm{terpisah}\\ &\textbf{Misalkan}\\ &\textrm{z}_{1}=a+ib,\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{z}_{2}=c+id,\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{z}_{1}-\textrm{z}_{2}=(a-c)+(b-d)i \end{aligned}\\\hline 3.&\textrm{Perkalian}&\begin{aligned}&\textrm{Cara mengalikan dua bilangan }\\ &\textrm{kompleks yaitu lakukan dengan cara }\\ &\textrm{seperti binomial biasa dan ganti}\\ &i^{2}\: \: \textrm{dengan}\: \: \sqrt{-1}\\ &\textrm{Misalkan}\\ &\textrm{z}_{1}=a+ib,\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{z}_{2}=c+id,\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{z}_{1}\times \textrm{z}_{2}=(a+ib)\times (c+id)\\ &\qquad\quad =ac+adi+bci+bdi^{2}\\ &\qquad\quad =ac+bdi^{2}+(ad+bc)i\\ &\qquad\quad =ac-bd+(ad+bc)i\\ &\textbf{Untuk perkalian dengan skalar}\\ &\textrm{kalikan masing-masing bagian dengan}\\ &\textrm{skalarnya saja}\end{aligned}\\\hline 4.&\textrm{Pembagian}&\begin{aligned}&\textrm{cara membagi dua bilangan kompleks}\\ &\textrm{kalikan pembilang dan penyebut dengan}\\ &\textrm{sekawan dari penyebutnya serta ganti}\\ &\textrm{hasilnya yang mengandung} \: \: i^{2}\: \: \textrm{dengan}\\ &-1\\ &\textrm{Misalkan diketahui penyebutnya berupa}\\ &a+ib,\: \: \textrm{maka sekawannya adalah}:a-ib\\ &\textrm{atau}\\ &\displaystyle \frac{\textup{z}_{1}}{\textrm{z}_{2}}=\textrm{z}_{1}\textrm{z}_{2}^{-1}\: \: \textrm{dengan}\: \: \textrm{z}_{2}\neq 0\\ &\textrm{Jika}\: \: \textup{z}_{2}=a+ib,\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{z}_{2}^{-1}=\displaystyle \frac{a}{a^{2}+b^{2}}-i\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: \textrm{z}_{1}=2+3i\: \: \textrm{dan}\\ &\textrm{z}_{2}=6-9i,\: \: \textrm{tentukan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{z}_{1}+\textrm{z}_{2}\qquad\qquad \textrm{c}.\quad \textrm{z}_{1}\times \textrm{z}_{2}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{z}_{1}-\textrm{z}_{2}\qquad\qquad \textrm{d}.\quad \textrm{z}_{1}: \textrm{z}_{2}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|l|}\hline \textbf{No}&\textbf{Uraian jawaban}\\\hline &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\left\{\begin{matrix} \textrm{z}_{1}=2+3i\\ \textrm{z}_{2}=6-9i \end{matrix}\right. \end{aligned}\\\hline 1.&\begin{aligned}\textrm{z}_{1}+\textrm{z}_{2}&=(2+3i)+(6-9i)\\ &=(2+6)+(3-9)i\\ &=\color{red}8-6i \end{aligned}\\\hline 2.&\begin{aligned}\textrm{z}_{1}-\textrm{z}_{2}&=(2+3i)-(6-9i)\\ &=(2-6)+(3+9)i\\ &=\color{red}-8+12i \end{aligned}\\\hline 3.&\begin{aligned}\textrm{z}_{1}\times \textrm{z}_{2}&=(2+3i)\times (6-9i)\\ &=(2\times 6-3\times (-9))+(2\times (-9)+3\times 6)i\\ &=(12+27)+(-18+18)i\\ &=\color{red}39 \end{aligned}\\\hline 4.&\begin{aligned}\textrm{z}_{1}:\textrm{z}_{2}&=\displaystyle \frac{\textrm{z}_{1}}{\textrm{z}_{2}}\\ &=\displaystyle \frac{2+3i}{6-9i}\times \frac{6+9i}{6+9i}\\ &=\displaystyle \frac{12+18i+18i+27i^{2}}{6^{2}+9^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{12-27+(18+18)i}{36+81}\\ &=\displaystyle \frac{-15}{117}+\frac{36}{117}i=\color{red}-\displaystyle \frac{5}{39}+\frac{4}{13}i\\ \textbf{atau}&\: \: \textrm{Anda dapat menggunakan invers}\\ &\textrm{hasilnyapun akan sama dengan yang}\\ &\textrm{di atas, yaitu}\\ &\textrm{z}_{2}^{-1}=\displaystyle \frac{6+9i}{6^{2}+9^{2}},\: \: \textrm{maka}\\ &=\textrm{z}_{1}\times \textrm{z}_{2}^{-1}\\ &=(2+3i)\times \displaystyle \frac{6+9i}{6^{2}+9^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{12+18i+18i+27i^{2}}{36+81}\\ &=\displaystyle \frac{12-27+(18+18)i}{117}\\ &=\displaystyle \frac{-15}{117}+\frac{36}{117}i=\color{red}-\frac{5}{39}+\frac{4}{13}i \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$.

Lanjutan Bilangan Kompleks: Kesamaan Dua Bilangan Kompleks (Matematika Tingkat Lanjut Kelas XI)

C. Kesamaan Dua Bilangan Kompleks

Dua buah bilangan kompleks $z_{1}=a_{1}+ib_{1}$ dan $z_{2}=a_{2}+ib_{2}$ dikatakan $z_{1}=z_{2}$ jika dan hanya jika $a_{1}=a_{2}$ dan $b_{1}=b_{2}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui}\: \: \textrm{z}_{1}=1+3\sqrt{2}i\: \: \textrm{dan}\: \: \: \textrm{z}_{2}=1+\sqrt{-18}\\ &\textrm{apakah}\: \: \textrm{z}_{1}=\textrm{z}_{2}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \: \textrm{z}_{1}=1+3\sqrt{2}i\: \: \textrm{dan}\: \: \: \textrm{z}_{2}=1+\sqrt{-18}\\ &\textrm{Untuk}\\ &\textrm{z}_{2}=1+\sqrt{-18}=1+\sqrt{18}\sqrt{-1}=1+3\sqrt{2}i\\ &\textrm{Karena}\: \: a_{1}=a_{2}=1,\: \: \: \textrm{dan}\: \: b_{1}=b_{2}=3\sqrt{2},\\ &\textrm{maka dapat dikatakan bahwa}\: \: \textrm{z}_{1}=\textrm{z}_{2} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui}\: \: x-yi=i-3\sqrt{2}\: \: \textrm{tentukan nilai}\\ &\textrm{dari}\: \: x\: \: \textrm{dan }\: \: y\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \: x-yi=i-3\sqrt{2}, \: \textrm{maka}\\ &x-yi=-3\sqrt{2}+i,\: \: \textrm{ini artinya}\\ &\left\{\begin{matrix}x=-3\sqrt{2}.\qquad \\ -y=1\Rightarrow y=-1 \end{matrix}\right.\\ &\textrm{Jadi, nilai}\: \: x=-3\sqrt{2}\: \: \textrm{dan}\: \: y=-1 \end{aligned} \end{array}$.

Bilangan Kompleks (Matematika Tingkat Lanjut Kelas XI)

A. Pengertian Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri atas bagian riil (nyata) dan bagian tidak riil / imajiner (khayal) dan dituliskan dengan $\begin{aligned}\textrm{z}=a+ib \end{aligned}$ atau $\begin{aligned}\textrm{z}=a+bi \end{aligned}$. Bagian riil dari bilangan kompleks adalah bagian yang berupa bilangan riil, sementara untukbagian tidak riil dari bilangan kompleks adalah bagian yang berupa bilangan imajiner

1. Satuan Bilangan Imajiner / Khayal

Dalam hal ini, satuan bilangan khayal adalah $\begin{aligned}i \end{aligned}$ dengan $\begin{aligned}i=\sqrt{-1} \end{aligned}$.

2. Bilangan Kompleks

Dinyatakan dengan $\begin{aligned}\textrm{z}=a+ib \end{aligned}$ atau $\begin{aligned}\textrm{z}=a+bi \end{aligned}$, dengan

$\begin{aligned}\begin{cases} a & =\textrm{Re}(\textrm{z})=\textrm{bagian riil} \\ b & =\textrm{Im}(\textrm{z})= \textrm{ bagian imajiner /khayal} \end{cases} \end{aligned}$.

Jika $\begin{aligned}a=0 \end{aligned}$, maka bilangan kompleks disebut khayal murni dan jika $\begin{aligned}b=0 \end{aligned}$, maka bilangan kompleks menjadi bilangan riil. Sehingga semua bilangan nyata dan semua bilangan khayal murni semuanya termasuk bilangan kompleks.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1. &\textrm{Bilangan}\: \: \sqrt{-4}\: \: \textrm{jika dinyatakan dalam}\\ &i=\sqrt{-1}\: \: \textrm{adalah}\\ &\begin{aligned}\sqrt{-4}&=\sqrt{(4).(-1)}=\sqrt{4}.\sqrt{-1}=2i \end{aligned}\\ 2.&i^{3}=i^{2}.i=(-1)i=-i\\ 3.&i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1\\ 4.&\textrm{z}=1-\sqrt{3}i\\ &\textrm{Re}(\textrm{z})=1\: \: \textrm{atau bagian riilnya adalah 1, dan}\\ &\textrm{Im}(\textrm{z})=-\sqrt{3}\: \: \textrm{atau bagian imajinernya adalah}\: \: -\sqrt{3}\\ 5.&\textrm{z}=2+\sqrt{5}i\\ &\textrm{Re}(\textrm{z})=2\: \:\textrm{atau bagian riilnya adalah 2, dan}\\ &\textrm{Im}(\textrm{z})=\sqrt{5}\: \: \textrm{atau bagian imajinernya adalah}\: \: \sqrt{5} \end{array}$.

B. Bentuk Bilangan Kompleks

1. Bentuk Diagram.

Bentuk diagram pada bidang gambar bilangan kompleks dinamakan bidang Argand, sesuai nama penemunya Jean Robert Argand.

Titik (x,y) pada bidang Argand

2. Bentuk Polar

Bilangan kompleks $\begin{aligned}\textrm{z}=a+ib \end{aligned}$ dapat dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu menjadi

$.\qquad\qquad\begin{aligned}\textrm{z}&=r(\cos \theta +i\sin \theta)\\ \textrm{d}&\textrm{engan}\\ r&=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ x&=r\cos \theta ,\\ y&=r\sin \theta , \: \: \textrm{dan}\\ \theta &=\textrm{dibaca}\: \: \: theta \end{aligned}$.

3. Bentuk Eksponen

Dengan rumus Euler berupa $\begin{aligned}e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \end{aligned}$, bentuk pangkat dari bilangan ini adalah :

$\begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \: \textrm{bahwa}\quad\textrm{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta)\\ \textrm{dengan}\quad &\cos \theta +i\sin \theta=e^{i\theta},\: \: \textrm{maka}\\ \textrm{z}&=\color{red}re^{i\theta } \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan Re(z) dan Im(z) bilangan kompleks}\\ &\textrm{berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{z}=\sqrt{2}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{z}=-\sqrt{3}i\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{z}=-1+\sqrt{5}i\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{z}=\sqrt{2}=\sqrt{2}+0i\\ &\textrm{Re(z)}=\sqrt{2}\\ &\textrm{Im(z)}=0\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{z}=-\sqrt{3}i=0+(-\sqrt{3})i\\ &\textrm{Re(z)}=0\\ &\textrm{Im(z)}=-\sqrt{3}\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{z}=-1+\sqrt{5}i\\ &\textrm{Re(z)}=-1\\ &\textrm{Im(z)}=\sqrt{5} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan Re(z) dan Im(z) bilangan kompleks}\\ &\textrm{berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{z}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{z}=1-\sqrt{3}i\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{z}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i,\: \: \textrm{dengan}\: \: x=-\sqrt{2},\: y=\sqrt{2}\\ &r=\sqrt{(-\sqrt{2})^{2}+\sqrt{2}^{2}}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ &\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}=\sin 45^{0}\Rightarrow \theta =45^{0}\\ &\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{-\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ &\textrm{Karena titiknya}\: \: (-x,y)\: ,\: \textrm{maka titik berada di}\\ &\textrm{kuadran II, sehingga}\: \: \theta =180^{0}-45^{0}=135^{0}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ &\quad =2(\cos 135^{0} +i\sin 135^{0} )\\ &\textrm{Jadi, bentuk polar dari}\\ &\textrm{z}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i=\color{red}2(\cos 135^{0} +i\sin 135^{0} )\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{z}=1-\sqrt{3}i,\: \: \textrm{dengan}\: \: x=1,\: y=-\sqrt{3}\\ &r=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\\ &\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ &\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{1}{2}=\cos 60^{0}\Rightarrow \theta =60^{0}\\ &\textrm{Karena titiknya}\: \: (x,-y)\: ,\: \textrm{maka titik berada di}\\ &\textrm{kuadran IV, sehingga}\: \: \theta =360^{0}-60^{0}=300^{0}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ &\quad =2(\cos 300^{0} +i\sin 300^{0} )\\ &\textrm{Jadi, bentuk polar dari}\\ &\textrm{z}=1-\sqrt{3}i=\color{red}2(\cos 300^{0} +i\sin 300^{0} ) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan Re(z) dan Im(z) bilangan kompleks}\\ &\textrm{berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{z}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{z}=-1-\sqrt{3}i\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{z}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i,\: \: \textrm{dengan}\: \: x=\sqrt{2},\: y=\sqrt{2}\\ &r=\sqrt{\sqrt{2}^{2}+\sqrt{2}^{2}}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ &\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}=\sin 45^{0}\Rightarrow \theta =45^{0}\\ &\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ &\textrm{Karena titiknya}\: \: (x,y)\: ,\: \textrm{maka titik berada di}\\ &\textrm{kuadran I, sehingga tetap utuh}\: \: \theta =45^{0}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ &\quad =2(\cos 45^{0} +i\sin 45^{0} )\\ &\textrm{Jadi, bentuk polar dari}\\ &\textrm{z}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i=\color{red}2(\cos 45^{0} +i\sin 45^{0} )\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{z}=-1-\sqrt{3}i,\: \: \textrm{dengan}\: \: x=-1,\: y=-\sqrt{3}\\ &r=\sqrt{(-1)^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\\ &\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}=-\sin 60^{0}\Rightarrow \theta =60^{0}\\ &\color{blue}\textrm{tanda negatif hanya menunjukkan posisi kuadran}\\ &\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{-1}{2}\\ &\textrm{Karena titiknya}\: \: (-x,-y)\: ,\: \textrm{maka titik berada di}\\ &\textrm{kuadran III, sehingga}\: \: \theta =180^{0}+60^{0}=240^{0}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ &\quad =2(\cos 240^{0} +i\sin 240^{0} )\\ &\textrm{Jadi, bentuk polar dari}\\ &\textrm{z}=-1-\sqrt{3}i=\color{red}2(\cos 240^{0} +i\sin 240^{0} ) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Ubahlah bilangan kompleks berikut dalam}\\ &\textrm{bentuk eksponen}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{z}=2(\cos 45^{0} +i\sin 45^{0} )\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{z}=-1-\sqrt{3}i\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{z}=2(\cos 45^{0} +i\sin 45^{0} ),\: \: \textrm{dengan}\\ &r=2\: \: \textrm{dan}\: \: \theta =45^{0}.\quad \textrm{Sehingga}\\ &\textrm{z}=re^{i\theta }=2e^{i45^{0}}\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{z}=-1-\sqrt{3}i,\: \: \textrm{dengan}\\ &r=\sqrt{(-1)^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}\\ &\: \: =\sqrt{4}=2\: \: \textrm{dan}\: \: \theta =45^{0}.\quad \textrm{Sehingga}\\ &\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}=-\sin 60^{0}\Rightarrow \theta =60^{0}\\ &\color{blue}\textrm{tanda negatif hanya menunjukkan posisi kuadran}\\ &\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{-1}{2}\\ &\textrm{Karena titiknya}\: \: (-x,-y)\: ,\: \textrm{maka titik berada di}\\ &\textrm{kuadran III, sehingga}\: \: \theta =180^{0}+60^{0}=240^{0}\\ &\textrm{z}=re^{i\theta }=2e^{i240^{0}} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{aligned}\textbf{Cata}&\textbf{tan} \\\hline \textrm{Anda}&\: \textrm{juga bisa menggunakan nilai}\: \: \tan\theta \\ \textrm{untu}&\textrm{k menentukan besar sudut}\: \: \theta -\textrm{nya, yaitu}:\\ \tan \theta &=\displaystyle \frac{y}{x}\\ \textrm{Perh}&\textrm{atikan}\: \: \color{red}\textrm{Contoh Soal pada nomor 3a dan 3b}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline 3\textbf{a}&3\textbf{b}\\\hline \textrm{z}=(-\sqrt{2},\sqrt{2})&\textrm{z}=(1,-\sqrt{3})\\ \textrm{Kuadran II}&\textrm{kuadran IV}\\ \left ( 180^{0}-\theta \right )&\left ( 360^{0}-\theta \right )\\ \begin{aligned}\tan \theta &=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}=-1\\ \tan \theta &=-\tan 45^{0}\\ &=\tan (180^{0}-45^{0})\\ &=\tan 135^{0}\\ \theta &=135^{0} \end{aligned}&\begin{aligned}\tan \theta &=\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}\\ \theta &=-\tan 60^{0}\\ &=\tan (360^{0}-60^{0})\\ &=\tan 300^{0}\\ \theta &=300^{0} \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA

Ngapiningsih, Suparno. 2023. Matematika Tingkat Lanjut untuk SMA/MA Kelas 11A. Yogyakarta: INTAN PARIWARA
Purwosetiyono, Didik. 2012. Pengantar Analisis Kompleks. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press
Spiegel, Murray, S., Iskandar, K. Seri Buku Schaum Teori dan Soal-Soal Matematika Dasar. Jakarta: ERLANGGA
Thohir, Ahmad. 2013. Materi Contoh Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika MA/SMA. Grobogan

Statistika (Lanjutan)

Statistika

A. Pendahuluan

Metode statistika banyak dijumpai dalam kehidupan kita sehari-hari. Pernyataan-pernyataan berikut terkait dengan statistika:rRata-rata nilai ulangan matematika siswa kelas XI SMA Ceria adalah 7,8; Jenis mobil yang banyak dibeli masyarakat triwulan tahun 2024 ini adalah jenis MPV, dan lain-lain.

B. Statitik dan Statistika

B. 1 Pengertian Statistika dan Statistik

Statistika adalah ilmu yang mempelajari metode-metode ilmiah terkait pengumpulan data, pengorganisasian dat, penyajian data, pengolahan data, serta interpretasi dan penarikan kesimpulan. Metode yang berkaitan dengan pengumpulan, pengorganisasian, penyajian serta pengolahan data disebut statistika deskriptif, sedangkan metode yang berkaitan dengan pengujian hipotesis, penarikan kesimpulan, pendugaan dan lain-lainnya yang semisal disebut statistika inferensia.

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering melihat atau membaca berbagai macam laporan baik dalam bentuk angka maupun diagram. Laporan dalam bentuk diagram atau angka ini selanjutnya diamakan statistik.

B. 2 Populasi dan Sampel

Misalkan suatu hari tertentu seorang karyawan dari sebuah pabrik lampu ingin mengetahui berapa persen produksi lampu yang mengalami cacat produksi. Untuk keperluan tersebut tentunya karyawan tersebut tidak akan mengecek seluruh lampu yang telah diproduksi tersebut, tetapi cukup mengambil secara acak/random untuk diteliti. Dalam hal ini bagian dari total produksi yang diambil secara acak tadi disebut sebagai sampel dari keselurhan produksi lampu tadi yang selanjutnya disebut sebagai contoh populasi.

C. Penyajian Data

Data yang telah dikumpulkan semuanya dapat disajikan dalam bentuk daftar atau tabel. Untuk data yang besar biasanya akan disusun dalam suatu daftar atau tabel yang disebut daftar distriusi frekuensi atau daftar sebaran frekuensi. Adapun dafar distribusi dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu daftar distribusi frekuensi tunggal dan satunya daftar distribusi frekuensi berkelompok.

D. Ukuran Pemusatan Data

D.1 Data Tunggal

$\begin{array}{|c|l|}\hline 1.& \textrm{Mean}\quad \left ( \overline{X} \right )\\\hline &\begin{aligned}\overline{x}&=\displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n} \end{aligned}\\\hline 2.&\textrm{Median}\quad \left ( M_{e} \right )\\\hline &\begin{aligned}&\textrm{Nilai datum tengah}\\ &\begin{aligned}M_{e}&=x_{\textrm{ganjil}}=x_{\frac{n+1}{2}}\\ M_{e}&=x_{\textrm{genap}}=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( x_{\frac{1}{2}}+x_{\frac{1}{2}+1} \right ) \end{aligned} \end{aligned}\\\hline 3.&\textrm{Modus}\quad \left ( M_{o} \right )\\\hline &\textrm{Datum dengan frekuensi terbesar}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan rata-rata dari}\: \: 75,60,62,87,83,65\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\overline{x}&=\displaystyle \frac{75+60+62+87+83+65}{6}\\ &=\frac{432}{6}=72 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui nilai rata-rata 10 siswa adalah }\: \: 7,0\\ &\textrm{Jika ditambah sejumlah siswa dengan nilai 8,}\\ &\textrm{nilai rata-ratanya menjadi}\: 7\displaystyle \frac{1}{3}.\: \textrm{Berapakah }\\ &\textrm{banyak siswa yang ditambahkan}?\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\overline{x}_{baru}&=\displaystyle \frac{\overline{x}_{lama}\times 10+8\times n}{10+n}\\ 7\displaystyle \frac{1}{3}&=\displaystyle \frac{7\times 10+8\times n}{10+n}\\ \displaystyle \frac{22}{3}&=\displaystyle \frac{70+8n}{10+n}\\ &\begin{aligned}\Leftrightarrow \quad &220+22n=210+24n\\ \Leftrightarrow \quad &22n-24n=210-220\\ \Leftrightarrow \quad &-2n=-10\\ \Leftrightarrow \quad &n=\displaystyle \frac{-10}{-2}=5 \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi, banyak siswa yang ditambahkan sebanyak 5 orang} \end{aligned} \end{array}$

D. 2 Data Berkelompok

$\begin{array}{|c|l|}\hline 1.& \textrm{Mean}\quad \left ( \overline{X} \right )\\\hline &\begin{aligned}\overline{x}&=\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f_{i}x_{i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f_{i}}\quad \textbf{atau}\quad \overline{X}=\overline{x}_{s}+\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}d_{i}x_{i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f_{i}} \end{aligned}\\\hline &\begin{aligned}\textrm{Keter}&\textrm{angan}:\\ \overline{x}&=\textrm{rataan sementara}\\ x_{i}&=\textrm{titik tengah interval kelas ke}-i\\ d_{i}&=x_{i}-\overline{x}_{s}\\ f_{i}&=\textrm{frekuensi kelas ke}-i \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\begin{array}{|c|l|}\hline 2.& \textrm{Median}\quad \left ( M_{e}=Q_{2} \right )\\\hline &\begin{aligned}M_{e}&=L_{2}+c\left ( \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}n-F_{2}}{f_{3}} \right ) \end{aligned}\\\hline &\begin{aligned}\textrm{Keter}&\textrm{angan}:\\ L_{2}&=\textrm{tepi bawah kelas kuartil tengah}\: \left (Q_{2} \right )\\ n&=\textrm{ukuran data=total datum=total frekuensi}\\ f_{2}&=\textrm{frekuensi pada kelas kuartil tengah}\: \left (Q_{2} \right )\\ F_{2}&=\textrm{frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil tengah}\\ c&=\textrm{panjang kelas} \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\begin{array}{|c|l|}\hline 3.& \textrm{Modus}\quad \left ( M_{o} \right )\\\hline &\begin{aligned}M_{o}&=L+c\left ( \displaystyle \frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}} \right ) \end{aligned}\\\hline &\begin{aligned}\textrm{Keter}&\textrm{angan}:\\ L&=\textrm{tepi bawah kelas modus}\\ d_{1}&=\textrm{frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya}\\ d_{2}&=\textrm{frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya}\\ c&=\textrm{panjang kelas} \end{aligned}\\\hline \end{array}$

E. Ukuran Letak Data

$\begin{array}{|c|l|}\hline 1.& \textrm{Kuartil}\quad \left ( Q_{i} \right )\\\hline &\begin{aligned}Q_{i}&=L_{i}+c\left ( \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{i}{4}n-F_{i}}{f_{i}} \right ) \end{aligned}\\\hline &\begin{aligned}\textrm{Keter}&\textrm{angan}:\\ L_{i}&=\textrm{tepi bawah kelas kuartil ke}-i\\ n&=\textrm{ukuran data=total datum=total frekuensi}\\ f_{i}&=\textrm{frekuensi pada kelas kuartil ke}-i\\ F_{i}&=\textrm{frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil ke}-i\\ c&=\textrm{panjang kelas} \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\begin{array}{|c|l|}\hline 2.& \textrm{Desil}\quad \left ( D_{i} \right )\\\hline &\begin{aligned}D_{i}&=L_{i}+c\left ( \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{i}{10}n-F_{i}}{f_{i}} \right ) \end{aligned}\\\hline &\begin{aligned}\textrm{Keter}&\textrm{angan}:\\ L_{i}&=\textrm{tepi bawah kelas desil ke}-i\\ n&=\textrm{ukuran data=total datum=total frekuensi}\\ f_{i}&=\textrm{frekuensi pada kelas desil ke}-i\\ F_{i}&=\textrm{frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke}-i\\ c&=\textrm{panjang kelas} \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\begin{array}{|c|l|}\hline 3.& \textrm{Persentil}\quad \left ( P_{i} \right )\\\hline &\begin{aligned}P_{i}&=L_{i}+c\left ( \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{i}{100}n-F_{i}}{f_{i}} \right ) \end{aligned}\\\hline &\begin{aligned}\textrm{Keter}&\textrm{angan}:\\ L_{i}&=\textrm{tepi bawah kelas persentil ke}-i\\ n&=\textrm{ukuran data=total datum=total frekuensi}\\ f_{i}&=\textrm{frekuensi pada kelas persentil ke}-i\\ F_{i}&=\textrm{frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke}-i\\ c&=\textrm{panjang kelas} \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

F. Ukuran Penyebaran Data

$\begin{array}{|c|l|c|}\hline \textrm{No}&\: \: \: \: \textrm{Data Dispersi}&\textrm{Simbol}\\\hline 1.&\textrm{Jangkauan}&R\: \: \textrm{atau}\: \: J\\\hline 2.&\textrm{Jangkauan}&H\\ &\textrm{antarkuartil}&\\\hline 3.&\textrm{Simpangan}&Q_{d}\\ &\textrm{kuartil}&\\\hline 4.&\textrm{Langkah}&L\\\hline 5.&\textrm{Pagar dalam}&Q_{1}-L\\\hline 6.&\textrm{Pagar luar}&Q_{3}-L\\\hline 7.&\textrm{Simpangan}&SR\\ &\textrm{rata-rata}&\\\hline 8.&\textrm{Ragam/variansi}&S^{2}\\\hline 9&\textrm{Simpangan baku}&S\\\hline 10.&\textrm{Koefisien variansi}&V\\\hline \end{array}$.

G. Histogram

Diagram batang
Diagram garis
Line plot
Histogram dan poligon

H. Frekuensi Relatif

Daftar Pustaka

Johanes, Kastolan, & Sulasim. 2005. Kompetensi Matematika Program Basaha SMA Kelas XI. JAkarta: YUDHISTIRA.
Muklis. Ngapiningsih, & Astuti, A.Y. 2022. Buku Interaktif Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X. Yogyakarta:PENERBIT INTAN PARIWARA.
Noormandiri. 2022. Matematika untuk SMA/MA Kelas X Kurikulum Merdeka. Jakarta: ERLANGGA.
Tim Penyusun. ....... Belajar Praktis Matematika Mata Pelajaran Wajib untuk SMA/MA Kelas XII. Klaten. VIVA PAKARINDO

PAS MATEMATIKA BLOG

Materi Persiapan TKA SMA-MA 2025

Materi Transformasi Fungsi

KELAS XII - KUMPULAN MATERI MATEMATIKA PEMINATAN MA-SMA (KURTILAS REVISI)

KELAS XII - KUMPULAN MATERI MATEMATIKA WAJIB MA-SMA (KURTILAS REVISI)

FASE F TL- KUMPULAN MATERI MATEMATIKA MA-SMA KELAS XI

FASE F WAJIB - KUMPULAN MATERI MATEMATIKA MA-SMA KELAS XI

FASE E - KUMPULAN MATERI MATEMATIKA MA-SMA KELAS X

Lanjutan Bilangan Kompleks: Operasi Aljabar Bilangan Kompleks (Matematika Tingkat Lanjut Kelas XI)

Lanjutan Bilangan Kompleks: Kesamaan Dua Bilangan Kompleks (Matematika Tingkat Lanjut Kelas XI)

Bilangan Kompleks (Matematika Tingkat Lanjut Kelas XI)

Statistika (Lanjutan)

Statistika