PAS MATEMATIKA BLOG

Lingkaran

$\color{blue}\textrm{A. Definisi Lingkaran}$.

Secara definisi lingkaran adalah tempat kedudukam titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Selanjutnya titik tertentu disebut sebagai pusat lingkaran sedangkan jarak yang salalu sama terhadapa titik tertentu tersebut disebut sebagai jari-jari atau radius (r).

Sebagai ilustrasi berikut diberikan gambar berkaitan kedudukan titik-titik tersebut

$\color{blue}\textrm{B. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0,0) }$.

Persamaan sebuah lingkaran dengan dengan jari-jari $r$ dan berpusat di titik pusat koordinat dapat dilustrasikan sebagai berikut

Misalkan sebuah titik $\textrm{P}(x,y)$ terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di O(0,0). Dan titik $\textrm{P}'(x,0)$ adalah proyeksi titik P pada sumbu-X sehingga $\bigtriangleup \textrm{OP}'\textrm{P}$ berupa sebuah segitiga siku-siku di $\textrm{P}'$. Dengan rumus Pythagoras kita mendapatkan

$\begin{aligned}&OP^{2}=(OP')^{2}+(PP')^{2}\\ &\Leftrightarrow \: r^{2}=x^{2}+y^{2}\\ &\Leftrightarrow r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \end{aligned}$

Untuk lebih memudahkan pemahaman Anda, perhatikanlah ilustrasi berikut

Sehingga dapat disimpulkan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) adalah:

$\begin{array}{|ccc|}\hline &&\\ &\color{red}x^{2}+y^{2}=r^{2}&\\ &&\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan persamaan lingkaran yang }\\ & \textrm{berpusat di O dan berjari-jari}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui pusat lingkaran di O}\\ &\textrm{dengan jarijari}\: \: r=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}\\ &\textrm{Persamaan lingkarannya adalah}:\\ &\color{red}x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+y^{2}=\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10} \right )^{2}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+y^{2}=\displaystyle \frac{10}{4},\quad \textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow \: x^{2}+y^{2}=\displaystyle \frac{5}{2}\\ &\textrm{Jadi, persamaan lingkarannya}\\ &\textrm{adalah}\: \: \: x^{2}+y^{2}=\displaystyle \frac{5}{2} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran}\\ & \textrm{yang memenuhi persamaan}\: \: \\ &x^{2}+y^{2}=6\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\\ &\: \: x^{2}+y^{2}=6\\ &\textrm{maka }\\ &\bullet \: \: \textrm{pusat lingkaran adalah O}\\ &\qquad\color{red}x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\bullet \: \: \textrm{dengan jari-jarinya adalah}\\ &\qquad r^{2}=6\Rightarrow \color{red}r=\sqrt{6}\\ &\textrm{Jadi, pusat lingkaran di O dengan}\\ &\textrm{jari-jari sebesar}\: \: r=\sqrt{6} \end{aligned} \end{array}$.

Kumpulkan Materi Ketaksamaan

Kumpulan Materi Ketaksamaan

Konsep Ketaksamaan QM-AM-GM-HM
Materi Ketaksamaan QM-AM-GM-HM
Materi Ketaksamaan Cauchy-Schwarz-Engel (CS-E)
Materi Ketaksamaan Renata (Rearrangement)
Materi Ketaksamaan Chebyshev
Materi Ketaksamaan Holder
Materi Ketaksamaan Schur
Materi lanjutan Ketaksamaan Schur
Contoh Soal 1 Ketaksamaan
Contoh Soal 2 Ketaksamaan
Contoh Soal 3 Ketaksamaan
Contoh Soal 4 Ketaksamaan
Contoh Soal 5 Ketaksamaan
Contoh Soal 6 Ketaksamaan
Contoh Soal 7 Ketaksamaan
Contoh Soal 8 Ketaksamaan
Contoh Soal 9 Ketaksamaan
Contoh Soal 10 Ketaksamaan
Contoh Soal 11 Ketaksamaan
Contoh Soal 12 Ketaksamaan
Contoh Soal 13 Ketaksamaan
Contoh Soal 14 Ketaksamaan
Contoh Soal 15 Ketaksamaan

Materi dan Contoh Soal Matematika Wajib Kelas X, XI, XII Tahun 2023

A. Kelas X (Sepuluh)

A. 1 Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dari Bentuk Linear Satu Variabel

A. 2 Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Variabel

A. 3 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
lanjutan materi SPLTV
contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4

A. 4 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linear-Linear

A. 5 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linear dan Kuadrat

materi 1, materi 2, materi 3,
contoh Soal 1.

A. 6 Fungsi

A. 7 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

materi fungsi komposisi dan fungsi invers
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5

A. 8 Rasio Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

A. 9 Rasio Trigonometri Sudut-Sudut diberbagai Kuadran

koordinat kartesius, koordinat kutub serta sudut-sudut di berbagai kuadran

A. 10 Aturan Sinus dan Cosinus

aturan sinus
aturan cosinus (bagian 1), aturan cosinus (bagian 2)
contoh soal

B. Kelas XI (Sebelas)

B. 1 Program Linear

materi program linear
contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5

B. 2 Matriks

B. 3 Determinan dan Invers Matriks Ordo 2x2

B. 4 Transformasi Geometri

materi
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5.

B. 5 Pola Bilangan dan Jumlah pada Barisan Aritmetika dan Geometri

materi pola bilangan - induksi matematika
pola bilangan dan barisan serta deret aritmetika
pola bilangan dan barisan serta deret geometri
berikut contoh soal induksi matematika dan pola bilangan
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5
materi barisan dan deret aritmetika (hitung)
lanjutan materi barisan dan deret geometri (ukur)
berikut contoh soalnya
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.
barisan dan deret aritmetika dan geometri sekaligus
contoh soal selingan (diselipkan soal untuk kompetisi) yang terkait barisan dan deret: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4.

B. 6 Limit Fungsi Aljabar

B. 7 Turunan Fungsi Aljabar

B. 8 Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

materi pendahuluan
teknik pengintegralan (dengan teknik substitusi)
teknik pengintegralan (dengan integral parsial dan atau Tanzalin)
penggunaan integral tak tentu
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4.

Tambahan/Pengayaan

Integral Tentu Fungsi Aljabar

C. Kelas XII (Dua Belas)

C. 1 Jarak dalm Ruang

Geometri ruang
Lanjutan materi 1, lanjutan materi 2, lanjutan materi 3, lanjutan materi 4, lanjutan materi 5.
contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5

Statistika

C. 3 Aturan Pencacahan

materi pendahuluan(kombinatorial dan percobaan), kaidah pencacahan(kaidah perkalian), faktorial-permutasi-kombinasi,
contoh soal 1 permutasi-kombinasi, contoh 2, contoh 3,
materi Binomial Newton (pengayaan), fungsi pembangkit untuk kombinasi (pengayaan),
contoh soal 1 (kaidah pencacahan), contoh 2, contoh 3,

C. 4 Peluang Kejadian Majmuk

materi pendahuluan (percobaan, ruang sampel, dan kejadian), peluang kejadian tunggal dan frekuensi harapan, peluang kejadian majmuk (peluang komplemen, dua kejadian saling bebas, dua kejadian tidak saling bebas), kejadian saling lepas, kejadian tidak saling lepas,
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3,

Materi dan Contoh Soal Matematika Peminatan Kelas X, XI, XII Tahun 2023

A. Kelas X (Sepuluh)

A. 1 Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritma

materi eksponen 1, materi fungsi eksponen 2, lanjutan fungsi eksponen, lanjutan materi 2 fungsi ekponen, lanjutan materi 3 fungsi eksponen,
contoh soal eksponen 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10
materi logaritma
materi logaritma lanjutan
contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
materi logaritma lanjutan 2
materi persamaan logaritma 1, persamaan 2, persamaan 3, persamaan 4, persamaan 5. aplikasi logaritma, pengayaan (operasi logaritma natural)
contoh soal 7 , contoh 8 , contoh 9 , contoh 10, contoh 11, contoh 12, contoh 13.

A. 2 Vektor

B. Kelas XI (Sebelas)

B. 1 Persamaan Trigonometri

materi persamaan trigonometri, identitas trigonometri, menentukan nilai perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, relasi sudut, persamaan trigonometri sederhana.
lanjutan materi 1 , materi 2 , materi 3
materi baru
persamaan tigonometri: identitas trigonometri, menentukan nilai perbandingan trigonometri, sudut-sudut berelasi, persamaan trigonometri sederhana, persamaan bentuk a sin x + b cos x=c, grafik fungsi trigonometri,
contoh soal 1 , contoh 2 , contoh 3 , contoh 4 , contoh 5 , contoh 6
soal tengah semester gasal : contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4,

B. 2 Rumus Jumlah dan Selisih

rumus jumlah dan selisih 1
rumus jumlah dan selisih 2
materi terbaru : rumus jumlah dan selisih dudut sinus, cosinus, tangen, rumus sudut rangkap/ganda, sudut paruh/tengahan, rumus perkalian sinus dan cosinus, rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus,
soal persiapan menghadapi semester gasal: contoh 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7.

B. 3 Persamaan Lingkaran

materi lingkaran, kedudukan titik terhadap lingkaran, kedudukan garis terhadap lingkaran, persamaan garis singgung lingkaran, hubungan dua lingkaran
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4. Contoh 5 (Hubungan Dua Lingkaran), Contoh 6, Contoh 7, Contoh 8

B. 4 Polinom

materi pendahuluan, operasi polinom, metode Horner-Kino (materi lanjutan operasi polinom) teorema sisa dan teorema faktor, persamaan polinom
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6, contoh 7, contoh 8, contoh 9

C. Kelas XII (Duabelas)

C. 1 Limit Fungsi Trigonometri

limit fungsi trigonometri (materi lama-perkenalan dengan limit fungsi aljabar), lanjutan materi lama, lanjutan rumus dasar limit trigonometri,
materi pendahuluan limit, menentukan nilai limit fungsi trigonometri, pembuktian teorema apit (identitas limit fungsi trigonometri), limit fungsi trigonometri di tak hingga,
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5,
materi limit diketakhinggan.
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5,

C.2 Turunan Fungsi Trigonometri

materi turunan fungsi trigonometri
lanjutan materi
contoh soal (bagaian 1)
lanjutan materi 2
lanjutan materi 3
lanjutan materi 4 (sifat-sifat turunan)
lanjutan materi 5
contoh soal 1 (bagain 2) , contoh 2 , contoh 3 contoh 4 , contoh 5
lanjutan materi 6 (persamaan garis singgung kurva)-turunan pertama
lanjutan materi 7 (fungsi naik dan fungsi turun)-turunan pertama
lanjutan materi 8 (nilai stasioner)-turunan pertama
lanjutan materi 9 (aplikasi nilai stasioner)-turunan pertama
contoh 6 , contoh 7 , contoh 8 , contoh 9
turunan kedua fungsi trigonometri (Fungsi naik dan fungsi turun, titik belok serta selang kecekungan)
contoh 10 , contoh 11 , contoh 12 , contoh 13

C.3 Distribusi peluang binomial

C.4 Distribusi normal

materi distribusi normal, lanjutan 1 materi, lanjutan 2 materi
materi distribusi student, penarikan kesimpulan (pengujian hipotesis)
contoh soal 1, contoh 2, contoh 3, contoh 4, contoh 5, contoh 6

Lanjutan 2 Materi Barisan dan Deret (Deret Aritmetika-Geometri tak Berhingga)

Sebelum kita membahas materi seperti judul di atas, Anda dapat mengulik materi sebelumnya tentang barisan dan deret di link berikut:

link 1 (Barisan dan Deret)
link 2 (Barisan dan Deret)

Deret Aritmetika dan Geometri Sekaligus

Perhatikan barisan bilangan berikut

$\color{red}\begin{aligned}&a,\: (a+b)r,\: (a+2b)r^{2},\: (a+3b)r^{3},\cdots ,(a+(n-1)b)r^{n-1} \end{aligned}$.

Jika deretnya berhingga maka jumlah deretnya adalah

$\begin{array}{ll} \begin{aligned}S_{n}&=a+\: (a+b)r+\: (a+2b)r^{2}+\cdots +(a+(n-1)b)r^{n-1}\\ rS_{n}&=ar+\: (a+b)r^{2}+\: (a+2b)r^{3}+\cdots +(a+(n-1)b)r^{n}\\ \end{aligned}&- \\\hline \begin{aligned}(1-r)S_{n}&=a-(a+(n-1)b)r^{n}+\displaystyle \frac{br(1-r^{n-1})}{(1-r)}\\ \Leftrightarrow \: \: S_{n}&=\color{red}\displaystyle \frac{a-(a+(n-1)b)r^{n}}{(1-r)}+\frac{br(1-r^{n-1})}{(1-r)^{2}} \end{aligned} \end{array}$.

Jika deretnya tak berhingga, maka nilai $S_{n}$ bergantung pada nilai $\underset{n\rightarrow \color{red}\infty }{\textrm{lim}} \: \displaystyle r^{n}$

Jika $\color{red}\left | r \right |< 1$, maka deretnya konvergen (memiliki jumlah atau jumlahnya dapat ditentukan), yaitu : $S_{\infty }=\displaystyle \frac{a}{1-r}+\frac{br}{(1-r)^{2}}$ dengan suku awal deret geometrinya adalah 1.
Jika $\color{red}\left | r \right |\geq 1$, maka deret tak memiliki jumlah yang pas (jumlahnya tidak dapat ditentukan)

Bukti :

untuk $\color{red}\left | r \right |< 1$. Diketahui bahwa $\begin{aligned}S_{n}&=\color{red}\displaystyle \frac{a-(a+(n-1)b)r^{n}}{(1-r)}+\frac{br(1-r^{n-1})}{(1-r)^{2}} \end{aligned}$. Karena harga $\underset{n\rightarrow \color{red}\infty }{\textrm{lim}} \: \displaystyle r^{n}=\color{red}0$, maka jumlah deretnya adalah:

$\begin{aligned}\underset{n\rightarrow \color{red}\infty }{\textrm{lim}} \: \displaystyle S&=\underset{n\rightarrow \color{red}\infty }{\textrm{lim}} \: \color{red}\displaystyle \frac{a-(a+(n-1)b)r^{n}}{(1-r)}+\frac{br(1-r^{n-1})}{(1-r)^{2}}\\ &=\underset{n\rightarrow \color{red}\infty }{\textrm{lim}} \: \color{red}\displaystyle \frac{a-(a+(n-1)b)r^{n}}{(1-r)}+\frac{br-br^{n}}{(1-r)^{2}}\\ &=\underset{n\rightarrow \color{red}\infty }{\textrm{lim}} \: \color{red}\displaystyle \frac{a-\color{black}0}{(1-r)}+\frac{br-\color{black}0}{(1-r)^{2}}\\ &=\underset{n\rightarrow \color{red}\infty }{\textrm{lim}} \: \color{red}\displaystyle \frac{a}{(1-r)}+\frac{br}{(1-r)^{2}}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{a}{(1-r)}+\frac{br}{(1-r)^{2}}\qquad \color{black}\blacksquare \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah jumlah nilai dari}\\ & \displaystyle \frac{0}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\cdots \\\\ &\textbf{Pembahasan}:\\ &\begin{aligned}&S_{\infty }=\displaystyle \frac{0}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\cdots \\ &\textrm{dengan}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Bagian aritmetika}&\textrm{Bagian Geometri}\\ (\textrm{lihat bagian pembilang})&(\textrm{bagian pembilang-penyebut})\\\hline \begin{cases} \bullet \quad a& =U_{1}=0 \\ \bullet \: \: \: \: b&=U_{2}-U_{1}\\ &=1-0=1 \end{cases}&\bullet \quad r=\displaystyle \frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\\\hline \end{array}\\ &\begin{aligned}S_{\infty }&=\color{red}\displaystyle \frac{a}{(1-r)}+\frac{br}{(1-r)^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{0}{1-\frac{1}{2}}+\frac{1\times \frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2})^{2}}=0+\displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}\\ &=0+\displaystyle \frac{4}{2}\\ &=\color{red}2 \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi},\: \: \displaystyle \frac{0}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\cdots =\color{red}2\end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah jumlah nilai dari}\\ & \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+\frac{9}{32}+\cdots \\\\ &\textbf{Pembahasan}:\\ &\begin{aligned}&S_{\infty }=\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+\frac{9}{32}+\cdots \\ &\color{blue}\textrm{dengan suku awal geometri bukan 1, maka kita ubah menjadi}\\ &2S_{\infty }=1+\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+\frac{9}{16}+\cdots \\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Bagian aritmetika}&\textrm{Bagian Geometri}\\ (\textrm{lihat bagian pembilang})&(\textrm{bagian pembilang-penyebut})\\\hline \begin{cases} \bullet \quad a& =U_{1}=1 \\ \bullet \: \: \: \: b&=U_{2}-U_{1}=3-1=2 \end{cases}&\bullet \quad r=\displaystyle \frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\\\hline \end{array}\\ &\begin{aligned}2S_{\infty }&=\color{red}\displaystyle \frac{a}{(1-r)}+\frac{br}{(1-r)^{2}}\\ 2S_{\infty }&=\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{2}}+\frac{2\times \frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2})^{2}}=2+4=6\\ S_{\infty }&=\color{red}3 \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi},\: \: \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+\frac{9}{32}+\cdots =\color{red}3\end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah jumlah nilai dari}\\ &2+ \displaystyle \frac{5}{2}+\frac{8}{2^{2}}+\frac{11}{2^{3}}+\frac{14}{2^{4}}+\frac{17}{2^{5}}+\cdots \\\\ &\textbf{Pembahasan}:\\ &\begin{aligned}&S_{\infty }=2+ \displaystyle \frac{5}{2}+\frac{8}{2^{2}}+\frac{11}{2^{3}}+\frac{14}{2^{4}}+\frac{17}{2^{5}}+\cdots\\ &\color{blue}\textrm{dengan}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Bagian aritmetika}&\textrm{Bagian Geometri}\\ (\textrm{lihat bagian pembilang})&(\textrm{bagian pembilang-penyebut})\\\hline \begin{cases} \bullet \quad a& =U_{1}=2 \\ \bullet \: \: \: \: b&=U_{2}-U_{1}=5-2=3 \end{cases}&\bullet \quad r=\displaystyle \frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\\\hline \end{array}\\ &\begin{aligned}S_{\infty }&=\color{red}\displaystyle \frac{a}{(1-r)}+\frac{br}{(1-r)^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{2}{1-\frac{1}{2}}+\frac{3\times \frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2})^{2}}=4+6=\color{red}10 \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi},\: \: 2+ \displaystyle \frac{5}{2}+\frac{8}{2^{2}}+\frac{11}{2^{3}}+\frac{14}{2^{4}}+\frac{17}{2^{5}}+\cdots=\color{red}10\end{aligned} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{LATIHAN SOAL}$.

Tentukan besar jumlah dari deret berikut

$\begin{aligned}1.\quad&1+\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{3}{9}+\frac{4}{27}+\frac{5}{81}+\frac{6}{243}+\cdots \\ 2.\quad&1+\displaystyle \frac{3}{3}+\frac{5}{9}+\frac{7}{27}+\frac{9}{81}+\frac{11}{243}+\cdots \\ 3.\quad&1+\displaystyle \frac{2}{5}+\frac{3}{5^{2}}+\frac{4}{5^{3}}+\frac{5}{5^{4}}+\frac{6}{5^{5}}+\cdots \\ 4.\quad&1+\displaystyle \frac{3}{7}+\frac{5}{7^{2}}+\frac{7}{7^{3}}+\frac{9}{7^{4}}+\frac{11}{7^{5}}+\cdots \\ 5.\quad&\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{3}{9}+\frac{4}{27}+\frac{5}{81}+\frac{6}{243}+\frac{7}{729}+\cdots \\ 6.\quad&\displaystyle \frac{3}{3}+\frac{5}{9}+\frac{7}{27}+\frac{9}{81}+\frac{11}{243}+\frac{13}{729}+\cdots \\ 7.\quad&\displaystyle \frac{2}{5}+\frac{3}{5^{2}}+\frac{4}{5^{3}}+\frac{5}{5^{4}}+\frac{6}{5^{5}}+\frac{7}{5^{6}}+\cdots \\ 8.\quad&\displaystyle \frac{3}{7}+\frac{5}{7^{2}}+\frac{7}{7^{3}}+\frac{9}{7^{4}}+\frac{11}{7^{5}}+\frac{13}{7^{6}}+\cdots \\ \end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA

Thohir, A. 2013. Barisan dan Deret Materi Pendamping Olimpiade Matematika MA/SMA. Grobogan: MA Futuhiyah.

SUMBER INTERNET

https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetico-geometric_sequence

Lanjutan 3 (Barisan & Deret)

$\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Hasil penjumlahan dari}\\ &\displaystyle \frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\frac{1}{7.9}+\frac{1}{9.11}+\cdots +\frac{1}{97.99}=\cdots \\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{A}.&\displaystyle \frac{98}{99}&&&\textrm{D}.&\displaystyle \frac{48}{99}\\\\ \textrm{B}.&\displaystyle \frac{50}{99}\qquad&\textrm{C}.&\color{red}\displaystyle \frac{49}{99}\qquad&\textrm{E}.&\displaystyle \frac{47}{99} \end{array}\\\\ &\textbf{Pembahasan}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Bentuk di atas memenuhi bentuk}\\ &\displaystyle \frac{1}{x(x+2)}=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{(x+2)} \right ).\: \: \textrm{Bentuk ini pada}\\ &\textrm{bilangan dengan pola tertentu seperti di atas akan}\\ &\textrm{menghabiskan dengan bilangan sebelahnya}\\ &\textrm{atau lazim dikenal dengan}\: \: \textbf{prinsip teleskoping}\\ &\textrm{Sebagaimana bentuk penjumlahan dengan pola di atas}\\ &\textrm{maka}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots +\frac{1}{97}-\frac{1}{99} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{99} \right )=\displaystyle \frac{1}{2}.\frac{98}{99}=\color{red}\displaystyle \frac{49}{99} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Diketahui}\\ &x=\displaystyle \frac{1+p+p^{2}+p^{3}+\cdots +p^{n-1}}{1+p+p^{2}+p^{3}+\cdots +p^{n-2}+p^{n-1}+p^{n}} \\ &y=\displaystyle \frac{1+q+q^{2}+q^{3}+\cdots +q^{n-1}}{1+q+q^{2}+q^{3}+\cdots +q^{n-2}+q^{n-1}+q^{n}}\\\\ &\textrm{dan}\: \: p>q>0\\\\ &\textrm{Tunjukkan bahwa}\: \: x<y \\\\\\ &\textbf{Bukti}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan bahwa}:\: \: p>q>0\\ &\textrm{sehingga}\\ &\displaystyle \frac{1}{p}< \frac{1}{q},\: \: \displaystyle \frac{1}{p^{2}}< \frac{1}{q^{2}},\cdots , \displaystyle \frac{1}{p^{n}}< \frac{1}{q^{n}}\\ &\textrm{Jika bentuk di atas dijumlahkan, maka}\\ &\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{p^{2}}+\cdots +\frac{1}{p^{n}}< \frac{1}{q}+\frac{1}{q^{2}}+\cdots +\frac{1}{q^{n}}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{p^{n-1}+\cdots +p^{2}+p+1}{p^{n}}< \displaystyle \frac{q^{n-1}+\cdots +q^{2}+q+1}{q^{n}}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{p^{n}}{1+p+p^{2}+\cdots +p^{n-1}}>\displaystyle \frac{q^{n}}{1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{p^{n}}{1+p+p^{2}+\cdots +p^{n-1}}\color{red}+1\color{black}>\displaystyle \frac{q^{n}}{1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}}\color{red}+1\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1+p+p^{2}+\cdots +p^{n-1}+p^{n}}{1+p+p^{2}+\cdots +p^{n-1}}>\displaystyle \frac{1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}+q^{n}}{1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1+p+p^{2}+\cdots +p^{n-1}}{1+p+p^{2}+\cdots +p^{n-1}+p^{n}}<\displaystyle \frac{1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}}{1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}+q^{n}}\\ &\Leftrightarrow x<y\qquad \blacksquare \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

Aziz, A. 2016. Rahasia Juara Olimpiade Matematika SMA. Yogyakarta: ANDI.
Baskoro, B.D. 2012. Aljabar dan Trigonometri Cespleng Olimpiade Matematika. Yogyakarta: BERLIAN.
Bintari, N., Gunarto, D. 2007. Panduan Menguasai Soal-Soal Olimpiade Nasional & Internasional. Yogyakarta: INDONESIA CERDAS.
Idris, M,. Rusdi, I. 2015. Langkah Awal Meraih Medali Emas Olimpiade Matematika SMA. Bandung: YRAMA WIDYA.
Sembiring, S. 2002. Olimpiade Matematika Untuk SMU. Bandung: YRAMA WIDYA.
Sembiring, S., Suparmin, S. 2015. Pena Emas OSN Matematika SMA. Bandung: YRAMA WIDYA.

Lanjutan 2 (Barisan & Deret)

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Tentukan hasil dari}\\ &\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+\frac{9}{32}+\cdots \\\\ &\textbf{Pembahasan}:\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\: \: S=\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+\frac{9}{32}+\cdots \\ &\textrm{maka}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}S=\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{7}{32}+\frac{9}{64}+\cdots\\ &\textrm{Jika}\\ &S-\displaystyle \frac{1}{2}S=\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{2}{8}+\frac{2}{16}+\frac{2}{32}+\frac{2}{64}+\cdots \\ &\begin{aligned}\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2}S&=\displaystyle \frac{1}{2}+\underset{\textrm{deret geometri}}{\underbrace{\left (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\cdots \right )}}\\ \Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2}S&=\displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{1-\displaystyle \frac{1}{2}}=\displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=\displaystyle \frac{1}{2}+1=\color{blue}\displaystyle \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2}S&=\displaystyle \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \, \: \: \: S&=\color{red}3 \end{aligned} \end{aligned}\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\ &\begin{aligned}&S_{\infty }=\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+\frac{9}{32}+\cdots \\ &\color{purple}\textrm{dengan suku awal geometri bukan 1, maka kita ubah menjadi}\\ &2S_{\infty }=1+\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+\frac{9}{16}+\cdots \\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Bagian aritmetika}&\textrm{Bagian Geometri}\\ (\textrm{lihat bagian pembilang})&(\textrm{bagian pembilang-penyebut})\\\hline \begin{cases} \bullet \quad a& =U_{1}=1 \\ \bullet \: \: \: \: b&=U_{2}-U_{1}=3-1=2 \end{cases}&\bullet \quad r=\displaystyle \frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\\\hline \end{array}\\ &\begin{aligned}2S_{\infty }&=\color{red}\displaystyle \frac{a}{(1-r)}+\frac{br}{(1-r)^{2}}\\ 2S_{\infty }&=\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{2}}+\frac{2\times \frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2})^{2}}=2+4=6\\ S_{\infty }&=\color{red}3 \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi},\: \: \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+\frac{9}{32}+\cdots =\color{red}3\end{aligned} \end{array}$.

$.\qquad \textrm{Untuk link materi pada pembahasan alternatif 2}$. di sini

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Hasil penjumlahan dari}\\ &\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{3}{27}+\frac{4}{81}+\frac{5}{243}+\cdots =\cdots \\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{A}.&\displaystyle \frac{2}{3}&&&\textrm{D}.&\color{red}\displaystyle \frac{4}{3}\\\\ \textrm{B}.&\displaystyle \frac{3}{4}\qquad&\textrm{C}.&1\qquad&\textrm{E}.&\displaystyle \frac{3}{2} \end{array}\\\\ &\textbf{Pembahasan}:\\ &\begin{aligned}&S_{\infty }=\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{3}{27}+\frac{4}{81}+\frac{5}{243}+\cdots \\ &\color{purple}\textrm{dengan suku awal geometri bukan 1, maka kita ubah menjadi}\\ &3S_{\infty }=1+\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{3}{9}+\frac{4}{27}+\frac{5}{81}+\cdots \\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Bagian aritmetika}&\textrm{Bagian Geometri}\\ (\textrm{lihat bagian pembilang})&(\textrm{bagian pembilang-penyebut})\\\hline \begin{cases} \bullet \quad a& =U_{1}=1 \\ \bullet \: \: \: \: b&=U_{2}-U_{1}=2-1=1 \end{cases}&\bullet \quad r=\displaystyle \frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{\frac{1}{3}}{1}=\displaystyle \frac{1}{3}\\\hline \end{array}\\ &\begin{aligned}3S_{\infty }&=\color{red}\displaystyle \frac{a}{(1-r)}+\frac{br}{(1-r)^{2}}\\ 3S_{\infty }&=\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{3}}+\frac{1\times \frac{1}{3}}{(1-\frac{1}{3})^{2}}=\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{3}{4}=\displaystyle \frac{9}{4}\\ S_{\infty }&=\color{red}\displaystyle \frac{3}{4} \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi},\: \: \displaystyle \frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{3}{27}+\frac{4}{81}+\frac{5}{243}+\cdots =\color{red}\displaystyle \frac{3}{4}\end{aligned} \end{array}$ .

Lanjutan (Barisan & Deret)

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textbf{(Lomba Matematika Nasional}\\ &\textbf{HIMATIKA UGM 2006)} \\ &\textrm{Jika bilangan}\\ &A=\displaystyle \frac{1}{1+1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+3}+\cdots +\frac{1}{1+100}\\ &B=\displaystyle \frac{1}{1+1}+\frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{2}}+\frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +\frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{100}}\\ &\textrm{maka}\: \: A+B\: \: \textrm{sama dengan}\: ....\\ &\textrm{A}.\quad 202 \: \: \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \textrm{D}.\quad \color{red}100\\ &\textrm{B}.\quad 200\qquad\qquad \color{black}\textrm{C}.\quad 101\qquad\quad \color{black}\textrm{E}.\quad 99\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{array}{ll}\\ \begin{aligned}A&=\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{101}\\ B&=\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots +\frac{100}{101}\\ \end{aligned}&\\&+\\\hline \\ A+B=\underset{100}{\underbrace{1+1+1+\cdots +1}}&=\color{red}100 \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textbf{(OSN tk. Kota/Kab 2002)} \\ &\textrm{Misalkan}\\ &a=\displaystyle \frac{1^{2}}{1}+\frac{2^{2}}{3}+\frac{3^{2}}{5}+\cdots +\frac{1001^{2}}{2001}\\\\ &b=\displaystyle \frac{1^{2}}{3}+\frac{2^{2}}{5}+\frac{3^{2}}{7}+\cdots +\frac{1001^{2}}{2003}\\ &\textrm{Tentukanlah bilangan bulat yang}\\ &\textrm{nilainya paling dekat ke}\: \: a-b\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{aligned}a-b &=\left (\displaystyle \frac{1^{2}}{1}+\frac{2^{2}}{3}+\frac{3^{2}}{5}+\cdots +\frac{1001^{2}}{2001} \right )\\ &\: -\left ( \displaystyle \frac{1^{2}}{3}+\frac{2^{2}}{5}+\frac{3^{2}}{7}+\cdots +\frac{1001^{2}}{2003} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1^{2}}{1}+\left ( \displaystyle \frac{2^{2}}{3}-\displaystyle \frac{1^{2}}{3} \right )+\left ( \displaystyle \frac{3^{2}}{5}-\displaystyle \frac{2^{2}}{5} \right )\\ &\: +\left ( \displaystyle \frac{4^{2}}{7}-\displaystyle \frac{3^{2}}{7} \right )+\cdots +\left ( \displaystyle \frac{1001^{2}}{2001}-\displaystyle \frac{1000^{2}}{2001} \right )\\ &\: \: \: -\displaystyle \frac{1001^{2}}{2003}\\ &=\underset{1001}{\underbrace{1+1+1+\cdots +1}}-\displaystyle \frac{1001^{2}}{2003}\\ &=1001-\displaystyle \frac{1001^{2}}{2003}=1001\left ( \displaystyle \frac{2003-1001}{2003} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1001\times 1002}{2003}> \displaystyle \frac{1001}{2}=\color{red}500,5 \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi bilangan bulat yang paling dekat}\\ &\textrm{ke}\: \: a-b\: \: \textrm{adalah}\: \: \color{red}501 \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Misalkan}\\ &a_{n}=\displaystyle \frac{n(n+1)}{2},\: \textrm{tentukanlah jumlah}\\ &\textrm{dari}\: \: \displaystyle \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots +\frac{1}{a_{2023}}\\\\ &\textbf{Pembahasan}:\\ &\begin{aligned}a_{n}&=\displaystyle \frac{n(n+1)}{2},\: \: \textrm{maka}\\ \displaystyle \frac{1}{a_{n}}&=\displaystyle \frac{2}{n(n+1)}\\ &=2\left ( \displaystyle \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right )\\ &\color{red}\textrm{lihat pembahasan no.3 di atas}\\ & \end{aligned} \\ &\begin{aligned}&\displaystyle \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots +\frac{1}{a_{2023}}\\ &=2\left ( \left (1-\displaystyle \frac{1}{2} \right )+\left ( \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right )+\cdots +\left ( \displaystyle \frac{1}{2022}-\frac{1}{2023} \right ) \right )\\ &=2\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{2023} \right )\\ &=2\left (\displaystyle \frac{2022}{2023} \right )=\color{blue}\displaystyle \frac{4044}{2023} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Misalkan}\: \: n\: \: \textrm{adalah bilangan asli}\\ &\textrm{dan}\: \: \left \{ a_{n} \right \}\: \textrm{adalah barisan bilangan real}\\ &\textrm{dengan}\: \: a_{n}=\displaystyle \frac{2^{n}}{2^{2n+1}-2^{n+1}-2^{n}+1}\\\\ &\textrm{Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan}\\ &\textrm{asli}\: \: n, \: \: \textrm{berlaku}\: \: \: a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}<1\\\\ &\textbf{Bukti}:\\ &\begin{aligned}a_{n}&=\displaystyle \frac{2^{n}}{2^{2n+1}-2^{n+1}-2^{n}+1}\\ &=\displaystyle \frac{2^{n}}{(2^{n+1}-1)(2^{n}-1)}\\ &=\left ( \displaystyle \frac{1}{2^{n+1}-1}-\frac{1}{2^{n}-1} \right )\\ a_{1}&=\displaystyle \frac{1}{2^{1}-1}-\frac{1}{2^{2}-1}=1-\displaystyle \frac{1}{3}\\ a_{2}&=\displaystyle \frac{1}{2^{2}-1}-\frac{1}{2^{3}-1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{7}\\ a_{3}&=\displaystyle \frac{1}{2^{3}-1}-\frac{1}{2^{4}-1}=\frac{1}{7}-\frac{1}{15}\\ &\vdots \qquad\qquad\qquad \vdots \\ a_{n}&=\displaystyle \frac{1}{2^{n}-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1}\quad\quad\quad\quad +\\ \color{purple}a_{1}&\color{purple}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}\\ &=\color{red}1-\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}-1}< 1\qquad \color{black}\blacksquare \end{aligned} \end{array}$.

Selingan (Barisan & Deret)

Lanjutan contoh soal dan pembahasannya terkait barisan dan deret

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Hasil kali bilangan bentuk berikut}\\ &\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{4} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{5} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{6} \right )\cdots \left ( 1-\displaystyle \frac{1}{100} \right )\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{A}.\quad \displaystyle \frac{1}{100} \: \: \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \textrm{D}.\quad \displaystyle \frac{4}{100}\\\\ &\textrm{B}.\quad \displaystyle \frac{2}{100}\qquad\qquad \color{black}\textrm{C}.\quad \displaystyle \color{red}\frac{3}{100}\qquad\quad \color{black}\textrm{E}.\quad \displaystyle \frac{5}{100}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{aligned}&\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{4} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{5} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{6} \right )\cdots \left ( 1-\displaystyle \frac{1}{100} \right )\\ &=\left ( \displaystyle \frac{3}{4} \right )\left ( \displaystyle \frac{4}{5} \right )\left ( \displaystyle \frac{5}{6} \right )\cdots \left ( \displaystyle \frac{99}{100} \right )\\ &=\left ( \displaystyle \frac{\color{red}3}{\not{4}} \right )\left ( \displaystyle \frac{\not{4}}{\not{5}} \right )\left ( \displaystyle \frac{\not{5}}{\not{6}} \right )\cdots \left ( \displaystyle \frac{\not{99}}{\color{red}100} \right )\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{3}{100} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Hasil kali bilangan bentuk berikut}\\ &\left ( 1-\displaystyle \frac{2}{3} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{2}{5} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{2}{7} \right )\cdots \left ( 1-\displaystyle \frac{2}{2023} \right )\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{A}.\quad \color{red}\displaystyle \frac{1}{2023} \: \: \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: \: \textrm{D}.\quad \displaystyle \frac{4}{2023}\\\\ &\textrm{B}.\quad \displaystyle \frac{2}{2023}\qquad\qquad \color{black}\textrm{C}.\quad \displaystyle \frac{3}{2023}\qquad\quad \color{black}\textrm{E}.\quad \displaystyle \frac{5}{2023}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Dengan cara pembahasan pada no.1 di atas, maka}\\ &\begin{aligned}&\left ( 1-\displaystyle \frac{2}{3} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{2}{5} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{2}{7} \right )\cdots \left ( 1-\displaystyle \frac{2}{2023} \right )\\ &=\left ( \displaystyle \frac{1}{3} \right )\left ( \displaystyle \frac{3}{5} \right )\left ( \displaystyle \frac{5}{7} \right )\cdots \left ( \displaystyle \frac{2021}{2023} \right )\\ &=\left ( \displaystyle \frac{\color{red}1}{\not{3}} \right )\left ( \displaystyle \frac{\not{3}}{\not{5}} \right )\left ( \displaystyle \frac{\not{5}}{\not{7}} \right )\cdots \left ( \displaystyle \frac{\not{2021}}{\color{red}2023} \right )\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2023} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Bentuk sederhana dari}\\ &\displaystyle \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{2022\times 2023}\\\\ &\textbf{Pembahasan}:\\ &\begin{aligned}&=\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{2} \right )+\left ( \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right )+\left ( \displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right )+\\ & \qquad\qquad +\quad\cdots\qquad +\left ( \displaystyle \frac{1}{2022}-\frac{1}{2023} \right )\\ &=1-\displaystyle \frac{1}{2023}\\ &=\color{blue}\displaystyle \frac{2022}{2023} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{|c|}\hline \begin{aligned}\color{blue}\textbf{Seb}&\color{blue}\textbf{agai pengingat kita}\\ \bullet \quad&1+2+3+\cdots +n=\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}\\ \bullet \quad&1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^{2}\\ \bullet \quad&1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}=\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ \bullet \quad&1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left ( \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} \right )^{2}\\ \bullet \quad&1+\displaystyle \frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots +\frac{1}{1+2+3+\cdots +n}=\displaystyle \frac{2n}{n+1}\\ \bullet \quad&\displaystyle \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}=\displaystyle \frac{n}{n+1}\\ \bullet \quad&\displaystyle \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\displaystyle \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Bentuk sederhana dari}\\ &\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{2023}-\sqrt{2022}}\\\\ &\textbf{Pembahasan}:\\ &\begin{aligned}\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}}&=\frac{1}{1+\sqrt{2}}\times \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}\\ &=\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}}{1^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}\\ &=\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}}{-1}=\color{red}\sqrt{2}-1\\ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}&=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}=\color{red}\sqrt{3}-\sqrt{2}\\ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}&=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}\times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{4})^{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1}=\color{red}\sqrt{4}-\sqrt{3}\\ &\vdots \\ \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\begin{aligned}&=\color{red}\not{\sqrt{2}}-1\color{black}+\color{red}\not{\sqrt{3}}-\not{\sqrt{2}}\color{black}+\color{red}\not{\sqrt{4}}-\not{\sqrt{3}}\color{black}+\color{red}\cdots \color{black}+\color{red}\sqrt{2023}-\not{\sqrt{2022}}\\ &=\color{blue}\sqrt{2023}-1 \end{aligned} \end{array}$