Sistem Persamaan Linear

 A. Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear adalah adalah kumpulan dari beberapa persamaan linear di mana koefisien-koefisien persamaannya berupa bilangan real dan anatar variabel saling ada keterkaitan

$\textrm{1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel}$

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel yang selanjutnya disingkat dengan SPLDV memiliki bentuk umum sebagai berikut:

$\begin{aligned}&\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2} \end{matrix}\right. \end{aligned}$

Keterangan:

• $x,y\: \: \textrm{adalah variabel}$.
• $a_{1},a_{2}\: \: \textrm{koefisien}\: \: x$
• $b_{1},b_{2}\: \: \textrm{koefisien}\: \: y$.
• $c_{1},c_{2}\: \: \textrm{adalah konstanta}$.
• $a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c_{1},\: \: \textrm{dan}\: \: c_{2}\: \: \textrm{adalah bilangan riil}$.

$\textrm{2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel}$

$\begin{array}{l}\\ \underline{\textbf{Bentuk Umum}}&:\\ &\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1} \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2} \\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_{3} \end{cases}\\\\ \qquad \quad \textbf{Keterangan}&\bullet \quad a_{1},\: a_{2},\: a_{3},\\ &\, \: \: \quad b_{1},\: b_{2},\: b_{3},\\ &\, \: \: \quad c_{1},\: c_{2},\: c_{3},\\ &\, \: \: \quad d_{1},\: d_{2},\: d_{3}\\ &\: \: \quad \textrm{semuanya adalah bilangan real} \end{array}$

$\textrm{B. Penyelesaian Sistem persamaan Linear}$

Menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan linear baik yang terdiri dari dua variabel ataupun tiga variabel adalah menentukan pasangan koordinat yang memenuhi sistem persamaan tersebut di bilangan riil. Adapun cara menyelesaikan sistem persamaan linear ini

• Metode Substitusi
• Metode Eliminasi
• Metode Eliminasi-Substitusi 
• Metode Determinan Matrik
• Metode Invers Matrik (Matrik Persegi minimal ordo 2x2)

$\textrm{1. Metode Eliminasi-Substitusi}$

Adapun langkah-langkah dalam penyelesaian model tipe ini (Metode Substitusi dan Metode Eliminasi mengikuti karena prosesnya terangkum di langkah gabungan ini) adalah:

• buatlah dua buah kelompok persamaan yang memungkinkan dapat disederhanakan (kalau bisa ambil yang termudah dan sederhana menurut Anda)
• Salah satu variabel dihilangkan dengan cara menyamakan koefisien variabel yang bersangkutan kemudian mengeliminasikan dengan persamaan linear yang dipilih pada langkat pertama tadi.
• Nilai variabel yang didapatkan disubstitusikan ke dalam salah satu persamaan pada langkah pertama tadi juga.
• Jika diperlukan lagi, prinsipnya kembali pada poin pertama tadi

$\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah penyelesaian SPLDV dari}\\ &\begin{cases} 2x-y=7 \\ x-y=-1 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Mis}&\textrm{alkan}\\ &\begin{cases} 2x-y=7&.....(1) \\ x-y=-1&.....(2) \end{cases}\\ &\begin{aligned}&\textrm{dari persamaan}\: (2)\: \textrm{didapatkan}\\ &x=y-1.\: \textrm{Bentuk ini kemudian}\\ &\textrm{kita substitusikan ke}\\ &\textrm{persamaan}\: \: (1). \end{aligned}\\ &\begin{aligned}2x-y&=7\\ 2\left ( y-1 \right )-y&=7\\ 2y-2-y&=7\\ y&=9\quad .....(3)\\ \textrm{Selanjutnya}&\: \textrm{nilainya kita}\\ \textrm{substitusikan ke}&\: \textrm{persamaan}\: \: (2)\\ x&=y-1\\ x&=9-1\\ x&=8 \end{aligned} \\ &\begin{aligned}&\textrm{Sehingga},\\ &\begin{cases} x =8 \\ y =9 \end{cases}\\ &\textrm{Jadi, HP}=\left \{ (8,9) \right \} \end{aligned}\\ \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah penyelesaian SPLDV dari}\\ &\begin{cases} 2x-y+z=-4 \\ 2x-y-2z=-3\\ x+3y-z=0 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Per}&\textrm{hatikan misal}\\ &\begin{cases} 2x-y+z=-4..........(1) \\ 2x-y-2z=-3........(2)\\ x+3y-z=0.............(3) \end{cases}\\ &\begin{aligned}&\textrm{dari persamaan}\: (2)\: \textrm{didapatkan}\\ &2x-y=2z-3.\: \textrm{Bentuk ini}\\ &\textrm{kita substitusikan ke}\\ &\textrm{persamaan}\: \: (1). \end{aligned} \\ &\begin{aligned}2x-y+z&=-4\\ (2z-3)+z&=-4\\ 3z&=-1\\ z&=-\frac{1}{3}\quad .....(4)\\ \textrm{Selanjutnya}&\: \textrm{nilai tersebut kita}\\ \textrm{substitusikan ke}&\: \textrm{pers.}\: \: (2)\: \textrm{dan}\: (3)\\ \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{cases} 6x-3y=-11.....(2) \\ x+3y=-\frac{1}{3}.....(3) \end{cases} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textrm{dengan cara seperti}\\ &\textrm{poin 1.a kita akan}\\ &\textrm{mendapatkan nilai}\\ x&=-\frac{34}{21}\: \textrm{dan}\\ y&=\frac{3}{7} \end{aligned} \\ &\begin{aligned}&\textrm{Sehingga},\\ &\begin{cases} x =-\frac{34}{21} \\ y =\frac{3}{7}\\ z=-\frac{1}{3} \end{cases}\\ &\textrm{HP}=\left \{ \left ( -\frac{34}{21},\frac{3}{7},-\frac{1}{3} \right ) \right \} \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$

TAMBAHAN MATERI

$\textrm{2. Metode determinan Matriks}$

Perhatikan kemabil bentuk SPLDV dan SPLTV berikut:

$\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y=c_{1} \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2} \end{cases}$ 

dan

$\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}\\ a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1} \\ a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1} \end{cases}$

Metode determinat matriks adalah penyelesaian nilai tidap variabel dengan menggunakan determinan berikut:

Misalkan saja diberikan:

$\begin{aligned}&\begin{aligned}ax+by&=p\\ cx+dy&=q \end{aligned}\\\\ &\textrm{dan}\\\\ &\begin{aligned}ax+by+cz&=r\\ dx+ey+fz&=s\\ gx+hy+iz&=t \end{aligned}\\ \end{aligned}$

maka penyelesaian dengan model matriks adalah:

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Metode}&\textbf{SPLDV}&\textbf{SPLTV}\\\hline \textrm{Determinan}&\begin{aligned}x&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} p & b\\ q & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}}\\ &\textrm{dan}\\ y&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} a & p\\ c & q \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}x&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} r & b & c\\ s & e & f\\ t & h & i \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}}\\ &\textrm{dan}\\ y&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} a & r & c\\ d & s & f\\ g & t & i \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}}\\ &\textrm{serta}\\ z&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} a & b & r\\ d & e & s\\ g & h & t \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}} \end{aligned}\\\hline \end{array}$

Sebagai catatan:

$\begin{aligned}&\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc\\ &\textrm{dan}\\ &\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}=a\begin{vmatrix} e & f\\ h & i \end{vmatrix}-b\begin{vmatrix} d & f\\ g & i \end{vmatrix}+c\begin{vmatrix} d & e\\ g & h \end{vmatrix} \end{aligned}$

$\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}$

Mari kita buka lagi contoh sebelumnya dengan soal yang sama di SINI

dan kearang penyelesaian dari soal tersebut akan diselesaikan dengan cara determinan matriks (cara Cramer sesuai nama penemunya) berikut:

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah dengan metode matriks}\\ &\textrm{(cara Cramer) SPLDV berikut}:\\ &\begin{cases} 2x-y & =7 \\ x-y & =-1 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}x&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 7 & -1\\ -1 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{7(-1)-(-1).(-1)}{2.(-1)-(-1).1}\\ &=\displaystyle \frac{-7-1}{-2+1}=\frac{-8}{-1}=8\\ y&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 2 & 7\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{2(-1)-(7).1}{2.(-1)-(-1).1}\\ &=\displaystyle \frac{-2-7}{-2+1}=\frac{-9}{-1}=9\\ \textrm{J}&\textrm{adi}\: \: (x,y)=(8,9) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah dengan metode matriks}\\ &\textrm{(cara Cramer) SPLTV berikut}:\\ &\begin{cases} 2x-y+z & =-4 \\ 2x-y-2z & =-3\\ x+3y-z&=0 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}x&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} -4 & -1&1\\ -3 & -1&-2\\ 0&3&-1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -1&1\\ 2 & -1&-2\\ 1&3&-1 \end{vmatrix}}\\ x&=\displaystyle \frac{-4\begin{vmatrix} -1&-2\\ 3&-1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} -3 & -2\\ 0 & -1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} -3 & -1\\ 0 & 3 \end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix} -1 & -2\\ 3 & -1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 2 & -2\\ 1 & -1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & 3 \end{vmatrix}} \\ &=\displaystyle \frac{-4(1+6)+1(3-0)+1(-9-0)}{2(1+6)+1(-2+2)+1(6+1)}\\ &=\displaystyle \frac{-28+3-9}{14+0+7}\\ &=\frac{-34}{21}\\ y&=.... \\ z&=....\\ \textrm{J}&\textrm{adi}\: \: (x,y,y)=\left ( -\displaystyle \frac{34}{21},\frac{3}{7},-\frac{1}{3} \right ) \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Johanes, Kastola & Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA

Materi Link

https://ahmadthohir1098.blogspot.com/2024/11/kumpulan-materi-matematika-ma-sma-kelas.html

Materi Persiapan TKA SMA-MA 2025

Materi Transformasi Fungsi

KELAS XII - KUMPULAN MATERI MATEMATIKA PEMINATAN MA-SMA (KURTILAS REVISI)

 A. Kelas X (Sepuluh)

A. 1 Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritma

• materi eksponen 1, materi fungsi eksponen 2, lanjutan fungsi eksponen, lanjutan materi 2 fungsi ekponen, lanjutan materi 3 fungsi eksponen, Persamaan eksponen.
• contoh soal eksponen 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10 
• materi logaritma 
• materi logaritma lanjutan
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
• materi logaritma lanjutan 2
• materi persamaan logaritma 1, persamaan 2, persamaan 3, persamaan 4, persamaan 5. aplikasi logaritma, pengayaan (operasi logaritma natural)
• contoh soal 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13.

A. 2 Vektor

• materi vektor, operasi vektor, vektor di dimensi dua, perkalian skalar dua vektor, proyeksi ortogonal suatu vektor, vektor dimensi tiga, lanjutan vektor dimensi tiga, operasi vektor berdimensi tiga, lanjutan 1 operasi vektor berdimensi tiga, lanjutan 2 operasi vektor berdimensi tiga, proyeksi orthogonal suatu vektor di dimensi tiga, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, (urutan) contoh soal 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8, contoh 9, contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13.

B. Kelas XI (Sebelas)

B. 1 Persamaan Trigonometri

• materi persamaan trigonometri, identitas trigonometri, menentukan nilai perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, relasi sudut, persamaan trigonometri sederhana.
• lanjutan materi 1 , materi 2 , materi 3
• materi baru
• persamaan tigonometri: identitas trigonometri, menentukan nilai perbandingan trigonometri, sudut-sudut berelasi, persamaan trigonometri sederhana, persamaan bentuk a sin x + b cos x=c, grafik fungsi trigonometri, 
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
• soal tengah semester gasal : contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4,

B. 2 Rumus Jumlah dan Selisih

• rumus jumlah dan selisih 1
• rumus jumlah dan selisih 2
• materi terbaru : rumus jumlah dan selisih dudut sinus, cosinus, tangen, rumus sudut rangkap/ganda, sudut paruh/tengahan, rumus perkalian sinus dan cosinus, rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus, 
• soal persiapan menghadapi semester gasal: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.

B. 3 Persamaan Lingkaran

• materi lingkaran, kedudukan titik terhadap lingkaran, kedudukan garis terhadap lingkaran, persamaan garis singgung lingkaran, atau Persamaan Garis singgung Lingkaran (Lengkap), Persamaan Garis Singgung dengan gradien m, Persamaan Garis Singgung melalui sebuah titik di luar lingkaran, hubungan dua lingkaran
• contoh soal 1, contoh  2, contoh 3, contoh 4. Contoh 5 (Hubungan Dua Lingkaran), Contoh 6, Contoh 7, Contoh 8

B. 4 Polinom

• materi pendahuluan, operasi polinom, metode Horner-Kino (materi lanjutan operasi polinom) teorema sisa dan teorema faktor, persamaan polinom
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8, contoh 9

C. Kelas XII (Duabelas)

C. 1 Limit Fungsi Trigonometri

• limit fungsi trigonometri (materi lama-perkenalan dengan limit fungsi aljabar), lanjutan materi lama, lanjutan rumus dasar limit trigonometri, 
• materi pendahuluan limit, menentukan nilai limit fungsi trigonometri, pembuktian teorema apit (identitas limit fungsi trigonometri), limit fungsi trigonometri di tak hingga,
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5,
• materi limit diketakhinggan.
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5,

C.2 Turunan Fungsi Trigonometri

• materi turunan fungsi trigonometri
• lanjutan materi 
• contoh soal  (bagaian 1)
• lanjutan materi 2 
• lanjutan materi 3
• lanjutan materi 4 (sifat-sifat turunan)
• lanjutan materi 5
• contoh soal 1 (bagain 2) , contoh 2 , contoh 3 contoh 4 , contoh 5
• lanjutan materi 6 (persamaan garis singgung kurva)-turunan pertama
• lanjutan materi 7 (fungsi naik dan fungsi turun)-turunan pertama
• lanjutan materi 8 (nilai stasioner)-turunan pertama
• lanjutan materi 9 (aplikasi nilai stasioner)-turunan pertama
• contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9
• turunan kedua fungsi trigonometri (Fungsi naik dan fungsi turun, titik belok serta selang kecekungan)
• contoh 10 , contoh 11 , contoh 12 , contoh 13

C.3 Distribusi peluang binomial

• materi distribusi binomial, distribusi peluang diskrit, 
• contoh soal 1, contoh 2, 
• distribusi peluang kontinu, Binomial Newton,
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3,

C.4 Distribusi normal

• materi distribusi normal, lanjutan 1 materi, lanjutan 2 materi
• materi distribusi student, penarikan kesimpulan (pengujian hipotesis)
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6

KELAS XII - KUMPULAN MATERI MATEMATIKA WAJIB MA-SMA (KURTILAS REVISI)

  A. Kelas X (Sepuluh)

A. 1 Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dari Bentuk Linear Satu Variabel

• materi persamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 
• materi pertidaksamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , 

A. 2 Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Variabel

• materi pertidaksamaan rasional dan irasional satu variabel
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , 

A. 3 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

• materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
• lanjutan materi SPLTV
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 

A. 4 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linear-Linear

• materi sistem pertidaksamaan dua variabel linear-linear
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 

A. 5 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linear dan Kuadrat

• materi 1, materi 2, materi 3, 
• contoh Soal 1.

A. 6 Fungsi

• materi pendahuluan, domain-kodomain-range fungsi, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, 

A. 7 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

• materi fungsi komposisi dan fungsi invers
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5

A. 8 Rasio Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

• materi trigonometri awal
• perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

A. 9 Rasio Trigonometri Sudut-Sudut diberbagai Kuadran

• koordinat kartesius, koordinat kutub serta sudut-sudut di berbagai kuadran

A. 10 Aturan Sinus dan Cosinus

• aturan sinus
• aturan cosinus (bagian 1), aturan cosinus (bagian 2)
• contoh soal

B. Kelas XI (Sebelas)

B. 1 Program Linear

• materi program linear
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 

B. 2 Matriks

• materi matriks 
• lanjutan materi 1
• lanjutan materi 2
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 

B. 3 Determinan dan Invers Matriks Ordo 2x2

• materi determinan
• materi invers matriks ordo 2x2
• contoh soal 4 , contoh 5 , contoh 6 

B. 4 Transformasi Geometri

• materi
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5.

B. 5 Pola Bilangan dan Jumlah pada Barisan Aritmetika dan Geometri

• materi pola bilangan - induksi matematika
• pola bilangan dan barisan serta deret aritmetika
• pola bilangan dan barisan serta deret geometri 
• berikut contoh soal induksi matematika dan pola bilangan
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5
• materi barisan dan deret aritmetika (hitung)
• lanjutan materi barisan dan deret geometri (ukur)
• berikut contoh soalnya
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.
• barisan dan deret aritmetika dan geometri sekaligus
• contoh soal selingan (diselipkan soal untuk kompetisi) yang terkait barisan dan deret: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4.

B. 6 Limit Fungsi Aljabar

• materi
• contoh soal 1, contoh 2, 

B. 7 Turunan Fungsi Aljabar

• materi turunan fungsi aljabar
• bentuk umum turunan aljabar
• sifat turunan pertama dan aturan rantai
• aturan rantai pada turunan pertama dan kedua
• penggunaan turunan fungsi
• menyelesaikan masalah terkait keekstriman fungsi
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4

B. 8 Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

• materi pendahuluan
• teknik pengintegralan (dengan teknik substitusi)
• teknik pengintegralan (dengan integral parsial dan atau Tanzalin)
• penggunaan integral tak tentu
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4.

Tambahan/Pengayaan

Integral Tentu Fungsi Aljabar

• materi fungsi aljabar
• penggunaan inetgral tentu fungsi aljabar
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8.

C. Kelas XII (Dua Belas)

C. 1 Jarak dalm Ruang

• Geometri ruang
• Lanjutan materi 1, lanjutan materi 2, lanjutan materi 3, lanjutan materi 4, lanjutan materi 5.
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 

Statistika

• materi statistika, penyajian data dalam bentuk diagram.
• ukuran pemusatan data. ukuran letak data 1, ukuran letak data 2, ukuran letak data 3, interpolasi linear, ukuran penyebaran data 1, ukuran penyebaran data 2, koefisien variansi
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13

C. 3 Aturan Pencacahan

• materi pendahuluan(kombinatorial dan percobaan), kaidah pencacahan(kaidah perkalian), faktorial-permutasi-kombinasi, 
• contoh soal 1 permutasi-kombinasi, contoh 2, contoh 3, 
• materi Binomial Newton (pengayaan), fungsi pembangkit untuk kombinasi (pengayaan), 
• contoh soal 1 (kaidah pencacahan), contoh 2, contoh 3,

C. 4 Peluang Kejadian Majmuk

• materi pendahuluan (percobaan, ruang sampel, dan kejadian), peluang kejadian tunggal dan frekuensi harapan, peluang kejadian majmuk (peluang komplemen, dua kejadian saling bebas, dua kejadian tidak saling bebas), kejadian saling lepas, kejadian tidak saling lepas, 
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, 

FASE F TL- KUMPULAN MATERI MATEMATIKA MA-SMA KELAS XI

KUMPULAN MATERI MATEMATIKA TINGKAT LANJUT MA-SMA KELAS XI FASE F

SEMESTER GASAL

Bilangan Kompleks

• Materi Bilangan kompleks
• Lanjutan 1, lanjutan 2  Materi Bilangan Kompleks

Polinomial

• materi pendahuluan, operasi polinom, metode Horner-Kino (materi lanjutan operasi polinom) teorema sisa dan teorema faktor, persamaan polinom
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8, contoh 9

Matriks

• Materi Matriks ,materi matriks, lanjutan materi 1, lanjutan materi 2, contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 

• Determinan dan Invers Matriks Ordo 2x2

  • materi determinan
  • materi invers matriks ordo 2x2
  • contoh soal 4 , contoh 5 , contoh 6 

FASE F WAJIB - KUMPULAN MATERI MATEMATIKA MA-SMA KELAS XI

KUMPULAN MATERI MATEMATIKA WAJIB MA-SMA KELAS XI FASE F

SEMESTER GASAL

Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

• Materi
• Lanjutan materi
• Contoh soal 1, contoh 2, 

Lingkaran (diambil dari materi kurtilas)

• materi lingkaran, kedudukan titik terhadap lingkaran, kedudukan garis terhadap lingkaran, persamaan garis singgung lingkaran, atau Persamaan Garis singgung Lingkaran (Lengkap), Persamaan Garis Singgung dengan gradien m, Persamaan Garis Singgung melalui sebuah titik di luar lingkaran, hubungan dua lingkaran
• contoh soal 1, contoh  2, contoh 3, contoh 4. Contoh 5 (Hubungan Dua Lingkaran), Contoh 6, Contoh 7, Contoh 8

FASE E - KUMPULAN MATERI MATEMATIKA MA-SMA KELAS X

 Kelas X 

Kurikulum Merdeka

Fase E Kelas X

Semester Gasal

Eksponen dan Logaritma

• materi eksponen 1, materi fungsi eksponen 2, lanjutan fungsi eksponen, lanjutan materi 2 fungsi ekponen, lanjutan materi 3 fungsi eksponen, Persamaan eksponen.
• contoh soal eksponen 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10 
• materi logaritma 
• materi logaritma lanjutan
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
• materi logaritma lanjutan 2
• materi persamaan logaritma 1, persamaan 2, persamaan 3, persamaan 4, persamaan 5. aplikasi logaritma, pengayaan (operasi logaritma natural)
• contoh soal 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13

Barisan dan Deret

(pilih  materi yang Anda butuhkan saja)

• materi pola bilangan - induksi matematika
• pola bilangan dan barisan serta deret aritmetika
• pola bilangan dan barisan serta deret geometri 
• berikut contoh soal induksi matematika dan pola bilangan
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5
• materi barisan dan deret aritmetika (hitung)
• lanjutan materi barisan dan deret geometri (ukur)
• berikut contoh soalnya
• contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.
• barisan dan deret aritmetika dan geometri sekaligus
• contoh soal selingan (diselipkan soal untuk kompetisi) yang terkait barisan dan deret: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4

Trigonometri

• materi trigonometri awal
• perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

• koordinat kartesius, koordinat kutub serta sudut-sudut di berbagai kuadran

• aturan sinus
• aturan cosinus (bagian 1), aturan cosinus (bagian 2)
• contoh soal

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

• materi persamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 
• materi pertidaksamaan nilai mutlak
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , 

• materi pertidaksamaan rasional dan irasional satu variabel
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , 

• materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
• lanjutan materi SPLTV
• contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 

Semester Genap

• Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat, contoh soal PK 1, contoh PK 2, contoh PK 3, contoh PH 4, contoh soal FK 1, contoh FK 2, contoh FK 3, contoh FK 4, contoh FK 5, contoh FK 6.
• Statistikaa materi statistika, penyajian data dalam bentuk diagram. ukuran pemusatan data. ukuran letak data 1, ukuran letak data 2, ukuran letak data 3, interpolasi linear, ukuran penyebaran data 1, ukuran penyebaran data 2, koefisien variansi contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13
• Aturan Pencacahan dan Peluang

• Aturan Pencacahan

  • materi pendahuluan(kombinatorial dan percobaan), kaidah pencacahan(kaidah perkalian), faktorial-permutasi-kombinasi, 
  • contoh soal 1 permutasi-kombinasi, contoh 2, contoh 3, 
  • materi Binomial Newton (pengayaan), fungsi pembangkit untuk kombinasi (pengayaan), 
  • contoh soal 1 (kaidah pencacahan), contoh 2, contoh 3,

  Peluang Kejadian Majmuk

  • materi pendahuluan (percobaan, ruang sampel, dan kejadian), peluang kejadian tunggal dan frekuensi harapan, peluang kejadian majmuk (peluang komplemen, dua kejadian saling bebas, dua kejadian tidak saling bebas), kejadian saling lepas, kejadian tidak saling lepas, 
  • contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, 

Lanjutan Bilangan Kompleks: Operasi Aljabar Bilangan Kompleks (Matematika Tingkat Lanjut Kelas XI)

D. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks

Perhatikan tabel berikut

$\begin{array}{|c|l|l|}\hline \textbf{No}&\textbf{Jenis Operasi}&\qquad\qquad\qquad\textbf{Keterangan}\\\hline 1.&\textrm{Penjumlahan}&\begin{aligned}&\textrm{Jumlahkan dua bilangan kompleks}\\ &\textrm{dengan cara bagian riil dan tidak riil}\\ &\textrm{(khayal murni) dilakukan secara}\\ &\textrm{terpisah}\\ &\textbf{Misalkan}\\ &\textrm{z}_{1}=a+ib,\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{z}_{2}=c+id,\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{z}_{1}+\textrm{z}_{2}=(a+c)+(b+d)i \end{aligned}\\\hline 2.&\textrm{Pengurangan}&\begin{aligned}&\textrm{Pengurangan dua bilangan kompleks}\\ &\textrm{dengan cara bagian riil dan tidak riil}\\ &\textrm{(khayal murni) dilakukan secara}\\ &\textrm{terpisah}\\ &\textbf{Misalkan}\\ &\textrm{z}_{1}=a+ib,\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{z}_{2}=c+id,\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{z}_{1}-\textrm{z}_{2}=(a-c)+(b-d)i \end{aligned}\\\hline 3.&\textrm{Perkalian}&\begin{aligned}&\textrm{Cara mengalikan dua bilangan }\\ &\textrm{kompleks yaitu lakukan dengan cara }\\ &\textrm{seperti binomial biasa dan ganti}\\ &i^{2}\: \: \textrm{dengan}\: \: \sqrt{-1}\\ &\textrm{Misalkan}\\ &\textrm{z}_{1}=a+ib,\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{z}_{2}=c+id,\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{z}_{1}\times \textrm{z}_{2}=(a+ib)\times (c+id)\\ &\qquad\quad =ac+adi+bci+bdi^{2}\\ &\qquad\quad =ac+bdi^{2}+(ad+bc)i\\ &\qquad\quad =ac-bd+(ad+bc)i\\ &\textbf{Untuk perkalian dengan skalar}\\ &\textrm{kalikan masing-masing bagian dengan}\\ &\textrm{skalarnya saja}\end{aligned}\\\hline 4.&\textrm{Pembagian}&\begin{aligned}&\textrm{cara membagi dua bilangan kompleks}\\ &\textrm{kalikan pembilang dan penyebut dengan}\\ &\textrm{sekawan dari penyebutnya serta ganti}\\ &\textrm{hasilnya yang mengandung} \: \: i^{2}\: \: \textrm{dengan}\\ &-1\\ &\textrm{Misalkan diketahui penyebutnya berupa}\\ &a+ib,\: \: \textrm{maka sekawannya adalah}:a-ib\\ &\textrm{atau}\\ &\displaystyle \frac{\textup{z}_{1}}{\textrm{z}_{2}}=\textrm{z}_{1}\textrm{z}_{2}^{-1}\: \: \textrm{dengan}\: \: \textrm{z}_{2}\neq 0\\ &\textrm{Jika}\: \: \textup{z}_{2}=a+ib,\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{z}_{2}^{-1}=\displaystyle \frac{a}{a^{2}+b^{2}}-i\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: \textrm{z}_{1}=2+3i\: \: \textrm{dan}\\ &\textrm{z}_{2}=6-9i,\: \: \textrm{tentukan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{z}_{1}+\textrm{z}_{2}\qquad\qquad \textrm{c}.\quad \textrm{z}_{1}\times \textrm{z}_{2}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{z}_{1}-\textrm{z}_{2}\qquad\qquad \textrm{d}.\quad \textrm{z}_{1}: \textrm{z}_{2}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|l|}\hline \textbf{No}&\textbf{Uraian jawaban}\\\hline &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\left\{\begin{matrix} \textrm{z}_{1}=2+3i\\ \textrm{z}_{2}=6-9i \end{matrix}\right. \end{aligned}\\\hline 1.&\begin{aligned}\textrm{z}_{1}+\textrm{z}_{2}&=(2+3i)+(6-9i)\\ &=(2+6)+(3-9)i\\ &=\color{red}8-6i \end{aligned}\\\hline 2.&\begin{aligned}\textrm{z}_{1}-\textrm{z}_{2}&=(2+3i)-(6-9i)\\ &=(2-6)+(3+9)i\\ &=\color{red}-8+12i \end{aligned}\\\hline 3.&\begin{aligned}\textrm{z}_{1}\times \textrm{z}_{2}&=(2+3i)\times (6-9i)\\ &=(2\times 6-3\times (-9))+(2\times (-9)+3\times 6)i\\ &=(12+27)+(-18+18)i\\ &=\color{red}39 \end{aligned}\\\hline  4.&\begin{aligned}\textrm{z}_{1}:\textrm{z}_{2}&=\displaystyle \frac{\textrm{z}_{1}}{\textrm{z}_{2}}\\ &=\displaystyle \frac{2+3i}{6-9i}\times \frac{6+9i}{6+9i}\\ &=\displaystyle \frac{12+18i+18i+27i^{2}}{6^{2}+9^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{12-27+(18+18)i}{36+81}\\ &=\displaystyle \frac{-15}{117}+\frac{36}{117}i=\color{red}-\displaystyle \frac{5}{39}+\frac{4}{13}i\\ \textbf{atau}&\: \: \textrm{Anda dapat menggunakan invers}\\ &\textrm{hasilnyapun akan sama dengan yang}\\ &\textrm{di atas, yaitu}\\ &\textrm{z}_{2}^{-1}=\displaystyle \frac{6+9i}{6^{2}+9^{2}},\: \: \textrm{maka}\\ &=\textrm{z}_{1}\times \textrm{z}_{2}^{-1}\\ &=(2+3i)\times \displaystyle \frac{6+9i}{6^{2}+9^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{12+18i+18i+27i^{2}}{36+81}\\ &=\displaystyle \frac{12-27+(18+18)i}{117}\\ &=\displaystyle \frac{-15}{117}+\frac{36}{117}i=\color{red}-\frac{5}{39}+\frac{4}{13}i \end{aligned}\\\hline \end{array}  \end{array}$.

Lanjutan Bilangan Kompleks: Kesamaan Dua Bilangan Kompleks (Matematika Tingkat Lanjut Kelas XI)

C. Kesamaan Dua Bilangan Kompleks

Dua buah bilangan kompleks  $z_{1}=a_{1}+ib_{1}$  dan  $z_{2}=a_{2}+ib_{2}$ dikatakan  $z_{1}=z_{2}$ jika dan hanya jika  $a_{1}=a_{2}$  dan  $b_{1}=b_{2}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui}\: \: \textrm{z}_{1}=1+3\sqrt{2}i\: \: \textrm{dan}\: \: \: \textrm{z}_{2}=1+\sqrt{-18}\\ &\textrm{apakah}\: \: \textrm{z}_{1}=\textrm{z}_{2}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \: \textrm{z}_{1}=1+3\sqrt{2}i\: \: \textrm{dan}\: \: \: \textrm{z}_{2}=1+\sqrt{-18}\\ &\textrm{Untuk}\\ &\textrm{z}_{2}=1+\sqrt{-18}=1+\sqrt{18}\sqrt{-1}=1+3\sqrt{2}i\\ &\textrm{Karena}\: \: a_{1}=a_{2}=1,\: \: \: \textrm{dan}\: \:  b_{1}=b_{2}=3\sqrt{2},\\ &\textrm{maka dapat dikatakan bahwa}\: \: \textrm{z}_{1}=\textrm{z}_{2} \end{aligned}    \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui}\: \: x-yi=i-3\sqrt{2}\: \: \textrm{tentukan nilai}\\ &\textrm{dari}\: \: x\: \: \textrm{dan }\: \: y\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \:  x-yi=i-3\sqrt{2}, \: \textrm{maka}\\ &x-yi=-3\sqrt{2}+i,\: \: \textrm{ini artinya}\\ &\left\{\begin{matrix}x=-3\sqrt{2}.\qquad \\  -y=1\Rightarrow y=-1 \end{matrix}\right.\\ &\textrm{Jadi, nilai}\: \: x=-3\sqrt{2}\: \: \textrm{dan}\: \: y=-1 \end{aligned}    \end{array}$.

Bilangan Kompleks (Matematika Tingkat Lanjut Kelas XI)

A. Pengertian Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri atas bagian riil (nyata) dan bagian tidak riil / imajiner (khayal) dan dituliskan dengan $\begin{aligned}\textrm{z}=a+ib \end{aligned}$  atau $\begin{aligned}\textrm{z}=a+bi \end{aligned}$. Bagian riil dari bilangan kompleks adalah bagian yang berupa bilangan riil, sementara untukbagian tidak riil dari bilangan kompleks adalah bagian yang berupa bilangan imajiner

1. Satuan Bilangan Imajiner / Khayal

Dalam hal ini, satuan bilangan khayal adalah $\begin{aligned}i \end{aligned}$ dengan  $\begin{aligned}i=\sqrt{-1} \end{aligned}$.

2. Bilangan Kompleks

Dinyatakan dengan  $\begin{aligned}\textrm{z}=a+ib \end{aligned}$  atau  $\begin{aligned}\textrm{z}=a+bi \end{aligned}$, dengan

$\begin{aligned}\begin{cases} a & =\textrm{Re}(\textrm{z})=\textrm{bagian riil} \\  b & =\textrm{Im}(\textrm{z})= \textrm{ bagian imajiner /khayal}  \end{cases} \end{aligned}$.

Jika  $\begin{aligned}a=0 \end{aligned}$, maka bilangan kompleks disebut khayal murni dan jika $\begin{aligned}b=0 \end{aligned}$, maka bilangan kompleks menjadi bilangan riil. Sehingga semua bilangan nyata dan semua bilangan khayal murni semuanya termasuk bilangan kompleks.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1. &\textrm{Bilangan}\: \: \sqrt{-4}\: \: \textrm{jika dinyatakan dalam}\\ &i=\sqrt{-1}\: \:  \textrm{adalah}\\ &\begin{aligned}\sqrt{-4}&=\sqrt{(4).(-1)}=\sqrt{4}.\sqrt{-1}=2i \end{aligned}\\ 2.&i^{3}=i^{2}.i=(-1)i=-i\\ 3.&i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1\\ 4.&\textrm{z}=1-\sqrt{3}i\\ &\textrm{Re}(\textrm{z})=1\: \: \textrm{atau bagian riilnya adalah 1, dan}\\ &\textrm{Im}(\textrm{z})=-\sqrt{3}\: \: \textrm{atau bagian imajinernya adalah}\: \: -\sqrt{3}\\ 5.&\textrm{z}=2+\sqrt{5}i\\ &\textrm{Re}(\textrm{z})=2\: \:\textrm{atau bagian riilnya adalah 2, dan}\\ &\textrm{Im}(\textrm{z})=\sqrt{5}\: \: \textrm{atau bagian imajinernya adalah}\: \: \sqrt{5} \end{array}$.

B. Bentuk Bilangan Kompleks

1. Bentuk Diagram. 

Bentuk diagram pada bidang gambar bilangan kompleks dinamakan bidang Argand, sesuai nama penemunya Jean Robert Argand.

Titik (x,y) pada bidang Argand

2. Bentuk Polar

Bilangan kompleks  $\begin{aligned}\textrm{z}=a+ib \end{aligned}$  dapat dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu menjadi  

$.\qquad\qquad\begin{aligned}\textrm{z}&=r(\cos \theta +i\sin \theta)\\ \textrm{d}&\textrm{engan}\\ r&=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ x&=r\cos \theta ,\\ y&=r\sin \theta , \: \: \textrm{dan}\\ \theta &=\textrm{dibaca}\: \: \: theta   \end{aligned}$.

3. Bentuk Eksponen 

Dengan rumus Euler berupa $\begin{aligned}e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta  \end{aligned}$, bentuk pangkat dari bilangan ini adalah :  

$\begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \: \textrm{bahwa}\quad\textrm{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta)\\ \textrm{dengan}\quad &\cos \theta +i\sin \theta=e^{i\theta},\: \: \textrm{maka}\\ \textrm{z}&=\color{red}re^{i\theta }  \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan Re(z) dan Im(z) bilangan kompleks}\\ &\textrm{berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{z}=\sqrt{2}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{z}=-\sqrt{3}i\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{z}=-1+\sqrt{5}i\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{z}=\sqrt{2}=\sqrt{2}+0i\\ &\textrm{Re(z)}=\sqrt{2}\\ &\textrm{Im(z)}=0\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{z}=-\sqrt{3}i=0+(-\sqrt{3})i\\ &\textrm{Re(z)}=0\\ &\textrm{Im(z)}=-\sqrt{3}\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{z}=-1+\sqrt{5}i\\ &\textrm{Re(z)}=-1\\ &\textrm{Im(z)}=\sqrt{5} \end{aligned}    \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan Re(z) dan Im(z) bilangan kompleks}\\ &\textrm{berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{z}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{z}=1-\sqrt{3}i\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{z}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i,\: \: \textrm{dengan}\: \: x=-\sqrt{2},\: y=\sqrt{2}\\ &r=\sqrt{(-\sqrt{2})^{2}+\sqrt{2}^{2}}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ &\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}=\sin 45^{0}\Rightarrow \theta =45^{0}\\ &\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{-\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ &\textrm{Karena titiknya}\: \: (-x,y)\: ,\: \textrm{maka titik berada di}\\ &\textrm{kuadran II, sehingga}\: \: \theta =180^{0}-45^{0}=135^{0}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ &\quad =2(\cos 135^{0} +i\sin 135^{0} )\\ &\textrm{Jadi, bentuk polar dari}\\ &\textrm{z}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i=\color{red}2(\cos 135^{0} +i\sin 135^{0} )\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{z}=1-\sqrt{3}i,\: \: \textrm{dengan}\: \: x=1,\: y=-\sqrt{3}\\ &r=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\\ &\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ &\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{1}{2}=\cos 60^{0}\Rightarrow \theta =60^{0}\\ &\textrm{Karena titiknya}\: \: (x,-y)\: ,\: \textrm{maka titik berada di}\\ &\textrm{kuadran IV, sehingga}\: \: \theta =360^{0}-60^{0}=300^{0}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ &\quad =2(\cos 300^{0} +i\sin 300^{0} )\\ &\textrm{Jadi, bentuk polar dari}\\ &\textrm{z}=1-\sqrt{3}i=\color{red}2(\cos 300^{0} +i\sin 300^{0} )   \end{aligned}    \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan Re(z) dan Im(z) bilangan kompleks}\\ &\textrm{berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{z}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{z}=-1-\sqrt{3}i\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{z}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i,\: \: \textrm{dengan}\: \: x=\sqrt{2},\: y=\sqrt{2}\\ &r=\sqrt{\sqrt{2}^{2}+\sqrt{2}^{2}}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ &\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}=\sin 45^{0}\Rightarrow \theta =45^{0}\\ &\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ &\textrm{Karena titiknya}\: \: (x,y)\: ,\: \textrm{maka titik berada di}\\ &\textrm{kuadran I, sehingga tetap utuh}\: \: \theta =45^{0}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ &\quad =2(\cos 45^{0} +i\sin 45^{0} )\\ &\textrm{Jadi, bentuk polar dari}\\ &\textrm{z}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i=\color{red}2(\cos 45^{0} +i\sin 45^{0} )\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{z}=-1-\sqrt{3}i,\: \: \textrm{dengan}\: \: x=-1,\: y=-\sqrt{3}\\ &r=\sqrt{(-1)^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\\ &\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}=-\sin 60^{0}\Rightarrow \theta =60^{0}\\ &\color{blue}\textrm{tanda negatif hanya menunjukkan posisi kuadran}\\ &\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{-1}{2}\\ &\textrm{Karena titiknya}\: \: (-x,-y)\: ,\: \textrm{maka titik berada di}\\ &\textrm{kuadran III, sehingga}\: \: \theta =180^{0}+60^{0}=240^{0}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ &\quad =2(\cos 240^{0} +i\sin 240^{0} )\\ &\textrm{Jadi, bentuk polar dari}\\ &\textrm{z}=-1-\sqrt{3}i=\color{red}2(\cos 240^{0} +i\sin 240^{0} )   \end{aligned}    \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Ubahlah bilangan kompleks berikut dalam}\\ &\textrm{bentuk eksponen}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{z}=2(\cos 45^{0} +i\sin 45^{0} )\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{z}=-1-\sqrt{3}i\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{z}=2(\cos 45^{0} +i\sin 45^{0} ),\: \: \textrm{dengan}\\ &r=2\: \: \textrm{dan}\: \: \theta =45^{0}.\quad \textrm{Sehingga}\\ &\textrm{z}=re^{i\theta }=2e^{i45^{0}}\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{z}=-1-\sqrt{3}i,\: \: \textrm{dengan}\\ &r=\sqrt{(-1)^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}\\ &\: \: =\sqrt{4}=2\: \: \textrm{dan}\: \: \theta =45^{0}.\quad \textrm{Sehingga}\\ &\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}=-\sin 60^{0}\Rightarrow \theta =60^{0}\\ &\color{blue}\textrm{tanda negatif hanya menunjukkan posisi kuadran}\\ &\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{-1}{2}\\ &\textrm{Karena titiknya}\: \: (-x,-y)\: ,\: \textrm{maka titik berada di}\\ &\textrm{kuadran III, sehingga}\: \: \theta =180^{0}+60^{0}=240^{0}\\ &\textrm{z}=re^{i\theta }=2e^{i240^{0}}    \end{aligned}    \end{array}$.

$\begin{aligned}\textbf{Cata}&\textbf{tan} \\\hline \textrm{Anda}&\: \textrm{juga bisa menggunakan nilai}\: \: \tan\theta \\ \textrm{untu}&\textrm{k menentukan besar sudut}\: \: \theta -\textrm{nya, yaitu}:\\ \tan \theta &=\displaystyle \frac{y}{x}\\ \textrm{Perh}&\textrm{atikan}\: \: \color{red}\textrm{Contoh Soal pada nomor 3a dan 3b}\\  &\begin{array}{|c|c|}\hline 3\textbf{a}&3\textbf{b}\\\hline \textrm{z}=(-\sqrt{2},\sqrt{2})&\textrm{z}=(1,-\sqrt{3})\\ \textrm{Kuadran II}&\textrm{kuadran IV}\\ \left ( 180^{0}-\theta  \right )&\left ( 360^{0}-\theta  \right )\\ \begin{aligned}\tan \theta &=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}=-1\\ \tan \theta &=-\tan 45^{0}\\ &=\tan (180^{0}-45^{0})\\ &=\tan 135^{0}\\ \theta &=135^{0}  \end{aligned}&\begin{aligned}\tan \theta &=\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}\\  \theta &=-\tan 60^{0}\\ &=\tan (360^{0}-60^{0})\\ &=\tan 300^{0}\\ \theta &=300^{0} \end{aligned}\\\hline  \end{array}  \end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Ngapiningsih, Suparno. 2023. Matematika Tingkat Lanjut untuk SMA/MA Kelas 11A. Yogyakarta: INTAN PARIWARA
2. Purwosetiyono, Didik. 2012. Pengantar Analisis Kompleks. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press
3. Spiegel, Murray, S., Iskandar, K. Seri Buku Schaum Teori dan Soal-Soal Matematika Dasar. Jakarta: ERLANGGA
4. Thohir, Ahmad. 2013. Materi Contoh Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika MA/SMA. Grobogan

Statistika (Lanjutan)